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Clase del martes 8 de abril de 2014

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Clase del martes 8 de abril de 2014

  1. 1. 1 SERIES BINOMIALES. Se llama serie binomial a la serie de McLaurin a la función ( ) = (1 + ) Si m es cualquier número real y | | < 1 entonces (1 + ) = 1 + + ( − 1) 2! + ( − 1)( − 2) 3! + ⋯ Ejemplo 1: desarrollar la función ( ) = ln(1 + ) utilizando la serie binomial. Esta función tal como se presenta, es más sencillo derivarla y luego hacer uso de la serie binomial; entonces: ( ) = ln(1 + ) ; ( ) = = (1 + ) Así = −1 Aplicando el desarrollo binomial: (1 + ) = 1 + (−1) + (−1)(−1 − 1) 2! + (−1)(−1 − 2) 3! + ⋯ (1 + ) = 1 − + − + ⋯ + (−1) Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de ( ). ( ) = ln(1 + ) = − 2 + 3 − 4 + ⋯ + (−1) Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ + 1 ∗ (−1) ∗ < 1 |−1|| | ∗ lim → + 1 < 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1
  2. 2. 2 Ejemplo 2: desarrollar la función ( ) = ( ) utilizando la serie binomial. ′( ) = 1 1 + = (1 + ) Derivamos la función para aplicarle a su derivada el desarrollo binomial. = = −1 (1 + ) = 1 + (−1) + (−1)(−1 − 1) 2! ( ) + (−1)(−1 − 2) 3! ( ) + ⋯ (1 + ) = 1 − + − + ⋯ + (−1) Ahora se integra cada término para obtener el desarrollo de la función planteada. ( ) = ( ) = − 3 + 5 − 7 + ⋯ + (−1) 2 + 1 Aplicando D’Alembert en valor absoluto para hallar el intervalo de convergencia: lim → (−1) ∗ 2 + 3 ∗ 2 + 1 (−1) ∗ < 1 ; |−1|| | lim → 2 + 1 2 + 3 < 1 | | < 1 ; −1 < < 1
  3. 3. 3 Ejemplo 2: Hallar ∫ 1 − √ usando desarrollo de series en . 1 + −√ ; = −√ = 2 3 ( ) = 1 + 2 3 −√ + 2 3 2 3 − 1 2! −√ + 2 3 2 3 − 1 2 3 − 2 3! −√ Se toma un número finito de términos para el desarrollo y hacer el cálculo aproximado de la integral propuesta; en este caso tomamos cuatro términos. ( ) = 1 − 2 3 − 1 9 − 4 81 Ahora se integra este desarrollo y se evalúan los límites de integración. ( ) = 1 − 2 3 − 1 9 − 4 81 ( ) = − 4 9 − 1 18 − 8 405 1 4 0 ≈ 0,1904 Ejemplo 3: calcular aproximadamente √63 tomando tres términos no nulos del desarrollo binomial. Se opera con la raíz exacta más cercana, que sería √64. √64 − 1 = 64 1 − 1 64 = 8 1 + − 1 64 Se lleva a la forma de serie binomial, recordando que | | < 1
  4. 4. 4 Luego se sustituyen los valores de en el desarrollo binomial para tres términos no nulos. 8 1 + − 1 64 = 8 1 + 1 2 − 1 64 + 1 2 − 1 2 − 1 64 1 2! ≈ 8 1 − 1 128 − 1 32768 ≈ 7,9373 Ejemplo 4: hallar el desarrollo binomial de la función ( ) = √1 + √1 + = (1 + ) = 1 + 1 5 + 1 5 1 5 − 1 2! + 1 5 1 5 − 1 1 5 − 2 3! + ⋯ = 1 + 1 5 + 1 5 − 4 5 1 2! + 1 5 − 4 5 − 9 5 1 3! + ⋯ = 1 + 1 5 − 1 ∗ 4 5 2! + 1 ∗ 4 ∗ 9 5 3! + ⋯ + (−1) 1 ∗ 4 ∗ 9 … (5 − 6) 5 ∗ ! + ⋯ Finalmente: √1 + = 1 + 1 5 + (−1) 4 ∗ 9 ∗ 14 … (5 − 6) 5 ∗ ! Ejemplo 5: Hallar el límite utilizando desarrollo de series de lim → 1 ln 1 + 1 − Aplicando propiedad de logaritmo queda:
  5. 5. 5 lim → 1 [ln(1 + ) − ln(1 − )] Luego aplicamos el desarrollo de ln(1 + ) a los dos logaritmos planteados, es decir, se sustituye por en el primer logaritmo y por − en el segundo logaritmo, respectivamente. Procedemos a tomar tres términos de cada desarrollo para hacer el cálculo del límite, de manera aproximada; quedando: lim → 1 − 2 + 3 − (− ) − (− ) 2 + (− ) 3 lim → 1 − 2 + 3 + + 2 + 3 lim → 1 2 + 2 3 = lim → 2 + 2 3 = 2 Nota: El desarrollo de series también sirve para cálculos aproximados de funciones compuestas: Sea ( ) = entonces: = 1 + 1! + 2! + 3! + ⋯ + ! ( ) = = 1 − 2! + 4! − 6! + ⋯ + (−1) (2 )! Se toman tres términos o más, del desarrollo de . Dichos términos se sustituyen después en el desarrollo de ; quedando: = 1 + 1 − 2! + 4! + 1 2! 1 − 2! + 4! + 1 3! 1 − 2! + 4! +..
  6. 6. 6

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