2. Si damos a x valores próximos a 2 por la izquierda, los valores de la función se acercan cada vez más a 5 Si lo hacemos por la derecha, las imágenes también se acercan cada vez más a 5 Decimos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 5 Se expresa de la siguiente forma:             x f(x) x f(x)

3. Tomamos un punto cerca de 2: Valor de la función en dicho punto: Nos acercamos un poco más a 2, por la derecha o por la izquierda: Valor de la función en dicho punto: Un poco más cerca: Valor de la función en este caso: Cuanto más nos acercamos a 2, el valor de la función se acerca más a 1 Decimos que cuando x tiende a 2, la función tiende a 1 Gráficamente

4. A la hora de calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que vale la función en ese punto sino a su alrededor. Cuando nos acercamos a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2 Cuando nos acercamos a 3 por la derecha, la función se aproxima a 2 Sin embargo, el valor de la función en el punto 3 es 4 ES MUY IMPORTANTE DESTACAR LO SIGUIENTE :

5. Cálculo de límites En general, para calcular límites sustituiremos la variable por el valor donde queremos calcular el límite. La condición para que exista el límite de una función en un punto es que existan sus límites laterales y que sean iguales NOTA: Aunque el límite de la función en un punto no es el valor de la función en dicho punto, muchas veces coinciden

6. Límites infinitos Valor de la función en las proximidades de 0: Cuando x toma un valor muy cerca de 0, la función toma un valor muy grande, y mayor cuanto más nos acerquemos a 0. Cuando esto sucede, decimos que el límite es infinito. Se expresa así:  El símbolo  se utiliza para expresar una cantidad que aumenta sin cesar, superando cualquier valor. No es un número.

7. LÍMITES DEL TIPO k/0 Como sabemos, no se puede dividir por 0. Pero, en realidad no es una operación numérica. Se trata de dividir 1 entre algo que se hace cada vez más pequeño. El resultado es cada vez mayor  ∞ Si observamos la gráfica de la función: Para saber si tiende a +∞ o -∞ calculamos los límites laterales

8. EJEMPLO EJEMPLO

9. Es el valor al que se aproxima una función cuando x toma valores cada vez mayores en valor absoluto. Podríamos decir, cuando x tiende a +  o a -  Se expresan así: Si damos a x valores muy grandes, la función se acerca cada vez más a 1         DEDUCIMOS ENTONCES QUE: x f(x)

10. OPERACIONES CON ∞ En los productos y los cocientes se ha de tener siempre en cuenta la regla de los signos. En las divisiones por cero hay que tener en cuenta el “signo del cero”.

11. INDETERMINACIONES En algunos casos las operaciones obtenidas no están perfectamente determinadas, sino que la misma operación pueden dar lugar a distintos resultados Por ejemplo: El resultado es distinto cada vez, depende de las expresiones que nos den el ∞ Este tipo de expresiones se llaman indeterminaciones y son 7.

12. LÍMITE INFINITO DE UN POLINOMIO El límite infinito de un polinomio lo da el término de mayor grado LÍMITE INFINITO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

13. LÍMITE 0/0 DE UNA FUNCIÓN RACIONAL Cuando en una función racional se obtiene una indeterminación 0/0 debemos simplificarla Si no se puede extraer factor común habrá que factorizar y simplificar. Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado La factorización se hace multiplicando x menos una raíz por x menos la otra

14. Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado o se aplican los productos notables EJERCICIO Podemos sacar factor común en el denominador

15. El límite de una suma es igual a la suma de los límites de los sumandos. Calculamos el primer límite Calculamos el segundo límite

16. 3. La función f (x) = 2 /(x - 2) 2 , cuando x  2, a) Tiene límite 0 b) Tiene límite  c) No tiene límite. Se trata de hallar En este caso, a pesar de ser un límite k/0, no hace falta calcular los límites laterales ya que el denominador siempre será positivo por el cuadrado Entonces, Ya que el cuadrado siempre es positivo

18. Y ahora calculamos el límite: En estos casos se debe simplificar la función: Calculando límites directamente: Indeterminación

19. Se trata de hallar el límite de la función cuando x  1: La función tiende a 0

20. Se trata de hallar el límite de la función cuando x  0 pero antes de calcular el límite debemos hacer las operaciones que se observen y simplificar todo lo posible: Y ahora calculamos el límite:

21. Una función es continua en un punto a si se verifica: 1. Existe límite de la función en dicho punto, es decir, existe: 2. Existe valor de la función para x = a , es decir, existe: 3. Ambas cosas son iguales: Esta función no es continua en el punto 3. Continuidad de funciones

22. EJEMPLOS: Funciones polinómicas son aquellas cuya expresión analítica viene dada por un polinomio.

23. Funciones racionales son aquellas cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios EJEMPLOS: Es continua en cualquier punto menos en el punto 3 porque si damos a x el valor de 3, el denominador se anula. Es continua en cualquier punto porque el denominador no se anula nunca.

24. Observando el denominador, vemos que no se anula nunca porque el exponente de x es par y entonces x 4 + 16 siempre es mayor que 0 La función es continua en todos los puntos. Hay dos puntos que anulan al denominador. La función tiene dos discontinuidades

25. Los posibles puntos de discontinuidad son 3 y – 3, puntos en los que el denominador se anula. Punto x = 3: Hallamos el límite de la función en dicho punto: Como f (3) = 9/2, la función es continua. Punto x = - 3: Hallamos el límite de la función en dicho punto: No existe límite, luego la función es discontinua.

26. EJERCICO PROPUESTO EN UN EXAMEN DE BACHILLERATO

27. FIN