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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las
enunciamos aquí:

            Sea A una matriz cuadrada
                     1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces   A   0.
                     2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A,
                          entonces             B        A.
                     3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o
                        columna) de A por un número real k, entonces B   k A.
                     4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces
                              A       0.
                     5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A
                        por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o
                          columna) de A, entonces                B    A

Ejemplos:

- Sin desarrollas de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces
A       0 .”

        1          2 3
A       0      0     0                             Toda la fila es 0 por lo
                                                   tanto Det A = 0
        4      8 6


- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A,
entonces       B         A ”.
    Se intercambió columna1
 1      0      2         2        0        1
 3      7      8         8        7        3        B        A
 4       1 4             4        1 4

     Se intercambió columna 3




- Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma
multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces
 B k A ”.

    4    8 2              2       4 1
    0    3 4         2 0          3 4
     1 7 8                   1 7 8
- Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o
columnas) de una matriz A son iguales, entonces   A    0. ”

  2     2      3
   1       1 5      0
  6     6      2

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.




2. |A|=0      Si:

Posee dos líneas iguales




Todos los elementos de una línea son nulos.




Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.




            F3 = F1 + F2


3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante
cambia de signo.




5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela
multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.




6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho
número cualquier línea, pero sólo una.




   7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos
   sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.




8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

FUENTES DE INFORMACIÓN:

www.sectormatematica.cl
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

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Propiedades de los determinantes

  • 1. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí: Sea A una matriz cuadrada 1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces A 0. 2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces B A. 3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces B k A. 4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces A 0. 5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces B A Ejemplos: - Sin desarrollas de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces A 0 .” 1 2 3 A 0 0 0 Toda la fila es 0 por lo tanto Det A = 0 4 8 6 - Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces B A ”. Se intercambió columna1 1 0 2 2 0 1 3 7 8 8 7 3 B A 4 1 4 4 1 4 Se intercambió columna 3 - Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces B k A ”. 4 8 2 2 4 1 0 3 4 2 0 3 4 1 7 8 1 7 8
  • 2. - Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces A 0. ” 2 2 3 1 1 5 0 6 6 2 1.|At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. 2. |A|=0 Si: Posee dos líneas iguales Todos los elementos de una línea son nulos. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. F3 = F1 + F2 3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..
  • 3. 4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. |A·B| =|A|·|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. FUENTES DE INFORMACIÓN: www.sectormatematica.cl http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html