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Lógica

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Lógica Parte I

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Lógica

  1. 1. I. NOCIÓN DE PROPOSICIÓN. Es una expresión lingüística, con sentido completo que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Una proposición lógica es enunciada mediante oraciones aseverativas que pone de manifiesto la función informativa del lenguaje. Además usa como referente a la realidad objetiva Esto trae como consecuencia lo siguiente: 1. Son proposiciones lógicas: - Las fórmulas científicas ya demostradas. Ejemplo:  222 b2abab)(a ++=+ ; a ,b ∈ R - Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Ejemplo:  “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro” - Los enunciados cerrados o definidos. Ejemplo:  α+ β + γ = 180°, si α, β y γ = ∠s internos de un mismo triángulo.  x + y = 50 ; si x = 10 , y = 30 - Las oraciones informativas. Ejemplo:  “Toda materia posee masa” - Las oraciones descriptivas. Ejemplo:  “Los caballos poseen una cola y 4 patas” - Las oraciones explicativas. Ejemplo:  “Si comienza a llover, entonces las calles se mojarán” 2. No son proposiciones lógicas: - Las creencias, mitos o leyendas. Ejemplo:  “Dios es un ser misericordioso”  “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol” - Las metáforas o refranes. Ejemplo:  “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”  “Has el bien, sin mirar a quién” - Las supersticiones. Ejemplo:  “Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13” - Los hechos de la literatura o personajes ficticios. Ejemplo:  “Romeo y Julieta murieron por amor”  Superman es muy valiente. - Hechos discutibles: La moral, la belleza, los valores. Ejemplo:  La sinceridad es lo más valiosos de un hombre.  Las canciones de “Alejandro Saenz” son muy bonitas  El es digno de este trabajo - Los enunciados abiertos o indefinidos. Ejemplo:  α+ β + γ = 180°  x = y si y solo si x = 2 - Las oraciones exclamativas. Ejemplo:  “Hoy es un día maravilloso” - Las oraciones desiderativas. Ejemplo:  Quisiera viajar este año a Europa. - Las oraciones dubitativas. Ejemplo:  Posiblemente este año ingrese a la universidad. - Las oraciones interrogativas. Ejemplo:  ¿Cuántos años tienes? - Las oraciones imperativas : ordenes, súplicas, prohibiciones, consejos. Ejemplo:  Soldado Pérez ...... Venga rápidamente  Por favor; ¿Podrías prestarme dinero?  Levántate y sigue adelante, nunca mires atrás. II. Estructura de una Proposición: Sujeto – verbo – predicado Observaciones: 1) El verbo o cópula generalmente es el verbo ser o estar en cualquiera de sus tiempos. Ejemplo: “Roxana es una deportista disciplinada” “Chimbote está entre Trujillo y Casma” “José estudia incansablemente” (Verbo implícito; es como decir: José está estudiando incansablemente) 2) El algunas proposiciones no aparece el sujeto; pero éste queda implícito en la oración (recordar que una proposición es sólo significado). Ejemplo: “Actualmente estoy preparándome en la Academia Integralclass” ..... sujeto: Yo “Amanece” ...... sujeto: Hoy III. Propiedades de una Proposición: 1. Según su cantidad: UNIVERSAL: Si el sujeto está acompañado de la palabra “todos”. Cuando se habla de todos los elementos incluidos en el sujeto Ejemplos: • Todos los peces son vertebrados • El hombre es un ser racional • Ningún reptil es félido • Cualquier canario es ovíparo • “Todos los alumnos son estudiantes” PARTICULAR: Si el sujeto está acompañado de la palabra “algunos”. Cuando se habla de algunos elementos incluidos en el sujeto Ejemplos: • Algunas aves son voladoras • Varios ingenieros son administradores • Hay reptiles que son carnívoros • Muchos deportistas son peruanos SINGULAR (INDIVIDUAL): Si el sujeto adopta un nombre propio. Cuando el sujeto es nombre propio (es único) Ejemplos: • Steffany estudia en Integralclass • F. Bolognesi murió en Arica • Celeste trabaja en Chimbote • Juan Carlos es italiano 2. Según su calidad: AFIRMATIVO: Si el verbo está afirmado. Cuando el sujeto está incluido, total o parcialmente, en el predicado. Ejemplos: • El caballo es un vertebrado • Manuel estudia inglés • Muchos médicos son profesores NEGATIVO: Si el verbo se encuentra negado. Cuando el sujeto está excluido, total o parcialmente, del predicado. Ejemplos: • Ningún pez es mamífero • Pocos deportistas son atletas • Laura no trabaja en España 3. Por su Modalidad: A) Asertórico Contingentes, Empíricas o Sintéticas Cuando expresan un grado de certeza; su valor de verdad se puede determinar comparándolo con la realidad inmediata. Son enunciados que describen hechos. Cuando el valor de verdad depende de un contexto. Ejemplos: • Mancora es una playa norteña • El oro es un metal sólido • El pasaje urbano cuesta 1,20 soles • Alejandro Toledo es el presidente del Perú • “Cristóbal Colón descubrió el continente Americano”. • “Los insectos carecen de huesos”. B) Apodíctico, Necesarios, o Forzosas. PROPOSICIONES LÓGICASPROPOSICIONES LÓGICAS PREPARANDO ESTUDIANTES RUMBO A LA UNIVERSIDAD
  2. 2. Expresan un grado muy fuerte de certeza o de seguridad; de carácter obligatorio o necesario, su valor de verdad se puede determinar por el análisis lógico de la proposición. Cuando el valor de verdad es invariable. Ejemplos: • 1250 + 1350 = 2600 • El punto no tiene dimensiones • La proposición tiene valor de verdad • Los ricos son adinerados • “Todo niño tiene que ser ingenuo” • “si a = b ⇒ a + c = b + c” • “p → q ≡ - q → - p” C) Problemática, Plausibles o Probables. Expresa un grado débil de certeza, su verdad no se puede determinar de manera inmediata, requiere de cierto tiempo o circunstancias. Cuando el valor de verdad es probable Ejemplos: • La inflación peruana el 2006 será menor a 4% • Es probable que la suma de dos números sea menor a 20 • Es posible que la selección clasifique al mundial 2010 IV. Clases de Proposiciones 1. Proposiciones Simples o Atómicas o No estructurales: Carecen de conector lógico, y pueden ser: A. Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos) Ejemplos: • Carlos Marx fue el creador del Materialismo Dialéctico. • Gregorio Mendel es el padre de la Genética. B. Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc. Ejemplo: • La selección turca jugó un partido intenso con su similar de Brasil. Relación de acción. • Vallejo y Mariátegui fueron contemporáneos. Relación de tiempo. • Marilyn es la hermana menor de Magaly. Relación de parentesco. 2. Proposiciones Compuestas o Moleculares (Coligativas): se caracterizan principalmente porque poseen conectores lógicos. A. El Conector Lógico: Es un término que sirve de enlace entre proposiciones o le cambian el sentido de verdad. B. Principales Conectores Lógicos: El negador: “ ............ no ..............” El conjuntor: “ ............ y ..............” El disyuntor: “ ............ o ..............” El condicional: “Si ....... entonces .........” El bicondicional: “.......... si y sólo si ..........” El inalterador: “ ni ............ ni ..............” El Incompatibilizador: “ no ............ o no ..............” EJERCICIOS RESUELTOS 01. Los siguientes enunciados son proposiciones lógicas 1. ¡Silencio por favor! 2. ¡Siéntate ahora! 3. Regresaré pronto 4. Ojala apruebe matemática 5. ¡Ay! Son correctas : A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) Todas E) N.A. 02. Son proposiciones simples: 1. Si llegas temprano ,haremos fiesta. 2. Trabajas o juegas. 3. O tienes sed o tienes hambre. 4. La lluvia moja la pista. 5. La uva es cereal. Son incorrectas : A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) 1,3,5 E) N.A. 03. Son proposiciones los siguientes enunciados: 1) Cinco es un número par. 2) Dios mío, ayúdame. 3) Ojala ingrese a la “U” 4) Toledo es presidente del Perú. 5) 8 + 5 = 12 Son correctas: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) 1,3,4 E) 1,4,5 04. Son proposiciones individuales: 1) La Luna tiene desiertos. 2) La Tierra es estrella vieja. 3) El sol es un planeta. 4) Lima es capital de Chile. 5) Santiago es capital del Perú. Son incorrectas: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) Todas E) N.A. 05. Son proposiciones moleculares: 1) No solamente río, sino también lloro. 2) Al llover, por lo tanto la cosecha será muy buena. 3) Si hay oro, seremos millonarios. 4) Siempre que haya producción, habrá empleo. 5) O bien postulo a la “U” o bien trabajo. Son correctas: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) Todas E) N.A. 06. Son términos dependientes: 1) Los, luego, entonces 2) Siempre, obvio, de allí que 3) Salvo que, o en todo caso 4) También, incluso. 5) Se contrapone, es equivalente. Son correctas: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) Todas E) N.A. 07. Son términos independientes: 1) Si, luego, entonces 2) Mujer, carro, avión 3) Al, de, siempre 4) Sol, nido, tierra 5) Jarra, casa, lobo Son correctamente incorrectas, salvo: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) 1,3,5 E) 2,4,5 08. Son proposiciones atómicas: 1) El Nilo es río americano. 2) El Amazonas es río africano también americano. 3) El Misti es un nevado incluso un volcán. 4) La Universidad Nacional de Trujillo es institución pública. 5) El Instituto Nacional de Cultura es institución privada. Es absurdamente falso: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 1,4,5 D) 1,3,5 E) 3,4,5 09. Son proposiciones moleculares: 1) 2 es un número y representa dos unidades. 2) La palabra “lima” tiene varios significados. 3) 5 es un número primo e impar. 4) Al ser hoy día jueves, el viernes será mañana. 5) Los institutos son instituciones de educación superior. No son correctas, excepto: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 3,4,5 D) 1,3,4 E) 2,4,5 10. Son proposiciones conjuntivas. 1) Los alumnos del colegio Integralclass son muy estudiosos y dedicados. 2) Los peruanos son ciudadanos civilizados. 3) Los animales vertebrados son carnívoros y ovíparos. 4) Es falso que los estudiantes de la UNT son negligentes. 5) No solamente el mercurio es un metal sino también el bromo. Son ciertas: A) 1, 3 y 5 B) Sólo 1 y 3 C) 3, 4 y 5 D) 1, 2 y 3 E) Todas 11. No representa a una proposición relacional: a) Víctor y Carmen son novios b) Carla, Elissa y Erika estudian juntas
  3. 3. c) Perú esta entre Ecuador y Chile d) La matemática es ciencia formal así como la lógica también lo es. e) Todas 12. La oración: “Algunos Universitarios son profesionales”, será: 1. Particular 2. Asertórica 3. Apodíctica 4. Indefinida 5. Problemática Son ciertas: A) 1 y 2 B) 1 y 3 C) 1 y 5 D) 1 y 4 E) N.A. 13. Si: a = b → a + c = b + c es un enunciado: a) Asertórico b) Apodíctico c) Indefinido d) Problemático e) N.A. 14. De las siguientes expresiones, son proposiciones logicas: 1. “EE.UU. se encuentra entre Francia y España” 2. “Macondo fue la ciudad donde vivió Aureliano Buendía” 3. “Ojalá pudiese ingresar a la Universidad” 4. “Simón Bolívar fue el héroe de Arica” 5. “Víctor y Carmen son novios” Son ciertas: A) Todas B) 1, 4 y 5 C) 1 y 5 D) 1 y 4 E) N.a. 15. De las siguientes proposiciones son compuestas: 1. Melissa, Blanca y Carol son estudiantes 2. Todo átomo no puede ser divisible 3. Perú y Bolivia son países vecinos 4. Ayer trabaje. Hoy descanso 5. Te amo en cuerpo y alma Son innegablemente inciertas: A) 1,2,4 B) 2,5 C) 2,3,5 D) 3,5 E) N.a. 16. Son proposiciones predicativas: 1. Alan García es un político 2. El vehículo está malogrado 3. El lapicero quedó encima de la carpeta 4. Elena castigó al alumno 5. Felipe fue vigilante Son ciertas: A) 2, 3 y 4 B) 1, 4 y 5 C) 3 y 4 D) 1, 2 y 5 E) Todas 17. Son proposiciones universales: 1. Todos los insectos son invertebrados 2. Ningún médico es abogado 3. Algunos muebles son sillas 4. Varios niños se han accidentado 5. Cualquier gato es felino Son ciertas: A) Todas B) Todas – 3 C) 1 y 2 D) 1, 2 y 5 E) 3, 4 y 5 18. De la proposición: “Ningún inglés es nervioso” Podemos afirmar que: 1. Es asertórica por su modalidad 2. Afirmativa por su cualidad” 3. Apodíctica por su modalidad 4. Universal por su cantidad 5. Negativa por su cualidad Son ciertas solamente: A) 1,2,3 B) 2,3,4 C) 5,2,1 D) 1,5,4 E) Todas 19. Son proposiciones disyuntivas: 1. "Llueve a menos que el suelo esté mojado" 2. "Viene Víctor excepto que venga Raúl" 3. "Canta a menos que también baile" 4. "El ramo son de flores blancas del mismo modo que de flores rojas" 5. "Apruebo el curso solamente y cuando estudie" Son ciertas, solamente: a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) Todas e) Ninguna 20. Las proposiciones según su cantidad pueden ser: 1. universal 2. asertórica 3. particular 4. problemática 5. singular Son inciertas: A) 1,3 y 5 B) 1,2,4 C) 2 y 4 D) 3,4,5 E) N.a . PRACTICA DE CLASE 01. Son proposiciones simples: 1. 4 y 5 son números consecutivos 2. Mentir equivale a engañar 3. Marie Curie descubrió el polonio incluso el radio 4. Pedro es pobre pero es feliz 5. Pedro se casó con Liza la semana pasada Son ciertas: A) Sólo 3 y 4 B) Sólo 2, 3 y 4 C) Sólo 1, 2 y 5 D) Ninguna E) Todas 02. Las proposiciones se caracterizan porque: 1. Tienen sentido completo 2. Contienen funciones expresivas o imperativas del lenguaje 3. Tienen carácter bivalente 4. Son enunciados cerrados 5. Son mandatos u órdenes Son ciertas: A) 1, 2 y 4 B) 1, 2 y 3 C) 1, 3 y 4 D) 2 y 5 E) 3, 4 y 5 03. No son proposiciones lógicas: 1. Un mandamiento nuevo os doy; amaos los unos a los otros 2. La ecología estudia las interrelaciones entre los seres vivos y el medio en que habitan 3. Es la capital internacional de la Primavera 4. 4x + 5 = 20 5. Japón es un país africano Son ciertas: A) Sólo 2 y 5 B) Sólo 2, 3 y 5 C) Sólo 2 y 3 D) 1, 2, 3 y 5 E) 1, 3 y 4 04. Son propiedades intrínsecas de la siguiente proposición: “Alan García postuló a la presidencia de la república por segunda vez” A) Universal; negativa; problemática B) Particular; afirmativa; apodíctica C) Particular; afirmativa; asertórica D) Singular; negativa; asertórica E) Singular; afirmativa; asertórica 05. Son proposiciones universales: 1) Todos los insectos son invertebrados 2) Ningún médico es abogado 3) Algunos muebles son sillas 4) Varios niños se han accidentado 5) Cualquier gato es félido Son ciertas: A) Sólo 1 y 5 B) 1, 2, 4 y 5 C) Sólo 1 y 2 D) Sólo 1, 2 y 5 E) 3, 4 y 5 06. No son proposiciones: 1) Tráeme el periódico 2) Ciertos ángulos son obtusos 3) Jorge es primo hermano de Juan 4) “Dado” tiene 4 letras 5) Haz el bien sin mirar a quien Son correctas: A) Sólo 1, 3 y 5 B) Sólo 2 y 4 C) Sólo 1 y 5 D) Todas E) Ninguna 07. Corresponden a proposiciones compuestas: 1. Trujillo y Tacna son ciudades del norte peruano 2. Diez y doce son múltiplos de 4 3. Calor no equivale a trabajo 4. El agua y la gasolina no reaccionan 5. Tanto Francisco Pizarro como Diego de Almagro no fueron hermanos Son ciertas: A) Sólo 1, 2 y 3 B) Sólo 1 y 2 C) Sólo 3, 4 y 5 D) Sólo 4 y 5 E) Todas 08. De los enunciados: 1) a + b = b + a; ∀ a, b ∈ R 2) a + b > a; ∀ a, b ∈ N 3) a + 5 = 1954 4) 222 cba =+ ; ∀ a, b, c ∈ R 5) a + 5 = b + 40 Son proposiciones: A) 1, 2 y 5 B) 2, 3 y 4 C) 1, 3 y 5 D) 1, 2 y 4 E) 3, 4 y 5 09. De las expresiones:
  4. 4. 1. “El rosal es arbusto” 2. “3 – 8 = - 5” 3. “Irán e Irak son países vecinos” 4. “Todo tiempo pasado fue mejor” 5. “Una golondrina no hace verano” Son proposiciones, salvo: A) 1 y 3 B) 2 C) 1 y 4 D) 3 y 4 E) 4 y 5 10. De las proposiciones: 1) nnn abb.a = 2) 6 + 4 + y = 20 3) mnnm a)(a = 4) 1281 2 +     5) ( A ↔ B) ≡ -(A ⊕ B) Son apodícticas, excepto: A) 1, 2 y 3 B) 2, 3 y 4 C) 1, 3 y 5 D) 2 y 4 E) 3, 4 y 5 11. De las proposiciones: 1. “El diedro es ángulo” 2. “Vallejo no murió en Santiago” 3. “Aún callado, era elocuente” 4. “Olinda y Rita son hermanas“ Se cumple: A) 1 y 3 son proposiciones moleculares B) 1 y 4 son proposiciones atómicas C) 1, 2 y 3 son proposiciones coligativas D) 2 y 3 no son proposiciones complejas E) 3 y 4 son proposiciones compuestas 12. Son proposiciones lógicas: 1. La tiroxina controla el metabolismo 2. 22OH es la fórmula del agua oxigenada 3. El Ozono filtra los rayos ultravioletas 4. El sartorio es un músculo del miembro inferior 5. Los arácnidos tienen el cuerpo segmentado Son ciertas: A) 1,2 y 3 B) 2,3 y 4 C) 3,4 y 5 D) Todas E) 2 y 5 13. Son proposiciones lógicas simples predicativas: 1. José de la Riva Agüero fue Ministro de Educación 2. Mariátegui se dedicó a escribir y a dictar conferencias 3. 12cba 2 =++ 4. Los hechos psíquicos son temporales 5. Carlos ama a Sofía Son ciertas: A) 1 y 4 B) 1,3 y 5 C) 3,4 y 5 D) Sólo 3 E) 3 y 5 14. Son proposiciones relacionales: 1. “Abel es futbolista” 2. “Trujillo está al norte de Lima” 3. “San Martín y Bolívar son contemporáneos” 4. “Si OH 2 es la fórmula del agua, 22OH es la fórmula del agua oxigenada” 5. “-5+2>+1-7” Son ciertas, solamente: A) 3,2,1 B) 5,2,1 C) 2,3,5 D) 3,4,5 E) Sólo 2 15. Son proposiciones lógicas moleculares: 1. Alcapone será encontrado culpable si el testigo dice la verdad 2. No es verdad que las algas así como los hongos sean Talofitas 3. Pedro y Juan son siameses 4. Es imposible que los líquenes resultan de la unión de una alga con un hongo 5. Bélgica está entre Holanda y Francia Son ciertas: A) 3,4 y 5 B) 2,3 y 4 C) 1,2 y 4 D) 2 y 5 E) N.A. 16. Son proposiciones implicativas: A) Condición es que hace frío para que me abrigue. B) Para ingresar es necesario estudiar. C) Si estudio necesariamente triunfaré. D) Si Alberto es casado entonces tiene hijos E) Todas 17. Son proposiciones disyuntivas: A) Salvo que Jorge ingresa, estudia en Instituto B) Ya bien viajo al Sur o a Piura. C) Estudio Psicología a menos que también Cívica D) Volveré a estudiar salvo que no ingrese. E) Todas. 18. Son proposiciones biimplicativas : 1. Marta Chávez es político igualmente congresista. 2. Estamos contentos únicamente cuando satisfacemos nuestras necesidades. 3. Trabajo solo si seré bien remunerado. 4. Para ser profesional es suficiente y necesario ser buen estudiante. 5. Iré al cine siempre y cuando vaya contigo. Son ciertas excepto: A) 1,2,3 B) 1,3,5 C) 2,4,5 D) 1,4,5 E) 3,4,5 19. Dadas las oracione : 1. Creer quiere decir que somos conocidos. 2. Estuvo viviendo en Europa y Asia 3. El cloro reacciona con el sodio 4. Ursula Iguarán esposa de Aurelio Buendía 5. "Ña Catita" es obra de Manuel Ascencio Segura Son proposiciones: A) 1 y 5 B) 2 y 4 C) 3 y 4 D) 3 y 5 E) 1 y 3 20. De las oraciones: 1. Estuvo en América diez años. 2. ¡ Dios quiera que ingreses ! 3. Cada día te quiero más. 4. Juan es mayor que Jorge. 5. Madrid, capital de España. Son innegablemente no falsas no proposiciones: A) 1,3,5 B) 2,4,5 C) 2,3,5 D) 1,2,3 E) 1,4,5
  5. 5. LOS CONECT O R E S LÓGICOS I. El Neg a d o r 1. Símb olo s: - A, ∼A, ¬A, A 2. Se lee: “no” 3. Tipos de Neg a d o r e s : A) Neg a d o r Inter n o: “No, nunca, jamás ” se le caracteriza funda me n t al m e n t e por su carácter débil, sólo afecta a la proposición simple más cercana. B) Neg a d o r Exter n o : “No es cierto que, es mentira que, es objetable que” son de carácter más fuerte que los negadores internos; general m e n t e se encuentra n adelante de la oración, es por ello que su representación queda indicada explícita m e n t e fuera de un paréntesis. Not a: - Si un término es antecedido por un prefijo de sentido negativo; éste se le considera como un negador interno. Eje m p l o: - Pablo es una persona desleal: - p - Carlos Manrique es un empresario inmoral: -q Las expresiones lingüísticas de doble negación (inobjetable, innegable, no es inconcebible) se formalizan como tal. Eje m p l o : - Carmen inobjetable m e n t e es profesora: ∼∼ p - No es mentira que Constantino fuese emperador Romano: ∼∼ q. El Neg a d o r : – A – No A, nunca A, jamás (A) (*) – Es incomp atible que A – Es inconcebible que A – No ocurre que A – No es verdad que A – No es el caso que A – No acaece que A – Es mentira que A – Es inad misible que A – De ninguna forma se da A – En forma alguna A – Carece de todo sentido A – De ningún modo A – En modo alguno A – Es incorrecto que A – Es incierto que A – Nadie que sea A – Es objetable que A – Es absurdo que A – El falso que A – Es refutable que A – Es falaz que A (*) Negador Interno II. El Conjun t o r A) Símb ol os: A ∧ B, A & B, A x B, A.B, AB B) Se lee: “ ................. y .................. “ C) For m a de Iden tific a rl o: Al conjuntor también se le llama “Comp a tibilizador ” porque une a las proposiciones en un mismo contexto; es decir ambas proposiciones se cumplen simultánea m e n t e. Eje m p l o : - Perú así como Ecuador son países demócratas: p ∧ q - El átomo posee neutrones, protones ta m bi é n electrones: p ∧ q ∧ r - Roxana estudia al mis m o tie m p o que escucha música: p ∧ q Nota: Existen algunos términos de conjunción que merecen una mención particular: - No sólo la mate m á t ica es precisa sino ta m bi é n universal: p ∧ q - El ser Leninista es com p a t i b l e con el ser Marxista: p ∧ q - La luna es un satélite no obst a n t e gira alrededor de la tierra: p ∧ q El Conjun t o r : A ∧ B – A y B – A aunque B – A pero B – A sin embargo B – A incluso B – A es compatible con B – A así como B – A del mismo modo B – A aún cuando B – A también B – A de la misma forma que B – A al igual que B – Tanto A como B – Siempre ambos A con B – A no obstante B – No sólo A sino también B – A así mismo B – A al igual que B – A a pesar de B – A a la vez B – A más B – A con B los dos a la vez III. El Disyu n t o r Débil (Inclu y e n t e ) A) Símb olo s: A v B, A + B. B) Se lee: “ ....... o ...... “ (en sentido incluyente). C) For m a de Iden tific a rl o: Al inclusor se le reconoce porque el término nos sugiere aceptar una de las dos proposiciones. Sin embargo la posibilidad que una compatibilidad queda aceptada o admitida. Ejemplo : - Perú y Ecuador se pondrán de acuerdo salvo que interveng a EE.UU. : p v q - Mañana estudiare m o s Química o sino estudiare m o s Física: p v q Not a: Cuando aparece una disyunción al lado de un conjuntor o viceversa, la fórmula lógica será un Disyuntor débil. Eje m p l o : - Las aves poseen pico exce p t o que ta m bi é n alas: p v q - Los números son reales y/o complejos: p v q. El Disyu n t o r Incluy e n t e : A ∨ B – A o B (sentido incluyente) – A a menos que B – Amenos que A, B – A salvo que B – A excepto que B – A o también B – A o en todo caso B – A o bien B – A a no ser que B – A o incluso B – A y bien o también B – Al menos uno de los dos A o B – A o sino B – A alternativa m e n t e B – A y/o B EJERCICIOS RESUELT O S 01 . La proposición: “la lima, naranja, limón no es cierto que sean cítricos”, se simboliza: FORMALIZACIÓN DEFORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONESPROPOSICIONES
  6. 6. a) – (p ∧ q ∧ r) b) (p ∧ q ∧ - r) c) (- p ∧ - q ∧ - r) d) [(- p ∧ - q) v – r] e) n.a. 02 . “ In existe igualdad econó mica a no ser que ta m b i é n haya globalización , virtualización tant o como robotización del proceso productivo ”, se formaliza: a) [- p v (q ∧ r ∧ s)] b) [- p v (q ∧ r ∧ s)] c) [p v (q ∧ r ∧ s)] d) p v (q ∧ r ∧ s) e) N.a. 03. “Jamás en invierno hace calor, aún cuando en verano llueve al igual que hay eclipse asimis mo hay evaporación de agua tal como no hay granizo ”, se simboliza: a) (- p ∧ - q ∧ - r ∧ - s ∧ - t) b) (- p ∧ q ∧ r ∧ - s ∧ - t) c) (- p ∧ q ∧ r ∧ - s) d) (- p ∧ q ∧ r ∧ s ∧ - t) e) N.A. 04 . “En modo alguno sucede que, no haya aumenta do la producción arma m e n tista excepto que también sea absurdo que los países latinos hayan empobrecido más”, se formaliza: a) (- p v – q) b) – (- p v – q) c) –(p v – q) d) –(- p v q) e) N.A. 05. La fórmula: - (- p ∧ - q ∧ r) ; se traduce: a) Es falso que, ni la pulga ni el chinche ni los piojos sean insectos. b) No es veraz que, la pulga también el chinche no sean insectos pero también lo son los piojos. c) Es innegable que, ni la pulga ni el chinche son insectos pero sí lo es el piojo. d) Todas e) B y C 06 . “El Perú es considerado un país econó mica m e n t e marginal al igual que el más deficiente en compete ncia mate m á tica, y bien o también el penúlti mo en competencia de lenguaje ”, se formaliza: a) (A ∧ B ∧ C) b) (A ∧ B) v C c) A ∧ (B v C) d) (A ∧ - B) v C e ) N.A. 07. La proposición: “No es indubitable que el Perú tenga crecimie nt o econó mico salvo que no se termine con la recesión; a menos que incluso no haya nunca inflación ”. Se formaliza: a) ∼A ∨ B ∧ ∼∼C b) ∼∼∼(A ∨ ∼ B) ∨ ∼ ∼C c) ∼(A & B) ∨∼C d) -A ∨ ∼∼B e) N.A. 08 . La traducción CORRECTA de la fórmula proposicional : (A ∧ B) & C es: a) Estudio y trabajo, salvo que también soy responsable b) Estudio y trabajo, vemos que también soy responsable c) Estudio y trabajo, o incluso soy responsable d) Estudiar y trabajar, excepto que incluso sea responsable. e) Estudiar y trabajar, a no ser que además sea responsable. 09. La proposición: “No se da la posibilidad que , el medio sea homogé ne o al mis mo tiempo la luz nunca se propaga en línea recta. vemos que también es visible la formación de sombra y penu m b r a; además la formación de imágenes en al cámara fotoeléctrica ”. Se formaliza como: a) - - (A → B) + [(C ∧ D) ∨ E] b) - (A → B) x (C ∨ D) c) - (A ∧- B) & [(C ∧ D) ∧ E ] d) - - (A ∧ B) • [(C ∨ D) ∧ E ] e) (A & B) ∧ [( C ∧ D) ∧ E ] 10. La formalización siguiente: ∼ ∼(∼A & B) ∨(C ∧∼D) Se expresa en la proposición: a) Es mentira que Orellana descubrió el Amazonas o bien Pizarro organizó al expedición, de la mis ma forma Almagro se quedó en el Cuzco. b) Orellana descubrió el río Amazonas así como viajo a España. c) Sin excepción se da que Orellana no descubrió el Amazonas vemos que también Pizarro organizó la expedición ; excepto que Almagro se quedó en el Cuzco pero no viajó en la expedición. d) Es insostenible decir que Orellana no descubrió el Amazonas del mis mo modo Pizarro no organizó la expedición, y bien o también Almagro se quedó en el Cuzco pero no viajó en la expedición. e) T.a. 11. “p ∧ q” es la formalización de la proposición siguiente : a) Hoy es sábado o domingo b) Si apruebo iré de viaje c) Juan es estudiante y María es secretaria d) Si Juan es herman o de Pedro, entonces Pedro es herman o de Juan e) O estudias o trabajas 12. Formalizar: “Pitágoras fue geometra así como filósofo. Sin embargo es falso decir que Hipócrates no fue griego a menos que Cicerón fuese científico. Pero como Pitágoras no fue Geometra simultánea m e n t e Hipócrates fue griego ”. a) [(A ∧ B) ∧ -(C ∨ D)] ∧ (- A x C) b) [(A ∧ B) ∧ -(- C ∨ D)] ∧ (- A & C) c) [(A ∧ B) ∧ (- C ∨ D)] ∧ (- A • C) d) [(A ∧ B) ∨-(- C ∨ D)] ∧ (- A &- C) e) N.A 13. La proposición: “La energía radiante se convierte en energía térmica, eléctrica, mecánica o química, del mis mo modo sus ondas de propagación nunca han sido intercepta das por la materia ”. Se formaliza como: a) (A ∨ B) ∧ C b) (A ∧ B) c) (A ∧- B) d) (A ∧ B ∧ C ∧ D) x E e) (A ∨ B ∨ C ∨ D) & - E 14 . La proposición: “Para nada se da que los vegetales no son verdes pero los frutos jamás son producto de las plantas”. Se formaliza: a) ∼A ∧ B b) ∼(∼A ∧∼ B) c) (∼A ∨ ∼B) d) ∼A ∧ (B ∨∼ B) e) T.a. 15. “El asma afecta a los pulmo nes a no ser que afecta al corazón; pero no es el caso que afecte al corazón del mis mo modo a los pulmon es ”. Se formaliza: a) ( A ∨ B ) ∧ ¬ ( B ∧ A ) b) ( A ∨¬ B ) ∧ ( ¬A ∧ B ) c) ( ¬A ∧ B ) ∨ ( A ∧ ¬ B ) d) ( B ∧ A ) ∧ ¬( A ∨ - B )
  7. 7. e) ( A ∧ B ) ∨ ¬(¬ A ∨ B ) 16. La verruga apareció en el último siglo, No obstante su descubridor ni fue Alcides Carrión ni Luna Pizarro”. a) A & ( B ∧ C ) b) A ∧ ( B ∨ C ) c) A & ( B ↓ C ) d) A ∨ ( B &¬C ) e) A ↓ B ∧ C 17. La formalización correcta de: “Ni el nudo de Pasco se encuentra en Ayacucho ni el nudo de Vilcanota se encuentra en Tacna” es: a) ¬ A ∨ ¬ B b) A ∨ B c) ¬A ∧¬ B d) ¬ A ∧ B e) N.A. 18. La formalización correcta de : “El lenguaje tiene significación salvo que incluso tenga sentido; sin embargo no es cierto que el lenguaje no tiene sentido salvo que tenga significado ”. Es: a) A ∨ B b) ( A ∨ B ) ∧ - ( -B ∨ A ) c) ( A ∧ B ) ∨ ( A ∨ B ) d) ( A ∨ B ) ∨ ( A ∨ B ) e) ( A ∨ B ) ∧ - ( B ∨ A ) 19. “Estudiaré en la Universidad, salvo que también postule al instituto e ingrese; pero es absurdo que no postule al instituto o no ingrese. Sin embargo no estudiaré en la universidad ”. Su formalización es: a) {[ A ∨ ( B ∧ C ) ] ∧ ( -B ∨ -C )} & C b) { [ A ∨ ( B ∧ C ) ] ∧ - ( -B ∨ - C )} & -A c) A ∨ B C ∨ - ( -B ∨ -C ) d) [ A ∨ ( B ∧ C ) ] ∧ - A e) N.A. 20. La proposición: “Es mentira que la inflación es un indicador de pobreza a menos que la inflacion sea equivalente a un indicador poblacional”. Se formaliza como: a) ¬ (p ∨ q) b) ¬ (p ∨ q) c) ¬ (p ∨ q) ∨ r d) ¬ [ p & (q ∨ r) ] e) ¬ (p ∧ ¬ q) PRACTICA DE CLASE 01. ”Es mentira que, es falso que, las aves son reptiles ”. a) -p b) - [ -( p ) ] c) - (p) d) -p Λ q e) - - p Λ q 02. “Es imposible que, hay vida en Marte y en la Tierra no hay atmósfera a) p &-q b) -p & -q c) -p &q d) -(p & -q) e) - (p & q) 03. ”Los recursos naturales ni son agotables, ni son creados ”. a) -p ∨ -q b) -p / -q c) p ↓ q d) p / q e) -p ∨ q 04. ”La gravedad retiene a la atmósfera o a la parte sólida”. a) p ∨ q b) p c) p ∧ q d) -(p ∨ q) e) -p ∧ -q 05. ”Los vientos regulan la temperatu ra, sin embargo la temperatu ra es producida por el sol”. a) p ∨ q b) p ∧ q c) p ↓¬ q d) p &¬ q e) p ↓ q 07. ”Es mentira que, la Tierra no se está conta min a n d o o los gobernan tes no son indiferentes ”. a) -(p / q) b) -(p ∨ q) c) -(p ↓ q) d) p ∧ q e) -p ∨ -q 08. ”Es indiscutible que, Alfonso Ugarte fue precursor o revolucionario; sin embargo ni fue virrey ni fue cura”. a) ¬¬(p ∨ q) ∧ (r / s) b) ¬¬(p ∨ q) ∧ (r ↓ s) c) ¬¬(p ∨ q) ∧ (r ∧ s) d) ¬ (p ∨ q) ∨ (r ∨ s) e) ¬ ( p ∨ q) ∧ (r ↓ s) 09. ”Es mentira que, Tumbes pertenece a Ecuador así como Jaén no pertenece al Perú”. a) - p ∧ -q b) - (p ∨ - q) c) - (p ∧ - q) d) p ↓ q e) - (p / q) 10. ”El Japón produce materia prima y es falso que, el Japón no produce moderna tecnología a no ser que no produce materia prima ”. a) p ∧ - (q ∧ -r ) b) p ∧ (- q ∧ - r) c) p ∧ (- q ∨ - p) d) p ∧ - ( q ∧ - p) e) p ∧ - (- q ∧ p ) 11. ”El porvenir ha desarrollado la industria del calzado pero última m e n t e sufre la competen cia extranjera, alternativa m e n t e no aumentará la desocupación en Trujillo”. a) (p ∨ q) ∧ r b) (p ∧ q) ∨ - r c) (p ∧ q) ∧ - r d) (p ∨ q) ∧ p e) (p ∧ q) ∧ q 12. ”El parque auto mo to r no se satura o no se construye n más pistas, excepto que también el parque auto mo t or se satura del mismo modo la población no aumenta ” . a) (p / q) ∨ (p + -r) b) (p / q) ∨ (p ∧ -r) c) (p ↓ q) ∨ (p & -r) d) (p ∧ q) ∨ (p + r) e) (p ∨ q) ∨ (p & -r) 13. ”El río chica ma esta conta min a d o y bien o también contiene elemen tos químicos; pero no está conta mina d o de la mis ma forma que tiene abundante vida acuática ”. a) (p ∨ q) ∧ (- p ∧ r) b) (p ∨ q) ∧ (p + r) c) ( p ∨ q) ∧ (- p & r) d) (p ∧ q) ∨ (- p . r) e) (p ∨ q) ∧ (- p x r) 14. ”La Secundaria es aburrida excepto que también no se actualiza; sin embargo , se actualiza y no es aburrida, de la misma forma que el Perú no saldrá del subdesarrollo ”. a) (p ∨ ¬q) ∧ [(q ∧ ¬p) ∧ ¬ r] b) (p x ¬q) ∧ [(q ∧ ¬p) + r] c) (p • ¬q) ∧ [(q ∧ ¬p) & ¬ r] d) (p & q) ∧ [(p ∧ ¬q) • r] e) (p + ¬q) ∧ [(p ∧ q) x ¬ r] 15. La formalización de la proposición: “No es cierto que, el Perú no sea democrático y sea autoritario ”, es: a) ¬(A ∧ B) b) ¬¬ A ∧ B c) ¬(¬A ∧ B) d) ¬A ∧ ¬¬ B e) N.a.
  8. 8. 16. La proposición: “El descubri mie n t o de América fue conquista también avasalla mie n t o. No obstante los españoles practicaron el genocidio y la imposición cultural occidental ”, se formaliza: a) (A ∧ B) & ( C ∧ D) b) (C ∧ D) &¬ (A ∧ B) c) A & ¬B d) B & ¬A e) A &¬ (B ∧ C ) 17. La proposición: “No solamen te en el Perú se aplica la política neoliberal sino también en Argentina inclusive en Chile”, se simboliza: a) (- A ∧ -B ∧ C ) b) (A ∧ B & C ) c) (A ∧ B) d) –A ∨ B e) N.a.. 18. La proposición: “Es innegable que, Sócrates se ocupó de la definición no obstante Platón no logró desarrollar una lógica de modo siste má tico. Pero es inad misible que, Diodoro Crono sea megárico salvo que simultánea m e n t e sea estoico”, se formaliza como: a) ¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬(C ∨ D) b) ¬¬(A ∧¬ B) ∧ ¬ (C ∨ D) c) ¬(A ∧ ¬B) ∧ ¬(C ∨ D) d) ¬(A ∧ B ∧ C ∧ D) e) N.a. 19. La proposición: “La Luna no es un satélite del planeta Marte ”, queda formalizada de la siguiente manera: a) ¬ A ∧ B b) ¬ A c) ¬ A ∧ ¬ B d) A ∧ B e) N.a.. 20. La proposición: “Es absoluta m e n t e falso que el Perú sea un país no desarrollado; además que Japón sea potencia econó mica ”, queda formalizada de la siguiente manera: a) ¬ (¬A) ∧ B b) ¬ (A ∧ B) c) A & B d) A∨ B e) N.a. 21. “Chile y Argentina no son productores de coca ni de marihua na ” su correcta formalización es : a) - A ∧ - B b) - (A ∧ B) c) (- A ∧ - B) ∧ (- C ∧ - D) d) (- A ∧ - B) ∧ - C e) N. A. 22. La proposición: “Invariable m e n t e se da que los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, pero nunca los trabajadores protestan ”. Se formaliza como: a) A ∨ ∼ B b) ∼(∼A ∧ B) c) ∼ ∼ (∼A ∧ ∼ B) d) ∼A ∧ -B e) ∼(A ∧ B) 23. “ Sin excepción se da que una empresa persigue un fin lucrativo o en todo caso produce dividendos; salvo que también persiga un fin mercantil”. Se formaliza como: a) ∼∼(A & B) ∨ B b) ∼∼(A &B) • A c) ∼(B &A) ∨C d) ∼ ∼(A ∨ B) +C e) ∼∼(- A &B) • C 24.” En modo alguno se da que un juicio apodíctico es analítico, pero también es necesario y forzoso. De la mis ma manera usan lenguajes simbólicos ”. Se formaliza como: a) ∼[ ∼A ∨ (∼A ∧ B) ] & D b) ∼[ ∼A x (B ∧C) & D c) ∼[ ∼A + (B + C)] & D d) ∼[A ∧ (A ∧ B)] &D e) ∼[A ∧(B ∧ C)] & D 25. La proposición: “Tanto Perú como Ecuador no son potencias comerciales ”. Se formaliza: a) A ∧ B b) A ↓ B c) ∼ A ∨ ∼ B d) A & ∼B e) ∼A • B
  9. 9. LOS CONECTORES LÓGICOS – II IV. El Disyuntor Fuerte (Excluyente) A) Símbolos: A V B, A ⊕ B, A ∆ B, A ↔/ B, A ≡/ B B) Se lee: “ ....... o ....... “ (en sentido excluyente) “o ............ o ............ “ C) Forma de Identificarlo: Al exclusor o bidisyuntor se le identifica por que acepta una y solo una de las dos proposiciones, nunca ambas a la vez; es decir la compatibilidad queda excluida o descartada. Ejemplo: - Eres campeón o subcampeón: p v q - O estudias o trabajas: p v q Nota: Algunos disyuntores incluyentes pueden venir acompañados de las palabras: sólo, únicamente, solamente. Dando mayor fuerza al inclusor transformándola en exclusor Ejemplo. - Este año viajaré al extranjero salvo que sólo viaje a Lima: p v q - A menos que solamente seas Ingeniero, serás matemático: p v q El Disyuntor excluyente: A v B – A o B (sentido excluyente) – O bien A o bien B – O solo A o solo B – O A o B – A a menos que solamente B – A salvo que únicamente B – A excepto que sólo B – Amenos que sólo A, B – A o bien necesariamente B – A o exclusivamente B – A no es equivalente a B – A no es idéntico a B – Salvo que A o B – A no es lo mismo que B – A o tan solo B V. El Condicional A) Símbolos: A → B , A ⊃ B B) Se lee: “ Si .............. entonces ............. “ C) Forma de Identificarlo: Una proposición condicional se caracteriza porque presenta una causa y un efecto; las mismas que pueden estar en cualquier orden: La causa puede ir primero (Implicador) o tal vez puede ir en segunda instancia (replicador). hay inversión interna entonces mejorará nuestra economía . condición causa antecedente efecto consecuente condición ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ suficiente necesaria Si Nota: El sentido del operador lógico es de causa a efecto. Ejemplo: Siempre que llueva las cosechas: p → q (implicador). → ← Mejorarán las cosechas siempre que llueva: p ← q (replicador). entonces mejorarán El Implicador: A → B (Implicación Directa) – Si A entonces B – Siempre que A por consiguiente B – Ya que A bien se ve que B – Dado que A por eso B – En cuanto A por tanto B – Porque A por eso B – Como A es evidente B – a condición de que A , B – A de manera que B – A de modo que B – A es suficiente para B – A por lo tanto B – Cada vez que A,B – Con la condición de A esto trae consigo B – Cuando A , B – Es una condición suficiente A para B – Para A es necesario B – Porque A,B – Si A, B – Siempre que A por tanto B – Una condición necesaria para A es B – Con tal que A es obvio que B – Toda vez que A en consecuencia B – A consiguientemente B – Dado que A por lo cual B – En la medida que A de allí B – En virtud de que A entonces B – A implica a B – A es innecesario para B – A es condición suficiente para B – A sólo si B – A luego B – A trae como consecuencia a B – De A deviene B – Partiendo de A llegamos a B – De A inferimos, deducimos, coligamos B – Para A es condición necesaria B – A sólo cuando B – Es suficiente A y B necesario – En el caso que A en tal sentido B El Replicador: A ← B (implicación inversa) – Sólo si A, B – Sólo cuando A, B – Solamente porque A, B – A si B – A porque B – A dado que B – A ya que B – A siempre que B – A cada vez que B – A a condición de que B – Es una condición necesaria A para B – Una condición suficiente para A es B – Solo si A, B – A dado que B – A se concluye de B – A , si B – A supone que B – A ya que B – Para A es suficiente B – A puesto que B – A deviene de B – A es condición necesaria para B – A es insuficiente para B – Es necesario A para B – Es insuficiente A para B – A cada vez que B – A está implicado por B – A con la condición de que B – Si solamente A cada vez que B – A debido a que B – A depende de B – A sigue de B – Únicamente si A, B VI. El Bicondicional A) Símbolos: A ↔ B , A ≡ B , A ⇔ B. B) Se lee: “ .............. si y sólo si ............. “ C) Forma de Identificarlo: Este término de enlace no solo señala una consecuencia en doble sentido; sino también informa una equivalencia existente entre las dos proposiciones. Ejemplo: Los cuerpos chocan porque y solo porque existe una fuerza que los atrae: p ↔ q. El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore: p ≡ q. El Biimplicador: A ↔ B – A si y sólo si B – A por lo cual y según lo cual B – A cuando y sólo cuando B – A cada vez que y sólo si B – Si y sólo si A, B – A se define lógicamente como B – A si de la forma B – Porque y solamente porque A, B – Es suficiente A para que suficientemente B – Es necesario A para que necesariamente B – A es condición suficiente y necesaria para B – A siempre que y sólo cuando B – Siempre que A y siempre que B – A es equivalente a B – A es lo mismo que B – A es idéntico a B – A implica y está implicado por B El Inalternador: A ↓ B – Ni A ni B – No A y no B El Incompatibilizador: A / B – No A o no B EJERCICIOS RESUELTOS
  10. 10. 01. (UNT- 1995): La traducción correcta de la fórmula lógica: (A ∧ B ∧ C) → (D ∨ E) es: 1. Son músicos, cantores y escritores, sin embargo o ganan fama o ganan dinero. 2. La computadora es compatible con la impresora así como con el programa; entonces, el precio de venta es cómodo o financiable. 3. Cuando tenga dinero así pues, compraré el T.V. a color grande y potente. 4. Iré al cine aunque no tenga dinero, sin embrago haré un esfuerzo porque tengo que describir y explicar el argumento de la obra. 5. Ellos son actores, a menos que cantores. Si María canta, Liz baila y Juan recita. Son ciertas: a) 1, 2, 5 b) 2 y 5 c) solo 4 d) Todas e) N.A. 02. La proposición: “Sólo si los caracoles son moluscos, los calamares también lo son; a no ser que, los peces son vertebrados al igual que los batracios”. Se formaliza como: a) (p → q) ∨ (r ∧ s) b) (p → q) ∨ (r ∧ s) c) (p ← q) ∨ (r ∧ s) d) (p ← q) ∨ (r ∧ s) e) (p ↔ q) ∨ (r ∧ s) 03. La proposición: “Porque los gases al igual que los líquidos, no son dúctiles ni maleables respectivamente; obviamente tanto los gases como los líquidos tienen características diferentes”. Se formaliza: a) -p → q b) (-p ∧ -q) → r c) (-p ∧ -q) → (r ∨ s) d) (-p ∧ -q) → (r ∧ s) e) N.A. 04. La traducción INCORRECTA de la fórmula proposicional: (A ∧ B) ← C es: a) Estudio y trabajo porque soy responsable b) Estudio y trabajo si soy responsable. c) Sólo si estudio y trabajo, seré responsable. d) Estudiar y trabajar es condición necesaria para ser responsable. e) Estudiar y trabajar es condición suficiente para ser responsable 05. La proposición: “El cálculo mental es una disciplina intelectual salvo que solamente sea memoria retentiva”. Tiene la siguiente fórmula: a) (A v B) b) A ⊕ ∼B c) A ≡ B d) (A v B) e) (A → B) v C 06. “O bien el asma afecta a los pulmones o bien afecta al corazón; pero no es el caso que afecte al corazón del mismo modo a los pulmones”. Se formaliza: a) ( A ∨ B ) ∧ - ( B ∧ A ) b) ( A ∨ B ) ∧ ( A ∧ B ) c) ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ - B ) d) ( B ∧ A ) ∧ ( A ∨ - B ) e) ( A ∧ b ) ∨ ( A ∨ B ) 07. La proposición: “Es falso que sea indisciplinado y ocioso, porque estudio en la Universidad,Pero soy ocioso; en consecuencia nunca seré profesional”. Se formaliza como: a) {[(- -p ∧ q) ← r] ∧ q} → –s b) {[(- -p ∧ q) ← r] ∧ q} → s c) {[(- p ∧ q) ← r] ∧ q} → –s d) {[- ( -p ∧ q) ← r] ∧ q} → –s e) {[-(p ∧ q) ← r] ∧ q} → –s 08 La proposición: “Con tal que la inflación se controle es obvio que se reactivará la balanza comercial”. Se formaliza: a) A ↔ B b) A ∨ B c) A → B d) A ⊗ B e) N.A. 09. La proposición: “El que un cuerpo posea energía cinética esta implicado por el hecho de que está en movimiento, aunque un cuerpo en reposo no posee energía cinética”. Se formaliza como: a) (A → B) & ∼A b) (A ← B) & ∼C c) (A → B) → ∼A d) A (B & ∼ C) e) ← (B & -C) 10. La proposición: “Si un hombre es honrado, no tiene problemas personales. Este hombre no tiene problemas. En consecuencia, es honrado pero no tiene dinero. Se formaliza como: a) [(p → -q) ∧ -q] → (p ↔ -r) b) [(p → -q) ∧ -q] → (p ∧ -r) c) [(p → -q) ∧ -q] → (p ∧ -q) d) [(p → -q) ∨ -q] → (p ∧ -r) e) N. A. 11. La proposición: “Es suficiente que sea necesaria la matemática para la física, para que el conocimiento humano no quede estancado. Se formaliza: A) (p → q) ← ¬r B) p → q C) p → ¬q D) p → (¬q → r) E) p → ¬(q → r) 12. La proposición: “Si el pensamiento es análogo a la lógica, entonces la reflexión es análoga a la filosofía” se formaliza como: a) p b) p → q c) p & q d) –q → p e) q  p 13. La proposición: “El que una persona sea profesional es condición suficiente para que tenga ética profesional” se formaliza como: A) –p v q B) q v –p C) p → q D) –q → -p E) q  p 14. La proposición: “Es falso que si se administra teniendo en cuenta los principios directrices un negocio entonces este tiene muchas posibilidades de crecer en el futuro” se formaliza como: A) –p → q B) -q → p C) -(p v q) D) –(p → q) E) N.A. 15. La proposición “Que haya rozamiento en una maquinaria es una condición necesaria para que haya desprendimiento de energía” se formaliza como: A) -q → -p B) p → q C) p v –q D) p ← q E) N.A. 16. La proposición: “Todo cuerpo se dilata dado que fue expuesto al calor. Por tanto cambia de forma” se formaliza como: A) (p ← q) → r B) (p → q) → r C) (p ← q) ← r D) (p v –q) → r E) N.A. 17. La proposición: “Solamente si hay paz social, existe la justicia social” A) p → q B) –q → -p C) p ← q D) p v –q E) N.A. 18. La proposición: “Es falso que si Vallejo es poeta, entonces Arguedas lo es también” se formaliza como: A) ¬(p → q) B) ¬(p ← q) C) ¬p → q D) ¬p → ¬q E) N.A. 19. La proposición: “Los virus son alternados pero también son virulentos. Por tanto tienen una clasificación” se formaliza como: A) (p & q) ← r B) (p & q) → r C) (-p & q) ← r D) (- p & -q) ← r E) N.A. 20. La proposición: “Si la física, la química y la biología son ciencias naturales; la lógica, la psicología o la antropología son ciencias sociales”. Se formaliza como: a) (p ∧ q) → (r ∨ s) b) (p ∧ q ∧ r) → (s ∨ t ∨ u) c) A ← B d) (p ∨ q) → (r ∧ s) e) (p ∨ q ∨ r) → (s ∧ t ∧ u) PRACTICA DE CLASE 01. La proposición: “Es suficiente y necesario que un razonamiento sea válido, para que cumpla con las reglas de inferencia”. Se formaliza como: a) p ∨ q b) ¬ p ↔ q c) ¬ p ∨ q d) p ↔ ¬ q e) p ↔ q 02. La proposición: “O bien el principio de acción y reacción es de Newton o la teoría relativista es de Alberth Einstein”. Se formaliza como: a) p ∨ q b) (p ∧ q) ∨ r c) p ∨ q d) (p ∧ q) ∨ r e) N.A. 04. La proposición: “Todo programa de la televisión Norteamericana es alienante dado que inducen a consumir productos extranjeros” se formaliza: a) p → q b) q ∧ p c) p ← q d) p ↔ q e) q ↔ p 05. La proposición: “Madre de Dios es un departamento en una gran extensión territorial salvo que tan solo no pueda ser un departamento con muchos atractivos turísticos”. Se formaliza: a) p ∧ -q b) p ∨ q c) p ∆ -q d) p ∨-q e) -p ∆ -q
  11. 11. 06. La proposición: “El que la velocidad sea igual al espacio sobre el tiempo, es condición suficiente para que la velocidad ni está relacionada con la gravedad, ni con la aceleración”. Se formaliza: a) A ← (B ↓ C ) b) A ← (-B ↓ -C ) c) A → (-B / C ) d) A → (-B ↓ -C ) e) N.A. 07. La proposición: “El campeón del mundial de fútbol del 2006 será Alemania, Brasil o únicamente Argentina”. Se formaliza como: a) p ∨ q ∨ r b) (p ∧ q) ∨ r c) p ∨ q ∨ r d) (p → q) ∨ r e) (p ∧ q) ∨ r 08. La proposición: “Un producto es de calidad si y solo si satisface las necesidades del consumidor; y bien o también no es de bajo costo”. Se formaliza como: a) (A ↔ B) v ¬ C b) (A → B) ∧ ¬C c) (A ↔ B) ∧ ¬C d) (A ↔ B) v C e) N. A. 09. La proposición: “Si la física, la química y la biología son ciencias naturales; la lógica, la psicología o la antropología son ciencias sociales”. Se formaliza como: a) (p ∧ q) → (r ∨ s) b) (p ∧ q ∧ r) → (s ∨ t ∨ u) c) A ← B d) (p ∨ q) → (r ∧ s) e) (p ∨ q ∨ r) → (s ∧ t ∧ u) 10. La proposición: “El Perú es subdesarrollado porque la economía es deprimente. Además, los salarios aumentaran sólo si hay voluntad de dialogo del gobierno”. Se formaliza como: a) (p ← q) → (r → s) b) (p → q) ∧ (r ← s) c) (p → q) ∧ (r → s) d) (p ∧ q) ∧ (r → s) e) (p ← q) ∧ (r → s) 11. La proposición: “ Sin duda alguna se da que ; Kimberly , la muchacha de mi barrio, estudia en el colegio Integralclass ya que vive en la Urb. San Andrés ”, se formaliza: a) ∼∼(p∧q) ← r b) ∼p ∧ ∼∼(q←r) c) ∼∼(p ← q) d) ∼p ∧ ∼q e) ∼∼(p → q) 12. La proposición: “Ya que es totalmente falso que la bombilla eléctrica es un invento del siglo XV, es evidente que se inventó en el siglo XX” se formaliza: a) ¬(p ← q) b) ¬(p → q) c) p → ¬q d) ¬p → q e) ¬p ← ¬q 13. La proposición: “Es indudablemente falso que, Geraldine no sepa tocar el piano y que además no componga melodía; puesto que no es egresada del Instituto Nacional de Cultura”, se formaliza: a) ¬¬¬(¬p ∧ ¬q) ← r b) ¬(¬p ↓ ¬q) → r c) ¬(¬p ∧ q) ↔ ¬q d) ¬(p ∧ ¬q) ← q e) (¬p ∧ ¬q) ← p 14. La proposición: “Es inobjetable que, el Perú tenga crecimiento económico si de la forma se termine con la recesión. A menos que tan solo no haya inflación”, se formaliza como: a) ¬(p ∨ q) ∨ ¬r b) ¬(p ⁄ q) ∨ ¬r c) ¬(¬p ∨ q) ∨ r d) ¬¬(p ↔ q) ∨¬ r e) ¬(p ∨ q) → ¬r 15. La proposición: “Sin excepción se da que ,La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° es equipolente a la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero regular“, se formaliza como: A)¬¬(p ↔ q) B)¬¬ (p ≠ q) C) ¬¬(p → q) D) ¬¬(¬p ↔ ¬q) E) ¬¬(¬p ⊕ q) 16. La proposición: “El abogado no es justo ni competente, a condición de que es falso que no haya consultado con los peritos”, se formaliza: A) (¬p ∧¬q) → ¬r B) (¬p ∧¬q) ← ¬¬r C) (p ∧¬q) ← r D) (¬p ∧ q) ← ¬r E) (¬p∧¬q) ↔ ¬r 17. La proposición: “Invariablemente se da que ,un producto es de calidad si y únicamente si satisface las necesidades del consumidor ; y bien o también es mentira que sea de bajo costo”, se formaliza: a) ¬p ≡ ¬(q ∧ ¬r) b)¬¬( p ≡ q) ∨ ¬r c) ¬p ≡ ¬(q ∨ ¬r) d) ¬p ↔ (q ⁄ r) e) ¬p ← ¬(q ∨ ¬r) 18. La proposición lógica: “Es falso que ni un cuerpo se dilata ni se comprime, siempre que es falso que sea expuesto a bajas temperaturas”, se formaliza como: a) ¬(p ↓ q) → ¬r b) r → (p ↓ q) c) ¬(p ↓ q) ← ¬r d) r ← (p ↓ q) e) (¬p v ¬q) ↓ r 19. La proposición: “Es inobjetablemente falso que, para que consiga trabajo es una condición necesaria que sea profesional”, se formaliza: a) ∼ ∼ ∼(p→q) b) ∼ ∼ ∼(p ↔ q) c) ∼ ∼ (q←p) d) ∼ ∼ (p ← q) e) N.A. 20. La proposición: “Es inobjetable que ingresaré a la UNT solo si estudio concientemente”, se formaliza: a) p → q b) ¬ (p → q) c) ¬¬(p → q) d) p ← q e) ¬ ¬(p ← q) 21. La proposición: “Cuando la producción de una empresa aumenta, en consecuencia aumenta la productividad y en algunos casos la demanda”, se formaliza: a) p → (q ∧ r) b) p ∧ (q ∧ r) c) p ← (q ∧ r) d) (p ∧ q) ∧ r e) p ∧ (q ← r) 22. La proposición: “Para que Stefannia sea administrador de empresas es una condición suficiente que estudie en la universidad y se titule”, se formaliza: a) p ∧ (q ← r) b) p → (q ∧ r) c) p ← (q ∧ r) d) p ∧ q ∧ r e) p ← q 23. La proposición: “Así como los médicos son cirujanos, los abogados son notarios. No obstante yo estudiaré ingeniería dado que los empresarios no tienen mucho dinero”, se formaliza como: a) (p → q) ∧ (r ← ¬ s) b) (p ∧ q) ∧ ¬(r ←¬¬ s) c) (p ∧ q) ∧ (r ← ¬s) d) (p ∧ q) ∧ ¬(r ← ¬s) e) (p ∧ q) → ¬(r ← ¬s) 24. La proposición: “Los mitos al igual que las leyendas no son proposiciones lógicas, de ello se infiere entonces que sólo son oraciones literarias”. Su formalización es: a) (A ↔ B) ∧ (C → D) b) (A ∧ B) ∧ (C → D) c) (-A ∧ -B) ∧ (C → D) d) (-A ∧ -B) → (C → D) e) N.a. 25. La formalización de: “Si trae la caja blanca, traes la negra. Pero si traes la azul, traes la negra. Empero es no cierto que las tres juntas. Por lo tanto, traerás sólo una de las tres” es: a) (p → q) ∧ (r → p) → - (p ∧ q ∧ r) → (p ∨ q∨ r ) b) [ (p →q) ∧ ( r → q) ] ∧ - (p ∧ q∧ r ) → (p ∧ q∧r) c) {[(p → q) ∧ (r → q)] ∧ -(p∧ q∧ r)} →(p∨ q∨ r) d) ( p → q → r ) ∧ ( p ∧ q∧ r ) → ( p ∨ q ∨ r ) e) N.A.

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