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UNIDAD III
UNIDAD VII
Todo ser humano tiene identidad
El amor es una expresión matemática y no solo un
complemento perfecto.
sen2x + cos2x = 1
Si se compara a una familia común se deduce que
sen2x representa a la madre y el cos2x representa
al padre y que la unión siempre debe ser la unidad
perfecta del amor.
¿Existirán más expresiones matemáticas que
represente el amor perfecto?
Toda familia está representada por los padres e
hijos. ¿Existirá forma de representar a los hijos en
una expresión trigonométrica?
Comunicación matemática
•	 Reconocer y utilizar las fórmulas de las
identidades fundamentales y auxiliares.
Resolución de problemas
•	 Resolver problemas y demostrar las iden-
tidades trigonométricas.
•	 Utilizar las identidades fundamentales y
auxiliares.
•	 Identificar las fórmulas y estrategias para
la resolución de problemas.
Aplicación de la matemática a situaciones
cotidianas
•	 Definir las identidades e identificar los di-
ferentes tipos de problemas de condición
y demostración.
114
Identidades trigonométricas de una variable
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Identidades trigonométricas
de una variable
Conceptos básicos
Expresión trigonométrica
Llamamos expresión trigonométrica a la expresión matemática que contiene términos como:
senx; cosb; tanq; ...; etc..; en donde las letras "x"; "b" y "q" se llaman variables.
Ejemplo:
Las siguientes son expresiones trigonométricas:
	 tanx + senx;
cotq + senq
secq
; 1 + cosb; sec2x – tan2x; cota . cotd + 1
cota – cotd
; 2sen2x – 1
Identidad
Se llama identidad a la igualdad entre dos expresiones matemáticas que se cumple para todo valor que se
asigne a sus variables para las que están definidas.
Ejemplos:
Son identidades las siguientes expresiones matemáticas:
•	 ∀ x ∈ se cumple: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
•	 ∀ x ∈ se cumple:
x3 – 1
x – 1
= x2 + x + 1
•	 ∀ x ∈ se cumple: x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Identidades trigonométricas
Se llama identidad trigonométrica a la igualdad formada por expresiones trigonométricas que se verifican
para todos los valores admitidos de su variable.
Ejemplos:
Las siguientes expresiones son identidades trigonométricas.
•	 ∀ x ∈ se cumple: sen2x = 1 – cos2x
•	 ∀ x ≠ np; n ∈ , se cumple: cotx =
cosx
senx
Identidades trigonométricas fundamentales
Las identidades trigonométricas fundamentales o básicas son un grupo de identidades que muestran a las
razones trigonométricas de un mismo ángulo, relacionados mediante operaciones elementales de adición,
multiplicación o potencia natural.
Las identidades fundamentales son 8 y entre ellas tenemos las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas,
que permiten obtener la mayoría de las identidades trigonométricas.
Razonamiento Matemático
115
1
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
Identidades recíprocas
senx . cscx = 1; ∀ x ≠ np; n ∈ ⇒ cscx =
1
senx
cosx . secx = 1; ∀ x ≠ (2n + 1)p
2
; n ∈ ⇒ secx =
1
cosx
tanx . cotx = 1; ∀ x ≠ np
2
; n ∈ ⇒ cotx =
1
tanx
Identidades por cociente
tanx =
senx
cosx
; ∀ x ≠ (2n + 1)p
2
; n ∈
cotx =
cosx
senx
; ∀ x ≠ np; n ∈
Identidades pitagóricas
sen2x + cos2x = 1; ∀ x ∈
sen2x = 1 – cos2x
cos2x = 1 – sen2x
1 + tan2x = sec2x; ∀ x ≠ (2n + 1)p
2
; n ∈
sec2x – tan2x = 1
tan2x = sec2x – 1
1 + cot2x = csc2x; ∀ x ≠ np; n ∈
csc2x – cot2x = 1
cot2x = csc2x – 1
Los problemas presentados, son de demostración, simplificación, condicionales y eliminación de variables;
pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución
del problema.
Síntesis teórica
116
Identidades trigonométricas de una variable
TRILCE
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Problemas resueltos
1.	 Demostrar que: tan2x . cosx . cscx = tanx
	 Resolución:
	 En este problema la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicado y obtener el resultado
igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el colocar la expresión a reducir, en tér-
minos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:
	 cscx =
1
senx
; secx =
1
cosx
; tanx =
senx
cosx
; cotx =
cosx
senx
	
En el problema: tan2x . cosx . cscx = tanx; note que: tan2x =
sen2x
cos2x
	
Luego:
sen2x
cos2x
. cosx .
1
senx
= tanx ⇒ Reduciendo:
senx
cosx
= tanx
	 123
	tanx
	  tanx = tanx
2.	 Demuestre que:
cosq
1 – senq
–
cosq
1 + senq
= 2tanq
	 Resolución:
	
Efectuamos:
	
cosq(1 + senq) – cosq(1 – senq)
(1 + senq)(1 – senq)
= 2tanq
		
cosq + cosqsenq – cosq + cosqsenq
1 – sen2q
= 2tanq
		
2cosqsenq
cos2q
= 2tanq
		
2senq
cosq
= 2tanq
	  2tanq = 2tanq
3.	 Demuestre que:	
1
secx – 1
–
1
secx + 1
= 2cot2x
	 Resolución:
	 Efectuamos la parte más compleja y obtenemos:
		
secx + 1 – secx + 1
(secx – 1)(secx + 1)
= 2cot2x
		
2
sec2x – 1
= 2cot2x
	 Pero, como sabemos: sec2x – 1 = tan2x
	
Luego:
	
2
tan2x
= 2cot2x
		
2
1
tan2x
= 2cot2x
	  2cot2x = 2cot2x
Razonamiento Matemático
117
1
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
4.	 Demuestre que: cot2x – cos2x = cot2x . cos2x
	 Resolución:
	 Convirtiendo a senos y cosenos, tendremos:
		
cos2x
sen2x
– cos2x = cot2x . cos2x
	Efectuando:
	
cos2x – cos2x sen2x
sen2x
= cot2x . cos2x
	 Factorizando "cos2x" en el numerador, obtendremos:
	
Luego:
	
cos2x(1 – sen2x)
sen2x
= cot2x . cos2x
		
cos2x
sen2x
cos2x= cot2x . cos2x
		
↓
	  cot2x . cos2x = cot2x . cos2x
5.	 Demuestre que: senq (1 + tanq) + cosq(1 + cotq) = secq + cscq
	 Resolución:
	 Pasando todo a senos y cosenos el primer miembro:
	
	
senq 1 +
senq
cosq
+ cosq 1 +
cosq
senq
		
senq
cosq + senq
cosq
+ cosq
senq + cosq
senq
		
sen2q(cosq + senq) + cos2q(cosq + senq)
cosqsenq
	 Factorizando: cosq + senq
		
(cosq + senq)(sen2q + cos2q)
cosqsenq
		
cosq + senq
cosqsenq
= cscq + secq
	 Haciendo la división parcial:
		
cosq
cosqsenq
+
senq
cosq senq
= cscq + secq
		
1
senq
+
1
cosq
= cscq + secq
	Finalmente:	 cscq + secq = cscq + secq
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Reducir: C = 6cosx . tanx + senx
2.	 Reducir: M =
1 – cos2x
cos2x
3.	 Demostrar: tanx + cotx = secx . cscx
4.	 Demostrar que: sec2x . cosx . senx = tanx
5.	 Demostrar que:
(2senx . cosx . secx)2 + (2senx . cosx . cscx)2 = 4
118
Identidades trigonométricas de una variable
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Aprende más...
1.	 Reducir:
	 M = tanx . cosx . csc2x
a)	1	 b)	senx	 c)	cosx		
d)	secx	 e)	cscx
2.	 Reducir:
	 P = sen2x . cotx + cos2x . tanx
a)	 senx . cosx	 b)	 2senx . cosx	 c)	 1		
d)	 2	 e)	 secx.cscx
3.	 Reducir:
	 M = sen3x (1 + cot2x) – (1 – cos2x) cscx
a)	1	 b)	2	 c)	2senx		
d)	 0	 e)	 2cosx
4.	 Reducir:
	 Q =
1 – cos2x
1 – sen2x
– tan2x
a)	senx	 b)	cosx	 c)	tanx 		
d)	 cscx	 e)	 0
5.	 Reducir:
	 P = (tanx + cotx)sen2x
a)	senx	 b)	cosx	 c)	1		
d)	tanx	 e)	cotx
6.	 Reducir:
	 A = (secx – cosx)(cscx – senx) secx
a)	senx	 b)	cosx	 c)	tanx		
d)	cotx	 e)	1
7.	 Simplificar: A = (secx – cosx) ctgx – senx
a)	 2senx	 b)	 1	 c)	 0		
d)	secx	 e)	cscx
8.	 Simplificar:
	 P = secx – senx
cscx – cosx
a)	tanx	 b)	cotx	 c)	secx		
d)	cscx	 e)	1
9.	 Simplificar: J=
tanx – senx
1 – cosx
a)	1	 b)	tanx	 c)	ctgx 		
d)	secx	 e)	cscx
10.	Reducir:
	
V =
1 + cosx
senx
+
senx
1 + cosx
a)	1	 b)	2senx	 c)	2cosx 		
d)	 2secx 	 e)	 2cscx
11.	Simplificar:
	
Q =
tanx – senx
cotx – cosx
1 – senx
1 – cosx
a)	tanx	 b)	tan2x	 c)	cotx		
d)	cot2x	 e)	1
12.	Simplificar:
	
M =
1
1 + tan2x
+
1
1 + cot2x
+
tanx
cotx
a)	secx	 b)	tg2x	 c)	 0		
d)	sec2x	 e)	 1 + tanx
13.	Simplificar: J = cosx 1 +
tan2x
secx + 1
a)	 – 1	 b)
	
1
5	
c)
	
1
2		
d)	1	 e)	2
14.	Simplificar:
M=
1
1 + sen2x
+
1
1 + csc2x
+
1
1 + cos2x
+
1
1 + sec2x
a)	1	 b)	2	 c)	3		
d)	 4	 e)	 5
15.	Efectúa:
	 N = 2 +
sen4x + cos4x
sen2x cos2x
a)	sec2x	 b)	csc2x	 c)	sec2x.csc2x	
d)	tg2x	 e)	ctg2x
16.	Simplificar:
	 2
R
tgx ctgx
tg x ctg x
2
2
2 2
=
+ -
+ -
-
a)	 tanx	 b)	 cotx	 c)	 tanx + cotx 	
d)	 2	 e)	 – 2
17.	Simplificar: tan4x.sec2x – tan2x.sec2x + tan2x
a)	 1	 b)	 0	 c)	 tan4x 		
d)	tan6x	 e)	sec6x
Razonamiento Matemático
119
1
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
18.	Un profesor de trigonometría elabora un plano para hacerle
una casa a su mascota "Rex" pero su duda es, ¿qué altura va
a tener la casa? sus posibilidades son las siguientes:
	"sen2q + cos2q" y "sec2x – tan2x"
	 Ese momento va a evaluar a los alumnos Pepito y Jaimito y
le pide, quiero encontrar la altura bajo las condiciones que
pueden tomar las variables angulares:
{0°; 45°; 60°; 180°}
Altura
	 Pepito dice: "Las alturas son diferentes."
	 Jaimito dice: "Las alturas son iguales."
	 ¿Quién da la respuesta correcta?
1.	 Reducir: cos
csc
M
x
tgx
x tgx tg x tgx
1
3
=
+
+ + +
c m
a)	csc4x	 b)	sec4x	 c)	ctg4x	 d)	1	 e)	2
2.	 Hallar los valores que puede tomar la expresión: Y = sen2x cos6x – cos4x
sen6x – sen4x
+ senx – 1
a)	 [–1; 1]	 b)	 〈– 1; 1〉	c)	
〈– 1; 1〉 – {0}	 d)	 [– 1; 1] – {0}	 e)	 {–1; 0; 1}
3.	 Simplifique la expresión: E =
tan2q . sen2q
secq + cosq + 2
–
tan2q + cos2q – 6
secq + cosq + 3
a)	
2	b)	
1	c)	
–1	
d)	
3	e)	
–2
4.	 Simplificar la expresión: cos cos
K
senx
x
senx
x
1
1
1
1
=
-
- +
+
+ , si: p x
2
3
< <
a)	– 2	 b)	– 2secx	c)	
2secx	d)	
2cosx	 e)	– 2cosx
5.	 Calcular el valor de "k" para que la siguiente expresión sea una identidad:
sec sec
sen k
1 2 1
4
4
2
q
q
q
- = -
a)	
1	b)	
3	c)	
2	d)	
–1	
e)	
2
1
¡Tú puedes!
p
120
Identidades trigonométricas de una variable
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1.	 Reducir: M = cotx . sen2x . secx
2.	 Reducir:P=senx.cosx.tanx+senx.cosx.cotx
3.	 Simplificar: M = tanx(1 + cosx) – sen2x . cscx
4.	 Reducir: A = (tanx + cotx)cos2x
5.	 Reducir: B = secx – senx . tanx
6.	 Reducir: A =
1 – sen2x
1 – cos2x
+ 1
7.	 Reducir: P =
cscx – senx
secx – cosx
8.	 Reducir: P = sec2x – 1
csc2x – 1
+ 1
9.	 Reducir: M = (1 + tan2x) cosx – tanx . cscx
10.	Reduce la expresión: E = senx 1 +
cot2x
cscx + 1
11.	Reducir: J =
tan2x + 1
1 + cot2x
cot2x . secx . senx
12.	Simplificar: W =
tanx + secx + 1
cotx + cscx + 1
13.	Simplificar:					 R = (sec2x +
csc2x) sen2x – tan2x + 1
14.	Simplificar: V =
secx(cosx + senx) – 1
cscx(senx + cosx) – 1
15.	Simplificar: R = (1 – 2sen2x)2+4sen2x cos2x
Practica en casa
18:10:45
Razonamiento Matemático
121
2
Trigonometría
Unidad VII
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Expresiones trigonométricas
condicionales
Conceptos básicos
Definición
Se llama expresión trigonométrica condicional a aquella en que las variables o coeficientes están
relacionadas de un modo específico.
A continuación, citaremos ejemplos que ilustran el cálculo de expresiones trigonométricas a partir de una
condición dada, que establece una relación entre otras expresiones trigonométricas.
Problemas resueltos
1.	 Si: secq – cosq = 8; calculemos el valor de: M = sec2q + cos2q
	 Resolución:
	 Elevamos al cuadrado la condición, así: secq – cosq = 8	 ⇒ (secq – cosq)2 = 82
		 Operando: sec2q + cos2q – 2secqcosq = 64
	 	 14243
		 1
	 Finalmente obtenemos la expresión que nos piden calcular: sec2q + cos2q = 66 ⇒ M = 66
2.	 Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan3x + cot3x
	 Resolución:
	 Recordando la identidad algebraica de la suma tendremos:
	
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
		 Entonces: tan3x + cot3x = (tanx + cotx)(tan2x – tanx . cotx + cot2x)
	 	 14243
		 1
		 Sustituyendo la condición: = 5(tan2x + cot2x – 1)
		 Asimismo: (tanx + cotx)2 = 52
		tan2x + cot2x + 2tanxcotx = 25 ⇒ tan2x + cot2x = 23
	 	 1
4
2
4
3
		 1
	 Finalmente: 	 tan3x + cot3x = 5(23 – 1) ⇒ tan3x + cot3x = 110
3.	 Si: En = secn – 3x – tann – 3x, ¿a qué es igual: M =
E7 + E5
E7 – E5
?
	 Resolución:
•	 Para: n = 7 ⇒ E7 = sec4x – tan4x
	 Aplicando diferencia de cuadrados: E7 = (sec2x + tan2x)(sec2x – tan2x)
	 	
                                                                               1442443
	 1
		 Entonces: E7 = sec2x + tan2x
122
Expresiones trigonométricas condicionales
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•	 Para: n = 5 ⇒ E5 = sec2x – tan2x ⇒ E5 = 1
	 	 1
4
4
2
4
4
3
		 1
Luego reemplazando en "M":	 M =
sec2x + tan2x + 1
sec2x + tan2x – 1
Recordar: tan2x + 1 = sec2x
Luego reemplazando convenientemente:
	
M =
sec2x + sec2x
1 + tan2x + tan2x – 1
=
2sec2x
2tan2x
Pasando a senos y cosenos:	 M =
1
cos2x
sen2x
cos2x
=
1
sen2x
⇒ M = csc2x
4.	 Si: sen2x + cos2y =
5
4
, hallar el valor de: E =
sen4x – cos4y
sen4y – cos4x
	 Resolución:
	 Utilizando las identidades algebraicas en la expresión dada para "E", tendremos:
	
E =
(sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y)
(sen2y – cos2x)(sen2y + cos2x)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Recordar: sen2q = 1 – cos2q ; cos2q = 1 – sen2q
Luego: E =
(sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y)
(1 – cos2y – 1 + sen2x)(1 – cos2y + 1 – sen2x)
=
sen2x + cos2y
2 – (sen2x + cos2y)
...
	
(*)
Reemplazando finalmente el dato del problema en (*): E =
5
4
2 –
5
4
⇒ E =
5
3
Eliminación de expresiones trigonométricas
Eliminar expresiones trigonométricas de una expresión matemática es un proceso cuyo propósito es
independizar la expresión de toda razón trigonométrica.
Resulta útil prescindir de las expresiones trigonométricas para determinados fines de cálculo.
Problemas resueltos
1.	 Eliminar "q" de:
a
tanq
=
b
secq
=
c
cotq
Resolución:
	
a
tanq
=
b
secq
=
c
cotq
= k
Luego:
	 a = ktanq ...... (1)	 b = ksecq ...... (2)	 c = kcotq ...... (3)
De: (2)2 – (1)2:	b2 – a2 = k2(sec2q – tan2q)	 ⇒ b2 – a2 = k2.............................. 	(4)
	 	 14243
		 1
Razonamiento Matemático
123
2
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
De: (1) . (3):	 a . c = k2(tanqcotq) →	 a . c = k2.............................. 	 (5)
	 	    123
		 1
De: (5) en (4):	 b2 – a2 = ac
2.	 Eliminar "a" de las ecuaciones:
		 tana + sena = a ..............................	(1)
		 tana – sena = b...............................	(2)
	 Resolución:
Resolviendo (1) y (2), obtendremos: tana=
a + b
2
y sena =
a – b
2
De donde es fácil deducir que: cota =
2
a + b
y csca =
2
a – b
Recordar: csc2a – cot2a = 1
2
a – b
2
–
2
a + b
2
= 1
Operando: 4(a + b)2 – 4(a – b)2 = (a2 – b2)2 ⇒ 4(4ab) = (a2 – b2)2 ⇒ 16ab = (a2 – b2)2
3.	 Eliminar "q" y "f" de las ecuaciones:
	 p = acosq cosf ... (1)	 q = bcosq senf ... (2)	 r = c senq ... (3)
	 Resolución:
	
De (1):
	
p
a
= cosq cosf
	
De (2):
	
q
b
= cosq senf
Elevando al cuadrado las expresiones, tendremos:
p2
a2
+
q2
b2
= cos2q(cos2f + sen2f) ⇒ cos2q =
p2
a2
+
q2
b2
................................................................	(4)
1442443
1
De (3): senq =
r
c
.
......................................................................................................................... 	 (5)
Recordar: sen2q + cos2q = 1
Reemplazando (4) y (5) en la ecuación anterior: ⇒
r2
c2
+
p2
a2
+
q2
b2
= 1
Aplica lo comprendido
10x
5
50
1.	 Si: cotx . senx =
2
3
⇒ secx = ..............
2.	 Si: senx – cosx = 3, determinar: senx . cosx
3.	 Si: tanx + cotx = 5, determinar: senx . cosx
En los siguientes problemas, eliminar "x".
4.	 Si: senx = m ∧ cscx = n
5.	 Si: cosx = p2 ∧ secx =
1
q2
124
Expresiones trigonométricas condicionales
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1.	 Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan2x + cot2x
a)	21	 b)	22	 c)	23		
d)	 24	 e)	 25
2.	 Si: senx – cosx = 5
6
, calcular: senx . cosx
a)
	
1
3	
b)
	
1
4	
c)
	
1
12		
d)
	
1
15	
e)
	
1
16
3.	 Si: senq + cosq =
3
5
, calcular: senq . cosq
a)
	
– 1
4	
b)
	
– 1
3	
c)
	
– 1
5		
d)
	
– 1
6	
e)
	
– 1
7
4.	 Sabiendo que se cumple la siguiente condición:
	8cosq – 1 = tan2q
	 Hallar el valor de: M = tan6q – tan4q – tan2q
a)	12	 b)	4	 c)	6		
d)	 8	 e)	 15
5.	 Si: acos2x + bsen2x = c
	 Calcular: asen2x + bcos2x
a)	 a + b + c	 b)	 a + b – c	 c)	 a – b – c 	
d)	 a + c – b 	 e)	 (a – b + c)2
6.	 Si: msec2x + ncsc2x = r
	 Calcular: mtan2x + ncot2x
a)	 r + m + n	 b)	 r – m + n	 c)	 r – m – n	
d)	 r + m – n 	 e)	 m + n – r
7.	 Si se cumple: 3senx + cos2x = 2
	 Hallar: J = csc2x + sen2x
a)	 4	 b)	 5	 c)	 6		
d)	7	 e)	8
8.	 Si se cumple: 4cosx + sen2x = 2
	 Hallar: J = sec2x + cos2x
a)	6	 b)	16	 c)	8 		
d)	14	 e)	7
9.	 Hallar una relación entre "m" y "n" indepen-
dientemente de la variable angular "q", si:
•	 senq + cosq = m
•	 senq . cosq = n
a)	 1 + n = m 	 b)	 1 + n2 = m2	 	
c)	 1 + 2n = m2	 d)	 1 – 2n = m2	 	
e)	 1 + 2m = n2
10.	Hallar una relación entre "a" y "b" independien-
temente de la variable angular "x", si:
•	 senx – cosx = a
•	 senx . cosx = b
a)	 1 – 2b = a 	 b)	 1 – 2b = a2		
c)	 1 + a2 = 2b	 d)	 1 – 2a = 2b2 		
e)	 1 + 2b = a2
11.	Eliminar la variable angular "q", a partir de:
•	 acotq + 1=cscq
•	 bcotq – 1 = cscq
a)	 a+b=1	 b)	 a2 +b2 =1	 c)	 ab=1		
d)	 a–b=1	 e)	 2ab=1
12.	Eliminar "x" de:
•	 asecx + btanx = c
•	 atanx + bsecx = d
a)	a2 + c2 = bd	 b)	 a2 + c2 = b2 + d2	
c)	a2 + b2 = c2 + d2	 d)	a2 + d2 = b2 + c2	
e)	 ab = cd
13.	Eliminar "x" de:
•	 sec4x – tan4x = 1 + a + b
•	 csc4x – cot4x = 1 + b – a
a)	a2 – b2 = 2	 b)	 a2 – b2 = 4	 	
c)	a2 + b2 = 1	 d)	 b2 – a2 = 2	 	
e)	b2 – a2 = 4
14.	Eliminar la variable angular "x" a partir de:
•	 mtanx + 1 = secx
•	 ntanx – 1 =secx
a)	 m + n = 1	 b)	 m – n = 1		
c)	m2 + n2 = 1	 d)	 mn = 1 		
e)	 m = n
15.	Eliminar "q" de:
•	 mcscq + nctgq = r
•	 mctgq + ncscq = s
a)	m2 + n2 = r2 + s2	 b)	m2 + s2 = n2 + r2	
c)	m2 + s2 = n2 – r2	 d)	m2 + n2 = r . s 	
e)	s2 – m2 = r2 – n2
Aprende más...
Razonamiento Matemático
125
2
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
¡Tú puedes!
1.	 Si: cotx = 2 + cosx, hallar el valor de: M =
4(secx + tanx)
cosx
–
(secx – tanx)
tanx sec2x
a)	 – 4	 b)	 4	 c)	 2	 d)	 – 2	 e)	 1
2.	 Eliminar "q" a partir de:
•	 a sen2q + bcscq = a
•	 a cos2q + csecq = a
a)	b2 + c2 = a2			 b)	b2 + c2 = abc			 c)	 (b2 + c2)2 = abc	
d)	(b2 + c2)3 = (abc)3		 e)	b2 + c2 = 3abc
3.	 Si: 2sec4x – 3sec2x + 2 =
cos2x
cos2q
, hallar la expresión equivalente de: M = 2tan4x + 3tan2x + 2.
a)	
tan2x
tan2q
	b)	
tan2q
tan2x
	c)	
tan2q
sec2x
	d)	
sec2q
tan2x
	e)	
sec2x
tan2q
4.	 Si: tan2x + cot2x = 7; x ∈ 0; p
4
, calcular: M = tan4x – tan2x + cot2x – cot4x.
a)	18 5	 b)	 – 18	 c)	 – 18 5	 d)	 20	 e)	 18
5.	 Si: sec2x = ntanx, hallar:
sen3x + cos3x
(senx + cosx)3
a)	
n
n
2
1
+
+ 	b)	
n
n
1
2
-
- 	c)	
n
n
2
1
+
- 	d)	
n
n
1
2
+
+ 	e)	
n
n
1
2
-
+
Practica en casa
18:10:45
1.	 Si: tanx – cotx = 3, calcular:
	 C = tan2x + cot2x.
2.	 Si: senx + cos x = 5
3
, calcular: A = senx . cosx
3.	 Si: senx - cos x = 3
4
, calcular: U=senx . cosx
4.	 Si: tanx + cotx = 3, calcular:
	 D = (senx + 2cosx)2 + (2senx + cosx)2
5.	 Si: sen4x + cos4x = 5
8
, calcular: A = senx . cosx
6.	 Si: secx + tanx = 3, calcular: secx
7.	 Si: cscx + ctgx = 2, calcular: cscx
8.	 Si: 3senx + 4cosx = 5, calcular:
	 C = 2senx + cosx
9.	 Si: senx + 3cosx = 2, calcular:
	 L = 2cos2x + sen2x
10.	Siendo: secx – cosx = m; cscx – senx = n
	 Hallar: tanx
11.	Eliminar "x" en:
	 tanx + cotx = a ∧ sec2x + csc2x = b
126
Expresiones trigonométricas condicionales
TRILCE
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12.	Eliminar "x" a partir de:
•	 senx = n
•	 cosx = m
13.	Eliminar "x" a partir de:
•	 tanx + cotx = a
•	 tanx – cotx = b
14.	Eliminar "q" de:
•	 cos2q = a3senq
•	 sen2q = b3cosq
15.	Eliminar "x" en:
•	 tanx + senx = m
•	 tanx – senx = n
Razonamiento Matemático
127
3
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
Identidades trigonométricas
auxiliares de una variable
Conceptos básicos
Es un conjunto de identidades trigonométricas que se obtienen por la aplicación de las identidades
fundamentales.
1.	 sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x . cos2x
2.	 sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x . cos2x
3.	 sen4x – cos4x = sen2x – cos2x
4.	 tanx + cotx = secx . cscx
5.	 sec2x + csc2x = sec2x . csc2x
6.	 (1 ± senx ± cosx)2 = 2(1 ± senx)(1 ± cosx)
7.	 (senx ± cosx)2=1 ± 2senx . cosx
8.	 (senx+cosx+1)(senx+cosx–1)=2senx . cosx
9.	 tan2x – sen2x = tan2x . sen2x
10.	cot2x – cos2x = cot2x . cos2x
11.	
senx
1 + cosx
=
1 – cosx
senx
12.	
cosx
1 + senx
=
1 – senx
cosx
13.	sec4x + tan4x = 1 + 2tan2x . sec2x
14.	csc4x + cot4x = 1 + 2cot2x . csc2x
15.	Si: secx + tanx = m ⇒ secx – tanx =
1
m
16.	Si: cscx + cotx = n ⇒ cscx – cotx =
1
n
17.	vers x = 1 – cos x
18.	covx = 1 – senx
19.	exsecx = secx –1
128
Identidades trigonométricas auxiliares de una variable
TRILCE
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Síntesis teórica
Problemas resueltos
1.	 Calcular "k" para que la expresión "E" sea independiente de "x": E=2(sen4x+cos4x)+k(sen6x+cos6x)
	 Resolución:
	 Utilizando las identidades auxiliares:	 sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x cos2x
		 sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x cos2x
	 Reemplazamos en la expresión "E":	 E = 2(1 – 2sen2x cos2x)+ k(1 – 3sen2x cos2x)
		 E = 2 – 4sen2x cos2x + k – 3ksen2x cos2x
	 Agrupamos convenientemente:	 E = (k+2) – (4sen2x cos2x + 3ksen2x cos2x)
		 E = (k + 2) – sen2x cos2x (4 + 3k)
	 Para que la expresión "E" no dependa de "x" observa que (4 + 3k) debe ser cero, es decir:
		
 k = –
4
3
2.	 Si: 3(1 + senx – cosx)2 = A(1 + senx)(1 – cosx), hallar "A"
	 Resolución:
	 	
	 Recordar: (1+senx – cosx)2 = 2(1 + senx)(1 – cosx)
	 	
	 Reemplazando dicho equivalente en la condición inicial, tendremos: 3 . 2(1 + senx) (1 – cosx)
	 Simplificando y comparando ambas expresiones obtendremos: A = 6
Razonamiento Matemático
129
3
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
3.	 Si: x ∈ 0; p
4
, simplificar: E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx
	 Resolución:
	 Reemplazando por su equivalente, se tendrá:
	 E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx
	 	 1442443	 1442443
		 (senx + cosx)2	 (senx – cosx)2
	 E = (senx + cosx)2 + (senx – cosx)2
	 E = senx + cosx + senx – cosx
	 	       1
4
4
2
4
4
3
	                                        
1
4
4
2
4
4
3
		 +	 –
	 Del gráfico, vemos que:	 cosx > senx
	 	 1
2
3
	 1
2
3
		 (+)	 (–)
	 Efectuando: E = senx + cosx – senx + cosx ⇒ E = 2cosx
O
B
A
A'
B'
cosx
senx
x
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Completar: secx . cscx = .................
2.	 Reducir: A = secx . cscx – tanx
3.	 Completar:
•	 sen4x + cos4x= 1 – 2sen x . cos x
•	 sen6x + cos6x= 1 – 3sen x . cos x
4.	 Reducir: P = 3sen4x + 3cos4x – 2sen6x – 2cos6x
5.	 Reducir: B = (secx . cscx – 2tanx)tanx – 1
Aprende más...
1.	 Simplificar: P = (secx . cscx – cotx) . cscx
a)	1	 b)	cosx	 c)	senx		
d)	sec2x	 e)	secx
2.	 Simplificar: M = sec2x . csc2x – cot2x – tan2x
a)	
1	b)	
2	c)
	
1
2		
d)	 – 2	 e)	 – 1
3.	 Simplificar: M =
secx . cscx – tanx
secx . cscx – cotx
cot4x
a)	tan2x	 b)	cot2x	 c)	tan6x		
d)	cot6x	 e)	cos4x
4.	 Simplificar: L =
sec2x . csc2x – cot2x
secx + cosx
a)	1	 b)	cosx	 c)	secx		
d)	cscx	 e)	senx
5.	 Si:
secx . cscx + tanx
secx . cscx + cotx
=
3
4
	 Calcular: M = 5tan2x + 2cot2x
a)	3	 b)	4	 c)	6		
d)	 7	 e)	 9
6.	 Simplificar: P =
7(sen4x + cos4x) + 21
sen6x + cos6x + 5
a)
	
2
3	
b)
	
7
3	
c)
	
28
3 		
d)
	
14
3 	
e)
	
5
3
130
Identidades trigonométricas auxiliares de una variable
TRILCE
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7.	 Siendo: senx – cosx = n
	 Hallar: P = secx – cscx
a)	
n
n2 – 1
	b)	
2n
1 – n2
	c)	
2n
n2 – 1
		
d)	
n
1 – n2
	e)	
2n2
1 – n2
8.	 Siendo: tanx + cotx = 6, calcular:
	 M = (senx + cosx)2
a)	
1
3
	b)	
2
3
	c)	
4
3
		
d)	2	 e)	
5
3
9.	 Si: tanx + cotx = 5, calcular: L=sen4x + cos4x
a)	 0,2	 b)	 0,3	 c)	 0,4 		
d)	 0,5	 e)	 0,6
10.	Si: tanq + cotq = 5
	 calcular: P = sen2q . tanq + cos2q . cotq
a)	3	 b)	
23
4
	 c)	4		
d)	
23
5 	
e)
	
2
3
11.	Si: tanx + cotx = 3, calcular:
	 P = sen4x . tanx + cos4x . cotx
a)	3	 b)	2	 c)	4		
d)	
4
3
	e)	
2
3
12.	Simplificar: Q =
sec4x + csc4x – sec4x . csc4x
sen–2x + cos–2x
a)	1	 b)	–1	 c)	2		
d)	–2	 e)	–
1
2
13.	Si: senx + cosx =
1
3
, calcular:
	 M = (1 – senx)(1 – cosx)
a)
	
4
9	
b)
	
2
3	
c)
	
2
9		
d)
	
1
3	
e)
	
4
3
14.	Si: secx + tanx = 3, calcular: cosx
a)	 0,3	 b)	 0,4	 c)	 0,6		
d)	 0,8	 e)	 0,96
15.	Si: 3senx + 2cosx = 13
	 Calcular: J = 2tanx + 3cotx
a)	2	 b)	3	 c)	4		
d)	 5	 e)	 6
16.	Eliminar "x" de:
•	 sen4x + cos4x = a
•	 sen6x + cos6x = b
a)	 a – b = 1	 b)	 3a – b = 1		
c)	 3a + 2b = 1	 d)	 a – 2b = 1		
e)	 3a – 2b = 1
17.	Siendo: tanx + cotx = 3
	
calcular: S =
sen7x – cos7x
senx – cosx
a)
	
13
27	
b)
	
19
27	
c)
	
29
27		
d)
	
15
27	
e)
	
31
27
Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas
18.	En un avión viajan un ingeniero peruano y un entrenador de fútbol
extranjero. Se hacen amigos pero polemizan sobre fútbol, conversa-
ron bastante y el entrenador da las formaciones de un equipo ideal
de fútbol luego, el peruano le pregunta: "¿sabes matemáticas?" el
entrenador asiente, y agrega que el curso en el que mas rendía era
Trigonometría.
	 El ingeniero da los datos de un problema: si la edad de "Kaká" es "m" y está representado por la ex-
presión:
sen4x + cos4x
64–1 y además la edad de "Ronaldo" es "n" y está representado por la expresión:
sen6x + cos6x
64–1 , también se sabe que la edad del sobrino de "Kaká" está representado por la expresión:
sen2x . cos2x. El ingeniero le pregunta al D.T.: ¿qué edad tiene el sobrino de "Kaká"?
Razonamiento Matemático
131
3
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
¡Tú puedes!
1.	 Si: n = tanx + cotx (n ≠ – 2); el valor de: Q =
sen3x + cos3x
(senx + cosx)3 es:
a)
	
1
n + 2	
b)
	
n – 2
n + 2	
c)
	
n + 1
n + 2	
d)
	
n – 1
n + 2	
e)
	
n
n + 2
2.	 Indica la extensión de: M = (1 + sen4x + cos4x)(2 + sen6x + cos6x) + 3 + sen8x + cos8x (x ∈ )
a)	 [1; 20]	 b)	 [10; 20]	 c)
	
10;
21
2 	
d)	
11
2
; 12 	e)	
13
2
; 10
3.	 Si: seca – csca = – 3, calcular: M = tana – cota
a)	 3	 b)	– 3	c)	
5	 d)	– 5	e)	
± 5
4.	 Si: p
4
< q < p
2
y sen4q + cos4q =
7
9
, calcular: senq – cosq.
a)	 3	b)	
5	 c)	– 3
3 	
d)
	
2
3	
e)
	
3
3
5.	 Maximizar: F(x) = sen6x . cos2x + sen2x . cos6x
a)
	
1
8	
b)
	
1
4	
c)
	
3
8	
d)
	
1
16	
e)
	
3
4
Practica en casa
18:10:45
1.	 Reducir: M = (secx . cscx – tanx)secx
2.	 Reducir: A = sec2x . csc2x – tan2x – 1
3.	 Reducir:
	 C = (secx . cscx – tanx)(secx . cscx – cotx)
4.	 Reducir: C =
sen4x + cos4x – 1
sen6x + cos6x – 1
5.	 Simplificar: C =
3(sen4x + cos4x) + 5
sen6x + cos6x + 3
6.	 Reducir: M = (secx . cscx + 2 tanx)tanx – 1
7.	 Siendo: senx + cosx = n, hallar:
	 P = tanx + cotx
8.	 Siendo: tanx + cotx = 4, calcular:
	 P = (senx – cosx)2
9.	 Si: (1 + senx)(1 + cosx)=
5
6
	 Calcular: K = 1 + cosx + senx
10.	Si: cscx – cotx = 2, calcular: cotx.
11.	Si: 3 sen x + 4 cos x = 5
	 Calcular: C = 2 sen x + cos x
12.	Siendo: secx + tanx = 3, calcular:
	 K = secx . tanx
13.	Siendo: f(tanx+cotx) = secx + cscx, calcular:
f2(3)
14.	Simplificar: Q =
tan3x + cot3x – sec3x.csc3x
tanx + cotx
15.	Si: f(senx – cosx) =
sen4x + cos4x
sen6x + cos6x
, calcular: f
2
3
132
Repaso
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Repaso
Aprende más...
1.	 Reducir al primer cuadrante: sen340º
a)	 sen10º	 b)	 – sen10º	 c)	 sen20º		
d)	 – sen20º	 e)	 – sen70º
2.	 Calcular: cot300º
a)	– 3	b)	
3	 c)	– 3
3 		
d)	– 3
2 	
e)	 – 2 3
3.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda:
I.	 sen(– x) = senx
II.	 cos(– x) = – cosx
III.	 sen(p – x) = senx
a)	FVF	 b)	FFV	 c)	VVF 		
d)	VFV	 e)	VFF
4.	 Reducir: C =
sen(p + x)
cos 3p
2
+ x
+ tan(2p – x)
cot 3p
2
– x
a)	 1	 b)	 0	 c)	 –1		
d)	 2	 e)	 – 2
5.	 Reducir:
	 C = sen(90º + b).sec(180º + b).tan(270º – b)
a)	tanb	 b)	cotb	 c)	 – tanb 		
d)	 – cotb	 e)	 – secb
6.	 Simplificar: C =
sen(133p + q).cot 145p
2
– q
tan(321p + q).cos 135p
2
+ q
a)	1	 b)	– 1	 c)	senq		
d)	tan2q	 e)	 – tan2q
7.	 Si: A + B + C = 180°, indica el equivalente
de: sen(B + C)
a)	senA	 b)	senB	 c)	cosA		
d)	 – senA	 e)	 – cosA
8.	 Señalar el equivalente de:
	 C = tan(x – 180º).tan(x – 90º).tan(x – 270º)
a)	 tanx	 b)	 – tanx	 c)	 cotx 		
d)	 – cotx	 e)	 tan2x
9.	 ¿Cuál de los siguientes valores es mayor?
a)	 sen10º	 b)	 sen70º	 c)	 sen100º	
d)	 sen120º	 e)	 sen160º
10.	Señale la expresión de mayor valor:
a)	 cos50º	 b)	 cos40º	 c)	 cos340º	
d)	 cos120º	 e)	 cos200º
11.	Señale si es verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda en:
I.	 sen140º > sen160º
II.	 sen200º < sen250º
III.	 |sen200º| > |cos200º|
a)	VVV	 b)	VFV	 c)	VVF 		
d)	FVV	 e)	VFF
12.	En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
	
q
M
x
O
B
A
A’
B’
y
a)	–
1
2
senq	 b)	–
1
2
cosq	 c)	 – senq	
	
d)	 – cosq	 e)	 – 2senq
Razonamiento Matemático
133
4
Trigonometría
Unidad VII
Central: 619-8100
13.	Sabiendo que "a" ∈ IIC, señale la extensión de:
	 C = 3cosa + 2
a)	 [2; 3]	 b)	 〈2; 3〉	c)	
〈– 1; 2〉	
d)	 [–1; 2]	 e)	 [1; 5]
14.	Si: q ∈ IIIC y senq =
5k – 3
9
.
	 Entonces la extensión de "k" es:
a)
	
–
6
5
;
3
5 	
b)
	
–
1
5
;
1
5 	
c)
	
–
1
5
;
1
5 	
d)
	
–
6
5
;
3
5 	
e)
	
–
3
5
;
2
5
15.	Sabiendo que: 30º < a < 120º; señale la ex-
tensión de: C = 4sena – 1
a)	 〈1; 3]	 b)	 〈1; 3〉			
c)	 〈1; 2 3 + 1〉	d)	
〈1; 2 3 + 1]		
e)	 〈2; 3〉
16.	Reducir: M = (secx – cosx) (cscx – senx) tanx
a)	sen2x	 b)	cos2x	 c)	sec2x		
d)	csc2x	 e)	tan2x
17.	Hallar "a" para que la siguiente igualdad sea po-
sible:
	tan2x – sen2x = a.sen2x
a)	cos2x	 b)	cot2x	 c)	sec2x		
d)	csc2x	 e)	tan2x
18.	Si: tanx + cotx = 3, calcular:
	 E = tanx(1 + tanx) + cotx(1 + cotx)
a)	 5	 b)	 6	 c)	 7		
d)	 10	 e)	 12
19.	Si: tanx + cotx = 3, calcular:
	
cot
R
tg x
tg x
ctg x
x
1 1
2
3
2
3
=
+
+
+
a)
	
4
3	
b)
	
5
3	
c)	2		
d)	3	 e)
	
7
3
20.	Si: 4cos2a + 4cos2a . cosq – 1 = 0, calcular:
	 S = sec2x + cos2q – cosq
a)	 3	 b)	 2	 c)	 5		
d)	 7	 e)	 9
Practica en casa
18:10:45
1.	 Reducir al primer cuadrante: tan2433º
2.	 Relacionar según corresponda:
I.	 sen(p + x)	 a. senx
II.	 cos(p
2
– x)	 b. – tanx
III.	 tan(p – x)	 c. – senx
3.	 Simplificar: sen(180º – a) + cos(90° – a)
4.	 Reducir:
C=tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q)
5.	 Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda:
I.	 sen40° > sen130º
II.	 sen260°> sen300º
III.	 sen160° > sen260º
6.	 Señala si es verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda en:
I.	 cos320º > cos340º
II.	 cos100º < cos160º
III.	 |cos200º| < |cos140º|
7.	 En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada.
	
q
M
x
O
B
A
A’
B’
y
134
Repaso
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
8.	 Si: q ∈ IIIC y cosq =
3k + 2
7
	 Entonces la extensión de "k" es:
9.	 En la C.T. mostrada, calcular la longitud del seg-
mento A'P
	
b
P x
B
A
A’
B’
y
C.T.
10.	Si "A" es el máximo valor y "B" es el mínimo
valor de la función: Y = 2 – 3senx, hallar: A – B
11.	Ordenar en forma creciente:
	 cos80°; cos100°; cos250°; cos280°
12.	Siendo: x – y = p, reducir:
	
C =
1 + sen(senx) + sen(seny)
1 + cos(cosx) - cos(cosy)
13.	Indica si es verdadero (V) o falso (F)
	
Si: p
2
< x1 < x2 < p
I.	 cosx1 = cosx2
II.	 cosx1 > cosx2
III.	 cosx1 < cosx2
14.	Si: 3senx + 4cosx = 5
Calcular: E = 3senx – 4cosx
15.	Sabiendo que: tanx =
3
7
	
Calcular: R =
7senx – 3cosx
3senx + 7 cosx

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Trigonometria 7

  • 1. UNIDAD III UNIDAD VII Todo ser humano tiene identidad El amor es una expresión matemática y no solo un complemento perfecto. sen2x + cos2x = 1 Si se compara a una familia común se deduce que sen2x representa a la madre y el cos2x representa al padre y que la unión siempre debe ser la unidad perfecta del amor. ¿Existirán más expresiones matemáticas que represente el amor perfecto? Toda familia está representada por los padres e hijos. ¿Existirá forma de representar a los hijos en una expresión trigonométrica? Comunicación matemática • Reconocer y utilizar las fórmulas de las identidades fundamentales y auxiliares. Resolución de problemas • Resolver problemas y demostrar las iden- tidades trigonométricas. • Utilizar las identidades fundamentales y auxiliares. • Identificar las fórmulas y estrategias para la resolución de problemas. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Definir las identidades e identificar los di- ferentes tipos de problemas de condición y demostración.
  • 2. 114 Identidades trigonométricas de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Identidades trigonométricas de una variable Conceptos básicos Expresión trigonométrica Llamamos expresión trigonométrica a la expresión matemática que contiene términos como: senx; cosb; tanq; ...; etc..; en donde las letras "x"; "b" y "q" se llaman variables. Ejemplo: Las siguientes son expresiones trigonométricas: tanx + senx; cotq + senq secq ; 1 + cosb; sec2x – tan2x; cota . cotd + 1 cota – cotd ; 2sen2x – 1 Identidad Se llama identidad a la igualdad entre dos expresiones matemáticas que se cumple para todo valor que se asigne a sus variables para las que están definidas. Ejemplos: Son identidades las siguientes expresiones matemáticas: • ∀ x ∈ se cumple: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) • ∀ x ∈ se cumple: x3 – 1 x – 1 = x2 + x + 1 • ∀ x ∈ se cumple: x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) Identidades trigonométricas Se llama identidad trigonométrica a la igualdad formada por expresiones trigonométricas que se verifican para todos los valores admitidos de su variable. Ejemplos: Las siguientes expresiones son identidades trigonométricas. • ∀ x ∈ se cumple: sen2x = 1 – cos2x • ∀ x ≠ np; n ∈ , se cumple: cotx = cosx senx Identidades trigonométricas fundamentales Las identidades trigonométricas fundamentales o básicas son un grupo de identidades que muestran a las razones trigonométricas de un mismo ángulo, relacionados mediante operaciones elementales de adición, multiplicación o potencia natural. Las identidades fundamentales son 8 y entre ellas tenemos las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, que permiten obtener la mayoría de las identidades trigonométricas.
  • 3. Razonamiento Matemático 115 1 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 Identidades recíprocas senx . cscx = 1; ∀ x ≠ np; n ∈ ⇒ cscx = 1 senx cosx . secx = 1; ∀ x ≠ (2n + 1)p 2 ; n ∈ ⇒ secx = 1 cosx tanx . cotx = 1; ∀ x ≠ np 2 ; n ∈ ⇒ cotx = 1 tanx Identidades por cociente tanx = senx cosx ; ∀ x ≠ (2n + 1)p 2 ; n ∈ cotx = cosx senx ; ∀ x ≠ np; n ∈ Identidades pitagóricas sen2x + cos2x = 1; ∀ x ∈ sen2x = 1 – cos2x cos2x = 1 – sen2x 1 + tan2x = sec2x; ∀ x ≠ (2n + 1)p 2 ; n ∈ sec2x – tan2x = 1 tan2x = sec2x – 1 1 + cot2x = csc2x; ∀ x ≠ np; n ∈ csc2x – cot2x = 1 cot2x = csc2x – 1 Los problemas presentados, son de demostración, simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema. Síntesis teórica
  • 4. 116 Identidades trigonométricas de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Problemas resueltos 1. Demostrar que: tan2x . cosx . cscx = tanx Resolución: En este problema la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicado y obtener el resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el colocar la expresión a reducir, en tér- minos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar: cscx = 1 senx ; secx = 1 cosx ; tanx = senx cosx ; cotx = cosx senx En el problema: tan2x . cosx . cscx = tanx; note que: tan2x = sen2x cos2x Luego: sen2x cos2x . cosx . 1 senx = tanx ⇒ Reduciendo: senx cosx = tanx 123 tanx tanx = tanx 2. Demuestre que: cosq 1 – senq – cosq 1 + senq = 2tanq Resolución: Efectuamos: cosq(1 + senq) – cosq(1 – senq) (1 + senq)(1 – senq) = 2tanq cosq + cosqsenq – cosq + cosqsenq 1 – sen2q = 2tanq 2cosqsenq cos2q = 2tanq 2senq cosq = 2tanq 2tanq = 2tanq 3. Demuestre que: 1 secx – 1 – 1 secx + 1 = 2cot2x Resolución: Efectuamos la parte más compleja y obtenemos: secx + 1 – secx + 1 (secx – 1)(secx + 1) = 2cot2x 2 sec2x – 1 = 2cot2x Pero, como sabemos: sec2x – 1 = tan2x Luego: 2 tan2x = 2cot2x 2 1 tan2x = 2cot2x 2cot2x = 2cot2x
  • 5. Razonamiento Matemático 117 1 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 4. Demuestre que: cot2x – cos2x = cot2x . cos2x Resolución: Convirtiendo a senos y cosenos, tendremos: cos2x sen2x – cos2x = cot2x . cos2x Efectuando: cos2x – cos2x sen2x sen2x = cot2x . cos2x Factorizando "cos2x" en el numerador, obtendremos: Luego: cos2x(1 – sen2x) sen2x = cot2x . cos2x cos2x sen2x cos2x= cot2x . cos2x ↓ cot2x . cos2x = cot2x . cos2x 5. Demuestre que: senq (1 + tanq) + cosq(1 + cotq) = secq + cscq Resolución: Pasando todo a senos y cosenos el primer miembro: senq 1 + senq cosq + cosq 1 + cosq senq senq cosq + senq cosq + cosq senq + cosq senq sen2q(cosq + senq) + cos2q(cosq + senq) cosqsenq Factorizando: cosq + senq (cosq + senq)(sen2q + cos2q) cosqsenq cosq + senq cosqsenq = cscq + secq Haciendo la división parcial: cosq cosqsenq + senq cosq senq = cscq + secq 1 senq + 1 cosq = cscq + secq Finalmente: cscq + secq = cscq + secq Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Reducir: C = 6cosx . tanx + senx 2. Reducir: M = 1 – cos2x cos2x 3. Demostrar: tanx + cotx = secx . cscx 4. Demostrar que: sec2x . cosx . senx = tanx 5. Demostrar que: (2senx . cosx . secx)2 + (2senx . cosx . cscx)2 = 4
  • 6. 118 Identidades trigonométricas de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Aprende más... 1. Reducir: M = tanx . cosx . csc2x a) 1 b) senx c) cosx d) secx e) cscx 2. Reducir: P = sen2x . cotx + cos2x . tanx a) senx . cosx b) 2senx . cosx c) 1 d) 2 e) secx.cscx 3. Reducir: M = sen3x (1 + cot2x) – (1 – cos2x) cscx a) 1 b) 2 c) 2senx d) 0 e) 2cosx 4. Reducir: Q = 1 – cos2x 1 – sen2x – tan2x a) senx b) cosx c) tanx d) cscx e) 0 5. Reducir: P = (tanx + cotx)sen2x a) senx b) cosx c) 1 d) tanx e) cotx 6. Reducir: A = (secx – cosx)(cscx – senx) secx a) senx b) cosx c) tanx d) cotx e) 1 7. Simplificar: A = (secx – cosx) ctgx – senx a) 2senx b) 1 c) 0 d) secx e) cscx 8. Simplificar: P = secx – senx cscx – cosx a) tanx b) cotx c) secx d) cscx e) 1 9. Simplificar: J= tanx – senx 1 – cosx a) 1 b) tanx c) ctgx d) secx e) cscx 10. Reducir: V = 1 + cosx senx + senx 1 + cosx a) 1 b) 2senx c) 2cosx d) 2secx e) 2cscx 11. Simplificar: Q = tanx – senx cotx – cosx 1 – senx 1 – cosx a) tanx b) tan2x c) cotx d) cot2x e) 1 12. Simplificar: M = 1 1 + tan2x + 1 1 + cot2x + tanx cotx a) secx b) tg2x c) 0 d) sec2x e) 1 + tanx 13. Simplificar: J = cosx 1 + tan2x secx + 1 a) – 1 b) 1 5 c) 1 2 d) 1 e) 2 14. Simplificar: M= 1 1 + sen2x + 1 1 + csc2x + 1 1 + cos2x + 1 1 + sec2x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Efectúa: N = 2 + sen4x + cos4x sen2x cos2x a) sec2x b) csc2x c) sec2x.csc2x d) tg2x e) ctg2x 16. Simplificar: 2 R tgx ctgx tg x ctg x 2 2 2 2 = + - + - - a) tanx b) cotx c) tanx + cotx d) 2 e) – 2 17. Simplificar: tan4x.sec2x – tan2x.sec2x + tan2x a) 1 b) 0 c) tan4x d) tan6x e) sec6x
  • 7. Razonamiento Matemático 119 1 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Un profesor de trigonometría elabora un plano para hacerle una casa a su mascota "Rex" pero su duda es, ¿qué altura va a tener la casa? sus posibilidades son las siguientes: "sen2q + cos2q" y "sec2x – tan2x" Ese momento va a evaluar a los alumnos Pepito y Jaimito y le pide, quiero encontrar la altura bajo las condiciones que pueden tomar las variables angulares: {0°; 45°; 60°; 180°} Altura Pepito dice: "Las alturas son diferentes." Jaimito dice: "Las alturas son iguales." ¿Quién da la respuesta correcta? 1. Reducir: cos csc M x tgx x tgx tg x tgx 1 3 = + + + + c m a) csc4x b) sec4x c) ctg4x d) 1 e) 2 2. Hallar los valores que puede tomar la expresión: Y = sen2x cos6x – cos4x sen6x – sen4x + senx – 1 a) [–1; 1] b) 〈– 1; 1〉 c) 〈– 1; 1〉 – {0} d) [– 1; 1] – {0} e) {–1; 0; 1} 3. Simplifique la expresión: E = tan2q . sen2q secq + cosq + 2 – tan2q + cos2q – 6 secq + cosq + 3 a) 2 b) 1 c) –1 d) 3 e) –2 4. Simplificar la expresión: cos cos K senx x senx x 1 1 1 1 = - - + + + , si: p x 2 3 < < a) – 2 b) – 2secx c) 2secx d) 2cosx e) – 2cosx 5. Calcular el valor de "k" para que la siguiente expresión sea una identidad: sec sec sen k 1 2 1 4 4 2 q q q - = - a) 1 b) 3 c) 2 d) –1 e) 2 1 ¡Tú puedes! p
  • 8. 120 Identidades trigonométricas de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Reducir: M = cotx . sen2x . secx 2. Reducir:P=senx.cosx.tanx+senx.cosx.cotx 3. Simplificar: M = tanx(1 + cosx) – sen2x . cscx 4. Reducir: A = (tanx + cotx)cos2x 5. Reducir: B = secx – senx . tanx 6. Reducir: A = 1 – sen2x 1 – cos2x + 1 7. Reducir: P = cscx – senx secx – cosx 8. Reducir: P = sec2x – 1 csc2x – 1 + 1 9. Reducir: M = (1 + tan2x) cosx – tanx . cscx 10. Reduce la expresión: E = senx 1 + cot2x cscx + 1 11. Reducir: J = tan2x + 1 1 + cot2x cot2x . secx . senx 12. Simplificar: W = tanx + secx + 1 cotx + cscx + 1 13. Simplificar: R = (sec2x + csc2x) sen2x – tan2x + 1 14. Simplificar: V = secx(cosx + senx) – 1 cscx(senx + cosx) – 1 15. Simplificar: R = (1 – 2sen2x)2+4sen2x cos2x Practica en casa 18:10:45
  • 9. Razonamiento Matemático 121 2 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 Expresiones trigonométricas condicionales Conceptos básicos Definición Se llama expresión trigonométrica condicional a aquella en que las variables o coeficientes están relacionadas de un modo específico. A continuación, citaremos ejemplos que ilustran el cálculo de expresiones trigonométricas a partir de una condición dada, que establece una relación entre otras expresiones trigonométricas. Problemas resueltos 1. Si: secq – cosq = 8; calculemos el valor de: M = sec2q + cos2q Resolución: Elevamos al cuadrado la condición, así: secq – cosq = 8 ⇒ (secq – cosq)2 = 82 Operando: sec2q + cos2q – 2secqcosq = 64 14243 1 Finalmente obtenemos la expresión que nos piden calcular: sec2q + cos2q = 66 ⇒ M = 66 2. Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan3x + cot3x Resolución: Recordando la identidad algebraica de la suma tendremos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Entonces: tan3x + cot3x = (tanx + cotx)(tan2x – tanx . cotx + cot2x) 14243 1 Sustituyendo la condición: = 5(tan2x + cot2x – 1) Asimismo: (tanx + cotx)2 = 52 tan2x + cot2x + 2tanxcotx = 25 ⇒ tan2x + cot2x = 23 1 4 2 4 3 1 Finalmente: tan3x + cot3x = 5(23 – 1) ⇒ tan3x + cot3x = 110 3. Si: En = secn – 3x – tann – 3x, ¿a qué es igual: M = E7 + E5 E7 – E5 ? Resolución: • Para: n = 7 ⇒ E7 = sec4x – tan4x Aplicando diferencia de cuadrados: E7 = (sec2x + tan2x)(sec2x – tan2x) 1442443 1 Entonces: E7 = sec2x + tan2x
  • 10. 122 Expresiones trigonométricas condicionales TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe • Para: n = 5 ⇒ E5 = sec2x – tan2x ⇒ E5 = 1 1 4 4 2 4 4 3 1 Luego reemplazando en "M": M = sec2x + tan2x + 1 sec2x + tan2x – 1 Recordar: tan2x + 1 = sec2x Luego reemplazando convenientemente: M = sec2x + sec2x 1 + tan2x + tan2x – 1 = 2sec2x 2tan2x Pasando a senos y cosenos: M = 1 cos2x sen2x cos2x = 1 sen2x ⇒ M = csc2x 4. Si: sen2x + cos2y = 5 4 , hallar el valor de: E = sen4x – cos4y sen4y – cos4x Resolución: Utilizando las identidades algebraicas en la expresión dada para "E", tendremos: E = (sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y) (sen2y – cos2x)(sen2y + cos2x) a2 – b2 = (a + b)(a – b) Recordar: sen2q = 1 – cos2q ; cos2q = 1 – sen2q Luego: E = (sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y) (1 – cos2y – 1 + sen2x)(1 – cos2y + 1 – sen2x) = sen2x + cos2y 2 – (sen2x + cos2y) ... (*) Reemplazando finalmente el dato del problema en (*): E = 5 4 2 – 5 4 ⇒ E = 5 3 Eliminación de expresiones trigonométricas Eliminar expresiones trigonométricas de una expresión matemática es un proceso cuyo propósito es independizar la expresión de toda razón trigonométrica. Resulta útil prescindir de las expresiones trigonométricas para determinados fines de cálculo. Problemas resueltos 1. Eliminar "q" de: a tanq = b secq = c cotq Resolución: a tanq = b secq = c cotq = k Luego: a = ktanq ...... (1) b = ksecq ...... (2) c = kcotq ...... (3) De: (2)2 – (1)2: b2 – a2 = k2(sec2q – tan2q) ⇒ b2 – a2 = k2.............................. (4) 14243 1
  • 11. Razonamiento Matemático 123 2 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 De: (1) . (3): a . c = k2(tanqcotq) → a . c = k2.............................. (5) 123 1 De: (5) en (4): b2 – a2 = ac 2. Eliminar "a" de las ecuaciones: tana + sena = a .............................. (1) tana – sena = b............................... (2) Resolución: Resolviendo (1) y (2), obtendremos: tana= a + b 2 y sena = a – b 2 De donde es fácil deducir que: cota = 2 a + b y csca = 2 a – b Recordar: csc2a – cot2a = 1 2 a – b 2 – 2 a + b 2 = 1 Operando: 4(a + b)2 – 4(a – b)2 = (a2 – b2)2 ⇒ 4(4ab) = (a2 – b2)2 ⇒ 16ab = (a2 – b2)2 3. Eliminar "q" y "f" de las ecuaciones: p = acosq cosf ... (1) q = bcosq senf ... (2) r = c senq ... (3) Resolución: De (1): p a = cosq cosf De (2): q b = cosq senf Elevando al cuadrado las expresiones, tendremos: p2 a2 + q2 b2 = cos2q(cos2f + sen2f) ⇒ cos2q = p2 a2 + q2 b2 ................................................................ (4) 1442443 1 De (3): senq = r c . ......................................................................................................................... (5) Recordar: sen2q + cos2q = 1 Reemplazando (4) y (5) en la ecuación anterior: ⇒ r2 c2 + p2 a2 + q2 b2 = 1 Aplica lo comprendido 10x 5 50 1. Si: cotx . senx = 2 3 ⇒ secx = .............. 2. Si: senx – cosx = 3, determinar: senx . cosx 3. Si: tanx + cotx = 5, determinar: senx . cosx En los siguientes problemas, eliminar "x". 4. Si: senx = m ∧ cscx = n 5. Si: cosx = p2 ∧ secx = 1 q2
  • 12. 124 Expresiones trigonométricas condicionales TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 1. Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan2x + cot2x a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 2. Si: senx – cosx = 5 6 , calcular: senx . cosx a) 1 3 b) 1 4 c) 1 12 d) 1 15 e) 1 16 3. Si: senq + cosq = 3 5 , calcular: senq . cosq a) – 1 4 b) – 1 3 c) – 1 5 d) – 1 6 e) – 1 7 4. Sabiendo que se cumple la siguiente condición: 8cosq – 1 = tan2q Hallar el valor de: M = tan6q – tan4q – tan2q a) 12 b) 4 c) 6 d) 8 e) 15 5. Si: acos2x + bsen2x = c Calcular: asen2x + bcos2x a) a + b + c b) a + b – c c) a – b – c d) a + c – b e) (a – b + c)2 6. Si: msec2x + ncsc2x = r Calcular: mtan2x + ncot2x a) r + m + n b) r – m + n c) r – m – n d) r + m – n e) m + n – r 7. Si se cumple: 3senx + cos2x = 2 Hallar: J = csc2x + sen2x a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. Si se cumple: 4cosx + sen2x = 2 Hallar: J = sec2x + cos2x a) 6 b) 16 c) 8 d) 14 e) 7 9. Hallar una relación entre "m" y "n" indepen- dientemente de la variable angular "q", si: • senq + cosq = m • senq . cosq = n a) 1 + n = m b) 1 + n2 = m2 c) 1 + 2n = m2 d) 1 – 2n = m2 e) 1 + 2m = n2 10. Hallar una relación entre "a" y "b" independien- temente de la variable angular "x", si: • senx – cosx = a • senx . cosx = b a) 1 – 2b = a b) 1 – 2b = a2 c) 1 + a2 = 2b d) 1 – 2a = 2b2 e) 1 + 2b = a2 11. Eliminar la variable angular "q", a partir de: • acotq + 1=cscq • bcotq – 1 = cscq a) a+b=1 b) a2 +b2 =1 c) ab=1 d) a–b=1 e) 2ab=1 12. Eliminar "x" de: • asecx + btanx = c • atanx + bsecx = d a) a2 + c2 = bd b) a2 + c2 = b2 + d2 c) a2 + b2 = c2 + d2 d) a2 + d2 = b2 + c2 e) ab = cd 13. Eliminar "x" de: • sec4x – tan4x = 1 + a + b • csc4x – cot4x = 1 + b – a a) a2 – b2 = 2 b) a2 – b2 = 4 c) a2 + b2 = 1 d) b2 – a2 = 2 e) b2 – a2 = 4 14. Eliminar la variable angular "x" a partir de: • mtanx + 1 = secx • ntanx – 1 =secx a) m + n = 1 b) m – n = 1 c) m2 + n2 = 1 d) mn = 1 e) m = n 15. Eliminar "q" de: • mcscq + nctgq = r • mctgq + ncscq = s a) m2 + n2 = r2 + s2 b) m2 + s2 = n2 + r2 c) m2 + s2 = n2 – r2 d) m2 + n2 = r . s e) s2 – m2 = r2 – n2 Aprende más...
  • 13. Razonamiento Matemático 125 2 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 ¡Tú puedes! 1. Si: cotx = 2 + cosx, hallar el valor de: M = 4(secx + tanx) cosx – (secx – tanx) tanx sec2x a) – 4 b) 4 c) 2 d) – 2 e) 1 2. Eliminar "q" a partir de: • a sen2q + bcscq = a • a cos2q + csecq = a a) b2 + c2 = a2 b) b2 + c2 = abc c) (b2 + c2)2 = abc d) (b2 + c2)3 = (abc)3 e) b2 + c2 = 3abc 3. Si: 2sec4x – 3sec2x + 2 = cos2x cos2q , hallar la expresión equivalente de: M = 2tan4x + 3tan2x + 2. a) tan2x tan2q b) tan2q tan2x c) tan2q sec2x d) sec2q tan2x e) sec2x tan2q 4. Si: tan2x + cot2x = 7; x ∈ 0; p 4 , calcular: M = tan4x – tan2x + cot2x – cot4x. a) 18 5 b) – 18 c) – 18 5 d) 20 e) 18 5. Si: sec2x = ntanx, hallar: sen3x + cos3x (senx + cosx)3 a) n n 2 1 + + b) n n 1 2 - - c) n n 2 1 + - d) n n 1 2 + + e) n n 1 2 - + Practica en casa 18:10:45 1. Si: tanx – cotx = 3, calcular: C = tan2x + cot2x. 2. Si: senx + cos x = 5 3 , calcular: A = senx . cosx 3. Si: senx - cos x = 3 4 , calcular: U=senx . cosx 4. Si: tanx + cotx = 3, calcular: D = (senx + 2cosx)2 + (2senx + cosx)2 5. Si: sen4x + cos4x = 5 8 , calcular: A = senx . cosx 6. Si: secx + tanx = 3, calcular: secx 7. Si: cscx + ctgx = 2, calcular: cscx 8. Si: 3senx + 4cosx = 5, calcular: C = 2senx + cosx 9. Si: senx + 3cosx = 2, calcular: L = 2cos2x + sen2x 10. Siendo: secx – cosx = m; cscx – senx = n Hallar: tanx 11. Eliminar "x" en: tanx + cotx = a ∧ sec2x + csc2x = b
  • 14. 126 Expresiones trigonométricas condicionales TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 12. Eliminar "x" a partir de: • senx = n • cosx = m 13. Eliminar "x" a partir de: • tanx + cotx = a • tanx – cotx = b 14. Eliminar "q" de: • cos2q = a3senq • sen2q = b3cosq 15. Eliminar "x" en: • tanx + senx = m • tanx – senx = n
  • 15. Razonamiento Matemático 127 3 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 Identidades trigonométricas auxiliares de una variable Conceptos básicos Es un conjunto de identidades trigonométricas que se obtienen por la aplicación de las identidades fundamentales. 1. sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x . cos2x 2. sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x . cos2x 3. sen4x – cos4x = sen2x – cos2x 4. tanx + cotx = secx . cscx 5. sec2x + csc2x = sec2x . csc2x 6. (1 ± senx ± cosx)2 = 2(1 ± senx)(1 ± cosx) 7. (senx ± cosx)2=1 ± 2senx . cosx 8. (senx+cosx+1)(senx+cosx–1)=2senx . cosx 9. tan2x – sen2x = tan2x . sen2x 10. cot2x – cos2x = cot2x . cos2x 11. senx 1 + cosx = 1 – cosx senx 12. cosx 1 + senx = 1 – senx cosx 13. sec4x + tan4x = 1 + 2tan2x . sec2x 14. csc4x + cot4x = 1 + 2cot2x . csc2x 15. Si: secx + tanx = m ⇒ secx – tanx = 1 m 16. Si: cscx + cotx = n ⇒ cscx – cotx = 1 n 17. vers x = 1 – cos x 18. covx = 1 – senx 19. exsecx = secx –1
  • 16. 128 Identidades trigonométricas auxiliares de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Síntesis teórica Problemas resueltos 1. Calcular "k" para que la expresión "E" sea independiente de "x": E=2(sen4x+cos4x)+k(sen6x+cos6x) Resolución: Utilizando las identidades auxiliares: sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x cos2x sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x cos2x Reemplazamos en la expresión "E": E = 2(1 – 2sen2x cos2x)+ k(1 – 3sen2x cos2x) E = 2 – 4sen2x cos2x + k – 3ksen2x cos2x Agrupamos convenientemente: E = (k+2) – (4sen2x cos2x + 3ksen2x cos2x) E = (k + 2) – sen2x cos2x (4 + 3k) Para que la expresión "E" no dependa de "x" observa que (4 + 3k) debe ser cero, es decir: k = – 4 3 2. Si: 3(1 + senx – cosx)2 = A(1 + senx)(1 – cosx), hallar "A" Resolución: Recordar: (1+senx – cosx)2 = 2(1 + senx)(1 – cosx) Reemplazando dicho equivalente en la condición inicial, tendremos: 3 . 2(1 + senx) (1 – cosx) Simplificando y comparando ambas expresiones obtendremos: A = 6
  • 17. Razonamiento Matemático 129 3 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 3. Si: x ∈ 0; p 4 , simplificar: E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx Resolución: Reemplazando por su equivalente, se tendrá: E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx 1442443 1442443 (senx + cosx)2 (senx – cosx)2 E = (senx + cosx)2 + (senx – cosx)2 E = senx + cosx + senx – cosx 1 4 4 2 4 4 3 1 4 4 2 4 4 3 + – Del gráfico, vemos que: cosx > senx 1 2 3 1 2 3 (+) (–) Efectuando: E = senx + cosx – senx + cosx ⇒ E = 2cosx O B A A' B' cosx senx x Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Completar: secx . cscx = ................. 2. Reducir: A = secx . cscx – tanx 3. Completar: • sen4x + cos4x= 1 – 2sen x . cos x • sen6x + cos6x= 1 – 3sen x . cos x 4. Reducir: P = 3sen4x + 3cos4x – 2sen6x – 2cos6x 5. Reducir: B = (secx . cscx – 2tanx)tanx – 1 Aprende más... 1. Simplificar: P = (secx . cscx – cotx) . cscx a) 1 b) cosx c) senx d) sec2x e) secx 2. Simplificar: M = sec2x . csc2x – cot2x – tan2x a) 1 b) 2 c) 1 2 d) – 2 e) – 1 3. Simplificar: M = secx . cscx – tanx secx . cscx – cotx cot4x a) tan2x b) cot2x c) tan6x d) cot6x e) cos4x 4. Simplificar: L = sec2x . csc2x – cot2x secx + cosx a) 1 b) cosx c) secx d) cscx e) senx 5. Si: secx . cscx + tanx secx . cscx + cotx = 3 4 Calcular: M = 5tan2x + 2cot2x a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 6. Simplificar: P = 7(sen4x + cos4x) + 21 sen6x + cos6x + 5 a) 2 3 b) 7 3 c) 28 3 d) 14 3 e) 5 3
  • 18. 130 Identidades trigonométricas auxiliares de una variable TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 7. Siendo: senx – cosx = n Hallar: P = secx – cscx a) n n2 – 1 b) 2n 1 – n2 c) 2n n2 – 1 d) n 1 – n2 e) 2n2 1 – n2 8. Siendo: tanx + cotx = 6, calcular: M = (senx + cosx)2 a) 1 3 b) 2 3 c) 4 3 d) 2 e) 5 3 9. Si: tanx + cotx = 5, calcular: L=sen4x + cos4x a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 10. Si: tanq + cotq = 5 calcular: P = sen2q . tanq + cos2q . cotq a) 3 b) 23 4 c) 4 d) 23 5 e) 2 3 11. Si: tanx + cotx = 3, calcular: P = sen4x . tanx + cos4x . cotx a) 3 b) 2 c) 4 d) 4 3 e) 2 3 12. Simplificar: Q = sec4x + csc4x – sec4x . csc4x sen–2x + cos–2x a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) – 1 2 13. Si: senx + cosx = 1 3 , calcular: M = (1 – senx)(1 – cosx) a) 4 9 b) 2 3 c) 2 9 d) 1 3 e) 4 3 14. Si: secx + tanx = 3, calcular: cosx a) 0,3 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,96 15. Si: 3senx + 2cosx = 13 Calcular: J = 2tanx + 3cotx a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 16. Eliminar "x" de: • sen4x + cos4x = a • sen6x + cos6x = b a) a – b = 1 b) 3a – b = 1 c) 3a + 2b = 1 d) a – 2b = 1 e) 3a – 2b = 1 17. Siendo: tanx + cotx = 3 calcular: S = sen7x – cos7x senx – cosx a) 13 27 b) 19 27 c) 29 27 d) 15 27 e) 31 27 Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En un avión viajan un ingeniero peruano y un entrenador de fútbol extranjero. Se hacen amigos pero polemizan sobre fútbol, conversa- ron bastante y el entrenador da las formaciones de un equipo ideal de fútbol luego, el peruano le pregunta: "¿sabes matemáticas?" el entrenador asiente, y agrega que el curso en el que mas rendía era Trigonometría. El ingeniero da los datos de un problema: si la edad de "Kaká" es "m" y está representado por la ex- presión: sen4x + cos4x 64–1 y además la edad de "Ronaldo" es "n" y está representado por la expresión: sen6x + cos6x 64–1 , también se sabe que la edad del sobrino de "Kaká" está representado por la expresión: sen2x . cos2x. El ingeniero le pregunta al D.T.: ¿qué edad tiene el sobrino de "Kaká"?
  • 19. Razonamiento Matemático 131 3 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 ¡Tú puedes! 1. Si: n = tanx + cotx (n ≠ – 2); el valor de: Q = sen3x + cos3x (senx + cosx)3 es: a) 1 n + 2 b) n – 2 n + 2 c) n + 1 n + 2 d) n – 1 n + 2 e) n n + 2 2. Indica la extensión de: M = (1 + sen4x + cos4x)(2 + sen6x + cos6x) + 3 + sen8x + cos8x (x ∈ ) a) [1; 20] b) [10; 20] c) 10; 21 2 d) 11 2 ; 12 e) 13 2 ; 10 3. Si: seca – csca = – 3, calcular: M = tana – cota a) 3 b) – 3 c) 5 d) – 5 e) ± 5 4. Si: p 4 < q < p 2 y sen4q + cos4q = 7 9 , calcular: senq – cosq. a) 3 b) 5 c) – 3 3 d) 2 3 e) 3 3 5. Maximizar: F(x) = sen6x . cos2x + sen2x . cos6x a) 1 8 b) 1 4 c) 3 8 d) 1 16 e) 3 4 Practica en casa 18:10:45 1. Reducir: M = (secx . cscx – tanx)secx 2. Reducir: A = sec2x . csc2x – tan2x – 1 3. Reducir: C = (secx . cscx – tanx)(secx . cscx – cotx) 4. Reducir: C = sen4x + cos4x – 1 sen6x + cos6x – 1 5. Simplificar: C = 3(sen4x + cos4x) + 5 sen6x + cos6x + 3 6. Reducir: M = (secx . cscx + 2 tanx)tanx – 1 7. Siendo: senx + cosx = n, hallar: P = tanx + cotx 8. Siendo: tanx + cotx = 4, calcular: P = (senx – cosx)2 9. Si: (1 + senx)(1 + cosx)= 5 6 Calcular: K = 1 + cosx + senx 10. Si: cscx – cotx = 2, calcular: cotx. 11. Si: 3 sen x + 4 cos x = 5 Calcular: C = 2 sen x + cos x 12. Siendo: secx + tanx = 3, calcular: K = secx . tanx 13. Siendo: f(tanx+cotx) = secx + cscx, calcular: f2(3) 14. Simplificar: Q = tan3x + cot3x – sec3x.csc3x tanx + cotx 15. Si: f(senx – cosx) = sen4x + cos4x sen6x + cos6x , calcular: f 2 3
  • 20. 132 Repaso TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Repaso Aprende más... 1. Reducir al primer cuadrante: sen340º a) sen10º b) – sen10º c) sen20º d) – sen20º e) – sen70º 2. Calcular: cot300º a) – 3 b) 3 c) – 3 3 d) – 3 2 e) – 2 3 3. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda: I. sen(– x) = senx II. cos(– x) = – cosx III. sen(p – x) = senx a) FVF b) FFV c) VVF d) VFV e) VFF 4. Reducir: C = sen(p + x) cos 3p 2 + x + tan(2p – x) cot 3p 2 – x a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) – 2 5. Reducir: C = sen(90º + b).sec(180º + b).tan(270º – b) a) tanb b) cotb c) – tanb d) – cotb e) – secb 6. Simplificar: C = sen(133p + q).cot 145p 2 – q tan(321p + q).cos 135p 2 + q a) 1 b) – 1 c) senq d) tan2q e) – tan2q 7. Si: A + B + C = 180°, indica el equivalente de: sen(B + C) a) senA b) senB c) cosA d) – senA e) – cosA 8. Señalar el equivalente de: C = tan(x – 180º).tan(x – 90º).tan(x – 270º) a) tanx b) – tanx c) cotx d) – cotx e) tan2x 9. ¿Cuál de los siguientes valores es mayor? a) sen10º b) sen70º c) sen100º d) sen120º e) sen160º 10. Señale la expresión de mayor valor: a) cos50º b) cos40º c) cos340º d) cos120º e) cos200º 11. Señale si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda en: I. sen140º > sen160º II. sen200º < sen250º III. |sen200º| > |cos200º| a) VVV b) VFV c) VVF d) FVV e) VFF 12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. q M x O B A A’ B’ y a) – 1 2 senq b) – 1 2 cosq c) – senq d) – cosq e) – 2senq
  • 21. Razonamiento Matemático 133 4 Trigonometría Unidad VII Central: 619-8100 13. Sabiendo que "a" ∈ IIC, señale la extensión de: C = 3cosa + 2 a) [2; 3] b) 〈2; 3〉 c) 〈– 1; 2〉 d) [–1; 2] e) [1; 5] 14. Si: q ∈ IIIC y senq = 5k – 3 9 . Entonces la extensión de "k" es: a) – 6 5 ; 3 5 b) – 1 5 ; 1 5 c) – 1 5 ; 1 5 d) – 6 5 ; 3 5 e) – 3 5 ; 2 5 15. Sabiendo que: 30º < a < 120º; señale la ex- tensión de: C = 4sena – 1 a) 〈1; 3] b) 〈1; 3〉 c) 〈1; 2 3 + 1〉 d) 〈1; 2 3 + 1] e) 〈2; 3〉 16. Reducir: M = (secx – cosx) (cscx – senx) tanx a) sen2x b) cos2x c) sec2x d) csc2x e) tan2x 17. Hallar "a" para que la siguiente igualdad sea po- sible: tan2x – sen2x = a.sen2x a) cos2x b) cot2x c) sec2x d) csc2x e) tan2x 18. Si: tanx + cotx = 3, calcular: E = tanx(1 + tanx) + cotx(1 + cotx) a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 19. Si: tanx + cotx = 3, calcular: cot R tg x tg x ctg x x 1 1 2 3 2 3 = + + + a) 4 3 b) 5 3 c) 2 d) 3 e) 7 3 20. Si: 4cos2a + 4cos2a . cosq – 1 = 0, calcular: S = sec2x + cos2q – cosq a) 3 b) 2 c) 5 d) 7 e) 9 Practica en casa 18:10:45 1. Reducir al primer cuadrante: tan2433º 2. Relacionar según corresponda: I. sen(p + x) a. senx II. cos(p 2 – x) b. – tanx III. tan(p – x) c. – senx 3. Simplificar: sen(180º – a) + cos(90° – a) 4. Reducir: C=tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q) 5. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda: I. sen40° > sen130º II. sen260°> sen300º III. sen160° > sen260º 6. Señala si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda en: I. cos320º > cos340º II. cos100º < cos160º III. |cos200º| < |cos140º| 7. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. q M x O B A A’ B’ y
  • 22. 134 Repaso TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 8. Si: q ∈ IIIC y cosq = 3k + 2 7 Entonces la extensión de "k" es: 9. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del seg- mento A'P b P x B A A’ B’ y C.T. 10. Si "A" es el máximo valor y "B" es el mínimo valor de la función: Y = 2 – 3senx, hallar: A – B 11. Ordenar en forma creciente: cos80°; cos100°; cos250°; cos280° 12. Siendo: x – y = p, reducir: C = 1 + sen(senx) + sen(seny) 1 + cos(cosx) - cos(cosy) 13. Indica si es verdadero (V) o falso (F) Si: p 2 < x1 < x2 < p I. cosx1 = cosx2 II. cosx1 > cosx2 III. cosx1 < cosx2 14. Si: 3senx + 4cosx = 5 Calcular: E = 3senx – 4cosx 15. Sabiendo que: tanx = 3 7 Calcular: R = 7senx – 3cosx 3senx + 7 cosx