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- Matemáticas   en la Educación Física-                          PEM. Carlos Augusto Vásquez




                              http://manualmateenefs.ucoz.com/




      1-
- Matemáticas   en la Educación Física-                                         PEM. Carlos Augusto Vásquez




Competencia.
        Plantea y resuelve situaciones problema de carácter formal que demandan el
        dominio del pensamiento lógico matemático.



Indicadores de logro.
    1. Representa información por medio de proposiciones compuestas y tablas de verdad.



                                              CONTENIDOS



        DECLARATIVOS                          PROCEDIMENTALES                     ACTITUDINALES


Concepto de lógica,                       Elaboración de proposiciones     Valoración de la entrega en el
proposición y clasificación de            simples, compuesta y abiertas.   uso del lenguaje simbólico para
proposiciones.                                                             representar información.




Conectivos lógicos, valores de            Interpretar y construir tablas de Utilización de la
verdad de las proposiciones, y            verdad a partir de simbología     responsabilidad para la
tablas de verdad.                         lógica.                           construcción de tablas de
                                                                            verdad.



                                          Ejercicios de construcción de    Uso de la valores de las tablas
Conceptos de tautología,                  tablas de verdad identificando   de verdad para identificar
contradicción y contingencia.             si es una tautología,            elementos de la productividad
                                          contradicción o contingencia.    en las labores cotidianas.




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                                          LÓGICA PROPOSICIONAL


INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la
Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole (1815-1864) inicia el
estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática.
Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo
de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se
disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la
lógica es estudiar la validez de los razonamientos.
La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una
serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con
sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de la cual pensamos algo) o un
razonamiento (evaluación mental por medio de la cual obtenemos conclusiones).


CONCEPTO DE LA LOGICA
La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de
símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados.
Para su estudio, se divide en lógica formal, lógica aplicada y lógica simbólica. Lógica formal: es la
parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al
conocimiento de la verdad y el error.
Lógica Aplicada:
Es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de estudio de las
distintas ciencias.
Lógica simbólica:
es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para
lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La
lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el
nombre de Cálculo Propocional.


                                   CONCEPTO DE PROPOSICIONES
Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es
falsa, pero no ambas situaciones a la vez.


CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES
Proposiciones simples o atómicas:
Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado.



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Proposiciones compuestas o moleculares:
Son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades
lógicas llamadas conectivos lógicos.
                                          CONECTIVOS LÓGICOS
Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas.
Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente:



       Conectivo                                  Nombre Lógico                            Símbolo


           No                                         Negación                                ~

            Y                                        Conjunción


            O                                   Disyunción Inclusiva                          ˅

           O…O                                  Disyunción Exclusiva                          ˅

      Si Entonces                            Implicación o Condicional                        ⇒

       Si Solo Si                         Doble Implicación o Bicondicional                  ⇔


                VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS


La Negación:
Si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa.
Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza
es un municipio de la Vega”.
La Conjunción:
 Esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y
en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva:
 esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso
contrario es verdadera.


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La Disyunción Exclusiva:
 Esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores
de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación:
 Una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo
demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación:
Esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad,
es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En
caso contrario la Bicondicional es falsa.


                TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS



Negación:


                                              p        ~p

                                              V         F

                                              F         V




Conjunción:


                                          p       q         p       q


                                          V       V             V

                                          V       F             F

                                          F       V             F

                                          F       F             F




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Disyunción Inclusiva:
                                          p   q   pvq

                                          V   V    V

                                          V   F    V

                                          F   V    V

                                          F   F    F




Disyunción Exclusiva:
                                          p   q   pvq

                                          V   V    F

                                          V   F    V

                                          F   V    V

                                          F   F    F




Condicional o Implicación:


                                          p   q   p⇒q

                                          V   V    V

                                          V   F    F

                                          F   V    V

                                          F   F    V




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Bicondicional o Doble Implicación:



                                          p    q        p⇔q

                                          V    V          V

                                          V    F          F

                                          F    V          F

                                          F    F          V




                                    CONCEPTO DE TAUTOLOGIA


Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre,
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman.


Ejemplo:



                          p          q        pvq             p⇒( p v q)

                          V          V        V                   V

                          V          F        V                   V

                          F          V        V                   V

                          F          F         F                  V




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                                  CONCEPTO DE CONTRADICCION


La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de
verdad de las proposiciones que la formen.
Ejemplo:


                                          p    ~p         p˄q

                                          V     F           F

                                          F     V           F




                                   CONCEPTO DE CONTINGENCIA


La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción.
Ejemplo:


                                          p      q          p ⇒q

                                          V      V              V

                                          V      F              F

                                          F      V              V

                                          F      F              V




      8-
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           EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES
1)

                      p           q       r   pvq   (p v q) ˄ r

                     V            V       V   V         V

                     V            V       F   V         F

                     V            F       V   V         V

                     V            F       F   V         F

                      F           V       V   V         V

                      F           V       F   V         F

                      F           F       V    F        F

                      F           F       F    F        F

2)

                      p           q       r   p˄q   (p ˄ q) → r

                     V            V       V   V         V

                     V            V       F   V         F

                     V            F       V    F        V

                     V            F       F    F        V

                      F           V       V    F        V

                      F           V       F    F        V

                      F           F       V    F        V

                      F           F       F    F        V




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Ejercicio 13:
1. Escriba los conectivos lógicos con su nombre, significado y símbolo.




2. Escriba las reglas que se utilizan en la interpretación de una tabla de verdad.




3. Construya las siguientes tablas de verdad, sea ordenado y limpio para realizar su trabajo.
Identifique si es tautología, contradicción o contingencia.

a.


b.                      ˅


c.                          p


d.                      q


e.          ˅      ˅


f.     ˅            ˅




     10-
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        RECUERDA
                                               ENTREGA
Es la disposición completa para la elaboración de algo. Es fijar nuestro tiempo,
sabiduría y habilidades para el cumplimiento de una meta establecida. Este es un
valor del razonamiento que se convierte en una motivación para la realización de
las actividades.




                                          Evaluación


     Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.
       Declarativos: prueba objetiva.
       Procedimentales: portafolio
       Actitudinales: escala de rango.




     11-
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                              http://manualmateenefs.ucoz.com/




     12-
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Competencia.

        Plantea y resuelve situaciones problema de carácter formal que demandan el
        dominio del pensamiento lógico matemático.

Indicadores de logro.

                        1. Realiza operaciones básicas entre números complejos.

                                                  CONTENIDOS

        DECLARATIVOS                          PROCEDIMENTALES                       ACTITUDINALES

Definición de números                     Ejemplos de escritura de           Utilización del valor del
complejos y operaciones.                  números complejos.                 desarrollo personal para la
                                                                             interpretación de la escritura de
                                                                             números complejos.


Forma binómica de un número               Ejercicios con símbolos de         Valoración de la constancia
complejo y sus operaciones.               agrupación identificando las       como elemento de las
                                          propiedades de los números         propiedades humanas tomando
                                          reales y utilizando la prioridad   de muestra las propiedades de
                                          de las operaciones.                los números reales.



Conjugado, modulo y                       Elaboración e identificación del Responsabilidad abierta para la
argumento de un número                    conjugado, modulo y              argumentación y trabajo con
complejo.                                 argumento de los números         números complejos.
                                          complejos.


División de números complejos Ejercicio y ejemplos de división Uso de la comunicación como
                              de números complejos.            elemento para la resolución de
                                                               problemas creados en su
                                                               contexto.


Raíces complejas de la                    Planteamiento de las raíces        Motivación del trabajo en grupo
ecuación de segundo grado.                complejas de la ecuación de        como medio de socialización y
                                          segundo grado.                     resolución de problemas.




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                                         NÚMEROS COMPLEJOS
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición.
Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los
pares de números reales  a, b  en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.  a, b   c, d    a  c, b  d 
Multiplicación.  a, b  c, d    ac  bd , ad  bc

En el número complejo  a, b  llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria.

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos
son:

Igualdad.  a, b    c, d   a  c  b  d

Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) .

Ejemplo.

Dados  2,1 y  0, 3  , hallar:
a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2
b)  2, 1 0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)   3,  6
c)  2,1 0, 3  2  1,1  3,  6    2,  2   5,  8

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de
los mismos mediante el plano- En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje
imaginario (Im) al eje de las y .



                                                                    Gráfica 1: Representación del número
                                                                               complejo (a, b) .




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Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que
en el plano el número complejo  a, 0  coincide con el número real a . De este modo tenemos
a  (a,0) cuando a  .

Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar                             :

                                                     a, b     a,  b 


Para eso escribimos el número real  en la forma  , 0  y aplicamos la definición de
multiplicación:

                               a, b    , 0 a, b     a  0b ,  b  0a     a,  b  .



Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra                  i   y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil
demostrar que i  1 .
                    2




                          i 2  (0,1)2  (0,1) (0,1)   0(0)  1(1), 0(1)  1(0)   (1, 0)  1


Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x2  1  0 .

                                      x2  1  0  x2  1  x2  i 2  x   i

Forma binómica de un número complejo

Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

                                      z  (a , b)  (a,0)  (0, b)  a (1,0)  b (0,1)

Pero como (1, 0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama forma binómica
o binomia del número complejo.


Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica


 a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
 a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi 2   ac  bd    ad  bc  i Porque i 2  1 .


Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al
inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos
se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma
binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.



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Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 .

z1  z2  (3, 2)  (4, 1)   3  2i    4  i   7  i


z1 z2  (3, 2)(4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i


Conjugado de un número complejo

Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z  x  yi , es
decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo
opuesto.

Ejemplo. Si     z  3  2i ,   entonces    z  3  2i   y si   z  3  2i ,   entonces   z  3  2i .



Módulo y argumento de un número complejo

Sea z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z ,
al número real dado por a 2  b2 y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la
distancia al origen del número z (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo comprendido entre
el eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( z ) y se calcula
mediante la expresión:

                                                                          b
                                                        arg( z )  arctan   .
                                                                          a




                             Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

Propiedad: z z  z
                         2




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Demostración:

z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  abi  abi  y 2i 2 
  a 2  b2    ab  ab  i  a 2  b 2  0i  a 2  b 2  z
                                                                   2




División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado
del denominador:

                     z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i
                                                              
                     z2 c  di c  di c  di        c2  d 2                z2
                                                                               2




                                                                             z1
Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , halle: (a) z2 y (b)                 .
                                                                             z2
(a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i
                    z1
(b) Para hallar        multiplicamos y dividimos por el conjugado z2 .
                    z2

                                    z1   2  3i   2  3i 1  2i (2  3i)(1  2i)
                                                             
                                    z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i)(1  2i)
                                            2  4i  3i  6i 2 8  i   8 1
                                                                       i
                                              (1)  (2)
                                                   2      2
                                                                  5      5 5



Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación ax2  bx  c  0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por
i 2 y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación x2  2 x  6  0 .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

                                      (2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20
                                 x                                     
                                               2(1)                2         2

Se puede ver que el discriminante es             20    lo cual puede escribirse como 20i 2 . Por lo tanto:

                                            2  20 2  20i 2 2  2 5 i
                                      x                               1 5 i
                                               2        2         2

Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i .




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Ejercicios 14:

1) Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle:

        (a) z  w , (b) z w , (c)      3z  4w ,      (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z .

2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.



3) Muestre que (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.



4) Calcule:

        (a) i 3 , (b) i 4 , (c) i 5 , (d) 1 , (e) 1 .
                                                  2
                                                  i            i

5) Calcule:

        (a) i 4n , (b) i 4 n 1 , (c) i 4 n  2 , (d) i 4 n 3 .



6) Dado el número complejo ( x, y) halle el par (u, v) tal que ( x, y) (u, v)  (1,0) . Al par se le llama
   inverso multiplicativo de ( x, y) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene
   inverso multiplicativo.




7) Verifique que z  z .




8) Verifique que        uv   y   uv   son conjugados.



9) Calcule:

        (a) 3  3i , (b) 1  3i .
             2  4i          2  2i


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10) Resuelva la ecuación (2  i) z  3  i .




11) Halle z tal que (2  i)(1  i)  2  z i .




12) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi , tales que:

         (a) z  5 , (b) z  5 .




13) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi tales que:

         (a) z  2  5 , (b) z  i  z  i , (c) z  z  z .
                                                         2




14) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  3  0 .




15) Resuelva la ecuación cuadrática 2 x2  4 x  5  0 .




16) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  8  0 .




17) Resuelva la ecuación x4  13x2  36  0 .



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        RECUERDA
                                          Desarrollo personal
Es un proceso por en el cual cada ser humano tiene que vivir para ir creando una
madurez adecuada a su edad. Es una secuencia de cambios tanto del pensamiento
           como sentimientos y sobre todo el más notorio es el físico.




                                            Evaluación


        Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
                                          instrumentos.
       Declarativos: Prueba objetiva y rúbrica.
       Procedimentales: Portafolio y lista de cotejo.
       Actitudinales: Escala de rango.




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                              http://manualmateenefs.ucoz.com/




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Competencia.
        Aplica conocimientos sobre funciones en situaciones que promueven el
        mejoramiento y transformación de su contexto.


Indicadores de logro.

    1. Utiliza funciones para representar hechos reales.
    2. Representa gráficamente funciones lineales y cuadráticas.


                                              CONTENIDOS


        DECLARATIVOS                          PROCEDIMENTALES                     ACTITUDINALES

Funciones                                 Ejercicios para identificar       Valoración de las actitudes de
                                          funciones en la vida real.        colaboración y entusiasmo.



Dominio y contradominio.                  Ejemplos y representaciones       Utilización de valores como la
                                          matemáticas para encontrar el     comunicación en la
                                          dominio y contradominio de        formulación de modelos
                                          una función.                      matemáticos.



Clasificación de las funciones.           Realización de ejemplos de        Disposición contante en la
                                          función inyectiva,                identificación de funciones.
                                          sobreinyectiva, biyectiva, par,
                                          impar, creciente, decreciente,
                                          periódica.

Función lineal y cuadrática.              Graficación de funciones líneas Identificación y uso de la
                                          y cuadráticas.                  cooperación para la resolución
                                                                          de problemas matemáticos.




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                                          FUNCIONES
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento
del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.




     Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.

  Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.

Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los
cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio.

Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.




Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos “x”
o “s” o cualquier otra.

Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo




Entonces podernos decir que una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado contradominio ) de forma que a


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cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del contradominio (los que
forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso
lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una
llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende
de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
                   1 --------> 1
                   2 --------> 4
                   3 --------> 9
                   4 --------> 16


Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
                    1 --------> 1
                   2 --------> 4
                   3 --------> 9
                   4 --------> 16
                    x --------> x2


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función).
Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
                              x --------> x2   o    f(x) = x2 .


Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos




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                                           Conjunto X     Conjunto Y

                                           Ángela         55

                                           Pedro          88

                                           Manuel         62

                                           Adrián         88

                                           Roberto        90



Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o contradominio)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no
puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan
el mismo peso.


Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo
conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
                                x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:



                    Conjunto X        Conjunto Y        Desarrollo

                    −2                −1                f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

                    −1                1                 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =   1

                    0                 3                 f(0)   = 2(0) + 3 = 0 + 3 =    3

                    1                 5                 f(1)   = 2(1) + 3 = 2 + 3 =    5

                    2                 7                 f(2)   = 2(2) + 3 = 4 + 3 =    7

                    3                 9                 f(3)   = 2(3) + 3 = 6 + 3 =    9

                    4                 11                f(4)   = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11




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Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y).
Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento
en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos
elementos distintos en Y.


Ahora podemos enunciar una definición más formal:


Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente
un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (contradominio).


Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un
método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.


Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota


     f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B     f : X -----> Y) o f(x) = x


Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B
es el contradominio o conjunto de llegada.


f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre-imagen de f(x).


En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre-
imagen del número 5.


El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles
de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0,
4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada
elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y
recorrido.


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Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12
del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de
dependencia es una función (función de A en B).


Dominio = {1, 2, 3}                Recorrido = {4, 8, 12}


Notar que el recorrido es un subconjunto del contradominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}


Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son
funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las
siguientes:


Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones


                                      f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
                                  g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
                                          h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }


Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del
conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un
elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).


EJERCICIO 15:
a. Realice las siguientes funciones. Encuentre el dominio, contradominio y grafica en el plano
   cartesiano.

1.

2.

3.

4.



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5.

6.

7.

8. Dados los siguientes conjuntos                          y                          y se le pide

     F: M ⟶B/ f(x)= 2x+1




        RECUERDA
                                                 Colaboración
Es todo proceso donde se involucre el trabajo de varias personas en conjunto;
tanto para conseguir un resultado imposible o muy difícil de conseguir mediante
el trabajo individual como para ayudar conseguir algo a quien por sí mismo no
podría.




                         CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

Función Inyectiva:

Una función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único
elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y
no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares
ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o
no.

Ejemplo:


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                                          A                  B


                                          X                  1
                                          Y                  2
                                          Z                  3
                                                             4

Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada Sobreyectiva) , si y
sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto
de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

B = {1,3,5,7}

f = {(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)}

Simbólicamente:

f: A  B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:
                                          A                  B

                                      X                      1
                                      Y                      2
                                      Z                      3
                                                             4

Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e
inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En
cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un
elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función
BIYECTIVA.

Ejemplo:




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A = {a,e,i,o,u}

B = {1,3,5,7,9}

f = {(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)}

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f – 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:
                                    A                   B


                                    X                   1
                                    Y                   2
                                    Z                   3
                                    Q                   4


Función Par:

Una función f: RR es par si se verifica que

                    x  R vale f(-x) = f(x)

Si f: RR es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje
vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico
respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente
del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2




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Función Impar:

Una función f: RR es impar si se verifica que

                    x  R vale f(-x) = -f(x)



Si f: RR es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de
coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto
simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son
pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).




Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y
x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).



 Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2,
f(x2) ) con

                                   x1     <   x2    Se tiene que      f(x1)   <   f(x2).

                                                   Prevalece la relación <




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Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto




f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

Ejemplo:



                                                  f(x2)
                                                            f(x1)< f(x2)
                                                  f(x1)



                                                           x1 x 2        x
                                                           x1 < x2




 Función Decreciente:

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y (
x2, f(x2) ) con


                              x < x2 Se tiene que         f(x1)                > f(x2).
                              1
                              Cambia la relación de < a >




Ejemplo:



                                                       y   f(x1)
                                                               f(x1) > f(x2)
                                          x1      x2
                                                           f(x2)     x
                                           x1 < x 2


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 Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2,
que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e)
en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que
sustituir el símbolo  por < y el  por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de
función creciente o decreciente en un punto.

Función Periódica:
Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente:
f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema
importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos
vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de
funciones armónicas, es decir,




Donde el periodo P=2/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de
Fourier.

Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2,
mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t
convertido en el periodo 2 de x, y la función f(t) convertida en




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    Definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma más simple




    Donde




    Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

   Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos
   Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos
   Si g(x) es alternada, g(x+)=-g(-x), la serie solamente consta de términos armónicos impares.

    Ejemplo:




                                              FUNCIÓN LINEAL


    Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la
    pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una
    recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.


    Ejemplo:
    f(x) = 2x − 1

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es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta
ascendente.




                                                f(x) = 2x − 1


En general, una función lineal es de la forma




                              f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es
                                lo mismo que la m anterior (corresponde a la
                                                 pendiente).



                                    FUNCION CUADRATICA
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

                                          f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede
ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

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En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,         ax2 es el término cuadrático

              bx es el término lineal
              c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos
los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el
independiente se dice que la ecuación es incompleta.



Representación gráfica de una función cuadrática




                                Parábola del puente, una función cuadrática.



Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática,
obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función
cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores
de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:


       36-
- Matemáticas   en la Educación Física-                                     PEM. Carlos Augusto Vásquez


       Orientación o concavidad (ramas o brazos)
       Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
       Punto de corte con el eje de ordenadas
       Eje de simetría
       Vértice
       Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola
cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas
o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la
ax2):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5




Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3




     37-
- Matemáticas   en la Educación Física-                                     PEM. Carlos Augusto Vásquez


Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.


Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los
valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para
los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) =
0.

Entonces hacemos

                                             ax² + bx +c = 0



Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un
término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla
usamos la fórmula:




Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de
la parábola con el eje de las X (abscisas).



Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones
cuadráticas.




     38-
- Matemáticas   en la Educación Física-           PEM. Carlos Augusto Vásquez


Ejercicio 16:
1. Desarrolla los siguientes temas:

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES.

a. Función Inyectiva



b. Función Sobreyectiva



c. Función Biyectiva



d. Función Par



e. Función Creciente



f.   Función Decreciente



g. Función Periódica




2. Realiza ejemplos de las siguientes funciones

a. FUNCIÓN LINEAL




b. FUNCION CUADRATICA




     39-
- Matemáticas   en la Educación Física-                   PEM. Carlos Augusto Vásquez




        RECUERDA
                                             ENTUSIAMOS
Es la exaltación del ánimo que se produce por algo que cautiva o que es
admirado. El término procede del latín tardío enthusiasmus, aunque su origen
más remoto se encuentra en la lengua griega. Para los griegos, entusiasmo
significaba “tener un Dios dentro de sí”.




                                            Evaluación


        Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
                                          instrumentos.
       Declarativos: prueba objetiva.
       Procedimentales: lista de cotejo
       Actitudinales: lista de cotejo.




     40-

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  • 1. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 1-
  • 2. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Competencia. Plantea y resuelve situaciones problema de carácter formal que demandan el dominio del pensamiento lógico matemático. Indicadores de logro. 1. Representa información por medio de proposiciones compuestas y tablas de verdad. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Concepto de lógica, Elaboración de proposiciones Valoración de la entrega en el proposición y clasificación de simples, compuesta y abiertas. uso del lenguaje simbólico para proposiciones. representar información. Conectivos lógicos, valores de Interpretar y construir tablas de Utilización de la verdad de las proposiciones, y verdad a partir de simbología responsabilidad para la tablas de verdad. lógica. construcción de tablas de verdad. Ejercicios de construcción de Uso de la valores de las tablas Conceptos de tautología, tablas de verdad identificando de verdad para identificar contradicción y contingencia. si es una tautología, elementos de la productividad contradicción o contingencia. en las labores cotidianas. 2-
  • 3. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez LÓGICA PROPOSICIONAL INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole (1815-1864) inicia el estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática. Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos. La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de la cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mental por medio de la cual obtenemos conclusiones). CONCEPTO DE LA LOGICA La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Para su estudio, se divide en lógica formal, lógica aplicada y lógica simbólica. Lógica formal: es la parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad y el error. Lógica Aplicada: Es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de estudio de las distintas ciencias. Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de Cálculo Propocional. CONCEPTO DE PROPOSICIONES Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez. CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado. 3-
  • 4. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Proposiciones compuestas o moleculares: Son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos. CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente: Conectivo Nombre Lógico Símbolo No Negación ~ Y Conjunción O Disyunción Inclusiva ˅ O…O Disyunción Exclusiva ˅ Si Entonces Implicación o Condicional ⇒ Si Solo Si Doble Implicación o Bicondicional ⇔ VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS La Negación: Si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la Vega”. La Conjunción: Esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa. La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera. 4-
  • 5. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez La Disyunción Exclusiva: Esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa. La Condicional o Implicación: Una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera. La Bicondicional o Doble Implicación: Esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa. TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS Negación: p ~p V F F V Conjunción: p q p q V V V V F F F V F F F F 5-
  • 6. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Disyunción Inclusiva: p q pvq V V V V F V F V V F F F Disyunción Exclusiva: p q pvq V V F V F V F V V F F F Condicional o Implicación: p q p⇒q V V V V F F F V V F F V 6-
  • 7. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Bicondicional o Doble Implicación: p q p⇔q V V V V F F F V F F F V CONCEPTO DE TAUTOLOGIA Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo: p q pvq p⇒( p v q) V V V V V F V V F V V V F F F V 7-
  • 8. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez CONCEPTO DE CONTRADICCION La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo: p ~p p˄q V F F F V F CONCEPTO DE CONTINGENCIA La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo: p q p ⇒q V V V V F F F V V F F V 8-
  • 9. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES 1) p q r pvq (p v q) ˄ r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F F F F F F F 2) p q r p˄q (p ˄ q) → r V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V 9-
  • 10. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Ejercicio 13: 1. Escriba los conectivos lógicos con su nombre, significado y símbolo. 2. Escriba las reglas que se utilizan en la interpretación de una tabla de verdad. 3. Construya las siguientes tablas de verdad, sea ordenado y limpio para realizar su trabajo. Identifique si es tautología, contradicción o contingencia. a. b. ˅ c. p d. q e. ˅ ˅ f. ˅ ˅ 10-
  • 11. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA ENTREGA Es la disposición completa para la elaboración de algo. Es fijar nuestro tiempo, sabiduría y habilidades para el cumplimiento de una meta establecida. Este es un valor del razonamiento que se convierte en una motivación para la realización de las actividades. Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: prueba objetiva.  Procedimentales: portafolio  Actitudinales: escala de rango. 11-
  • 12. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 12-
  • 13. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Competencia. Plantea y resuelve situaciones problema de carácter formal que demandan el dominio del pensamiento lógico matemático. Indicadores de logro. 1. Realiza operaciones básicas entre números complejos. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Definición de números Ejemplos de escritura de Utilización del valor del complejos y operaciones. números complejos. desarrollo personal para la interpretación de la escritura de números complejos. Forma binómica de un número Ejercicios con símbolos de Valoración de la constancia complejo y sus operaciones. agrupación identificando las como elemento de las propiedades de los números propiedades humanas tomando reales y utilizando la prioridad de muestra las propiedades de de las operaciones. los números reales. Conjugado, modulo y Elaboración e identificación del Responsabilidad abierta para la argumento de un número conjugado, modulo y argumentación y trabajo con complejo. argumento de los números números complejos. complejos. División de números complejos Ejercicio y ejemplos de división Uso de la comunicación como de números complejos. elemento para la resolución de problemas creados en su contexto. Raíces complejas de la Planteamiento de las raíces Motivación del trabajo en grupo ecuación de segundo grado. complejas de la ecuación de como medio de socialización y segundo grado. resolución de problemas. 13-
  • 14. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez NÚMEROS COMPLEJOS Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales  a, b  en el cual definimos las siguientes operaciones: Suma.  a, b   c, d    a  c, b  d  Multiplicación.  a, b  c, d    ac  bd , ad  bc En el número complejo  a, b  llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son: Igualdad.  a, b    c, d   a  c  b  d Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) . Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3  , hallar: a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2 b)  2, 1 0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)   3,  6 c)  2,1 0, 3  2  1,1  3,  6    2,  2   5,  8 Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano- En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de las y . Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) . 14-
  • 15. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo  a, 0  coincide con el número real a . De este modo tenemos a  (a,0) cuando a  . Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros. Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar  :   a, b     a,  b  Para eso escribimos el número real  en la forma  , 0  y aplicamos la definición de multiplicación:   a, b    , 0 a, b     a  0b ,  b  0a     a,  b  . Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que i  1 . 2 i 2  (0,1)2  (0,1) (0,1)   0(0)  1(1), 0(1)  1(0)   (1, 0)  1 Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x2  1  0 . x2  1  0  x2  1  x2  i 2  x   i Forma binómica de un número complejo Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma: z  (a , b)  (a,0)  (0, b)  a (1,0)  b (0,1) Pero como (1, 0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama forma binómica o binomia del número complejo. Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica  a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.  a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi 2   ac  bd    ad  bc  i Porque i 2  1 . Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo. 15-
  • 16. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 . z1  z2  (3, 2)  (4, 1)   3  2i    4  i   7  i z1 z2  (3, 2)(4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i Conjugado de un número complejo Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z  x  yi , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto. Ejemplo. Si z  3  2i , entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i . Módulo y argumento de un número complejo Sea z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z , al número real dado por a 2  b2 y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z (Gráfica 2). Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( z ) y se calcula mediante la expresión: b arg( z )  arctan   . a Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo. Propiedad: z z  z 2 16-
  • 17. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Demostración: z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  abi  abi  y 2i 2    a 2  b2    ab  ab  i  a 2  b 2  0i  a 2  b 2  z 2 División de números complejos La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador: z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i      z2 c  di c  di c  di c2  d 2 z2 2 z1 Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , halle: (a) z2 y (b) . z2 (a) Como z2  1  2i entonces z2  1  2i z1 (b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado z2 . z2 z1 2  3i 2  3i 1  2i (2  3i)(1  2i)     z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i)(1  2i) 2  4i  3i  6i 2 8  i 8 1     i (1)  (2) 2 2 5 5 5 Raíces complejas de la ecuación de segundo grado Si el discriminante de la ecuación ax2  bx  c  0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por i 2 y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación. Ejemplo. Resolver la ecuación x2  2 x  6  0 . Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática: (2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20 x   2(1) 2 2 Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 20i 2 . Por lo tanto: 2  20 2  20i 2 2  2 5 i x    1 5 i 2 2 2 Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i . 17-
  • 18. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Ejercicios 14: 1) Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle: (a) z  w , (b) z w , (c) 3z  4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z . 2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos. 3) Muestre que (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos. 4) Calcule: (a) i 3 , (b) i 4 , (c) i 5 , (d) 1 , (e) 1 . 2 i i 5) Calcule: (a) i 4n , (b) i 4 n 1 , (c) i 4 n  2 , (d) i 4 n 3 . 6) Dado el número complejo ( x, y) halle el par (u, v) tal que ( x, y) (u, v)  (1,0) . Al par se le llama inverso multiplicativo de ( x, y) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso multiplicativo. 7) Verifique que z  z . 8) Verifique que uv y uv son conjugados. 9) Calcule: (a) 3  3i , (b) 1  3i . 2  4i 2  2i 18-
  • 19. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 10) Resuelva la ecuación (2  i) z  3  i . 11) Halle z tal que (2  i)(1  i)  2  z i . 12) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi , tales que: (a) z  5 , (b) z  5 . 13) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi tales que: (a) z  2  5 , (b) z  i  z  i , (c) z  z  z . 2 14) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  3  0 . 15) Resuelva la ecuación cuadrática 2 x2  4 x  5  0 . 16) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  8  0 . 17) Resuelva la ecuación x4  13x2  36  0 . 19-
  • 20. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA Desarrollo personal Es un proceso por en el cual cada ser humano tiene que vivir para ir creando una madurez adecuada a su edad. Es una secuencia de cambios tanto del pensamiento como sentimientos y sobre todo el más notorio es el físico. Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: Prueba objetiva y rúbrica.  Procedimentales: Portafolio y lista de cotejo.  Actitudinales: Escala de rango. 20-
  • 21. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 21-
  • 22. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Competencia. Aplica conocimientos sobre funciones en situaciones que promueven el mejoramiento y transformación de su contexto. Indicadores de logro. 1. Utiliza funciones para representar hechos reales. 2. Representa gráficamente funciones lineales y cuadráticas. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Funciones Ejercicios para identificar Valoración de las actitudes de funciones en la vida real. colaboración y entusiasmo. Dominio y contradominio. Ejemplos y representaciones Utilización de valores como la matemáticas para encontrar el comunicación en la dominio y contradominio de formulación de modelos una función. matemáticos. Clasificación de las funciones. Realización de ejemplos de Disposición contante en la función inyectiva, identificación de funciones. sobreinyectiva, biyectiva, par, impar, creciente, decreciente, periódica. Función lineal y cuadrática. Graficación de funciones líneas Identificación y uso de la y cuadráticas. cooperación para la resolución de problemas matemáticos. 22-
  • 23. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez FUNCIONES Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos “x” o “s” o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo Entonces podernos decir que una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado contradominio ) de forma que a 23-
  • 24. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del contradominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2 Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2 o f(x) = x2 . Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos 24-
  • 25. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90 Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o contradominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo −2 −1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 −1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 25-
  • 26. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (contradominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el contradominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre-imagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre- imagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. 26-
  • 27. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12} Notar que el recorrido es un subconjunto del contradominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) } g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) } Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4). EJERCICIO 15: a. Realice las siguientes funciones. Encuentre el dominio, contradominio y grafica en el plano cartesiano. 1. 2. 3. 4. 27-
  • 28. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 5. 6. 7. 8. Dados los siguientes conjuntos y y se le pide F: M ⟶B/ f(x)= 2x+1 RECUERDA Colaboración Es todo proceso donde se involucre el trabajo de varias personas en conjunto; tanto para conseguir un resultado imposible o muy difícil de conseguir mediante el trabajo individual como para ayudar conseguir algo a quien por sí mismo no podría. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Función Inyectiva: Una función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. Ejemplo: 28-
  • 29. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez A B X 1 Y 2 Z 3 4 Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada Sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f . A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. Ejemplo: A = {a,e,i,o,u} B = {1,3,5,7} f = {(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)} Simbólicamente: f: A  B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva Ejemplo: A B X 1 Y 2 Z 3 4 Función Biyectiva: Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez . Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo: 29-
  • 30. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez A = {a,e,i,o,u} B = {1,3,5,7,9} f = {(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)} Teorema: Si f es biyectiva , entonces su inversa f – 1 es también una función y además biyectiva. Ejemplo: A B X 1 Y 2 Z 3 Q 4 Función Par: Una función f: RR es par si se verifica que  x  R vale f(-x) = f(x) Si f: RR es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen) Se dice que una función es par si f(x) = f(-x) Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2 30-
  • 31. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Función Impar: Una función f: RR es impar si se verifica que  x  R vale f(-x) = -f(x) Si f: RR es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen) En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares. Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). Función Creciente: Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con x1 < x2 Se tiene que f(x1) < f(x2). Prevalece la relación < 31-
  • 32. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e). Ejemplo: f(x2) f(x1)< f(x2) f(x1) x1 x 2 x x1 < x2 Función Decreciente: Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con x < x2 Se tiene que f(x1) > f(x2). 1 Cambia la relación de < a > Ejemplo: y f(x1) f(x1) > f(x2) x1 x2 f(x2) x x1 < x 2 32-
  • 33. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ). Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente. Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo  por < y el  por el >. Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto. Función Periódica: Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x) La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360) La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc. ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir, Donde el periodo P=2/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier. Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2 de x, y la función f(t) convertida en 33-
  • 34. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma más simple Donde Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.  Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos  Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos  Si g(x) es alternada, g(x+)=-g(-x), la serie solamente consta de términos armónicos impares. Ejemplo: FUNCIÓN LINEAL Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: f(x) = 2x − 1 34-
  • 35. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente. f(x) = 2x − 1 En general, una función lineal es de la forma f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente). FUNCION CUADRATICA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. 35-
  • 36. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta. Representación gráfica de una función cuadrática Parábola del puente, una función cuadrática. Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son: 36-
  • 37. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez  Orientación o concavidad (ramas o brazos)  Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)  Punto de corte con el eje de ordenadas  Eje de simetría  Vértice  Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3 37-
  • 38. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas. 38-
  • 39. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Ejercicio 16: 1. Desarrolla los siguientes temas: CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES. a. Función Inyectiva b. Función Sobreyectiva c. Función Biyectiva d. Función Par e. Función Creciente f. Función Decreciente g. Función Periódica 2. Realiza ejemplos de las siguientes funciones a. FUNCIÓN LINEAL b. FUNCION CUADRATICA 39-
  • 40. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA ENTUSIAMOS Es la exaltación del ánimo que se produce por algo que cautiva o que es admirado. El término procede del latín tardío enthusiasmus, aunque su origen más remoto se encuentra en la lengua griega. Para los griegos, entusiasmo significaba “tener un Dios dentro de sí”. Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: prueba objetiva.  Procedimentales: lista de cotejo  Actitudinales: lista de cotejo. 40-