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Solución de los ejercicios pares de las pág. 70 a 78

SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PARES DE LA PÁG.70 A 78

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Pág. 70 a 78 (Ejercicios pares)
Razonamiento y demostración.
Página 70
2. Si   2
3 4 5f x x x   y   2
5 2g x x  . Halla    2 3f g 
Solución
     
   
   
2
2
2 3 2 4 2 5 12 8 5 9
3 5 2 3 5 18 13
2 3 4
f
g
f g
      
       
    
4. Con respecto a los diagramas de flechas de las relaciones 1 2,R R y 3R en A ,
¿Cuáles son reflexivas?
Solución
1R y 3R
6. Dado el conjunto
 |1 10A x x   
Definimos la relación R en A :   ; | 2R a b a b 
¿Qué podemos afirmar acerca de esta relación?
A. Es reflexiva
B. Es simétrica
C. Su dominio es  4;5;7
D. Su rango es  2;3;4
E. Tiene 8 elementos
Solución
 
      
2;3;4;5;6;7;8;9
4;2 , 6;3 , 8;4
A
R


Luego, se puede afirmar D.
8. Dados los conjuntos
 
 
| 2 2
3 2| 4 7,
M x x
N x x x
    
    
Indica el par ordenado que no pertenece a M N
a) (-2;16)
b) (-2;5)
c) (-1;13)
d) (0;16)
e) (1;13)
Solución
 
 
2; 1;0;1
13;16
M
N
  

Luego, el par no pertenece a M N es  2;5
10. Si   2
3 1f x x  , halla el valor de
   
 
5 2
6
f f
f

Solución
   
 
   
 
2 2
2
5 2 3 5 1 3 2 1 75 12 2 85
5
18 1 176 3 6 1
f f
f
     
   

Página 71
12. Sea  4;8;7;9A  . Al analizar la relación binaria R definida en A .
              4;4 , 4;8 , 4;7 , 8;8 ,(8;4), 7;7 , 7;4 , 9;9R 
Indica qué propiedades cumple
I. Reflexiva
II. Simétrica
III. Transitiva
Solución
Solo reflexiva y simétrica.
Comunicación Matemática
2. Si  3;4;5;6A  y  6;7B  . Halla  A B B 
Solución
   
      
6
6;6 , 6;7
A B
A B B
 
  
4. Si la relación R es una relación simétrica
          , , , , , , , , ,R Lima Perú Perú x Caracas z Santiago y Chile Santiago
Hallar el conjunto  , ,A x y z
Solución
 , ,
x Lima
y Chile
z Caracas
A Lima Chile Caracas



 
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
2
.
.5
.7
A
3.
6. Indica el diagrama de flechas que corresponde a la relación
        2;5 , 3;7 , 3;3 , 5;2R 
Definida de A en A siendo  2;3;5;7A 
A)
B)
C)
D)
E)
Solución
Corresponde al apartado C
Página 72
8. En un conjunto de 2 elementos, ¿cuántas relaciones a lo más se pueden definir?
Solución
Se pueden definir
2
2 4
2 2 16  relaciones
10. Si
 
 
 
1;2;3;4
2;4;6;8
2;3;7
A
B
C



¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene más elementos?
a.  A B C 
b.  A B C 
c.  A B C 
d.  A B C 
e.  A B C 
Solución
a.       2 3 6n A B C n A B n C         
b.       2 3 6n A B C n A B n C         
c.       4 3 12n A B C n A n B C         
d.       4 6 24n A B C n A n B C         
e.       4 1 4n A B C n A n B C         
Luego, el que tiene mayor cantidad de elementos es (d)
12. Dados los conjuntos
 
 
|1 7;
| 1 3
A x x x es impar
B x x
   
    
¿Cuál de las siguientes no es función de A en B ?
a.       1;0 , 3;1 , 7;2
b.       3;1 , 5;1 , 7;0
c.       1;1 , 5;2 , 9;0
d.       7;1 , 5;0 , 3;0
e.       1;2 , 3;2 , 7;1
Solución
 
 
1;3;5;7
0;1;2
A
B


Luego, c) no es función de A en B pues 9 no pertenece al dominio de A
14. Hallar la gráfica de la función   1
2
x
f x  
Solución
x   1
2
x
f x  
0 -1
2 0
Página 73
16. Grafica   2
3 12 20f x x x  
Solución
Vértice
 
     
2
12
2
2 3
3 2 12 2 20 8
v
v v
x
y f x

  
    
x   2
3 12 20f x x x  
1 11
2 8
3 11
Resolución De Problemas
2. Dados los conjuntos
 
 
| 7 15
| 2 7
G x x
H x x
   
   
¿Cuántos elementos tiene el conjunto G H ?
Solución
   
   
8;9;10;11;12;13;14 7
3;4;5;6 4
G n G
H n H
  
  
Luego,   28n G H  elementos
4. Dados los conjuntos
 
 
10;12;14;16;18
3;5;7;9
S
T


Halla la relación  ; | y
2
x
R x y S T
 
    
 
Solución
      10;5 , 14;7 , 18;9R 
Página 74
6. Determina el rango de    3 7; 1;8f x x x  
Solución
   
   
1 3 1 7 10
8 3 8 7 31
f
f
  
  
Luego, el rango es  10;31
8. Dado el conjunto  2;3;4A  , se tiene la relación reflexiva
          2; , 2;3 , ;4 , 3; , 3;3R a b c
Calcula a b c 
Solución
2; 4; 2 3 4 8 9 10a b c ó ó a b c ó ó      
10. Dado el conjunto  2;3;4;5;6;7A  , se define en A
  1 ; | 2R a b a b  
  2 ; | 3R a b a b  
Calcula el número de elementos del dominio 1R más el número de elementos del rango de 2R
Solución
        
      
1
2
2;4 , 3;5 , 4;6 , 5;7
2;5 , 3;6 , 4;7
R
R


Luego,
     
     
1 1
2 2
2,3;4;5 4
5;6;7 3
Dom R n R
Rang R n R
  
  
La suma pedida es 7
12. Dado el conjunto  2;3;4;7A  . Si la relación :R A A es reflexiva, calcula a b c  y
verifica si R es transitiva
            2;3 , 2;4 , 4;4 , ;3 , ; 1 , ;R a b a c c 
Solución
            
3
1 2
7
2;3 , 2;4 , 4;4 , 3;3 , 2;2 , 7;7
a
b a b
c
R

   

 
a + b + c = 3 + 2 + 7 = 12
Analizando, R es transitiva
14. Halla a b c d e    , si R es una relación binaria de equivalencia
                  4;4 , ; , ; , 4;5 , 5; , 5;6 , ; 2 , 6;4 , ;5R a a b b c e e d 
Solución
       
     
     
4;5 5;6 4,6 ;e 2 4
4;5 5;4 5; 4
5;6 6;5 d;5 6
5
6
25
R e e
R c c
R d
a
b
a b c d e
    
    
    


     
16. Si  2
2 10| 3 4;T x x x      , indica el dominio de la relación
  ; | y 4 2R x y T x    
Solución
 8; 2; 8; 10T    
Luego,       2;8 , 8;20 , 10;24R    
Por tanto,  10; 8; 2DomR    
18. Si   4 1f x x  y   2 13g x x  ; halla   7f g 
Solución
       7 2 7 13 1 5f g f f       

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Solución de los ejercicios pares de las pág. 70 a 78

  • 1. a. b. c. a. b. c . a. b. c . Pág. 70 a 78 (Ejercicios pares) Razonamiento y demostración. Página 70 2. Si   2 3 4 5f x x x   y   2 5 2g x x  . Halla    2 3f g  Solución               2 2 2 3 2 4 2 5 12 8 5 9 3 5 2 3 5 18 13 2 3 4 f g f g                     4. Con respecto a los diagramas de flechas de las relaciones 1 2,R R y 3R en A , ¿Cuáles son reflexivas? Solución 1R y 3R 6. Dado el conjunto  |1 10A x x    Definimos la relación R en A :   ; | 2R a b a b  ¿Qué podemos afirmar acerca de esta relación? A. Es reflexiva B. Es simétrica C. Su dominio es  4;5;7 D. Su rango es  2;3;4 E. Tiene 8 elementos Solución          2;3;4;5;6;7;8;9 4;2 , 6;3 , 8;4 A R   Luego, se puede afirmar D.
  • 2. 8. Dados los conjuntos     | 2 2 3 2| 4 7, M x x N x x x           Indica el par ordenado que no pertenece a M N a) (-2;16) b) (-2;5) c) (-1;13) d) (0;16) e) (1;13) Solución     2; 1;0;1 13;16 M N     Luego, el par no pertenece a M N es  2;5 10. Si   2 3 1f x x  , halla el valor de       5 2 6 f f f  Solución             2 2 2 5 2 3 5 1 3 2 1 75 12 2 85 5 18 1 176 3 6 1 f f f            Página 71 12. Sea  4;8;7;9A  . Al analizar la relación binaria R definida en A .               4;4 , 4;8 , 4;7 , 8;8 ,(8;4), 7;7 , 7;4 , 9;9R  Indica qué propiedades cumple I. Reflexiva II. Simétrica III. Transitiva Solución Solo reflexiva y simétrica. Comunicación Matemática 2. Si  3;4;5;6A  y  6;7B  . Halla  A B B  Solución            6 6;6 , 6;7 A B A B B      4. Si la relación R es una relación simétrica           , , , , , , , , ,R Lima Perú Perú x Caracas z Santiago y Chile Santiago Hallar el conjunto  , ,A x y z Solución  , , x Lima y Chile z Caracas A Lima Chile Caracas     
  • 3. 2 . .5 .7 A 3. 2 . .5 .7 A 3. 2 . .5 .7 A 3. 2 . .5 .7 A 3. 2 . .5 .7 A 3. 6. Indica el diagrama de flechas que corresponde a la relación         2;5 , 3;7 , 3;3 , 5;2R  Definida de A en A siendo  2;3;5;7A  A) B) C) D) E) Solución Corresponde al apartado C Página 72 8. En un conjunto de 2 elementos, ¿cuántas relaciones a lo más se pueden definir? Solución Se pueden definir 2 2 4 2 2 16  relaciones
  • 4. 10. Si       1;2;3;4 2;4;6;8 2;3;7 A B C    ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene más elementos? a.  A B C  b.  A B C  c.  A B C  d.  A B C  e.  A B C  Solución a.       2 3 6n A B C n A B n C          b.       2 3 6n A B C n A B n C          c.       4 3 12n A B C n A n B C          d.       4 6 24n A B C n A n B C          e.       4 1 4n A B C n A n B C          Luego, el que tiene mayor cantidad de elementos es (d) 12. Dados los conjuntos     |1 7; | 1 3 A x x x es impar B x x          ¿Cuál de las siguientes no es función de A en B ? a.       1;0 , 3;1 , 7;2 b.       3;1 , 5;1 , 7;0 c.       1;1 , 5;2 , 9;0 d.       7;1 , 5;0 , 3;0 e.       1;2 , 3;2 , 7;1 Solución     1;3;5;7 0;1;2 A B   Luego, c) no es función de A en B pues 9 no pertenece al dominio de A 14. Hallar la gráfica de la función   1 2 x f x   Solución x   1 2 x f x   0 -1 2 0
  • 5. Página 73 16. Grafica   2 3 12 20f x x x   Solución Vértice         2 12 2 2 3 3 2 12 2 20 8 v v v x y f x          x   2 3 12 20f x x x   1 11 2 8 3 11 Resolución De Problemas 2. Dados los conjuntos     | 7 15 | 2 7 G x x H x x         ¿Cuántos elementos tiene el conjunto G H ? Solución         8;9;10;11;12;13;14 7 3;4;5;6 4 G n G H n H       Luego,   28n G H  elementos 4. Dados los conjuntos     10;12;14;16;18 3;5;7;9 S T   Halla la relación  ; | y 2 x R x y S T          Solución       10;5 , 14;7 , 18;9R  Página 74 6. Determina el rango de    3 7; 1;8f x x x   Solución         1 3 1 7 10 8 3 8 7 31 f f       Luego, el rango es  10;31 8. Dado el conjunto  2;3;4A  , se tiene la relación reflexiva           2; , 2;3 , ;4 , 3; , 3;3R a b c Calcula a b c  Solución 2; 4; 2 3 4 8 9 10a b c ó ó a b c ó ó      
  • 6. 10. Dado el conjunto  2;3;4;5;6;7A  , se define en A   1 ; | 2R a b a b     2 ; | 3R a b a b   Calcula el número de elementos del dominio 1R más el número de elementos del rango de 2R Solución                 1 2 2;4 , 3;5 , 4;6 , 5;7 2;5 , 3;6 , 4;7 R R   Luego,             1 1 2 2 2,3;4;5 4 5;6;7 3 Dom R n R Rang R n R       La suma pedida es 7 12. Dado el conjunto  2;3;4;7A  . Si la relación :R A A es reflexiva, calcula a b c  y verifica si R es transitiva             2;3 , 2;4 , 4;4 , ;3 , ; 1 , ;R a b a c c  Solución              3 1 2 7 2;3 , 2;4 , 4;4 , 3;3 , 2;2 , 7;7 a b a b c R         a + b + c = 3 + 2 + 7 = 12 Analizando, R es transitiva 14. Halla a b c d e    , si R es una relación binaria de equivalencia                   4;4 , ; , ; , 4;5 , 5; , 5;6 , ; 2 , 6;4 , ;5R a a b b c e e d  Solución                     4;5 5;6 4,6 ;e 2 4 4;5 5;4 5; 4 5;6 6;5 d;5 6 5 6 25 R e e R c c R d a b a b c d e                        16. Si  2 2 10| 3 4;T x x x      , indica el dominio de la relación   ; | y 4 2R x y T x     Solución  8; 2; 8; 10T     Luego,       2;8 , 8;20 , 10;24R     Por tanto,  10; 8; 2DomR     18. Si   4 1f x x  y   2 13g x x  ; halla   7f g  Solución        7 2 7 13 1 5f g f f       
  • 7. 2 . .4 .5 A 3. Página 75 20. Hallar el vértice de la gráfica de la parábola 2 2 1y x x    Solución   2 2 1 2 1 1 2 1 0 v v x y          El vértice es  1;0 22. Si             1;2 , 2;1 , ; , ; , 2;3 , 1;R a a c c b es un relación transitiva, halla a b c  Solución                         2;1 1; 2; 2;3 3 1;2 2;1 1;1 a;a 1 2;1 1;2 2;2 c;c 2 R b b b R a R c             Luego, 6a b c   24. Para el conjunto  1;3;5A  se define la relación reflexiva           1; 2 , 3;3 , 5; 3 , 1;3 , 3;R a b a b    Indica verdadero (V) o falso (F) I. R es simétrica II. R es transitiva III. R es de equivalencia Solución            2 1 3 3 5 2 1;1 , 3;3 , 5;5 , 1;3 , 3;1 a a b b R           Analizando, R cumple con las tres afirmaciones Página 76 2. Analiza y determina qué propiedad (reflexiva, simétrica, transitiva) cumple la relación R definida en  2;3;4;5A  Solución R es reflexiva y transitiva 4. Si   2 4 2 3f x x x   y   2 3g x x  , demuestra que      2 2 4 36f g   Solución            2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 3 4 3 16 4 3 13 36 f g             
  • 8. Página 77 2. De acuerdo al gráfico de la función, calcula el valor de      0 1 2K f f f     Solución      0 1 2 9 5 9 23 K f f f           4. Determina el valor de verdad o falsedad para cada proposición I. Toda relación es una función (F) II. Toda relación de equivalencia es una relación transitiva (V) III.      n A B n A n B   (V) IV. Una función representada en un diagrama sagital, del dominio sólo sale una flecha (F) V. La gráfica de una función cuadrática es una parábola (V) Página 78 2. En  8;9;10M  se define la relación reflexiva         5;2 , ;8 , 5;9 , 3; 6R c c a b c b     Calcula a b c  Solución 8 5 9 4 3 6 7 19 a b b c b c a b c               4. De la función cuadrática   2 2 4 1f x x x   , calcula las coordenadas del vértice de la parábola y los puntos de corte con el eje X Solución       2 4 1 2 2 2 1 4 1 1 3 v v x y            Luego, el vértice es  1; 3  Los puntos de corte con el eje x se encuentran al resolver 2 2 4 1 0x x        4 16 4 2 1 4 24 2 6 2 2 4 2 x            Luego, los puntos son 2 6 2 6 ,0 ; ,0 2 2                       