Lógica FormalRoberto Moriyón
Introducción• El objetivo de la Lógica Formal o LógicaMatemática es proporcionar un sistema formalúnico en el que la produ...
Esbozo histórico• En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó losdistintos tipos de razonamiento.• En el siglo XVII, Arnold y...
Esbozo histórico, II• En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización devariables y cuantificadores para representarfórmul...
Esbozo histórico, III• A lo largo del siglo XX se han desarrolladoparticularmente lógicas especiales(modal, temporal, etc)...
Lógica proposicional• Sistema formal deductivo que genera fórmulasproposicionales basadas en afirmacionesatómicas que pued...
Operadores lógicosX Y X^Y XvY X⇒YT T T T TT F F T FF T F T TF F F F T
Operadores lógicos:Significado de X⇒Y• En principio, el significado de X⇒Y es “siX es cierto, entonces Y también es cierto...
Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, II• Ejemplos con cuantificador universal:– Para todos los números x, si x es impar,...
Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, IIIX i(x) p(x+1) p(x+x) i(x+x) i(x)⇒p(x+1) i(x)⇒p(x+x) i(x)⇒i(x+x)0 F F T F ? ? ?1 ...
Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, IV• Para que los ejemplos anteriores tengancontestaciones razonables hay queinterpr...
Lógica proposicional:Interpretaciones• Una interpretación I de una fórmula F es unaasignación de un valor lógico PI (True ...
Interpretacionesen el mundo real• Normalmente las fórmulas lógicas seinterpretan a un primer nivel haciendocorresponder a ...
Lógica proposicional:Interpretaciones, IIP Q ~Q Q⇒P ~Q⇒(Q⇒P)T T F T TT F T T TF T F F TF F T T T~Q⇒(Q⇒P)
Lógica proposicional:Interpretaciones, III• Dada una asignación de valoresbooleanos a átomos, la función que acada fórmula...
Lógica proposicional:Interpretaciones, IV• Ejemplo:Si PI ≡True y QI≡False,IntI[P^~Q⇒Q] ≡ IntI[P^~Q]⇒QI ≡≡ (PI^~QI)⇒QI ≡ True
Fórmulas satisfactibles ytautologías• Una fórmula es satisfactible si es cierta enalguna interpretación.– Ejemplos: Q⇒P, Q...
Fórmulas satisfactibles ytautologías en el mundo real• Cualquier fórmula lógica satisfactible, encualquier universo de int...
Interpretaciones:Representación intuitiva• Es la función característica de unsemianillo que contiene a todas lastautología...
Tautologías e insatisfactibilidad• Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-tible, es decir si no es cierta en nin...
Consecuencias defamilias de fórmulas• Diremos que una fórmula F esconsecuencia de un conjunto de fórmulasA (axiomas), y lo...
Consecuencias de familias defórmulas, II• Los problemas típicos de razonamientoconsisten en hallar las consecuencias deuno...
Consecuencias:Representación intuitiva• Es la intersección de todos los semianillos quecontienen a A asociados a interpret...
Consecuencias:Representación intuitiva, II• Otro ejemplo:→
Consecuencias:Representación intuitiva, III• Un ejemplo más: Las consecuenciasincluyen alguna fórmula insatisfactible→
Consecuencias:Representación intuitiva, IV• Si hay alguna fórmula insatisfactible entrelas consecuencias de un conjunto de...
Consecuencias: Caso particular• Las fórmulas que son ciertas en unainterpretación concreta forman unconjunto de axiomas cu...
Criterio para reconocerconsecuencias• Para ver si una fórmula F es consecuencia de unconjunto finito A de axiomas se puede...
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Consecuencias defamilias de fórmulas, IV• {F1, F2} → F ≡ (F1 ^ F2) ⇒ F tautología(P ^ (Q⇒R)) ⇒ ((~PvQ)⇒R) ≡~P v (Q^~R) v (...
Consecuencias defamilias de fórmulas, V• Suponemos que en la interpretación I, PI yQI⇒RI son ciertas• Es cierto que entonc...
Consecuencias defamilias de fórmulas, VIEl conjunto de axiomas aceptados puede serinfinito. Entonces los dos primeros proc...
Consecuencias defamilias de fórmulas, VII• Una fórmula F es una tautología si y sólosi ∅→F.• Una fórmula F es insatisfacti...
Consecuencias de familias defórmulas: Ejercicio obligatorio[CONSPROC] Demostrar por cada uno delos procedimientos dados lo...
Ejercicios opcionales• [PROGVER] Escribir un programa quecomprueba la veracidad de fórmulas conrespecto a una interpretaci...
Ejercicio obligatorio• [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al3 dos están vacías y la otra no. Además,una de las afirmac...
Ejercicios opcionales• [AB] Demostrar que no se pueden coloreartres objetos A, B y C en blanco y negro demanera que A y B ...
Ejercicio opcional• [FOTO] Deducir que la foto es de Juan comoconsecuencia de los siguientes axiomas:– La foto es redonda ...
Ejercicios opcionales• [UNIC] Suponemos los siguientesaxiomas acerca del unicornio :– Si es mítico, entonces es inmortal– ...
Ejercicios opcionales• [GR1] Decir quiénes dicen la verdad yquiénes dicen la mentira sabiendo que:– Alceo dice “los únicos...
Ejercicios opcionales• [GR2] Decir quiénes dicen la verdad yquiénes dicen la mentira sabiendo que:– Anaximandro dice “Herá...
Razonamiento• El razonamiento se utiliza para obtenernuevos hechos ciertos a partir de otrosque lo son o al menos se supon...
Razonamiento, II• Se puede razonar considerando todas lasfórmulas y todas las interpretaciones ycalculando los valores boo...
Razonamiento, III• Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que sonconsecuencia de unos a...
Deducción• Una deducción es una sucesión de fórmulas,cada una de las cuales se obtiene a partir de lasanteriores mediante ...
Deducción, II• Si las fórmulas iniciales (hipótesis oaxiomas) de una deducción son ciertasen una interpretación I, entonce...
Ejemplo de deducción• Axiomas:- Si llueve está nublado.- Si está nublado hace frío.- Llueve.• Demostrar que hace frío.
Ejemplo de deducción, II• Los axiomas anteriores se puedenrepresentar mediante fórmulas comosigue:– L representa “llueve”–...
Ejemplo de deducción, III• Deducción:– De L y L⇒N se deduce N– De N y N⇒F se deduce F• Observaciones:– La deducción anteri...
Ejemplo de deducción, IV• Observaciones:– El modus ponens, α, α⇒β  β permite quelas implicaciones se utilicen como reglas...
Agrupamiento de fórmulasdeducidas• Agrupamiento conjuntivo:α, β  α ^ β• Disociación conjuntiva:α ^ β  α α ^ β  β• Conmu...
Ejemplo de deducción, V• Axiomas:- Si llueve está nublado.- Si está nublado hace frío.• Demostrar que si llueve hace frío.
Ejemplo de deducción, VI• Deducción:– Suponemos por un momento que L es cierto.• Entonces, según hemos visto, se deduce F....
Ejemplo de deducción, VII• Axiomas:- Si llueve está nublado o hay arco iris.- Si está nublado hace frío.- Si hay arco iris...
Ejemplo de deducción, VIII• Deducción:– Suponemos por un momento que L es cierto.• Como L⇒(N v A), por Modus Ponens se ded...
Lógica proposicional:Cálculo frente a satisfactibilidad• En la práctica, la determinación de teoremas enbase a un cálculo ...
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    1. 1. Lógica FormalRoberto Moriyón
    2. 2. Introducción• El objetivo de la Lógica Formal o LógicaMatemática es proporcionar un sistema formalúnico en el que la producción de palabras apartir de axiomas dé lugar a deduccionesválidas en contextos arbitrarios.• Hay varios sistemas lógicos formales que soncapaces de formalizar cualquier razonamientoválido.• Un sistema lógico formal se puede ver como unsistema formal deductivo universal, en el mismosentido que las máquinas de Turing universales.
    3. 3. Esbozo histórico• En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó losdistintos tipos de razonamiento.• En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron laimportancia de estudiar las ideas asociadas acada afirmación lógica (su interpretación).• También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitzdestacaron los aspectos algebraicos de lamanipulación formal de las fórmulas lógicas.
    4. 4. Esbozo histórico, II• En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización devariables y cuantificadores para representarfórmulas lógicas; Peano dio la primeraaxiomatización de la aritmética, y Peirceintrodujo la lógica de segundo orden.• A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso unprograma para demostrar la consistencia de lasMatemáticas en base a una axiomatización deellas. Posteriormente, Gödel demostró que estoera imposible.
    5. 5. Esbozo histórico, III• A lo largo del siglo XX se han desarrolladoparticularmente lógicas especiales(modal, temporal, etc) y lógicasrelacionadas con la teoría de lacomputación (Cálculo λ con tipos,lenguajes de programación lógicos, etc)
    6. 6. Lógica proposicional• Sistema formal deductivo que genera fórmulasproposicionales basadas en afirmacionesatómicas que pueden ser verdaderas o falsas.• Alfabeto:– Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, …– Operaciones lógicas: ^, v, ⇒, ~– Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadoresespeciales y obligatorios, < y >, para desambiguar lagramática]• Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P,~Q ⇒ (Q ⇒ P)
    7. 7. Operadores lógicosX Y X^Y XvY X⇒YT T T T TT F F T FF T F T TF F F F T
    8. 8. Operadores lógicos:Significado de X⇒Y• En principio, el significado de X⇒Y es “siX es cierto, entonces Y también es cierto”.• Por lo tanto su tabla de verdad será comosigue:X Y X⇒YT T TT F TF T ?F F ?
    9. 9. Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, II• Ejemplos con cuantificador universal:– Para todos los números x, si x es impar,entonces x+1 es par∀x,(impar(x) ⇒ par(x+1))– Para todos los números x, si x es impar,entonces x+x es par∀x,(impar(x) ⇒ par(x+x))– Para todos los números x, si x es impar,entonces x+1 es impar∀x,(impar(x) ⇒ impar(x+x))
    10. 10. Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, IIIX i(x) p(x+1) p(x+x) i(x+x) i(x)⇒p(x+1) i(x)⇒p(x+x) i(x)⇒i(x+x)0 F F T F ? ? ?1 T T T F T T F2 F F T F ? ? ?3 T T T F T T F4 F F T F ? ? ?5 T T T F T T F
    11. 11. Operadores lógicos:Significado de X⇒Y, IV• Para que los ejemplos anteriores tengancontestaciones razonables hay queinterpretar que la implicación X⇒Y escierta si “Si X es cierto, entonces Ytambién. Si X no es cierto, da lo mismoque se verifique Y o no”.• (X ^ Y) v ~X• Esta definición es consistente en generalcon la definición de implicaciones en laLógica de Predicados.
    12. 12. Lógica proposicional:Interpretaciones• Una interpretación I de una fórmula F es unaasignación de un valor lógico PI (True o False) acada átomo P de F. La interpretación asigna unvalor lógico a la fórmula utilizando las tablas delos distintos operadores.• Una fórmula es cierta en una interpretación sile corresponde el valor True mediante ella.• La tabla asociada a una fórmula tiene unainterpretación en cada fila.
    13. 13. Interpretacionesen el mundo real• Normalmente las fórmulas lógicas seinterpretan a un primer nivel haciendocorresponder a cada símbolo proposicio-nal una afirmación (por ejemplo, llueve olos eliomartos rusitan). La interpretaciónse completa mediante una imagen deluniverso en la que cada una de lasafirmaciones asociadas a los símbolosproposicionales es cierta o falsa.
    14. 14. Lógica proposicional:Interpretaciones, IIP Q ~Q Q⇒P ~Q⇒(Q⇒P)T T F T TT F T T TF T F F TF F T T T~Q⇒(Q⇒P)
    15. 15. Lógica proposicional:Interpretaciones, III• Dada una asignación de valoresbooleanos a átomos, la función que acada fórmula le hace corresponder suinterpretación se puede definir de formarecursiva utilizando las reglas– IntI[F^G] ≡ IntI[F]^IntI[G]– IntI[FvG] ≡ IntI[F]vIntI[G]– IntI[F⇒G] ≡ IntI[F]⇒IntI[G]– IntI[~F] ≡ ~IntI[F](morfismo entre fórmulas y valores
    16. 16. Lógica proposicional:Interpretaciones, IV• Ejemplo:Si PI ≡True y QI≡False,IntI[P^~Q⇒Q] ≡ IntI[P^~Q]⇒QI ≡≡ (PI^~QI)⇒QI ≡ True
    17. 17. Fórmulas satisfactibles ytautologías• Una fórmula es satisfactible si es cierta enalguna interpretación.– Ejemplos: Q⇒P, Q ⇒ (Q ⇒ P)• Una fórmula es una tautología si es cierta entodas las interpretaciones.– Ejemplos: Qv~Q, ~Q ⇒ (Q ⇒ P)• Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacercon las expresiones aritméticas, pondremosparéntesis cuando ello aclare o desambigüe lalectura de las fórmulas.
    18. 18. Fórmulas satisfactibles ytautologías en el mundo real• Cualquier fórmula lógica satisfactible, encualquier universo de interpretaciónasociado, tiene una interpretación en laque es cierta. Pero puede que no sea lainterpretación natural en ese universo.• Cualquier tautología lógica, en cualquieruniverso de interpretación asociado, escierta en todas sus interpretaciones.
    19. 19. Interpretaciones:Representación intuitiva• Es la función característica de unsemianillo que contiene a todas lastautologías y contiene uno de los radiosque lo limitan.• No contiene a ninguna fórmulainsatisfactible.M
    20. 20. Tautologías e insatisfactibilidad• Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-tación.– Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q ⇒ (Q ⇒ P))• En general, la negación de una tautología es unafórmula insatisfactible y viceversa.TautologíasInsatisfactibesSatisfactibles
    21. 21. Consecuencias defamilias de fórmulas• Diremos que una fórmula F esconsecuencia de un conjunto de fórmulasA (axiomas), y lo escribiremos A→F, sitoda interpretación que hace ciertas todaslas fórmulas de A también hace cierta F.• Ejemplo 1: si F es una tautología,entonces es consecuencia de cualquierconjunto de axiomas• Ejemplo 2: La proposición ~F⇒G esconsecuencia del axioma F.
    22. 22. Consecuencias de familias defórmulas, II• Los problemas típicos de razonamientoconsisten en hallar las consecuencias deunos axiomas dados, o en demostrar queuna fórmula concreta lo es.
    23. 23. Consecuencias:Representación intuitiva• Es la intersección de todos los semianillos quecontienen a A asociados a interpretaciones.→A
    24. 24. Consecuencias:Representación intuitiva, II• Otro ejemplo:→
    25. 25. Consecuencias:Representación intuitiva, III• Un ejemplo más: Las consecuenciasincluyen alguna fórmula insatisfactible→
    26. 26. Consecuencias:Representación intuitiva, IV• Si hay alguna fórmula insatisfactible entrelas consecuencias de un conjunto deaxiomas, entonces todas las fórmulas sonconsecuencia de ellos.• Demostración: Todas las fórmulas sonconsecuencia de cualquier fórmulainsatisfactible, pues no hay ningunainterpretación en la cual ésta sea cierta.
    27. 27. Consecuencias: Caso particular• Las fórmulas que son ciertas en unainterpretación concreta forman unconjunto de axiomas cuyasconsecuencias son ellas mismas.• Estos conjuntos de fórmulas sonconjuntos satisfactibles maximales.
    28. 28. Criterio para reconocerconsecuencias• Para ver si una fórmula F es consecuencia de unconjunto finito A de axiomas se pueden empleartres procedimientos:– Formar una tabla con los valores lógicos de losaxiomas y de F y examinar sus filas.– Demostrar que A1^A2^…^AN⇒F es una tautología.– Demostrar que toda interpretación que hace ciertos losaxiomas también hace cierta F.Los emplearemos para ver que ((~PvQ)⇒R) esconsecuencia de {P, Q⇒R}.
    29. 29. P Q R Q⇒R(~PVQ)⇒RT T T T TT T F F FT F T T TT F F T TF T T T TF T F F FF F T T TF F F T FConsecuencias defamilias de fórmulas, III
    30. 30. Consecuencias defamilias de fórmulas, IV• {F1, F2} → F ≡ (F1 ^ F2) ⇒ F tautología(P ^ (Q⇒R)) ⇒ ((~PvQ)⇒R) ≡~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R) ≡~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R)) ≡(~P v (Q^~R) v P v R) ^(~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología,luego {P, Q⇒R} → ((~PvQ)⇒R)
    31. 31. Consecuencias defamilias de fórmulas, V• Suponemos que en la interpretación I, PI yQI⇒RI son ciertas• Es cierto que entonces (~PIvQI)⇒RI?– Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces,((~PIvQI)⇒RI)=True, pues ~PIvQI=False.– Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True.Entonces, ((~PIvQI)⇒RI)=True, ya queRI=True.
    32. 32. Consecuencias defamilias de fórmulas, VIEl conjunto de axiomas aceptados puede serinfinito. Entonces los dos primeros procedimien-tos no sirven.Ejemplos:• A=(P⇒)*Q es un conjunto infinito recursivo defórmulas. A→Q^(P⇒Q).• El patrón P⇒P define otro conjunto infinitorecursivo A’ de fórmulas. Todas ellas sontautologías. A’→F si F es cualquier tautología.
    33. 33. Consecuencias defamilias de fórmulas, VII• Una fórmula F es una tautología si y sólosi ∅→F.• Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si∅→~F.
    34. 34. Consecuencias de familias defórmulas: Ejercicio obligatorio[CONSPROC] Demostrar por cada uno delos procedimientos dados lo siguiente:• F ≡ (Yv~X) ⇒ Y es consecuencia deA={~Y, X}• G ≡ (~Y^X) ⇒ Y no es consecuenciade A={~Y, X}
    35. 35. Ejercicios opcionales• [PROGVER] Escribir un programa quecomprueba la veracidad de fórmulas conrespecto a una interpretación.• [PROGSAT] Escribir un programa quedetermina si una fórmula es satisfactible ysi es una tautología.• [PROGCONS] Escribir un programa quedetermina si una fórmula proposicional esconsecuencia de otras.
    36. 36. Ejercicio obligatorio• [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al3 dos están vacías y la otra no. Además,una de las afirmaciones “La primera cajaestá vacía”, “La segunda caja está vacía”y “La segunda caja está llena” es cierta ylas otras dos no. Demostrar cuál de lastres cajas está llena y demostrar que lasotras dos cajas no lo están.
    37. 37. Ejercicios opcionales• [AB] Demostrar que no se pueden coloreartres objetos A, B y C en blanco y negro demanera que A y B no tengan el mismo color,B y C tampoco y A y C tampoco• [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-to es correcto: Si la temperatura y la presiónno cambian, no llueve. La temperatura nocambia. Como consecuencia de lo anterior,si llueve entonces la presión cambia.
    38. 38. Ejercicio opcional• [FOTO] Deducir que la foto es de Juan comoconsecuencia de los siguientes axiomas:– La foto es redonda o cuadrada– La foto es en color o en blanco y negro– Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro– Si la foto es redonda, entonces es digital y en color– Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces esun retrato– Si la foto es un retrato entonces es de Juan
    39. 39. Ejercicios opcionales• [UNIC] Suponemos los siguientesaxiomas acerca del unicornio :– Si es mítico, entonces es inmortal– Si no es mítico, es un mamífero mortal– Si es inmortal o mamífero, entonces tienecuernos– Si tiene cuernos es mágico• Como consecuencia de todo ellos esmítico? Es mágico? Tiene cuernos?
    40. 40. Ejercicios opcionales• [GR1] Decir quiénes dicen la verdad yquiénes dicen la mentira sabiendo que:– Alceo dice “los únicos que decimos la verdadaquí somos Cátulo y yo”– Safo dice “Cátulo miente”– Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceomiente”
    41. 41. Ejercicios opcionales• [GR2] Decir quiénes dicen la verdad yquiénes dicen la mentira sabiendo que:– Anaximandro dice “Heráclito miente”– Parménides dice “Anaximandro y Heráclito nomienten”– Heráclito dice “Parménides no miente”
    42. 42. Razonamiento• El razonamiento se utiliza para obtenernuevos hechos ciertos a partir de otrosque lo son o al menos se supone que loson. Por lo tanto razonar consiste enencontrar las consecuencias de unconjunto de fórmulas.
    43. 43. Razonamiento, II• Se puede razonar considerando todas lasfórmulas y todas las interpretaciones ycalculando los valores booleanos corres-pondientes para ver qué fórmulas sonconsecuencia de los axiomas, pero estealgoritmo es inadecuado, especialmentesi se incrementa la capacidad expresivadel lenguaje lógico y se permitenrazonamientos sobre objetos (Lógica dePredicados) o si se utiliza un conjuntoinfinito de axiomas.
    44. 44. Razonamiento, III• Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que sonconsecuencia de unos axiomas dados.• Se hará mediante un sistema formal (uncálculo lógico) formado por reglas deinferencia o de deducción.• En este sistema, una fórmula P se deducede un conjunto A de axiomas si y sólo si esconsecuencia de ellos (es decir, AP siiA→P).
    45. 45. Deducción• Una deducción es una sucesión de fórmulas,cada una de las cuales se obtiene a partir de lasanteriores mediante una regla formal dededucción.• En una regla de deducción XY, X e Y sonfórmulas lógicas que verifican que X → Y. Esohace que al generar cualquier fórmulaX1X2…XNautomáticamente se tenga que X1 → XN.
    46. 46. Deducción, II• Si las fórmulas iniciales (hipótesis oaxiomas) de una deducción son ciertasen una interpretación I, entoncestambién lo son todas las fórmulasdeducidas (consecuencias).• El sistema formal de deducción queutilizaremos será completo en el sentidode que producirá todas las fórmulas queson consecuencia de un conjunto dadode axiomas.
    47. 47. Ejemplo de deducción• Axiomas:- Si llueve está nublado.- Si está nublado hace frío.- Llueve.• Demostrar que hace frío.
    48. 48. Ejemplo de deducción, II• Los axiomas anteriores se puedenrepresentar mediante fórmulas comosigue:– L representa “llueve”– N representa “está nublado”– F representa “hace frío”– Axiomas: A = { L⇒N, N⇒F, L }
    49. 49. Ejemplo de deducción, III• Deducción:– De L y L⇒N se deduce N– De N y N⇒F se deduce F• Observaciones:– La deducción anterior aplica una única reglaformal (modus ponens):α, α⇒β  β.– La deducción anterior es correcta indepen-dientemente de la interpretación de L, N y F.
    50. 50. Ejemplo de deducción, IV• Observaciones:– El modus ponens, α, α⇒β  β permite quelas implicaciones se utilicen como reglas quese pueden aprender al razonar.– Las variables con letras griegas son fórmulas
    51. 51. Agrupamiento de fórmulasdeducidas• Agrupamiento conjuntivo:α, β  α ^ β• Disociación conjuntiva:α ^ β  α α ^ β  β• Conmutatividad conjuntiva:α ^ β  β ^ α(se podría haber evitado dejando lasanteriores)
    52. 52. Ejemplo de deducción, V• Axiomas:- Si llueve está nublado.- Si está nublado hace frío.• Demostrar que si llueve hace frío.
    53. 53. Ejemplo de deducción, VI• Deducción:– Suponemos por un momento que L es cierto.• Entonces, según hemos visto, se deduce F.– De lo anterior y de los axiomas se deduce queL⇒F.• La deducción anterior aplica una reglaformal nueva (deducción de implicación):α, β↑γ  α↑(β⇒γ)• Esta regla permite construir reglas nuevas,de modo análogo a lo ya visto al estudiarlos sistemas formales en general.
    54. 54. Ejemplo de deducción, VII• Axiomas:- Si llueve está nublado o hay arco iris.- Si está nublado hace frío.- Si hay arco iris está bonito.• Demostrar que si llueve, o bien hace frío oestá bonito.• Símbolos nuevos de predicado: A (hayarco iris), B (está bonito).
    55. 55. Ejemplo de deducción, VIII• Deducción:– Suponemos por un momento que L es cierto.• Como L⇒(N v A), por Modus Ponens se deduceNvA.• Suponemos por un momento que ~F^~B escierto.– Entonces ~F y ~B son ciertos.– Además, como N⇒F, ~F⇒~N. Análogamente, ~B⇒~A.– De ~F y ~F⇒~N se deduce ~N. De ~B y ~B⇒~A,resulta ~A.– De lo anterior se deduce que ~N^~A es cierto.
    56. 56. Lógica proposicional:Cálculo frente a satisfactibilidad• En la práctica, la determinación de teoremas enbase a un cálculo lógico como el descrito es unproblema de búsqueda en un árbol, por lo quepuede ser más ineficiente que en base alcálculo directo de todas las interpretacionesposibles y la interpretación correspondiente delsupuesto teorema.• En la lógica de predicados no se pueden utilizartablas de verdad y habrá que recurrir a uncálculo lógico del tipo del anterior.

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