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Capítulo 3
Tensión y deformación.
Comportamiento elástico.
2
Índice general
1. Noción de tensión y deformación. Estados de tensiones: tensión normal, tensión a
cortadura y tensión hidrostática
2. Ley de Hooke. Módulo elástico
3. Coeficiente de expansión térmica
4. Generalización de los conceptos de tensión y deformación en un punto:
• Tensión en un punto
• Transformación de las componentes de tensión
• Deformación en un punto
• Transformación de las componentes de deformación
• Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas
5. Relaciones tensión-deformación para un material isótropo elástico lineal
6. Trabajo realizado por las tensiones al producir una deformación
7. Módulo elástico de materiales compuestos
8. Ejemplos de diseño en ingeniería: cables a tracción, vigas a flexión y cilindros a presión
3
1. Tensión y deformación
• Estados de tensión: tensión normal, tensión de cortadura y tensión
hidrostática
• Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la
superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión
(negativa)
L0 L1
4
1. Tensión y deformación
• Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de
superficie
Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)
• Deformación normal: respuesta del material a la aplicación de la
tensión. Se mide como el cambio relativo de longitud en la dirección
de aplicación de la fuerza (lo que se estira o se encoge)
0A
F
=σ
0
01
L
LL −
=ε
L0 L1
5
1. Tensión y deformación
• Tensión de cortadura: la fuerza actúa en dirección paralela a la
superficie. La tensión de cortadura se define como la intensidad de
fuerza tangencial por unidad de superficie
Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)
• Deformación tangencial: mide cuando se distorsiona la forma al
aplicar una la tensión de cortadura (la distorsión que sufre un ángulo
que inicialmente era π/2):
(si γ pequeño)
0A
F
=τ
γγγ ≈=
∆
= tan
0
0
x
y
6
1. Tensión y deformación
• Tensión hidrostática: tres fuerzas perpendiculares e iguales entre sí
(una presión). La tensión hidrostática se define como la presión a la
que está sometido el cuerpo (signo: contrario a la presión)
Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)
• Deformación volumétrica: mide cuando se distorsiona la forma al
aplicar una la tensión de cortadura:
ph −=σ
0
0
V
VV
V
−
=ε
7
1. Tensión y deformación
• Ejemplos:
8
2. Deformación elástica. Ley de Hooke
• La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es elástica. Eso
quiere decir que la deformación es reversible al dejar de aplicar la
tensión, es decir, que el sólido recupera su forma inicial.
• En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación en el
régimen elástico es lineal, es decir:
(Ley de Hooke)
donde E: módulo de Young (Unidades: [Pa])
• En el caso de que la tensión aplicada sea de cortadura:
donde G: módulo de cortadura (Unidades: [Pa])
εσ ⋅= E
γτ ⋅= G
9
2. Deformación elástica. Ley de Hooke
Vh K εσ ⋅=
• Existen otras constantes elásticas importantes:
• Módulo de Poisson ν: mide la deformación transversal originada por
una deformación normal:
• Módulo de rigidez volumétrica Κ:
nt ευε ⋅−=
0
0
0
0
x
xx
y
yy −
⋅−=
−
υ
5.01 <<− υ
0>K
10
2. Deformación elástica. Ley de Hooke
• No existe una relación fija entre G y E, pero habitualmente G~0.4 E.
• Para un material elásticamente isótropo, sólo son necesarias dos constantes
elásticas para definir el comportamiento del material. Es decir, que de las
cuatro constantes presentadas E, G, ν y K sólo dos son independientes (como
veremos más adelante)
• Sin embargo, el comportamiento de un material elásticamente anisótropo
necesita de más constantes elásticas, cómo veremos más adelante
11
2 Deformación elástica
• Módulo de Young
– Simbolo: Ε
– Unidades: GPa
– Relación entre la
tensión aplicada a
un material y la
deformación con la
que éste responde
12
2. Deformación elástica. Ley de Hooke
• E depende del tipo de enlace y de la estructura cristalina. Así, E depende de
la T pero es relativamente insensible a la microestructura del material.
13
3. Coeficiente de expansión térmica
• Los materiales se dilatan al aumentar la temperatura y se contraen al
disminuirla, ¿por qué?
• La respuesta se puede encontrar en la asimetría del potencial del
enlace interatómico. Al aumentar la temperatura, aumente la
separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate.
Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión
térmica pequeño.
14
3. Coeficiente de expansión térmica
• Definición:
)(
0
1
TT
KCTE T
−
=− ε
To
ToT
To
ToT
T
y
yy
x
xx −
=
−
=ε
15
3. Coeficiente de expansión térmica
• La forma del potencial interatómico hace que al aumentar la temperatura,
aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se
dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión
térmica pequeño.
16
4. Tensión y deformación en un punto.
4.1 Tensión en un punto
• Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, la tensión era uniforme en toda la sección
del cuerpo pero eso no es siempre así.
• Supongamos el caso general de un cuerpo de forma arbitraria sometido a esfuerzos
(fuerzas de superficie y fuerzas de volumen). Para conocer la tensión en el punto 0 con
respecto al plano mn, sustituimos la parte A del cuerpo por un sistema de fuerzas que
mantenga a la parte B en la misma posición. Si ∆A es la superficie de una región que
rodea al punto 0 y ∆F, la fuerza que actúa en esa región, entonces la tensión σ en el
punto 0 con respecto al plano mn viene dada por:
NOTA: Como existen infinitos planos que pasan por 0, existen infinitos valores de la
tensión σ en el punto 0. El valor de una tensión siempre está asociado a un plano.
Además, como tanto la fuerza como la superficie son magnitudes vectoriales (módulo y
dirección), la tensión tiene asociadas dos familias de cosenos directores, por lo que el la
tensión es un tensor de 2º orden.
A
F
A ∆
∆
=
→∆ 0
limσ
17
4. Tensión y deformación en un punto.
• Como la fuerza ∆F no tiene por qué ser perpendicular al plano ∆A, la fuerza se
descompone en sus componentes normal y tangencial:
• Por lo tanto, σij representa una componente de tensión que actúa sobre el plano i en
dirección j:
– Cuando i=j, la tensión es normal: σi
– Cuando i≠j, la tensión es de cortadura τij
Convención de signos: σij >0 si el sentido de la fuerza en dirección j coincide con el de
la normal a la superficie i hacia fuera del volumen; σij < 0 en caso contrario.
xzxz
x
z
A
xyxy
x
y
A
xxx
x
x
A
A
F
A
F
A
F
x
x
x
τσ
τσ
σσ
==
∆
∆
==
∆
∆
==
∆
∆
→∆
→∆
→∆
0
0
0
lim
lim
lim
18
4. Tensión y deformación en un punto.
• Tensión en un punto: En un cuerpo sometido a esfuerzos, definimos un sistema
ortonormal de coordenadas. Consideramos entonces un elemento infinitesimal de
volumen asociado al punto, limitado por caras paralelas a los tres planos ortogonales
definidos por el sistema de referencia. Sobre cada cara actúan, en general, tres
componentes de fuerza. Podemos, en primera aproximación, definir las tensiones
actuantes en ese punto como componentes de “intensidad de fuerza”, o componentes de
la fuerza por unidad de superficie que se transmite a través de cada cara:
siendo: i = j tensiones normales
i ≠ j tensiones de cortadura
donde Aj es el elemento de superficie perpendicular a la dirección j y Fi la componente
de fuerza transmitida a través de Aj en la dirección i.
j
i
ij
dA
dF
=σ
19
4. Tensión y deformación en un punto.
• Considerando las 3 direcciones de referencia, resultan 9 componentes de
tensión. Consideraciones de equilibrio de fuerzas y momentos, reducen las
componentes independientes a 6:
y por tanto, el tensor de tensiones es una matriz simétrica.
• Por ej, si planteamos el equilibrio de momentos en dirección z:
jiij ττ =










=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
σττ
τστ
ττσ
σ
yxxy ττ =
20
4. Tensión y deformación en un punto.
4.2 Transformación de las componentes de tensión
Considerando dos sistemas de referencia ortonormales (x, y, z) y (x´, y´, z´) cuyos
cosenos directores son , siendo el ángulo formado por las direcciones i´y
j del 2º y 1er sistema de referencia respectivamente, la expresión para la transformación
de las componentes de tensión del 1er al 2º sistema de referencia son:
o en notación matricial:
jijil ′′ = θcos
∑∑ ==
=
3
1
´´
3
1
´´
l
klljki
k
ji ll σσ
ji′θ
( ) ( )( )( )
( )






























=
= ′′
332313
322212
312111
333231
232221
131211
´´
´´
lll
lll
lll
l
lll
lll
lll
ll
zzyzx
yzyyx
xzxyx
yx
T
jiijjiji
σττ
τσ
ττσ
σ
σσ
21
4. Tensión y deformación en un punto.
Caso de tensión plana
Supongamos que conocemos las componentes de tensión en el punto 0 referidas al
sistema de coordenadas {x,y} y que queremos conocer las componentes de tensión
referidas al sistema {x’, y’}:
Si definimos el plano AB, a una distanca infinitesimal del
punto 0, podemos aplicar el equilibrio de fuerzas en
direcciones x’ e y’:
ycossin
ysincos
θθ
θθ
+−=+=′
+=+=′
′′
′′
xylxly
xylxlx
yyxy
yxxx
θσθτθτθσσ sincossincos0 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⇒=∑ ′′ OAOAOBOBABF yyxxyxxx
θσθθτθσσ 22
sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx
θσθτθτθστ sincossincos0 '' ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⇒=∑ ′ OBOBOAOAABF xxyxyyyxy
( ) ( )θθτθθσστ 22
' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx
22
4. Tensión y deformación en un punto.
Caso de tensión plana (cont´)
Para calcular σy’ hacemos una operación similar:
θσθθτθσσ 22
sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx
( ) ( )θθτθθσστ 22
' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx
θσθθτθσσ 22
' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy
Por lo tanto, en un caso de tensión plana, la transformación
de las componentes de tensión viene dada por:
Notad que:
Es decir, que independientemente del sistema de referencia, la suma de las tensiones
normales es un invariante del estado de tensiones.
(Queda como ejercicio demostrar que se llega a las mismas ecuaciones aplicando las
ecuaciones de la página 20.)
θσθθτθσσ 22
' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy
yxyxyx σσθθσθθσσσ +=+++=+ )sin(cos)sin(cos 2222
''
23
4. Tensión y deformación en un punto.
4.3 Concepto de deformación incremental
• La forma de un material bajo tensión cambia: el material sufre deformaciones. El
cambio de forma implica desplazamientos del material, pero no todos los
desplazamientos comportan deformaciones: los puntos de un sólido rígido también
pueden sufrir desplazamientos, que pueden descomponerse en rotaciones y traslaciones.
Para expresar las deformaciones, debemos eliminar de los desplazamientos totales de los
puntos del cuerpo aquella porción que constituye movimiento del sólido rígido, es decir,
meramente traslaciones y rotaciones, sin distorsión de forma.
• En un instante dado, la posición de cada punto del cuerpo material respecto a un sistema
externo de referencia viene definida por las coordenadas (x, y, z). Bajo un conjunto de
esfuerzos y con las restricciones de contorno pertinentes, los puntos del cuerpo habrán
experimentado un campo de desplazamientos,
función de las coordenadas iniciales de cada punto.
),,( xyxuu ii =
24
4. Tensión y deformación en un punto.
Deformación plana
• Supongamos el paralelogramo ABCD. Bajo
la acción de un campo de fuerzas, el
paralelogramo se deforma según A’B’C’D’.
• Suponiendo desplazamientos pequeños, los
desplazamientos relativos unitarios (por
unidad de longitud) normales vendrán dados
por:
x
u
dx
dxdx
x
u
dx
AD
ADPA
AD
ADDA
u x
x
xx
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=
−
≅
−
=
'''
y
u
dy
dydy
y
u
dy
AB
ABQA
AB
ABBA
u
y
y
yy
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=
−
≅
−
=
'''
25
4. Tensión y deformación en un punto.
Deformación plana
• Además del cambio de dimensiones, el
paralelogramo cambia de forma, por ej, el
ángulo B’A’D’ era inicialmentede 90º.
• Los desplazamientos relativos unitarios
tangenciales miden este cambio de forma.
• Así por ej, uyx mide el giro sufrido por el
segmento A’D’, inicialmente paralelo al eje
x:
x
u
dx
x
u
dx
dx
x
u
PA
PD
PADángulou
y
x
y
yx
∂
∂
≅
∂
∂
+
∂
∂
===
'
'
arctan''
y
u
dy
y
u
dy
dy
y
u
QA
QB
QABángulou x
y
x
xy
∂
∂
≅
∂
∂
+
∂
∂
===
'
'
arctan''
26
4. Tensión y deformación en un punto.
• Por lo tanto, los desplazamientos relativos unitarios en el caso plano constituyen una
matriz :
• Los desplazamientos relativos unitarios no sólo representan deformaciones, si no también
rotaciones. Esto se puede deducir fácilmente, descomponiendo la matriz en su parte
simétrica y su parte antisimétrica:












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y
u
x
u
y
u
x
u
u
yy
xx
ij
( ) ( ) ijijjiijjiijij uuuuu ωε +=−++=
2
1
2
1


















∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
+












∂
∂






∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
y
u
x
u
x
u
y
u
y
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
u
u
xy
yx
yyx
yxx
yy
xx
ij
27
4. Tensión y deformación en un punto.
• Veamos un ejemplo sencillo:






=
00
0 γ
iju










− 0
2
2
0
γ
γ










0
2
2
0
γ
γ
= +
Cortadura pura Cortadura simple Rotación
iju ijε ijω= +
= +
28
4. Tensión y deformación en un punto.
• Relación con la deformación a cortadura ingenieril
De lo anterior es fácil deducir que:
xy
xy
xy
xy
y
u
x
u
ánguloángulo
εγ
γ
2
B'QA'P'A'D'
=
∂
∂
+
∂
∂
=
+=
29
4. Tensión y deformación en un punto.
• En un caso general, si consideramos el entorno infinitesimal de un punto durante un
pequeño incremento de tiempo, se pueden haber producido los 9 desplazamientos
relativos por unidad de longitud que constituyen la matriz:


















=
dz
du
dy
du
dx
du
dz
du
dy
du
dx
du
dz
du
dy
du
dx
du
u
zzz
yyy
zxx
ij
30
4. Tensión y deformación en un punto.
• Descomponiendo la matriz de desplazamientos relativos unitarios en su parte simétrica y
su parte antisimétrica:
• De la descomposición se deduce que:
– Los términos no nulos de la matriz antisimétrica representan rotaciones respecto a los ejes del
sistema de referencia
– Los términos de la parte simétrica de la matriz de desplazamientos relativos unitarios
constituyen las deformaciones.


























−





−






−





−






−





−
+


























+





+






+





+






+





+
=
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
3
3
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
dx
du
uij
[ ] [ ] [ ]
( )
( )jiijij
jiijij
ijijij
uu
uu
u
−=
+=
+=
2
1
2
1
ω
ε
ωε
0
0
<<
<<
ij
ij
ω
ε
siendo:
31
4. Tensión y deformación en un punto.
4.4 Transformación de las componentes de deformación:
• Teniendo en cuenta que εij es también un tensor de segundo orden, son válidas también
las ecuaciones obtenidas para la transformación de la tensión, es decir, que:
∑∑ ==
=
3
1
´´
3
1
´´
l
klljki
k
ji ll εε
( ) ( )( )( )
( )






























=
= ′′
332313
322212
312111
333231
232221
131211
´´
´´
lll
lll
lll
lll
lll
lll
ll
zzyzx
yzyyx
xzxyx
yx
T
jiijjiji
εεε
εεε
εεε
σ
εε
32
4. Tensión y deformación en un punto.
4.5 Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas
• Las deformaciones producen no sólo un cambio de volumen, si no también un cambio de
la forma del cuerpo. Un estado de tensiones, σij, contiene una componente hidrostática
σh, que se expresa:
• La componente hidrostática de las tensiones produce sólo una deformación volumétrica
del cuerpo que vendrá dada por:
( ) 3/zzyyxxh σσσσ ++=
∑=
=++=
3
1i
iizzyyxxv εεεεε
33
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• En un caso general, y si el sólido se comporta de forma elástica lineal, serán
necesarias 36 constantes elásticas para definir su comportamiento, ya que
tenemos que relacionar dos tensores de segundo orden. En forma matricial, se
puede expresar como:
donde Cij son las constantes de rigidez. Alternativamente, se pueden definir
las constantes de flexibilidad:








































=




















xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
CC
CC
CCCCCC
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
6661
2221
161514131211
...
...
{ } { }{ }σε S=
34
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• La condición de reversibilidad obliga a que la matriz de rigidez sea simétrica,
con lo que el número de constantes se reduce a 21. Este es el número máximo
de constantes que hay que conocer para definir el comportamiento elástico
lineal de un material totalmente anisótropo.
• Sin embargo, sabemos que por ej un monocristal presenta ciertas simetrías
dependiendo de su estructura cristalina, con lo que el número de constantes
de rigidez independientes puede reducirse considerablemente.
• Por ej., un cristal cúbico referido a los ejes <100> del cristal:




















44
44
44
111212
121112
121211
00000
00000
00000
000
000
000
S
S
S
SSS
SSS
SSS
35
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• En un caso isótropo: es independiente de la dirección de
medida.
• Para hallar las relaciones tensión-deformación, es posible aplicar
el principio de superposición lineal
Estamos considerando un fenómeno reversible regido por una ley
lineal. Dadas varias situaciones de tensiones con sus
correspondientes deformaciones (a nivel de un elemento de
volumen, cada una de ellas es la solución de una caso particular
del sistema lineal general de 6 ecuaciones y 6 incógnitas definido
por las relaciones elásticas tensiones / deformaciones), se puede
aplicar el “principio de superposición lineal”: combinaciones
lineales de soluciones elásticas son a su vez soluciones elásticas
válidas. Este “principio” es muy útil para soluciones problemas
elásticos
36
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• Así, para un sólido elástico isótropo líneal podemos descomponer el caso general en 6 casos
particulares:
E
x
x
σ
ε = xzxz G γτ ⋅=
E
y
y
σ
ε =
E
z
z
σ
ε = xyxy G γτ ⋅= yzyz G γτ ⋅=
E
E
x
z
x
y
σ
υε
σ
υε
−=
−=
E
E
y
z
y
x
σ
υε
σ
υε
−=
−=
E
E
z
y
z
x
σ
υε
σ
υε
−=
−=
37
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• Sumando todas: Y en forma matricial:
G
G
G
EEE
EEE
EEE
xy
xy
xz
xz
yz
yz
zyx
z
zyx
y
zyx
x
τ
γ
τ
γ
τ
γ
σσ
υ
σ
υε
σ
υ
σσ
υε
σ
υ
σ
υ
σ
ε
=
=
=
+−−=
−+−=
−−=








































−−
−−
−−
=




















xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
τ
τ
τ
σ
σ
σ
υυ
υυ
υυ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
/100000
0/10000
00/1000
000/1//
000//1/
000///1
38
5. Relaciones tensión-deformación para un
sólido elástico isótropo lineal
• Parecería que se requieren tres constantes para caracterizar el comportamiento elástico
de un material isótropo lineal. Sin embargo, sólo dos son independientes. Se cumple
que:
)1(2 υ+
=
E
G
• Asimismo, se cumple la siguiente relación:
)21(3 υ−
=
E
K
• Se deja como ejercicio demostrar dichas relaciones.
39
6. Trabajo de deformación elástica
• Se denomina energía de deformación elástica al trabajo realizado por las fuerzas
exteriores para deformar elásticamente el material.
• Con la expresión de deformaciones normales y tangenciales, se puede deducir
que el incremento de trabajo producido por unidad de volumen en el entorno de
un punto en el que se producen los incrementos de deformaciones bajo el estado
de tensiones es:
∑∑ ==
=++++=
3
1
3
1
232322221111 ......
j
ijij
i
dddd
V
dW
εσγσεσεσ
40
7. Módulo elástico de materiales compuestos
Fibra vidrio + Poliester
Piscina
Fibra vidrio + Poliester
Yate
41
7. Módulo elástico de materiales compuestos
Dirección longitudinal: condición de igual deformación
σ1
σ1
σ1m
σ1f
Vm
Vf
m
m
m
f
f
f
EE
1
1
1
11
σ
ε
σ
εε ==== mmff VV 111 σσσ += mmff EVEVE +=1
42
7. Módulo elástico de materiales compuestos
Dirección transversal: condición de igual tensión
σ2
σ2
σ2m
σ2f
Vm
Vf
mmmfff EE 222222 εσεσσ ====
1
22
2
2
2
2
−








+=
+
==
m
m
f
f
mmff
f
E
V
E
V
VV
E
εε
σ
ε
σ
mmff VV 222 εεε +=
43
7. Módulo elástico de materiales compuestos
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Vf
E(GPa)
Dirección longitudinal
Dirección transversal
44
8. Diseño en ingeniería
• Resistencia de materiales: cálculo ingenieril de las
tensiones y deformaciones
• Ciencia de Materiales: entender cómo los materiales se
deforman y rompen ⇒ Selección de materiales y
desarrollo de nuevos materiales (por ejemplo, composites)
• Vamos a ver algunos estados de cargas muy comunes
desde el punto de vista del material:
– Tracción de un cable
– Flexión de una viga
– Presurización de tubos cilíndricos.
45
Diseño en ingeniería
• Caso 1: Cable a tracción
En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más
ligero sin perder rigidez a tracción.
Sea un cable de longitud L y sección transversal A, sometido a una
fuerza de tracción F. La elongación ∆L vendrá dada por:
Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:
Entonces, para una elongación constante ∆L, eliminando el valor del
área A de ambas ecuaciones, obtenemos:
Es decir, que a una rigidez constante (∆L constante), para minimizar el
peso es necesario maximizar la relación E/ρ.
EL
FL
EL
FL
LPeso
ρ
ρ ⋅
∆
=
⋅∆
=
2
AE
FL
L
L
L
E
A
F
E =∆⇒
∆
=⇒= εσ LAPeso ρ=
8. Diseño en ingeniería
46
• Cable a tracción (cont.). Representación de E versus ρ para distintos
materiales:
Nota:
CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic
GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic
KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic
E/ρ CONSTANTE
8. Diseño en ingeniería
47
Diseño en ingeniería
Investigación y Ciencia, Febrero, 1998
• Cable a tracción (cont.):
– Otro parámetro de diseño importante es su resistencia a tracción.
– La longitud de los puentes colgantes ha aumentado gracias a que se han
desarrollado aceros con mayores resistencias a tracción.
8. Diseño en ingeniería
48
8. Diseño en ingeniería
• Caso 2: Flexión de una viga
Supongamos por ejemplo una barra empotrada en un extremo que soporta
una carga transversal F en su extremo opuesto. Se puede calcular que la
deflexión máxima δ (en el extremo libre) viene dada por:
donde I es el momento de inercia, que depende de la forma de la sección
transversal. Para una sección rectangular:
h
b
EI
FL
3
3
=δ
12
3
bh
I =
P
L
δ
P
L
δ
Tensiones tractivas
Tensiones compresivas
Línea neutra
F
49
8. Diseño en ingeniería
•Flexión de una viga (cont.):
Para aumentar la rigidez de la viga a flexión, es decir,
minimizar la deflexión δ, hay que maximizar el producto EI:
Para maximizar E hay que actuar sobre el material
o Por ejemplo, composites
Para maximizar I, hay que actuar sobre la forma de la sección
transversal (cuanto más área tenga localizada lejos de la línea
neutra, mayor será I). De ahí, la forma de muchas vigas
estructurales en forma de I
50
8. Diseño en ingeniería
• Flexión de una viga (cont.)
En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero
sin perder rigidez a flexión.
Sea un viga empotrada de longitud L y sección transversal cuadrada de
lado b, sometido a una fuerza F en su extremo. Utilizando las ecuaciones
de la página 13, tenemos que la deflexión vendrá dada por:
Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por:
Entonces, para una deflexión constante δ, eliminando el valor de b entre
ambas ecuaciones, obtenemos:
Es decir, que a una rigidez constante (δ constante), para minimizar el peso
es necesario maximizar la relación E/ρ1/2.
EI
FL
3
3
=δ
12
4
b
I =
Eb
FL
4
3
4
=⇒ δ
2
LbPeso ρ=
21
215213
2
4
E
FL
E
Fl
LPeso
ρ
δδ
ρ 





=





⋅
=
51
Diseño en ingeniería
• Flexión de una viga (cont.). Representación de E versus ρ para
distintos materiales:
Nota:
CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic
GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic
KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic
E/ρ1/2 CONSTANTE
8. Diseño en ingeniería
52
Ejemplos:
Aleaciones de Al
Composites de fibra de vidrio
Composites de fibra de carbono
8. Diseño en ingeniería
Composites de fibra de vidrio
Composites de fibra de carbono
53
Ejemplos de fallo de diseño
• Se suele utilizar un coeficiente de seguridad n de forma que
las tensiones máximas en el material no superen cierto valor
umbral, por ej, σY/n.
8. Diseño en ingeniería
54
Diseño en ingeniería
Ejemplos de fallo de diseño
• El puente de Tacoma en el estado de Washington
– Se cayó el 7 de noviembre de 1940 debido a vibraciones producidas por
fuertes vientos debido a la insuficiente rigidez del puente a flexión.
8. Diseño en ingeniería
55
Ejemplos de fallo de diseño
• El puente del Milenio (Millenium bridge) sobre el Támesis
– También sufrió problemas de rigidez a flexión.
– Imágenes de la inauguración: 10 Junio 2000
8. Diseño en ingeniería
56
• Caso 3: Depósito cilíndrico a presión
Supongamos un tubo cerrado sometido a presión P. La relación entre la
presión y las tensiones en las paredes del tubo se puede derivar, mediante
un balance entre las fuerzas ejercidas por la presión y por las tensiones.
Para un tubo de pared delgada (t<<R), se obtiene que:
8. Diseño en ingeniería
t
PR
=θσ
t
PR
z
2
=σ
θσ θσ
P
RLPRt 22 ⋅=⋅θσ
t
P 2R
L
zσ
P
2
2 RPtRz ππσ ⋅=⋅⋅
θσ
θσ
zσzσ
Corte paralelo al eje Corte perpendicular al eje
57
• Depósito cilíndrico a presión (cont.)
Por eso, es más frecuente que aparezcan grietas en dirección axial que en
dirección circunferencial, porque las grietas tienden a crecer en el plano
perpendicular a las máximas tensiones tractivas y, en este caso:
8. Diseño en ingeniería
zσσθ ⋅= 2t
P 2R
L
Grieta
θσ
θσ
58
•Tipos de tensiones en el fuselaje de un avión
Un avión está sometido a momentos flectores y a tensiones de
presurización:
• Durante el vuelo, las alas sufren momentos flectores, que originan
tensiones compresivas en la superficie de arriba y tensiones tractivas en la
de abajo (están tensiones son invertidas durante el aterrizaje)
• La cabina del avión está presurizada a 0.8 atm. A altura de crucero
(30.000-40.000 pies), la presión atmosférica es de 0.2-0.3 atm., por lo que
existe una sobrepresión sobre la pared del fuselaje de 0.5-0.6 atm.
• Además, existirán momentos flectores sobre el fuselaje, ya que éste está
soportado por las alas, pero la fuerza de la gravedad origina momentos
flectores en las partes delantera y trasera.
8. Diseño en ingeniería
59
8. Diseño en ingeniería
60
Ejemplos de fallo de diseño
• Aterrizaje de un avión
– Se estrelló el 2 de Mayo 1980 en California durante pruebas de
aterrizaje porque el piloto bajó demasiado deprisa durante el
aterrizaje, generando tensiones en el fuselaje que excedieron su
resistencia a flexión.
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Comportamiento elástico y relación tensión-deformación

  • 1. 1 Capítulo 3 Tensión y deformación. Comportamiento elástico. 2 Índice general 1. Noción de tensión y deformación. Estados de tensiones: tensión normal, tensión a cortadura y tensión hidrostática 2. Ley de Hooke. Módulo elástico 3. Coeficiente de expansión térmica 4. Generalización de los conceptos de tensión y deformación en un punto: • Tensión en un punto • Transformación de las componentes de tensión • Deformación en un punto • Transformación de las componentes de deformación • Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas 5. Relaciones tensión-deformación para un material isótropo elástico lineal 6. Trabajo realizado por las tensiones al producir una deformación 7. Módulo elástico de materiales compuestos 8. Ejemplos de diseño en ingeniería: cables a tracción, vigas a flexión y cilindros a presión
  • 2. 3 1. Tensión y deformación • Estados de tensión: tensión normal, tensión de cortadura y tensión hidrostática • Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión (negativa) L0 L1 4 1. Tensión y deformación • Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de superficie Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa) • Deformación normal: respuesta del material a la aplicación de la tensión. Se mide como el cambio relativo de longitud en la dirección de aplicación de la fuerza (lo que se estira o se encoge) 0A F =σ 0 01 L LL − =ε L0 L1
  • 3. 5 1. Tensión y deformación • Tensión de cortadura: la fuerza actúa en dirección paralela a la superficie. La tensión de cortadura se define como la intensidad de fuerza tangencial por unidad de superficie Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa) • Deformación tangencial: mide cuando se distorsiona la forma al aplicar una la tensión de cortadura (la distorsión que sufre un ángulo que inicialmente era π/2): (si γ pequeño) 0A F =τ γγγ ≈= ∆ = tan 0 0 x y 6 1. Tensión y deformación • Tensión hidrostática: tres fuerzas perpendiculares e iguales entre sí (una presión). La tensión hidrostática se define como la presión a la que está sometido el cuerpo (signo: contrario a la presión) Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa) • Deformación volumétrica: mide cuando se distorsiona la forma al aplicar una la tensión de cortadura: ph −=σ 0 0 V VV V − =ε
  • 4. 7 1. Tensión y deformación • Ejemplos: 8 2. Deformación elástica. Ley de Hooke • La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es elástica. Eso quiere decir que la deformación es reversible al dejar de aplicar la tensión, es decir, que el sólido recupera su forma inicial. • En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación en el régimen elástico es lineal, es decir: (Ley de Hooke) donde E: módulo de Young (Unidades: [Pa]) • En el caso de que la tensión aplicada sea de cortadura: donde G: módulo de cortadura (Unidades: [Pa]) εσ ⋅= E γτ ⋅= G
  • 5. 9 2. Deformación elástica. Ley de Hooke Vh K εσ ⋅= • Existen otras constantes elásticas importantes: • Módulo de Poisson ν: mide la deformación transversal originada por una deformación normal: • Módulo de rigidez volumétrica Κ: nt ευε ⋅−= 0 0 0 0 x xx y yy − ⋅−= − υ 5.01 <<− υ 0>K 10 2. Deformación elástica. Ley de Hooke • No existe una relación fija entre G y E, pero habitualmente G~0.4 E. • Para un material elásticamente isótropo, sólo son necesarias dos constantes elásticas para definir el comportamiento del material. Es decir, que de las cuatro constantes presentadas E, G, ν y K sólo dos son independientes (como veremos más adelante) • Sin embargo, el comportamiento de un material elásticamente anisótropo necesita de más constantes elásticas, cómo veremos más adelante
  • 6. 11 2 Deformación elástica • Módulo de Young – Simbolo: Ε – Unidades: GPa – Relación entre la tensión aplicada a un material y la deformación con la que éste responde 12 2. Deformación elástica. Ley de Hooke • E depende del tipo de enlace y de la estructura cristalina. Así, E depende de la T pero es relativamente insensible a la microestructura del material.
  • 7. 13 3. Coeficiente de expansión térmica • Los materiales se dilatan al aumentar la temperatura y se contraen al disminuirla, ¿por qué? • La respuesta se puede encontrar en la asimetría del potencial del enlace interatómico. Al aumentar la temperatura, aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño. 14 3. Coeficiente de expansión térmica • Definición: )( 0 1 TT KCTE T − =− ε To ToT To ToT T y yy x xx − = − =ε
  • 8. 15 3. Coeficiente de expansión térmica • La forma del potencial interatómico hace que al aumentar la temperatura, aumente la separación media entre los átomos, haciendo que el material se dilate. Así, un material con enlace fuerte, tendrá un coeficiente de expansión térmica pequeño. 16 4. Tensión y deformación en un punto. 4.1 Tensión en un punto • Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, la tensión era uniforme en toda la sección del cuerpo pero eso no es siempre así. • Supongamos el caso general de un cuerpo de forma arbitraria sometido a esfuerzos (fuerzas de superficie y fuerzas de volumen). Para conocer la tensión en el punto 0 con respecto al plano mn, sustituimos la parte A del cuerpo por un sistema de fuerzas que mantenga a la parte B en la misma posición. Si ∆A es la superficie de una región que rodea al punto 0 y ∆F, la fuerza que actúa en esa región, entonces la tensión σ en el punto 0 con respecto al plano mn viene dada por: NOTA: Como existen infinitos planos que pasan por 0, existen infinitos valores de la tensión σ en el punto 0. El valor de una tensión siempre está asociado a un plano. Además, como tanto la fuerza como la superficie son magnitudes vectoriales (módulo y dirección), la tensión tiene asociadas dos familias de cosenos directores, por lo que el la tensión es un tensor de 2º orden. A F A ∆ ∆ = →∆ 0 limσ
  • 9. 17 4. Tensión y deformación en un punto. • Como la fuerza ∆F no tiene por qué ser perpendicular al plano ∆A, la fuerza se descompone en sus componentes normal y tangencial: • Por lo tanto, σij representa una componente de tensión que actúa sobre el plano i en dirección j: – Cuando i=j, la tensión es normal: σi – Cuando i≠j, la tensión es de cortadura τij Convención de signos: σij >0 si el sentido de la fuerza en dirección j coincide con el de la normal a la superficie i hacia fuera del volumen; σij < 0 en caso contrario. xzxz x z A xyxy x y A xxx x x A A F A F A F x x x τσ τσ σσ == ∆ ∆ == ∆ ∆ == ∆ ∆ →∆ →∆ →∆ 0 0 0 lim lim lim 18 4. Tensión y deformación en un punto. • Tensión en un punto: En un cuerpo sometido a esfuerzos, definimos un sistema ortonormal de coordenadas. Consideramos entonces un elemento infinitesimal de volumen asociado al punto, limitado por caras paralelas a los tres planos ortogonales definidos por el sistema de referencia. Sobre cada cara actúan, en general, tres componentes de fuerza. Podemos, en primera aproximación, definir las tensiones actuantes en ese punto como componentes de “intensidad de fuerza”, o componentes de la fuerza por unidad de superficie que se transmite a través de cada cara: siendo: i = j tensiones normales i ≠ j tensiones de cortadura donde Aj es el elemento de superficie perpendicular a la dirección j y Fi la componente de fuerza transmitida a través de Aj en la dirección i. j i ij dA dF =σ
  • 10. 19 4. Tensión y deformación en un punto. • Considerando las 3 direcciones de referencia, resultan 9 componentes de tensión. Consideraciones de equilibrio de fuerzas y momentos, reducen las componentes independientes a 6: y por tanto, el tensor de tensiones es una matriz simétrica. • Por ej, si planteamos el equilibrio de momentos en dirección z: jiij ττ =           = zzyzx yzyyx xzxyx ij σττ τστ ττσ σ yxxy ττ = 20 4. Tensión y deformación en un punto. 4.2 Transformación de las componentes de tensión Considerando dos sistemas de referencia ortonormales (x, y, z) y (x´, y´, z´) cuyos cosenos directores son , siendo el ángulo formado por las direcciones i´y j del 2º y 1er sistema de referencia respectivamente, la expresión para la transformación de las componentes de tensión del 1er al 2º sistema de referencia son: o en notación matricial: jijil ′′ = θcos ∑∑ == = 3 1 ´´ 3 1 ´´ l klljki k ji ll σσ ji′θ ( ) ( )( )( ) ( )                               = = ′′ 332313 322212 312111 333231 232221 131211 ´´ ´´ lll lll lll l lll lll lll ll zzyzx yzyyx xzxyx yx T jiijjiji σττ τσ ττσ σ σσ
  • 11. 21 4. Tensión y deformación en un punto. Caso de tensión plana Supongamos que conocemos las componentes de tensión en el punto 0 referidas al sistema de coordenadas {x,y} y que queremos conocer las componentes de tensión referidas al sistema {x’, y’}: Si definimos el plano AB, a una distanca infinitesimal del punto 0, podemos aplicar el equilibrio de fuerzas en direcciones x’ e y’: ycossin ysincos θθ θθ +−=+=′ +=+=′ ′′ ′′ xylxly xylxlx yyxy yxxx θσθτθτθσσ sincossincos0 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⇒=∑ ′′ OAOAOBOBABF yyxxyxxx θσθθτθσσ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx θσθτθτθστ sincossincos0 '' ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⇒=∑ ′ OBOBOAOAABF xxyxyyyxy ( ) ( )θθτθθσστ 22 ' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx 22 4. Tensión y deformación en un punto. Caso de tensión plana (cont´) Para calcular σy’ hacemos una operación similar: θσθθτθσσ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅+⋅=′ yxyxx ( ) ( )θθτθθσστ 22 ' sincoscossin −⋅+⋅⋅−=′ xyxyyx θσθθτθσσ 22 ' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy Por lo tanto, en un caso de tensión plana, la transformación de las componentes de tensión viene dada por: Notad que: Es decir, que independientemente del sistema de referencia, la suma de las tensiones normales es un invariante del estado de tensiones. (Queda como ejercicio demostrar que se llega a las mismas ecuaciones aplicando las ecuaciones de la página 20.) θσθθτθσσ 22 ' coscossin2sin ⋅+⋅⋅−⋅= yxyxy yxyxyx σσθθσθθσσσ +=+++=+ )sin(cos)sin(cos 2222 ''
  • 12. 23 4. Tensión y deformación en un punto. 4.3 Concepto de deformación incremental • La forma de un material bajo tensión cambia: el material sufre deformaciones. El cambio de forma implica desplazamientos del material, pero no todos los desplazamientos comportan deformaciones: los puntos de un sólido rígido también pueden sufrir desplazamientos, que pueden descomponerse en rotaciones y traslaciones. Para expresar las deformaciones, debemos eliminar de los desplazamientos totales de los puntos del cuerpo aquella porción que constituye movimiento del sólido rígido, es decir, meramente traslaciones y rotaciones, sin distorsión de forma. • En un instante dado, la posición de cada punto del cuerpo material respecto a un sistema externo de referencia viene definida por las coordenadas (x, y, z). Bajo un conjunto de esfuerzos y con las restricciones de contorno pertinentes, los puntos del cuerpo habrán experimentado un campo de desplazamientos, función de las coordenadas iniciales de cada punto. ),,( xyxuu ii = 24 4. Tensión y deformación en un punto. Deformación plana • Supongamos el paralelogramo ABCD. Bajo la acción de un campo de fuerzas, el paralelogramo se deforma según A’B’C’D’. • Suponiendo desplazamientos pequeños, los desplazamientos relativos unitarios (por unidad de longitud) normales vendrán dados por: x u dx dxdx x u dx AD ADPA AD ADDA u x x xx ∂ ∂ = − ∂ ∂ + = − ≅ − = ''' y u dy dydy y u dy AB ABQA AB ABBA u y y yy ∂ ∂ = − ∂ ∂ + = − ≅ − = '''
  • 13. 25 4. Tensión y deformación en un punto. Deformación plana • Además del cambio de dimensiones, el paralelogramo cambia de forma, por ej, el ángulo B’A’D’ era inicialmentede 90º. • Los desplazamientos relativos unitarios tangenciales miden este cambio de forma. • Así por ej, uyx mide el giro sufrido por el segmento A’D’, inicialmente paralelo al eje x: x u dx x u dx dx x u PA PD PADángulou y x y yx ∂ ∂ ≅ ∂ ∂ + ∂ ∂ === ' ' arctan'' y u dy y u dy dy y u QA QB QABángulou x y x xy ∂ ∂ ≅ ∂ ∂ + ∂ ∂ === ' ' arctan'' 26 4. Tensión y deformación en un punto. • Por lo tanto, los desplazamientos relativos unitarios en el caso plano constituyen una matriz : • Los desplazamientos relativos unitarios no sólo representan deformaciones, si no también rotaciones. Esto se puede deducir fácilmente, descomponiendo la matriz en su parte simétrica y su parte antisimétrica:             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y u x u y u x u u yy xx ij ( ) ( ) ijijjiijjiijij uuuuu ωε +=−++= 2 1 2 1                   ∂ ∂ − ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ +             ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 y u x u x u y u y u x u y u x u y u x u y u x u y u x u u xy yx yyx yxx yy xx ij
  • 14. 27 4. Tensión y deformación en un punto. • Veamos un ejemplo sencillo:       = 00 0 γ iju           − 0 2 2 0 γ γ           0 2 2 0 γ γ = + Cortadura pura Cortadura simple Rotación iju ijε ijω= + = + 28 4. Tensión y deformación en un punto. • Relación con la deformación a cortadura ingenieril De lo anterior es fácil deducir que: xy xy xy xy y u x u ánguloángulo εγ γ 2 B'QA'P'A'D' = ∂ ∂ + ∂ ∂ = +=
  • 15. 29 4. Tensión y deformación en un punto. • En un caso general, si consideramos el entorno infinitesimal de un punto durante un pequeño incremento de tiempo, se pueden haber producido los 9 desplazamientos relativos por unidad de longitud que constituyen la matriz:                   = dz du dy du dx du dz du dy du dx du dz du dy du dx du u zzz yyy zxx ij 30 4. Tensión y deformación en un punto. • Descomponiendo la matriz de desplazamientos relativos unitarios en su parte simétrica y su parte antisimétrica: • De la descomposición se deduce que: – Los términos no nulos de la matriz antisimétrica representan rotaciones respecto a los ejes del sistema de referencia – Los términos de la parte simétrica de la matriz de desplazamientos relativos unitarios constituyen las deformaciones.                           −      −       −      −       −      − +                           +      +       +      +       +      + = 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du dx du uij [ ] [ ] [ ] ( ) ( )jiijij jiijij ijijij uu uu u −= += += 2 1 2 1 ω ε ωε 0 0 << << ij ij ω ε siendo:
  • 16. 31 4. Tensión y deformación en un punto. 4.4 Transformación de las componentes de deformación: • Teniendo en cuenta que εij es también un tensor de segundo orden, son válidas también las ecuaciones obtenidas para la transformación de la tensión, es decir, que: ∑∑ == = 3 1 ´´ 3 1 ´´ l klljki k ji ll εε ( ) ( )( )( ) ( )                               = = ′′ 332313 322212 312111 333231 232221 131211 ´´ ´´ lll lll lll lll lll lll ll zzyzx yzyyx xzxyx yx T jiijjiji εεε εεε εεε σ εε 32 4. Tensión y deformación en un punto. 4.5 Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas • Las deformaciones producen no sólo un cambio de volumen, si no también un cambio de la forma del cuerpo. Un estado de tensiones, σij, contiene una componente hidrostática σh, que se expresa: • La componente hidrostática de las tensiones produce sólo una deformación volumétrica del cuerpo que vendrá dada por: ( ) 3/zzyyxxh σσσσ ++= ∑= =++= 3 1i iizzyyxxv εεεεε
  • 17. 33 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • En un caso general, y si el sólido se comporta de forma elástica lineal, serán necesarias 36 constantes elásticas para definir su comportamiento, ya que tenemos que relacionar dos tensores de segundo orden. En forma matricial, se puede expresar como: donde Cij son las constantes de rigidez. Alternativamente, se pueden definir las constantes de flexibilidad:                                         =                     xy xz yz z y x xy xz yz z y x CC CC CCCCCC γ γ γ ε ε ε τ τ τ σ σ σ 6661 2221 161514131211 ... ... { } { }{ }σε S= 34 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • La condición de reversibilidad obliga a que la matriz de rigidez sea simétrica, con lo que el número de constantes se reduce a 21. Este es el número máximo de constantes que hay que conocer para definir el comportamiento elástico lineal de un material totalmente anisótropo. • Sin embargo, sabemos que por ej un monocristal presenta ciertas simetrías dependiendo de su estructura cristalina, con lo que el número de constantes de rigidez independientes puede reducirse considerablemente. • Por ej., un cristal cúbico referido a los ejes <100> del cristal:                     44 44 44 111212 121112 121211 00000 00000 00000 000 000 000 S S S SSS SSS SSS
  • 18. 35 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • En un caso isótropo: es independiente de la dirección de medida. • Para hallar las relaciones tensión-deformación, es posible aplicar el principio de superposición lineal Estamos considerando un fenómeno reversible regido por una ley lineal. Dadas varias situaciones de tensiones con sus correspondientes deformaciones (a nivel de un elemento de volumen, cada una de ellas es la solución de una caso particular del sistema lineal general de 6 ecuaciones y 6 incógnitas definido por las relaciones elásticas tensiones / deformaciones), se puede aplicar el “principio de superposición lineal”: combinaciones lineales de soluciones elásticas son a su vez soluciones elásticas válidas. Este “principio” es muy útil para soluciones problemas elásticos 36 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • Así, para un sólido elástico isótropo líneal podemos descomponer el caso general en 6 casos particulares: E x x σ ε = xzxz G γτ ⋅= E y y σ ε = E z z σ ε = xyxy G γτ ⋅= yzyz G γτ ⋅= E E x z x y σ υε σ υε −= −= E E y z y x σ υε σ υε −= −= E E z y z x σ υε σ υε −= −=
  • 19. 37 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • Sumando todas: Y en forma matricial: G G G EEE EEE EEE xy xy xz xz yz yz zyx z zyx y zyx x τ γ τ γ τ γ σσ υ σ υε σ υ σσ υε σ υ σ υ σ ε = = = +−−= −+−= −−=                                         −− −− −− =                     xy xz yz z y x xy xz yz z y x G G G EEE EEE EEE τ τ τ σ σ σ υυ υυ υυ γ γ γ ε ε ε /100000 0/10000 00/1000 000/1// 000//1/ 000///1 38 5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • Parecería que se requieren tres constantes para caracterizar el comportamiento elástico de un material isótropo lineal. Sin embargo, sólo dos son independientes. Se cumple que: )1(2 υ+ = E G • Asimismo, se cumple la siguiente relación: )21(3 υ− = E K • Se deja como ejercicio demostrar dichas relaciones.
  • 20. 39 6. Trabajo de deformación elástica • Se denomina energía de deformación elástica al trabajo realizado por las fuerzas exteriores para deformar elásticamente el material. • Con la expresión de deformaciones normales y tangenciales, se puede deducir que el incremento de trabajo producido por unidad de volumen en el entorno de un punto en el que se producen los incrementos de deformaciones bajo el estado de tensiones es: ∑∑ == =++++= 3 1 3 1 232322221111 ...... j ijij i dddd V dW εσγσεσεσ 40 7. Módulo elástico de materiales compuestos Fibra vidrio + Poliester Piscina Fibra vidrio + Poliester Yate
  • 21. 41 7. Módulo elástico de materiales compuestos Dirección longitudinal: condición de igual deformación σ1 σ1 σ1m σ1f Vm Vf m m m f f f EE 1 1 1 11 σ ε σ εε ==== mmff VV 111 σσσ += mmff EVEVE +=1 42 7. Módulo elástico de materiales compuestos Dirección transversal: condición de igual tensión σ2 σ2 σ2m σ2f Vm Vf mmmfff EE 222222 εσεσσ ==== 1 22 2 2 2 2 −         += + == m m f f mmff f E V E V VV E εε σ ε σ mmff VV 222 εεε +=
  • 22. 43 7. Módulo elástico de materiales compuestos 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Vf E(GPa) Dirección longitudinal Dirección transversal 44 8. Diseño en ingeniería • Resistencia de materiales: cálculo ingenieril de las tensiones y deformaciones • Ciencia de Materiales: entender cómo los materiales se deforman y rompen ⇒ Selección de materiales y desarrollo de nuevos materiales (por ejemplo, composites) • Vamos a ver algunos estados de cargas muy comunes desde el punto de vista del material: – Tracción de un cable – Flexión de una viga – Presurización de tubos cilíndricos.
  • 23. 45 Diseño en ingeniería • Caso 1: Cable a tracción En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a tracción. Sea un cable de longitud L y sección transversal A, sometido a una fuerza de tracción F. La elongación ∆L vendrá dada por: Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por: Entonces, para una elongación constante ∆L, eliminando el valor del área A de ambas ecuaciones, obtenemos: Es decir, que a una rigidez constante (∆L constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ. EL FL EL FL LPeso ρ ρ ⋅ ∆ = ⋅∆ = 2 AE FL L L L E A F E =∆⇒ ∆ =⇒= εσ LAPeso ρ= 8. Diseño en ingeniería 46 • Cable a tracción (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales: Nota: CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic E/ρ CONSTANTE 8. Diseño en ingeniería
  • 24. 47 Diseño en ingeniería Investigación y Ciencia, Febrero, 1998 • Cable a tracción (cont.): – Otro parámetro de diseño importante es su resistencia a tracción. – La longitud de los puentes colgantes ha aumentado gracias a que se han desarrollado aceros con mayores resistencias a tracción. 8. Diseño en ingeniería 48 8. Diseño en ingeniería • Caso 2: Flexión de una viga Supongamos por ejemplo una barra empotrada en un extremo que soporta una carga transversal F en su extremo opuesto. Se puede calcular que la deflexión máxima δ (en el extremo libre) viene dada por: donde I es el momento de inercia, que depende de la forma de la sección transversal. Para una sección rectangular: h b EI FL 3 3 =δ 12 3 bh I = P L δ P L δ Tensiones tractivas Tensiones compresivas Línea neutra F
  • 25. 49 8. Diseño en ingeniería •Flexión de una viga (cont.): Para aumentar la rigidez de la viga a flexión, es decir, minimizar la deflexión δ, hay que maximizar el producto EI: Para maximizar E hay que actuar sobre el material o Por ejemplo, composites Para maximizar I, hay que actuar sobre la forma de la sección transversal (cuanto más área tenga localizada lejos de la línea neutra, mayor será I). De ahí, la forma de muchas vigas estructurales en forma de I 50 8. Diseño en ingeniería • Flexión de una viga (cont.) En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a flexión. Sea un viga empotrada de longitud L y sección transversal cuadrada de lado b, sometido a una fuerza F en su extremo. Utilizando las ecuaciones de la página 13, tenemos que la deflexión vendrá dada por: Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por: Entonces, para una deflexión constante δ, eliminando el valor de b entre ambas ecuaciones, obtenemos: Es decir, que a una rigidez constante (δ constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ1/2. EI FL 3 3 =δ 12 4 b I = Eb FL 4 3 4 =⇒ δ 2 LbPeso ρ= 21 215213 2 4 E FL E Fl LPeso ρ δδ ρ       =      ⋅ =
  • 26. 51 Diseño en ingeniería • Flexión de una viga (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales: Nota: CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic E/ρ1/2 CONSTANTE 8. Diseño en ingeniería 52 Ejemplos: Aleaciones de Al Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono 8. Diseño en ingeniería Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono
  • 27. 53 Ejemplos de fallo de diseño • Se suele utilizar un coeficiente de seguridad n de forma que las tensiones máximas en el material no superen cierto valor umbral, por ej, σY/n. 8. Diseño en ingeniería 54 Diseño en ingeniería Ejemplos de fallo de diseño • El puente de Tacoma en el estado de Washington – Se cayó el 7 de noviembre de 1940 debido a vibraciones producidas por fuertes vientos debido a la insuficiente rigidez del puente a flexión. 8. Diseño en ingeniería
  • 28. 55 Ejemplos de fallo de diseño • El puente del Milenio (Millenium bridge) sobre el Támesis – También sufrió problemas de rigidez a flexión. – Imágenes de la inauguración: 10 Junio 2000 8. Diseño en ingeniería 56 • Caso 3: Depósito cilíndrico a presión Supongamos un tubo cerrado sometido a presión P. La relación entre la presión y las tensiones en las paredes del tubo se puede derivar, mediante un balance entre las fuerzas ejercidas por la presión y por las tensiones. Para un tubo de pared delgada (t<<R), se obtiene que: 8. Diseño en ingeniería t PR =θσ t PR z 2 =σ θσ θσ P RLPRt 22 ⋅=⋅θσ t P 2R L zσ P 2 2 RPtRz ππσ ⋅=⋅⋅ θσ θσ zσzσ Corte paralelo al eje Corte perpendicular al eje
  • 29. 57 • Depósito cilíndrico a presión (cont.) Por eso, es más frecuente que aparezcan grietas en dirección axial que en dirección circunferencial, porque las grietas tienden a crecer en el plano perpendicular a las máximas tensiones tractivas y, en este caso: 8. Diseño en ingeniería zσσθ ⋅= 2t P 2R L Grieta θσ θσ 58 •Tipos de tensiones en el fuselaje de un avión Un avión está sometido a momentos flectores y a tensiones de presurización: • Durante el vuelo, las alas sufren momentos flectores, que originan tensiones compresivas en la superficie de arriba y tensiones tractivas en la de abajo (están tensiones son invertidas durante el aterrizaje) • La cabina del avión está presurizada a 0.8 atm. A altura de crucero (30.000-40.000 pies), la presión atmosférica es de 0.2-0.3 atm., por lo que existe una sobrepresión sobre la pared del fuselaje de 0.5-0.6 atm. • Además, existirán momentos flectores sobre el fuselaje, ya que éste está soportado por las alas, pero la fuerza de la gravedad origina momentos flectores en las partes delantera y trasera. 8. Diseño en ingeniería
  • 30. 59 8. Diseño en ingeniería 60 Ejemplos de fallo de diseño • Aterrizaje de un avión – Se estrelló el 2 de Mayo 1980 en California durante pruebas de aterrizaje porque el piloto bajó demasiado deprisa durante el aterrizaje, generando tensiones en el fuselaje que excedieron su resistencia a flexión. 8. Diseño en ingeniería