Curso introductorio a la teoría de conjuntos, basado en lógica matemática y cálculo proposicional, dirigido a estudiantes de tecnologías de la información.

1. Matem´aticas Discretas
Teor´ıa de Conjuntos
M. en C. Juliho Castillo
16 de febrero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de M´exico
1

2. 1 Teor´ıa de Conjuntos
Conjuntos y Elementos. Subconjuntos
Especificaci´on de Conjuntos
Subconjuntos
S´ımbolos especiales
Conjunto Universal y Conjunto Vac´ıo
2

3. Conjuntos disjuntos
Diagramas de Venn
Operaciones con Conjuntos
Uni´on e Intersecci´on
Complementos, Diferencias y Diferencias Sim´etricas
´Algebra de conjuntos, dualidad
3

4. Inducci´on Matem´atica
4

5. Teor´ıa de Conjuntos
5

6. Teor´ıa de Conjuntos
Conjuntos y Elementos. Subconjuntos
6

7. Un conjunto puede ser visto como un conjunto bien definido
de objetos, llamados elementos o miembros de tal conjunto.
Usualmente, usaremos letras may´usculas para denotar
conjunto, y min´usculas para dlos elementos.
7

8. Un conjunto puede ser visto como un conjunto bien definido
de objetos, llamados elementos o miembros de tal conjunto.
Usualmente, usaremos letras may´usculas para denotar
conjunto, y min´usculas para dlos elementos.
7

9. La pertenencia en un conjunto se denota de la siguiente
manera:
a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S.
a, b ∈ S denota que tanto a como b pertenecen al conjunto S.
El s´ımbolo ∈ significa ‘‘es elemento de’’. Por el
contrario, /∈ significa ‘‘no es elemento de’’.
8

10. La pertenencia en un conjunto se denota de la siguiente
manera:
a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S.
a, b ∈ S denota que tanto a como b pertenecen al conjunto S.
El s´ımbolo ∈ significa ‘‘es elemento de’’. Por el
contrario, /∈ significa ‘‘no es elemento de’’.
8

11. La pertenencia en un conjunto se denota de la siguiente
manera:
a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S.
a, b ∈ S denota que tanto a como b pertenecen al conjunto S.
El s´ımbolo ∈ significa ‘‘es elemento de’’. Por el
contrario, /∈ significa ‘‘no es elemento de’’.
8

12. Especificaci´on de Conjuntos
9

13. B´asicamente, existen dos maneras de especificar un conjunto
en particular. Por un lado, si es posible, enlistar todos los
miembros. Por otro lado, caracterizando los elementos en el
conjunto.
10

14. B´asicamente, existen dos maneras de especificar un conjunto
en particular. Por un lado, si es posible, enlistar todos los
miembros. Por otro lado, caracterizando los elementos en el
conjunto.
10

15. B´asicamente, existen dos maneras de especificar un conjunto
en particular. Por un lado, si es posible, enlistar todos los
miembros. Por otro lado, caracterizando los elementos en el
conjunto.
10

16. En cualquier caso, para declarar un conjunto se utilizan llaves:
A = {· · ·}
11

17. Por ejemplo, el conjunto
A = {1, 3, 5, 6, 9}
tambi´en se puede especificar como
A = {x ∈ N | x < 10, 2 x}
12

18. Un conjunto no depende del modo en que sus elementos se
muestren. Este permanece igual si sus elementos se repiten o
se reacomodan.
13

19. Un conjunto no depende del modo en que sus elementos se
muestren. Este permanece igual si sus elementos se repiten o
se reacomodan.
13

20. Ejemplo 1.1.
x ∈ R|x2
− 3x + 2 = 0 = {1, 2} (1.1)
= {1, 2, 2, 1} (1.2)
14

21. Subconjuntos
15

22. Supongamos que cada elemento en un conjunto A es tambi´en
elemento del conjunto B, es decir,
x ∈ A ⇒ x ∈ B.
16

23. En ese caso, decimos que A es subconjunto de B. Tambi´en
podemos decir que A est´a contenido en B o que B contiene a
A.
17

24. En ese caso, decimos que A es subconjunto de B. Tambi´en
podemos decir que A est´a contenido en B o que B contiene a
A.
17

25. Esta relaci´on se escribe como
A ⊂ B
o en ocasiones como B ⊃ A. Por el contrario, si es necesario
indicar que A no es subconjunto de B, escribimos A ⊂ B.
18

26. Esta relaci´on se escribe como
A ⊂ B
o en ocasiones como B ⊃ A. Por el contrario, si es necesario
indicar que A no es subconjunto de B, escribimos A ⊂ B.
18

27. Diremos que dos conjuntos son iguales si poseen los mismos
elementos, es decir,
x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.
19

28. De manera equivalente
A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A.
20

29. Ejemplo 1.2.
Determine la relaci´on entre los siguientes conjuntos
A = {1, 3, 4, 7, 8, 9} , B = {1, 2, 3, 4, 5} , C = {1, 3} .
21

30. Ejemplo 1.3.
Demuestre que
1 A ⊂ B si y solo ∃x ∈ A : x /∈ B.
2 A ⊂ A.
3 A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
22

31. S´ımbolos especiales
23

32. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

33. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

34. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

35. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

36. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

37. Algunos conjuntos num´ericos tienen una notaci´on especial
N : n´umeros naturales (enteros positivos);
Z : n´umeros enteros;
Q : n´umeros racionales;
R : n´umeros reales;
C : n´umeros complejos.
24

38. Observe que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C,
pero en ning´un caso los conjuntos son iguales.
25

39. Conjunto Universal y Conjunto Vac´ıo
26

40. Todos los conjuntos bajo investigaci´on en una apliaci´on de
teor´ıa de conjuntos se supone que pertenecen a un conjunto
fijo m´as grande llamado conjunto universo U, al menos que se
indique otro caso.
27

41. Dado un conjunto universal U y una propiedad P, es posible
que no existan elemento de U con la propiedad P.
28

42. Por ejemplo, el siguiente conjunto no tiene elementos
S = x ∈ Z | x2
= 3 .
29

43. A tal conjunto sin elementos {} se le conoce como conjunto
vac´ıo y se denota como ∅.
30

44. Observaci´on 1.1.
S´olo existe un conjunto vac´ıo. El conjunto vac´ıo es
subconjunto de cualquier otro conjunto.
31

45. Observaci´on 1.1.
S´olo existe un conjunto vac´ıo. El conjunto vac´ıo es
subconjunto de cualquier otro conjunto.
31

46. Conjuntos disjuntos
32

47. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en
com´un.
33

48. Ejemplo 1.4.
Considere
A = {1, 2} , B = {4, 5, 6} , C = {5, 6, 7, 8} .
Determine que pares de conjuntos son disjuntos.
34

49. Teor´ıa de Conjuntos
Diagramas de Venn
35

50. Un diagrama de Venn es una representaci´on gr´afica de
conjuntos en el que cada conjunto est´a representado por ´areas
encerradas en el plano.
36

51. El conjunto universo U es representado por el interior de un
rect´angulo, y cualquier otro conjunto esta representado por
discos que viven dentro del rect´angulo.
37

52. Figura 1.1: Representaciones con Diagramas de Venn
38

53. Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
39

54. En esta secci´on introduciremos la uni´on, la intersecci´on y el
complemento de conjuntos.
40

55. Uni´on e Intersecci´on
41

56. La uni´on de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A o a B, es decir
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .
42

57. La uni´on de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A o a B, es decir
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .
42

58. La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen a A y a B, es decir
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} .
43

59. La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen a A y a B, es decir
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} .
43

60. Figura 1.2: Uni´on e Intersecci´on
44

61. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

62. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

63. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

64. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

65. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

66. Ejemplo 1.5.
Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 5, 6, 7} , C = {2, 3, 8, 9} .
Encuentre
1 A ∪ B =
2 A ∩ B =
3 A ∪ C =
4 A ∩ C =
5 B ∪ C =
6 B ∩ C =
45

67. Ejemplo 1.6.
Demuestre que para cualesquiera dos conjuntos A y B,
tenemos:
A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B.
46

68. Ejemplo 1.7.
Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:
1 A ⊂ B
2 A ∩ B = A
3 A ∪ B = B
47

69. Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si no tienen elementos
en com´un, es decir A ∩ B = ∅.
Supongamos que
S = A ∪ B, A ∩ B = ∅.
Diremos que S es la uni´on disjunta de A y B y se denota por
S = A B.
48

70. Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si no tienen elementos
en com´un, es decir A ∩ B = ∅.
Supongamos que
S = A ∪ B, A ∩ B = ∅.
Diremos que S es la uni´on disjunta de A y B y se denota por
S = A B.
48

71. Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si no tienen elementos
en com´un, es decir A ∩ B = ∅.
Supongamos que
S = A ∪ B, A ∩ B = ∅.
Diremos que S es la uni´on disjunta de A y B y se denota por
S = A B.
48

72. Complementos, Diferencias y Diferencias Sim´etricas
49

73. En esta secci´on, consideraremos conjuntos que sean
subconjuntos de un conjunto universo fijo U.
50

74. El complemento AC
de un conjunto A es el conjunto de
elementos que no pertenecen a A, es decir
AC
= {x ∈ U | x /∈ A} .
51

75. Algunos textos denotan AC
tambi´en como A o ¯A.
52

76. El complemento relativo de un conjunto B con respecto a un
conjunto A se define como
AB = {x | x ∈ A, x /∈ B} .
53

77. El conjunto AB se lee A menos B. Algunos textos lo
denotan tambi´en como A − B.
54

78. La diferencia sim´etrica de los conjuntos A y B se define como
A ⊕ B = (A ∪ B) (A ∩ B) .
55

79. Figura 1.3: Complementos, diferencia y diferencia sim´etrica.
56

80. ´Algebra de conjuntos, dualidad
57

81. Los conjuntos bajo las operaciones de uni´on, intersecci´on y
complemento satisface varias leyes o identidad, que se
enuncian en la siguiente tabla, y son similares a las leyes de
l´ogica.
58

82. Figura 1.4: Leyes de Conjuntos
59

83. Cada ley de conjuntos se corresponde con una ley de l´ogica.
Por ejemplo, la ley de DeMorgan:
(A ∪ B)C
= {x | x /∈ (A ∪ B)}
= {x | x /∈ A ∧ x /∈ B}
= AC
∩ BC
60

84. Dualidad
El principio de dualidad establece que la equivalencia E∗
obtenida a partir de una ley de l´ogica E reemplazando
∪, ∩, U, ∅
por
∩, ∪, ∅, U
sigue siendo una ley de l´ogica.
A la proposici´on E∗
se le conoce como dual E.
61

85. Dualidad
El principio de dualidad establece que la equivalencia E∗
obtenida a partir de una ley de l´ogica E reemplazando
∪, ∩, U, ∅
por
∩, ∪, ∅, U
sigue siendo una ley de l´ogica.
A la proposici´on E∗
se le conoce como dual E.
61

86. Ejemplo 1.8.
Encuentre el dual de
(U ∩ A) ∪ (B ∩ A) = A
62

87. Teor´ıa de Conjuntos
Inducci´on Matem´atica
63

88. Una propiedad esencial de los naturales N = {1, 2, 3, ...} es la
siguiente
Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on I).
Sea P una proposici´on definida en N, es decir, P(n) toma
valores de cierto o falso para cada n ∈ N.
Supongamos que
1 P(1) es cierto;
2 ∀k ∈ N : P(k) ⇒ P(k + 1).
Entonces P es cierto para todo entero positivo n ∈ N.
64

89. Una propiedad esencial de los naturales N = {1, 2, 3, ...} es la
siguiente
Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on I).
Sea P una proposici´on definida en N, es decir, P(n) toma
valores de cierto o falso para cada n ∈ N.
Supongamos que
1 P(1) es cierto;
2 ∀k ∈ N : P(k) ⇒ P(k + 1).
Entonces P es cierto para todo entero positivo n ∈ N.
64

90. Ejemplo 1.9.
Sea P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
. Demostrar que
P(n) es cierta para toda n ∈ N.
65

91. Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on II).
Sea P una proposici´on definida en N tal que :
1 P(1) es cierta;
2 P(k) es cierta siempre que P(j) para toda 1 ≤ j < k.
Entonces P(n) es cierta para toda n ∈ N.
66

92. Observaci´on 1.2.
Algunas veces, uno desea demostrar que una proposici´on es
cierta para alg´un conjunto de enteros
{a, a + 1, a + 2, ...}
donde a es un entero positivo, posiblemente cero. Esto puede
hacerse simplemente reemplazando 1 por a en cualquier
versi´on del Principio de Inducci´on Matem´atica.
67

93. Ejercicio Resuelto 1.
Demostrar que
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n =
1
2
n (n + 1)
es cierto para todo n ∈ N.
68

94. Ejercicio Resuelto 2.
Demostrar que
P(n) : 1 + 2 + 22
+ ... + 2n
= 2n+1
− 1
es cierto para todo n ∈ N.
69