1. EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES.
A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALO
DE CONVERGENCIA.
1) ( ) =
Utilizando la identidad trigonométrica: 2 = 2
Despejando: =
Entonces el desarrollo de será:
senxcosx =
2x
2
−
(2x)
2 ∗ 3!
+
(2x)
2 ∗ 5!
−
(2x)
2 ∗ 7!
+. . +(−1)
2 ∗ x
n!
Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia:
lim
→
(−1) ∗ 2 ∗ x
(n + 1)n!
∗
n!
(−1) ∗ 2 ∗ x
< 1
2 ∗ |x| ∗ lim
→
1
n + 1
< 1 ; |x| < ∞ ; −∞ < < ∞
2) ( ) = ( )
cos2x = 2cos x − 1 ; cos x =
1 + cos2x
2

2. 1 + cos2x
2
=
1
2
1 −
(2x)
2!
+
(2x)
4!
−
(2x)
6!
+ ⋯ + (−1)
(2x)
(2n)!
f(x) =
1
2
1 + (−1)
(2x)
(2n)!
Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia:
lim
→
(−1) ∗ (2x)
(2n + 2)(2n + 1)(2n)!
∗
(2n)!
(−1) ∗ (2x)
< 1
|2x| ∗ lim
→
1
(2n + 2)(2n + 1)
< 1
|x| < ∞ ; −∞ < < ∞
3) ( ) = √ +
8 1 + x
8 = 2 1 + x
8 ; x =
x
8
y m =
1
3
= 1 + + −
!
+ − −
!
+
− − −
!
+ ...
= 1 +
1
3
x
8
+ (−1)
2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x
8
3 ∗ n!

3. f(x) = √8 + x= ∑ (−1)
∗ ∗ ∗ ∗…( )
∗ !
lim
→
(−1) ∗ 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4)(3n − 1) x
8
3 ∗ (n + 1)n!
∗
3 ∗ n!
(−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x
8
< 1
∗ ∗ lim
→
< 1 ; < 1 ; −1 < < 1
−8 < < 8
4) ( ) =
senh =
−
2
Los desarrollos a utilizar serían:
= 1 +
!
+
!
+
!
+ ⋯ +
!
= 1 −
!
+
!
−
!
+ ⋯ + (−1) ∗
!
senh =
1 +
1!
+
2!
+
3!
+. . − 1 −
1!
+
2!
−
3!
+ ⋯
2
senh =
2 +
2
3!
+
2
5!
+ ⋯ +
2
(2 + 1)!
2

4. senh x = ∑
( )!
lim
→
x2n+3
(2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!
∗
(2n + 1)!
x
< 1
|x| ∗ lim
→
1
(2n + 3)(2n + 2)
< 1
|x| < ∞ ; −∞ < < ∞
B. CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES UTILIZANDO SERIES DE
POTENCIAS.
1) →
Se sustituye, en el límite, el desarrollo de arcsenx y sen x;
tomando una cantidad finita de términos. En este caso tomaremos
cuatro términos.
arcsenx = x +
x
2 ∗ 3
+
3x
2 ∗ 5 ∗ 2!
+
3 ∗ 5x
2 ∗ 7 ∗ 3!
arcsenx = x +
x
6
+
3x
40
+
5x
112
Para sen x aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:

5. sen x =
3senx − sen3x
4
=
3x −
3x
3!
+
3x
5!
−
3x
7!
− 3x −
(3x)
3!
+
(3x)
5!
−
(3x)
7!
4
sen x =
24x
4 ∗ 3!
−
240x
4 ∗ 5!
+
2184x
4 ∗ 7!
= x −
x
2
+
13x
120
lim
→
x − x +
x
6
+
3x
40
+
5x
112
x −
x
2
+
13x
120
= lim
→
−
x
6
−
3x
40
−
5x
112
x −
x
2
+
13x
120
Se divide cada término por la menor potencia de x:
lim
→
−
1
6
−
3x
40
−
5x
112
1 −
x
2
+
13x
120
= −
1
6
2) →
lim
→
1 +
1!
+
2!
+
3!
− 1 −
1!
+
2!
−
3!
− 2x
x − −
3
+
5
−
7
lim
→
2
3!
x
3
−
5
+
7

6. Se divide cada término por la menor potencia de x:
lim
→
1
3
1
3
−
5
+
7
= 1
3) →
2x + 8 = 8 1 + x
4 = 2 1 + x
4
= 2 1 +
1
3
x
4
+
1
3
−
2
3
1
2!
x
4
= 2 1 +
x
12
−
x
144
lim
→
x +
x
6
+
3x
40
− x
2 +
6
−
72
− 2
= lim
→
x
6
+
3x
40
6
−
72
Se divide cada término por la menor potencia de x:
lim
→
x
6
+
3x
40
1
6
−
72
= 0

7. 4) →
( )
lim
→
−
3!
2 + 1 −
2!
− 3x + x (1 + x )
lim
→
2x + x −
x
2
−
x
3
−
x
6
+
x
3! ∗ 2!
− 3x + x + x
lim
→
x +
x
12
x
Se divide cada término por la menor potencia de x, en este caso
entre x :
lim
→
1 +
x
12
1
= 1
5) →
lim
→
x +
x
3
−
1
1 −
x
2
x
= lim
→
x +
x
3
−
2
1 − x
x

8. lim
→
x(12)(1 − x ) + x (1 − x ) − 24
(12)(1 − x )x
lim
→
12x − 11x − x − 24
(12)(x − x )
= lim
→
12 − 11x − x −
24
x
12(x − x )
= +∞
C. RESOLVER LOS SIGUIENTES INTEGRALES.
1. ∫
( )
=
t
t
−
t
2t
+
t
3t
−
t
4t
+ ⋯ dt
= 1 −
t
2
+
t
3
−
t
4
+ ⋯ dt
= t −
t
2 ∗ 2
+
t
3 ∗ 3
−
t
4 ∗ 4
+ … ]
x
0
= x −
x
2
+
x
3
−
x
4
+ ⋯ + (−1)
x
n

9. 2. ∫
= [1 + (− )] = − ; = − 1
2
1 + −
1
2
(−t ) + −
1
2
−
3
2
(−t )
2!
+ −
1
2
−
3
2
−
5
2
(−t )
3!
+. .
1 +
t
2
+
1 ∗ 3 ∗ t
2 ∗ 2!
+
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ t
2 ∗ 3!
+ ⋯
= t +
t
5 ∗ 2
+
1 ∗ 3 ∗. . t
9 ∗ 2 ∗ 2!
+
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … t
13 ∗ 2 ∗ 3!
+ … ]
0
= x +
x
5 ∗ 2
+
1 ∗ 3 ∗. . x
9 ∗ 2 ∗ 2!
+
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … x
13 ∗ 2 ∗ 3!
+ ⋯
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … (2n + 1)x
(4n + 1) ∗ 2 ∗ n!