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EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES.
A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALO
DE CONVERGENCIA.
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Se divide cada término por la menor potencia de x:
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2. ∫
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Clase del martes 22 de abril:Ejercicios series funcionales

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Clase del martes 22 de abril:Ejercicios series funcionales

  1. 1. EJERCICIOS SERIES FUNCIONALES. A. DESARROLLAR EN SERIE DE POTENCIAS DE Y HALLAR SU INTERVALO DE CONVERGENCIA. 1) ( ) = Utilizando la identidad trigonométrica: 2 = 2 Despejando: = Entonces el desarrollo de será: senxcosx = 2x 2 − (2x) 2 ∗ 3! + (2x) 2 ∗ 5! − (2x) 2 ∗ 7! +. . +(−1) 2 ∗ x n! Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ 2 ∗ x (n + 1)n! ∗ n! (−1) ∗ 2 ∗ x < 1 2 ∗ |x| ∗ lim → 1 n + 1 < 1 ; |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ 2) ( ) = ( ) cos2x = 2cos x − 1 ; cos x = 1 + cos2x 2
  2. 2. 1 + cos2x 2 = 1 2 1 − (2x) 2! + (2x) 4! − (2x) 6! + ⋯ + (−1) (2x) (2n)! f(x) = 1 2 1 + (−1) (2x) (2n)! Aplicando D’Alembert para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ (2x) (2n + 2)(2n + 1)(2n)! ∗ (2n)! (−1) ∗ (2x) < 1 |2x| ∗ lim → 1 (2n + 2)(2n + 1) < 1 |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ 3) ( ) = √ + 8 1 + x 8 = 2 1 + x 8 ; x = x 8 y m = 1 3 = 1 + + − ! + − − ! + − − − ! + ... = 1 + 1 3 x 8 + (−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 8 3 ∗ n!
  3. 3. f(x) = √8 + x= ∑ (−1) ∗ ∗ ∗ ∗…( ) ∗ ! lim → (−1) ∗ 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4)(3n − 1) x 8 3 ∗ (n + 1)n! ∗ 3 ∗ n! (−1) 2 ∗ 5 ∗ 8 ∗ 11 ∗ … (3n − 4) x 8 < 1 ∗ ∗ lim → < 1 ; < 1 ; −1 < < 1 −8 < < 8 4) ( ) = senh = − 2 Los desarrollos a utilizar serían: = 1 + ! + ! + ! + ⋯ + ! = 1 − ! + ! − ! + ⋯ + (−1) ∗ ! senh = 1 + 1! + 2! + 3! +. . − 1 − 1! + 2! − 3! + ⋯ 2 senh = 2 + 2 3! + 2 5! + ⋯ + 2 (2 + 1)! 2
  4. 4. senh x = ∑ ( )! lim → x2n+3 (2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)! ∗ (2n + 1)! x < 1 |x| ∗ lim → 1 (2n + 3)(2n + 2) < 1 |x| < ∞ ; −∞ < < ∞ B. CALCULAR LOS SIGUIENTES LÍMITES UTILIZANDO SERIES DE POTENCIAS. 1) → Se sustituye, en el límite, el desarrollo de arcsenx y sen x; tomando una cantidad finita de términos. En este caso tomaremos cuatro términos. arcsenx = x + x 2 ∗ 3 + 3x 2 ∗ 5 ∗ 2! + 3 ∗ 5x 2 ∗ 7 ∗ 3! arcsenx = x + x 6 + 3x 40 + 5x 112 Para sen x aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:
  5. 5. sen x = 3senx − sen3x 4 = 3x − 3x 3! + 3x 5! − 3x 7! − 3x − (3x) 3! + (3x) 5! − (3x) 7! 4 sen x = 24x 4 ∗ 3! − 240x 4 ∗ 5! + 2184x 4 ∗ 7! = x − x 2 + 13x 120 lim → x − x + x 6 + 3x 40 + 5x 112 x − x 2 + 13x 120 = lim → − x 6 − 3x 40 − 5x 112 x − x 2 + 13x 120 Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → − 1 6 − 3x 40 − 5x 112 1 − x 2 + 13x 120 = − 1 6 2) → lim → 1 + 1! + 2! + 3! − 1 − 1! + 2! − 3! − 2x x − − 3 + 5 − 7 lim → 2 3! x 3 − 5 + 7
  6. 6. Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → 1 3 1 3 − 5 + 7 = 1 3) → 2x + 8 = 8 1 + x 4 = 2 1 + x 4 = 2 1 + 1 3 x 4 + 1 3 − 2 3 1 2! x 4 = 2 1 + x 12 − x 144 lim → x + x 6 + 3x 40 − x 2 + 6 − 72 − 2 = lim → x 6 + 3x 40 6 − 72 Se divide cada término por la menor potencia de x: lim → x 6 + 3x 40 1 6 − 72 = 0
  7. 7. 4) → ( ) lim → − 3! 2 + 1 − 2! − 3x + x (1 + x ) lim → 2x + x − x 2 − x 3 − x 6 + x 3! ∗ 2! − 3x + x + x lim → x + x 12 x Se divide cada término por la menor potencia de x, en este caso entre x : lim → 1 + x 12 1 = 1 5) → lim → x + x 3 − 1 1 − x 2 x = lim → x + x 3 − 2 1 − x x
  8. 8. lim → x(12)(1 − x ) + x (1 − x ) − 24 (12)(1 − x )x lim → 12x − 11x − x − 24 (12)(x − x ) = lim → 12 − 11x − x − 24 x 12(x − x ) = +∞ C. RESOLVER LOS SIGUIENTES INTEGRALES. 1. ∫ ( ) = t t − t 2t + t 3t − t 4t + ⋯ dt = 1 − t 2 + t 3 − t 4 + ⋯ dt = t − t 2 ∗ 2 + t 3 ∗ 3 − t 4 ∗ 4 + … ] x 0 = x − x 2 + x 3 − x 4 + ⋯ + (−1) x n
  9. 9. 2. ∫ = [1 + (− )] = − ; = − 1 2 1 + − 1 2 (−t ) + − 1 2 − 3 2 (−t ) 2! + − 1 2 − 3 2 − 5 2 (−t ) 3! +. . 1 + t 2 + 1 ∗ 3 ∗ t 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ t 2 ∗ 3! + ⋯ = t + t 5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . t 9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … t 13 ∗ 2 ∗ 3! + … ] 0 = x + x 5 ∗ 2 + 1 ∗ 3 ∗. . x 9 ∗ 2 ∗ 2! + 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … x 13 ∗ 2 ∗ 3! + ⋯ 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ … (2n + 1)x (4n + 1) ∗ 2 ∗ n!

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