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conclusión ,hay que tener la
información, ¿pero se puede
concluir solo a partir de datos ?
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concluir solo a partir de datos ?
¿Cada
mano
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La lógica nos permite ir más allá de la
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sentidos y en un contexto determinado.
Es una disciplina que mediante reglas y técnicas
estudia la forma del razonamiento.
En matemática se emplea para demostrar teoremas; en
computación, para validar un programa; en física, para
dar conclusiones de experimentos y, en la vida
cotidiana, para cualquier trabajo que se realiza ya que
tiene un procedimiento lógico.
Gracias a ella, el ser humano distingue la realidad de la
percepción y defiende sus puntos de vista con
argumentos basados en hechos y datos. Esto lo logra
utilizando su inteligencia y con la ayuda de los
conocimientos adquiridos.
ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o
dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones,
preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.
LÓGICA
Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y
deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite
llegar a conclusiones generales a partir de observaciones
particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos
permite llegar a conclusiones particulares a partir de
observaciones generales.
ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de
expresión matemática que no es verdadero ni falso.
Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10
a + b = 1 a2
+ b2
= c2
PROPOSICIÓN LÓGICA es un enunciado informativo
que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso,
pero no ambos a la vez.
La veracidad o falsedad de una proposición se
denomina “Valor de verdad de la proposición”
39 es un número primo ( )
Huancayo queda en Junín ( )
1/2 < 1/4 ( )
(enunciado cerrado)
SON PROPOSICIONES:
Resuelve este problema
¿Puedes prestarme tu libro?
Buenos días profesor
NO SON PROPOSICIONES:
F
V
F
(2+3 )² = 4 + 9
Lima es una ciudad de la costa del Perú
EJEMPLIFICANDO
Identifica las expresiones que son proposiciones:
Sofía Mulanovich fue campeona mundial de tabla en el
2004.
Tal vez compre un obsequio.
 Formuló una pregunta difícil de responder.
 3 + 2 = 5 .
Dos números enteros distintos pueden sumar cero.
¡Ojalá tomen lo que he estudiado!
PROPOSICIÓN SIMPLE o ATÓMICA: Es aquella que
contiene una sola afirmación y se simboliza con las
letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables
proposicionales
Ejemplos: VALOR DE VERDAD
1. 15 es un número primo : p ( )
2. Lima es la capital del Perú : q ( )
3. −32
= 9 : r ( )
PROPOSICIONES COMPUESTAS o MOLECULARES:
Son aquellas que están formadas por dos o más
proposiciones simples o es la negación de una
proposición simple.
En toda proposición compuesta las proposiciones
simples están ligadas mediante palabras conocidas
como conectivos lógicos
F
V
F
Conectivos lógicos
Son palabras que permiten relacionar dos
proposiciones o negar una proposición
simple. Cuando se les representan por
símbolos se les llama operadores lógicos.
Los siguientes conectivos son los más
recurrentes:
1. “si y sólo si”
2. “o . . . o”
3. “si…entonces…”
4. “o”
5. “y”
6. “no”
EJERCITÁNDONOS
Identifica si la proposición es compuesta (C) o
simple (S).
Pablo es culto.
Tres no es mayor que 5.
Los cuadriláteros tienen cuatro lados.
Ana y José son esposos.
Rosa tiene 20 años.
Ana y José están casados.
No es cierto que 34 sea igual a 243.
PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
p p q p q r
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
En general para
“n” proposiciones,
se pueden
presentar 2n
posibilidades
21
22
23
Las tablas de verdad son
representaciones gráficas,
en forma de arreglos,
que sirven para analizar los
posibles valores de verdad
que puede tener una
proposición
simple o compuesta.
1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es
“∧” y se llama conjuntor.
Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”
p q
p : Jorge viajó al Cusco
q : Luis viajó a Ica
Simbología: “p ∧ q”
NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras
pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
Definición de Algunos Enunciados
Compuestos
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
F
F
F
La conjunción sólo es verdadera
cuando las dos proposiciones
son verdaderas.
2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “∨” y se llama
disyuntor.
Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”
r s
r : Eliana viajará al Cuzco
s : Eliana viajará a Cajamarca
Simbología: “r ∨ s”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
DÉBIL
p ∨ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
F
V
V
La disyunción es falsa solo si
ambas proposiciones son falsas
3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “∆”
y se llama disyuntor fuerte.
Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco”
p q
p : Ricardo radica en Miraflores
q : Ricardo radica en Barranco
Simbología: “p ∆ q ”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
FUERTE
p ∆ q
V
V
V
V
F
F
FF
F
F
V
V
La disyunción fuerte es verdadera
solo si ambas proposiciones
tienen diferentes valores de verdad
La disyunción fuerte es falsa
solo si ambas proposiciones
tienen idénticos valores de verdad
4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo
“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama
implicador.
Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”
p q
p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)
q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)
Simbología: “p → q ”
Notas:
1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por
consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc.
2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que
p; q siempre que p; q porque p; etc.
La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3
Ejemplo
(antecedente) p
(consecuente) q
426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3
(antecedente) p
(consecuente) q
La simbología para ambos casos es: p → q
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p → q
V
V
V
V
F
F
FF
V
V
V
F
El condicional solo es falso
cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente es falso.
5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si
y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble
implicador.
Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”
p q
p : Sicilia es una isla
q : Sicilia está rodeada de agua
Simbología: “p ↔ q ”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
p ↔ q
V
V
V
V
F
F
FF
V
V
F
F
El bicondicional es verdadero
solo si ambas proposiciones poseen
idénticos valores de verdad
El bicondicional es falso
solo si ambas proposiciones poseen
diferentes valores de verdad
6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en
la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no
es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se
le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo
es “∼” y se llama negador.
Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”
p
Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al
operador de mayor jerarquía en dicha proposición.
Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero
∼p
q r
Simbología: ∼( q ∧ r )
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p ∼ p
V
F
F
V
TABLA RESUMEN
Conector Valor de
verdad
Condición
↔ V Si ambos tienen igual valor de
verdad.
∆ V Si tienen valores diferentes de
verdad.
→ F Si el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso
∨ F Si ambos son falsos
∧ V Si ambos son verdaderos
~ V Si la proposición es falsa.
EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
p q r ( p ∧ q ) ∨ ∼ ( p → ∼ r)
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p ∧ q) ∨ ∼(p →
∼r)
Solución
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
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F
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V
V
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V
V
V
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F
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F F
F
F
F
V
V
V
V
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F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
 La característica tabular de una fórmula lógica es la
columna de valores de verdad debajo del operador de
mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los
siguientes casos:
1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el
esquema es una TAUTOLOGÍA.
2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el
esquema es una CONTRADICCIÓN.
3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y
otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q ∧ ∼r) → p es FALSA
Determinar el valor de verdad de: (∼r ∨ ∼p) → (p ∧ ∼r)
SOLUCIÓN
( q ∧ ∼
r )
→ p
F
Primero analizamos la condición
FVV V F
Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se
evalúa la fórmula planteada
( ∼ r ∨ ∼ p ) → ( p ∧ ∼ r )
V VV F VFF
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  • 2. Se dice que para sacar una conclusión ,hay que tener la información, ¿pero se puede concluir solo a partir de datos ? Se dice que para sacar una conclusión ,hay que tener la información, ¿pero se puede concluir solo a partir de datos ?
  • 4. La lógica nos permite ir más allá de la información que nos proporcionan nuestros sentidos y en un contexto determinado.
  • 5. Es una disciplina que mediante reglas y técnicas estudia la forma del razonamiento. En matemática se emplea para demostrar teoremas; en computación, para validar un programa; en física, para dar conclusiones de experimentos y, en la vida cotidiana, para cualquier trabajo que se realiza ya que tiene un procedimiento lógico. Gracias a ella, el ser humano distingue la realidad de la percepción y defiende sus puntos de vista con argumentos basados en hechos y datos. Esto lo logra utilizando su inteligencia y con la ayuda de los conocimientos adquiridos.
  • 6. ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc. LÓGICA Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observaciones particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusiones particulares a partir de observaciones generales. ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso. Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10 a + b = 1 a2 + b2 = c2
  • 7. PROPOSICIÓN LÓGICA es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez. La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición” 39 es un número primo ( ) Huancayo queda en Junín ( ) 1/2 < 1/4 ( ) (enunciado cerrado) SON PROPOSICIONES: Resuelve este problema ¿Puedes prestarme tu libro? Buenos días profesor NO SON PROPOSICIONES: F V F (2+3 )² = 4 + 9 Lima es una ciudad de la costa del Perú
  • 8. EJEMPLIFICANDO Identifica las expresiones que son proposiciones: Sofía Mulanovich fue campeona mundial de tabla en el 2004. Tal vez compre un obsequio.  Formuló una pregunta difícil de responder.  3 + 2 = 5 . Dos números enteros distintos pueden sumar cero. ¡Ojalá tomen lo que he estudiado!
  • 9. PROPOSICIÓN SIMPLE o ATÓMICA: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales Ejemplos: VALOR DE VERDAD 1. 15 es un número primo : p ( ) 2. Lima es la capital del Perú : q ( ) 3. −32 = 9 : r ( ) PROPOSICIONES COMPUESTAS o MOLECULARES: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple. En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos F V F
  • 10. Conectivos lógicos Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos. Los siguientes conectivos son los más recurrentes: 1. “si y sólo si” 2. “o . . . o” 3. “si…entonces…” 4. “o” 5. “y” 6. “no”
  • 11. EJERCITÁNDONOS Identifica si la proposición es compuesta (C) o simple (S). Pablo es culto. Tres no es mayor que 5. Los cuadriláteros tienen cuatro lados. Ana y José son esposos. Rosa tiene 20 años. Ana y José están casados. No es cierto que 34 sea igual a 243.
  • 12. PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD p p q p q r V F V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades 21 22 23 Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.
  • 13. 1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “∧” y se llama conjuntor. Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica” p q p : Jorge viajó al Cusco q : Luis viajó a Ica Simbología: “p ∧ q” NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc. Definición de Algunos Enunciados Compuestos
  • 14. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN p ∧ q V V V V F F FF V F F F La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.
  • 15. 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “∨” y se llama disyuntor. Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca” r s r : Eliana viajará al Cuzco s : Eliana viajará a Cajamarca Simbología: “r ∨ s”
  • 16. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL p ∨ q V V V V F F FF V F V V La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas
  • 17. 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “∆” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco” p q p : Ricardo radica en Miraflores q : Ricardo radica en Barranco Simbología: “p ∆ q ”
  • 18. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE p ∆ q V V V V F F FF F F V V La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad
  • 19. 4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador. Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2” p q p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente) Simbología: “p → q ”
  • 20. Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc. 2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que p; q siempre que p; q porque p; etc. La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3 Ejemplo (antecedente) p (consecuente) q 426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (antecedente) p (consecuente) q La simbología para ambos casos es: p → q
  • 21. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL p → q V V V V F F FF V V V F El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
  • 22. 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador. Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p q p : Sicilia es una isla q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: “p ↔ q ”
  • 23. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL p ↔ q V V V V F F FF V V F F El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad El bicondicional es falso solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad
  • 24. 6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es “∼” y se llama negador. Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo” p Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo” Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero ∼p q r Simbología: ∼( q ∧ r )
  • 25. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p ∼ p V F F V
  • 26. TABLA RESUMEN Conector Valor de verdad Condición ↔ V Si ambos tienen igual valor de verdad. ∆ V Si tienen valores diferentes de verdad. → F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso ∨ F Si ambos son falsos ∧ V Si ambos son verdaderos ~ V Si la proposición es falsa.
  • 27. EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA p q r ( p ∧ q ) ∨ ∼ ( p → ∼ r) Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p ∧ q) ∨ ∼(p → ∼r) Solución V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V F F F F F F V V V V F F F F F F F F V V V V F F V V V V V V V V F F F F F F F F F F F V V V
  • 28.  La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: 1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA. 2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN. 3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
  • 29. Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q ∧ ∼r) → p es FALSA Determinar el valor de verdad de: (∼r ∨ ∼p) → (p ∧ ∼r) SOLUCIÓN ( q ∧ ∼ r ) → p F Primero analizamos la condición FVV V F Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada ( ∼ r ∨ ∼ p ) → ( p ∧ ∼ r ) V VV F VFF El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO