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UNIDAD III
UNIDAD XII
Verificar la mejor solución
U
n applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por
ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un
programa anfitrión, mediante un plugin (complemento), o en aplicaciones como teléfonos móviles
que soportan el modelo de programación por 'applets'.
Un Java applet es un código JAVA que carece de un método main, por eso se utiliza principalmente
para el trabajo de páginas web, ya que es un pequeño programa que es utilizado en una página HTML y
representado por una pequeña pantalla gráfica dentro de ésta.
Comunicación matemática
•	 Reconocer y utilizar todas las fórmulas de
identidades trigonométricas.
Análisis y demostración
•	 Definir las ecuaciones e identificar las pri-
meras soluciones básicas y su aplicación.
Resolución de problemas
•	 Resolver problemas que involucren las
soluciones básicas.
•	 Resolver problemas de contexto y solu-
ción general.
•	 Identificar las ecuaciones, valor principal
y estrategias para la resolución de proble-
mas.
Pantalla de un applet de Java,
explicando la medida con un
micrómetro
Razonamiento Matemático
217
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
Ecuaciones trigonométricas
Conceptos básicos
Definición
Son aquellas ecuaciones, donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos, como toda
igualdad condicional se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita) presente, denominándose
a estos valores soluciones de la ecuación trigonométrica.
	 Ejemplos:
•	 senx + cosx = 1 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
•	 tanx + sec2x = 3 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
•	 3x + tanx = 2 ⇒ 	No es ecuación trigonométrica
¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita, que
verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las
funciones trigonométricas; no solo se encontraron una o dos soluciones, sino que generalmente existirá
una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual, se hace necesario el uso de fórmulas que permiten
encontrar el conjunto global de las soluciones de la ecuación trigonométrica, llamada solución general de
la ecuación trigonométrica.
	 Ejemplos:
•	 Si tuviésemos que resolver una ecuación sencilla como: senx =
1
2
→ x = 30°; 150°; ...
	 estas son solo dos soluciones, pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo ten-
dríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a las ya indicadas.
	 Esto es:
	
x = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°, ...
+360° +360°
+360° +360°
	 También:
	
x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30°, 150°
– 360° – 360°
–360° –360°
	 Es decir: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30° , 150°, 390°, 510°, 750°, ...
	 Estás son algunas soluciones particulares de la ecuación trigonométrica, y en lo sucesivo tendre-
mos que aplicar este criterio para determinarla (la explicación es por que los ángulos a obtener son
coterminales con los primeros).
¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?
Ecuaciones trigonométricas elementales (E.T.E.)
R.T.(x) = n
Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones, y se les va agregando o
restando múltiplos de 360°, como en el apunte anterior.
218
Ecuaciones trigonométricas
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	 Ejemplos:
•	 senx = 2
2
x = 45°, 135°, 405°, 495°, 765°, ...
+360° +360°
+ 360° + 360°
x = – 585°, – 315°, – 225°, 45°, 135°, ...
– 360° – 360°
– 360°
Pero la pregunta evidente es: ¿Cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio.
a)	 Si la ecuación trigonométrica es:
R.T.(x) = n; n > 0
	 Normalmente habrá una solución para x ∈ IC, aguda, si esta es "q" entonces la otra solución depende-
rá del cuadrante en el que se ubique este. Si la solución aguda es: x = q.
	 Y si hubiera otra en el:
IIC ⇒ sería: x = 180° – q IIIC ⇒ sería: x = 180° + q IVC ⇒ sería: x = 360°– q
	 Ejemplos:
I.	 tanx = 3 ⇒ x = 60°
	 Como "tanx" es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
	 Luego: x = 60°, 240°, ... aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°.
II.	 cosx =
2
1 ⇒ x = 60°
	 Como "cosx" es positivo, la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°
Luego: x = 60°, 300°, 420°, 660°, ...
+360°
+360°
III.	 cotx = 3 ⇒ x = 30°
	 La otra solución debe ser del IIIC (ya que "cotx" es positiva), es decir: x = 180° + 30° ⇒ x = 210°
Luego: x = 30°, 210°, 390°, 570°, ...
+360°
+360°
b)	 Si la ecuación trigonométrica elemental es:
R.T.(x) = n; n < 0
	 En este caso, resuelva a modo de ayuda, la ecuación R.T.(x) = |n|, y calcule la ecuación aguda de dicha
ecuación, con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, solo que ahora la
R.T.(x) es negativa.
	 Ejemplos:
I.	 senx = – 3
2
	
Resolvemos: senx = 3
2
⇒ x = 60°
Razonamiento Matemático
219
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
	 Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego:
	 IIIC: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
	 IVC: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°
	Luego:
	
x = 240°, 300°, 600°, 660°, ...
+360°
+360°
II.	 cosx = – 2
2
	
Resolvemos: cosx = 2
2
⇒ x = 45°
	 Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos:	 IIC: x = 180° – 45° ⇒ x = 135°
		 IIIC: x = 180° + 45° ⇒ x = 225°
	Luego:
	
x = 135°, 225°, 495°, 585°, ...
+360°
+360°
III.	 tanx=– 3
3
	 Resolvemos: tanx = 3
3
⇒ x = 30°
	 Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos:	 IIC: x = 180° – 30° ⇒ x = 150°
		 IVC: x = 360° – 30° ⇒ x = 330°
	 Luego: x = 150°, 330°, 510°, 690°, ...
Ecuaciones trigonométricas no elementales
Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas
de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea de simplificar la
ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma
y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple, así como transformaciones trigonométricas y
teoría de funciones trigonométricas inversas), reduciendo a la forma elemental o quizás de la forma:
R.T.(Bx + q) = n
para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental.
Ejemplos:
•	 Resolver e indicar algunas soluciones de:
I.	 tan2x (1 – sen2x) cscx =
1
2
	 Por identidades trigonométricas, reducimos:
sen2x
cos2x
. cos2x .
1
senx
=
1
2
⇒ senx =
1
2
	 note que: cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ 0
	 Luego: x = 30°, 150°, 390°, ...
	 	
		 180° – 30°
220
Ecuaciones trigonométricas
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II.	 sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
	 Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
	 Luego: sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
	 	 	 	 	
		 a	 b	 b	 a
	 sen(3x – 2x) = 1 ⇒ senx=1 ⇒ x = 90°, 450°, ...
III.	 sen(3x–15°)=
2
3
	 En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuel-
ve de manera similar, pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita.
		 + 360°
		
		 3x – 15° = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
		
		 + 360°
		 3x = 60° + 15°, 120° + 15°, 420° + 15°, 480° + 15°, ...
		
x =
75°
3
;
135°
3
;
435°
3
;
495°
3
; ...
		 x = 25°, 45°, 145°, 165°, ...
IV.	 senx . cosx . cos2x = 3
8
	 Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq . cosq
	 Tenemos:	 2senx cosx cos2x = 3
8
. 2	 (multiplicando × 2)
	 	
		
sen2x . cos2x = 3
4
		 (otra vez × 2)
		
2sen2x . cos2x = 3
4
. 2 ⇒ sen4x = 3
2
	 Luego:	 4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
		 x = 15°, 30°, 105°, 120°, ...
	 Nota: Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver,
con el perder soluciones o agregar soluciones, se mantienen, así que debemos tener cuidado con
las simplificaciones de términos que contienen a la incógnita.
V.	 1 + sen2x = senx + cosx
	 En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
	 Luego la ecuación, quedaría así:	 (senx + cosx)2 = senx + cosx
	 Cancelando: (senx + cosx):	 senx + cosx = 1	 (multiplicando por: 2/ 2)
		 2(senx . 1
2
+ cosx . 1
2
) = 1
	 	 	
		 cos45°	 sen45°
		 2(senx . cos45° + cosx . sen45°) = 1
	 	 144444424444443
		 2sen(x + 45°) = 1 → sen(x + 45°) = 1
2
. 2
2
= 2
2
Razonamiento Matemático
221
1
Trigonometría
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		 + 360°
		
	 Luego: x + 45° = 45°, 135°, 405°, 495°, ...
		
		 + 360°
	 x = 0°, 90°, 360°, 450°, ...
	 Pero, para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0); esto es:
	 senx + cosx = 0 ⇒ senx = – cosx ⇒ senx
cosx
= – 1 ⇒ tanx = – 1 (x ∈ IIC ∧ IVC)
	 Recuerde que primero resuelva: tanx = 1 ⇒ x = 45°
	 Luego las soluciones serían:	 IIC: x = 180° – 45° = 135°
		 IVC: x = 360° – 45° = 315° ⇒ x = 135°, 315°, ...
VI.	 senx + cos2x = 1
	 En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una
misma variable(x), para ello recuerda que: cos2q = 1 – 2sen2q.
	 Luego, quedaría así:	 senx + cos2x = 1 ⇒ senx + 1 – 2sen2x = 1 ⇒ senx = 2sen2x
	
Cancelando: 1 = 2senx ⇒ senx =
1
2
⇒ x = 30°, 150°, 390°, ...
	 Pero, como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es:
	 senx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, ...
Obtención de la solución general
Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales, así que la idea
central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental, para ello es bueno recordar:
1.	 Es preferible una sola variable a diferentes variables
2.	 Es preferible una R.T. a diferentes R.T.
3.	 Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica
igualarlo a cero para no perder soluciones.
4.	 Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable, hay una posibilidad de aplicar
transformaciones trigonométricas para reducirlo.
5.	 Si el valor de la R.T. encontrada no es notable de la solución general, se aplicará la notación de F.T.
inversas.
Donde:	Vp → Valor principal.
		 xg → es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita de donde se despeja.
Encontramos Hacemos Donde
senxg = a xg = np +(–1)nVp
– p
2
≤ Vp ≤ p
2
cosxg = a xg = 2np ± Vp 0 ≤ Vp ≤ p
tanxg = a xg = np + Vp
– p
2
< Vp < p
2
222
Ecuaciones trigonométricas
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Ejemplos:
Resolver y dar la solución general.
I.	 sen2x =
1
2
	 Tenemos: Vp = arcsen
1
2
= 30° <> p
6
⇒ xg = 2x
	xg = np + (– 1)nVp ⇒ 2x = np + (– 1)n . p
6
⇒ x = np
2
+ (– 1)n . p
12
II.	 cos3x = 1
	 Tenemos: Vp = arccos1 = 0 ⇒ xg = 3x
	 Luego: xg = 2np ± Vp ⇒ 3x = 2np ± 0 ⇒ x = 2np
3
III.	 tan5x = 1
	 Tenemos: Vp = arctan1 = 45° <> p
4
⇒ xg = 5x
	
Luego: xg = np + Vp ⇒ 5x = np + p
4
⇒ x = np
5
+ p
20
Síntesis teórica
Razonamiento Matemático
223
1
Trigonometría
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Problemas resueltos
1.	 Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
a)	 180°	 b)	 120°	 c)	 200°	 d)	 240°	 e)	 360°
	 Resolución:
Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así:
		 1 + cosx = 2sen2x ⇒ 1 + cosx = 2(1 – cos2x)
Factorizando:	 1 + cosx = 2(1 + cosx)(1 – cosx)
Cancelando "1 + cosx" quedaría:	 1 = 2(1 – cosx)
		
cosx =
1
2
⇒ x = 60°, 300°
Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones:
1 + cosx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ x = 180°, 540°
Las dos primeras soluciones positivas son 60° y 180° ⇒ suma = 240°
2.	 Resolver: sec2x = 3tanx + 1, indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta.
a)	 1	 b)	 2	 c)	 3	 d)	 4	 e)	 5
	 Resolución:
Recuerde que: sec2q = 1 + tan2q
En la ecuación: sec2x = 3tanx + 1 ⇒ 1 + tan2x = 3tanx + 1
quedaría:	tan2x = 3tanx
cancelando "tanx", queda: tanx = 3	 ⇒ x = 60°, 240°, 420°, 600°, ...
Pero el factor cancelado: tanx = 0	 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, 540°, ...
Pero piden soluciones positivas y menores que una vuelta, las cuales son: x = 60°, 180°, 240°
 Rpta.: = 3
3.	 Resolver: senx – 3cosx = 1, indicando el menor valor positivo que cumple.
a)	 30°	 b)	 60°	 c)	 90°	 d)	 135°	 e)	 180°
	 Resolución:
En la expresión: senx – 3cosx = 1	
Recuerde que: Asenx – Bcosx = A2 + B2sen(x – q), tanq =
B
A
Luego: senx – 3cosx = 1	 ⇒ 2sen(x – 60°) = 1, ya que: tanq = 3 ⇒ q = 60°
		 sen(x – 60°) =
1
2
⇒ x – 60° = 30°; 150°, ...
		 x = 90°, 210°, ...	 ⇒ xMenor(+) = 90°
224
Ecuaciones trigonométricas
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4.	 Resolver: sen5x + senx = sen3x, señalando un conjunto solución (n ∈ Z).
a)	 np
6
	 b)	np ± p
6
	c)	
np
3
	 d)	a ∪ b	 e)	 b ∪ c
Resolución:
En la ecuación recuerde:	 sena + senb = 2sen a + b
2
cos a – b
2
		 sen5x + senx = sen3x
		 2sen3x . cos2x = sen3x
Cancelamos "sen3x", quedaría:
2cos2x = 1 ⇒ cos2x =
1
2
⇒ Vp = arccos
1
2
= p
3
⇒ xg = 2x
Luego: 2x = 2np ± p
3
⇒ np ± p
6
Pero el factor cancelado se iguala a 0, esto es: sen3x = 0 ⇒ Vp = arcsen0 = 0 ⇒ xg = 3x
3x = np + (– 1)n . 0 ⇒ 3x = np ⇒ x = np
3
 x = np  p
6
; n ∈ Z ∪ np
3
; n ∈ Z
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
Resolver e indicar las dos soluciones básicas de las
siguientes ecuaciones:
1.	 senx =
1
2
	 ⇒	 x =
2.	 cosx = – 2
2
	 ⇒	 x =
3.	 tanx = 3	 ⇒	 x =
Indicar el valor principal de cada ecuación:
4.	 senx = 3
2
	 ⇒	Vp =
5.	 cosx = 2
2
	 ⇒	Vp =
6.	 tanx = – 1	 ⇒	Vp =
Aprende más...
1.	 Resuelve: 2senx = 1, si: 0 < x < 180°
a)	 60°; 120°	 b)	 45°; 135°	 c)	 36°; 144°	
d)	 30°; 150°	 e)	 40°; 140°
2.	 Resuelve: 2cosx = 3, x ∈ 〈0; 360°〉
a)	 60°; 120°	 b)	 45°; 135°	 c)	 36°; 324°	
d)	 30°; 150°	 e)	 30°; 330°
3.	 Resuelve: tanx – 3 = 0; x ∈ 〈0; 180°〉
a)	 60°	 b)	 45°	 c)	 36°		
d)	 30°	 e)	 22°30'
4.	 Resuelve la ecuación: tan4x = – 3, calcular la
segunda solución positiva.
a)	 p
6	
b)	 5p
12
	c)
	
7p
12		
d)
	
11p
12 	
e)
	
9p
12
Razonamiento Matemático
225
1
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5.	 Resuelve: 4cos2x – 3 = 0; si: 0 < x < 360°
a)	 30°; 150°; 210°; 330°			
b)	 60°; 120°; 210°; 350°			
c)	 30°; 60°; 150°; 210°			
d)	 30°; 45°; 150°; 315°			
e)	 30°; 150°; 210°; 240°
6.	 Sume las tres primeras soluciones positivas de:
cos3x =
1
2
a)	 170°	 b)	 240°	 c)	 300°		
d)	 260°	 e)	 270°
7.	 Sume las dos primeras soluciones positivas de:
sen2x –
1
2
= 0
a)	 180°	 b)	 360°	 c)	 90°		
d)	 270°	 e)	 135°
8.	 Sume las dos primeras soluciones positivas de:
tan5x = 1
a)	 45°	 b)	 75°	 c)	 135°		
d)	 145°	 e)	 180°
9.	 Si: "x1" y "x2" son los dos primeros valores po-
sitivos de "x" que verifican: 2sen2x + cosx = 1
	 Calcular: sen(x1 – x2), si: x1 < x2
a)
	
3
2 	
b)
	
1
2	
c)	1
		
d)	–
1
2	
e)	– 3
2
10.	Resuelve:
	sen2x – cos2x – cosx = 1; si: 0 < x < p
a)	 p
4
; p
2	
b)	 p
3
; p
4
	c)
	
p
2
; 2p
3 		
d)
	
p
2
; 3p
4 	
e)
	
p
2
; 5p
6
11.	Resuelve: 3senx + 2 = cos2x, indica el número
de soluciones en el intervalo [p; 2p].
a)	 0	 b)	 1	 c)	 2		
d)	3	 e)	4
12.	Señale la solución general de la ecuación:
	 5tanx . cosx + senx = 3 2
a)	np + (–1)np
4	
b)	np + (–1)np
3
		
c)	np + (–1)np
6
	 d)	np + (–1)np
8		
e)	np + (–1)np
5
13.	Señale la solución general de la ecuación:
	 5senx . cotx – 3 = 3cosx
a)	2np ± p
6	
b)	2np ± p
4
	 c)	np ± p
8
	
d)	2np ± p
5	
e)	2np ± p
3
14.	Señale la solución general de la ecuación:
	 secx . cscx – ctgx = 1
a)	np + p
3	
b)	np + p
4
	 c)	np + p
6
	
d)	np + p
10	
e)	np + p
12
15.	Resolver: 3sen2x = cosx
a)	2np ± p
2	
b)	np+ (–1)narcsen1
6
		
c)	2np ± p
4
	 d)	 a y b
	
e)	 b y c
¡Tú puedes!
1.	 Resuelve la ecuación: 2 + tanx + 2 – tanx = 2tanx
a)	 30°	 b)	 45°	 c)	 53°	 d)	 60°	 e)	 3p
2.	 Si "q" es un parámetro, resuelve el sistema: senx + seny =
1
2
cscq –
cos2q
senq
a)	 x = 2q	 b)	 x = 0	 c)	 x = q
2
+30º	 d)	 x = 90°	 e)	 x = q
226
Ecuaciones trigonométricas
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1.	 Resuelve: sen2x = sen3x
2.	 Resuelve: tanx = tan6x
3.	 Resuelve: cos3x = cos5x
4.	 Resolver:
	 (sen4x + cos4x)(senx + cosx) = 1 + sen5x
	 Indicando la suma de los tres primeros valores
positivos de "x".
5.	 Resolver: sen5x + senx = 0
6.	 Resolver: senx + cos2x = 1
7.	 Resolver: sen3x – 2senx = 1
2
tanx
8.	 ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación?
	 2senx – 1 = x2
9.	 Resolver:
1
1 + tan2x
+
1
1 + cot2x
+
1
1 – sen2x
+
1
1 – cos2x
= 5
	 indicando el número de soluciones en 〈0; 2p〉
3.	 Resuelve: arcsen
5
x
+ arcsen
12
x
= p
2
a)	 5	 b)	 4	 c)	 3	 d)	 12	 e)	 13
4.	 Resuelva el sistema: senx = cos2y ∧ sen2x = cosy
a)	 x = y = 30°	 b)	 x = y = 45°	 c)	 x = 2y = 60°	 d)	 x = 3y = 60°	 e)	 x = y = 60°
5.	 Resuelve la siguiente ecuación e indica la suma de soluciones en 〈0; 2p〉
sen
x
2
+ sen
3x
2
= senx
a)	 13p
3 	
b)	 5p
3
	c)
	
7p
3 	
d)
	
11p
3 	
e)
	
8p
3
Practica en casa
18:10:45
10.	 Determine la suma de soluciones de la ecuación:
.cos
sen x x
2 2 4
2
= , en el intervalo de [0; 2p]
11.	Determine la suma de soluciones de la ecua-
ción:
	
tanx + 3
tan x + p
3
= 4, en el intervalo de [0; 2p]
12.	Resolver: sen3x . cscx + cos3x . secx = 2
13.	Resolver:
	(4sen3x + sen3x)(4cos3x – cos3x) =
9
4
(n ∈ Z)
14.	Resolver la ecuación:
	sen8x + cos8x =
1
8
; n ∈ Z
15.	Resolver el sistema de ecuaciones:
		 senx + seny = sen(x + y)
		 |x| + |y| = 1
	 Señale el número de soluciones.

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Trigonometria 12

  • 1. UNIDAD III UNIDAD XII Verificar la mejor solución U n applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un programa anfitrión, mediante un plugin (complemento), o en aplicaciones como teléfonos móviles que soportan el modelo de programación por 'applets'. Un Java applet es un código JAVA que carece de un método main, por eso se utiliza principalmente para el trabajo de páginas web, ya que es un pequeño programa que es utilizado en una página HTML y representado por una pequeña pantalla gráfica dentro de ésta. Comunicación matemática • Reconocer y utilizar todas las fórmulas de identidades trigonométricas. Análisis y demostración • Definir las ecuaciones e identificar las pri- meras soluciones básicas y su aplicación. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren las soluciones básicas. • Resolver problemas de contexto y solu- ción general. • Identificar las ecuaciones, valor principal y estrategias para la resolución de proble- mas. Pantalla de un applet de Java, explicando la medida con un micrómetro
  • 2. Razonamiento Matemático 217 1 Trigonometría Unidad XII Central: 619-8100 Ecuaciones trigonométricas Conceptos básicos Definición Son aquellas ecuaciones, donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos, como toda igualdad condicional se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita) presente, denominándose a estos valores soluciones de la ecuación trigonométrica. Ejemplos: • senx + cosx = 1 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica • tanx + sec2x = 3 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica • 3x + tanx = 2 ⇒ No es ecuación trigonométrica ¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica? Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita, que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las funciones trigonométricas; no solo se encontraron una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual, se hace necesario el uso de fórmulas que permiten encontrar el conjunto global de las soluciones de la ecuación trigonométrica, llamada solución general de la ecuación trigonométrica. Ejemplos: • Si tuviésemos que resolver una ecuación sencilla como: senx = 1 2 → x = 30°; 150°; ... estas son solo dos soluciones, pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo ten- dríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a las ya indicadas. Esto es: x = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°, ... +360° +360° +360° +360° También: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30°, 150° – 360° – 360° –360° –360° Es decir: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30° , 150°, 390°, 510°, 750°, ... Estás son algunas soluciones particulares de la ecuación trigonométrica, y en lo sucesivo tendre- mos que aplicar este criterio para determinarla (la explicación es por que los ángulos a obtener son coterminales con los primeros). ¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica? Ecuaciones trigonométricas elementales (E.T.E.) R.T.(x) = n Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones, y se les va agregando o restando múltiplos de 360°, como en el apunte anterior.
  • 3. 218 Ecuaciones trigonométricas TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Ejemplos: • senx = 2 2 x = 45°, 135°, 405°, 495°, 765°, ... +360° +360° + 360° + 360° x = – 585°, – 315°, – 225°, 45°, 135°, ... – 360° – 360° – 360° Pero la pregunta evidente es: ¿Cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio. a) Si la ecuación trigonométrica es: R.T.(x) = n; n > 0 Normalmente habrá una solución para x ∈ IC, aguda, si esta es "q" entonces la otra solución depende- rá del cuadrante en el que se ubique este. Si la solución aguda es: x = q. Y si hubiera otra en el: IIC ⇒ sería: x = 180° – q IIIC ⇒ sería: x = 180° + q IVC ⇒ sería: x = 360°– q Ejemplos: I. tanx = 3 ⇒ x = 60° Como "tanx" es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180° + 60° ⇒ x = 240° Luego: x = 60°, 240°, ... aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°. II. cosx = 2 1 ⇒ x = 60° Como "cosx" es positivo, la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360° – 60° ⇒ x = 300° Luego: x = 60°, 300°, 420°, 660°, ... +360° +360° III. cotx = 3 ⇒ x = 30° La otra solución debe ser del IIIC (ya que "cotx" es positiva), es decir: x = 180° + 30° ⇒ x = 210° Luego: x = 30°, 210°, 390°, 570°, ... +360° +360° b) Si la ecuación trigonométrica elemental es: R.T.(x) = n; n < 0 En este caso, resuelva a modo de ayuda, la ecuación R.T.(x) = |n|, y calcule la ecuación aguda de dicha ecuación, con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, solo que ahora la R.T.(x) es negativa. Ejemplos: I. senx = – 3 2 Resolvemos: senx = 3 2 ⇒ x = 60°
  • 4. Razonamiento Matemático 219 1 Trigonometría Unidad XII Central: 619-8100 Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego: IIIC: x = 180° + 60° ⇒ x = 240° IVC: x = 360° – 60° ⇒ x = 300° Luego: x = 240°, 300°, 600°, 660°, ... +360° +360° II. cosx = – 2 2 Resolvemos: cosx = 2 2 ⇒ x = 45° Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos: IIC: x = 180° – 45° ⇒ x = 135° IIIC: x = 180° + 45° ⇒ x = 225° Luego: x = 135°, 225°, 495°, 585°, ... +360° +360° III. tanx=– 3 3 Resolvemos: tanx = 3 3 ⇒ x = 30° Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos: IIC: x = 180° – 30° ⇒ x = 150° IVC: x = 360° – 30° ⇒ x = 330° Luego: x = 150°, 330°, 510°, 690°, ... Ecuaciones trigonométricas no elementales Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea de simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple, así como transformaciones trigonométricas y teoría de funciones trigonométricas inversas), reduciendo a la forma elemental o quizás de la forma: R.T.(Bx + q) = n para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental. Ejemplos: • Resolver e indicar algunas soluciones de: I. tan2x (1 – sen2x) cscx = 1 2 Por identidades trigonométricas, reducimos: sen2x cos2x . cos2x . 1 senx = 1 2 ⇒ senx = 1 2 note que: cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ 0 Luego: x = 30°, 150°, 390°, ... 180° – 30°
  • 5. 220 Ecuaciones trigonométricas TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe II. sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1 Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa Luego: sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1 a b b a sen(3x – 2x) = 1 ⇒ senx=1 ⇒ x = 90°, 450°, ... III. sen(3x–15°)= 2 3 En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuel- ve de manera similar, pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita. + 360° 3x – 15° = 60°, 120°, 420°, 480°, ... + 360° 3x = 60° + 15°, 120° + 15°, 420° + 15°, 480° + 15°, ... x = 75° 3 ; 135° 3 ; 435° 3 ; 495° 3 ; ... x = 25°, 45°, 145°, 165°, ... IV. senx . cosx . cos2x = 3 8 Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq . cosq Tenemos: 2senx cosx cos2x = 3 8 . 2 (multiplicando × 2) sen2x . cos2x = 3 4 (otra vez × 2) 2sen2x . cos2x = 3 4 . 2 ⇒ sen4x = 3 2 Luego: 4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ... x = 15°, 30°, 105°, 120°, ... Nota: Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver, con el perder soluciones o agregar soluciones, se mantienen, así que debemos tener cuidado con las simplificaciones de términos que contienen a la incógnita. V. 1 + sen2x = senx + cosx En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x Luego la ecuación, quedaría así: (senx + cosx)2 = senx + cosx Cancelando: (senx + cosx): senx + cosx = 1 (multiplicando por: 2/ 2) 2(senx . 1 2 + cosx . 1 2 ) = 1 cos45° sen45° 2(senx . cos45° + cosx . sen45°) = 1 144444424444443 2sen(x + 45°) = 1 → sen(x + 45°) = 1 2 . 2 2 = 2 2
  • 6. Razonamiento Matemático 221 1 Trigonometría Unidad XII Central: 619-8100 + 360° Luego: x + 45° = 45°, 135°, 405°, 495°, ... + 360° x = 0°, 90°, 360°, 450°, ... Pero, para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0); esto es: senx + cosx = 0 ⇒ senx = – cosx ⇒ senx cosx = – 1 ⇒ tanx = – 1 (x ∈ IIC ∧ IVC) Recuerde que primero resuelva: tanx = 1 ⇒ x = 45° Luego las soluciones serían: IIC: x = 180° – 45° = 135° IVC: x = 360° – 45° = 315° ⇒ x = 135°, 315°, ... VI. senx + cos2x = 1 En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una misma variable(x), para ello recuerda que: cos2q = 1 – 2sen2q. Luego, quedaría así: senx + cos2x = 1 ⇒ senx + 1 – 2sen2x = 1 ⇒ senx = 2sen2x Cancelando: 1 = 2senx ⇒ senx = 1 2 ⇒ x = 30°, 150°, 390°, ... Pero, como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es: senx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, ... Obtención de la solución general Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales, así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental, para ello es bueno recordar: 1. Es preferible una sola variable a diferentes variables 2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T. 3. Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones. 4. Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable, hay una posibilidad de aplicar transformaciones trigonométricas para reducirlo. 5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable de la solución general, se aplicará la notación de F.T. inversas. Donde: Vp → Valor principal. xg → es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita de donde se despeja. Encontramos Hacemos Donde senxg = a xg = np +(–1)nVp – p 2 ≤ Vp ≤ p 2 cosxg = a xg = 2np ± Vp 0 ≤ Vp ≤ p tanxg = a xg = np + Vp – p 2 < Vp < p 2
  • 7. 222 Ecuaciones trigonométricas TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Ejemplos: Resolver y dar la solución general. I. sen2x = 1 2 Tenemos: Vp = arcsen 1 2 = 30° <> p 6 ⇒ xg = 2x xg = np + (– 1)nVp ⇒ 2x = np + (– 1)n . p 6 ⇒ x = np 2 + (– 1)n . p 12 II. cos3x = 1 Tenemos: Vp = arccos1 = 0 ⇒ xg = 3x Luego: xg = 2np ± Vp ⇒ 3x = 2np ± 0 ⇒ x = 2np 3 III. tan5x = 1 Tenemos: Vp = arctan1 = 45° <> p 4 ⇒ xg = 5x Luego: xg = np + Vp ⇒ 5x = np + p 4 ⇒ x = np 5 + p 20 Síntesis teórica
  • 8. Razonamiento Matemático 223 1 Trigonometría Unidad XII Central: 619-8100 Problemas resueltos 1. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. a) 180° b) 120° c) 200° d) 240° e) 360° Resolución: Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así: 1 + cosx = 2sen2x ⇒ 1 + cosx = 2(1 – cos2x) Factorizando: 1 + cosx = 2(1 + cosx)(1 – cosx) Cancelando "1 + cosx" quedaría: 1 = 2(1 – cosx) cosx = 1 2 ⇒ x = 60°, 300° Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones: 1 + cosx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ x = 180°, 540° Las dos primeras soluciones positivas son 60° y 180° ⇒ suma = 240° 2. Resolver: sec2x = 3tanx + 1, indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Recuerde que: sec2q = 1 + tan2q En la ecuación: sec2x = 3tanx + 1 ⇒ 1 + tan2x = 3tanx + 1 quedaría: tan2x = 3tanx cancelando "tanx", queda: tanx = 3 ⇒ x = 60°, 240°, 420°, 600°, ... Pero el factor cancelado: tanx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, 540°, ... Pero piden soluciones positivas y menores que una vuelta, las cuales son: x = 60°, 180°, 240° Rpta.: = 3 3. Resolver: senx – 3cosx = 1, indicando el menor valor positivo que cumple. a) 30° b) 60° c) 90° d) 135° e) 180° Resolución: En la expresión: senx – 3cosx = 1 Recuerde que: Asenx – Bcosx = A2 + B2sen(x – q), tanq = B A Luego: senx – 3cosx = 1 ⇒ 2sen(x – 60°) = 1, ya que: tanq = 3 ⇒ q = 60° sen(x – 60°) = 1 2 ⇒ x – 60° = 30°; 150°, ... x = 90°, 210°, ... ⇒ xMenor(+) = 90°
  • 9. 224 Ecuaciones trigonométricas TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 4. Resolver: sen5x + senx = sen3x, señalando un conjunto solución (n ∈ Z). a) np 6 b) np ± p 6 c) np 3 d) a ∪ b e) b ∪ c Resolución: En la ecuación recuerde: sena + senb = 2sen a + b 2 cos a – b 2 sen5x + senx = sen3x 2sen3x . cos2x = sen3x Cancelamos "sen3x", quedaría: 2cos2x = 1 ⇒ cos2x = 1 2 ⇒ Vp = arccos 1 2 = p 3 ⇒ xg = 2x Luego: 2x = 2np ± p 3 ⇒ np ± p 6 Pero el factor cancelado se iguala a 0, esto es: sen3x = 0 ⇒ Vp = arcsen0 = 0 ⇒ xg = 3x 3x = np + (– 1)n . 0 ⇒ 3x = np ⇒ x = np 3 x = np  p 6 ; n ∈ Z ∪ np 3 ; n ∈ Z Aplica lo comprendido 10 x 5 50 Resolver e indicar las dos soluciones básicas de las siguientes ecuaciones: 1. senx = 1 2 ⇒ x = 2. cosx = – 2 2 ⇒ x = 3. tanx = 3 ⇒ x = Indicar el valor principal de cada ecuación: 4. senx = 3 2 ⇒ Vp = 5. cosx = 2 2 ⇒ Vp = 6. tanx = – 1 ⇒ Vp = Aprende más... 1. Resuelve: 2senx = 1, si: 0 < x < 180° a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 144° d) 30°; 150° e) 40°; 140° 2. Resuelve: 2cosx = 3, x ∈ 〈0; 360°〉 a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 324° d) 30°; 150° e) 30°; 330° 3. Resuelve: tanx – 3 = 0; x ∈ 〈0; 180°〉 a) 60° b) 45° c) 36° d) 30° e) 22°30' 4. Resuelve la ecuación: tan4x = – 3, calcular la segunda solución positiva. a) p 6 b) 5p 12 c) 7p 12 d) 11p 12 e) 9p 12
  • 10. Razonamiento Matemático 225 1 Trigonometría Unidad XII Central: 619-8100 5. Resuelve: 4cos2x – 3 = 0; si: 0 < x < 360° a) 30°; 150°; 210°; 330° b) 60°; 120°; 210°; 350° c) 30°; 60°; 150°; 210° d) 30°; 45°; 150°; 315° e) 30°; 150°; 210°; 240° 6. Sume las tres primeras soluciones positivas de: cos3x = 1 2 a) 170° b) 240° c) 300° d) 260° e) 270° 7. Sume las dos primeras soluciones positivas de: sen2x – 1 2 = 0 a) 180° b) 360° c) 90° d) 270° e) 135° 8. Sume las dos primeras soluciones positivas de: tan5x = 1 a) 45° b) 75° c) 135° d) 145° e) 180° 9. Si: "x1" y "x2" son los dos primeros valores po- sitivos de "x" que verifican: 2sen2x + cosx = 1 Calcular: sen(x1 – x2), si: x1 < x2 a) 3 2 b) 1 2 c) 1 d) – 1 2 e) – 3 2 10. Resuelve: sen2x – cos2x – cosx = 1; si: 0 < x < p a) p 4 ; p 2 b) p 3 ; p 4 c) p 2 ; 2p 3 d) p 2 ; 3p 4 e) p 2 ; 5p 6 11. Resuelve: 3senx + 2 = cos2x, indica el número de soluciones en el intervalo [p; 2p]. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 12. Señale la solución general de la ecuación: 5tanx . cosx + senx = 3 2 a) np + (–1)np 4 b) np + (–1)np 3 c) np + (–1)np 6 d) np + (–1)np 8 e) np + (–1)np 5 13. Señale la solución general de la ecuación: 5senx . cotx – 3 = 3cosx a) 2np ± p 6 b) 2np ± p 4 c) np ± p 8 d) 2np ± p 5 e) 2np ± p 3 14. Señale la solución general de la ecuación: secx . cscx – ctgx = 1 a) np + p 3 b) np + p 4 c) np + p 6 d) np + p 10 e) np + p 12 15. Resolver: 3sen2x = cosx a) 2np ± p 2 b) np+ (–1)narcsen1 6 c) 2np ± p 4 d) a y b e) b y c ¡Tú puedes! 1. Resuelve la ecuación: 2 + tanx + 2 – tanx = 2tanx a) 30° b) 45° c) 53° d) 60° e) 3p 2. Si "q" es un parámetro, resuelve el sistema: senx + seny = 1 2 cscq – cos2q senq a) x = 2q b) x = 0 c) x = q 2 +30º d) x = 90° e) x = q
  • 11. 226 Ecuaciones trigonométricas TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Resuelve: sen2x = sen3x 2. Resuelve: tanx = tan6x 3. Resuelve: cos3x = cos5x 4. Resolver: (sen4x + cos4x)(senx + cosx) = 1 + sen5x Indicando la suma de los tres primeros valores positivos de "x". 5. Resolver: sen5x + senx = 0 6. Resolver: senx + cos2x = 1 7. Resolver: sen3x – 2senx = 1 2 tanx 8. ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación? 2senx – 1 = x2 9. Resolver: 1 1 + tan2x + 1 1 + cot2x + 1 1 – sen2x + 1 1 – cos2x = 5 indicando el número de soluciones en 〈0; 2p〉 3. Resuelve: arcsen 5 x + arcsen 12 x = p 2 a) 5 b) 4 c) 3 d) 12 e) 13 4. Resuelva el sistema: senx = cos2y ∧ sen2x = cosy a) x = y = 30° b) x = y = 45° c) x = 2y = 60° d) x = 3y = 60° e) x = y = 60° 5. Resuelve la siguiente ecuación e indica la suma de soluciones en 〈0; 2p〉 sen x 2 + sen 3x 2 = senx a) 13p 3 b) 5p 3 c) 7p 3 d) 11p 3 e) 8p 3 Practica en casa 18:10:45 10. Determine la suma de soluciones de la ecuación: .cos sen x x 2 2 4 2 = , en el intervalo de [0; 2p] 11. Determine la suma de soluciones de la ecua- ción: tanx + 3 tan x + p 3 = 4, en el intervalo de [0; 2p] 12. Resolver: sen3x . cscx + cos3x . secx = 2 13. Resolver: (4sen3x + sen3x)(4cos3x – cos3x) = 9 4 (n ∈ Z) 14. Resolver la ecuación: sen8x + cos8x = 1 8 ; n ∈ Z 15. Resolver el sistema de ecuaciones: senx + seny = sen(x + y) |x| + |y| = 1 Señale el número de soluciones.