Derivadas y su interpretacion

1. DERIVADAS Y SU
INTERPRETACION

2. Cuando el gráfico de una función f tienen una recta tangente L en el punto (a ,ƒ(a)), se
puede encontrar la pendiente de L de la siguiente manera.
Se halla la pendiente 𝑚1, de la ecuación de la recta secante de ƒ en a, para una
diferencia variable h.
Se calcula el límite de m1 cuando h 0.
Ejemplos:
1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la parábola y=𝑥2
en el punto (1,1).
Solución: Calculamos la pendiente
𝑚1 =
ƒ 1+ℎ −ƒ(1)
1+ℎ −1
=
(1+ℎ)2−1
1+ℎ−1
=
2ℎ+ℎ2
ℎ
= 2 + h
Encontremos los valores de la pendiente 𝑚1cuando h toma valores pequeños:
h 𝒎 𝟏 = 2 + h
0,1 2,1
-0,1 1,9
0,01 2,01
-0,01 1,99
0,001 2,001
-0,001 1,999

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Las consideraciones precedentes nos llevan, de manera natural, a generalizar la ida de
pendiente de la recta tangente independientemente de su interpretación geométrica.
Para denotar la derivada se emplean diversas simbologías:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
o
𝑑ƒ(𝑥)
𝑑𝑥
(Leibniz)
𝑑𝑥
𝑦
o
𝑑𝑥
ƒ´(𝑥)
(Lagrange)
Destrezas con criterio de desempeño
Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:
Calcular la derivada de una función utilizando la definición del límite
Definición de (derivadas): La derivada de una función ƒ con respecto a
x es la función ƒ´ definida por la regla.
ƒ´ (𝒙) = lim
ℎ→0
=
ƒ(𝑥+ℎ) −ƒ(𝑥)
ℎ
El proceso de calcular la derivada se denomina DERIVACION y a la
función que tiene derivada en un puntop se denomina DERIVABLE
(diferenciable) en ese punto.

4. EJEMPLOS:
1.- Calcular la derivada de ƒ 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃
Solución: Se tiene:
ƒ 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ⇒ ƒ 𝒙 + 𝒉 = 𝒔 𝒙 + 𝒉 + 𝒃 = 𝒂𝒙 + 𝒂𝒉 + 𝒃
Por lo que
ƒ 𝑥 + ℎ − ƒ 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑎ℎ + 𝑏 − 𝑎𝑥 + 𝑏
ƒ 𝑥 + ℎ − ƒ 𝑥 = 𝑎ℎ
Entonces
ƒ 𝑥+ℎ −ƒ(𝑥)
ℎ
=
𝑎ℎ
ℎ
= 𝑎
Así
ƒ´ 𝒙 = lim
ℎ→0
ƒ(𝑥+ℎ) −ƒ(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑎 = 𝑎

5. Demostración: Si 𝑓 𝑥 = 𝑐 resulta que
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
ƒ(𝑥+ℎ) −ƒ(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑐−𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0
ℎ
= 0
Por tanto,
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐) = 0
DERIVADA DE FUNCIÓNES ELEMENTALES
DESTREZAS CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Al finalizar el estudio de eta sección, el lector estará en capacidad de:
Calcular la derivada de las principales funciones elementales, con el
empleo de la definición de derivada.
Derivada de la función constante. Si c es un número
real; entonces:
𝒅
𝒅𝒙
𝒄 = 𝟎.

6. Ejemplo Si y = 79 entonces y´=
𝑑
𝑑𝑥
79 = 0
Demostración: 𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
ƒ(𝑥+ℎ) −ƒ(𝑥)
ℎ
Aplicando el desarrollo del binomio (x-h) se tiene
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
〔 𝑥 𝑛+𝑛𝑥 𝑛−1ℎ+
𝑛 𝑛−1
2!
𝑥 𝑛−2ℎ2+⋯+𝑛𝑥ℎ 𝑛−1+ℎ 𝑛〕−𝑥 𝑛
ℎ
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑛𝑥 𝑛−1ℎ+
𝑛 𝑛−1
2!
𝑥 𝑛−2ℎ2+⋯+𝑛𝑥ℎ 𝑛−1+ℎ 𝑛
ℎ
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
〔𝑛𝑥 𝑛−1
+
𝑛(𝑛−1)
2!
𝑥 𝑛−2
ℎ+, , , +𝑛𝑥ℎ 𝑛−2
+ ℎ 𝑛−1
〕
𝑓 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1
+ 0 + ⋯ + 0
𝑓 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1
Por tanto,
𝒅(𝒙 𝒏)
𝒅𝒙
= 𝒏𝒙 𝒏−𝟏
La derivada de una constante es 0
Derivada de la función potencia positiva: Si n es un entero positivo y si ƒ(x) = 𝑥 𝑛
Entonces
ƒ 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1

7. Ejemplos:
1. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3
2. Si 𝑦 = 𝑥8
; entonces 𝑦¨ = 8𝑥7
En conclusión, si n es cualquier número real y c es una constante se tiene que:
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥 𝑛
= 𝑐𝑛𝑥 𝑛−1
Ejemplos
1. Si 𝑓 𝑥 =
1
𝑥3; entonces,
𝑓´ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑥3) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥−3
)
𝑓´ 𝑥 = −3𝑥−3−1
= −3𝑥−4
= −
3
𝑥4
La derivada de una potencia de la variable independiente es igual al
exponente multiplicado por la misma potencia con el exponente disminuido
en una unidad
Teorema (derivada de la función potencia – versión general) Si n es un
número real cualquiera; entonces
𝒇 𝒙 =
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙) 𝒏
= 𝒏𝒙 𝒏−𝟏

8. Ejemplos
1. Si ƒ 𝑥 = 8 𝑥 ; entonces ƒ´ 𝑥 = 8 𝑥 ln 8
1. Si y = (1
2
) 𝑥
; entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑋 ln
1
2
= (1
2
) 𝑥 (− ln 2) = − (1
2
) 𝑥 ln2 = −2−𝑥 𝑙𝑛2
Derivada de la función exponencial. Si x es un número real y a es
un número positivo; entonces
𝒅
𝒅𝒙
𝒂 𝒙
= 𝒂 𝒙
𝐥𝐧 𝒂; en particular,
𝒅
𝒅𝒙
𝒆 𝒙
= 𝒆 𝒙

9. Ejemplos
Si ƒ 𝑥 = (𝑙𝑜𝑔8 𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠;
ƒ´ 𝑥 =
1
𝑥 ln 8
Derivada de la función logarítmica Si x > 0 y a es un número
positivo; entonces,
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 𝑥
= 𝑎 𝑥
=
1
𝑥 ln 𝑎
; 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟,
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑥) =
1
𝑥

10. ALGEBRA DE DERIVADAS
En este momentos estamos en condiciones de demostrar las principales
reglas de derivación, por medio de las cuales se obtiene la derivada de
cualquier función, sin necesidad de evaluar los limites.
Demostración: Como
𝑔´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
𝑔´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑐ƒ 𝑥 + ℎ − 𝑐ƒ(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑐〔ƒ 𝑥 + ℎ − ƒ(𝑥)〕)
ℎ
𝑔´ 𝑥 = c lim
ℎ→0
ƒ 𝑥+ℎ −ƒ(𝑥)
ℎ
= 𝑐ƒ´(𝑥)
De manera que
𝑑〔𝑐. ƒ 𝑥 〕
𝑑𝑥
= 𝑐
𝑑𝑓(𝑥9
𝑑𝑥
Destrezas con criterios de desempeño
Al finalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad de
Calcular la derivada de una función utilizando el algebra de derivadas.
Derivada del Producto de una constante por una función Si ƒ es una función
derivable c es una constante y g es la función definida por g(x) = c ƒ(x) entonces
g´(x) = c ƒ´(x)

11. Si se combinan los teoremas anteriores se obtiene el resultado
siguiente:
Ejemplos
1. Si ƒ 𝑥 = 2𝑥−5, 𝑥 ≠ ℺ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
Solución: En este caso, 𝑐 = 2 𝑦 𝑛 = −5; 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥−5
= 2 −5 𝑥−5−1
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥−5 = −10𝑥−6 = −
10
𝑥6 , 𝑥 ≠ ℺
El factor constante se puede sacar fuera del signo de la derivada
Si ƒ´ 𝒙 = 𝒄𝒙 𝒏
, 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒚 𝒄 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
ƒ´ 𝒙 = 𝒄𝒏𝒙 𝒏−𝟏
𝒐
𝒅
𝒅𝒙
= 𝒄. 𝒏𝒙 𝒏−𝟏

12. Demostración
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
〔𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 + ℎ 〕 − 〔𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥)〕
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥)
ℎ
+lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥)
ℎ
𝑓´ 𝑥
= lim
ℎ→0
〔𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 〕 − 〔𝑣 𝑥 + ℎ + 𝑣(𝑥)〕
ℎ
𝑓´ 𝑥 = 𝑢´ 𝑥 + 𝑣´(𝑥)
Por tanto
𝑑〔𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥)〕
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
Derivada de la suma y la diferencia de funciones Si u y v son funciones derivables
y ƒ es la función definida por ƒ 𝑥 = 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑢 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ƒ´ 𝑥 = 𝑢´ 𝑥 + 𝑣´ 𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑢´ 𝑥 − 𝑣´(𝑥)

13. El resultado anterior se puede extender a cualquier número finito
de funciones y proporciona una regla para derivar cualquier
función polinomial.
Ejemplo si 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟑, 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂
Solución
𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 =
𝒅
𝒅𝒙
𝟒𝒙 𝟓 − 𝟔𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟑
𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 =
𝒅
𝒅𝒙
𝟒𝒙 𝟓 −
𝒅
𝒅𝒙
𝟔𝒙 𝟑 −
𝒅
𝒅𝒙
𝟐𝒙 +
𝒅
𝒅𝒙
𝟑
𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟒
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 𝟓 − 𝟔
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 𝟑 − 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 +
𝒅
𝒅𝒙
𝟑
𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟐𝟎𝒙 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 𝟐 − 𝟐

14. Demostración
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥)
ℎ
Luego como 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 = 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 + ℎ + 𝑢(𝑥)(𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 )
Resulta que
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
(
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥
ℎ
𝑣 𝑥 + ℎ + 𝑢(𝑥)
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥)
ℎ
)
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
(
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥
ℎ
𝑣 𝑥 + ℎ ) +lim
ℎ→0
(𝑢 𝑥
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥
ℎ
)
𝒇´ 𝒙 = 𝒖´ 𝒙 . ´𝒗 𝒙 + 𝒖 𝒙 . 𝒗´(𝒙)
Por tanto
𝑑〔𝑢 𝑥 . 𝑣(𝑥)〕
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢 𝑥
𝑑𝑥
. 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 .
𝑑𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
Derivada del producto de las funciones Si u y v son funciones derivables y f es la función definida
por 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 . 𝑣 𝑥 , 𝑦 𝑠𝑖 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑢´ 𝑥 𝑦 𝑣´ 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠.
𝒇´ 𝒙 = 𝒖´ 𝒙 . ´𝒗 𝒙 + 𝒖 𝒙 . 𝒗´(𝒙)

15. Ejemplo
1. Verificar la regla para la derivación del producto de las función:
𝑓: ℝ → ℝ g: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 2𝑥2
+ 1 y 𝑥 ↦ 𝑥 − 3
Solución:
ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
+ 1 𝑥 − 3 = 2𝑥3
− 6𝑥2
+ 𝑥 − 3
La derivada de h es
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥3
− 6𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 6𝑥2
− 12𝑥 + 1
Si se aplica la regla de la derivada de la multiplicación si tiene:
𝑓 𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥 = 2𝑥2
+ 1 𝑥 − 3 ´ + 𝑥 − 3 2𝑥2
+ 1 ´
𝑓 𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥 = 2𝑥2
+ 1 . 1 + 𝑥 − 3 4𝑥
𝑓 𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥 = 2𝑥2
+ 1 + 4𝑥2
− 12𝑥
𝑓 𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥 = 6𝑥2
− 12𝑥 + 1
La derivada de un producto de dos funciones derivables es igual a la primera función por
la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de laprimera

16. El resultado anterior se pone más brevemente de la siguiente manera.
(
𝒖
𝒗
)´ =
𝒖´𝒗−𝒖𝒗´
𝒗 𝟐
Derivada del cociente de dos funciones si u y v son funciones derivables y si ƒ
es la función definida por 𝑓 𝑥 =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 𝑥 ≠
0; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑢´ 𝑥 𝑦 𝑣 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛,
𝑓´ 𝑥 =
𝑢´ 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑢 𝑥 𝑣´(𝑥)
〔𝑣(𝑥)〕 2
La derivada del cociente de dos funciones es la fracción que tiene como
denominador por la derivada del numerador menos el producto del numerador
por la derivada del denominador, si estas derivadas existen.

17. Ejemplo
1. Si ℎ 𝑥 =
3𝑥−1
𝑥2−𝑥+4
, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎:
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥
Solución
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑢´ 𝑥 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 𝑣´(𝑥)
〔𝑣(𝑥)〕 2
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑥2 − 𝑥 + 4
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 − 1 − (3𝑥 − 1)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥 − 4)
(𝑥2 − 𝑥 + 4) 2
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
𝑥2 − 𝑥 + 4 (3) − (3𝑥 − 1) (2𝑥 − 1)
(𝑥2 − 𝑥 + 4) 2
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
3𝑥2 − 3𝑥 + 12 − (6𝑥2 − 5𝑥 + 1)
(𝑥2 − 𝑥 + 4) 2
𝑑
𝑑𝑥
ℎ 𝑥 =
−3𝑥2
− 2𝑥 + 11
(𝑥2 − 𝑥 + 4) 2

18. DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS
Ante de estudiar la regla de la derivación de funciones compuestas, repasemos la
composición de funciones que es un tema que se analizó en Segundo Año de Bachillerato.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Consideremos las funciones f y g definidas por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑦 𝑔 𝑥 =
𝑥3
. 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙; 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 − 3, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑓 −3 = 2 −3 + 1 = −5 𝑦 𝑔 −5 = −5 3
= −125
Así al aplicar f al número -3 y g al resultado se obtiene el número -125; es decir,
𝑔 𝑓 −3 = −125
Repitiendo el proceso para cada número real x en el dominio de f se obtiene una función
que se llama función compuesta de g y f, que se denota por g o f.
Destrezas con criterios de desempeño
Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:
Calcular la función compuesta de dos funciones elementales
Calcular la derivada de una función compuesta mediante la aplicación de la regla de la cadena
Definición (de la composición de dos funciones) La composición de la función g con la
función h es aquella definida por la regla de correspondencia}
(𝑔 𝑜 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

19. Ejemplo
1. Hallar la derivada de la función 𝑦 = (2 − 𝑥) 3
Solución: Se escribe 𝑢 = 2 − 𝑥, 𝑦 = 𝑢3
; entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3𝑢2,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1
La derivada de la función compuesta es:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3𝑢2 −1 = −3(2 − 𝑥) 2

20. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Las reglas de la derivación obtenidas hasta el momento son
suficientes para derivas funciones racionales; es decir las funciones
formadas por polinomios mediante operaciones aritméticas (adición,
multiplicación, división) y mediante composiciones de funciones;
también, sirven para derivar la funciones inversas (si existen) de
tales funciones.
Aunque la clase de las funciones racionales es muy extensa, no
incluye algunas muy útiles, tales como las funciones
trigonométricas. A continuación de demuestra fórmulas para la
derivación de estas funciones.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:
Calcular la derivada de una función en la que participan funciones
trigonométricas

21. Demostración
1. Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥:
(𝑠𝑒𝑛𝑥)´ = lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ℎ − 𝑠𝑒𝑛𝑥
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = lim
ℎ→0
(
𝑠𝑒𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠ℎ+𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑠𝑒𝑛ℎ−𝑠𝑒𝑛𝑥
ℎ
)
𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = lim
ℎ→0
cos 𝑥.𝑠𝑒𝑛ℎ
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛𝑥.(𝑐𝑜𝑠ℎ−1)
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛ℎ
ℎ
+ 𝑠𝑒𝑛𝑥. lim
ℎ→0
(𝑐𝑜𝑠ℎ−1)
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 0
𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
Derivadas de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas directas son
derivables en todo punto de su dominio y sus derivadas son:
(𝑠𝑒𝑛𝑥)´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)´ = −𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑡𝑎𝑛𝑥)´ = sec 2
𝑥
𝑐𝑠𝑐𝑥 ´ = −𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 ´ = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥
(𝑐𝑜𝑡𝑥)´ = −csc 2
𝑥

22. Ejemplo:
1. Si se quiere calcular la derivada de 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐
− 𝝅), primero vemos que
se compone de dos funciones.
𝒖 = 𝒙 𝟐
− 𝝅 𝒚 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒖
Al aplicar la regla de la cadena, tenemos
𝒅𝒚
𝒅𝒖
= 𝐜𝐨𝐬 𝒖 𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙, por lo que
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐜𝐨𝐬 𝒖. (𝟐𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐
− 𝝅 . 𝟐𝒙
Así
𝒅〔 𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐−𝝅)〕
𝒅𝒙
= 𝟐𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟐 − 𝝅
𝑆𝑖 𝑢 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑥; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,
𝑠𝑒𝑛𝑢 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑢´ 𝑐𝑜𝑠𝑢 ´ = −𝑠𝑒𝑛𝑢. 𝑢´
𝑡𝑎𝑛𝑢 ´ = 𝑠𝑒𝑐2
𝑢. 𝑢´ 𝑐𝑜𝑡ú ´ = −𝑐𝑠𝑐2
𝑢. 𝑢´
𝑠𝑒𝑐𝑢 ´ = 𝑠𝑒𝑐𝑢. 𝑡𝑎𝑛𝑢. 𝑢´ 𝑐𝑠𝑐𝑢 ´ = − csc 𝑢. cot 𝑢 . 𝑢´

23. DERIVACION CON EMPLEO DE GEOGEBRA
El programa geogebra permite calcular y graficar las derivadas de funciones.
Cuando se ingresa una función de manera automática el programa le asigna un nombre
𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑒𝑡𝑐 , su expresión aparece en la vista algebraica y su gráfico se despliega en la Vista
Gráfica.
Para obtener la derivada de la función debemos escribir en la barra de entrada el comendo
Derivada (función) o Derivada (nombre de la función), donde el nombre de la función es el
que el programa le asigno previamente. También se puede poner f´(x) en lugar de la Derivada
(f)
Por ejemplo si hemos ingresado la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 5𝑥 − 1, su derivada se halla
escribiendo
Derivada 〔f(x)〕 o Derivada 〔x^4-3x^2+5𝑥 − 1〕
Destrezas con criterio de desempeño
Al finalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad de:
Emplear TICS para calcular la derivada de una función
Adicionalmente se obtiene otras instrucciones que
facilitan la derivación de funciones así.
• Derivada(Función, número n): Da por resultado
la derivada de orden n de la función
• Derivada (Función , Variable): Da por resultado
la derivada de la función respecto a la variable
que se indica.

24. APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
Aprenderás a:
Utilizar el cálculo diferencial para analizar
el comportamiento de funciones
Emplear las derivadas de funciones para
resolver problemas de la matemática y de
otras ciencias.
OBJETIVO GENERAL
Aplicar el cálculo diferencial en la resolución de problemas
aplicados a la vida diaria

25. ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Mediante las constataciones del cumplimiento de las propiedades de la derivada se puede
estudiar el comportamiento de las funciones. En particular, con e! empleo de derivadas,
analizaremos la monotonía, la concavidad y la presencia de extremos del gráfico de las
funciones.
MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Recordemos las definiciones de función creciente y función decreciente, que las aprendimos en Segundo
Año de Bachillerato.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:
Determinar la monotonía la concavidad y los extremos de una función mediante el ejemplo de
las propiedades de las derivadas y de las funciones derivables
Definición (de función decreciente) Una función f es decreciente en un intervalo I de su dominio sil
para cada par de elementos 𝑥1, 𝑥2 de I con 𝑥1 ≤ 𝑥2 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2 .
Definición (de función creciente) Una función f es creciente en un intervalo I de su dominio si para
cada par de elementos 𝑥1, 𝑥2 de I con 𝑥1 ≤ 𝑥2 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2 .

26. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
La derivada es el instrumento fundamental para obtener un resultado óptimo de un conjunto de
posibilidades. Por ejemplo, si se hace rebotar una pelota ele caucho, se observa que en el primer rebote
alcanza su altura máxima; esta disminuye en el segundo rebote, y así sucesivamente hasta detenerse.
Los puntos en los que existe un extremo relativo tienen la siguiente, característica:
VA
• Los distintos máximos obtenidos se llaman máximos
relativos. Si en el conjunto de máximos relativos existe uno
que es mayor que todos los demás, se denomina máximo
absoluto. Una situación análoga ocurre para los mínimos
.
• En términos del gráfico en coordenadas cartesianas, el
máximo absoluto es la proyección del punto más alto del
gráfico sobre el eje de las y. Algo análogo ocurre para los
mínimos.
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓 𝑥 tienen un extremo relativo en a; entonces su derivada es igual a cero: 𝑓´(𝑎) = 0(𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 (𝑎))
En ciertos casos no es suficiente que se cumpla
que f'(a) = 0 para asegurar que hay un extremo
relativo de y = f(x) en x = a.
Por ejemplo, la función f{x) = x3 tiene derivada
f'(x) = 3x2 y 𝑓'(O) = 0. Esta función no tiene
extremo relativo en x = 0, aunque su derivada es
cero .

27. Criterio de la primera derivada. Para determinar los
extremos relativos de una función / hacemos lo siguiente:
 Se halla la derivada 𝑓′(𝑥).
 Se determinan todos los valores críticos de /, para los cuales f′(𝑥) = 0.
 Entonces, si nos movemos a través de un valor crítico c, de izquierda a
derecha, y
si ,𝑓' cambia de negativa a positiva en c, 𝑓 tiene un mínimo relativo en c
(Figura (a)).
si 𝑓' cambia de positiva a negativa en c, 𝑓 tiene un máximo relativo en c
(Figura (b)).
si 𝑓′ no cambia de signo, / no tiene un extremo relativo en c (Figura (c)).

28. CONCAVIDAD DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
 En esta sección, estudiaremos la concavidad del gráfico de una función. Antes de ello,
es necesario que introduzcamos la noción se segunda derivada.
La segunda derivada
 Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable, entonces su derivada f'{x) también es una
función. Por tanto, podemos derivar nuevamente a 𝑓′(𝑥) y conseguimos una nueva
función, que la llamaremos segunda derivada (o derivada de segundo orden) de
𝑓(𝑥) 𝑦 que se designa por el símbolo y" o f"(x).
 Otras notaciones son:
𝑦´ = 𝑦´, 𝑓´ 𝑥 ´ ´,
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑2 𝑓
𝑑𝑥 2
 Como las reglas y fórmulas para hallar derivadas ya las conocemos, se pueden calcular
derivadas de cualquier orden al derivar sucesivamente el número de veces requerido.
 Observación. Como es obvio pensar, las principales propiedades de las primeras
derivadas, se conserva n para las derivadas de segundo orden.
Ejemplos
1. 𝑆𝑖 𝑦 — 𝑥4; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,
𝑦′ = 4𝑥4_1 = 4𝑥3
𝑦´ = (4𝑥3)′ = 4 (3𝑥2) = 12𝑥2.

29. Análisis de la concavidad
En la Figura se muestran ios gráficos de varias funciones, cada una de las cuales es creciente sobre el
intervalo [a, b], pero se ve bien la diferencia en su comportamiento: en el caso (a) el gráfico de la función
se abre hacia arriba; en el caso (b), el gráfico se abre hacia abajo.
Para interpretar este comportamiento, examinemos las pendientes de las rectas tangentes en varios
puntos, en cada gráfico:
𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏. 𝑆𝑒𝑎 f
𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 — 𝑐; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,
𝑠𝑖 𝑓"(c) > 0, el gráfico de / es cóncavo hacia arriba en (c./(c)).
𝑠𝑖 𝑓"(c) < 0, el gráfico de / es cóncavo hacia abajo en (c, , f(c)).
Definición (de punto de inflexión) El punto (a, /(o)) se denomina punto de inflexión del gráfico de la|
función /, si en ese punto cambia el sentido de la concavidad de la curva

30. CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE FUNCIONES
Una vez que sabemos encontrar los extremos de una función, sus intervalos de monotonía y el
sentido de concavidad, es conveniente que integremos todos los conocimientos para graficar las
curvas que representan distintas funciones.
Si combinamos las técnicas que nos permiten determinar el dominio, la simetría y las asíntotas del
gráfico de una función, junto con los criterios para hallar los puntos extremos y la concavidad de una
curva, es posible tener una idea cabal de! comportamiento de las funciones y se facilita su
representación gráfica.
Si se tiene la ecuación de una curva y se quiere trazar su gráfico, se puede utilizar el esquema
siguiente:
A continuación se presentan ejercicios desarrollados que muestran el proceso de construcción de
una curva.
1. 𝑓(𝑥) 𝑚 𝑥3 − 13𝑥 − 12. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
Dominio.
Como f(x) es un polinomio, su dominio es todos los números reales
Intersecciones.
 Con el eje de las x, las raíces de x3 — 13.x - 12 son x = —3, x –e
 Con el eje de las y, se hace x = 0. La intersección se da en 𝑦 = −12
1. Determinar el dominio de definición de la función, si éste no ha sido indicado de antemano.
2. Encontrar los puntos de intersección con los ejes.
3. Investigar la simetría (paridad e imparidad) y periodicidad de la curva.
4. Determinar los intervalos de constancia de los signos de la función.
5. Hallar las asíntotas del gráfico de la función. Esto es, se hallan las asíntotas horizontales y verticales (para las
funciones racionales).
6. Fijar la posición de la curva en relación con las asíntotas.
7. Hallar los extremos de la función y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
8. Hallar los intervalos de concavidad.
9. Encontrar las coordenadas de algunos puntos.

31. Simetría.
Con respecto al eje de las y, se sustituye 𝑥 𝑝𝑜𝑟 − 𝑥:
𝑓 −𝑥 = −𝑥 3
− 13 𝑥 2
− 12
𝑓 −𝑥 = −𝑥 3
− 13𝑥 2
− 12 ≠ 𝑓 𝑥
Entonces, el gráfico de / no es simétrico con respecto al eje de las y.
Con respecto al origen, se sustituye 𝑥 𝑝𝑜𝑟 — 𝑥, 𝑦 𝑝𝑜𝑟 — 𝑦:
−𝑦 = −𝑥 3
− 13 −𝑥 2
− 12
−𝑦 = −𝑥 3
− 13𝑥 2
− 12 ≠ 𝑓(𝑥)
Entonces, no hay simetría respecto al origen
 Asíntotas.
Asíntotas verticales y horizontales: No tiene ya" que no es una función polinomio. Crecimiento y decrecimiento.
𝑓′
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑋3
− 13𝑋 − 12 = 3𝑋2
− 13
Las raíces 𝑑𝑒 𝑓´ 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑥 = −
39
3
𝑦 𝑥 =
39
3
El comportamiento de los signos 𝑑𝑒 𝑓
Máximos y mínimos Por el estudio de los signos, del cuadro anterior, hallamos que:
𝐸𝑛 𝑥 = −
39
3
, 𝑓 𝑥 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐸𝑛 𝑥 =
39
3
, 𝑓 𝑥 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎

32. APLICACIONES A LA OPTIMIZACION
Entre las aplicaciones más frecuentes del cálculo diferencial se encuentra la
determinación de los valores máximos o mínimos; por ejemplo, maximizar la
producción de café, minimizar el costo de producción de un cierto artículo,
obtener el área máxima que se puede determinar con una cerca de longitud
dada, hallar el camino más corto entre dos sitios de una ciudad, etc. Los
problemas de esta clase se denominan problemas de optimización.
Para la resolución de problemas de optimización se sugiere seguir los
siguientes pasos:
1. Siempre que sea posible, dibujar una figura que represente el
problema, denotando aquellas partes que sean importantes para el problema.
2. Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener, en
términos de las variables que se presentan en el problema. También,
especificar las restricciones que pueden tener las variables.
3. Calcular la primera derivada de la función y encontrar aquellos valores
de la variable en los cuales la derivada se anula.
4. Probar si en los valores hallados se encuentran el extremo requerido.
Para ello es necesario realizar pruebas mediante la segunda derivada.
Destrezas con criterios de desempeño |
Al finalizar el estudio de esta sección, el lector estará en capacidad de:
Resolver problemas sencillos de optimización mediante la utilización de la derivada

33. Ejemplos
1. ¿Cuál de los rectángulos de perímetro 24 tiene la mayor área?
Solución: Hay un conjunto infinito de rectángulos de perímetro 24.
Nuestra tarea consiste en separar de este conjunto un rectángulo cuya
área sea la máxima.
Si designamos por x la longitud de uno de los lados del rectángulo,
entonces la longitud del otro lado es igual a 12-x y el área S del
rectángulo es.
𝑆 𝑥 = 𝑥 12 − 𝑥 = 12𝑥 − 𝑥2
, 𝑥 ∈ 0,12
x
12x
Determinamos los puntos críticos de la función 𝑆(𝑥). 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑆′(𝑥) =
12 — 2𝑥, 𝑥—
12
2
= 6 es el punto crítico de esta función.