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Trigonometria 8

Trigonometria 8

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UNIDAD VIII
Sumando y restando variables
Debemos tener mucho cuidado al operar sumas en variables afectadas por operadores trigonométricos
puesto que no es como sumar o multiplicar cualquier variable algebraica, por ejemplo es fácil operar esto:
A(X + Y) = A . X + A . Y; pero en variables afectadas por operadores trigonométricos no es posible esto:
sen(X + Y) = sen X + senY, esta operación es incorrecta puesto que el operador "sen" indica una determinada
operación a realizar que no es la multiplicación por sus variables, así en este capítulo encontraremos
fórmulas especiales para este tipo de expresiones.
Comunicación matemática
•	 Identificar la aplicación de fórmulas espe-
ciales para suma de variables.
Análisis y demostración
•	 Demostrar expresiones de sumas y dife-
rencia de variables.
Resolución de problemas
•	 Resolver problemas de simplificación so-
bre suma y diferencia de variables.
D
H
136
Sistemas de medición angular
TRILCE
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Identidades de la suma y
diferencia de variables I
Conceptos básicos
Fórmulas básicas
1.	 Para la suma de variables
		
sen(x + y) = senx . cosy + seny . cosx
	
cos(x + y)=cosx . cosy – senx . seny
	
tan(x + y) =
tanx + tany
1 – tanx . tany
Ejemplos:
Completa las fórmulas siguientes:
•	 sen(a + b) = sena . cosb + 	 •	 sen(70° + a) = sen70° . cosa +
•	 cos(20° + a) = cos20° . cosa – 	 •	 cos(a + 10°) =
•
	
tan(a + 10°) = tana +
1 – 	
•	 tan(45° + b) =
2.	 Para la diferencia de variables
		
sen(x – y) = senx . cosy – seny . cosx
	
cos(x – y)=cosx . cosy + senx . seny
	
tan(x – y) =
tanx – tany
1 + tanx . tany
Ejemplos:
Completa las fórmulas siguientes:
•	 sen(a – b) = sena . cosb – 	 •	 sen(20° – q) =
•	 cos(70° – x) = cos70° . cosx + 	 •	 cos(30° – x) = cos30° . cosx +
•
	
tan(x – 20°) =
	
•	 tan(60° – b) = __________________
Problemas resueltos
1.	 Demostrar que:
sen(a – b)
cosa . cosb
= tana – tanb
Resolución:
Desarrollando en el primer miembro:
sen(a – b)
cosa . cosb
= tana – tanb	 ⇒
sena . cosb – senb . cosa
cosa . cosb
= tana – tanb
Razonamiento Matemático
137
1
Trigonometría
Unidad I
Central: 619-8100
Desdoblando en fracciones homogéneas:
		
sena . cosb
cosa . cosb
–
senb . cosa
cosa . cosb 	
= tana – tanb
Reduciendo:
	
sena
cosa
–
senb
cosb	
= tana – tanb
	 	 123 123
demostrado:	tana – tanb	 = tana – tanb
2.	 Reducir: C = cos(60° + x) + cos(60° – x)
Resolución:
Desarrollando los dos miembros:
C = cos(60° + x) + cos(60° – x) = cos60° . cosx – sen60° . senx + cos60° . cosx + sen60° . senx
Reduciendo:
C = 2cos60° . cosx → pero: cos60° =
1
2
C = 2
1
2
. cosx ⇒ C = cosx
3.	 Reducir: C = tana + tanb + tana . tanb; si: a + b = 45°
Resolución:
Como:	 a + b = 45°	
⇒ tan(a + b) = tan45°
Desarrollando:
		
tana + tanb
1 – tana . tanb
= 1 → tana + tanb = 1 – tana . tanb
Trasladando términos:	 	
tana + tanb + tana . tanb = 1 ⇒ C = 1
4.	 Siendo: sena = 3
10
∧ senq = 2
5
("a" y "q" agudos), calcular: tan(a – q)
Resolución:
Como:
sena = 3
10
10 3
1
a
⇒ tana = 3 senq = 2
5
5 2
1
q
⇒ tanq = 2
	
Entonces: tan(a – q) =
tana – tanq
1 + tana . tanq
⇒ tan(a – q) =
3 – 2
1 + 3 . 2
⇒ tan(a – q) =
1
7
5.	 Del gráfico mostrado, calcular "tanq".
	
A B
D C
1
5
4
q
138
Sistemas de medición angular
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	 Resolución:
Del gráfico:
A B
D C
1
5
4
q
x
y
	Sea: ABD = x; ACD = y
Luego: q = x + y ... (prop. geométrica)
tanq = tan(x + y) ⇒ tanq =
tanx + tany
1 – tanx . tany
.
......	(1)
DAB: tanx = 4
ADC: tany =
4
5
En(1): tanq =
4 +
4
5
1 – 4 .
4
5
=
24
5
–
11
5
⇒ tanq = –
24
11
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1.	 Reducir: M =
sen(x + y) – senx . cosy
cosx . cosy
2.	 Si: tanx = 5 ∧ tany=3, calcular: tan(x – y)
3.	 Simplificar:
	 E = sen20° . cos25° + sen25° . cos20°
4.	 ¿A qué es igual:
	 P = cos40°. cos20° – sen40°. sen20° ?
5.	 Reducir: 						M =
sen4x – cos3x . senx
sen3x
Aprende más...
1.	 Reducir:
	 P =
sen(a + b) – senb . cosa
cosa . cosb
a)	tanb	 b)	tana	 c)	cota		
d)	cotb	 e)	1
2.	 Reducir:
	 M =
sen(a – q) + senq . cosa
cos(a – q) – cosa . cosq
a)	tanb	 b)	tanq	 c)	cota		
d)	cotq	 e)	1
3.	 Reducir:
	 J =
cos(45° + x) + cos(45° – x)
senx
a)	 2	 b)	2 2	 c)	cotx		
d)	 2cotx	 e)	2 2cotx
4.	 Si: senx + cosx = 3
4
, calcular:
	 A = sen(45° + x)
a)
	
6
2 	
b)
	
6
4 	
c)
	
3
4 		
d)
	
3
8 	
e)
	
6
8
5.	 Si: senx – 3cosx =
1
4
	 Calcular: A = sen(x – 60°)
a)
	
3
8 	
b)
	
3
4 	
c)
	
1
4		
d)
	
1
2	
e)
	
1
8
6.	 Reducir: J =
sen(x + y)
cosx . cosy
+
sen(z – x)
cosz . cosx
a)	 tanx	 b)	 tanz	 c)	 tany		
d)	 tanz – tany	 e)	 tanz+tany
Razonamiento Matemático
139
1
Trigonometría
Unidad I
Central: 619-8100
7.	 Reducir:
	
J =
sen(x – y)
cosx . cosy
+
sen(y – z)
cosy . cosz
+
sen(z – x)
cosz . cosx
a)	1	 b)	2			
c)	 0	 d)	 tanx + tany + tanz	
e)	 tanx . tany . tanz
8.	 Simplificar
	
A =
sen5x . cos3x – sen3x . cos5x
cos4x . cos2x + sen4x . sen2x
a)	tanx	 b)	tan2x	 c)	1		
d)	 tan3x	 e)	 tan5x
9.	 Simplificar:
	
A =
cos7x . cos4x + sen7x . sen4x
sen4x . cosx – senx . cos4x
a)	cotx	 b)	tanx	 c)	cot3x		
d)	tan3x	 e)	1
10.	Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que:
	
csca = 10 ∧ cscb = 13
2
, calcular: tan(a + b)
a)
	
7
9	
b)
	
5
9	
c)
	
9
5		
d)
	
9
7	
e)
	
4
3
11.	Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que:
	seca = 5 ∧ secb = 17
	 Calcular: tan(b – a)
a)
	
1
9	
b)
	
1
3	
c)
	
2
9		
d)
	
4
9	
e)
	
5
9
12.	Si: sen(x + y) = 3sen(x – y)
	 Calcular: C = tanx . coty
a)	1	 b)	2	 c)	3		
d)
	
1
2	
e)
	
1
3
13.	Si: cos(x – y) = 4cos(x + y)
	 Calcular: C = tanx . tany
a)	 0,2	 b)	 0,4	 c)	 0,6		
d)	 0,7	 e)	 0,8
14.	Del gráfico, calcular "tanf"
	
B C
D
A
E
2
5 1
f
a)
	
5
13	
b)
	
9
13	
c)
	
11
13		
d)
	
12
13	
e)
	
7
13
15.	Del gráfico, calcular "tanf", si: AB = 6 y BC = 4
	
A B
C
N
M
f
a)
	
9
13	
b)
	
5
13	
c)
	
6
13		
d)
	
7
13	
e)
	
8
13
16.	 Del gráfico, calcular "tanf", si ABCD es un cuadra-
do: BQ = QN; BN = NC ; AP = 3PD y AM=MB
	
B
Q N
C
D
A
M
P
f
a)	 3	 b)	 – 3	 c)	 5		
d)	 – 2	 e)	
5
3
17.	Del gráfico, calcular "tana", si ABCD es un cua-
drado y además: BC = 3CE.
	
B
C
E
F
D
A
a
a)
	
121
37 	
b)
	
81
37 	
c)
	
136
31 		
d)
	
141
37 	
e)
	
156
37
140
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¡Tú puedes!
1.	 Siendo:	 senx + seny = senz
		 cosx + cosy = cosz
Calcular: cos(x – y)
a)
	
1
2	
b)
	
3
2 	
c)
	
–
1
2	
d)
	
– 3
2 	
e)
	
– 2
2
2.	 Sabiendo que:
5
S senqi = 0
i = 1
;
5
S cosqi = 0
i = 1
, determine: C =
5
S sen(qi + x)
i = 1
+
5
S cos(qi + x)
i = 1
a)	 2	 b)	 –1	 c)	 0	 d)
	
1
2	
e)	–
1
2
3.	 En el gráfico mostrado, hallar el área del trapecio ABCD.
a)	sen(q + a) . sen(q – a)	 b)	cos(q + a) . cos(q – a)	
c)	sen(q + a) . cos(q – a)	 d)	sen(q – a) . cos(q + a)	
e)	2sen(q + a) . cos(q – a)
B
P
C
D
A
2
a q
4.	 Si: x + y + z = 90°, hallar el equivalente de: T = (cotx – tany)(coty – tanx)(cotx – tanz)
a)	 senx . seny . senz		 b)	 cosx . cosy . cosz		 c)	 cscx . cscy . cscz	
d)	 secx . secy . secz		 e)	 – secx . secy . secz
5.	 En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar la distancia entre
"M" y "N"
a)	 vers(a – b) 	b)	
cov(a – b)	c)	
2vers(a – b)			
d)	 2cov(a – b)	 e)	2 vers(a – b)
A'
B
A
B'
O
Y
X
M
N
a
b
Practica en casa
18:10:45
1.	 Reducir: A=
sen(a + b) – senb . cosa
sena . senb
2.	 Reducir: P=
cos(a + b) + senb . sena
sena . cosb
3.	 Demostrar que: sen(45° + x) =  2
2
(senx + cosx)
4.	 Reducir: M=
cos(60° + x) + cos(60° – x)
senx
5.	 Simplificar: C =
sen(x + y)
cosx . cosy
– tanx
6.	 Reducir: C =
cos(x – y)
senx . cosy
– cotx

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Trigonometria 8

  • 1. UNIDAD VIII Sumando y restando variables Debemos tener mucho cuidado al operar sumas en variables afectadas por operadores trigonométricos puesto que no es como sumar o multiplicar cualquier variable algebraica, por ejemplo es fácil operar esto: A(X + Y) = A . X + A . Y; pero en variables afectadas por operadores trigonométricos no es posible esto: sen(X + Y) = sen X + senY, esta operación es incorrecta puesto que el operador "sen" indica una determinada operación a realizar que no es la multiplicación por sus variables, así en este capítulo encontraremos fórmulas especiales para este tipo de expresiones. Comunicación matemática • Identificar la aplicación de fórmulas espe- ciales para suma de variables. Análisis y demostración • Demostrar expresiones de sumas y dife- rencia de variables. Resolución de problemas • Resolver problemas de simplificación so- bre suma y diferencia de variables. D H
  • 2. 136 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Identidades de la suma y diferencia de variables I Conceptos básicos Fórmulas básicas 1. Para la suma de variables sen(x + y) = senx . cosy + seny . cosx cos(x + y)=cosx . cosy – senx . seny tan(x + y) = tanx + tany 1 – tanx . tany Ejemplos: Completa las fórmulas siguientes: • sen(a + b) = sena . cosb + • sen(70° + a) = sen70° . cosa + • cos(20° + a) = cos20° . cosa – • cos(a + 10°) = • tan(a + 10°) = tana + 1 – • tan(45° + b) = 2. Para la diferencia de variables sen(x – y) = senx . cosy – seny . cosx cos(x – y)=cosx . cosy + senx . seny tan(x – y) = tanx – tany 1 + tanx . tany Ejemplos: Completa las fórmulas siguientes: • sen(a – b) = sena . cosb – • sen(20° – q) = • cos(70° – x) = cos70° . cosx + • cos(30° – x) = cos30° . cosx + • tan(x – 20°) = • tan(60° – b) = __________________ Problemas resueltos 1. Demostrar que: sen(a – b) cosa . cosb = tana – tanb Resolución: Desarrollando en el primer miembro: sen(a – b) cosa . cosb = tana – tanb ⇒ sena . cosb – senb . cosa cosa . cosb = tana – tanb
  • 3. Razonamiento Matemático 137 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 Desdoblando en fracciones homogéneas: sena . cosb cosa . cosb – senb . cosa cosa . cosb = tana – tanb Reduciendo: sena cosa – senb cosb = tana – tanb 123 123 demostrado: tana – tanb = tana – tanb 2. Reducir: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) Resolución: Desarrollando los dos miembros: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) = cos60° . cosx – sen60° . senx + cos60° . cosx + sen60° . senx Reduciendo: C = 2cos60° . cosx → pero: cos60° = 1 2 C = 2 1 2 . cosx ⇒ C = cosx 3. Reducir: C = tana + tanb + tana . tanb; si: a + b = 45° Resolución: Como: a + b = 45° ⇒ tan(a + b) = tan45° Desarrollando: tana + tanb 1 – tana . tanb = 1 → tana + tanb = 1 – tana . tanb Trasladando términos: tana + tanb + tana . tanb = 1 ⇒ C = 1 4. Siendo: sena = 3 10 ∧ senq = 2 5 ("a" y "q" agudos), calcular: tan(a – q) Resolución: Como: sena = 3 10 10 3 1 a ⇒ tana = 3 senq = 2 5 5 2 1 q ⇒ tanq = 2 Entonces: tan(a – q) = tana – tanq 1 + tana . tanq ⇒ tan(a – q) = 3 – 2 1 + 3 . 2 ⇒ tan(a – q) = 1 7 5. Del gráfico mostrado, calcular "tanq". A B D C 1 5 4 q
  • 4. 138 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Resolución: Del gráfico: A B D C 1 5 4 q x y Sea: ABD = x; ACD = y Luego: q = x + y ... (prop. geométrica) tanq = tan(x + y) ⇒ tanq = tanx + tany 1 – tanx . tany . ...... (1) DAB: tanx = 4 ADC: tany = 4 5 En(1): tanq = 4 + 4 5 1 – 4 . 4 5 = 24 5 – 11 5 ⇒ tanq = – 24 11 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Reducir: M = sen(x + y) – senx . cosy cosx . cosy 2. Si: tanx = 5 ∧ tany=3, calcular: tan(x – y) 3. Simplificar: E = sen20° . cos25° + sen25° . cos20° 4. ¿A qué es igual: P = cos40°. cos20° – sen40°. sen20° ? 5. Reducir: M = sen4x – cos3x . senx sen3x Aprende más... 1. Reducir: P = sen(a + b) – senb . cosa cosa . cosb a) tanb b) tana c) cota d) cotb e) 1 2. Reducir: M = sen(a – q) + senq . cosa cos(a – q) – cosa . cosq a) tanb b) tanq c) cota d) cotq e) 1 3. Reducir: J = cos(45° + x) + cos(45° – x) senx a) 2 b) 2 2 c) cotx d) 2cotx e) 2 2cotx 4. Si: senx + cosx = 3 4 , calcular: A = sen(45° + x) a) 6 2 b) 6 4 c) 3 4 d) 3 8 e) 6 8 5. Si: senx – 3cosx = 1 4 Calcular: A = sen(x – 60°) a) 3 8 b) 3 4 c) 1 4 d) 1 2 e) 1 8 6. Reducir: J = sen(x + y) cosx . cosy + sen(z – x) cosz . cosx a) tanx b) tanz c) tany d) tanz – tany e) tanz+tany
  • 5. Razonamiento Matemático 139 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 7. Reducir: J = sen(x – y) cosx . cosy + sen(y – z) cosy . cosz + sen(z – x) cosz . cosx a) 1 b) 2 c) 0 d) tanx + tany + tanz e) tanx . tany . tanz 8. Simplificar A = sen5x . cos3x – sen3x . cos5x cos4x . cos2x + sen4x . sen2x a) tanx b) tan2x c) 1 d) tan3x e) tan5x 9. Simplificar: A = cos7x . cos4x + sen7x . sen4x sen4x . cosx – senx . cos4x a) cotx b) tanx c) cot3x d) tan3x e) 1 10. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que: csca = 10 ∧ cscb = 13 2 , calcular: tan(a + b) a) 7 9 b) 5 9 c) 9 5 d) 9 7 e) 4 3 11. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que: seca = 5 ∧ secb = 17 Calcular: tan(b – a) a) 1 9 b) 1 3 c) 2 9 d) 4 9 e) 5 9 12. Si: sen(x + y) = 3sen(x – y) Calcular: C = tanx . coty a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 2 e) 1 3 13. Si: cos(x – y) = 4cos(x + y) Calcular: C = tanx . tany a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,7 e) 0,8 14. Del gráfico, calcular "tanf" B C D A E 2 5 1 f a) 5 13 b) 9 13 c) 11 13 d) 12 13 e) 7 13 15. Del gráfico, calcular "tanf", si: AB = 6 y BC = 4 A B C N M f a) 9 13 b) 5 13 c) 6 13 d) 7 13 e) 8 13 16. Del gráfico, calcular "tanf", si ABCD es un cuadra- do: BQ = QN; BN = NC ; AP = 3PD y AM=MB B Q N C D A M P f a) 3 b) – 3 c) 5 d) – 2 e) 5 3 17. Del gráfico, calcular "tana", si ABCD es un cua- drado y además: BC = 3CE. B C E F D A a a) 121 37 b) 81 37 c) 136 31 d) 141 37 e) 156 37
  • 6. 140 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe ¡Tú puedes! 1. Siendo: senx + seny = senz cosx + cosy = cosz Calcular: cos(x – y) a) 1 2 b) 3 2 c) – 1 2 d) – 3 2 e) – 2 2 2. Sabiendo que: 5 S senqi = 0 i = 1 ; 5 S cosqi = 0 i = 1 , determine: C = 5 S sen(qi + x) i = 1 + 5 S cos(qi + x) i = 1 a) 2 b) –1 c) 0 d) 1 2 e) – 1 2 3. En el gráfico mostrado, hallar el área del trapecio ABCD. a) sen(q + a) . sen(q – a) b) cos(q + a) . cos(q – a) c) sen(q + a) . cos(q – a) d) sen(q – a) . cos(q + a) e) 2sen(q + a) . cos(q – a) B P C D A 2 a q 4. Si: x + y + z = 90°, hallar el equivalente de: T = (cotx – tany)(coty – tanx)(cotx – tanz) a) senx . seny . senz b) cosx . cosy . cosz c) cscx . cscy . cscz d) secx . secy . secz e) – secx . secy . secz 5. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar la distancia entre "M" y "N" a) vers(a – b) b) cov(a – b) c) 2vers(a – b) d) 2cov(a – b) e) 2 vers(a – b) A' B A B' O Y X M N a b Practica en casa 18:10:45 1. Reducir: A= sen(a + b) – senb . cosa sena . senb 2. Reducir: P= cos(a + b) + senb . sena sena . cosb 3. Demostrar que: sen(45° + x) =  2 2 (senx + cosx) 4. Reducir: M= cos(60° + x) + cos(60° – x) senx 5. Simplificar: C = sen(x + y) cosx . cosy – tanx 6. Reducir: C = cos(x – y) senx . cosy – cotx
  • 7. Razonamiento Matemático 141 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 7. Reducir la expresión: M = sen40°.cos20° + cos40°.sen20° cos20°.cos10° – sen20°.sen10° 8. Si: sen(a + b) = 4sen(a – b) Calcular: Q = tana tanb 9. Sabiendo que "a" y "q" son agudos, tales que: cosa = 2 29 ∧ cosq = 2 13 , calcular: tan(a + q) 10. Sabiendo que "a" y "b" son agudos, tales que: sena = 3 13 ∧ senb = 1 5 , calcular: tan(a – b) 11. Del gráfico, calcular "tanq". A 5 6 N B M C 2 2 q 12. Si: x + y = 45° ∧ tanx= 1 6 , calcular: tany 13. Si: ABCD es un cuadrado, hallar "tanq" q A B D C P Q 2 3 1 14. Calcular: Q = tan50° tan70° – tan20° + 1 15. Si: tan(a + b + c) = 5 y tan(a + b) = 3 Calcular: cot(45° + c)
  • 8. 142 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 142 Identidades de la suma y diferencia de variables II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Identidades de la suma y diferencia de variables II Conceptos básicos Propiedades I. Si: K = A senx ± Bcosx ⇒ Kmáx = A2 + B2 Kmín = – A2 + B2 Ejemplos: • E = 3senx + 4cosx ⇒ Emáx = 32 + 42 = 5 Emín = – 32 + 42 = – 5 • E = 2senx – cosx ⇒ Emáx = Emín = II. tana + tanb + tana . tanb . tan(a + b) = tan(a + b) III. tana – tanb – tana . tanb . tan(a – b) = tan(a – b) Ejemplos: • tan12° + tan14° + tan12° . tan14° . tan26° = tan26° 123 12° + 14° • tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = ?? Note que: 3 =tan60°, luego la expresión sería: tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . 3 123 tan60° tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . tan60° = tan60°= 3 123 20º + 40° IV. Si: a + b + q = np ó 180° . n; n ∈ ⇒ tana + tanb + tanq = tana . tanb . tanq cota . cotb + cotb . cotq + cotq . cota = 1 Ejemplos: • tan40° + tan80° + tan60° = tan40° . tan80° . tan60° (ya que: 40° + 80° + 60° = 180°) • tan34° + tan66° + tan80° = • cot20° . cot60° + cot60° . cot100° + cot100° . cot20° = 1 (ya que: 20°+60°+100°=180°) • cot50° . cot70° + cot70° . cot60° + cot60° . cot50° =
  • 9. Razonamiento Matemático 143 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 Razonamiento Matemático 143 2 Trigonometría Unidad VIII Central: 619-8100 V. Si: a + b + q = (2n + 1)p 2 ó (2n + 1) . 90°; n ∈ ⇒ cota + cotb + cotq = cota . cotb . cotq tana . tanb + tanb . tanq + tanq . tana = 1 Ejemplos: • cot20° + cot60° + cot10° = cot20° . cot60°. cot10° (ya que: 20° + 60° + 10° = 90°) • tan20° . tan42° + tan42° . tan28° + tan28° . tan20° = 1 (ya que: 20° + 42° + 28° = 90°) Síntesis teórica
  • 10. 144 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 144 Identidades de la suma y diferencia de variables II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Problemas resueltos 1. Calcular la suma del máximo valor de: C = 3senx + 4cosx + 5, con el mínimo valor de: L = senx + 3cosx + 1 a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 12 Resolución: Analizando cada expresión: I. C = 3senx + 4cosx + 5, para que: C: máx ⇒ a: máx 1442443 a como: a = 3senx + 4cosx ⇒ amáx = 32 + 42 = 5, luego: Cmáx = 5 + 5 ⇒ Cmáx = 10 II. L = senx + 3cosx + 1, para que: L : mín ⇒ b: mín 1442443 b como: b = 1 . senx + 3cosx ⇒ bmín = – 12 + 32 = – 2 Luego: Lmín = – 2 + 1 ⇒ Lmín = – 1 III. Piden calcular: Cmáx + Lmín = 10 + (–1) ⇒ Cmáx + Lmín = 9 2. Señale la variación de: L = 2 2sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 a) [– 1; 3] b) [– 2; 4] c) [– 3; 5] d) [– 4; 6] e) [– 5; 5] Resolución: En este caso, primero, desarrollaremos la expresión: L = 2 2sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2(senx. cos45° + sen45° . cosx) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2 senx . 1 2 + 1 2 . cosx + senx + 2cosx + 1 Reduciendo: L = 2senx + 2cosx + senx + 2cosx + 1 ⇒ L = 3senx + 4cosx + 1 Pero, note que: 3senx + 4 cosx máx = 5 mín = – 5 ⇒ Lmáx = 5 + 1 = 6 Lmín = – 5 + 1 = – 4 ⇒ L ∈ [–4; 6] 3. Reducir: L = tan34° + tan26° + 3tan34° . tan26° tan33° + tan12° + tan33° . tan12° a) 1 b) 3 c) 3 3 d) 2 e) 2 3 Resolución: En el numerador: tan34° + tan26° + 3tan34° . tan26°= tan34° + tan26° + tan34° . tan26° . tan60° = tan60°= 3 En el denominador: tan33° + tan12° + 1 . tan33° . tan12° = tan33° + tan12° + tan33° . tan12° . tan45° = tan45° = 1
  • 11. Razonamiento Matemático 145 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 Razonamiento Matemático 145 2 Trigonometría Unidad VIII Central: 619-8100 En la expresión: L = tan34° + tan26° + 3tan34° . tan26° tan33° + tan12° + tan33° . tan12° ⇒ L = 3 1 ⇒ L = 3 4. En un triángulo ABC: tanA = 2 y tanB = 4. Calcular "tanC" a) 3 7 b) 5 6 c) 3 4 d) 6 7 e) 2 3 Resolución: Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180°, se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC (tanA = 2 y tanB = 4) Reemplazando: 2 + 4 + tanC = 2 . 4 . tanC 6 + tanC = 8tanC ⇒ 6 = 7tanC ⇒ tanC = 6 7 5. En un triángulo ABC: tanA + tanB = 5tanC. Calcular: L = tanA . tanB a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 15 Resolución: Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180° Se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC 14243 14243 5tanC L Luego: 5tanC + tanC = L . tanC ⇒ 6tanC = L . tanC ⇒ L = 6 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Indicar si es verdadero "V" o falso "F" • tan5x + tan10x + tan5x . tan10x . tan15x = tan 30x ( ) • tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = 3 ( ) 2. Indicar si es verdadero "V" o falso "F" a) El máximo valor de: E = 2 senx – 7cosx; es 3 ( ) b) El máximo valor de: E = 3sen20° + 4 cos20°; es 5 ( ) 3. El mínimo valor de: Q = 5senx + 12cosx + 3; es: 4. En un triángulo ABC, reducir: K = tanA + tanB + tanC tanB . tanC 5. Simplificar: U = cot20° + cot60° + cot10° cot20° . cot10°
  • 12. 146 Sistemas de medición angular TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 146 Identidades de la suma y diferencia de variables II TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Aprende más... 1. Señale el máximo valor de: H = 3senx – 2cosx a) 13 b) 7 c) 11 d) 15 e) 17 2. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de: Q = 3senx – 4cosx + 2 a) 6 b) – 4 c) 10 d) – 2 e) 4 3. Señale el máximo valor de: A = 2sen(x + 30°) + 3cosx a) 17 b) 4 c) 3 d) 19 e) 21 4. Señale la variación de: E = 5senx – 12cosx + 1 a) [– 12; 13] b) [– 14; 14] c) [– 12; 14] d) [– 11; 13] e) [– 13; 13] 5. Reducir: C = tan10° + tan12° + tan10° . tan12° . tan22° tan15° + tan7° + tan15° . tan7° . tan22° a) 1 b) 2 c) tan15° d) tan222° e) 2tan22° 6. Señale un valor agudo de "x", si: tan2x + tan3x + tan2x . tan3x . tan5x = 1 2 sec5x a) 2° b) 4° c) 6° d) 10° e) 12° 7. En un triángulo ABC: tanA = 3 y tanB = 4. Calcular "tanC" a) 5 7 b) 7 11 c) 6 11 d) 8 11 e) 4 9 8. En un triángulo ABC: tanA = 4 y tanC = 5. Cal- cular "tanB" a) 9 20 b) 9 19 c) 9 7 d) 7 20 e) 7 19 9. En un triángulo ABC; se cumple: tanA + tanB + tanC = 7tanC Calcular: tanA . tanB a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 10. En un triángulo ABC: cotA . cotB = 1 4 ; cotB . cotC = 1 5 Calcular: P = cotA . cotC a) 11 15 b) 7 15 c) 7 20 d) 11 20 e) 13 20 11. En un triángulo ABC, reducir: K = cotA + tanB tanB + cotB + 3tanC tanC + cotC + 2tanA tanA a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 12. Si: x + y + z = 180°, calcular: tgy ctgx tgy tgz ctgy tgz tgx ctgz tgx 7 6 5 + + + + + a) 17 b) 18 c) 19 d) 21 e) 12 13. Si: x + y + z = 90°; tana = tanx + tany + tanz Hallar: L = sec2x + sec2y + sec2z a) tan2a b) seca c) sec2a d) tan2a + 2 e) tan2a – 1 14. Del gráfico, calcular "tanq" A C D E B 2 3 1 37º q a) 20 3 b) 29 15 c) 29 45 d) 3 29 e) 108 77 15. En un triángulo acutángulo ABC; reducir: L = csc2A + csc2B + csc2C – 1 a) tanA + tanB + tanC b) cotA + cotB + cotC c) tanA . tanB . tanC d) cotA . cotB . cotC e) cscA . cscB . cscC
  • 13. Razonamiento Matemático 147 1 Trigonometría Unidad I Central: 619-8100 Razonamiento Matemático 147 2 Trigonometría Unidad VIII Central: 619-8100 1. En un triángulo ABC, calcular: K = tanA + cotB tanA + tanB + cotC tanB + tanC + cotA tanC a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Señale el máximo valor de: A = a(senx – cosx) + b 2cos(45° – x) a) 2 a2 + b2 b) 2(a2 + b2) c) a2 + b2 d) 3 a2 + b2 e) 2ab 3. Si: x + y + z = p, determine el equivalente de: M=(cotx + coty)(coty + cotz)(cotz + cotx) a) secx . secy . secz b) – secx . secy . secz c) cscx . cscy . cscz d) – cscx . cscy . cscz e) – senx . seny . senz 4. En el gráfico, calcular: K = a2 + b2 + c2 + abc a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 6 A B C D O b a c 1 5. Si: a + b + q = 90°, calcular: L = cos(a – b) cosa . cosb + cos(b – q) cosb . cosq + cos(q – a) cosq . cosa a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1. Indicar V ó F, según corresponda: I. El máximo valor de: 13senx + 3cosx, es 4 ( ) II. El mínimo valor de: 12 senx – 5cosx, es –7 ( ) III. El máximo valor de: 7senx + 2cosx, es 3 ( ) 2. Señale el máximo valor de: G = 2sen(x + 45°) + senx 3. Determinar el máximo valor de: E = 3cos(60° + x) + 3senx 4. En un triángulo ABC, reducir: P = (tanA + tanB + tanC) . cotA . cotB . cotC ¡Tú puedes! Practica en casa 18:10:45 5. Reducir: tan13° . tan27° + tan27°.tan50° + tan13°.tan50° 6. En un triángulo ABC, si: 2tanA + 2tanB = 3tanC Calcular: E = tanA . tanB 7. Si: x + y + z = p 2 ; además: cotx + coty = 2cotz Calcular: P = cotx . coty 8. Reducir: E = tan7x + tan2x + tan9x . tan7x . tan2x 9. Calcular: E = tan20° + tan40° + 3tan20° . tan40° 10. Calcular: E = ( 3 + tan10°)( 3 + tan20°)