libro fisica 1

FISICA I
versión 1
Autor : Luis Rodríguez Valencia1
DEPARTAMENTO DE FISICA
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
23 de marzo de 2012
1email: luis.rodriguez@usach.cl

Contenidos
Prólogo IX
0.0.1. Consejos para estudiar y para las pruebas . . . . . . . x
1. Introducción a la Física 1
1.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Modelos del Cosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Modelo de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Nicholas Copernicus (1473-1543). Modelo de Copérnico 4
1.2.3. Mejores modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4. Johannes Kepler (1571-1630) . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6. Contribución de Galileo (1564 - 1642) . . . . . . . . . . 10
1.2.7. Sir Isaac Newton (1642-1727). La unificación de la Fí-
sica y la Astronomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. La difusión del método científico . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. La edad clásica de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. El método científico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1. Desarrollo de la teoría gravitacional . . . . . . . . . . . 20
1.5.2. Ley inversa al cuadrado de la distancia . . . . . . . . . 24
1.5.3. Cuerpos en órbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.5. Peso y masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.6. Interacción entre los cuerpos celestiales . . . . . . . . . 27
1.5.7. Medidas absolutas de la gravedad . . . . . . . . . . . . 29
1.5.8. Datos actuales de las órbitas planetarias . . . . . . . . 30
1.6. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1. Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IV CONTENIDOS
1.6.2. Valor verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Cifras signiﬁcativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8. Estandarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.1. Unidades SI base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2. Unidades SI suplementarias . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.3. Unidades SI derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9. Las unidades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.1. Noción física de las Unidades . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Vectores 53
2.1. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Sistema cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Sistema esférico de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.3. Sistema cilíndrico de coordenadas . . . . . . . . . . . . 55
2.2.4. Sistema polar de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.5. Relaciones entre las coordenadas . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Desplazamientos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3. Magnitud de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.4. Multiplicación de un vector por un escalar . . . . . . . 60
2.4.5. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.6. Vectores unitarios cartesianos . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.7. Componentes cartesianas de un vector . . . . . . . . . 60
2.4.8. Vector nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.9. Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.10. Producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.11. Proyección de un vector en una dirección . . . . . . . . 62
2.4.12. Conmutatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.13. La distributividad del producto escalar respecto a la
suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.14. Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . 63
2.4.15. Distributividad del producto cruz respecto a la suma . 64
2.4.16. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.17. Algunas operaciones en términos de las componentes . 66

CONTENIDOS V
2.4.18. Relación con geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.19. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.20. Ecuación de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.21. Volumen de un paralelepipedo . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.22. Ángulo que forman dos vectores a, b . . . . . . . . . . 71
2.5. Más sobre sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.1. Sistema cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.2. Sistema esférico de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.3. Sistema cilíndrico de coordenadas . . . . . . . . . . . . 73
2.5.4. Sistema polar de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.5. Relaciones entre los vectores unitarios . . . . . . . . . . 73
2.5.6. Componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6. De actualidad (No incluido en el, programa) . . . . . . . . . . 75
2.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3. Fuerzas 97
3.1. Las Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1. Fuerza de acción a distancia . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2. Fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.3. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1.4. Unidades de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2. Tipos de fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1. Fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.2. Fuerza de roce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.3. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.4. Superﬁcies lisas o sin roce . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.1. Línea de acción y punto de aplicación . . . . . . . . . . 102
3.3.2. Fuerzas concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.3. Par de Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.4. Llave de torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.5. Fuerzas no concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.6. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.1. Cuerpos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5. Centroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5.1. Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VI CONTENIDOS
3.5.2. Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.3. Semi disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.4. Cuarto de disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.5. Combinación de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6. Resultante de fuerzas paralelas de igual magnitud . . . . . . . 111
3.6.1. Centro de Fuerzas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6.2. Versión simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.3. Coordenadas del centro de fuerzas . . . . . . . . . . . . 114
3.6.4. Centro de fuerzas distribuidas paralelas . . . . . . . . . 115
3.7. Trabajar con componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.7.1. Eje torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.8. De actualidad (no pertenece al programa) . . . . . . . . . . . 123
3.8.1. Fuerzas ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4. Fuerzas y equilibrio 137
4.1. Condiciones de equilibrio. Leyes de la estática . . . . . . . . . 138
4.1.1. Equilibrio de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.2. De un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1.3. Cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.4. La fuerza de roce estática . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.5. Fuerzas causadas por ciertos soportes . . . . . . . . . . 141
4.1.6. Cuerpos estáticamente indeterminados . . . . . . . . . 143
4.1.7. Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.8. Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5. Hidrostática 191
5.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2. Concepto de Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2.1. Unidades de Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.2. Propiedades de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.3. Densidad o masa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.3.1. Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4. Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.5. Presión atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.6. Variación de la presión con la profundidad . . . . . . . . . . . 196

CONTENIDOS VII
5.7. Medidores de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.7.1. Barómetro de mercurio en U . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.7.2. Manómetro en U de líquido, para presiones relativas
de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.8. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.9. Fuerza de Flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.9.1. Cuerpo totalmente sumergido . . . . . . . . . . . . . . 202
5.9.2. Cuerpo parcialmente sumergido . . . . . . . . . . . . . 202
5.9.3. Estabilidad de un cuerpo prismático inhomogéneo . . . 203
5.10. Fuerzas sobre las paredes o compuertas . . . . . . . . . . . . . 204
5.10.1. Superficie rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.10.2. Superficie de forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . . 208
5.11. Fuerza sobre una superficie de forma rectangular inclinada . . 209
5.11.1. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.12. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6. Apéndice 231
6.1. Opcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1.1. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1.2. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.1.3. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1.4. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.2.1. Ecuación diferencial lineal, homogénea, con coeficien-
tes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.2.2. Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.2.3. Identidades útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.3.1. Movimiento general del sistema . . . . . . . . . . . . . 241
6.3.2. Transformación de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Prólogo
Este texto tiene el propósito de iniciarlos en una ciencia: la Física que nos
muestra una maravillosa relación establecida entre la naturaleza y el ingenio
del cerebro humano.
Veremos cómo, a partir de observaciones y experimentos sencillos, se con-
sigue estructurar una teoría sólida que da cuenta de fenómenos de la natu-
raleza, algunos observables a simple vista y otros fuera del alcance de los
sentidos.
La Física siempre ha estado, está y estará formando parte de nuestro
entorno. A través de ella es posible predecir lo qué sucederá con el Universo
y, además, nos da señales que permiten vislumbrar cómo comenzó todo.
Desde Aristóteles (384-322aC) hasta nuestros días los cientíﬁcos aportan
sus trabajos para beneﬁcio de la humanidad, interactuando para el progreso
de la Ciencia y de la Tecnología. Por ejemplo, avances en la Física contribuyen
al progreso de las Ciencias de la Ingeniería, y éstas, a su vez, dan soporte
técnico a la Medicina, mejorando la calidad de vida del hombre.
Este trabajo está dedicado a jóvenes deseosos de aprender, mediante la
comprensión, razonamiento y deducción, a partir de los conceptos fundamen-
tales y las leyes de la Física.

X Prólogo
Este texto, para el primer semestre de Ingeniería, se presenta en la misma
secuencia que ha sido programado el curso de Física I. Los requerimientos de
Matemáticas necesarios para su desarrollo serán presentados de manera gra-
dual según las necesidades del curso. Se comienza con una introducción, que
creemos necesaria, para tener una comprensión de los esfuerzos realizados en
el pasado para alcanzar el grado actual del conocimiento. De manera pro-
gresiva se hace indispensable la adquisición de más elementos matemáticos,
que son, en algunos casos aportados por el texto. En otros, se darán las de-
mostraciones como una ilustración. De cualquier forma queremos enfatizar el
hecho, no discutido, de que las Matemáticas son el lenguaje y la herramienta
fundamental de la Física.
Se han hecho importantes esfuerzos por el grupo de colaboradores para
minimizar los errores de cualquier índole, pero esa es una tarea interminable,
de manera que nos será muy grato considerar las críticas de los estudiantes
y colegas que deseen utilizar este texto.
Esta es la primera edición del texto qus se usará (eso esperamos) durante
el año 2012. Se han hecho diversos cambios a las versiones anteriores aplicada
a los cursos anuales los años 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008,
2009, 2010 y 2011 en el desarrollo del curso de Física Anual para Ingenie-
ría Civil. Estos cambios son el resultado de la experiencia acumulada en la
aplicación práctica de este texto. Por ejemplo varios tópicos, cuyo desarrollo
no es estrictamente necesario, fueron pasados a un apéndice. Se agregó un
apéndice matemático opcional que incluye diversos tópicos que ayudarán a la
comprensión del curso, se han agregado problemas y reordenados de acuerdo
a su temática. Una versión en formato PDF es colocada en la página WEB
del curso. Todos los problemas del texto están resueltos.
0.0.1. Consejos para estudiar y para las pruebas
¤ En general en las pruebas de este curso se pide resolver problemas.
¤ Luego haga problemas. El nivel de los problemas de las pruebas corres-
ponden a los de menor complejidad matemática.
¤ En el desarrollo de las pruebas haga ﬁguras de un buen tamaño. Un
tercio de la hoja por lo menos.

XI
¤ Defina en su figura todas las letras que representen alguna propiedad
física que se usará en el desarrollo del problema.
¤ Explique su desarrollo. No basta colocar una secuencia de ecuaciones.
Ellas deben estar ligadas por palabras o frases tales como: por lo tanto,
se deduce de allí que, de ahí se calcula, etcétera.
¤ Sea ordenado. Si los problemas tienen partes (a), (b), (c), etcétera.
Explique claramente cual parte está resolviendo.
¤ Si usa lápiz grafito, procure que su calidad sea tal que se pueda leer
con claridad.
¤ Los resultados indíquelos con lápiz pasta, caso contrario no podrá re-
clamar de la corrección.
¤ En cada prueba se aceptarán reclamos que se justifiquen, es decir usted
deberá indicar por escrito las razones de su reclamo.
A pesar que hay pautas de corrección, en ellas se indican solamente los
máximos por item. Si usted tiene errores, cada profesor corrector juzgará
cuánto del máximo usted merece y en ello no hay reclamo. Este proceso de
corrección tiene algo de subjetividad y la claridad de su desarrollo puede
influir positivamente en su resultado.

Capítulo 1
Introducción a la Física
1.1. Historia
Aristóteles (384 aC, 322 aC) más que cualquier otro pensador, determi-
nó el pensamiento occidental hasta finales del siglo 17 y aún después de la
revolución científica, los conceptos e ideas Aristotélicas han permanecido en
el pensamiento occidental.
Aristóteles pensaba que las substancias que constituían la Tierra eran
diferentes de las substancias existentes en los Cielos. El también creía que la
dinámica, la rama de la Física que describe los movimientos, estaba deter-
minada esencialmente por la naturaleza de la substancia que se movía. Así,
limitándonos a lo esencial, Aristóteles tenía la creencia de que una piedra caía
hacia el suelo porque piedra y suelo eran substancias similares. En términos
de los cuatro elementos básicos, la piedra era esencialmente “tierra”. De la
misma forma el humo se elevaba porque era principalmente “aire” (y algo
de “fuego”) y por lo tanto el humo deseaba estar cerca del “aire ”y lejos de
la “tierra” y del “agua”. Por similares argumentos él pensaba que los cielos
estaban formados por la más perfecta de las substancias, la quinta esencia,
la cual poseía por su naturaleza la tendencia de efectuar un movimiento per-
fecto, es decir circular. El también pensaba que los objetos en la Tierra se
movían mientras fueran empujados, de modo que ellos se detenían apenas
se eliminaban las fuerzas aplicadas. Esta concepción causaba problemas, por
ejemplo era dificil explicar porqué una flecha lanzada mediante un arco, con-
tinuaba volando aún después de que la cuerda terminaba su contacto con la

2 Introducción a la Física
flecha. Algunas explicaciones fueron esbozadas, por ejemplo que la flecha en
su vuelo producía un vacío detrás. El aire se precipitaba en ese vacío empu-
jando además a la flecha. Esto es un esbozo de lo que eran las creencias antes
del desarrollo del método científico.
Una de principales cuestiones que origina el desarrollo de la ciencia y del
método científico es la explicación del movimiento de los objetos que se ven
en el Cielo. Hoy día, producto de una enorme cantidad de observaciones,
las cosas parecen estar claras. Sin embargo antes la información disponible
era muy escasa. Excepto quizás por estimaciones sobre la Luna y el Sol,
los hombres de antes no tenían idea de las distancias y de los tamaños de
los objetos celestiales. No debería causar extrañeza entonces que los Griegos
apoyaron la idea, con mucho sentido común, de que la tierra debería estar
estacionaria (en reposo), y en base a esa hipótesis había que diseñar un
método para predecir las posiciones de los astros. La versión final de este
modelo fue diseñada por Ptolomeo de Alejandría, modelo que es conocido en
nuestros tiempos como el modelo de Ptolomeo.
1.2. Modelos del Cosmos
1.2.1. Modelo de Ptolomeo
Claudio Ptolomeo, Klaudios Ptolemaios; (Tolemaida, Tebaida, c. 100 —
Cánope, c. 170). Astrónomo, químico, geógrafo y matemático greco-egipcio,
llamado comúnmente en español Ptolomeo (o Tolomeo). El llamado modelo
de Ptolomeo era un intrincado modelo, donde la Tierra permanecía en re-
poso en su centro, mientras los otros objetos del Cielo se movían en torno
a la Tierra, en círculos o combinaciones de movimientos circulares, la única
curva perfecta para los griegos y por lo tanto la única posible. Todo esto
estaba encerrado por una gigantesca esfera de cristal sobre la cual están las
estrellas fijas, esfera que daría una vuelta completa por día. Así por ejem-
plo, un planeta describía un pequeño círculo en torno a un punto que a su
vez describía un círculo mayor en torno a la Tierra. La figura, de la época,
lamentablemente no muy clara, muestra esquemáticamente ese modelo.
Así se podían explicar satisfactoriamente para los datos disponibles en
ese tiempo, como los planetas tenían velocidades variables incluso invirtien-
do su movimiento. Entonces era posible hacer cálculos hacia el futuro o hacia
el pasado, coincidiendo con las observaciones acumuladas durante cientos de

1.2 Modelos del Cosmos 3
Figura 1.1:
años. Este modelo tuvo vigencia durante alrededor de 1400 años, un gran
periodo de tiempo comparado con la rapidez de los cambios actuales. Esto
no debe considerarse una aceptación ciega de una hipótesis. Ella descansaba
en las comprobaciones experimentales de sus predicciones. De hecho fue ne-
cesario un reﬁnamiento de las técnicas de observación para detectar fallas en
el modelo de Ptolomeo. En este aspecto fue fundamental el trabajo obser-
vacional realizado por Tycho Brahe, astrónomo danés (Dic. 14, 1546,— Oct.
24, 1601), cuyo trabajo en el desarrollo de instrumentos astronómicos y en
las determinaciones de las posiciones de los astros fue crucial.
Figura 1.2: Tycho Brahe
Tycho Brahe fue el más grande de los observadores en astronomía antes

de la invención del telescopio. Bajo el auspicio del rey de Dinamarca él cons-
truyó y operó el observatorio de Uraniborg, que constaba de innumerables
instrumentos de su propio diseño. La precisión de diez minutos de arco desde
Ptolomeo, fue reducida en Uraniborg a un minuto de arco. En particular,
Brahe recopiló extensos datos sobre la órbita de Marte, que más tarde pro-
baría ser cruciales para la formulación de las leyes correctas del movimiento
de los planetas por parte de Kepler.
Las críticas al modelo de Ptolomeo las inició Copérnico, quien puso de
manifiesto las discrepancias del modelo con la observación, discrepancias no
muy grandes pero que debían ser justificadas.
1.2.2. Nicholas Copernicus (1473-1543). Modelo de Co-
pérnico
Debido a las diferencias observadas entre las posiciones observadas de los
astros y las predichas por el modelo de Ptolomeo, cabían dos posibilidades,
hacer correcciones a las órbitas del modelo de Ptolomeo haciéndolas más in-
trincadas, o adoptar otro modelo. Nicholas Copernicus en su primer libro,
establece que el Sol es el centro del Universo y que la Tierra tiene un movi-
miento triple en torno a ese centro, esto es una rotación diaria en torno a su
centro, un movimiento anual en torno al Sol, y un movimiento cónico de su
eje de rotación. Su teoría fue capaz de dar una explicación simple y elegante
del movimiento retrógrado de los planetas. Además se explica el movimien-
to aparente del Sol entre las estrellas debido al movimiento de la Tierra.
Copérnico sin embargo mantuvo el rol privilegiado del movimiento circular
de modo que tuvo que construir sus órbitas planetarias mediante círculos.
Sus resultados numéricos sin embargo fueron solo levemente mejores que los
existentes. El movimiento aparente de los planetas, en particular el movi-
miento retrógrado, se explica con simplicidad como lo ilustra la figura que
sigue. Las proporciones del dibujo son aproximadas considerando los radios
de las órbitas de Marte y de la Tierra y la validez de la ley de Kepler de los
periodos que se explica más adelante. Ambos planetas se mueven en torno al
Sol, hacia el Este, pero la tierra al tener un radio menor en su órbita, lo hace
más rapidamente. De manera que cuando la Tierra está entre Marte y el Sol,
Marte aparenta retroceder hacia el Oeste. Esto continua hasta que la Tierra
se aleje y Marte se verá nuevamente moviéndose en su sentido normal.

Orbita tierra
Orbita de Marte
Orbita aparente de Marte
En la figura se explica como el planeta Marte se ve avanzar o a veces
retroceder sobre el fondo de las estrellas fijas. A pesar de la simplicidad del
modelo, Copérnico encontró que las posiciones predichas con su modelo para
los astros no eran significativamente mejores que las predichas por el modelo
de Ptolomeo.
1.2.3. Mejores modelos
Aquí nos encontramos frente a dos hipótesis que daban cuenta más o me-
nos igual de los hechos observados. Las creencias imperantes en aquellos días,
sobre todo ideas religiosas, favorecían la hipótesis de una tierra en reposo,
ocupando el lugar central en el Universo. Además la Mecánica Clásica no es-
taba lo suficientemente desarrollada como para contestar muchas preguntas.
Entonces ocurrió que las mediciones por si solas no permitieron diluci-
dar entre los dos modelos, de Copérnico y de Ptolomeo. Tycho insistía en
una Tierra inmóvil. Tycho también cuestionó la doctrina Aristotélica de per-
fección celestial, cuando, en los años 1570, un cometa y una nueva estrella

aparecieron. Tycho mostró que ambos estaban sobre la esfera de la Luna.
Quizás las críticas más serias fueron las hechas por Galileo, después de su
invención del telescopio. Galileo Galilei (1564 - 1642) hizo notables contribu-
ciones al desarrollo del método cientíﬁco, en particular a la descripción del
movimiento de los cuerpos y a la comprensión del Universo.
En una rápida sucesión de acontecimientos, Galileo anunció que había
montañas en la Luna, satélites que rodean Júpiter, y manchas en el Sol.
Es más, que la Vía Láctea está compuesta de innumerables estrellas cuya
existencia nadie había sospechado hasta que Galileo las observó. Aquí la
crítica golpeaba las raíces mismas del sistema Aristotélico del mundo.
Al mismo tiempo que Galileo investigaba los cielos con su telescopio, en
Alemania Johannes Kepler estaba investigándolo con su mente. La ﬁgura
muestra el telescopio de Galileo.
Figura 1.3:
Las observaciones muy precisas de Tycho le permitieron a Kepler des-
cubrir que Marte y los otros planetas, no se movían en círculos sino que
describiendo elipses, con el Sol en uno de sus focos. El cosmos de Kepler
era anti-Aristotélico, y quizás por ello él escribió sus descubrimientos en pro-
sa latina casi indescifrable en una serie de trabajos que no tuvieron mucha
circulación.
1.2.4. Johannes Kepler (1571-1630)
El siguiente paso en la historia de la astronomía fue debido a la intuición
teórica de Johannes Kepler, un astrónomo Alemán quien fue a Praga como
asistente de Brahe durante los años 1599-1601. Kepler y Brahe no se llevaban
bien. Al parecer Brahe pensaba que Kepler podría eclipsarlo de ser el más
grande de los astrónomos de esos días, por lo cual sólo le permitió a Kepler

examinar parte de su enorme caudal de datos observacionales. El le propuso
a Kepler la tarea de entender la órbita de Marte que parecía muy complicada,
con la esperanza de que gastara su tiempo en eso, permitiéndole a él trabajar
en su teoría del sistema Solar.
Como una ironía, fueron los datos de la órbita de Marte los que le permi-
tieron a Kepler formular las leyes correctas del movimiento de los planetas,
sobrepasando lejos los logros de Brahe.
En retrospectiva la razón de que la órbita de Marte pareciera tan compli-
cada fue que Copérnico colocaba el Sol en el centro del sistema solar, pues
había errado en su creencia de que las órbitas de los planetas eran círculos.
Kepler pudo ﬁnalmente concluir que las órbitas de los planetas no eran los
círculos exigidos por Aristóteles, sino que curvas que los geómetras llaman
elipses. Sin embargo las órbitas son apenas elípticas, y para los datos dispo-
nibles en ese tiempo, era precisamente la órbita de Marte quien mostraba ser
más elíptica.
1.2.5. Las leyes de Kepler
Los descubrimientos de Kepler, basados en las observaciones realizadas
por Ticho Brahe, pueden resumirse en tres hechos, conocidos hoy en día como
las tres leyes de Kepler:
Cada planeta se mueve en una órbita elíptica en torno del Sol, el cual
ocupa uno de sus focos (F1).
Sol
Planeta
F1
F2
La línea que conecta el Sol con cada planeta, barre áreas iguales en in-
tervalos iguales de tiempo. Esto es A1 = A2 si los intervalos de tiempo

transcurridos son iguales.
Sol
Planeta
A2
A1
Los cuadrados de los tiempos requeridos por cada planeta para dar
una vuelta completa en torno al Sol, son proporcionales al cubo de
su distancia promedio al Sol. Esta ley será establecida en forma más
precisa más adelante.
Figura 1.4: Johanes Kepler
Como veremos uno de los mayores triunfos de Newton fue explicar de
manera teórica, mediante sus leyes, las leyes de Kepler.
Lo que Galileo y Kepler no podían explicar, aunque lo intentaron, eran
respuestas a las preguntas Aristotélicas como las siguientes: ¿ Si la Tierra
gira en torno de su eje, entonces por qué no salen volando los objetos? ¿Y
qué hace que los objetos dejados caer de lo alto de las torres no se desvíen
hacia el Oeste dado que la tierra gira debajo de ellos? ¿Y cómo es posible
que la Tierra, en espacio vacío, viaje en torno del Sol—ya sea en círculos o en

elipses—sin algo que la empuje? Las mejores respuestas vinieron de parte de
Galileo, quién analizó los problemas de la rotación de la Tierra y su revolu-
ción mediante análisis lógico. Los cuerpos no salen volando la Tierra porque
la tierra no gira demasiado rápido, así los cuerpos, tienen una tendencia pe-
queña a salir volando. Los cuerpos dejados caer desde las torres, caen a la
base de ellas porque ellos (antes de ser soltados) comparten con la torre la
rotación de la Tierra. Asimismo Galileo dedujo lo que acontece cuando otro
movimiento se agrega. Así Galileo dedujo que una pelota dejada caer de la
cima de un mástil de una nave en movimiento caería directamente a la base
del mástil. Si la pelota fuera permitida a seguir sin roce en vuelo horizontal,
continuaría moviéndose para siempre. De hecho Galileo concluyó que los pla-
netas, una vez puestos en movimiento circular, continuarían así para siempre.
Por consiguiente, las órbitas circulares de Copérnico existen. Galileo nunca
aceptó las elipses de Kepler; hacerlo habría significado abandonar su solución
al problema de Copérnico.
Kepler comprendió que había un problema real con el movimiento plane-
tario. Él buscó resolverlo mediante la existencia de alguna fuerza que parecía
ser cósmica en naturaleza, en su creencia el magnetismo.
La Tierra había sido descrita como un gigantesco imán por William Gil-
bert en 1600. Kepler se aferró a ese hecho. Una fuerza magnética, dijo Kepler,
emanó del Sol y empujó los planetas alrededor en sus órbitas, pero él nunca
pudo cuantificar esta idea bastante vaga y poco satisfactoria.
A finales del primer cuarto del siglo 17 el pensamiento Aristotélico sobre
el cosmos estaba rápidamente teniendo fin, pero no aparecía ningún sistema
satisfactorio para ocupar su lugar. Como resultado existía escepticismo: “La
nueva filosofía pone todo en duda”. Era esta situación la que favoreció el
desarrollo de las ideas de René Descartes.
La materia y movimiento fueron tomados por Descartes para explicar
todos los procesos naturales por medio de los modelos mecánicos, aunque
él advirtió que tales modelos probablemente no eran la naturaleza misma.
Ellos proporcionan meramente “las historias probables”, cuestión qué parecía
mejor que ninguna explicación en absoluto.
Armado con materia y movimiento, Descartes atacó los problemas del sis-
tema de Copérnico. Cuerpos una vez en movimiento, Descartes argumentó,
permanecen en movimiento en una línea recta a menos que y hasta que ellos
se desvíen de esta línea por el impacto de otro cuerpo. Todo cambio de un
movimiento es el resultado de cosas que impactan. La pelota soltada desde lo
alto de un mástil, cae al pie del mástil porque, a menos que sea golpeado por

otro cuerpo, continúa moviéndose con la nave. Los planetas se mueven alre-
dedor del Sol porque ellos son desviados por una materia sutil que llena todo
el espacio (¿qué será eso?). Podían así construirse modelos similares para
considerar todos los fenómenos; el sistema Aristotélico podría ser reempla-
zado por el Cartesiano. Existía sin embargo un problema mayor, y eso bastó
para derrumbar al Cartesianismo en esos tiempos. La materia Cartesiana y
movimiento no tenían ningún propósito. Ni la ﬁlosofía de Descartes parecía
necesitar la participación activa de una deidad. El cosmos Cartesiano, como
lo dijo Voltaire después, era como un reloj al cual le habían dado cuerda en
la creación y que continuaba haciendo tictac por siempre.
1.2.6. Contribución de Galileo (1564 - 1642)
Además de las contribuciones ya señaladas, Galileo Galilei (1564 - 1642)
en su libro “Dos nuevas Ciencias” establece sus ideas sobre los cuerpos que
caen y en general sobre el movimiento de los proyectiles. Sus ideas son pre-
sentadas como un diálogo entre tres personajes Salviati, Sagredo y Simplicio.
El punto de vista oﬁcial de la Iglesia, esto es las ideas Aristotélicas son de-
fendidas por Simplicio y en general demolidas por los otros.
Galileo prosigue dando un detallado análisis de la caída de los cuerpos.
El comprende que en la caída de objetos muy livianos, la resistencia del aire
tiene un gran efecto, mientras que para cuerpos pesados eso causa un efecto
leve.
Movimientos acelerados
Habiendo establecido experimentalmente que los cuerpos pesados caen
prácticamente de la misma manera, el analiza la pregunta central, no tocada
por Aristóteles ¿cómo varía la velocidad durante la caída? El problema, en
esos tiempos, es que la caída es demasiado rápida como para hacer observa-
ciones. El movimiento debería ser de alguna manera hecho más lento. Galileo
sugiere la más simple de las hipótesis, un cuerpo al caer acelera uniforme-
mente, es decir gana iguales cantidades de velocidad en iguales intervalos
de tiempo. Esta es sin duda un hipótesis simple, pero debía ser establecida
experimentalmente.

El experimento de Galileo
Para hacer la caída más lenta, Galileo utilizó una tabla de madera colo-
cada inclinada respecto a la horizontal, con una canal muy pulida donde se
colocaba una esfera muy pulida de bronce, la cual se permitía caer rodando
por la canal. El tiempo tomado por la esfera para recorrer cierta distancia
fueron determinados utilizando un reloj de agua. Este consiste en un recipien-
te con agua colocado en una posición elevada, con un pequeño tubito soldado
en su fondo, con un pequeño diámetro dando un chorrito de agua durante el
tiempo de caída, cantidad de agua que era posteriormente determinada en
una balanza. Las razones entre los pesos de agua dan las razones entre los
tiempos de bajada. Galileo encontró que los espacios recorridos eran unos a
otros como los cuadrados de los tiempos transcurridos.
Δd
3Δd
5Δd
0 Δt
2Δt
3Δt
De hecho él marcó las distancias recorridas por la esfera en iguales interva-
los de tiempo ∆t contados desde la partida encontrando que las distancias
crecían en la proporción
1 : 3 : 5 : 7 : · · ·
Para mayores inclinaciones del plano, las distancias recorridas en esos mis-
mos intervalos de tiempos resultaron mayores, pero que estaban en esa misma
razón. Un análisis matemático puede hacerse. Si llamamos x(t) la distancia
recorrida en un tiempo t desde la partida, ∆t el intervalo de tiempo conside-
rado, ∆d la primera distancia recorrida entonces tenemos
x(0) = 0
x(∆t) − x(0) = ∆d,
x(2∆t) − x(∆t) = 3∆d,
x(3∆t) − x(2∆t) = 5∆d,
· · ·
x(n∆t) − x((n − 1)∆t) = (2n − 1)∆d.

Si estos resultados los sumamos, lado a lado, obtenemos
x(n∆t) = (1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1))∆d,
pero la suma de los impares es conocida
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
,
de modo que
x(n∆t) = n2
∆d.
Por último, si llamamos al tiempo transcurrido después de n intervalos t =
n∆t tenemos
x(t) =
∆d
(∆t)2
t2
,
es decir el espacio recorrido varía con el cuadrado del tiempo transcurrido.
Esto puede parecer trivial hoy día, pero esto es la primera constatación expe-
rimental de un movimiento que no es uniforme en el tiempo. Si la velocidad
de bajada en el tramo n del recorrido se deﬁne como la razón entre el espacio
recorrido y el tiempo transcurrido, esto es
vn =
x(n∆t) − x((n − 1)∆t)
∆t
,
esta resulta ser
vn =
n2
∆d − (n − 1)2
∆d
∆t
,
vn = (2n − 1)
∆d
∆t
,
de aquí se deduce que el incremento de velocidad será
vn+1 − vn = 2
∆d
∆t
,
y si se llama aceleración a al cambio de velocidad por unidad de tiempo, esto
es
a =
vn+1 − vn
∆t
,
este es
a = 2
∆d
(∆t)2
,

por lo tanto, las expresiones anteriores pueden resumirse en
x(t) =
∆d
(∆t)2
t2
=
1
2
at2
,
v(t) = (2n − 1)
∆d
∆t
' 2n
∆d
∆t
= 2
∆d
(∆t)2
t = at
y Galileo concluye que en este tipo de movimiento, la velocidad se incre-
menta en la misma proporción en que se incrementa el tiempo, en lenguaje
moderno que varía linealmente con el tiempo. Estos conceptos serán mucho
más claros cuando se tenga claro el concepto de derivada. Los conceptos de
velocidad y aceleración en el instante t, denominados velocidad y aceleración
instantáneos, se definirán más adelante con ayuda de un cierto proceso límite
llamado la derivada.
1.2.7. Sir Isaac Newton (1642-1727). La unificación de
la Física y la Astronomía
El siglo 17 era un tiempo de intenso sentimiento religioso, y en ninguna
parte era ese sentimiento más intenso que en Gran Bretaña. Allí un hom-
bre joven devoto, Isaac Newton, finalmente sienta las bases de la Mecánica
Clásica.
Figura 1.5: Isaac Newton
Newton era a la vez un experimentalista y un genio matemático, una com-
binación que le permitió defender el sistema de Copérnico mediante “unas

nuevas mecánicas”. Su método era simplemente: “de los fenómenos de los mo-
vimientos investigar las fuerzas naturales, y entonces de estas fuerzas deducir
otros fenómenos del movimiento”. El genio de Newton lo guió en la elección
de fenómenos a ser investigados, y la creación de una herramienta matemática
fundamental—el cálculo (simultáneamente inventado por Gottfried Leibniz).
El resultado fue su gigantesca obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathe-
matica (Principios Matemáticos de Filosofía Natural, normalmente llamados
Principia simplemente que aparecieron en 1687.
Aquí se asentaban unas nuevas físicas que aplicaron igualmente bien a
los cuerpos terrestres y a los celestiales. Copérnico, Kepler, y Galileo eran
todos justiﬁcados por el análisis de Newton de las fuerzas. Descartes fue
absolutamente derrotado.
Así con sus tres leyes (de Newton) de movimiento y su principio de gra-
vitación universal le bastó a Newton para explicar el nuevo cosmos. Newton
creyó sin embargo que eso era con la ayuda de Dios. La Gravedad, es ac-
ción divina directa, como lo son todas las fuerzas. El espacio absoluto, para
Newton, era esencial, porque el espacio era el “el sensorium de Dios”, y la
morada divina la cual, necesariamente, debe ser el último sistema de coorde-
nadas. (Estas ideas muestran con claridad que Newton formuló sus leyes de
la Mecánica en un sistema privilegiado de referencia, sistemas que hoy en día
se conocen como “Sistemas inerciales de Referencia”.) Finalmente, el análisis
de Newton de las perturbaciones mutuas de los planetas causado por sus
campos gravitacionales individuales lo hicieron predecir el derrumbamiento
natural del sistema solar, a menos que Dios actuara para corregir las cosas.
La gran síntesis de Newton
Kepler propuso sus tres leyes del movimiento de los planetas basándose en
las regularidades que encontró en los datos de Brahe. Estas leyes se suponía
aplicaban sólo al movimiento de los planetas, no teniendo relación alguna con
otros movimientos en el Universo. Además eran completamente empíricas,
ellas daban buenos resultados, pero nadie sabía la razón de porqué ellas
funcionaban.
Newton cambió todo eso. Primero él demostró que los movimientos de
todos los cuerpos podían ser descritos mediante tres leyes. Más detalles se
indicarán en el capítulo de Dinámica, pero las enunciaremos de todos modos
en esta introducción, para partículas de masa constante.

I Ley 1.1 (Primera.)
Un cuerpo que no está sometido a fuerzas permanece en reposo o se mueve
con velocidad constante.
Como veremos así formulada esta ley no puede ser correcta. El concepto
movimiento y por lo tanto el de velocidad es relativo, es decir es necesario
especificar el sistema de referencia que se ha usado para enunciar la primera
ley. Esto es si la primera ley es válida en algún sistema de referencia, dejará de
serlo respecto a un sistema de referencia que acelera respecto al primero. La
solución que se ha dado a este problema es ponerle un nombre a los sistemas
de referencia donde la primera ley es válida. Se llaman sistemas inerciales de
referencia
I Ley 1.2 ((Segunda))
La aceleración que experimenta un cuerpo (en un sistema inercial de referen-
cia) es la fuerza aplicada dividida por la masa
a =
F
m
. (1.1)
I Ley 1.3 ((Tercera))
La fuerza de acción de un cuerpo sobre otro es igual y contraria a la fuerza
de reacción del segundo sobre el primero.
Además enunció la ley de gravitación universal. Un poco más adelante se
indican los antecedentes que le permiten a Newton descubrirla.
I Ley 1.4 ((Gravitación))
la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos
F = G
m1m2
d2
. (1.2)
Luego pudo demostrar que las tres leyes de Kepler se deducen de sus
leyes cuando la fuerza es la fuerza gravitacional. Los detalles de este proceso
se explicarán en el capítulo de dinámica de sistemas de partículas.
Esta ley constituye una de las primeras unificaciones que ocurren en Físi-
ca, lo que ocurre en la Tierra, caida de piedras, es gobernado por la misma ley
que explica el movimiento de los astros en el Cielo. Sin embargo así formu-
lada, requiere que esa acción a distancia se propage con velocidad infinita.
Si cambia la distancia, la fuerza gravitacional entre dos cuerpo cambiaría

en forma instantánea independientemente de la distancia entre ellos. Al-
bert Einstein a comienzos del siglo 20 logró contruir una nueva teoría de
la Gravitación, llamada Teoría de la Relatividad General, donde el efecto
gravitacional se propaga justamente a la misma velocidad que tiene la luz.
1.3. La difusión del método científico
La publicación del Principia marca la culminación del movimiento inicia-
do por Copérnico y, como tal, siempre ha perdurado como el símbolo de la
revolución científica.
Existían, sin embargo, críticas similares en otros ámbitos del conocimiento
natural. En el mismo año que Newton publicaba su gran volumen, aparecía
un libro igualmente importante en anatomía. Andreas Vesalius “Del fabrica
de corporis de humani ” (“En el Tejido del Cuerpo Humano”, llamó el Del
fabrica), aparece un examen crítico de la anatomía de Galeno en la que
Vesalius utilizó sus propios estudios para corregir muchos de los errores de
Galeno.
Vesalius, como Newton, puso énfasis en los fenómenos observados, es de-
cir, la descripción exacta de hechos naturales. Esto culminó con el descubri-
miento de la circulación de la sangre por William Harvey cuyo trabajo fue
publicado como “Exercitatio Anatomica De Motu el et de Cordis Sanguinis
en Animalibus” (Un Ejercicio Anatómico Acerca del Movimiento del Corazón
y Sangre en Animales ) .
Éste era como el Principia en fisiología donde se estableció la anatomía
y la fisiología como ciencias con derecho propio. Harvey mostró que esos
fenómenos orgánicos podrían estudiarse experimentalmente y que algunos
procesos orgánicos podían reducirse a sistemas mecánicos. El corazón y el
sistema vascular podrían ser considerados como una bomba y un sistema de
cañerías y que podían entenderse sin recurrir a espíritus u otras fuerzas no
susceptibles al análisis.
En otras ciencias el esfuerzo por sistematizar no tuvo tanto éxito. En
química, por ejemplo, el trabajo de los alquimistas modernos medievales ha-
bían conducido a nuevas substancias importantes y procesos, como los ácidos
minerales y destilación, pero presentaron sus teorías en un lenguaje místico
casi incomprensible. Robert Boyle en Inglaterra intentó disipar la maleza in-
telectual insistiendo en las descripciones claras, en la reproducibilidad de los
experimentos, y concepciones mecánicas de los procesos químicos. La quími-

1.3 La difusión del método científico 17
ca, sin embargo, no estaba todavía madura para la revolución.
Nuevos instrumentos como el microscopio y el telescopio multiplicaron
los mundos con los que el hombre tenía que ver. Los viajes por el Mundo
devolvieron un diluvio de nuevos especímenes botánicos y zoológicos que
agobiaron esquemas clasificadores antiguos. Lo mejor que podía hacerse era
describir estas cosas nuevas con precisión y esperar que algún día alguien
pudiera ajustarlas de una manera coherente.
El diluvio creciente de información puso tensiones pesadas en las institu-
ciones viejas y tradicionales. La información tuvo que ser extendida amplia
y rápidamente. Ni el genio aislado de Newton pudo comprender un mundo
en el que la nueva información estaba produciéndose más rápidamente de lo
que cualquier persona podía asimilar. Los filósofos naturales tenían que estar
seguros de sus datos, y con ese fin requirieron la confirmación independiente
y crítica de sus descubrimientos. Se crearon nuevos medios para lograr estos
fines. Las sociedades científicas empiezan en Italia en los primeros años del
siglo 17 y culminan en las dos grandes sociedades científicas nacionales que
marcan el cenit de la revolución científica: la Sociedad Real de Londres para
la Promoción de Conocimiento Natural, creado por carta constitucional real
en 1662, y las Académie des Ciencias de París, formadas en 1666.
En estas sociedades y otras como ellas por el mundo, los filósofos natura-
les podrían discutir, y podrían criticar nuevos descubrimientos y las teorías
antiguas. Para mantener una base firme en estas discusiones, las sociedades
empezaron a publicar trabajos científicos (papers). Las Transacciones Filo-
sóficas de la Sociedad Real que empezaron como una aventura privada de
su secretaria fueron el primer periódico científico profesional. Fue copiado
pronto por el Mémoires de la academia francesa que ganó igual importan-
cia y prestigio. La antigua práctica de ocultar los nuevos descubrimientos en
jerga común, el idioma oscuro, o incluso los anagramas gradualmente dieron
lugar al ideal de comprensión universal. Se inventaron nuevos cánones para
informar y para que los experimentos y descubrimientos pudieran ser repro-
ducidos por otros. Esto requirió nueva precisión en el idioma o lenguaje para
compartir métodos experimentales u observacionales. El fracaso de otros para
reproducir resultados lanzaba serias dudas en los informes originales. Así se
crearon las herramientas para un ataque frontal a los secretos de naturaleza.
Incluso con la revolución científica comenzando, faltaba aún mucho por
hacer. De nuevo, fue Newton quien mostró la manera. El Principia bastaba
para el mundo macroscópico. Las tres leyes de Newton de movimiento y el
principio de gravitación universal eran todo lo necesario para analizar las

relaciones mecánicas de cuerpos ordinarios, y el cálculo como la herramienta
matemática esencial. Para el mundo microscópico, Newton proporcionó dos
métodos.
Primero, donde las leyes simples de acción ya habían sido determinadas
de la observación, como la relación de volumen y presión de un gas (la ley de
Boyle, pv = k ), Newton supuso fuerzas entre partículas que le permitieron
derivar esa ley.
Él usó estas fuerzas entonces para predecir otros fenómenos, en este caso
la velocidad del sonido en el aire la cual podía medirse y contrastarse con la
predicción.
Segundo, el método de Newton hizo posible el descubrimiento de que las
leyes de acción del mundo macroscópico. podrían considerarse como el efec-
to de fuerzas microscópicas. Aquí el trabajo terminal de Newton no está en
el Principia sino en su obra maestra de físicas experimentales, el Opticks,
publicado en 1704 en los que él mostró cómo examinar un asunto experimen-
talmente y descubrir las leyes del fenómeno.
Newton mostró como el uso juicioso de una hipótesis puede llevar más allá
la investigación experimental hasta que una teoría coherente fuese lograda. El
Opticks fue el modelo en los siglos 18 y comienzos del 19 para la investigación
del calor, la electricidad, el magnetismo, y los fenómenos químicos.
1.3.1. La edad clásica de la Ciencia
Como consecuencia de que el Principia precedió al Opticks, la mecánica
tuvo más desarrollo que otras ciencias en el siglo 18, que en este proceso se
transformó de una rama de la física en una rama de la matemáticas.
Se redujeron muchos problemas de la física a problemas matemáticos, que
mostraron su ductibilidad de ser resueltos por métodos analíticos cada vez
más sofisticados. El matemático suizo Leonhard Euler fue uno de los obreros
más fecundos y prolíficos en matemática y en la física matemática. Su desa-
rrollo del cálculo de variaciones, una herramienta muy poderosa, le permitió
tratar problemas muy complejos. En Francia, Jean Le de Rond Alembert y
Joseph-Louis Lagrange tuvieron éxito en reducir los problemas de la mecá-
nica a un sistema axiomático que requiere sólo manipulación matemática.
La base de la Mecánica de Newton era su congruencia con la realidad
física. Al principio del siglo 18 ella se expuso a muchas pruebas rigurosas.
El toque final al edificio de Newton fue proporcionado por Pierre-Simon,
marqués de Laplace cuyo “Traité hábil del celeste del mécanique” (1798-

1.4 El método científico 19
1827; las Mecánicas Celestiales) sistematizó todo lo que se había hecho en
mecánicas celestiales bajo la inspiración de Newton.
Laplace fue más allá de Newton, en sus creencias, mostrando que las
perturbaciones de las órbitas planetarias causadas por las interacciones de
gravitación planetaria son de hecho periódicas y que el sistema solar es, por
consiguiente, estable, no requiriendo ninguna intervención divina para evitar
su colapso. Esta afirmación puede sin embargo ser discutida hoy en día con el
desarrollo de la teoría de los sistemas dinámicos donde se han abierto nuevas
dudas en el asunto de la estabilidad del sistema Solar.
1.4. El método científico
En términos modernos, el método científico puede resumirse en un proceso
que consta de los siguientes pasos o etapas
1 Observe aspectos del Universo que sean de su interés como investigador.
2 Invente o idee alguna descripción tentativa de los hechos observados,
cuestión llamada una hipótesis, que sea consistente con todo lo que
usted ha observado.
3 Utilice la hipótesis para efectuar predicciones de fenómenos nuevos en
el ámbito de los fenómenos descritos.
4 Contraste esas predicciones mediante nuevos experimentos o mediante
nuevas observaciones, y redefina su hipótesis a la luz de los nuevos
resultados.
5 Repita los pasos 3 y 4 hasta que no existan discrepancias entre su teoría
o hipótesis y los experimentos u observaciones.
Cuando se logre consistencia entre la hipótesis y los resultados, la hipóte-
sis adquiere el rango de teoría científica la cual provee un conjunto coherente
de proposiciones que explican una cierta clase de fenómeno durante un cierto
periodo de tiempo. Una teoría es entonces un artefacto mediante el cual se
explican observaciones y se pueden hacer predicciones.
Normalmente, cuando una teoría se ha desarrollado, eventualmente sur-
gen hechos nuevos que son contradictorios con la teoría. En estos casos, se
puede y se han seguido dos caminos. La teoría se puede seguir usando pero en

un ámbito restringido, que no incluye cierto tipo de fenómenos o situaciones
donde ella muestra fallas. O, se construye una nueva teoría más amplia donde
ese nuevo fenómeno queda incluido y explicado satisfactoriamente.
Un ejemplo lo constituye la Mecánica de Newton que mostró fallas en
dos ámbitos, en el mundo atómico y en el ámbito de velocidades muy altas,
cercanas a la velocidad de la luz. Esa teoría se puede usar y se usa con gran
éxito, sin entrar en esos dos ámbitos. También se han desarrollado teoría que
son utilizables en esos ámbitos, donde la mecánica clásica falla. La Mecánica
Cuántica y la Mecánica relativista.
Una gran ventaja del método científico está en la ausencia de prejuicios.
Un investigador no tiene necesariamente que creer a otros. Los experimentos
pueden ser repetidos y así determinar si los resultados son verdaderos o falsos,
independientemente de creencias religiosas o de prejuicios existentes. Una
teoría científica es adoptada o descartada sin consideración al prestigio del
proponente o a su poder de persuasión.
Al estudiar el cosmos, no es posible realizar experimentos directamente,
toda la información se obtiene mediante la observación.
Una crítica frecuente que se hace a los científicos y en consecuencia al mé-
todo científico es que muchas cosas que se creían imposibles en el pasado son
hoy en día realidades. Esta crítica está basada en una mala interpretación del
método científico. Cuando una hipótesis pasa el test de su comprobación ex-
perimental, entonces ella se adopta como la teoría que explica correctamente
los fenómenos observados. Sin embargo, cuando se explora un nuevo rango
de fenómenos se utiliza la teoría existente pero se tiene siempre en mente que
la teoría puede fallar al intentar explicar nuevos fenómenos. En estos casos,
nuevas hipótesis son hechas hasta que emerge una nueva teoría.
1.5. Gravitación
1.5.1. Desarrollo de la teoría gravitacional
Hasta los hallazgos de Newton, no se comprendió que el movimiento de
los cuerpos celestiales y la caída libre de objetos en la Tierra eran deter-
minados por la misma fuerza. Los filósofos griegos clásicos, por ejemplo, no
creían que los cuerpos celestiales podían ser afectados de algún modo, puesto
que ellos parecían perpetuamente seguir trayectorias sin caerse del cielo. Por
esa misma razón, Aristóteles pensaba que cada cuerpo celeste sigue un ca-

1.5 Gravitación 21
mino “natural” en su movimiento. Asimismo creía que los objetos materiales
terrenales poseen una tendencia natural a acercarse al centro de la Tierra.
Tres leyes de Kepler
1 Los planetas describen órbitas elípticas en las cuales el Sol el cual ocupa
uno de sus focos.
2 La línea que une un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos igua-
les.
3 El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al
cubo de su distancia media al Sol. Una expresión moderna de esta ley
es
T2
=
4π2
GM
R3
, (1.3)
siendo G la constante de gravitación Universal, M la masa del Sol, y
R la distancia media al Sol.
La aceleración de gravedad
Desde los estudios de Galileo, se acepta que los objetos en las vecindades
de la superficie terrestre, caen con la misma aceleración, llamada aceleración
de gravedad que tiene un valor aproximadamente
g = 9,8 m s−2
(1.4)
Por otro lado, Newton descubrió una sorprendente relación entre el movi-
miento de la Luna (¿influenciada por la Tierra?) y el movimiento de cualquier
cuerpo que cae sobre la Tierra. Primero que nada, mediante métodos pura-
mente matemáticos y geométricos, el descubrió que un cuerpo que recorre
una órbita circular de radio R en un tiempo ( período) T, está acelerado
hacia el centro de la circunferencia con una magnitud igual a:
a =
4π2
T2
R. (1.5)
De hecho, es posible obtener lo anterior por métodos puramente geomé-
tricos. En efecto considere la figura

s = Vt
r
h
P2P1
P2 '
Cuando el cuerpo pasa de P1 a P 0
2 el cuerpo ha caído, respecto a la trayecto-
ria rectilínea, la distancia h que puede calcularse geométricamente mediante
el teorema de Pitágoras. En efecto h + r es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, luego
h + r =
√
r2 + v2t2.
En lo que sigue, están los ingredientes fundamentales del llamado análisis
diferencial. Si el tiempo es cero, naturalmente h resulta cero. Si el tiempo es
muy pequeño (pero no cero) podemos aproximar
h = r
r
1 +
v2t2
r2
− r ≈ r
µ
1 +
v2
t2
2r2
¶
− r
=
1
2
v2
r
t2
.
Expresión que nos indica que, para tiempos pequeños, la Luna cae con ace-
leración de magnitud
a =
v2
r
y como la rapidez es
v =
2πr
T
,
se obtiene el resultado de Newton. Esto ocurre en cada punto de la órbita
circular.

1.5 Gravitación 23
Para Newton esta aceleración debería ser causada por una fuerza. Así
supuso la presencia de una fuerza atractiva entre todos los cuerpos materiales,
una fuerza que no requiere contacto directo y que actúa a distancia. Haciendo
uso de la ley de inercia es decir que los cuerpos no sometidos a fuerzas siguen
con velocidad constante en una línea recta, Newton concluyó que una fuerza
ejercida por la Tierra sobre la Luna es necesaria para que su movimiento
sea circular en torno a la Tierra. Él comprendió que esta fuerza debería ser,
considerando las proporciones, igual que la fuerza con la que la Tierra atrae
a objetos sobre su superficie. La expresión anterior permite determinar la
aceleración de caída de la Luna, esto es como el experimento de Galileo para
piedras, pero con un objeto muchísimo más lejos.
Newton analizó el movimiento de la Luna la que tiene un periodo de
T = 27,3 días (casi un mes) y una órbita de radio aproximadamente igual a
RL = 384, 000 kilómetros (aproximadamente 60 radios de la Tierra RT ). De
este modo la aceleración de la Luna en su órbita es (dirigida hacia la Tierra)
de magnitud
a =
v2
RL
=
(2πRL
T
)2
RL
=
4π2
RL
T2
=
4π2
3,84 × 108
(27,3 × 24 × 3600)2
= 0,00272 m s−2
,
mucho menor que la encontrada por Galileo para cuerpos cayendo cerca
de la superficie terrestre. La genialidad de Newton consiste en entender la
manera en que la distancia influye. Considere la razón entre la aceleración
de caida de la Luna a que está a distancia RL del centro de la Tierra, con la
aceleración de una piedra g a distancia RT del centro de la Tierra
a
g
=
0,00272
9,8
= 0,000 277
que sorprendentemente resulta (casi) igual a
(RT /RL)2
= (1/60)2
= 0,000 277
Cuando Newton descubrió que la aceleración de la Luna en su órbita es
(1/60)2
= 1/3600 veces más pequeña que la aceleración en la superficie de
la Tierra, él tuvo la genial idea de suponer que la fuerza, llamada fuerza
gravitatoria, entre dos cuerpos disminuye como el inverso del cuadrado de la
distancia entre los cuerpos. Así, si la distancia entre los cuerpos se dobla, se
reduce la fuerza en ellos en cuatro veces. Un resultado que requiere suponer
que la masa de la Tierra actúa gravitacionalmente en sus alrededores como
que si su masa se concentrara en el centro del planeta.

1.5.2. Ley inversa al cuadrado de la distancia
Es también posible deducir la ley inversa al cuadrado de la distancia,
de acuerdo a la tercera ley de Kepler. En efecto si en la expresión de la
aceleración para un cuerpo en órbita circular de radio R
a =
v2
R
=
4π2
R
T2
,
y se reemplaza el periodo de acuerdo a la tercera ley de Kepler
T2
= kR3
se obtiene
a =
4π2
R
kR3
=
4π2
kR2
.
O sea la aceleración y por lo tanto la fuerza, varía con el inverso del cua-
drado de la distancia. Newton también dedujo que las fuerzas gravitacionales
entre los cuerpos deberían ser proporcionales a las masas de los cuerpos. Da-
do que un cuerpo de masa M que experimenta una fuerza F acelera a razón
F/M, una fuerza proporcional a M sería consistente con la observaciones de
Galileo de que todos los cuerpos, independientemente de su masa, aceleran
bajo la gravedad terrestre con la misma magnitud. Así y en forma resumida
la teoría gravitacional de Newton establece que
F12 = G
m1m2
(r12)2
, (1.6)
donde F12 es la magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa entre las los
cuerpos de masas m1 y m2 separadas una distancia r12. “La fuerza iguala
el producto de estas masas y de G, una constante universal, dividida por el
cuadrado de la distancia”. Su teoría gravitatoria permitió explicar las leyes de
Kepler y estableció la ciencia cuantitativa moderna de la gravitación. Tiene,
como se explicó antes el defecto que es de acción instantánea. O sea que si la
distancia cambia, la fuerza gravitacional cambia instantáneamente, aunque
los cuerpos se encuentren a una enorme distancia,.
Hoy se acepta que la constante de gravitación universal G tiene en el
sistema SI, que se explica más adelante, el valor
G = 6,67259 × 10−11
m3
kg−1
s−2
, (1.7)

1.5 Gravitación 25
y la fuerza gravitacional actúa en la dirección de la línea que une los dos
cuerpos.
Una expresión más simple, permite calcular la aceleración en la superficie
en Tierra, la llamada aceleración de gravedad. Sea MT la masa de la tierra
y RT su radio, la aceleración descendente de un cuerpo en la superficie es
g =
GMT
R2
T
.
De aquí puede deducirse una expresión aproximada para la aceleración de
gravedad a una altura h sobre la superficie terrestre, pequeña comparada
con el radio terrestre:
g(h) =
GMT
(RT + h)2
(1.8)
≈ G
MT
R2
T
+
µ
−2G
MT
R3
T
¶
h
= g(0)(1 −
2h
RT
).
Nota 1.1 Las matemáticas nos informan que (1 + x)p
≈ 1 + px, cuando |x|
es mucho menor que 1. Esto justifica el resultado anterior.
1.5.3. Cuerpos en órbita circular
De acuerdo a lo establecido por Newton la aceleración de un cuerpo en
movimiento circular de radio R, periodo T y rapidez v está dada por
a =
4π2
R
T2
=
v2
R
,
y por otro lado su ley de gravitación Universal establece que la fuerza res-
ponsable de esa aceleración es
F12 = G
m1m2
(r12)2
,
entonces si el cuerpo de masa m está en órbita alrededor de la Tierra de masa
MT su segunda ley conduce a
m
v2
R
= G
mMT
R2
,

o sea el cuerpo debe tener una rapidez dada por
v =
r
GMT
R
. (1.9)
Como se verá más adelante, la ley de Gravitación universal cuando se aplica
al movimiento de dos cuerpos que se atraen gravitacionalmente, conduce a
tres posibles trayectorias u órbitas relativas entre los dos cuerpos. Ellas son
elipses, de las cuales la circunferencia es un caso particular, hipérbolas y
parábolas. Más adelante, en Física II, se verá la solución al problema de las
órbitas relativas de dos cuerpos con atracción gravitacional.
1.5.4. Velocidad de escape
Si se lanza un objeto hacia arriba, no demasiado rápido, el cuerpo vuelve
a caer. Si se lanza más rápido puede no volver. Un objeto lanzado hacia
arriba desde la superficie de un planeta, despreciando el efecto del roce con
la atmósfera, no regresa de caída si la velocidad excede el valor denominado
velocidad de escape que puede ser determinado mediante
ve =
r
2GM
R
, (1.10)
siendo M la masa del planeta, R su radio y G la constante de gravitación.
La fórmula anterior es también válida para lanzamientos desde cualquier
altura y será demostrada en el capítulo de sistemas de partículas del siguiente
curso. Desde la superficie de la Tierra ese valor resulta ve = 11,18 km s−1
=
40248,0 km h−1
. Desde la superficie de la Luna resulta mucho menor ve =
2,4 km s−1
= 8640 km h−1
. Debemos mencionar también que si un cuerpo
tiene la velocidad de escape respecto a la Tierra esa no es suficiente para
escapar de la atracción gravitacional del Sol. Este resultado aplica además
para un objeto lanzado desde cualquier altura, siendo en este último caso R
la distancia desde el centro de la Tierra al punto de lanzamiento.
1.5.5. Peso y masa
El peso W del cuerpo es definido por la fuerza igual y opuesta necesaria
para prevenir la aceleración descendente del cuerpo. El mismo cuerpo puesto
en la superficie de la Luna tiene la misma masa, pero, como la Luna tiene

1.5 Gravitación 27
una masa de aproximadamente 1/81 veces el de la Tierra y un radio de
aproximadamente 0,27 el de la Tierra, el cuerpo en la superﬁcie lunar tiene
un peso de sólo 1/6 su peso de Tierra.
Newton pudo demostrar que las tres leyes de Kepler, se desprenden ma-
temáticamente del uso de sus propias leyes de movimiento y de la ley de
gravitación. Estos aspectos serán tratados en el capítulo de sistemas de par-
tículas. En todas las observaciones del movimiento de un cuerpo celestial,
sólo el producto de G y la masa M aparece. Newton estimó la magnitud
de G suponiendo la densidad de masa de promedio de la Tierra alrededor
de 5,5 veces la del agua lo que permite estimar la masa de la Tierra MT .
Finalmente calculó G mediante
G =
gR2
T
MT
obteniendo un valor cercano a 6,6726 × 10−11
.
Usando las observaciones del movimiento de las lunas de Júpiter descu-
biertas por Galileo, Newton determinó que Júpiter es 318 veces más masivo
que la Tierra pero tiene sólo 1/4 de su densidad y un radio 11 veces más
grande que la Tierra.
1.5.6. Interacción entre los cuerpos celestiales
Cuando dos cuerpos celestiales de masas comparables se atraen gravita-
cionalmente, ambos orbitan con respecto al centro de masa de los dos cuerpos.
Ese punto queda entre los cuerpos en la línea que los une en una posición tal
que las distancias a cada cuerpo multiplicadas por la masa de cada cuerpo
son iguales. En fórmulas
R1 =
M2
M1 + M2
R,
R2 =
M1
M1 + M2
R,

R1
R2
R
M2
M1
CM
Así, la Tierra y el Sol están orbitando en torno a su centro común de masa
CM. Con leves modiﬁcaciones las leyes de Kepler son válidas para los sis-
temas de dos cuerpos de masas estando el foco de las órbitas elípticas en la
posición del centro de masa de los dos cuerpos. Más adelante en el capítulo 8
se encontrarán todas las posibles órbitas. Por ahora consideremos sólo órbitas
circulares. Cada cuerpo cumple con la segunda ley de Newton, es decir
M1a1 = M1
v2
1
R1
= G
M1M2
R2
,
M2a2 = M2
v2
2
R2
= G
M1M2
R2
,
de donde como las velocidades son
v1 =
2πR1
T1
, v2 =
2πR2
T2
,
se obtiene
4π2
R1
T2
= G
M2
R2
,
4π2
R2
T2
= G
M1
R2
.
Si las sumamos considerando que R = R1 +R2 resulta la llamada tercera ley
de Kepler
R3
=
G(M1 + M2)
4π2
T2
. (1.11)

1.5 Gravitación 29
Esto es, el cuadrado del periodo T es proporcional al cubo de la distan-
cia R entre los centros de los dos cuerpos. Esta fórmula puede usarse para
determinar las masas separadas de estrellas binarias. La fórmula anterior de-
termina la suma de las masas y si R1 y R2 son las distancias de las estrellas
individuales del centro de masa, entonces
M1R1 = M2R2
y la suma de las distancias es la distancia total R. Estas relaciones son sufi-
cientes para determinar las masas individuales. Las observaciones del movi-
miento orbital de las estrellas dobles, del movimiento dinámico de estrellas
que mueven colectivamente dentro de sus galaxias, y del movimiento de las
galaxias, verifican que la ley de Newton de gravitación es válida, con un alto
grado de exactitud a lo largo y ancho del universo visible.
Newton también explicó las mareas del océano, fenómenos que envolvieron
en misterio a los pensadores durante siglos, y que son una simple consecuencia
de la ley universal de gravitación. Ellas son causadas específicamente por la
fuerza gravitatoria de la Luna y, en menor grado, del Sol sobre las aguas.
Ya era conocido en tiempos de Newton que la Luna no tiene una órbita
Kepleriana simple. Otras observaciones más exactas sobre los planetas tam-
bién mostraron diferencias con las leyes de Kepler. El movimiento de la Luna
es particularmente complejo. Además, la atracción gravitatoria de los plane-
tas explica casi todos los rasgos de sus movimientos. Las excepciones son no
obstante importantes. Urano, el séptimo planeta del Sol, manifestó impor-
tantes variaciones en su movimiento que no podían ser explicadas mediante
perturbaciones de Saturno, Júpiter, y de los otros planetas. Dos astrónomos
del siglo 19, John Couch Adams de Bretaña y Urbain-Jean-Joseph Le Verrier
de Francia, supusieron independientemente la presencia de un octavo planeta
inadvertido que podría producir las diferencias observadas. Ellos calcularon
su posición dentro de una precisión de un grado de donde se descubrió Nep-
tuno más tarde en 1846.
1.5.7. Medidas absolutas de la gravedad
Hay dos maneras básicas de determinación de la gravedad: cronometrando
el caída libre de un objeto y cronometrando el periodo del movimiento de un

péndulo bajo la gravedad , el cual para oscilaciones pequeñas está dado por
T = 2π
s
L
g
. (1.12)
En 1817 el físico inglés Henry Kater construye y fue el primero en usar
un péndulo reversible para hacer medidas absolutas de g.(Péndulo de Kater)
El péndulo reversible se usó para las medidas absolutas de gravedad desde
los tiempos de Kater hasta los años cincuenta. Los instrumentos electrónicos
les han permitido a los investigadores medir con mucha precisión el tiempo
de caída libre. También es posible hacer medidas sumamente exactas que
usan interferencia láser. Por consiguiente, las medidas directas de caída libre
han reemplazado el péndulo para las medidas absolutas de gravedad. Hoy día
los lasers sirven como fuentes luminosas para los interferómetros. El objeto
que cae reﬂeja un haz de luz láser. Se han usado versiones transportables de
tal aparato para medir diferencias de gravedad en toda Tierra. La exactitud
alcanzable en estas medidas es aproximadamente una parte en 108
.
1.5.8. Datos actuales de las órbitas planetarias
Hoy se conocen bastante bien las características de los planetas y de sus
órbitas, para lo cual se presenta la tabla siguiente con algunos datos útiles
de algunos de ellos:
Mercurio Venus Tierra
Distancia al Sol,
semi eje mayor km
57909175 108208930 149597890
Periodo orbital,
años terrestres
0,24084445 0,61518257 0,9997862
Masa kg 0,33022 × 1024
4,8690 × 1024
5,9742 × 1024
y para los más alejados
Marte Júpiter Saturno
Distancia al Sol,
semi eje mayor km
227936640 778412020 1426725400
Periodo orbital,
años terrestres
1,88071105 11,85652502 29,42351935
Masa kg 0,64191 × 1024
1898,7 × 1024
568,51 × 1024

1.6 Unidades 31
1.6. Unidades
1.6.1. Medición
El tema de las mediciones en Física es uno de los aspectos centrales del
método científico. Cualquier medición involucra primero que nada la defini-
ción de la propiedad física a ser medida y en segundo lugar involucra una
comparación (por algún método bien definido) con una propiedad física co-
nocida del mismo tipo, la unidad de medida. El proceso termina arrojando
un número para la propiedad física que está siendo medida, más alguna esti-
mación del error cometido. El error se define como la diferencia entre el valor
medido y el valor verdadero, hipotético valor que posee la cantidad física.
El proceso de medición siempre involucra algún intercambio de energía
entre el observador o el instrumento, con el objeto que está siendo medido.
En muchos casos eso produce un efecto despreciable sobre la determinación
realizada, pero en otros casos produce un efecto no despreciable que limita
la acuciosidad del valor logrado, sobre todo a nivel del mundo microscópico.
1.6.2. Valor verdadero
Los errores en las mediciones están bien definidos, aunque sean desco-
nocidos, cuando el valor verdadero de la propiedad física que está siendo
medida existe. Este punto no está absolutamente claro, pero se cree que hay
ciertas cantidades físicas que tienen valor verdadero. Por ejemplo la carga
del electrón o del protón. La masa en reposo del electrón. La velocidad de
la luz. Además existen constantes en las leyes de la física, las cuales tienen
presumiblemente un valor verdadero, por ejemplo la constante de gravita-
ción universal, la constante de Planck, etcétera. Por otro lado, la corriente
que circula por un dispositivo puede tener fluctuaciones intrínsecas de causas
desconocidas, que indeterminan el concepto de valor verdadero, y por lo tan-
to el concepto de error en su medición. La aplicación de teorías de errores o
tratamiento estadístico de datos que se explica más adelante, requiere tener
claridad sobre estos aspectos.

1.7. Cifras significativas
Como resultado de un proceso de medición, por ejemplo de una longitud,
el resultado debe establecer los números correctos y el primer número incier-
to. Con relación a la figura la longitud determinada podría ser escrita
12
13
14
15
Incerteza
L = 14,35 cm
siendo incierto el último dígito, de manera que sería igualmente válido escri-
birlo como
L = 14,34 cm
Así, las cifras significativas de una medida, en este caso cuatro, son los dígitos
correctos y el primer número incierto.
Ejemplos
G =6.67259×10−11
m3
kg−1
s−2
tiene seis cifras significativas.
e = 1,60217733×10−19
C tiene nueve cifras significativas.
L = 10,8345 m tiene seis cifras significativas.
L = 10,8345 × 106
m tiene seis cifras significativas.
L = 1,08345 × 10−6
m tiene seis cifras significativas.
40100 m tiene cinco cifras significativas. Sin embargo si se trata de un
entero, 3800 manzanas, hay infinitas cifras significativas.
0,000401 tiene tres cifras significativas.

1.8 Estandarización 33
La velocidad de la luz en el vacío c = 299792458 m s−1
se acepta hoy
que es un valor exacto. Si se determinara con una mayor precisión, el
valor de c se mantendría pero cambiaría la definición de la unidad de
longitud, el metro. Esto es se prefiere mantener constante la velocidad
de la luz en ese valor, y corregir la unidad de longitud para que así sea.
Vea un poco más adelante.
Operaciones con cifras significativas
Al operar con resultados de mediciones, deben respetarse ciertas reglas.
En la suma o resta de números, debe redondearse el resultado de modo que
el número de decimales sea el del que tenga menos cifras decimales.
En la multiplicación o división, el resultado debe redondearse de modo
que el número de cifras significativas del resultado, sea el del factor que tenga
menos cifras significativas.
Ejemplos
0,123 − 0,1256 = −0,002 6 ≈ −0,003
12,1 + 0,0017 = 12. 101 7 ≈ 12,1
3,67 × 2,3 = 8. 441 ≈ 8,4
0,0123/2,3 = 0,005 347 ≈ 0,005 4
1.8. Estandarización
Los primeros estándares de medición aparecieron en las culturas medite-
rráneas y estaban basadas en partes del cuerpo humano, o en lo que algún
animal podía tirar, o en el volumen de algún depósito. La unidad egipcia
“cubit” se acepta que fue la unidad de longitud lineal más extendida en el
mundo antiguo a partir de año 3000 bC, y consistía en la longitud entre el
codo del brazo hasta la punta de los dedos extendidos. Bueno, las cosas han
avanzado progresivamente y hoy día de acuerdo a una convención internacio-
nal realizada en París en 1960 acordaron el sistema internacional de unidades
(SI) basado en siete unidades básicas.
Las letras SI representan al “Système International d’Unités”. Este es
el sistema internacionalmente acordado para la mayor parte de los trabajos

cientíﬁcos y tecnológicos en la mayoría de los países. Las Unidades SI son de
tres tipos base, suplementarias, y derivadas. Hay siete unidades base corres-
pondientes a las siete cantidades físicas dimensionalmente independientes,
como se muestra en la tabla siguiente
1.8.1. Unidades SI base
Unidades SI base
Cantidad física Nombre Símbolo
longitud metro m
masa kilogramo kg
tiempo segundo s
corriente eléctrica Ampère A
temperatura termodinámica Kelvin K
cantidad de substancia mol mol
intensidad luminosa candela cd
1.8.2. Unidades SI suplementarias
Unidades SI suplementarias
ángulo plano radián rad
ángulo sólido estereorradián sr

1.8 Estandarización 35
1.8.3. Unidades SI derivadas
Unidades SI derivadas
frecuencia Hertz Hz
energía Joule J
fuerza Newton N
potencia Watt W
presión Pascal Pa
carga eléctrica Coulomb C
diferencia de potencial eléctrico Volt V
resistencia eléctrica Ohm Ω
conductancia eléctrica Siemens S
capacidad eléctrica Farad F
flujo magnético Weber Wb
inductancia Henry H
densidad de flujo magnético 1.8.3 Tesla T
flujo luminoso Lumen lm
iluminación Lux lx
*También conocida como inducción magnética
Unidades SI se usan con catorce prefijos para formar múltiplos decimales
y submúltiplos de las unidades.
Prefijos usados con unidades SI
Nombre de Nombre de
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
10 deca- da 10−1
deci- d
102
hecto- h 10−2
centi- c
103
kilo- k 10−3
mili- m
106
mega- M 10−6
micro- μ
109
giga- G 10−9
nano- n
1012
tera- T 10−12
pico- p
1015
peta- P 10−15
femto- f
1018
exa- E 10−18
atto- a
.

1.9. Las unidades básicas
Las definiciones de las unidades básicas, de espacio tiempo y masa, han
experimentado cambios con el propósito de adecuarse a los avances en los
métodos experimentales, no existiendo razón alguna para suponer que las
actuales definiciones son las definitivas. La excepción consiste en la unidad
de masa, el kilogramo, establecida en 1887. Hoy (1999), las definiciones acep-
tadas son las siguientes.
Definicion 1.9.1 El kilogramo se define como la masa de un cilindro fabri-
cado con una aleación de platino e Iridio que se conserva en la International
Bureau of Weights and Measures, en Sevres Francia.
Este patrón (primario) no se ha cambiado debido a la extraordinaria
estabilidad de esa aleación. Un duplicado (patrón secundario) se conserva en
el National Bureau of Standards en Gaitherburg.
Definicion 1.9.2 Un segundo es el tiempo que requiere un átomo de Cesio
133 para realizar 9.192.631.770 vibraciones, correspondientes a la transición
entre dos niveles hiperfinos de su estado fundamental.
Esta definición tiene la ventaja respecto a la definición del kilogramo,
de no requerir de patrones específicos guardados en algún lugar, para su
realización.
Definicion 1.9.3 El metro se define como la distancia recorrida por la luz
en el vacío en un intervalo de tiempo de 1
299,792,458
segundos.
Esta definición está basada en la extraordinaria precisión con que actual-
mente se puede medir la velocidad de la luz, la cual se acepta hoy en día que
es exactamente 299,792,458 m s−1
.
1.9.1. Noción física de las Unidades
Es bueno o deseable tener una noción física del "tamaño"de las unidades.
Usted puede hacer algunas pruebas simples para ver cuan cerca anda usted
de apreciar una unidad.

1.10 Ejercicios resueltos 37
Sobre el segundo
Use un reloj que tenga segundero. Cuando esté en cero, cuente 60 unidades
(sin mirar el reloj) intentando hacerlo tras cada segundo. Al ﬁnal vea su reloj
y vea cuantos segundos transcurrieron efectivamente. Con práctica mejorará.
Sobre el metro
Marque sobre una mesa o sobre un diario, dos marcas que usted estime
están separadas un metro después mída la distancia con una huincha de medir
y sabrá cuan cerca estuvo.
Sobre el kilógramo
Trate de tener un kilógramo de algo. Después, mediante una balanza
determine la masa.
Sobre el Newton
La unidad de fuerza Newton no es apreciable con tanta facilidad. Si usted
quiere saber que es más o menos 1 N considere la unidad de fuerza más
cercana a nosotros que es el peso de un kilógramo masa 1kgf y que
1kgf = 9,8 N
1.10. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.1 Un cuerpo describe una órbita circular de radio R = 100 m
en torno a un punto ﬁjo con rapidez constante dando una vuelta completa
por segundo. Determine la magnitud de la aceleración del cuerpo.
Solución. La aceleración en órbita circular es de magnitud
a =
v2
R
=
(2πR
T
)2
R
=
4π2
R
T2
=
4π2
× 100
1
= 3947. 8 m s−2
N

Ejercicio 1.2 Si el cuerpo del ejercicio anterior, repentinamente siguiera
en línea recta, determine la rapidez de crecimiento de la distancia al punto
fijo en m s−1
.
Solución. Este problema, es más apropiado hacerlo cuando se tenga claro
el concepto de derivada. De todos modos se soluciona por medios geométricos,
quizás como lo habría hecho Newton. Si v es la rapidez en la órbita circular
y sigue en línea recta, el cuerpo recorre una distancia
d = vt.
Por el teorema de Pitágoras, la distancia D al centro de la circunferencia
original crece de la forma
D =
√
R2 + v2t2
ver figura. La velocidad del cuerpo podemos imaginarnos se puede descom-
poner en una parte paralela a esa distancia, la que la hace crecer y otra parte
perpendicular que no la afecta. De modo que la rapidez de crecimiento de
esa distancia D será
v cos α
pero de la figura
cos α =
vt
√
R2 + v2t2
obteniendo para la rapidez de crecimiento
v2
t
√
R2 + v2t2
m s−1
con R = 100 m y v = 2πR
1
= 628. 319 m s−1
se tiene una función conocida del
tiempo.
N
Ejercicio 1.3 Las masas de la Tierra y de la Luna son aproximadamente
MT = 5,98 × 1024
kg y ML = 7,36 × 1022
kg siendo la distancia promedio
entre ellos 3,84 × 108
m. Determine la fuerza ejercida por la Tierra sobre la
Luna y la ejercida por la Luna sobre la Tierra.

R
vt
α
v
α
Figura 1.6:
Solución. Ambas son de igual magnitud dada por
F = G
MT ML
d2
= 6,67259 × 10−11 5,98 × 1024
× 7,36 × 1022
(3,84 × 108)2
= 1. 99 × 1020
N
N
Ejercicio 1.4 De los datos del ejercicio anterior, determine el tiempo em-
pleado por la Luna en dar una vuelta completa en torno a la Tierra, en días.
Solución. Considerando a la Tierra en reposo, la segunda ley de Newton
da
G
MT ML
d2
= ML
4π2
d
T2
o sea
T =
s
4π2d3
GMT
=
s
4π2(3,84 × 108)3
6,67259 × 10−11 × 5,98 × 1024
= 2. 366 894 458 × 106
s
= 27. 39 días

Sin embargo ambos cuerpos describen órbitas casi circulares en torno al cen-
tro de masa de modo que si llamamos RL y RT a los radios de las órbitas,
con RL + RT = d se tiene que (fuerza igual masa por aceletración)
G
MT ML
d2
= ML
4π2
RL
T2
,
G
MT ML
d2
= MT
4π2
RT
T2
o bien
G
MT
d2
=
4π2
RL
T2
,
G
ML
d2
=
4π2
RT
T2
y si las sumamos
G
ML + MT
d2
=
4π2
d
T2
,
expresión dada en clase en la forma
R3
=
G(M1 + M2)
4π2
T2
El efecto del movimiento de la Tierra da el valor
T =
s
4π2d3
G(MT + ML)
=
s
4π2(3,84 × 108)3
6,67259 × 10−11 × (5,98 × 1024 + 7,36 × 1022)
= 2. 352 462 04 × 106
s
= 27. 23 días
Ni uno de los dos cálculos puede ser considerado exacto porque el movimiento
de la Luna es mucho mas complejo que una órbita circular.
N
Ejercicio 1.5 Determine aproximadamente la fuerza que hace la Luna so-
bre una persona que está sobre la superﬁcie terrestre y de masa 80 kg.

Solución. La distancia entre los centros es d = 3,84 × 108
m. el radio
terrestre es aproximadamente 6,38 × 106
m de manera que si la Luna esta
sobre la persona la distancia sera 3,84 × 108
− 6,38 × 106
= 3. 776 2 × 108
m
resultando para la fuerza
F = G
mML
d2
= 6,67259 × 10−11 80 × 7,36 × 1022
(3. 776 2 × 108)2
= 2. 755 × 10−3
N
= 2. 8 × 10−4
kgf
bastante pequeña.
N
Ejercicio 1.6 Si el radio de la Luna es 1,74×106
m determine cuanto pesa
un kg de oro en la Luna.
Solución. El cálculo de la fuerza gravitacional da
F = G
mML
d2
= 6,67259 × 10−11 1 × 7,36 × 1022
(1,74 × 106)2
= 1. 622 N
= 0.166 kgf
alrededor de 1/6 de lo que pesa en la superﬁcie terrestre.
N
Ejercicio 1.7 De acuerdo a los radios orbitales, evalúe los periodos orbita-
les usando la tercera ley de Kepler, comparando con los datos tabulados.
Solución. Los datos tabulados son

R km T años T calculado
Mercurio 57, 909, 175 0,24084445 0,241
Venus 108, 208, 930 0,61518257 0,615
Tierra 149, 597, 890 0,99997862 1,000
Marte 227, 936, 640 1,88071105 1. 881
Júpiter 778, 412, 020 11,85652502 11. 871
Saturno 1, 426, 725, 400 29,42351935 29. 458
Urano 2, 870, 972, 200 83,74740682 84. 088
Neptuno 4, 498, 252, 900 163,7232045 164. 914
Plutón 5, 906, 376, 200 248,0208 248. 126
los periodos calculados lo son de acuerdo a
T =
s
4π2R3
GMS
=
s
4π2R3
GMS
la masa del Sol es aproximadamente MS = 1,991 × 1030
kg de modo que
resulta
N
MercurioT = 0,241 años
Venus T = 0,615 años
Tierra T = 1. 000 años
Marte T = 1. 881 años
Júpiter T = 11. 871 años
Saturno T = 29. 458 años
Urano T = 84. 088 años
Neptuno T = 164. 914 años
Plutón T = 248. 126 años
Las pequeñas diferencias podrían ser adjudicadas al hecho que las órbitas
no son circulares.
Ejercicio 1.8 Determine a qué distancia entre la Tierra y la Luna, un
cuerpo no es atraído hacia ninguno de los dos cuerpos.

Solución. Sea x la distancia al centro de la Tierra y d la distancia entre
la Tierra y la luna. Debe tenerse que la fuerza resultante es cero, o sea
G
mMT
x2
− G
mML
(d − x)2
= 0
de donde
(d − x)
x
=
r
ML
MT
despejamos x
x =
d
1 +
r³
ML
MT
´
=
3,84 × 108
1 +
r³
7,36×1022
5,98×1024
´
= 3. 456 × 108
m
N
Ejercicio 1.9 Un péndulo de longitud L = 2 m efectúa oscilaciones en la
superﬁcie terrestre. Determine el número de oscilaciones que efectúa en cada
segundo.
Solución. De acuerdo a
T = 2π
s
L
g
.
resulta
T = 2π
r
2
9,8
= 2. 84 s
y entonces la frecuencia es
f =
1
T
= 0. 352 osc/s

N
Ejercicio 1.10 Utilizando las leyes de Kepler, discuta la existencia del pla-
neta X, hipotético planeta igual a la Tierra, en su misma órbita elíptica en
torno al Sol, pero que permanece siempre oculto detrás del Sol y por eso no
ha sido observado.
Solución. No es posible porque si en algún instante ellos están en línea
recta con el Sol, más tarde, el que está más cerca del Sol y que tiene mayor
rapidez, se adelantará.
N
Ejercicio 1.11 Si la distancia promedio de la Tierra al Sol es aproximada-
mente 1,496 × 1011
m determine aproximadamente la masa del Sol.
Solución. Suponemos que además se conocen otros datos tal como que
el periodo de la órbita terrestre T = 365 × 24 × 3600 s = 3. 153 6 × 107
s de
manera que
T2
=
4π2
GMsol
R3
,
entonces
Msol =
4π2
GT2
R3
=
4π2
6,67259 × 10−11(3. 153 6 × 107)2
(1.496 × 1011
)3
= 1. 99 × 1030
kg
N
Ejercicio 1.12 Veriﬁque con los datos de la tabla, el cumplimiento de la
tercera Ley de Kepler.
Ejercicio 1.13 De acuerdo a las masas de los planetas, evalúe las velocida-
des de escape desde sus superﬁcies, comparando sus valores con los tabulados.
Solución. De acuerdo a los datos (dos primeras columnas)

Masa kg R km ve km s−1
Mercurio 0,33022 × 1024
2439,7 4,25
Venus 4,8690 × 1024
6051,8 10,36
Tierra 5,9742 × 1024
6378,14 11,18
Marte 0,64191 × 1024
3397 5,02
Júpiter 1898,7 × 1024
71492 59,54
Saturno 568,51 × 1024
60268 35,49
Urano 86,849 × 1024
25559 21,29
Neptuno 102,44 × 1024
24764 23,71
Plutón 0,013 × 1024
1195 1,27
ve km s−1
calculada
4. 250 1
10. 361 9
11. 180 3
5. 021 7
59. 533 5
35. 480 3
21. 294 8
23. 495 6
1. 204 9
y
ve(M, R) =
r
2GM
R
,
podemos calcular
Mercurio ve = 4. 250 1 km s−1
Venus ve = 10. 361 9 km s−1
Tierra ve = 11. 180 3 km s−1
Marte ve = 5. 021 7 km s−1
Júpiter ve = 59. 533 5 km s−1
Saturno ve = 35. 480 3 km s−1
Urano ve = 21. 294 8 km s−1
Neptuno ve = 23. 495 6 km s−1
Plutón ve = 1. 204 9 km s−1
N
Ejercicio 1.14 De acuerdo a las masas de los planetas y sus radios, evalúe
la aceleración de gravedad en sus superﬁcies, comparando sus valores con los
tabulados.
Solución. La aceleración de gravedad es la fuerza gravitacional dividida
por la masa es decir
g =
GMP
R2
P
donde RP y MP son el radio y la masa del planeta.
Mercurio Venus Tierra Marte
Masa×10−27
g 0.33022 4.8690 5.9742 0.64191
Gravedad en la superﬁcie cm s−2
370 887 980 371
Radio medio ecuatorial (Km) 2,439.7 6,051.8 6,378.14 3,397

Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
1,898.7 568.51 86.849 102.44 0.013
2312 896 869 1100 81
71,492 60,268 25,559 24,764 1,195
Calculando para el primero y el ultimo
gMercurio =
6,67259 × 10−11
(0,33022 × 1024
)
(2,4397 × 106)2
= 3. 702 m s−2
= 3 70,2 cm s−2
gPluton =
6,67259 × 10−11
(0,013 × 1024
)
(1,195 × 106)2
= 0. 607 m s−2
= 60,7 cm s−2
N
Ejercicio 1.15 Estudie si existe alguna ley que de cuenta de las distancias
de los planetas al Sol. (Por razones históricas, considere unidades donde
la distancia Tierra Sol sea 10). Si existe alguna discontinuidad en su ley,
aventure alguna hipótesis.
Solución. Los datos, la primera columna de la tabla, cuando son ex-
presados tomando arbitrariamente RT = 10, dan los valores de la segunda
columna. Esos números, con imaginación y paciencia se parecen a la secuencia
de números enteros de la tercera columna, números llamados de Titius-Bode.
R km 10 × R/RT Titius-Bode
Mercurio 57909175 3,87 4
Venus 108208930 7,23 7
Tierra 149597890 10 10
Marte 227936640 15,22 16
Júpiter 778412020 5 2,03 52
Saturno 1426725400 9 5,37 100
Urano 2870972200 19 1,91 196
Neptuno 4498252900 30 0,69 388

Con esfuerzo y algo más, se puede ver que esos números corresponden a
la secuencia 4 + 3 × 2n−1
con n = 1, 2, 3, · · · . Si se observa la tabla de esos
valores, se descubre que correspondería la existencia de un planeta con n = 4
n 4 + 3
2
2n
1 7
2 10
3 16
4 28
5 52
6 100
7 196
8 388
esto es, la secuencia predice un planeta con 10×R/RT = 28, entre Marte y
Júpiter, precisamente donde está el cinturón de Asteroides. Nadie ha podido
justificar esta “ley” de modo que al parecer se trataría de una coincidencia.
N
Ejercicio 1.16 Considere un satélite artificial en órbita ecuatorial geoes-
tacionaria, es decir que permanece siempre sobre el mismo punto de la su-
perficie terrestre. Determine entonces la altura del satélite sobre la superficie
terrestre y la rapidez de él en su órbita.
Solución. Si Ω denota la velocidad angular terrestre esto es
Ω =
2π
24 × 3600
rad/s
o bien que el periodo de la rotación T =día= 24×3600 = 86400,0 s, entonces
la condición para que el satélite esté geo estacionario será
v =
2πr
T
pero la rapidez en órbita circular es
v =
r
GMT
r
de modo que tenemos
2πr
T
=
r
GMT
r

elevando al cuadrado
4π2
r2
T2
=
GMT
r
de donde podemos despejar r
r3
=
GMT T2
4π2
r =
3
r
GMT T2
4π2
cálculos numéricos para
T = 86400,0
MT = 5,98 × 1024
G = 6,67259 × 10−11
dan
r = 3
q
GMT T2
4π2 = 4. 226 × 107
m
entonces la altura sobre la superﬁcie terrestre será
h = r − RT
=
= 4. 226 × 107
− 6,38 × 106
= 3. 588 × 107
m
= 3. 588 × 104
km
y
v =
r
GMT
r
= 3072. 791 m s−1
= 11062. 05 km h−1
N
Ejercicio 1.17 Respecto a la situación del problema anterior, si la altura
del satélite es reducida a la mitad pasando a otra órbita circular, determine
el número de vueltas que da el satélite por día en torno a la Tierra.
Solución. Ahora la altura es la mitad, es decir
h =
3. 588 × 107
2
= 1. 794 × 107
m

de donde
r = 6,38 × 106
+ 1. 794 × 107
= 2. 432 × 107
m
entonces
v =
r
GMT
r
= 4050. 569 m s−1
Suponiendo que la velocidad es en el mismo sentido de la rotación terrestre,
esto corresponde a un periodo
T =
2πr
v
= 37724. 839 8 s
esto es en un día el satélite da
86400,0
37724. 839 8
= 2,29
vueltas y la Tierra da una, luego relativo a la Tierra el satélite da
1,29
vueltas.
N
Ejercicio 1.18 Considere a una persona en el Ecuador terrestre. Producto
de la rotación terrestre esa persona está acelerada hacia el centro de la Tierra.
Determine la magnitud de esa aceleración. Si la persona se para sobre una
balanza y ella tiene una masa de 80 kg determine la lectura de la balanza en
kgf. (1 kgf = 9,8 N)
Solución. Si N es la fuerza que hace la balanza sobre la persona hacia
arriba, la segunda ley de Newton da
mg − N = m
v2
RT
donde v es la rapidez Ecuatorial de la Tierra que puede calcularse de acuerdo
a
v =
2πRT
T

donde T es el periodo de rotación terrestre (un día). Así resulta
N = mg − m
v2
RT
= mg − m
4π2
RT
T2
y numéricamente
m = 80 kg
RT = 6,38 × 106
m
g = 9,8 m s−2
N = 781. 301 N
=
781. 301
9,8
= 79. 72 kgf.
O sea la rotación terrestre disminuye algo el peso de la persona.
N
Ejercicio 1.19 Determine el radio que debería tener un planeta con la mis-
ma masa terrestre, para que la velocidad de escape en su superﬁcie fuera la
velocidad de la luz.
Solución. La velocidad de escape es
ve =
r
2GMT
R
e igualando a c = 2,99792458 × 108
m s−1
c =
r
2GMT
R
,
podemos despejar
R =
2GMT
c2
= 0,008 9 m
= 0,89 cm
(Si el radio Terrestre fuera reducido a un valor menor que ese, tendríamos
un agujero negro con la masa de la Tierra)

N
Ejercicio 1.20 Determine el radio que debería tener una estrella con la
misma masa que el Sol, para que la velocidad de escape en su superﬁcie fuera
la velocidad de la luz.
Solución. Es igual, pero ahora MS = 1,991 × 1030
kg obteniendo
R =
2GMS
c2
= 2956. 339 m
N
Ejercicio 1.21 Determine la velocidad de rotación que debería tener un
planeta como la Tierra, en vueltas por día, para que despegáramos de la
superﬁcie en el Ecuador.
Solución. Como sabemos que la rapidez para órbita circular a nivel del
suelo sería
v =
r
GMT
RT
ello da v =
q
GMT
RT
= 7908. 378 974 m s−1
de modo el periodo de la rotación
debe ser
T =
2πRT
v
= 5068. 892 s
lo que corresponde a
86400,0
5068. 892
= 17. 05
vueltas por día.
N

Capítulo 2
Vectores
2.1. Escalares y vectores
Una cantidad física que pueda ser completamente descrita por un nú-
mero real, en términos de alguna unidad de medida de ella, se denomina
una cantidad física escalar. Como veremos existen cantidades físicas que son
descritas por más de un número, o por un número y otras propiedades. En
particular los vectores se caracterizan por tener una magnitud, expresable
por un número real, una dirección y un sentido. Sin embargo hay algo más
que explicaremos.
2.2. Sistemas de referencia
Para especificar la posición de un punto en el espacio, se utilizan sistemas
de referencia. Esta posición se define en forma relativa a algún determinado
sistema de referencia.
2.2.1. Sistema cartesiano
En un sistema de referencia cartesiano, existen tres ejes denominados ejes
cartesianos X, Y, Z ortogonales que se intersectan en un punto O llamado
origen del sistema cartesiano. La posición de un punto respecto a ese sistema
de referencia se define por el conjunto de sus coordenadas cartesianas (x, y, z),
esto es mediante tres números, ver figura (2.1)

54 Vectores
y
x
z
x
y
O
r
z
P
Figura 2.1: coordenadas cartesianas
Los rangos de variación de las coordenadas cartesianas son
−∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞, − ∞ < z < ∞.
2.2.2. Sistema esférico de coordenadas
En el sistema esférico de coordenadas, la posición de un punto está deﬁ-
nida por sus tres coordenadas esféricas r, θ y φ, ver ﬁgura (2.2)
P
rθ
φ
Figura 2.2: coordenadas esféricas

2.2 Sistemas de referencia 55
z
φ
ρ
P
Figura 2.3: coordenadas cilíndricas
donde r es la distancia al origen, θ es el ángulo que forma OP con el eje
Z y φ es el ángulo que forma la proyección de la línea OP en el plano XY
con el eje X. Los rangos de variación de las coordenadas esféricas son
0 6 r < ∞, 0 6 θ < π, 0 6 φ < 2π.
2.2.3. Sistema cilíndrico de coordenadas
En el sistema cilíndrico de coordenadas, la posición de un punto está
definida por sus tres coordenadas cilíndricas ρ, z y φ, ver figura (2.3) donde
ρ es la distancia de la proyección del punto en el plano OXY al origen,
z es la altura sobre el plano OXY y φ es el ángulo que forma la proyección
de la línea OP en el plano XY con el eje X. Los rangos de variación de las
coordenadas cilíndricas son
0 6 ρ < ∞, 0 6 φ < 2π, − ∞ < z < ∞.
2.2.4. Sistema polar de coordenadas
En el sistema polar de coordenadas, la posición de un punto sobre un
plano está definida por sus dos coordenadas denominadas polares, r y θ, ver
figura (2.4)

56 Vectores
P
r
θO
eje polar
Figura 2.4: coordenadas polares
donde r es la distancia del punto P al origen, θ es el ángulo que forma
la línea OP con el eje X, llamado aquí eje polar. Los rangos de variación de
las coordenadas polares son
0 6 r < ∞, 0 6 θ < 2π.
2.2.5. Relaciones entre las coordenadas
Es tarea sencilla establecer las siguientes relaciones entre las diversas coor-
denadas para los sistemas recién descritos
Cartesiano-esférico
x = r sin θ cos φ, (2.1)
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
Cartesiano-cilíndrico
x = ρ cos φ, (2.2)
y = ρ sin φ,
z = z.
Polar-cartesiano
x = r cos θ, (2.3)
y = r sin θ.
Más detalles se proporcionan después de introducir el concepto de vector.
Si está perdido respecto de la trigonometría, vea resumen al ﬁnal.

2.3 Desplazamientos en el espacio 57
2.3. Desplazamientos en el espacio
El concepto que dio lugar a los vectores, es el de desplazamiento. Con-
sidere un sistema de referencia respecto al cual esté definida la posición de
puntos.
Definicion 2.3.1 Se dice que un punto se mueve respecto a un sistema de
referencia, si sus coordenadas varían con el tiempo.
Definicion 2.3.2 Un desplazamiento se define como cualquier cambio de
posición de un punto en el espacio
Este concepto básico de desplazamiento es en principio más elemental
que el concepto de movimiento de un punto, puesto que no tiene relación
con tiempos ni con trayectorias. Si un punto pasa de una posición A a otra
posición C, se dice que el punto se ha desplazado de A a C. De su definición
de desprende que un desplazamiento tiene tres características
Su magnitud, que se define como la distancia entre el punto inicial y el
punto final.
Su dirección, correspondiente a la dirección de la recta AC. (rectas
paralelas tienen la misma dirección)
Su sentido, de A hacia C. Así el sentido del desplazamiento de C hacia
A es contrario al desplazamiento de A hacia C.
Además, desplazamientos sucesivos se combinan (o se suman) de acuerdo
a la regla del triángulo, indicada en la figura siguiente (2.5), donde el despla-
zamiento A −→ B seguido del desplazamiento B −→ C es equivalente a un
desplazamiento A −→ C.
Eso queda absolutamente claro de la figura que define la regla de combi-
nación triangular de desplazamientos. Note que un desplazamiento no tiene
relación con el camino seguido por el punto al cambiar de posición. En otras
palabras ir de A a C es lo mismo que ir de A a B y luego de B a C. Esta regla
se generaliza en la sección siguiente para dar origen al concepto de vector.
Como veremos más adelante, para el caso de las fuerzas se utiliza la regla del
paralelógramo en vez de la del triángulo para obtener la fuerza resultante.
Ambas reglas son completamente equivalentes.

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