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El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
Tiempos de paro
F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
La F´ormula de Feynman Kac
Entre el azar, el determinismo y la f´ısica
Juliho David Castillo Colmenares
Escuela de Ciencias, UABJO
Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
Tiempos de paro
F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
En el siglo XIX, Robert Brown observ´o el movimiento irregular de las
particulas de polen en el agua, observando que
El camino de un particula dada es irregular, sin tangente en punto
alguno.
El movimiento de dos particulas distintas, aparentemente, son
independientes.
A un movimiento tal se le conoce como movimiento Browniano, en honor
de R. Brown.
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El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
Tiempos de paro
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Para la ecuaci´on del calor
∂u
∂τ
= D∆u, (1.1)
la soluci´on fundamental K, llamada n´ucleo del calor, esta dado por
K(x, x0; τ − τ0) =
(4πD(τ − τ0))−1/2
e−(x−x0)2
/4D(τ−τ0)
, τ − τ0 > 0,
δ(x − x0), τ − τ0 = 0.
(1.2)
Revisaremos la relaci´on entre el movimiento Browniano y la ecuaci´on del
calor, descubierta por A. Einstein.
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El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
Tiempos de paro
F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un
salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ.
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Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un
salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ.
Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para
adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce
como paseo aleatorio unidimiensional.
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El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
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Diferenciales estoc´asticas
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un
salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ.
Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para
adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce
como paseo aleatorio unidimiensional.
Los saltos sucesivos se consideran eventos independientes, y
denotaremos por Xj el salto en el tiempo j∆τ. Entonces, {Xj }n
i=1 es
una familia de variables aleatorias intependientes, con media
E(Xj ) = 0 y varianza V (Xj ) = (∆x)2
.
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Si D(n) denota el desplazamiento en el tiempo n∆τ, su distribuci´on de
probabilidad esta dada por
P(D(n) = j∆x) =
n!
((j + n)/2)!((n − j)/2)!
1
2n
=
n
(j + n)/2
1
2n
para j + n par y cero en otro caso, ya que el n´umero n+
para saltos para
adelante (n−
, si son para atras) satisface n+
− n−
= j, n+
+ n−
= n, es
decir, n+
= (j + n)/2.
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Diferenciales estoc´asticas
Tiempos de paro
F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Definimos el desplazamiento en el tiempo τ ∈ R por una interpolaci´on
ente lineal entre el desplazamiento entre [τ/∆τ] y [τ/∆τ] + 1. Entonces,
el desplazamiento cuadr´atico medio esta dado por
Dn(τ)2
:= (∆x)2
n, Dn(τ) =
n
j=1
Xj , n = [τ/∆τ].
Observaci´on
(∆x)2
/∆τ debe converger a limite diferente de cero, digamos α, y de
esta manera tenemos ∆x ≈ α (∆τ.)
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Diferenciales estoc´asticas
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
La distribuci´on de probabilidad de una desplazamiento Dn(τ) en el
tiempo τ = n∆τ es el mismo que la suma normalizada
Sn(τ) ≡
1
√
n


n
j=1
Yj

 ,
donde Yj ≡
√
nXj son variables aleatorias identicamente distribuidas con
media cero y varianza nα2
∆τ = α2
τ.
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Integral estoc´asticas
Diferenciales estoc´asticas
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Observaci´on
Por el teorema del l´ımite central, la distribuci´on de probabilidad de Sn(τ),
converge d´ebilmente a una distribuci´on Gaussiana
ρ(x, τ) = (2α2
τπ)−1/2
e−x2
/2α2
τ
.
cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0.
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Observaci´on
Por el teorema del l´ımite central, la distribuci´on de probabilidad de Sn(τ),
converge d´ebilmente a una distribuci´on Gaussiana
ρ(x, τ) = (2α2
τπ)−1/2
e−x2
/2α2
τ
.
cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0. Esta distribuci´on es el
propagador para la ecuaci´on del calor (o de difusi´on), con constante de
difusi´on D = α2
/2, el cu´al puede ser interpretado como la probabilidad
de una particula con una caminata aleatoria e inicialmente en cero
est´e en x en el tiempo τ.
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Definici´on
1 Una colecci´on {X(t)|t ≥ 0} de variables aleatorias es llamada
proceso estoc´astico
2 Para cada punto ω ∈ Ω, el mapeo t → X(t, ω) es la correspondiente
trayectoria de muestra.
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Definici´on
Un proceso estoc´astico real valuado W (·) se dice movimiento Browniano
o proceso de Wiener si
1 W (0) = 0 a.s.
2 W (t) − W (s) es N(0, t − s) para toda t ≥ s ≥ 0,
3 Para todos los tiempos 0 < t1 < t2 < ... < tn, las variables aleatorias
W (t1), W (t2) − W (t1), ..., W (tn) − W (tn−1) son independientes, es
decir, incrementos independientes.
Observaci´on
E(W (t)) = 0, E(W 2
(t)) = t para t ≥ 0.
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Teorema
Sea (Ω, U, P), un espacio de probabilidad, en el que una cantidad
numerable de variables aleatorias independientes, N(0,1) estan definidas.
Entonces existe un movimiento Browniano unidimensional, definido para
ω ∈ Ω, t ≥ 0.
Cualquier proceso de Wiener tiene un versi´on con trayectorias de
muestreo continuas c.t.p.
Las trayectorias de muestreo son no diferenciables c.t.p.
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Observaci´on
Como las trayectorias de muestra son continuas c.t.p., podemos definir la
variable aleatoria Y : Ωρ(R,)
Y (ω) =
t≥0
W (t, ω)dt,
donde la integras es de Riemman.
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
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Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral?
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral?
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt
Respuesta
No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p.
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral?
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt
Respuesta
No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p.
Pregunta
Entonces, ¿Como podemos definir f (W )dW de manera que
generalice nuestro concepto de integral?
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Consideremos {t0, t1, ..., tn} una partici´on del intevalo [t0, t1] y
x(t) =



x0 t0 ≤ t < t1
x1 t1 ≤ t < t2
...
xn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn,
de manera que x0 < ... < xn.
Entonces
b
a
F(x)dx =
n−1
i=0
Fi [xi+1 − xi ]
=
n−1
i=0
Fi [x(ti+1) − x(ti )],
donde Fi = F(xi ).
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Diferenciales estoc´asticas
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partici´on del intevalo [t0, t1],
consideremos el siguiente proceso por pasos
G(t) =



G0 t0 ≤ t < t1
G1 t1 ≤ t < t2
...
Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn.
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Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partici´on del intevalo [t0, t1],
consideremos el siguiente proceso por pasos
G(t) =



G0 t0 ≤ t < t1
G1 t1 ≤ t < t2
...
Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn.
Utilizando la idea anterior, tenemos la siguiente
Definici´on
T
0
GdW =
n−1
i=1
Gi [W (ti+1) − W ti ].
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Observaci´on
Recordemos que W (ti+1) − W (ti ) es una variable aleatoria y por tanto
T
0
GdW es una variable aletoria.
Lema (Propiedades de la integral estoc´astica para un proceso por pasos)
Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2
(0, T) procesos por pasos, se tiene que
1
T
0
aG + bH dW = a
T
0
G dW + b
T
0
H dW ,
2 E
T
0
G dW = 0,
3 E
T
0
G dW
2
= E
T
0
G2
dt .
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Pregunta
¿Podemos definir GdW para un clase m´as amplia de procesos
estoc´asticos?
Respuesta
S´ı. De hecho, podemos definirlos para un tipo de procesos que se llaman
progresivamente medibles.
Observaci´on
Sin embargo, es un poco complicado definir este concepto, y m´as si no se
esta familiarizado con teor´ıa de la medida.
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Definici´on
L2
(0, T) es el espacio de todos procesos estoc´asticos progresivamente
medibles, real-valuados G tales que
E
T
0
G2
dt < ∞.
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Lema (Aproximaci´on por procesos por pasos)
Si G ∈ L2
(0, T), entonces existe una sucesi´on de procesos por pasos,
acotados Gn
∈ L2
(0, T), tal que
E
T
0
|G − Gn
|
2
dt → 0 si n → ∞.
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Esbozo de la demostraci´on.
Si t → G(t, ω) es continuo para casi toda ω, podemos hacer
Gn
(t) := G(
k
n
),
k
n
≤ t <
k + 1
n
, k = 0, ..., [nT].
En general, para G ∈ L2
(0, T), definimos
Gm
(t) :=
t
0
mem(s−t)
G(s)ds.
Entonces, Gm
∈ L2
(0, T), t → Gm
(t, ω) es continua para casi toda ω y
T
0
|Gm
− G|
2
dt → 0c.s..
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Definici´on
Si G ∈ L2
(0, T), tomamos una sucesi´on Gn
, como en el lema anterior.
Entonces
T
0
G dW = l´ım
n→∞
T
0
Gn
dW .
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Diferenciales estoc´asticas
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Teorema (Propiedades de la Integral de Itˆo)
Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2
(0, T), se tiene que
1
T
0
aG + bH dW = a
T
0
G dW + b
T
0
H dW ,
2 E
T
0
G dW = 0,
3 E
T
0
G dW
2
= E
T
0
G2
dt .
4 E
T
0
G dW
T
0
H dW = E
T
0
GH dt .
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El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor
Integral estoc´asticas
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Definici´on
Suponga que X(·) es una proceso estoc´astico real-valuado que satiface
X(r) = X(s) +
r
s
F dt +
r
s
G dW
para algunas F ∈ L1
(0, T), G ∈ L2
(0, T) y para todos los tiempos
0 ≤ s ≤ r ≤ T. Decimos que X(·) satifacen la diferencial estoc´astica
dX = Fdt + GdW
para 0 ≤ t ≤ T.
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Teorema (La f´ormula de Itˆo)
Suponga que u : R × [0, T] → R es continua y que ∂u
∂x , ∂u
∂t y ∂2
∂x2 u existen
y son continuas. Definamos
Y (t) = u(W (t), t).
Entonces Y tiene diferencial estoc´astica
dY =
∂u
∂t
dt +
∂u
∂x
dW +
1
2
∂2
u
∂x2
dt (3.1)
=
∂u
∂t
+
1
2
∂2
u
∂x2
dt +
∂u
∂x
dW .
Decimos que (3.1) es la f´ormula de Itˆo o regla de la cadena de Itˆo.
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Observaci´on
1 El argumento de u y sus derivadas es (W (t), t).
2 En vista de las definiciones, la expresi´on en (3.1) quiere decir que
Y (r) − Y (s) = u(W (r), r) − u(W (s), s) (3.2)
=
r
s
∂u
∂t
(X, t) +
1
2
∂2
u
∂x2
(W , t) dt
+
r
s
∂u
∂x
(W , t) dW c.s.
3 Para casi toda ω, la funciones
t →
∂u
∂t
(W (t), t),
∂u
∂x
(W (t), t),
∂2
u
∂x2
(W (t), t)
son continuas y entonces, los integrandos en (3.2) estan bien
definidos.
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Definici´on
Sea E un conjunto no vac´ıo, ya sea abierto o cerrado de Rn
. Entonces
τ :=´ınf{t ≥ 0|X(t) ∈ E} (4.1)
es un tiempo de paro. (Definimos τ = +∞, para las trayectorias de
muestreo de X(·) que nunca tocan E.)
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Definici´on
Si G ∈ L2
(0, T) y τ es un tiempo de paro con 0 ≤ t ≤ τ, definimos
τ
0
GdW :=
T
0
1(t≤τ)GdW .
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Lema (Integral de Itˆo con tiempos de paro.)
Si G ∈ L2
(0, T) y 0 ≤ τ ≤ T es un tiempo de paro, entonces
1 E
τ
0
G dW = 0
2 E
τ
0
G dW
2
= E
τ
0
G2
dt .
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F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP
Por la f´ormula de Itˆo tenemos que
u(W (t), t) − u(W (0), 0) =
τ
0
∂u
∂t
+
1
2
∆u +
τ
0
∂u
∂x
dW ,
donde ∆u = ∂2
u
∂x2 .
Si tomamos el valor esperado, obtenemos
E (u(W (τ), τ)) − E (u(W (0), 0)) = E
τ
0
∂u
∂t
+
1
2
∆u ds .
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Ejemplo
Sea U = (a, b) ⊂ R, ∂U = a, b. Consideremos el movimiento Browniano
Wx (t) = W (t) + x, es decir, que comienza en x c.s., y
τx = el primer tiempo en que W contacta ∂U.
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial
−1
2 ∆u(x) = 1, x ∈ U
0, x = a, b.
satisface u(x) = E(τx ), para x ∈ U.
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La Fórmula de Feynman Kac: Entre el azar, el determinismo y la física

  • 1. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP La F´ormula de Feynman Kac Entre el azar, el determinismo y la f´ısica Juliho David Castillo Colmenares Escuela de Ciencias, UABJO Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 2. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP En el siglo XIX, Robert Brown observ´o el movimiento irregular de las particulas de polen en el agua, observando que El camino de un particula dada es irregular, sin tangente en punto alguno. El movimiento de dos particulas distintas, aparentemente, son independientes. A un movimiento tal se le conoce como movimiento Browniano, en honor de R. Brown. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 3. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Para la ecuaci´on del calor ∂u ∂τ = D∆u, (1.1) la soluci´on fundamental K, llamada n´ucleo del calor, esta dado por K(x, x0; τ − τ0) = (4πD(τ − τ0))−1/2 e−(x−x0)2 /4D(τ−τ0) , τ − τ0 > 0, δ(x − x0), τ − τ0 = 0. (1.2) Revisaremos la relaci´on entre el movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor, descubierta por A. Einstein. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 4. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 5. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ. Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce como paseo aleatorio unidimiensional. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 6. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ. Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce como paseo aleatorio unidimiensional. Los saltos sucesivos se consideran eventos independientes, y denotaremos por Xj el salto en el tiempo j∆τ. Entonces, {Xj }n i=1 es una familia de variables aleatorias intependientes, con media E(Xj ) = 0 y varianza V (Xj ) = (∆x)2 . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 7. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Si D(n) denota el desplazamiento en el tiempo n∆τ, su distribuci´on de probabilidad esta dada por P(D(n) = j∆x) = n! ((j + n)/2)!((n − j)/2)! 1 2n = n (j + n)/2 1 2n para j + n par y cero en otro caso, ya que el n´umero n+ para saltos para adelante (n− , si son para atras) satisface n+ − n− = j, n+ + n− = n, es decir, n+ = (j + n)/2. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 8. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definimos el desplazamiento en el tiempo τ ∈ R por una interpolaci´on ente lineal entre el desplazamiento entre [τ/∆τ] y [τ/∆τ] + 1. Entonces, el desplazamiento cuadr´atico medio esta dado por Dn(τ)2 := (∆x)2 n, Dn(τ) = n j=1 Xj , n = [τ/∆τ]. Observaci´on (∆x)2 /∆τ debe converger a limite diferente de cero, digamos α, y de esta manera tenemos ∆x ≈ α (∆τ.) Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 9. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP La distribuci´on de probabilidad de una desplazamiento Dn(τ) en el tiempo τ = n∆τ es el mismo que la suma normalizada Sn(τ) ≡ 1 √ n   n j=1 Yj   , donde Yj ≡ √ nXj son variables aleatorias identicamente distribuidas con media cero y varianza nα2 ∆τ = α2 τ. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 10. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Observaci´on Por el teorema del l´ımite central, la distribuci´on de probabilidad de Sn(τ), converge d´ebilmente a una distribuci´on Gaussiana ρ(x, τ) = (2α2 τπ)−1/2 e−x2 /2α2 τ . cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 11. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Observaci´on Por el teorema del l´ımite central, la distribuci´on de probabilidad de Sn(τ), converge d´ebilmente a una distribuci´on Gaussiana ρ(x, τ) = (2α2 τπ)−1/2 e−x2 /2α2 τ . cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0. Esta distribuci´on es el propagador para la ecuaci´on del calor (o de difusi´on), con constante de difusi´on D = α2 /2, el cu´al puede ser interpretado como la probabilidad de una particula con una caminata aleatoria e inicialmente en cero est´e en x en el tiempo τ. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 12. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on 1 Una colecci´on {X(t)|t ≥ 0} de variables aleatorias es llamada proceso estoc´astico 2 Para cada punto ω ∈ Ω, el mapeo t → X(t, ω) es la correspondiente trayectoria de muestra. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 13. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on Un proceso estoc´astico real valuado W (·) se dice movimiento Browniano o proceso de Wiener si 1 W (0) = 0 a.s. 2 W (t) − W (s) es N(0, t − s) para toda t ≥ s ≥ 0, 3 Para todos los tiempos 0 < t1 < t2 < ... < tn, las variables aleatorias W (t1), W (t2) − W (t1), ..., W (tn) − W (tn−1) son independientes, es decir, incrementos independientes. Observaci´on E(W (t)) = 0, E(W 2 (t)) = t para t ≥ 0. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 14. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Teorema Sea (Ω, U, P), un espacio de probabilidad, en el que una cantidad numerable de variables aleatorias independientes, N(0,1) estan definidas. Entonces existe un movimiento Browniano unidimensional, definido para ω ∈ Ω, t ≥ 0. Cualquier proceso de Wiener tiene un versi´on con trayectorias de muestreo continuas c.t.p. Las trayectorias de muestreo son no diferenciables c.t.p. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 15. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Observaci´on Como las trayectorias de muestra son continuas c.t.p., podemos definir la variable aleatoria Y : Ωρ(R,) Y (ω) = t≥0 W (t, ω)dt, donde la integras es de Riemman. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 16. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena, tenemos que b a f (x)dx = t2 t1 f (x(t))˙x(t)dt, para x(t1) = a, x(t2) = a. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 17. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena, tenemos que b a f (x)dx = t2 t1 f (x(t))˙x(t)dt, para x(t1) = a, x(t2) = a. Pregunta Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral? f (W )dW = t2 t1 f (W (t)) ˙W (t)dt Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 18. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena, tenemos que b a f (x)dx = t2 t1 f (x(t))˙x(t)dt, para x(t1) = a, x(t2) = a. Pregunta Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral? f (W )dW = t2 t1 f (W (t)) ˙W (t)dt Respuesta No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 19. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena, tenemos que b a f (x)dx = t2 t1 f (x(t))˙x(t)dt, para x(t1) = a, x(t2) = a. Pregunta Usando esta idea ¿Podr´ıamos definir la siguiente integral? f (W )dW = t2 t1 f (W (t)) ˙W (t)dt Respuesta No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p. Pregunta Entonces, ¿Como podemos definir f (W )dW de manera que generalice nuestro concepto de integral? Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 20. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Consideremos {t0, t1, ..., tn} una partici´on del intevalo [t0, t1] y x(t) =    x0 t0 ≤ t < t1 x1 t1 ≤ t < t2 ... xn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn, de manera que x0 < ... < xn. Entonces b a F(x)dx = n−1 i=0 Fi [xi+1 − xi ] = n−1 i=0 Fi [x(ti+1) − x(ti )], donde Fi = F(xi ). Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 21. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partici´on del intevalo [t0, t1], consideremos el siguiente proceso por pasos G(t) =    G0 t0 ≤ t < t1 G1 t1 ≤ t < t2 ... Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 22. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partici´on del intevalo [t0, t1], consideremos el siguiente proceso por pasos G(t) =    G0 t0 ≤ t < t1 G1 t1 ≤ t < t2 ... Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn. Utilizando la idea anterior, tenemos la siguiente Definici´on T 0 GdW = n−1 i=1 Gi [W (ti+1) − W ti ]. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 23. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Observaci´on Recordemos que W (ti+1) − W (ti ) es una variable aleatoria y por tanto T 0 GdW es una variable aletoria. Lema (Propiedades de la integral estoc´astica para un proceso por pasos) Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2 (0, T) procesos por pasos, se tiene que 1 T 0 aG + bH dW = a T 0 G dW + b T 0 H dW , 2 E T 0 G dW = 0, 3 E T 0 G dW 2 = E T 0 G2 dt . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 24. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Pregunta ¿Podemos definir GdW para un clase m´as amplia de procesos estoc´asticos? Respuesta S´ı. De hecho, podemos definirlos para un tipo de procesos que se llaman progresivamente medibles. Observaci´on Sin embargo, es un poco complicado definir este concepto, y m´as si no se esta familiarizado con teor´ıa de la medida. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 25. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on L2 (0, T) es el espacio de todos procesos estoc´asticos progresivamente medibles, real-valuados G tales que E T 0 G2 dt < ∞. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 26. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Lema (Aproximaci´on por procesos por pasos) Si G ∈ L2 (0, T), entonces existe una sucesi´on de procesos por pasos, acotados Gn ∈ L2 (0, T), tal que E T 0 |G − Gn | 2 dt → 0 si n → ∞. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 27. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Esbozo de la demostraci´on. Si t → G(t, ω) es continuo para casi toda ω, podemos hacer Gn (t) := G( k n ), k n ≤ t < k + 1 n , k = 0, ..., [nT]. En general, para G ∈ L2 (0, T), definimos Gm (t) := t 0 mem(s−t) G(s)ds. Entonces, Gm ∈ L2 (0, T), t → Gm (t, ω) es continua para casi toda ω y T 0 |Gm − G| 2 dt → 0c.s.. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 28. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on Si G ∈ L2 (0, T), tomamos una sucesi´on Gn , como en el lema anterior. Entonces T 0 G dW = l´ım n→∞ T 0 Gn dW . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 29. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Teorema (Propiedades de la Integral de Itˆo) Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2 (0, T), se tiene que 1 T 0 aG + bH dW = a T 0 G dW + b T 0 H dW , 2 E T 0 G dW = 0, 3 E T 0 G dW 2 = E T 0 G2 dt . 4 E T 0 G dW T 0 H dW = E T 0 GH dt . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 30. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on Suponga que X(·) es una proceso estoc´astico real-valuado que satiface X(r) = X(s) + r s F dt + r s G dW para algunas F ∈ L1 (0, T), G ∈ L2 (0, T) y para todos los tiempos 0 ≤ s ≤ r ≤ T. Decimos que X(·) satifacen la diferencial estoc´astica dX = Fdt + GdW para 0 ≤ t ≤ T. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 31. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Teorema (La f´ormula de Itˆo) Suponga que u : R × [0, T] → R es continua y que ∂u ∂x , ∂u ∂t y ∂2 ∂x2 u existen y son continuas. Definamos Y (t) = u(W (t), t). Entonces Y tiene diferencial estoc´astica dY = ∂u ∂t dt + ∂u ∂x dW + 1 2 ∂2 u ∂x2 dt (3.1) = ∂u ∂t + 1 2 ∂2 u ∂x2 dt + ∂u ∂x dW . Decimos que (3.1) es la f´ormula de Itˆo o regla de la cadena de Itˆo. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 32. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Observaci´on 1 El argumento de u y sus derivadas es (W (t), t). 2 En vista de las definiciones, la expresi´on en (3.1) quiere decir que Y (r) − Y (s) = u(W (r), r) − u(W (s), s) (3.2) = r s ∂u ∂t (X, t) + 1 2 ∂2 u ∂x2 (W , t) dt + r s ∂u ∂x (W , t) dW c.s. 3 Para casi toda ω, la funciones t → ∂u ∂t (W (t), t), ∂u ∂x (W (t), t), ∂2 u ∂x2 (W (t), t) son continuas y entonces, los integrandos en (3.2) estan bien definidos. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 33. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on Sea E un conjunto no vac´ıo, ya sea abierto o cerrado de Rn . Entonces τ :=´ınf{t ≥ 0|X(t) ∈ E} (4.1) es un tiempo de paro. (Definimos τ = +∞, para las trayectorias de muestreo de X(·) que nunca tocan E.) Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 34. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Definici´on Si G ∈ L2 (0, T) y τ es un tiempo de paro con 0 ≤ t ≤ τ, definimos τ 0 GdW := T 0 1(t≤τ)GdW . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 35. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Lema (Integral de Itˆo con tiempos de paro.) Si G ∈ L2 (0, T) y 0 ≤ τ ≤ T es un tiempo de paro, entonces 1 E τ 0 G dW = 0 2 E τ 0 G dW 2 = E τ 0 G2 dt . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 36. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Por la f´ormula de Itˆo tenemos que u(W (t), t) − u(W (0), 0) = τ 0 ∂u ∂t + 1 2 ∆u + τ 0 ∂u ∂x dW , donde ∆u = ∂2 u ∂x2 . Si tomamos el valor esperado, obtenemos E (u(W (τ), τ)) − E (u(W (0), 0)) = E τ 0 ∂u ∂t + 1 2 ∆u ds . Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac
  • 37. El movimiento Browniano y la ecuaci´on del calor Integral estoc´asticas Diferenciales estoc´asticas Tiempos de paro F´ormulas probabilisticas para soluciones de EDP Ejemplo Sea U = (a, b) ⊂ R, ∂U = a, b. Consideremos el movimiento Browniano Wx (t) = W (t) + x, es decir, que comienza en x c.s., y τx = el primer tiempo en que W contacta ∂U. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial −1 2 ∆u(x) = 1, x ∈ U 0, x = a, b. satisface u(x) = E(τx ), para x ∈ U. Juliho David Castillo Colmenares La F´ormula de Feynman Kac