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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ
L
2
PROYECCIONES
Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una
recta, al pie de la perpendicular trazada desde el pu...
L
3
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO
La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos
extremos son las proy...
SON EXPRESIONES QUE RELACIONAN
LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE
LOS
TRIÁNGULOS
4
5
ELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULO
Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a
la hipotenus...
1) TEOREMA DEL CATETO
n m
c
A
C
B
b
a
a2
=mc
b2
=nch
6
2) TEOREMA DE PITAGORAS
n m
c
A
C
B
b
a
a2
+b2
=c2h
7
Sumando las dos relaciones
del Teorema del Cateto:
3) TEOREMA DE LA ALTURA
n m
c
A
C
B
b
a
h2
=mn
h
8
4) TEOREMA DEL PRODUCTO DE
CATETOS
n m
c
A
C
B
b
a
ab=ch
h
9
5) TEOREMA DE LA INVERSA DE LOS CATETOS
n m
c
A
C
B
b
a
h
1 1 1
a2
b2
h2
+ =
10
1) Hallar el valor de “x·” en la figura
10
A
C
B
x
8
a)10 b)8 c)5 d)6 e)9
solución
11
2) Hallar el valor de “x·” en la figura
9
A
C
B
x
a)11 b)15 c)12 d)9 e)6
16
solución
12
3) Hallar el valor de “x·” en la figura
4
x
a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11
6
solución
13
4) Hallar el valor de “x·” en la figura
8
A
C
B
a)12 b)14 c)10 d)16 e)18
x
12
solución
14
5) Hallar el valor de “x·” en la figura
A
C
B
24
a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3
25
x
solución
15
Ejercicio 1
Utilizando el teorema de
Pitágoras:
x2
+82
= 102
x2
=102
- 82
x2
=100-64
x2
=36
x=6
Respuesta: d)6ir a ejercic...
Ejercicio 2
c=9+16=25
Utilizando el teorema del
cateto:
x2
=(9)(25)
x2
=225
x=15
Respuesta: b)15
ir a ejercicio 3
17
Ejercicio 3
Utilizando el teorema del
cateto:
62 = 4x
36= 4x
4x=36
x=9
Respuesta: c)9
ir a ejercicio 4
18
Ejercicio 4
Utilizando el teorema de
la altura:
122
=8x
144=8x
8x=144
x=18
Respuesta: e)18
ir a ejercicio 5
19
◦ Ejercicio 5
Utilizando el teorema de Pitágoras
y2
+242
= 252
y2
=252
- 242
y2
=49
y=7
Usando el teorema del producto del...
HACIENDO USO DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR:
LAS RELACIONES MÉTRICAS EN
LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1) TEOREMA DE EUCLIDES
I
a2
=b2
+ c2
– 2bp
c2
=a2
+ b2
– 2bm
22
2) TEOREMA DE EUCLIDES
II
a2
=b2
+ c2
+ 2bp
23
3) TEOREMA DE LA MEDIANA
a2
+c2
=2BM2
+ b2
/2
24
4) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
BD2
= a.c – m.n
25
5) TEOREMA DE LA BISECTRIZ
EXTERIOR
BD2
= m.n – a.c
26
6) TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)
d2
a = nc2
+ mb2
- nma
27
7) TEOREMA DE HERÓN (ALTURA)
28
)cp)(bp)(ap(p
b
2
h −−−=
2
cba
p
++
=
29
TRIÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos que:
Son triángulos rectángulos
Las medidas de sus ángulos son enteros
Las relacion...
30
45° - 45°
A B
CD
ABCD = cuadrado
45°
45°
L
L2L
también puede ser
45°
45°
L
2
L
2
L
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15° - 75°
A
B
C
15°
15°
M
L
H
h
30°


 = 2
L
en el BHM, h =
4
L
2
2/L
2
==
4
L
h =
)26L( +
)26L( −
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TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de
lados son números enteros
En general, lo...
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Ejemplos
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  1. 1. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ
  2. 2. L 2 PROYECCIONES Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. P P´ P´ = Proyección de P sobre la recta L
  3. 3. L 3 PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L. A B C D E F H A´ B´ C´ D´ E´ G H´
  4. 4. SON EXPRESIONES QUE RELACIONAN LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE LOS TRIÁNGULOS 4
  5. 5. 5 ELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULO Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a la hipotenusa, se forman los siguientes triángulos semejantes: A B C AHB ∼ BHC ∼ ABC H h α α a b c β β m n α h n a β m h c α h n a ⊥ c a b β m h c ⊥ c a b = = = = = = Efectuando los productos cruzados entre colores iguales se tendrá …
  6. 6. 1) TEOREMA DEL CATETO n m c A C B b a a2 =mc b2 =nch 6
  7. 7. 2) TEOREMA DE PITAGORAS n m c A C B b a a2 +b2 =c2h 7 Sumando las dos relaciones del Teorema del Cateto:
  8. 8. 3) TEOREMA DE LA ALTURA n m c A C B b a h2 =mn h 8
  9. 9. 4) TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS n m c A C B b a ab=ch h 9
  10. 10. 5) TEOREMA DE LA INVERSA DE LOS CATETOS n m c A C B b a h 1 1 1 a2 b2 h2 + = 10
  11. 11. 1) Hallar el valor de “x·” en la figura 10 A C B x 8 a)10 b)8 c)5 d)6 e)9 solución 11
  12. 12. 2) Hallar el valor de “x·” en la figura 9 A C B x a)11 b)15 c)12 d)9 e)6 16 solución 12
  13. 13. 3) Hallar el valor de “x·” en la figura 4 x a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11 6 solución 13
  14. 14. 4) Hallar el valor de “x·” en la figura 8 A C B a)12 b)14 c)10 d)16 e)18 x 12 solución 14
  15. 15. 5) Hallar el valor de “x·” en la figura A C B 24 a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3 25 x solución 15
  16. 16. Ejercicio 1 Utilizando el teorema de Pitágoras: x2 +82 = 102 x2 =102 - 82 x2 =100-64 x2 =36 x=6 Respuesta: d)6ir a ejercicio 2 16
  17. 17. Ejercicio 2 c=9+16=25 Utilizando el teorema del cateto: x2 =(9)(25) x2 =225 x=15 Respuesta: b)15 ir a ejercicio 3 17
  18. 18. Ejercicio 3 Utilizando el teorema del cateto: 62 = 4x 36= 4x 4x=36 x=9 Respuesta: c)9 ir a ejercicio 4 18
  19. 19. Ejercicio 4 Utilizando el teorema de la altura: 122 =8x 144=8x 8x=144 x=18 Respuesta: e)18 ir a ejercicio 5 19
  20. 20. ◦ Ejercicio 5 Utilizando el teorema de Pitágoras y2 +242 = 252 y2 =252 - 242 y2 =49 y=7 Usando el teorema del producto del cateto (7)(24)=25x 168=25x x=6,72 Respuesta: a)6,72 20
  21. 21. HACIENDO USO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR: LAS RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
  22. 22. 1) TEOREMA DE EUCLIDES I a2 =b2 + c2 – 2bp c2 =a2 + b2 – 2bm 22
  23. 23. 2) TEOREMA DE EUCLIDES II a2 =b2 + c2 + 2bp 23
  24. 24. 3) TEOREMA DE LA MEDIANA a2 +c2 =2BM2 + b2 /2 24
  25. 25. 4) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR BD2 = a.c – m.n 25
  26. 26. 5) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR BD2 = m.n – a.c 26
  27. 27. 6) TEOREMA DE STEWART (CEVIANA) d2 a = nc2 + mb2 - nma 27
  28. 28. 7) TEOREMA DE HERÓN (ALTURA) 28 )cp)(bp)(ap(p b 2 h −−−= 2 cba p ++ =
  29. 29. 29 TRIÁNGULOS NOTABLES Son aquellos que: Son triángulos rectángulos Las medidas de sus ángulos son enteros Las relaciones entre sus lados son fracciones 30° - 60° A B C ∆ ABC = equilátero H 30° 60°60° L LL 2 L 2 3L También se presenta 30° 60° L 2L3L 30° 60° L 3 L 3 2L
  30. 30. 30 45° - 45° A B CD ABCD = cuadrado 45° 45° L L2L también puede ser 45° 45° L 2 L 2 L
  31. 31. 31 15° - 75° A B C 15° 15° M L H h 30°    = 2 L en el BHM, h = 4 L 2 2/L 2 == 4 L h = )26L( + )26L( −
  32. 32. 32 TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de lados son números enteros En general, los lados de los triángulos pitagóricos obedecerán a la siguiente forma nm⋅ 2 nm 22 + 2 nm 22 − Donde m y n son números impares primos entre sí.
  33. 33. 33 Ejemplos 3 5 4 5 13 12 7 25 24 9 41 40
  34. 34. 34 11 61 60 8 17 15 20 29 21 33 65 56 12 37 35 39 89 80 etc……
  • XiomyXiomy2

    Sep. 24, 2020

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