1. Postulat Kesejajaran Euclid menyatakan bahwa dua garis akan berpotongan jika jumlah dua sudut interior pada satu sisi transversal kurang dari 180 derajat.
2. Teorema Jajargenjang membuktikan bahwa dua jajargenjang yang memiliki sisi dan sudut yang sama akan memiliki ukuran sisi yang sama pula.
3. Postulat modern Euclid menyatakan bahwa hanya ada satu garis sejajar yang mel
1. Postulat Kesejajaran Euclid
“Jika dua garis dipotong oleh garis transversal
sedemikian hingga jumlah dua sudut interior
(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah
kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu
pada satu sisi transversal.”
2. Teorema Jajargenjang
A
B
D
C
Untuk membuktikan teorema ini, kita membagi jajargenjang ke dalam
segitiga dengan sebuah diagonal. Dan coba untuk buktikan bahwa
segitiga adalah kongruen. Dikarenakan:
1. Mereka memiliki sisi AC
2. Hubungan sudut adalah sama, menjadi sudut dalam untuk AD dan
BC yang sejajar
3. Hubungan sudut adalah sama. Menjadi alternatif sudut dalam
untuk AB dan DC yang sejajar
Sehingga segitiga kongruen dan memiliki kesamaan │AB│= │AD│ dan
│DC│= │BC│
3. Ilustrasi
h
A
1
1. Diberikan garis l dan m
l
C
B 2
m
2. Garis transversal h memotong l
dan m di A dan B sehingga
membentuk
pasangan
sudut
interior dalam berseberangan
yaitu 1 dan 2 yang sama besar.
3. Misal l dan m tidak sejajar berarti
akan bertemu di C dan terbentuk
∆ABC (hipotesis)
4. C terletak di depan sisi AB
5.
1 < 2 (menurut teorema sudut
ekterior)
6. Hal ini kontradiksi dengan
7. Jadi garis l dan m sejajar
1= 2
4. Postulat modern Euclid
“hanya ada satu garis sejajar pada garis
yang melalui titik bukan pada garis
tersebut.”
1. Diberikan garis l dan titik P bukan pada l
P
m
2 1
n
l
Q
2. Akan ada garis melalui P sejajar l, misal
m
3. Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan
kaki Q
4. Lukis garis n melalui P(n≠m)
5. Jika
1 adalah siku-siku maka n
berhimpitan dengan m (berlawanan
dengan asumsi) maka 1 = lancip
6. Jadi 1 + Q < 180°.
5. Jumlah sudut di dalam sebuah segitiga
“Jika
adalah sudut dari segitiga yang
ada sedemikian hingga
.
1. Diberikan segitiga
dengan sudut
sembarang
2. Tarik garis sejajar dengan
melalui puncak segitiga yaitu
3. Dengan menggunakan
sudut
berpelurus
diketahuilah bahwa
teorema
maka
6. Postulat Kongruen
“Jika segitiga ABC dan A’B’C’ adalah dimisalkan bahwa │AB│=
│A’B’│, sudut ABC = sudut A’B’C’ , │BC│=│B’C’│
Demikian juga,
│AC│=│A’C’│, sudut BCA = sudut B’C’A’, sudut CAB = sudut
C’A’B’. “
C’
C
A
B
A’
B’
7. ILUSTRASI
A
C’
B
C
Diberikan ∆ABC sedemikian sehingga ABC
ACB. Akan
ditunjukkan bahwa
. Andaikan
. Itu berarti >
atau < . Misalkan > Karenanya, terdapat C’ pada
sedemikian sehingga
AC’. Berdasarkan Teorema Segitiga
Sama Kaki, ABC’
AC’B. Menurut Teorema Sudut
Eksterior,
m AC’B > m ACB. Karena ABC
ACB dan
ABC’
AC’B, maka m ABC’ > m ABC. Padahal, menurut postulat
Penjumlahan Sudut, m ABC’ + m C’BC = m ABC yang berarti m
ABC’ > m ABC. Terjadi kontradiksi di sini, sehingga haruslah
8. TEOREMA SEGITIGA SAMA KAKI
“Jika sebuah segitia memiliki dua
sisi yang sama, sedemikian hingga
sudut
yang
berhadapan
sama
besar.”
9. A
D
B
C
Diberikan ∆ABC sedemikian sehingga ABC
ACB. Akan
ditunjukkan bahwa
. Andaikan
. Itu berarti
>
atau
< . Misalkan
>
Karenanya, terdapat D
pada
sedemikian sehingga
AD. Berdasarkan Teorema
Segitiga Sama Kaki, ABD ADB. Menurut Teorema Sudut
Eksterior, m ADB > m ACB. Karena ABC ACB dan
ABD ADB, maka m ABD> m ABC. Padahal, menurut
postulat Penjumlahan Sudut, m ABD+ m DBC = m ABC
yang berarti m ABD > m ABC. Terjadi kontradiksi di
sini, sehingga haruslah
14. Teorema Pythagoras
Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah satuan
persegi pada sisi-sisi terpendek sama dengan
jumlah satuan persegi pada sisi miring
15. Pembuktian Teorema Thales
Segitiga APQ dan PQB membentuk segitiga
AQB dengan alas AB
Segitiga APQ dan PQC membentuk segitiga
APC dengan alas AC
Luas Segitiga APQ = Luas segitiga PQC
16. Sudut Dalam Lingkaran
Jika A dan B adalah dua
titik pada lingkaran
untuk sembarang titik C
pada
busur
yang
menghubungkan
nya
maka sudut ACB adalah
konstan.
