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Cálculo Integral
La Integral Definida. Área Bajo La
Curva.
M. en C. Juliho Castillo
31 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1
1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva.
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Propiedades de la Integral Definida
Ejercicios Resueltos
2
La Integral Definida. Área Bajo
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3
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Notación “Sigma”
4
La letra griega Σ denota adición repetida:
b
i=a
f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),
siempre que a ≤ b.
5
Ejemplo 1.1.
1
5
j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2
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i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 7
3
10
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j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.
6
Linealidad
Proposición 1.1.
b
i=a
cf(i) = c
b
i=a
f(i) (1.1)
b
i=a
f(i) + g(i) =
b
i=a
f(i) +
b
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g(i) (1.2)
7
La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Área bajo la curva
8
Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].
9
Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva
10
Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N
i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].
11
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donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].
11
Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
es fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h =
b − a
N
;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N
k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) .
12
Una manera más concreta de construir una suma de Riemman
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ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N;
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12
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N
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f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) .
12
Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
de cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemos
escoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a + k −
1
2
∗ h;
13
Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho
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ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a + k −
1
2
∗ h;
13
Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterior
aproxima el área sobre la curva.
Figura 1.2: Aproximación de área bajo la curva
14
Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambia
de signo en un intervalo, hablamos del área con signo.
Figura 1.3: Aproximación de área bajo la curva
15
Definición 1.1.
La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
b
a
f(x)dx = l´ım
N→∞
N
i=1
f(ξi)δxi ,
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce
como suma de Riemman.
16
Definición 1.1.
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Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce
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16
Ejemplo 1.2.
Calcule 5
1
1dx.
17
Ejemplo 1.3.
Calcule 5
0
xdx.
18
Ejemplo 1.4.
Calcule 5
1
xdx.
19
Proposición 1.2.
b
a
1dx = b − a (1.3)
b
a
xdx =
b2
2
−
a2
2
(1.4)
20
Ejemplo 1.5.
Aproxime la integral
b
a
1
√
2π
e−1
2
x2
dx
utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, con
a = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cada
intervalo.
21
Evaluación Continua 1.
Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando:
1 a = 0, b = 3, N = 4;
2 a = −2, b = 2, N = 8;
3 a = −3, b = 3, N = 16.
22
La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Propiedades de la Integral Definida
23
Propiedades: Linealidad
b
a
cf(x)dx = c
b
a
f(x)dx (1.5)
b
a
(f(x) + g(x)) dx =
b
a
f(x)dx +
b
a
g(x)dx (1.6)
24
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b
a
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a
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a
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a
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24
Propiedades: Límites
c
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx (1.7)
a
a
f(x)dx = 0 (1.8)
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx (1.9)
25
Propiedades: Límites
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f(x)dx =
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a
f(x)dx +
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b
a
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a
b
f(x)dx (1.9)
25
La Integral Definida. Área Bajo
La Curva.
Ejercicios Resueltos
26
Ejercicio Resuelto 1.
Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrar
que:
(a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces b
a f(x)dx ≥ 0.
(b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces
b
a
f(x)dx ≤
b
a
g(x)dx.
(c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces
m (b − a) ≤
b
a
f(x)dx ≤ M (b − a) .
27
Ejercicio Resuelto 2.
Evalue 1
0
x2
dx
a partir de la definición.
28
Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre la fórmula
n
k=1
k =
n (n + 1)
2
.
29
Bibliografía
Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``The
Definite Integral. Area Under a Curve'' de nuestro
libro de texto ``Ayres, F. and Mendelson,
E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;
5th Edition.''
30

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Cálculo Integral-Área Bajo Curva

  • 1. Cálculo Integral La Integral Definida. Área Bajo La Curva. M. en C. Juliho Castillo 31 de enero de 2017 Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana 1
  • 2. 1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva. Notación “Sigma” Área bajo la curva Propiedades de la Integral Definida Ejercicios Resueltos 2
  • 3. La Integral Definida. Área Bajo La Curva. 3
  • 4. La Integral Definida. Área Bajo La Curva. Notación “Sigma” 4
  • 5. La letra griega Σ denota adición repetida: b i=a f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b), siempre que a ≤ b. 5
  • 6. Ejemplo 1.1. 1 5 j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 2 3 i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 3 10 i=2 i2 = 22 + 32 + ... + 102 4 4 j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π. 6
  • 7. Linealidad Proposición 1.1. b i=a cf(i) = c b i=a f(i) (1.1) b i=a f(i) + g(i) = b i=a f(i) + b i=a g(i) (1.2) 7
  • 8. La Integral Definida. Área Bajo La Curva. Área bajo la curva 8
  • 9. Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b]. 9
  • 10. Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva 10
  • 11. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman). 1 Dividimos el intervalo en N subintervalos a = x0 < x1 < ... < xN = b. 2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como δxi = xi+1 − xi. 3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por N i=1 f(ξi)δxi, donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1]. 11
  • 12. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman). 1 Dividimos el intervalo en N subintervalos a = x0 < x1 < ... < xN = b. 2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como δxi = xi+1 − xi. 3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por N i=1 f(ξi)δxi, donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1]. 11
  • 13. Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman). 1 Dividimos el intervalo en N subintervalos a = x0 < x1 < ... < xN = b. 2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como δxi = xi+1 − xi. 3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por N i=1 f(ξi)δxi, donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1]. 11
  • 14. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman es fijando el tamaño del paso: 1 Definimos h = b − a N ; 2 Escogemos ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N; 3 La suma de Riemann correspondiente será N k=1 f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) . 12
  • 15. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman es fijando el tamaño del paso: 1 Definimos h = b − a N ; 2 Escogemos ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N; 3 La suma de Riemann correspondiente será N k=1 f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) . 12
  • 16. Una manera más concreta de construir una suma de Riemman es fijando el tamaño del paso: 1 Definimos h = b − a N ; 2 Escogemos ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N; 3 La suma de Riemann correspondiente será N k=1 f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN )) . 12
  • 17. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho de cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemos escoger por ejemplo: el extremo izquierdo: ξk = a + (k − 1) ∗ h; o el punto medio de cada intervalo: ξk = a + k − 1 2 ∗ h; 13
  • 18. Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derecho de cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemos escoger por ejemplo: el extremo izquierdo: ξk = a + (k − 1) ∗ h; o el punto medio de cada intervalo: ξk = a + k − 1 2 ∗ h; 13
  • 19. Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterior aproxima el área sobre la curva. Figura 1.2: Aproximación de área bajo la curva 14
  • 20. Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambia de signo en un intervalo, hablamos del área con signo. Figura 1.3: Aproximación de área bajo la curva 15
  • 21. Definición 1.1. La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por b a f(x)dx = l´ım N→∞ N i=1 f(ξi)δxi , siempre y cuando el límite exista. Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]). La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce como suma de Riemman. 16
  • 22. Definición 1.1. La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por b a f(x)dx = l´ım N→∞ N i=1 f(ξi)δxi , siempre y cuando el límite exista. Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]). La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce como suma de Riemman. 16
  • 23. Definición 1.1. La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por b a f(x)dx = l´ım N→∞ N i=1 f(ξi)δxi , siempre y cuando el límite exista. Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]). La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conoce como suma de Riemman. 16
  • 27. Proposición 1.2. b a 1dx = b − a (1.3) b a xdx = b2 2 − a2 2 (1.4) 20
  • 28. Ejemplo 1.5. Aproxime la integral b a 1 √ 2π e−1 2 x2 dx utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, con a = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cada intervalo. 21
  • 29. Evaluación Continua 1. Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando: 1 a = 0, b = 3, N = 4; 2 a = −2, b = 2, N = 8; 3 a = −3, b = 3, N = 16. 22
  • 30. La Integral Definida. Área Bajo La Curva. Propiedades de la Integral Definida 23
  • 31. Propiedades: Linealidad b a cf(x)dx = c b a f(x)dx (1.5) b a (f(x) + g(x)) dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx (1.6) 24
  • 32. Propiedades: Linealidad b a cf(x)dx = c b a f(x)dx (1.5) b a (f(x) + g(x)) dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx (1.6) 24
  • 33. Propiedades: Límites c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx (1.7) a a f(x)dx = 0 (1.8) b a f(x)dx = − a b f(x)dx (1.9) 25
  • 34. Propiedades: Límites c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx (1.7) a a f(x)dx = 0 (1.8) b a f(x)dx = − a b f(x)dx (1.9) 25
  • 35. Propiedades: Límites c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx (1.7) a a f(x)dx = 0 (1.8) b a f(x)dx = − a b f(x)dx (1.9) 25
  • 36. La Integral Definida. Área Bajo La Curva. Ejercicios Resueltos 26
  • 37. Ejercicio Resuelto 1. Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrar que: (a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces b a f(x)dx ≥ 0. (b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces b a f(x)dx ≤ b a g(x)dx. (c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces m (b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ M (b − a) . 27
  • 38. Ejercicio Resuelto 2. Evalue 1 0 x2 dx a partir de la definición. 28
  • 39. Ejercicio Resuelto 3. Demuestre la fórmula n k=1 k = n (n + 1) 2 . 29
  • 40. Bibliografía Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``The Definite Integral. Area Under a Curve'' de nuestro libro de texto ``Ayres, F. and Mendelson, E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill; 5th Edition.'' 30