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Axiomas de Huzita, Trisección de un ángulo, Duplicación de un cubo

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  1. 1. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Matem´aticas y Origami (si los griegos hubieran sabido papiroflexia) Taller de Talento Matem´atico, 3o y 4o E.S.O. Antonio M. Oller oller@unizar.es 31 de Marzo de 2006
  2. 2. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Modelos
  3. 3. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Modelos
  4. 4. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Modelos
  5. 5. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Modelos
  6. 6. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las Reglas del juego: Axiomas de Euclides Euclides de Alejandr´ıa. Siglo IV antes de nuestra era.
  7. 7. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente:
  8. 8. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente: Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une.
  9. 9. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente: Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une. Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto como se quiera.
  10. 10. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente: Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une. Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto como se quiera. Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y de cualquier radio.
  11. 11. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente: Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une. Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto como se quiera. Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y de cualquier radio. Todos los ´angulos rectos son iguales.
  12. 12. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: Axiomas de Euclides En su obra Los Elementos, Euclides nos dice que para empezar a trabajar en geometr´ıa s´olo podemos tomar como base lo siguiente: Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une. Un segmento cualquiera puede ser prolongado tanto como se quiera. Pueden dibujarse circunferencias con cualquier centro y de cualquier radio. Todos los ´angulos rectos son iguales. Dada una recta y un punto cualquiera que no est´e en esa recta, s´olo hay una recta paralela a la primera que pase por ese punto.
  13. 13. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Las reglas del juego: axiomas de Euclides EN LA PR´ACTICA ESTO SIGNIFICA QUE S´OLO PODEMOS UTILIZAR UNA REGLA SIN MARCAS (NO PODEMOS MEDIR) Y UN COMP´AS NO BLOQUEABLE (NO PODEMOS TRASLADAR DISTANCIAS)
  14. 14. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos Es muy f´acil dividir cualquier ´angulo en 2 partes iguales (¿c´omo lo har´ıas?). Podr´ıamos preguntarnos c´omo dividirlo, por ejemplo, en 3 partes iguales.
  15. 15. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos ¿Funciona? ¿Por qu´e?
  16. 16. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos NO PUEDE DIVIDIRSE UN ´ANGULO CUALQUIERA EN 3 PARTES IGUALES SIGUIENDO LAS “REGLAS” DE EUCLIDES
  17. 17. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos Dado un cuadrado cualquiera, podemos construir uno cuyo ´area sea el doble. Se nos podr´ıa ocurrir hacer lo mismo con un cubo.
  18. 18. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos ¿Funciona? ¿Por qu´e?
  19. 19. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos NO PUEDE DUPLICARSE UN CUBO SIGUIENDO LAS “REGLAS” DE EUCLIDES
  20. 20. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos Dado un rect´angulo es muy f´acil construir un cuadrado que tenga el mismo ´area (¿c´omo?). ¿C´omo puedes usar eso para cuadrar un tri´angulo? ¿y para cuadrar un pol´ıgono cualquiera?
  21. 21. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cosas que Euclides no supo hacer: los tres problemas cl´asicos NO SE PUEDE CUADRAR UN C´IRCULO USANDO LAS “REGLAS” DE EUCLIDES
  22. 22. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Ahora nuestras operaciones b´asicas permitidas ser´an:
  23. 23. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Ahora nuestras operaciones b´asicas permitidas ser´an: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une (que pasa por ellos).
  24. 24. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Ahora nuestras operaciones b´asicas permitidas ser´an: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une (que pasa por ellos). Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue que sit´ua P sobre Q.
  25. 25. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Ahora nuestras operaciones b´asicas permitidas ser´an: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une (que pasa por ellos). Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue que sit´ua P sobre Q. Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P.
  26. 26. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Ahora nuestras operaciones b´asicas permitidas ser´an: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une (que pasa por ellos). Dados dos puntos P y Q puede realizarse el pliegue que sit´ua P sobre Q. Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P. Dadas dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue que sit´ue a r sobre s.
  27. 27. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Dados dos puntos P y Q y una recta r, siempre que Q est´e m´as cerca de r que de P, podemos realizar un pliegue que sit´ue P sobre r y que pase por Q.
  28. 28. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Dados dos puntos P y Q y una recta r, siempre que Q est´e m´as cerca de r que de P, podemos realizar un pliegue que sit´ue P sobre r y que pase por Q. Dado un punto P y dos rectas r y s que no sean paralelas, puede hacerse un pliegue perpendicular a r y que sit´ua a P sobre s.
  29. 29. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel Dados dos puntos P y Q y una recta r, siempre que Q est´e m´as cerca de r que de P, podemos realizar un pliegue que sit´ue P sobre r y que pase por Q. Dado un punto P y dos rectas r y s que no sean paralelas, puede hacerse un pliegue perpendicular a r y que sit´ua a P sobre s. Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s, se puede realizar un pliegue que sit´ue a P sobre r y a Q sobre s.
  30. 30. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Cambiando las reglas del juego: doblemos papel EL ´ULTIMO AXIOMA NO TIENE REFLEJO EN LAS “REGLAS” DE EUCLIDES. NOS VA A PERMITIR HACER COSAS QUE EUCLIDES NO PUDO HACER
  31. 31. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Trisecando un segmento, algo que Euclides ya supo hacer M es el punto medio del lado superior. ¿Te atreves a intentar probar que x = 2 3 l? Como ayuda, ten en cuenta que los dos tri´angulos que no est´an sombreados son semejantes, ¿Por qu´e?
  32. 32. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides I. Trisequemos un ´angulo Tomamos una hoja cuadrada de papel en la que, partiendo del ´angulo inferior izquierdo, dibujamos una recta L2 que forma con la base del cuadrado el ´angulo α que pretendemos trisecar.
  33. 33. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides I. Trisequemos un ´angulo Doblamos la hoja horizontalmente por la mitad y volvemos a doblar por su mitad la mitad inferior. Realizamos el pliegue que lleva el punto P1 sobre la recta L1 y el punto P2 sobre la recta L2.
  34. 34. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la trisecci´on
  35. 35. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la trisecci´on ¿C´omo son los ´angulos PAA Y AA B? ¿Por qu´e?
  36. 36. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la trisecci´on ¿C´omo es el tri´angulo ANA ? ¿Por qu´e?
  37. 37. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la trisecci´on ¿C´omo son los tri´angulos C AB y A AB ? ¿Por qu´e?
  38. 38. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo Si tenemos un cubo de lado 1, ¿cu´anto vale el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble?
  39. 39. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo PARA DUPLICAR EL CUBO BASTA CON SABER CONSTRUIR 3 √ 2 VAMOS A POR ELLO.
  40. 40. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo Tomamos una hoja cuadrada de papel y la dividimos horizontalmente en tres partes iguales (esto ya sabemos hacerlo). Nos quedar´a un dibujo m´as o menos as´ı:
  41. 41. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Superando a Euclides II. Dupliquemos el cubo Ahora doblamos el papel de tal modo que el punto P1 (esquina inferior derecha) vaya sobre la recta L1 (lado izquierdo) y que el punto P2 vaya sobre la recta L2. Ahora tendremos lo siguiente:
  42. 42. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on
  43. 43. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on Para empezar vamos a suponer que el lado del cuadrado es 1, es decir, que X + Y = 1. Si llamas AB = a ¿cu´anto vale AP?
  44. 44. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on ¿Cu´anto vale PD? ¿y PC?
  45. 45. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on Aplica el Teorema de Pit´agoras a ABP, despu´es despeja a.
  46. 46. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on Demuestra que AP AB = PD PC , despu´es sustituye en la f´ormula los valores que acabamos de obtener.
  47. 47. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on Ten en cuenta que X = 1 − Y . Sustit´uyelo en lo anterior
  48. 48. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on Llama X Y = t ¿cu´anto vale Y ?. Sustit´uyelo en la ecuaci´on.
  49. 49. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando la duplicaci´on ¿Cu´anto vale t?
  50. 50. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida ¿Y la cuadratura del c´ırculo? ES UNA PENA, PERO EL C´IRCULO TAMPOCO PUEDE CUADRARSE DOBLANDO PAPEL
  51. 51. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando a Pit´agoras Comenzamos tomando un cuadrado de papel y eligiendo un punto A cualquiera del lado superior. Doblamos por las l´ıneas de puntos y vamos marcando los lugares en los que cae el punto A.
  52. 52. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando a Pit´agoras Obtendremos algo as´ı:
  53. 53. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando a Pit´agoras Doblamos por las l´ıneas azules y tenemos el siguiente dibujo:
  54. 54. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida Demostrando a Pit´agoras Doblamos por las l´ıneas azules y tenemos el siguiente dibujo: Demuestra el Teorema de Pit´agoras calculando de dos formas distintas el ´area del cuadrado ABCD
  55. 55. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Partimos de un folio Din-A4 normal. En ´el, los lados est´an en una proporci´on de x y = √ 2.
  56. 56. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Doblamos el papel por la mitad vertical y horizontalmente siguiendo las l´ıneas de puntos.
  57. 57. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Llevamos con el comp´as el punto medio del lado superior sobre la mediatriz horizontal. Formamos el rect´angulo PQRS
  58. 58. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Llevamos con el comp´as el punto medio del lado superior sobre la mediatriz horizontal. Formamos el rect´angulo PQRS ¿Cu´anto vale el cociente PS PQ ?
  59. 59. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Recortamos ahora el rect´angulo PQRS y volvemos a doblarlo por la mitad como antes.
  60. 60. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Doblamos el rect´angulo de manera que las esquinas del mismo caigan sobre el centro.
  61. 61. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Obtenemos un hex´agono como el de la figura.
  62. 62. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a hex´agono Obtenemos un hex´agono como el de la figura. Adem´as es regular...¿por qu´e?
  63. 63. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Partimos de un rect´angulo el doble de largo que de alto.
  64. 64. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Trazamos la diagonal del rect´angulo.
  65. 65. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Llevamos el lado del rect´angulo sobre la diagonal.
  66. 66. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Llevamos el punto sobre la l´ınea que divide en 2 el rect´angulo y doblamos por la mitad.
  67. 67. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Tenemos algo como esto:
  68. 68. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Centrando en el punto marcado, y abriendo hasta el extremo superior, llevamos esa medida sobre la base del cuadrado. Dibujamos la l´ınea y doblamos por ella.
  69. 69. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono
  70. 70. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Doblamos por la l´ınea roja
  71. 71. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono
  72. 72. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Doblamos por la l´ınea roja
  73. 73. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono
  74. 74. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Doblamos por la l´ınea roja
  75. 75. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono
  76. 76. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Doblamos por la l´ınea roja y lo desdoblamos todo
  77. 77. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Obtenemos un pent´agono como el de la figura
  78. 78. Matem´aticas y Origami Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida De rect´angulo a pent´agono Obtenemos un pent´agono como el de la figura Adem´as es regular...¿sabr´ıas ver por qu´e?
  79. 79. ¡Gracias a Todos! Antonio M. Oller oller@unizar.es Los Axiomas de Euclides Los Problemas Cl´asicos Los Axiomas de Huzita Igualando a Euclides M´as All´a de Euclides ¡A por Pit´agoras! De Rect´angulo a Hex´agono De Rect´angulo a Pent´agono Despedida ¡Gracias a Todos! Antonio M. Oller oller@unizar.es 31 de Marzo de 2006

Axiomas de Huzita, Trisección de un ángulo, Duplicación de un cubo

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