1.
Funciones Cuadráticas
I. Propiedades de una ecuación cuadrática
Forma Standard cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son constantes.
Forma Vértice:
y = a(x – h)2 + k
Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.
Vértice: (h, k)
II. Solución de una ecuación cuadrática
a. Por factorización
1. 6x2 – 19x – 7 = 0
2. x2 - 6x + 5 = 0
3. 2x2 = 3x
b. Por raíz cuadrada
1. 2x2 – 3
2. 3x2 + 27 = 0
3. (x + ½ )2 = 5/4
c. Completando al cuadrado
1. x2 + 6x – 2 = 0
2. 2x2 –4x + 3 = 0
3. x2 + 8x = 3
− b ± b 2 − 4ac
d. Por fórmula Cuadrática x =
2a
1. 2x + 3/2 = x2
2. x2 – 5/2 = -3x
III. Discriminante y raíces
raíces de ax2 + bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0
b2 – 4ac > 0 hay dos raíces reales
b2 – 4ac = 0 hay una sola raíz real
b2 – 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias
1. 2x2 – 3x – 4 = 0
2. 4x2 – 4x + 1 = 0
3. 2x2 – 3x + 4 = 0
Más sobre parábolas
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2.
IV. Aplicaciones
Resuelve.
a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números.
b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos
núemros.
c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta
36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 millas por
hora, ¿Cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas?
d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras
simultáneamente. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada
computadora termine sola si el modelo viejo se tarda 3 horas más que el
nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.
e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a
un muelle al mismo tiempo. Una hora antes están separadas 25 millas . Si
una de las lanchas viaja 5 millas por hora más rápido que la otra, ¿cuál es
la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de Pitágoras-
distancias iguales =tiempos iguales
f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando
trabajan juntos. Uno puede terminar el trabajo 2 horas más rápido que el
otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entregar la correspondencia? Calcule
las respuestas don dos cifras decimales.
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3.
Ejercicios Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Por Factorización o Raíz Cuadrada
Ejercicios:
A. Resuelve cada ecuación por factorización.
1. x2 + 6x + 8 = 0
2. x2 +1 8 = 9x
3. x2 - 2x = 3
4. x2 + 8x = 0
5. 2x2 + 6x = -4
6. 3x2 = 16x + 12
B. Resuelve cada ecuación por raíz cuadrada.
1. 4x2 – 100 = 0
2. x2 – 3- = 10
3. x2 – 9 = 0
C. Resuelve cada ecuación por factorización o por raíz cuadrada.
1. 5x2 = 80 11. x2 = 8x –7
2. x2 + 6x + 5 = 0 12. 2x2 + 8x = 5x + 20
3. x2 - 11x + 24 = 0 13. x2 + 2x – 1 = 0
4. x2 + 4x = 0 14. 4x2 - 100 = 0
5. 12x2 - 154 = 0 15. x2 = - 2x + 1
6. 6x2 + 4x = 0 16. x2 – 9 = 0
7. 2x2 - 5x - 3 = 0 17. 2x2 + 4x =70
8. x2 + 2x = 6 – 6x 18. x2 - 30 = 10
9. 6x2 + 13x + 6 = 0 19. x2 + 4x = 0
10. 3x2 + 7x = 9 20. x2 + 3x + 2 = 0
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4.
Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Completando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática
A. Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el
cuadrado de un binomio.
1. n2 + 18 n + _____ 3. x2 – 24 x + ____ 5. m2 – 3m + ____
2. k2 – k + ____ 4. x2 + 20x + ____ 6. x2 + 4x + _____
B. Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
1. x2 - 3x = 28 5. x2 + 6x + 41 = 0 9. 2p2 = 6p – 20
2. x2 - 3x = 4 6. t2 – 2t = -2 10. 3x2 - 12x + 7 = 0
3. 6x - 3x2 = -12 7. w2 – 8w – 9 = 0 11. t2 + 6t = -22
4. –d2 – 2d = 5 8. t2 + 4 = 0 12. 4c2 + 10c = -7
C. Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h)2 + k
1. y = x2 + 4x – 7 4. y = ½ x2 – 5x + 12 7. y = -4x2- 5x + 3
2. y = -x2 + 4x - 1 5. y = - 1/5 x2 = 4/5 x + 11/5 8. y = 2x2- 8x + 1
3. y = -2 x2 + 6x + 1 6. y = x2 + 4x + 1 9. y = -x2- 2x + 3
D. Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.
1. 2x2 + 8x + 12 = 0 5. x2 = 3x – 1 9. x2 - 6x + 11 = 0
2. 3x2 + 2x -1 = 0 6. x2 = 2x – 5 10. x2 + 6x - 5 = 0
3. -x2 + 5x -7 = 0 7. 9x2 + 12x - 5 = 0 11. x2 - 2x + 3 = 0
4. x2 - 4x + 3 = 0 8. x ( x – 5) = -4 12. x2 + 10x = -25
E. Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s)
solucion(es) son reales o complejas.
1. x2 + 4x + 5 = 0 4. 2x2 + x + 28 = 0 7. 2x2 + 7x = -6
2. x2 - 4x - 5 = 0 5. 2x2 + 7x -15 = 0 8. x2 -+12x + 36 = 0
3. 4x2 + 20x + 25 = 0 6. 6x2 - 2x + 5 = 0 9. x2 = 8x - 16
F. Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario
redondea la solución a la centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe
la solución exacta.
1. x2 = 11x – 10 8. x2 - 3x - 8 = 0
2. 2x2 + 4x = 10 9. x2 = 6x – 11
3. –3x2 + 147 = 0
4. 5x2 =210 x
5. x2 - 2x + 2 = 0
6. x2 + 8x = 4
7. 4x2 + 4x = 3
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5.
Laboratorio Gráficas de Cuadráticas
A. Desplazamiento horizontal o vertical
y=x2 y = x2
y = x2 + 2 y = (x + 2)2
y = x2 - 3 y = (x – 3)2
y= f(x) y = f(x) + k
Conclusión: La gráfica se traslada ______________verticalmente
y = f(x) y = f(x + h)
Conclusión: La gráfica se traslada ______________horizontalmente
B. Expansión o contracción
y = 2x2 y = ½ x2
y = 3x2 y = 1/3 x2
y = 5x2 y = 1/5 x2
a > 1 La gráfica se ___________ expande
Conclusión: y = af(x)
a < 1 La gráfica se ___________ contrae
C. Reflexión
y = 2x2 y = -2x2
y = 3x2 y = -3x2
y = 1/3 x2 y = -1/3 x2
Conclusión: y= f(x) y = -f(x)
La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x
a. Eje de Simetría
Si y = a ( x – h )2 + k El eje de simetría es cuando x = h
b. Punto máximo y mínimo
a > 0 hay un punto mínimo
2
Si y = a ( x – h ) + k
a < 0 hay un punto máximo
c. Dominio y Campo de Valores
El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales.
El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0 ó [k, ∞ ) si a > 0

6.
d. Ceros de la gráfica cuadrática
Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se
obtienen cuando igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero:
m • n = o si y solo si m = 0 ó n = 0 ( o ambos)
Ejemplo: y = x2 – 6x + 5
Ejercicicios:
A. Determina si la gráfica es cuadrática. Si lo es indica si se desplaza horizontal o verticalmente, si se
expande o se contrae, y si la gráfica queda hacia abajo o hacia arriba comparándola con y = x2.
a. y = 3
b. 4x – 5y = -24 d. x2 + y2 = 81 f. y = (x – 2)2 + 3
c. x + y2 = 5 e. y = -x2 + 4 g. y = x2 – 1
e. y2 – x = 2 i. y = ½ x + 5
B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de
valores para cada gráfica cuadrática
.
a. y = -2(x + 4) 2 - 3 d. y = ( x + 5)2 - 7
b. y = -(x + 2 ) 2 - 4 e. y = 2( x + 5)2
2
c. y = 3( x + 6) - 3 f. y = ½ ( x – 4 ) 2
C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto
máximo o mínimo, el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática
a b
a. y = x2 + 8x - 9 Ceros
b. y = 1/2 x2 + 2x + 3 Vértice
Eje de simetría
Máximo o
mínimo
Dominio
Campo de valores
D. Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones
cuadráticas.
a. 4x2 + 4x =-3 b. 5x2 =10 x c. -x2 + 3x =- 4
a b c
Raíces
contestaciones Eje de simetría
Vértice
concavidad
Función Cuadrática. Características

7.
Una función de la forma estándar:
f (x) = a x ² + b x + c
con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su
gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
si la ecuación
tiene todos los
términos se
dice ecuación
completa, si a
la función le
falta el término
lineal o
independiente
se dice que la ecuación es incompleta.
Raíces
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para
los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0.
Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola
corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan
al eje x en:

8.
Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f
(x) = 0, entonces
ax² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las
propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un
término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante.
Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:
al resultado de la cuenta b2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación,
esta operación presenta distintas posibilidades:
Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.
Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la
ecuación tiene una sola solución real.
Si b2 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la
ecuación no tendrá solución real.
Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces
(con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable
x de la ecuación:
1er caso: ax2 + bx = 0
2do caso: ax2 + c = 0
Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir,
si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará
por el punto medio entre estos, o sea

9.
Vértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo
que su coordenada x, que notaremos xv vale:
Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se
calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de
acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo
veremos a continuación).
Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los
coeficientes de la función de la siguiente manera:
Concavidad
Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:
También suele decirse que:
Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.
1. y = x2 + 4x – 7 y = (x+2) 2 -11
2. y = -x2 + 4x - 1 y = -(x-2) 2 +3
3. y = -2x2 + 6x + 1 y = -2(x+3/2) 2 + 5 1/2
4. y = ½ x2 – 5x + 12 y = ½ (x-5) 2 -1/2
5. y = - 1/5 x2 = 4/5 x + 11/5 y = -1/5(x-2) 2 +3
6. y = x2 + 4x + 1 y = (x+2) 2 -3
7. y = -4x2- 5x + 3 y = (x – 5/8) 2 + 73/16
8. y = 2x2- 8x + 1 y = 2(x-2) 2 - 7
9. y = -x2- 2x + 3 y = -(x+1) 2 +4

10.
vértice Eje de Máximo o Arriba/ Expande Dominio Campo ceros
simetría mínimo abajo o se de
contrae valores
1. (-2-11) x= -2 Min arriba normal Reales Y > -11 (-5.3,0)(1.3,0
2. (2,3) X=2 Max abajo normal Reales Y< 3 (3.7,0)(0.3,0)
3. (1.5,5 X=-3/2 Max abajo contrae Reales Y< 5 1/2 (3.2,0)(-0.2,0
½)
4. (5,-1/2) X=5 Min arriba expande Reales Y< -1/2 (4,0)(6,0)
5. (-2,3) X = -2 Max abajo expande Reales Y< 3 (1.9,0)(-5.9,0
6. (-2,-3) X= -2 Min arriba normal Reales Y< -3 (-3.7,0)(-0.3,0
7. (5/8,4 X=-5/8 Max abajo contrae Reales Y< 4 9/16 (0.4,0)(-1.7,0
9/16
8. (2,-7) X=2 Min arriba contrae Reales Y< -7 (0.1,0)(3.9,0)
9. (-1,4) X=-1 Max abajo normal Reales Y< 4 (1,0)(-3,0)