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FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 155
CALOR Y TERMODINÁMICA
Calor y Primer principio de la Termodinámica
Generalidades
Calor y temperatura son conceptos asociados a la sensación que producen
el contacto o la proximidad de ciertos objetos, a los que calificamos subjeti-
vamente de fríos o calientes. Se ha visto que la temperatura es un indicador
estadístico de la energía específica (por unidad de masa) de las partículas
en las que se pueden considerar constituídos los cuerpos extensos. El calor,
como resultado de la temperatura extendida a toda la masa de un cuerpo o
sistema, puede entenderse como un tipo de energía asociada a la materia,
diferente a la energía mecánica. El sabio griego Aristóteles (384-322 AC) ya
lo consideraba como una propiedad de la materia. Mucho después, el fran-
ciscano inglés Roger Bacon (1214-1294) suponía que el calor se debía a las
vibraciones rápidas de las partículas que constituían la sustancia. Los sabios
franceses Lavoisier(1743-1794) y Laplace (1749-1827) observaron que la
propagación del calor tiene gran analogía al movimiento de un fluído que
corre a través de la materia. Estas concepciones diversas, lejos de contrade-
cirse se complementan, como veremos a lo largo del estudio.
Cantidad de calor – calor específico
Para llevar a un cuerpo de masa m de una temperatura T a otra muy próxi-
ma T+dT es necesario entregarle una cantidad de calor dQ proporcional a la
masa y a la diferencia de temperatura, de tal modo que dQ=m.ce.dT
La constante de proporcionalidad ce se llama calor específico de la sustan-
cia en cuestión a la temperatura T. El calor específico de la mayoría de las
sustancias puede considerarse constante dentro de ciertos límites de tempe-
ratura, sin embargo, para no perder generalidad debe tenerse presente que
siempre es una función de ésta.
La cantidad de calor se mide usualmente en calorías. La caloría (pequeña
caloría) es la cantidad de calor necesaria para elevar 1 ºC una masa de 1
gramo de agua pura de 0º a 1 ºC. El calor específico del agua queda así
definido como 1 cal/ºC/g a 0ºC
1
Teniendo en cuenta la equivalencia entre calor y trabajo mecánico cuando
1
Para elevar la temperatura de 1 g de agua de 0ºC a 100ºC hacen falta 100,5 cal.
Esto demuestra que el calor específico del agua aumenta con la temperatura
156
éste se transforma íntegramente en aquél, se puede expresar la cantidad de
calor directamente con unidades de energía, sabiendo que se producen 0,24
calorías cuando se transforma íntegramente en calor un trabajo de 1 Joule.
Esta equivalencia entre calor y energía fué determi-
nada por el físico inglés James Prescott Joule
(1818-1889), quién midió el aumento de temperatura
que se producía en el agua de un recipiente aislado
agitada por el movimiento de un molinete, el cual a su
vez estaba accionado por una pesa que descendía
por gravedad. El aparato estaba hecho con cuidados
especiales como para hacer mínimos los rozamientos
en partes móviles fuera del líquido, que no produci-
rían efecto computable. La energía potencial de la
pesa se transformaba así casi íntegramente en calor
al cabo del descenso.
Calorímetro de agua
Para medir las cantidades de calor de cuerpos o sistemas, se aprovecha el
principio de conservación del mismo: cuando se ponen en contacto dos
cuerpos a diferente temperatura fluye calor del más caliente al más frío hasta
que las temperaturas se igualan. La cantidad de calor perdida por el cuerpo
o sistema más caliente es igual a la ganada por el más frío. La evolución de
ambas temperaturas que convergen hacia la final de equilibrio se realiza con
leyes exponenciales que se acercan asintóticamente, aunque prácticamente
se puede considerar que el equilibrio se alcanza pasado un tiempo finito.
Como sistema de referencia se emplea generalmente una masa m1 de agua
a temperatura bien determinada T1 en un recipiente aislado, como en la
experiencia de Joule para determinar el equivalente térmico del trabajo. En el
agua se sumerge el otro sistema, de masa m2 a una temperatura T2 . El
equilibrio se alcanza a temperatura final Tf de manera que ∆∆Q1=-∆∆Q2, o sea
m1.c1.(T1-Tf) = -m2.c2.(T2-Tf) . El conjunto es una calorímetro de mezclas.
Termómetro y temperatura
La temperatura se mide de ordinario con un termómetro de dilatación,
aparato que emplea la propiedad de algunos líquidos (mercurio o alcohol
absoluto) de aumentar de volumen por el calor en forma proporcional a la
temperatura (véase más adelante, dilatación de los líquidos por el calor). Al
aumentar el volumen del mercurio de la ampolla (bulbo) éste desplaza al que
está en el tubo de sección constante. Se gradúa el termómetro con una es-
cala lineal cuyo cero corresponde al extremo de la columna mercurial colo-
cando todo el termómetro en hielo fundente, y asignando el valor cien a lo
que marca todo el aparato en el vapor en equilibrio en agua en ebullición a
Equivalente
térmico del
trabajo
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 157
la presión atmosférica normal
2
. Esta escala se llama de Celsius o centígra-
da. La temperatura en grados Celsius
3
o Centígrados (ºC), se relaciona con
la temperatura absoluta T a través de la relación T=t+273. Como se recuer-
da, la escala absoluta (en grados Kelvin) se define en base a la ecuación de
los gases ideales T=p.v/n/R, por la cual el producto de la presión y el volu-
men ocupado por un gas es proporcional a una variable que es una medida
macroscópica de la energía interna del gas. Más adelante veremos que la
escala absoluta de temperaturas queda también definida por consideracio-
nes termodinámicas, por lo cual también se la llama “escala termodinámica”.
En países anglosajones aún se usa la escala termométrica Fahrenheit
4
(ºF),
que asigna al agua hirviente el valor 212ºF y al hielo en fusión 32ºF. Está
completamente abandonada la antigua escala de temperaturas Reaumur,
cuyo cero coincide con el de la escala centígrada, pero que divide al inter-
valo entre hielo y vapor de agua hirviente en 80 partes en vez de cien.
Ejemplo: Un trozo de metal de 900g calentado en contacto con agua hirviente se
sumerge en un calorímetro muy bien aislado que tiene 1 litro de agua a 15ºC. La
temperatura del agua asciende hasta estabilizarse en 23ºC. ¿Cuál es el calor específi-
co del metal?
Solución: Planteamos la ecuación calorimétrica de equilibrio
m1.c1.(t1-tf) = -m2.c2.(t2-tf)
para m1=1Kg, m2=0,9Kg, t1=15ºC t2=100ºC tf=23ºC
c2/c1 = m1/m2.(tf-t1)/(t2-tf) = 1/0,9 x (23-15)/(100-23) = 0,11
Respuesta: el calor específico del metal es algo mayor que un décimo del del agua
Dilatación de los cuerpos por el calor
Todos los cuerpos se dilatan por el calor. Esa dilatación es relativamente
pequeña en los sólidos, mayor en los líquidos y mayor aún en los gases. De
estos últimos hemos ya estudiado las relaciones entre temperatura, presión y
volumen, así que nos dedicaremos ahora a los dos primeros.
Dilatación de los sólidos
Dilatación lineal
Si sometemos al calor a una varilla sólida de longitud inicial Lo a la tempe-
ratura To , observamos que su longitud crece con la temperatura T, según la
ley L = Lo + Lo.αα.(T-To) = Lo [1+αα.∆∆T] . El coeficiente αα se llama de dilata-
ción lineal, y puede considerarse como una constante propia de cada mate-
rial dentro de cierto rango de temperatura.
2
Cuando sólamente el bulbo del termómetro está en el sistema cuya temperatura se
quiere determinar, es necesario hacer una corrección que tenga en cuenta la diferente
dilatación de la columna (corrección por columna emergente).
3
Inventada en 1742 por el astrónomo sueco Andrés Celsius
4
Esta escala se debe al físico alemán Daniel Gabriel Fahrenheit (siglo XIX)
158
COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL DE ALGUNOS SÓLIDOS
MATERIAL α(1/α(1/ºC) MATERIAL α(1/α(1/ºC))
Vidrio 0,9 x 10
-5
Plata 2 x 10
-5
Platino 0,9 x 10
-5
Aluminio 2,6 x 10
-5
Hierro 1,1 x 10
-5
Cinc 2,9 x 10
-5
Cobre 1,8 x 10
-5
Plomo 2,9 x 10
-5
Latón 2 x 10
-5
Azufre 7,4 x 10
-5
La ley anterior puede ponerse de la forma (L-Lo)/Lo=αα.∆∆T lo que nos dice
que el alargamiento relativo a la longitud primitiva es proporcional al aumento
de la temperatura.
Ejemplo: ¿Qué aumento de longitud se producirá en una viga de hierro que tiene 6 m
de longitud a 20ºC cuando la temperatura ambiente sube a 30ºC?
∆∆L = L.α.(α.(T-To) = 6m.1,1 x 10
-5
(ºC)
-1
10ºC = 0,66 mm
Consideración: Si a esta viga se le impidiera dilatar-
se, por ejemplo empotrándole los extremos y supo-
niendo que no hay pandeo (flexión lateral), ejercería
una fuerza sobre los vínculos equivalente a la que le
produciría un acortamiento ε = ∆L/L = 0,66/6000 =
0,00011 . De acuerdo a lo visto en resistencia de
materiales, el acortamiento produce un esfuerzo de
compresión σσ en el hierro de la viga igual a σσ = E.εε =
2,2x10
11
x 0,00011 = 24,2 x 10
6
N/m
2
= 247 Kg/cm
2
.
Supongamos que la viga en cuestión fuera un perfil
de ala ancha Nº 30, que posee 121 cm
2
de sección.
Al estar impedida de dilatarse libremente por el calor,
ejercería sobre los apoyos una fuerza de 247x121= 23887Kg
Dilatación cúbica
Considerando que un cubo de material sufrirá una dilatación lineal en cada
arista de longitud Lo con la misma ley anterior, podemos plantear la variación
de volumen del cubo con la temperatura, según la siguiente expresión:
Vo=Lo
3
; V = L
3
= Lo
3
(1+α.∆T)
3
= Lo
3
[1+3.α.∆T+3.α
2
.∆T
2
+α
3
.∆T
3
]
Como αα es un valor muy pequeño, se pueden despreciar los términos en los
que aparece al cuadrado y al cubo, quedando muy aproximadamente que
V≈≈Vo.[1+3.αα.∆∆T]. Comparando esta fórmula con la de la dilatación lineal se
ve que el coeficiente de dilatación cúbica equivalente vale 3 veces el de
dilatación lineal. De la misma forma se demuestra que el coeficiente de dila-
tación superficial resulta 2αα
Dilatación de los líquidos
El coeficiente de dilatación de los líquidos en general varía con la temperatu-
ra, de manera que la ley que relaciona volumen y temperatura no es lineal.
El agua, por ejemplo, se contrae de 0ºC a 4ºC. De allí en adelante se dilata.
Por lo tanto a 4ºC el agua alcanza su máxima densidad. En cambio el mercu-
30cm
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 159
rio posee un coeficiente de dilatación cúbica casi constante, igual a 2x10-4
,
hecho que lo hace muy apropiado para la construcción de termómetros.
La movilidad de los fluídos y su propiedad de variar de densidad con la tem-
peratura permite su calentamiento o enfriamiento por convección natural,
esto es por el movimiento de ascenso de porciones menos densas y el des-
censo de las más densas. Este mecanismo en el caso del agua, que tiene
densidad máxima a 4ºC hace que un lago enfriado por un viento helado se
congele superficialmente recién cuando toda el agua llega a 4ºC
Primer principio de la Termodinámica
Como recordarán, el principio de conservación de la energía mecánica
dice que en un sistema aislado, en el que no pueda entrar ni salir materia y
energía, se conserva la energía y la materia total. La energía puede pasar
de cinética Ec a potencial V y viceversa, pero su suma o total permanece
constante, es decir Ec+V=cte y consecuentemente su variación es nula, es
decir ∆∆(Ec+V)=0
Si el sistema está en relación con el medio externo o medio ambiente, pue-
de haber con éste intercambio de energía, de materia o de ambas. Se llaman
sistemas cerrados los que pueden intercambiar sólo energía con el exterior.
Si pueden intercambiar también materia se llaman sistemas abiertos. En
sistemas cerrados la energía mecánica se intercambia a través de un trabajo
L hecho a costa de la variación de su energía total. Es usual la convención
de tomar como positivo al trabajo realizado contra el medio exterior y negati-
vo si el exterior realiza trabajo contra el sistema. Considerando una evolu-
ción del sistema desde un estado inicial i a otro final f, y con la convención
de signos antedicha es: (Vf+Ef)-(Vi+Ei)+L=0, o sea ∆∆(V+Ec)+L=0
Si se reconoce a la cantidad de calor ∆∆Q como otra forma posible de energía
además de la mecánica, podemos incluirlo en el principio de conservación,
que pasa a llamarse entonces “primer principio de la termodinámica” para
sistemas cerrados.
Tomando al flujo de calor ∆∆Q como positivo cuando entra al sistema y nega-
tivo cuando sale (al revés que el trabajo) resulta: ∆∆(V+Ec)-∆∆Q+L=0 y también
∆∆(V+Ec) = ∆∆Q - L
La energía interna U
Hemos visto que la energía potencial V de un cuerpo rígido es igual a su
masa m multiplicada por la aceleración de la gravedad y por la altura del
centro de gravedad h con respecto a un nivel de referencia (por ejemplo el
nivel del mar). Así entonces expresamos V=m.g.h .
160
También sabemos que un cuerpo rígido de masa m cuyo centro de gravedad
se mueve a velocidad uniforme v posee una energía cinética de traslación
Ec=1/2 m.v
2
La materia sólida puede modelizarse como cuerpo rígido sólo en primera aproxima-
ción, cuando se trate de cuerpos poco deformables y siempre que no estén en estudio
fenómenos calóricos. La difusión y transmisión del calor requieren un modelo de mate-
ria formada por átomos, moléculas, cristales, o partículas pequeñas en general, como
vimos para los fluídos. Sin embargo, y a diferencia de éstos, las partículas constituti-
vas de los sólidos están vinculados entre sí por fuerzas de cohesión (responsable de
la transmisión de esfuerzos tangenciales) que les imponen condiciones de movilidad
mucho más restringida que en el caso de los fluídos. Las partículas del sólido sóla-
mente pueden vibrar o rotar alrededor de una posición de equilibrio y no hay trans-
porte o convección de materia dentro del cuerpo, como puede haberlo en un fluído.
Si en vez de un cuerpo rígido consideramos a la materia de cualquier tipo
como un sistema formado por un gran número de individuos de masa mi
(i=1,2...n), distinguibles o no desde el punto de vista estadístico, cuya masa
total vale m=ΣΣmi, y que poseen velocidades individuales vi si se trata de un
fluído y energías de deformación y vibración ui en el caso de sólidos, resulta
que además de la eventual energía potencial o cinética de traslación del
conjunto, debe considerarse la suma de la energía individual de cada una de
sus partes, que puede ser cinética Ec’=ΣΣ ½ mi.vi
2
o también la suma de la
energía potencial y de vibración de cada partícula V’=ΣΣui
A toda esa energía que no proviene del movimiento o la posición del centro
de gravedad del sistema, sino de la suma de las energías individuales de los
elementos constitutivos del mismo, la llamaremos energía interna U, y en
nuestro caso será U = V’+E’c
Así entonces la energía total de un sistema vale Et = Ec + V + U
Entonces el primer principio de la termodinámica se escribe:
∆∆V + ∆∆Ec + ∆∆U = ∆∆Q – L
En el caso frecuente de que el centro de gravedad del sistema en estudio se
mantiene inmóvil a través de los cambios o transformaciones que va sufrien-
do, será Ec=0 y ∆∆V=0 , en cuyo caso el primer principio de la termodinámica
puede expresarse en la forma ∆∆Q = ∆∆U + L
Trabajo
El término L que figura en el primer principio se genera cuando un sistema
cambia de volumen (se expande o se contrae) bajo una determinada pre-
sión. Esa presión que actúa sobre una superficie se traduce en una fuerza,
que ejecuta trabajo al desplazarse por la expansión o la compresión que
sufre el sistema.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 161
El ejemplo más claro es el de un gas encerrado en
un cilindro de superficie S con un pistón móvil. La
fuerza que el gas ejerce sobre el pistón vale p.S . Si
el pistón se desplaza un trecho dx hacia afuera, el
sistema ejecutará contra el medio un trabajo
dL=p.s.dx , pero S.dx es el volumen dv barrido por el pistón en su carrera
infinitesimal. Así entonces dL=p.dv.
En una evolución finita entre dos volúmenes v1 y v2 el trabajo total será
Evolución isotérmica
Así, en el caso de un mol de gas perfecto a temperatura constante (evolu-
ción isotémica), la expansión entre volúmenes v1 y v2 produce un trabajo
igual a dL=RT/v.dv=RT d(lnv), con lo cual L1,2 = R.T.ln(v2/v1)
Ejemplo: ¿Qué trabajo entrega al medio una masa de 1 Kg de aire que evoluciona a
20ºC (293 ºK) desde un volumen inicial al doble de éste?
L1,2 = n.R.T.ln(2) = 1Kg / 0,0144 Kg/mol x 8,3 J/ºK/mol x 293ºK x 0,693 = 117060 J
Como la evolución es isotérmica, es nula la variación de energía interna. Entonces, de
acuerdo al segundo principio debe ser ∆Q=L , es decir que el trabajo se ha efectuado
a costa del calor que ha ingresado en el sistema, necesario para mantener la tempe-
ratura constante durante la evolución.
Energía interna y temperatura:
Que la energía interna U depende de la temperatura se desprende de las
consideraciones anteriores. Existe una célebre experiencia realizada por
Joule para comprobar si la energía interna de un sistema depende exclusi-
vamente de la temperatura. Se dispone en un calorímetro de agua perfec-
tamente aislado térmicamente (con paredes que no pueden conducir el ca-
lor) dos botellones de gas unidos por una válvula. Uno de ellos contiene gas
a presión y el otro está al vacío. Cuando se abre la válvula, el gas del lleno
pasa al vacío hasta que se igualan las presiones: el volumen pasa al doble y
la presión a la mitad. El agua del baño no acusa ninguna variación de tempe-
ratura al cabo del proceso, lo que revela que el cambio de volumen de un
gas que no realiza trabajo es adiabático, esto es sin intercambio de calor con
el exterior. El primer principio nos dice que el calor intercambiado es igual a
la variación de energía interna más el trabajo efectuado. Como calor y tra-
bajo son necesariamente nulos en el proceso descripto, podemos afirmar
que la variación de energía interna también lo es. Como es seguro que el
volumen y la presión variaron en la evolución efectuada por el gas, y la tem-
peratura permaneció constante, igual que la energía interna, ésta sólo puede
ser función de aquélla.
∫=
2
1
v
v
1,2 p.dvL
p
dx
S
162
Una variación de energía libre responde pués a una varia-
ción de temperatura, de tal modo que dU=cv.dT. La
constante cv se llama “calor específico a volumen cons-
tante” porque coincide con ∆Q/∆T cuando el volumen de la
evolución no varía, es decir cuando el trabajo es nulo.
El resultado de la experiencia de Joule recién descripta ejecutada
con gran precisión revela sin embargo una pequeña disminución
de la temperatura del sistema. Este efecto, estudiado por W
Thomson se emplea en enfriar gases, expandiéndolos sin la
ejecución de trabajo. Se conoce como efecto Joule-Thomson, y
es explicable teniendo en cuenta que entre las moléculas de los gases reales existen
fuerzas de atracción. Para vencerlas durante la expansión se requiere efectuar una
trabajo interno a costa de la temperatura del gas.
Evolución a presión constante
Aplicando el primer principio a una evolución para un mol de gas perfecto a presión
constante, en la que L=p(vf-vi) resulta dQ=cv.dT+R(Tf-Ti)=(cv+R).dT , pero como la
evolución es a presión contante, su calor específico también lo será, es decir que
dQ=cp.dT de donde cv+R=cp, y R=cp-cv . Por supuesto que esta expresión tiene vali-
dez general, a pesar de haber sido deducida para un caso particular de evolución.
Evolución adiabática
Una evolución sin pasaje de calor (por ejemplo, un gas que se expande en
un cilindro aislado térmicamente) implica que el trabajo entregado o recibido
es a costa de la propia energía interna del sistema. Tales evoluciones se
llaman adiabáticas. Un gas que sufre una evolución adiabática lo hace según
una ley que trataremos de deducir del primer principio. Según éste es
dQ=dU+p.dv. Como dQ=0 según lo planteado, resulta dU=-p.dv. Pero vi-
mos que dU=cv.dT, entonces cv.dT=-p.dv=-R.T.dv/v. De lo anterior sale que
cv.d[ln(T)]=-R.d[ln(v)] , e integrando resulta cv.ln(T)=-R.ln(v)+C (C = cons-
tante de integración) . Tomando antilogaritmos es (para K=ln(C))
T
cv
= K.v
–R
, pero como T=p.v/R es p
cv
.v
R+cv
=k.R , y extrayendo en ambos
miembros la raíz cvésima queda p.v
(R/cv+1)
= (k.R)
1/cv
= constante
Como, por lo visto en el estudio de una evolución a presión constante es
R=cp-cv, la relación entre presión y volumen de un gas perfecto que evolu-
ciona adiabáticamente puede ponerse p.v
(cp/cv)
=constante. Para el aire es
cp/cv=1,4 .
Para cualquier gas es cp>cv . Es fácil darse cuenta de ello considerando que la canti-
dad de calor necesario para producir un mismo incremento de temperatura dT en un
sistema a volumen constante dU = cv.dT es menor que dQ = cv.dT+p.dV = cp.dT en
otro a presión constante, cuyo volumen varía durante la evolución. El primero no pue-
de efectuar trabajo y todo el calor incide en un aumento de temperatura, mientras que
el segundo requiere más calor adicional para efectuar el trabajo contra el medio.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 163
Trabajo en una evolución adiabática
Vimos que en una evolución adiabática entre estados p1,v1 y p2,v2 se cumple
la ley p1.v1
(cp/cv)
= p2.v2
(cp/cv)
= cte De ésta se deducen:
p2/p1 = [v2/v1]
-(cp/cv)
v2/v1 = [p2/p1]
-(cv/cp)
El trabajo que realiza el gas durante la evolución adiabática, en la que dQ=0
resulta por lo tanto igual a la variación de energía interna cambiada de signo,
es decir: dL=-dU=-cv.dT. Integrando entre T1 y T2 es
L1,2=cv (T1-T2)=cv.T1(1-T2/T1)
Como T1=p1.v1/R ; T2=p2.v2/R y R=cp-cv es
T2/T1=(v2/v1)
(1-cp/cv)
= p2/p1
(1-cv/cp)
Así entonces L1,2 = cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (v2/v1)
(1-cp/cv)
] =
= cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (p2/p1)
(1-cv/cp)
]
Evoluciones generalizadas – politrópicas
Prácticamente cualquier evolución gaseosa
en equilibrio que una dos puntos en el es-
pacio p,v se puede representar con la fór-
mula generalizada p.v
n
=cte , eligiendo
adecuadamente el exponente n. Éste ca-
racteriza la evolución y se define como
n=(c-cp)/(c-cv) , donde c es el calor especí-
fico de la evolución en cuestión, definido,
como ya se vió por el cociente entre canti-
dad de calor intercambiado y diferencia de
temperatura, es decir c=dQ/dT
Esta evolución general se llama politrópica de grado n . Casos particulares
se dan como ejemplo a continuación:
• Una isotérmica tiene calor específico infinito, ya que dT=0 y dQ≠≠0 . De
acuerdo a la fórmula anotada antes para el exponente n, el límite de
este cociente vale 1 para c=∞∞ y en tal caso p.v
1
=p.v=cte (Ley de Boyle-
Mariotte)
• Una adiabática tiene calor específico nulo, ya que dQ=0 y dT≠≠0 . De
acuerdo a la fórmula, n=cp/cv , lo que está de acuerdo a lo ya visto para
este tipo de evoluciones.
• Una isobárica o evolución a presión constante tiene por definición un
calor específico c=cp, con lo cual n=(c-cp)/(c-cv)=0 y entonces
p.v
0
=p=cte, que indica presión invariable.
• En una evolución a volumen constante o isócora es c=cv de donde
n=∞∞. La representación de la función p=k/v
n
para n muy grande da un
trazo prácticamente vertical, que responde aproximadamente a una
evolución a volumen constante.
p
v
n<0
n=0
n<1
n=1
n=cp/cv
n=∞∞
p= cte/vn
n=(c-cp)/(c-cv)
164
Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción
Resulta útil para estudiar evoluciones a presión constante, como las que
ocurren por ejemplo en sistemas en comunicación con la atmósfera, definir
una nueva función termodinámica llamada entalpía I = U+p.v , cuya expre-
sión diferencial es dI = dU + p.dv + v.dp = dU + dL + dLc = dQ + dLc
De los tres términos, la suma del primero y segundo término (energía interna
y trabajo) nos da la cantidad de calor dQ. El tercer término dLc = v.dp repre-
senta el trabajo diferencial necesario para hacer circular un volumen de fluí-
do v entre las presiones p y p+dp . Por tal motivo se
lo llama “trabajo de circulación” , para distinguirlo del
trabajo de expansión o compresión con cambio de
volumen, que vimos vale dL=p.dv
La cuestión se aprecia considerando un compresor a
pistón que aspira una masa unitaria de gas de volu-
men específico v1 a presión p1, lo comprime hasta p2
y lo envía a un depósito a la misma presión p2.
El trabajo total que el compresor efectúa en este ciclo es la suma de:
• el trabajo que efectúa el medio sobre el compresor –p1.v1
• el trabajo de compresión ∫∫p.dv entre v1 y v2
• el trabajo para expulsar el gas hacia el depósito +p2.v2
Los tres términos están representados sobre el gráfico p,v por sus respecti-
vas áreas. Se ve que la suma de estas áreas con sus signos respectivos da
la parte sombreada en celeste, encerrada por la curva de la evolución y el
eje de presiones, y que viene representada por la integral ∫∫v.dp definida
entre p1 y p2
La entalpía es una función potencial, es decir que no depende más que de
los estados final e inicial del sistema en cuestión. Así es que
∆∆I = I2-I1 = ∆∆U + ∆∆(p.v) = U2-U1 + p2.v2 - p1.v1.
La diferencia de entalpías entre estados final e inicial de un sistema mide el
flujo de calor que entra o sale mientras la presión se mantenga constante.
De tal manera, el calor específico de una evolución a presión constante, que
por definición es cp=(dQ/dT)p=cte coincide con cp=dI/dT . (Recuérdese que el
calor específico a volumen constante cv=dU/dT)
La diferencia de entalpía mide el trabajo de circulación en evoluciones de
sistemas abiertos aislados (dQ=0), por ejemplo el trabajo que se produce por
el paso del fluído que hace funcionar una turbina (agua, vapor o gas).
Termoquímica - Calores de reacción
La química pasó a ser ciencia exacta a partir de los trabajos de Lavoisier,
que establecieron los principios de conservación de la masa, y del aporte de
la termodinámica. En particular, el primer principio de la termodinámica apli-
p1
p2
v2 v1
1
2
Trabajo de
circulación
∫∫v.dp
p1
p2
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 165
cado a sistemas en los que se producen reacciones químicas permite traba-
jar con las energías térmicas de los procesos incluídos en las ecuaciones,
como veremos a continuación.
Los calores producidos en las reacciones químicas a presión atmosférica se
miden por sus respectivos saltos entálpicos.
.
Por ejemplo, se estudia en química que la combustión del carbón está repre-
sentada por la ecuación C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J , lo
que indica que cuando 12,01 g de carbono puro (grafito o diamante) se
queman a presión constante combinándose con 32 g de oxígeno gaseoso
completamente (por eso el signo = entre ambos miembros), producen 44,01
g de dióxido de carbono gaseoso y que la reacción está acompañada desde
el punto de vista energético por una diferencia de entalpía de [(-391667)J].
El signo negativo de ∆∆I = I2-I1 indica que la entalpía I2 de los productos de
la reacción es menor que la entalpía I1 del sistema antes de la reacción. De
acuerdo a la convención de signos adoptada, esa cantidad negativa indica
calor que sale del sistema, o sea producido por la reacción química, que
como se realiza a presión contante coincide con la diferencia de entalpía
5
.
Las reacciones que producen calor se llaman exotérmicas.
Consideremos ahora la ecuación de reducción del dióxido de carbono a
monóxido por medio del hidrógeno, que también es exotérmica
CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 46670 J
La entalpía es una función potencial, o sea que sólamente depende del es-
tado inicial y final del sistema. Por otra parte, las reacciones químicas pue-
den expresarse con una igualdad matemática que describe un balance entre
las masas de sustancias reaccionantes y productos de la reacción. No hay
inconvenientes en sumar ambas ecuaciones con sus términos de masa y de
entalpía como si fueran pasos intermedios hacia un estado final, resultado
de la reacción completa de 12 g de carbono más 32 gramos de oxígeno más
2 gramos de hidrógeno para obtener un mol de monóxido de carbono más
uno de agua al estado de vapor:
C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J
CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) - 46670 J
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
C(sólido) + O2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 438337 J
Si se lleva a cabo una reacción como esa, se obtiene dentro de los límites
del error experimental una diferencia de entalpía que se ajusta a la suma de
5
A volumen constante el valor absoluto del calor de reacción es menor que la diferen-
cia de entalpías anotada, ya que no contiene el término de trabajo de expansión. Esto
quiere decir que si quemamos carbón en un recipiente cerrado y rígido, obtendremos
menos calor que en el hogar de una caldera, o en un brasero a cielo abierto.
166
ambas, esto es 438337 J.
En 1840, el químico ruso-suizo Germán E. Hess fué el primero en señalar que el calor
producido o absorbido en una reacción química determinada es una cantidad fija e
independiente del camino o del número de pasos intermedios. Hess empleó este
principio para calcular calores de reacción combinando adecuadamente reacciones de
calores conocidos. Aunque esta “ley de Hess” es consecuencia directa del primer
principio aplicado a la química, mantiene su identidad como tal, como muchas otras
leyes y principios descubiertos antes de la teoría que viniera después a justificarlos
Segundo Principio de la Termodinámica
Si bien el trabajo puede convertirse íntegramente en calor, la inversa no es
cierta. Sólo una parte del calor puede transformarse en trabajo. Esa propor-
ción de trabajo obtenido frente a calor empleado aumenta con la diferencia
de temperatura entre la fuente que suministra el calor (por ejemplo la caldera
de la central Costanera) y el lugar donde se sume ese calor después de
utilizado (por ejemplo el agua del Río de la Plata, que enfría el vapor de
escape de las turbinas).
En 1824, un oscuro oficial del ejército francés alejado de los asuntos milita-
res y dedicado a cuestiones científicas y técnicas, Nicolás Leonardo Sadi
Carnot, publicó una célebre memoria donde consignó dos cuestiones prin-
cipales:
a) El calor puede generar trabajo cuando fluye a través de un dispositivo
adecuado: una máquina térmica. Fluir significa escurrir, correr como lo
hace un fluido. Los fluidos circulan desde un lugar de mayor altura o pre-
sión a otro de menor nivel. Nunca al revés. Carnot reconoció que también
el calor puede considerarse como un fluido que fluye sólo si hay una dife-
rencia de temperatura: No puede pasar calor entre dos fuentes de igual
temperatura, y menos aún puede pasar calor de lo frío a lo caliente. Este
sencillo aserto es la base de la termología moderna: se lo llama “segun-
do principio de la termodinámica”. Una manera de enunciarlo es que
no puede transformarse calor en trabajo mecánico si no existen dos
fuentes a temperatura diferente, así como no puede convertirse en tra-
bajo la energía potencial del agua de un dique si no hay un lugar más
bajo donde verterla, después de su paso por las turbinas hidráulicas.
b) Toda evolución espontánea de un sistema se verifica en un solo sentido:
el que lleva al mismo a una energía menor. Además esa evolución irre-
versible implica necesariamente una pérdida de eficiencia tanto mayor
cuánto más irreversible sea la transformación. Esa pérdida de eficiencia o
rendimiento era la que Carnot buscaba minimizar, soñando seguramente
con un navío a vapor más eficiente que diera a Francia la supremacía en
los mares. No hay mal que por bien no venga, ya que de esta aspiración
bélica, buena para los galos y mala para sus posibles enemigos, surgió
una ciencia que indudablemente benefició a toda la humanidad. Carnot
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 167
diseñó una máquina que evolucionaba muy lentamente en forma prácti-
camente reversible. Si se la hacía andar ”al derecho” transformaba calor
en trabajo aprovechable en su eje. Si se invertía su sentido de marcha
funcionaba como refrigerador, bombeando calor desde la fuente fría a la
fuente caliente a costa del trabajo entregado en su eje. Carnot demostró
con un razonamiento impecable a la vez que simplísimo, que una máqui-
na así era la de mayor rendimiento posible, solamente dependiente de la
diferencia de temperatura entre fuentes caliente y fría.
Evoluciones:
Cuando un sistema evoluciona, cambia. Cambia de lugar, de composición o de tem-
peratura. Todos los fenómenos naturales se traducen en cambios. El vapor se calien-
ta, se enfría, se condensa. Los gases se dilatan o se contraen. Los cuerpos se mue-
ven, caen suben o bajan. Los seres vivos nacen, crecen y mueren
6
.
Por el contrario, los sistemas inanimados evolucionan siempre espontáneamente
hacia estados de mayor equilibrio: los cuerpos caen hacia abajo porque así van hacia
una situación de menor energía potencial, que es en definitiva una situación de mayor
equilibrio. De la misma manera el calor fluye de la fuente caliente a la fría. El azúcar
en una taza de café tiende a difundirse por todo el café, porque es la situación de
menor energía. Una ráfaga de viento desordena las hojas secas apiladas por el jardi-
nero.
Nunca se ha observado que a partir de una taza de café dulce se forme en su fondo
un terrón de azúcar y el café pase a ser amargo. Nunca se observó que espontánea-
mente el viento apile las hojas secas de la plaza en montones ordenados. Nunca se
observó que se enfríe la pava y se caliente la hornalla.
Se admite sin embargo que estos ejemplos “al revés” tengan una remota probabilidad
de ocurrir. Pero es tan escasa que si alguien afirma que un hermoso cuadro es pro-
ducto del azar al caerse del estante algunos frascos de pintura, será llevado al mani-
comio o a la cárcel.
Lo anterior nos muestra que evolución espontánea implica desorden, o lo que es lo
mismo, que ordenar un sistema requiere algo que está afuera del mismo. Un sistema
inanimado como el universo requiere pues naturalmente una fuerza ordenadora exte-
rior. Evidentemente esa fuerza ordenadora emana del Creador, único motor inmóvil
capaz de ordenar sin desordenarse él mismo, al decir de Santo Tomás.
Es frecuente en el estudio de la Termodinámica que, como en este caso, se llegue por
necesidad en forma mucho más manifiesta que en otras ciencias al Principio Único, o
sea a Dios. La Termodinámica es, desde este punto de vista, una ciencia de categoría
superior, que se roza con la Filosofía y la Metafísica. Sus principios, no demostrables,
existen y se cumplen siempre en todo el universo. Sirven para contrastar cualquier
6
Solamente los seres vivos pueden evolucionar hacia situaciones de menor equilibrio.
La vida es eso: escalar hacia estados de organización y funcionamiento difíciles e
inestables, que van en contra del estado de equilibrio por antonomasia: la muerte.
168
teoría. Decía nuestro querido profesor Staricco que cuando una teoría falla o una
hipótesis hace agua, es casi seguro que contradice alguno de los principios de la
Termodinámica.
Evoluciones reversibles: sucesión de estados de equilibrio
Un sistema está en equilibrio interno cuando sus partes cesan de intercam-
biar energía. El equilibrio con el medio externo también se caracteriza por la
cesación de intercambio de energía entre sistema y medio. Desde ese punto
de vista, una evolución interna o contra el medio de un sistema en equilibrio
es imposible porque la fuerza o tendencia impulsora
7
es precisamente el
apartamiento del estado final.
Carnot reconoció estos hechos en la teoría de la máquina de vapor a través
de una ley inexorable de la Naturaleza: la transformación espontánea de un
sistema es irreversible, es decir que avanza en un sentido que no admite
marcha atrás. Esta evolución sin posibilidades de volver por donde vino,
importa una pérdida de calidad en el sistema que es tanto mayor cuánto más
alejado esta del punto de equilibrio. En el caso de una máquina térmica, la
irreversibilidad de su ciclo significa un peor aprovechamiento del calor
transformado en trabajo.
Para mejorar este aprovechamiento Carnot inventó una máquina de rendi-
miento óptimo, haciéndola funcionar con evoluciones que no se apartaran
sensiblemente del estado de equilibrio. La sucesión de estados de equilibrio
que comportan este tipo de evoluciones las hace reversibles, porque la fuer-
za impulsora es casi nula y puede insensiblemente hacerse de signo contra-
rio invirtiendo así el sentido de la transformación sin saltos.
Las evoluciones reversibles o en estado de equilibrio son las únicas que en
rigor pueden representarse por una sucesión de puntos en el diagrama (p,v
por ejemplo). Cada punto corresponde a las coordenadas de presión , volu-
men y temperatura iguales para todas las porciones del sistema en un ins-
tante. Por el contrario, el estado de un sistema no homogéneo, en el que hay
porciones con un par de coordenadas y otras con otro, no es representable
por un punto, ni su evolución con una línea. Algunos prefieren dibujar una
mancha y una línea borrosa, que abarque la zona probable o el estado pro-
medio del sistema. Otros prefieren una línea punteada. Si la evolución está
muy alejada del equilibrio, deben indicarse los estados inicial y final del sis-
tema, prescindiendo de los intermedios, que son irrepresentables con puntos
o líneas.
7
Los anglosajones llaman “driving force” a esa fuerza propulsora de la evolución del
proceso en cuestión. Por ejemplo la “driving force” de una transmisión de calor es la
diferencia de temperatura entre fuente y sumidero. La de un proceso de convección es
la diferencia de densidad.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 169
Generalmente una evolución reversible se ejemplifica con una evolución muy
lenta. Esto es así porque la rapidez o brusquedad en la evolución de un
sistema implica inhomogeneidades y fenómenos transitorios que consumen
energía. Por ejemplo, la compresión brusca de una masa de gas en un cilin-
dro por un pistón que avanza rápidamente supone una zona más comprimi-
da en la vecindad de éste. Esa onda de presión se propaga por el sistema
generando una oscilación que en definitiva se amortigua con disipación de
energía. Una compresión lenta da tiempo a que a cada posición del pistón
corresponda un gas homogéneo en todo el cilindro.
Después de Carnot vinieron otros que reconocieron que la irreversibilidad era siempre
sinónimo de ineficiencia y desorden, no solo para una máquina térmica sino para
cualquier sistema. Desorden, ineficiencia e irreversibilidad son conceptos cuantificados
por una función termodinámica llamada Entropía, de la que nos ocuparemos a conti-
nuación, en forma sucinta, y con todo detalle al tratar el ciclo de Carnot.
La entropía
Un físico-matemático polaco seguidor de Carnot, Rodolfo Julio Emanuel Clausius
(1822-88), descubrió la manera de medir el desorden a través de la teoría de la má-
quina de vapor. Encontró que la suma de las cantidades de calor transferidas divididas
por la respectiva temperatura absoluta a la que se realizan, dan cero en el caso de
ciclos reversibles, como el de Carnot. Si todo o parte del ciclo es irreversible, esa
suma da menor que cero. Ese hecho lo llevó a relacionar reversibilidad con esa fun-
ción que es nula en un ciclo reversible y a la que llamó con la palabra entropía
8
.
Se designa a la entropía normalmente con la letra S. Así, se define matemáticamente
a la variación de entropía de una evolución reversible en la que de transfiere una
cantidad de calor ∆Q a la temperatura absoluta T como el cociente: ∆∆S=∆∆Q/T
9
La entropía pasó a ser más que una mera variable físico-matemática y pronto fue
relacionada con un concepto probabilístico gracias a los trabajos de Boltzmann y
Maxwell sobre gases, de los que ya hablamos en esta obra. Ambos estudiaron a los
gases desde el punto de vista microscópico. Sabían que estaban formados por enjam-
bres de partículas (moléculas) que chocaban ente sí desordenadamente. Asemejaron
a un sistema de gran cantidad de partículas en movimiento interactivo a un bolillero
con gran cantidad de bolillas. Estudiaron como se distribuirían esas bolillas en catego-
rías según su energía cinética. Para ello, no podían calcular la velocidad y situación de
las bolillas/moléculas siguiendo a cada una de ellas como se podría hacer si fueran
unas pocas bolas de billar en la mesa durante una carambola: eran demasiadas bolas
de billar para hacer semejante cálculo.
En cambio emplearon un método estadístico, tratando de calcular qué porcentaje del
total de moléculas tendrían velocidades comprendidas entre dos límites determinados.
Así llegaron por vía puramente teórica a la ya vista ley de distribución de las veloci-
dades o energías de las moléculas de un gas. La teoría de Maxwell y Boltzmann coin-
cidía bastante bien con los resultados de experimentos con gases reales.
8
La etimología de entropía recuerda a tendencia o dirección (tropos)
9
Este tema se trata más adelante en el párrafo “Ciclos reversibles – Función entropía”
170
Resultó que de esos estudios, que la probabilidad que un enjambre de partículas
tuviera una determinada distribución de velocidades estaba relacionada con la entro-
pía, ya que ambas, probabilidad y entropía, aumentaban con la evolución natural del
sistema hacia su destino final de equilibrio. Efectivamente, ese estado final suponía
probabilidad máxima.
Y así la entropía tuvo además de la interpretación macroscópica de Clausius, una
interpretación fina o microscópica, que la relacionaba con el estado de caos natural de
los sistemas inanimados de muchas partículas.
Cuando se desarrolló la teoría de la información gracias a los trabajos del ingeniero
electrónico norteamericano Claude B. Shannon (1948) se generalizó aún más el con-
cepto de entropía.. Información es la forma o configuración que toma una noticia o
mensaje. Información es lo contrario a desorden, caos o ruido en los datos: así se
relaciona a la degradación que sufre un mensaje con el aumento de entropía. Pero
esto es otro tema que está desarrollado al tratar sobre la transmisión de información
por ondas electromagnéticas.
La máquina de Carnot
En la época de Carnot era ampliamente conocida la máquina de vapor per-
feccionada por el ingeniero escocés James Watt en 1765, sobre anteriores
ingenios de los ingleses Savery y Newcomen
10
.
La máquina de vapor transformó la industria del mundo. Impulsó barcos y movió
máquinas de todo tipo, reemplazando a las velas, molinos, bueyes, caballos y....
... a la mano de obra humana. Inició así la revolución industrial, con sus ventajas
e inconvenientes. Un tema muy interesante, que seguramente estudiarán en los
cursos de Historia.
En Física nos ocuparemos de otra revolución paralela y no menos importante
causada también por la humeante máquina de Watt: El Segundo Principio
Descripción y principio de funcionamiento de una máquina de vapor
alternativa.
La máquina de vapor alternati-
va de Watt consta de un cilin-
dro en el que se desliza un
émbolo o pistón desde uno a
otro extremo. El pistón, en su
movimiento alternativo acciona
una rueda o volante mediante
un mecanismo de biela-
manivela. El cilindro comunica
con la parte superior de un
recipiente con agua cerrado
10
En las primitivas máquinas de Savery y Newcomen el vapor llenaba un cilindro que
luego se enfriaba. Watt introdujo el concepto de mantener el cilindro a temperatura
constante, haciendo evolucionar al vapor fuera de éste, y eventualmente condensán-
dolo en un recipiente aparte. Ello permitía un ciclo más rápido y ágil.
ESQUEMA DE UNA MÁQUINA DE VAPOR DE DOBLE EFECTO
caja de válvulas
cruceta
vástago
biela
volante
salida
entrada de vapor
manivela o cigüeñal
cilindro
corredera de regulación
pistón
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 171
que se calienta con fuego: es la “caldera” que produce vapor de agua caliente a pre-
sión (por ejemplo 10 atm), que es el agente motriz. Cuando el pistón está en un ex-
tremo del cilindro, el vapor entra por allí a través de la válvula de admisión y desplaza
al pistón hacia el otro extremo. Antes de llegar a él se cierra la válvula de admisión y
se aprovecha la expansión del vapor que entró hasta ese momento. La expansión
continúa hasta que el pistón llega al fin del cilindro. Impulsado por la inercia del volante
el pistón vuelve en sentido contrario y barre a través de la válvula de escape al vapor
“usado”, el que escapa al aire o mejor va a un condensador. El ciclo recomienza cuan-
do el pistón vuelve a encontrarse en el extremo primero, cerrándose la válvula de
escape y abriéndose la de admisión. La apertura y cierre cíclico de las válvulas o
lumbreras (orificios de entrada o salida de vapor) están comandadas por un mecanis-
mo de biela manivela secundario desfasable a voluntad con respecto al principal
11
. En
las máquinas de doble efecto, el vapor entra alternativamente por uno y otro extremos
del cilindro, mejorando así su uniformidad de marcha.
Desde sus comienzos la máquina de vapor fue objeto de continuos perfeccionamien-
tos en los materiales, forma, diseño y acabado de sus órganos (pistón, cilindro, biela,
cojinetes, doble efecto, avance de admisión y del escape, etc.), mejoras en el ciclo
térmico (agregado del condensador, aumento de la temperatura y calidad del vapor,
etc.) y mejoras en los generadores de vapor o calderas y accesorios (bombas, contro-
les, etc.).
Los trabajos de James Watt en tal sentido
fueron tan importantes que a veces se lo
toma como su verdadero inventor, eclip-
sando a Savery y Newcomen..
A Watt se debe un regulador centrífugo
que aún se usa en las turbinas para man-
tener la velocidad de giro independiente de
la carga mecánica de la máquina. Cuando
ésta disminuye la máquina tiende a acele-
rarse, las bolas del regulador suben y a
través de un sistema de bielas tienden a
cerrar la válvula de entrada del vapor. El
fenómeno inverso ocurre cuando la máquina tiende a “quedarse” por el mayor esfuer-
zo exigido.
Volver a vivir
Hasta mediados de este siglo se usaban comúnmente
máquinas de vapor alternativas en locomotoras de ferro-
carril, barcos, grúas y bombas de agua. Los perfeccio-
namientos del motor Diesel, de las turbinas de vapor y de
gas fueron desplazando a la máquina de pistón, más
rústica y confiable pero más pesada y menos rendidora.
Actualmente es muy raro ver alguna máquina de vapor
en servicio regular salvo algunas locomotoras en ferroca-
rriles turísticos, museos y otras curiosidades. Los que
tenemos algunos años recordamos las impresionantes
11
Este mecanismo se debe al ingeniero inglés George Stephenson (1781-1848),
quién aplicó la máquina de vapor a los ferrocarriles. Con él no solamente se regula la
velocidad, sino que hasta puede invertirse la marcha.
REGULADOR DE WATT
VÁLVULA
vapor
de la
caldera
rueda de la máquina
vapor a la
máquina
172
locomotoras del “Ferrocarril Central Argentino” que arrastraban al “Rayo de Sol” a más
de cien kilómetros por hora entre Buenos Aires y Córdoba.
Más historia:
En la época de Carnot y a pesar de los progresos introducidos por Watt, las máquinas
de vapor tenían dos defectos principales: eran mecánicamente imperfectas y aprove-
chaban mal el calor del combustible (leña, carbón). Lo primero tendió a mejorar con la
aparición de máquinas-herramienta más elaboradas para tornear los cilindros y pisto-
nes, obra de mecánicos y artesanos. Asimismo, se avanzó en el estudio y conoci-
miento de materiales, produciéndose piezas más resistentes y livianas. El mejor apro-
vechamiento del calor surgió de los estudios que realizó Carnot, como se dijo antes.
Fueron llevados a cabo tan magistralmente que trascendieron el área técnica, la ter-
mología y la física misma. Llegaron a tocar los límites del conocimiento humano y lo
conmovieron profundamente. La técnica abrió las puertas a la metafísica y detrás de la
Termodinámica apareció la refulgente firma del Creador. Ahora veremos cómo.
Las ideas de Carnot:
Desde la época de Carnot no se ha avanzado substancialmente en el estu-
dio teórico sobre la transformación de calor en trabajo. El inolvidable Ingenie-
ro Adolfo Cattáneo, nos decía, allá por los años cincuenta, que Carnot le
puso la tapa al tema del calor, tan perfecta y acabada fue su obra.
El ingenio de Carnot es una máquina térmica reversible que transforma calor
en trabajo mecánico (motor) o trabajo mecánico en flujo de calor (refrigera-
dor), según el sentido de la evolución cíclica reversible de un gas ideal, limi-
tado por dos isotérmicas y dos adiabáticas, como se muestra en el dibujo.
El cálculo nos enseña que en un diagra-
ma p,v la curva representativa de una
evolución cualquiera p=f(v) entre dos
puntos a y b delimita un área con el eje de
los volúmenes dada por la integral ∫∫a,bp.dv .
Ya vimos que ella mide el trabajo del sis-
tema contra el medio. Si el área queda a la
derecha de la evolución (por ejemplo en el
caso de que el volumen aumente) el tra-
bajo es positivo, o sea que se entrega al
exterior. Por el contrario, si cuando reco-
rremos la curva vamos dejando el área a
la izquierda, el sistema recibe trabajo del exterior. Con este concepto de área
orientada positiva o negativa, resulta que el trabajo neto ejecutado por un
gas que recorre el ciclo cerrado en el sentido horario 1,2,3,4 será proporcio-
nal al área rayada, resultado de restar la evolución 4,3,1 de la 1,2,3. Por ser
reversible, el ciclo cumplido al revés (4,3,2,1) supone que el medio suminis-
tra ese mismo trabajo.
Durante la evolución isotérmica reversible 1,2 el gas recibe una cantidad de
isotérmica a
T1
isotérmica a
T2<T1
adiabática
adiabática
CICLO DE
CARNOTP
V
1
2
4
3
∆∆Q1
∆∆Q2
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 173
calor ∆∆Q1 de una fuente a temperatura T1. Esta cantidad de calor se trans-
forma íntegramente en trabajo mecánico al expandirse entre v1 y v2. A partir
de v2 se suspende el suministro de calor a la masa gaseosa, que sigue ex-
pandiéndose adiabáticamente perdiendo así energía interna (y por ende
disminuyendo su temperatura) hasta llegar al volumen extremo v3 a la tem-
peratura T2. El trabajo suministrado por el gas al medio externo durante la
evolución 2,3 es igual a la variación de energía interna entre T1 y T2. Desde
el punto 3 se inicia una compresión isotérmica hasta el punto 4 a costa de
trabajo exterior, cuyo equivalente pasa al sistema sin que aumente la tempe-
ratura T2 . El punto 4 donde termina esta compresión adiabática se elige de
manera que pertenezca a la adiabática 4,1 , es decir que pueda cerrase el
ciclo con una evolución en la que se entrega trabajo exterior sin permitir el
paso de calor del gas al medio. En esta evolución adiabática 4,1 se alcanzan
las condiciones iniciales p1,v1 con un trabajo igual y de signo contrario al que
el sistema suministrara al exterior en 3,4, ya que ambas son evoluciones
adiabáticas entre temperaturas iguales. Resulta así que el trabajo neto que
el gas entrega al exterior al recorrer el ciclo completo es la diferencia entre el
calor ∆∆Q1 que ingresa al sistema en 1,2 y el ∆∆Q2 que sale en 3,4
Una máquina que utilice este ciclo de evoluciones reversibles (sucesiones de estado
de equilibrio) se puede materializar con un gas dentro de un cilindro cerrado por un
pistón móvil. Éste entrega o recibe trabajo a través del clásico sistema biela manivela,
que acciona un volante, destinado a acumular energía durante las evoluciones activas
1,2 y 2,3 y devolverla al sistema en las compresiones 3,4 y 4,1 El calor entra y sale
del sistema a través de las paredes del cilindro, que está rodeado de una cámara o
camisa. Mientras el gas evoluciona entre v1 y v2 la camisa se mantiene llena de un
fluído a temperatura T1 que proviene de una caldera . Esta evolución 1,2 consiste en
una transmisión de calor desde el fluído al gas a través de las paredes del cilindro. La
velocidad de este pasaje depende de la diferencia de temperatura entre fluído
portador del calor y gas que evoluciona dentro del cilindro. Esa diferencia implica un
proceso irreversible, ya que no es una sucesión de estados de equilibrio, y que
como se verá, atenta contra el rendimiento del ciclo. Por eso Carnot imaginó una
evolución suficientemente lenta como para que se pueda considerar prácticamente
nula la diferencia de temperatura entre gas y fluído, ambos en equilibrio a T1. En 2 se
descarga la camisa del fluído portador del calor, el que vuelve a la caldera. El gas
sigue expandiéndose adiabáticamente, empujando el pistón hacia su punto muerto
inferior en 3, y enfriándose a costa de su energía interna hasta T2<T1. En ese mo-
mento, el volante de la máquina comienza a devolver parte de su energía acumulada,
iniciando una compresión isotérmica, ya que la misma está acompañada de la circula-
ción por la camisa de un fluído a temperatura T2, que proviene de un depósito distinto
a la caldera. Dicho fluído extrae el calor Q2 desarrollado durante la compresión 3,4 ,
que se desarrolla con las mismas características de reversibilidad que la expansión
1,2, esto es a temperatura constante igual para gas y fluído. Por último, al llegar al
volumen v4 se vuelve a vaciar la camisa, quedando aislado el contenido gaseoso del
cilindro. A partir de entonces y hasta el punto muerto superior 1, el pistón recibe tra-
bajo del volante en forma adiabática elevando por lo tanto su temperatura hasta la
inicial T1, estando entonces en condiciones de comenzar un nuevo ciclo.
El trabajo neto que entrega el motor de Carnot es la suma (diferencia de
174
valores absolutos) entre el calor ∆∆Q1>0 suministrado en la evolución 1-2 y el
calor ∆∆Q2<0 cedido en la 3-4, que de acuerdo a lo visto valen:
∆∆Q1 = R.T1.ln(v2/v1) ∆∆Q2 = R.T2.ln(v4/v3)
El refrigerador de Carnot en cambio utiliza este mismo trabajo tomado desde
el exterior para “bombear" ∆∆Q1+∆∆Q2 desde la fuente fría a T2 hasta la fuente
caliente a T1
Se define como rendimiento termodinámico de una máquina térmica a la
relación entre el calor transformado en trabajo y el calor que se extrae de
la fuente caliente. En el caso del motor de Carnot su rendimiento es:
νν = (∆∆Q1+ ∆∆Q2) / ∆∆Q1 = 1 + (∆∆Q2 / ∆∆Q1 )
Aplicando las relaciones deducidas para las transformaciones adiabáticas se
demuestra que, en las fórmulas anteriores de ∆Q1 y ∆Q2 es v2/v1 = v3/v4 con
lo que el rendimiento anterior vale:
ν = (T1-T2)/T1 = 1 - T2/T1
Puede demostrarse que esta igualdad no sólo se cumple en el caso que el
medio que evoluciona sea un gas perfecto, sino también para cualquier otro
agente que pueda evolucionar en forma reversible.
Teorema de Carnot
Carnot demostró también que el valor del rendimiento de su ciclo es el má-
ximo alcanzable para una máquina térmica que funcione entre temperaturas
extremas T1 y T2, y que ello ocurre solamente si las evoluciones que cumple
el agente son reversibles. En caso contrarío, si las evoluciones son irreversi-
bles, el rendimiento será menor que el de la máquina de Carnot.
A esta conclusión se llega imaginando dos máquinas
de Carnot Iguales, vinculadas mecánicamente a
través de un eje común, y térmicamente dependien-
tes de las mismas fuentes fría y caliente. Sí una de
ellas funciona como motor y la otra como refrigera-
dor, el balance entre los calores Intercambiados
entre máquinas y fuentes resulta nulo debido a ser
ambas idénticas y reversibles. Ahora bien, supon-
gamos que reemplazamos el motor de Carnot por
otro que rinda más: un “súper-motor”
Como el trabajo mecánico transferido al refri-
gerador es el mismo de antes, el mayor rendi-
miento del súper-motor que lo suministra re-
presenta una menor cantidad de calor tomado de la fuente caliente, o una
menor cantidad de calor entregada a la fuente fría, o ambas cosas a la vez.
En cualquiera de los casos, el balance calórico ya no cierra, y la fuente ca-
liente recibe más calor del refrigerador del que entrega al motor. Asimismo la
fuente fría recibe menos calor del motor del que bombea el refrigerador. En
FUENTE CALIENTE
FUENTE FRÍA
MOTOR
REFRIG
acoplamientomecánico
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 175
consecuencia la fuente caliente eleva su temperatura y la fría la disminuye
sin que se entregue al sistema trabajo mecánico neto. Ello constituye en
definitiva un pasaje espontáneo de calor de la fuente fría a la caliente, nunca
observado, lo que desacredita la hipótesis del “súper-motor” de mayor ren-
dimiento que el de Carnot .
Si en vez de máquinas de Carnot se emplean otras que funcionen con ciclos
reversibles, se puede descomponer éstos en ciclos parciales de Carnot,
como se verá a continuación. Ello permite afirmar que sus rendimientos
serán equivalentes.
Ciclos reversibles – Función entropía
Sea un ciclo reversible de forma
arbitraria que por lo visto tiene ren-
dimiento máximo. Cortemos su
diagrama p,v con una familia de n
curvas adiabáticas, de manera de
cubrirlo totalmente con esta parti-
ción. Luego formemos con dichas
adiabáticas (n-1) ciclos de Carnot
con arcos de isotérmicas, compen-
sando debidamente las áreas ence-
rradas entre las adiabáticas, las
isotérmicas y las porciones del ciclo original, de manera que el área de éste
sea igual a la suma de las de los (n-1) ciclos de Carnot., para cualquiera y
cada uno de los cuales vale la siguiente :
1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 = 1 - T2/T1 de donde ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 = 0
Podemos sumar las expresiones idénticamente nulas de los (n-1) ciclos,
caracterizando con exponente
sup
a la parte del ciclo perteneciente a la iso-
térmica superior y con inf la parte correspondiente a la isotérmica Inferior; con
el subíndice i caracterizando el número de ciclo correspondiente:
Para i=1 a (n-1) Σ (∆∆Qi/Ti)sup
+ Σ (∆(∆Qi/Ti)inf = 0
Si hacemos tender a infinito la partición, las cantidades de calor ∆∆Q pasarán
a cantidades elementales dQ y las sumatorlas pasarán a integrales a lo largo
de la parte superior e inferior del contorno del ciclo original, con lo cual será:
∫∫
sup
(dQ/T) + ∫∫inf (dQ/T) = 0
o sea que la integral a lo largo del contorno del ciclo cerrado será nula:
∫∫ (dQ/T)=0
A diferencia de la energía interna ∆∆U, la cantidad de calor ∆∆Q intercambiada en una
p
v
áreas iguales
adiabáticas
isotérmicas
T1
T2
∆∆Q2
∆∆Q1
176
evolución depende del tipo de ésta, además de los estados inicial y final. Desde el
punto de vista matemático esto se compadece con el hecho de que Q no es una fun-
ción potencial y por ende tampoco es susceptible de tener una diferencia exacta dQ.
Así entonces ∫∫1,2dQ ≠≠ Q2-Q1 y en cambio ∫∫1,2dU = U2-U1
La expresión ∫∫(dQ/T)=0 indica que en una evolución reversible la cantidad
subintegral es una diferencial exacta, o sea que existe una función S tal que
dS = dQ/T
Vimos ya que dicha función S se denomina entropía . Por ser una función
potencial su valor no depende de la evolución, sino del estado final e inicial
del sistema, es decir que se cumple: ∫∫1,2(dQ/T) = S2-S1
En matemáticas se usa el procedimiento de pasar de una función no potencial a otra
potencial, a través de la búsqueda de un factor (que a veces existe y otra no), que
multiplicado por el Incremento de la primera, la transforma en diferencial exacta. Se
conoce con el procedimiento del factor Integrante.
Así, la inversa de la temperatura absoluta es el factor integrante de la cantidad de
calor
Combinando primero y segundo principios queda la expresión (válida única-
mente para evoluciones reversibles) :
T dS = dU + p.dv
Entropía e irreversibilidad
Para encontrar la relación macroscópica entre ambas, pensemos en un ciclo
formado por una transformación superior irreversible (de A a B) y cerrado por
otra transformación reversible (de B a A). Como vimos, en rigor no se puede
representar una transformación irreversible por una curva, así que la indica-
remos con una línea gruesa difusa para significar estados no determinados
con precisión. Como el ciclo tiene una parte irreversible, en conjunto tam-
bién lo es. Siguiendo un desarrollo similar al de antes y descomponiendo
este ciclo en ciclos parciales de Carnot, vale para cada uno y cualquiera de
ellos:
1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 < 1 - T2/T1
La anterior desigualdad responde a que
el primer miembro es el rendimiento de
un ciclo parcial que tiene una parte
irreversible (la isotérmica a T1), mien-
tras que el segundo miembro es el
rendimiento de un ciclo de Carnot que
funciona entre las mismas temperaturas
y por lo tanto es mayor. De la anterior
sale que ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 < 0 , y tam-
∆∆Q1
∆∆Q2
ΑΑ
ΒΒ
adiabática irreversible
evoluciónreversible
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 177
bién, razonando como antes se deduce que para un ciclo irreversible es:
∫∫ dQ/T < 0
La integral en un ciclo cerrado se puede dividir en dos integrales:
∫∫ dQ/T = A∫∫B
dQ/T + B∫∫A
dQ/T < 0
y como la evolución de B hasta A es reversible, podemos poner que
B∫∫A
dQ/T = SA-SB , y entonces
∫∫ dQ/T = A∫∫B
dQ/T + SA-SB < 0
Ahora bien: supongamos que la primera evolución irreversible se realizara
sin intercambio de calor con el exterior (adiabática irreversible). Se podría
tratar por ejemplo, de una rápida compresión. Su rapidez cumpliría dos fun-
ciones: la de no dar tiempo al intercambio de calor con el exterior, y la de
generar inestabilidades e inhomogeneidades en el sistema, propias de las
evoluciones irreversibles.
Seria en tal caso dQ=0 y por lo tanto A∫∫B
dQ/T = 0
Además, en la evolcuión reversible desde B hasta A resulta:
B∫∫A
dQ/T = SA-SB < 0 con lo que SB > SA
Esta desigualdad indica que la entropía en sistemas aislados que evolucio-
nan en forma irreversible va en aumento. Este proceso de aumento es pro-
porcional a la irreversibilidad de las evoluciones que se llevan a cabo en el
seno del sistema en cuestión.
Entropía. y metafísica
Si consideramos que el sistema aislado en cuestión puede ser el universo
mismo, la termodinámica está en condiciones de afirmar que la entropía del cosmos
debe ir en aumento, ya que las transformaciones espontáneas que en él ocurren son
pasos irreversibles hacia el equilibrio entre sus partes. Es imaginable que en un tiem-
po suficientemente largo se llegue al equilibrio térmico en todo el universo, si se ad-
mite que éste es realmente un sistema aislado. La entropía habrá llegado al máximo
posible.
En tal estado de temperatura uniforme, ninguna transformación será posible.
El hecho de que ahora se produzcan evoluciones indica que no estamos en equilibrio
y por lo tanto el universo no tiene edad infinita ni existió desde siempre, ya que de ser
así habría llegado al equilibrio.
Otra consideración que se deduce de este esquema termodinámico del uni-
verso es que el aumento de entropía actual permite remontarnos hacia atrás e imagi-
nar el momento de la Creación, en la que Dios puso el reloj en S = 0.
Resulta así que el Segundo Principio de la Termodinámica, nacido de la
preocupación por mejorar el rendimiento de resoplantes máquinas, se transforma
sutilmente a través de los razonamIentos de Carnot y Clausius en la mágica función
Entropía, cuya evolución rige todo proceso espontáneo existente, y que como se ha
visto nos plantea cuestiones que trascienden a la ciencia y a la técnica.
178
Fluidodinámica
Primer principio para sistemas abiertos
Para prepararse para el conocimiento de la fluidodinámica, resulta oportuno
plantear el primer principio de la termodinámica en sistemas abiertos, esto es
en los que intercambian materia con el exterior.
Imaginemos un fluído que atra-
viesa un tubo de sección gene-
ralmente variable, de paredes
impermeables a la materia y al
calor, con un motor térmico en su
interior que ejecuta un trabajo Lm
hacia el medio exterior a expen-
sas de la energía del sistema.
Consideremos el funcionamiento
del sistema en estado de régi-
men, es decir en el cual todo el
fluído que entra por la sección 1 sale por la 2 (no hay acumulación ni enrare-
cimiento de materia en su interior).
Además sea Q el calor del exterior que el sistema recibe por cada Kg de
fluído que circula. Aplicando la fórmula del primer principio será
Q – L = U2 - U1
Debemos considerar que el trabajo total L desarrollado por el sistema está
compuesto por los siguientes términos:
• El trabajo que entrega el motor Lm
• La energía necesaria para acelerar la unidad de masa del fluído desde
la velocidad de entrada VV1 hasta la de salida VV2,
• La energía necesaria para elevar cada Kg de fluído desde el nivel de
entrada h1 al de salida h2
• El trabajo necesario para introducir un Kg de fluído de volumen específi-
co v1 a la presión p1 y extraerlo a la presión p2 y volumen específico v2.
Como vimos este término es el trabajo de circulación Lc = p2v2 - p1v1
De tal manera es L = Lm + ½ (VV2
2
-VV1
2
) + g.(h2-h1) + p2v2 - p1v1 , lo que
reemplazado en la expresión del primer principio nos da:
Q + U1 +½ VV1
2
+ g. h1 + p1v1 = U2 + ½ VV2
2
+ g. h2 + p2v2 + Lm
Si de esta ecuación general eliminamos los términos calóricos, nos queda
Q
Lm
h2
VV1
VV2
S1
S2
h1
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 179
una ecuación de conservación de energía mecánica:
½ VV1
2
+ g. h1 + p1v1 = ½ VV2
2
+ g. h2 + p2v2 + Lm
y si el sistema no ejecuta trabajo hacia el exterior, resulta
½ VV
2
+ g. h + p.v = constante
ecuación que se atribuye al físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) del que
ya hemos hablado al tratar la teoría cinética de los gases.
La fórmula anterior para el caso de gases perfectos se transforma en
½ VV
2
/g + h + R.T/g = constante.
Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica)
Para líquidos incompresibles el volumen específico v (de 1 Kg de fluído)
se mantiene constante en razón precisamente de su incompresibilidad, y es
la inversa de la densidad v=1/δδ . Así resulta la ecuación de Bernoulli de la
hidrodinámica:
½ VV
2
/g + h + p/(δδ.g) = constante, o bien, para δ.δ.g = ρρ (peso específico)
VV
2
/2/g + h + p/ρ =ρ = cte
Presiones dinámica y estática
Al primer término VV
2
/2/g se lo denomina usualmente “altura dinámica”, o “altura de
velocidad” . Multiplicado por el peso específico nos da la “presión dinámica” del fluído,
mientras que p es la “presión estática”, que ejerce el fluído sobre las paredes del tubo
por donde circula. En un chorro libre, o en un tubo de corriente es p=0
La ecuación anterior, es válida cuando la circulación del fluído incompresible
se realiza sin realizar trabajo hacia el medio exterior, sin que haya fenóme-
nos calóricos (Q=0 , T=cte), y sin pérdida de energía (evolución reversible).
Esta condición de reversibilidad se cumple sólo si el movimiento del fluído se
lleva a cabo sin rozamientos dentro de la propia masa y contra las paredes
del tubo, y sin choques o remolinos en los que la energía cinética es irrecu-
perable en mérito al desorden que implican estos fenómenos típicamente
irreversibles.
Gasto – Ecuación de continuidad
Además de la ecuación de Bernoulli, que implica conservación de la energía,
siempre se cumple en el movimiento de los fluídos incompresibles el princi-
pio de conservación de la masa, es decir que la cantidad de fluído que ingre-
sa por unidad de tiempo a una porción del sistema es la misma que la que
sale de ella
12
. A esta cantidad se la llama gasto en la jerga técnica de los
12
Si los fluídos son compresibles (gases o vapores), la conservación del gasto puede
180
hidráulicos. El gasto G[Kg/s] se mide por el flujo de la velocidad VV del
fluído de densidad δδ a través de una sección cualquiera de área S por la que
pase todo el fluído. Matemáticamente hablando es G = S.VV.δδ.cos (αα) ,
siendo αα el ángulo que forman entre sí la normal a la superficie considerada
y la dirección de la velocidad.
Noción de tubo de corriente
El tubo por donde circula el fluído objeto de nuestras deducciones anteriores,
puede no ser necesariamente un conducto con paredes materiales, baste
que sobre la superficie de ellas (de existencia física o virtual) no pueda entrar
ni salir fluído. Ello significa que de acuerdo al concepto de flujo de corriente,
éste debe ser nulo sobre las paredes del tubo y por lo tanto la velocidad del
fluído debe ser paralela a las paredes de este tubo, formando así lo que se
llama “tubo de corriente”. Sobre tubos de corriente se pueden aplicar los
conceptos de conservación de masa y energía que dan origen a las fórmulas
de continuidad y de Bernoulli.
Ejemplo: Estudiar el movimiento del fluído
en un vaso con un orificio en su pared.
Suponiendo que el agua del vaso de sección
S1 sale sin rozamientos por el orificio de
sección S2 , podemos aplicar la ecuación de
Bernouilli entre la superficie, a nivel h1 que
está a la presión atmosférica p1=H , y el
punto de salida, a nivel h2 a la misma presión
exterior p2=H , resultando:
½ VV1
2
/g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV2
2
/g + h2 + p2/ρ ,ρ , de
donde, reemplazando valores : ½ VV1
2
/g + h1 + H/ρ =ρ = ½ VV2
2
/g + h2 + H/ρρ , o sea
VV2
2
-VV1
2
= 2.g (h1-h2) de donde VV2
2
= 2.g (h1-h2) + VV1
2
[1]
Ahora bien, aplicando la ecuación de continuidad en las secciones de la superficie
libre S1 y en la del orificio de salida S2, en las que supondremos a las respectivas
velocidades del fluído VV1 y VV2 uniformes sobre las superficies y normales a las mis-
mas (αα=0) , resulta G1=G2=G, o sea S1.VV1=S2.VV2 de donde VV1=G/S1 y de acuerdo a
[1] resulta VV2
2
= 2.g (h1-h2) + G
2
/S1
2
Como también G=VV2.S2 resulta G
2
= 2.g (h1-h2) / (1/S2
2
-1/S1
2
)
Si el orificio es muy pequeño con respecto a la superficie del vaso, es decir S2<<S1,
podremos poner que el denominador de la expresión anterior vale(1/S2
2
-1/S1
2
)» 1/S2
2
,
con lo cual (GS2)
2
= 2.g (h1-h2) = VV2
2
, de donde la velocidad de salida es la de caída
libre de un cuerpo desde h1 hasta h2, vale decir: VV2 = [2.g.(h2-h1)]
½
no cumplirse momentáneamente bajo regímenes no permanentes (no “estables” con el
tiempo).
VV =Ö2.g.h
h =h1-h2
h1
h2
S1
S2
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 181
En la figura se muestran en rojo las trayectorias que siguen las
partículas del fluído dentro del vaso del ejemplo. Son las líneas
de corriente, que delimitan los tubos de corriente en un movi-
miento sin torbellinos, dentro de los cuales son aplicables las
ecuaciones de continuidad y de Bernoulli. En azul se muestran
líneas que corresponden en tres dimensiones a superficies
cortadas perpendicularmente por los vectores velocidad, es
decir que son atravesadas por el mismo flujo. Desde el punto de
vista matemático, esta familia de curvas de igual flujo y de velo-
cidad corresponden respectivamente a superficies de igual
potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, es decir VV=ÑΦΦ
Viscosidad de los fluídos
Vimos que entre las partículas de un fluído no hay vínculos que permitan,
como en los sólidos, transmitir esfuerzos estáticos de corte. En cambio,
cuando en un fluído hay dos capas con diferentes velocidades, se establece
una fuerza de arrastre entre ellas con una intensidad proporcional a la su-
perficie de las capas, a la diferencia de velocidad, e inversamente proporcio-
nal a la distancia que las separa. Esta suerte de fuerza de corte interna entre
capas del fluído en movimiento se
llama fuerza viscosa
13
.
F = ηη.S.dVV/dy
La constante ηη es la viscosidad del fluído , que de acuerdo a la fórmula ante-
rior queda definida como la fuerza de arrastre en el sentido de la velocidad
relativa entre dos capas de superficie unitaria por unidad de distancia que las
separa y por unidad de velocidad relativa. La viscosidad se mide por lo tanto
en N/m
2
/(m/s/m) = [Ns/m
2
]. El término dVV/dy es el gradiente de la velocidad
en el sentido perpendicular a la misma.
La unidad de viscosidad que se emplea comúnmente es el centipoise, que
es la centésima parte del poise
14
, unidad derivada del sistema cgs :
1 poise = 1 dina.s/cm2 = 0,001 Kg x 0,01 m/s2 x 1s /0,0001 m2 = 0,1 Ns/m
2
1 centipoise = 1 cp = 10-3
N.s/m2
. El agua a 20ºc tiene aproximadamente
una viscosidad de 1 cp
La viscosidad de los fluídos depende de la temperatura. En los líquidos dis-
minuye y en los gases aumenta, como se ve en la siguiente tabla:
13
Del latín viscosus que significa pegajoso.
14
En honor al físico y fisiólogo francés J. Poiseuille (1799-1869) quién estudió el
movimiento laminar de fluídos.
Campo de velocidades
en el vaso del ejemplo
VV+dVV
VV
dy
SF
182
Tablas de viscosidades de diferentes fluídos y su dependencia con la temperatura (cp)
FLUÍDO¯ | temp® -10ºC 0ºc 10ºC 20 ºC 30ºC 50ºC 100ºC
agua -- 1,7 1,3 1 0,6 0,55 0,28
glicerina (100%) 1000 900 800 700 140 100 15
querosén 5 4 3 2,5 2,2 1,5 0,6
mercurio 1,8 1,7 1,6 1,55 1,5 1,45 1,3
aire a pr.atmosf. 0,016 0,017 0,0175 0,018 0,0185 0,019 0,022
Otros valores de viscosidad
15
Aceite mineral liviano a 15ºC 10/12 cp
Aceite mineral pesado a 15ºC 50/50 cp
Hielo (en glaciares) 10
9
cp
Vidrio común a 580 ºC 10
8
cp
Movimientos laminar y turbulento – Número de Reynolds
Cuando un fluído circula según el modelo que permitió deducir el teorema de
Bernoulli, es decir cuando las líneas de corriente corren ordenadamente sin
mezclarse, delimitando los famosos tubos de corriente, puede definirse una
función potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, como ya se vió. Este tipo
de movimiento se llama laminar, y en general está caracterizado por veloci-
dades bajas y grandes viscosidades. Cuando el fluído corre superando cierta
velocidad promedio crítica, el movimiento deja de ser laminar. No se pueden
definir claramente líneas de corriente aplicables a todo el fluído porque las
trayectorias que siguen las partículas se cruzan y configuran una red de
trazos con vueltas o torbellinos, que varían continuamente de forma y posi-
ción. Se dice que en este caso el fluído está en régimen turbulento. Los
estudios realizados por el ingeniero irlandés O. Reynolds (1842-1912), per-
mitieron relacionar el estado laminar o turbulento en la circulación de un
fluído con un parámetro sin dimensión llamado en su honor “Número de
Reynolds”, definido por Re = VV.D.δδ/ηη , donde
VV = velocidad media característica del movimiento en m/s
D = dimensión en m representativa del sistema en el que se realiza el fenómeno (diá-
metro del conducto para circulación en tubos, diámetro de la partícula en estudios
de arrastre de sedimentos, etc)
δδ = densidad del fluído en Kg/m
3
ηη = viscosidad del fluído en N.s/m
2
Cuando el movimiento de un fluído tiene un número de Reynolds caracterísi-
tico menor que 3000 puede considerarse laminar. Para Re=3000 se está en
un estado límite, entre laminar y turbulento. Con Re>3000 el movimiento
está caracterizado por líneas de corriente arremolinadas.
La determinación del estado de régimen (laminar o turbulento) es muy im-
15
El hielo en glaciares se funde por la presión de las capas superiores y el conjunto
funciona como un fluído de viscosidad elevada. El vidrio fluye aún a temperatura am-
biente: los cristales en las ventanas añosas tienen mayor espesor en la parte inferior.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 183
portante para determinar la resistencia a la circulación de fluídos por con-
ductos o canales y el efecto de arrastre sobre objetos en la corriente.
Circulación por un tubo en régimen laminar
Sea un fluído que circula por un tubo de radio R en régimen laminar debido a
un gradiente de presión ΠΠ = ∆∆P/∆∆x constante en el sentido del eje x del tubo.
Debido al efecto de la viscosidad, la capa de fluído pegada a las paredes
tiene velocidad nula. Las capas concéntricas hacia el centro poseen veloci-
dades crecientes hasta llegar al eje del tubo, donde la velocidad del fluído es
máxima.
Para deducir la función de distribución de esas velocidades, consideremos,
recreando el razonamiento de M. Poiseuille, que cuando el régimen es esta-
cionario, esto es sin aceleraciones, la
fuerza viscosa F que se genera en cada
aro (coloreado celeste en la figura) de
ancho dx y radio r debe equilibrarse con
la fuerza generada por la diferencia de
presión sobre la sección A=ππ.r
2
(discos
en verde). Así, en una superficie cilíndri-
ca dS a la distancia r del eje del tubo es
dF =ηη.dS.dVV/dr
16
para dS=2.π.π.r.dx (aros
en celeste) , resultando entonces:
dF = ηη.2.π.π.r.dVV/dr.dx = ππ.r
2
ΠΠ.dx
De esta fórmula obtiene el gradiente de velocidades dVV/dr , al que asigna-
remos signo negativo por que la velocidad disminuye con la distancia al eje
del tubo, según lo dicho. Así entonces es: dVV/dr = - ΠΠ r / (2η)η) , la que inte-
grada da V=- Π/(2η).r
2
/2 + K . Para r=R es V=0 de donde K=Π/(2η).R
2
/2 y
entonces VV(r) = ΠΠ/(4ηη) (R
2
-r
2
) (Fórmula de Poiseuille)
que es una parábola con un máximo en el centro del tubo.
Para calcular el flujo total, debemos integrar la velocidad por la sección des-
de r=0 hasta r=R , resultando así
F=o! R
2.ππ.VV(r). r..dr = ΠπΠπ/(2ηη) o! R
(R2
-r2
) r..dr = π.Π.π.Π.R44
/(8ηη),
Introduciendo VVm como la velocidad media, resulta por definición F=ππR
2
VVm ,
de donde VVm=Π.Π.R22
/(8ηη) , y la caída de presión por unidad de longitud viene
dada por ΠΠ = ∆∆P/∆∆x = (8ηη)/R22
VVm
Si se desea expresar la anterior en función del número de Reynolds
Re=VV.D.δδ/ηη para D=2.R resulta ΠΠ = 32ηη/D22
VVm = ρρ/D.(64/Re)..[VVm
2
/2/g]
16
Los vectores en rojo del dibujo corresponden a la fuerza viscosa sobre una fracción
del anillo, por lo cual se los ha definido como diferencial de segundo orden d
2
F, siendo
dF=!d
2
F
dr
dx
d2
F
r
R x
d2
F
VV
184
Los hidráulicos llaman a ΠΠ “pérdida de carga unitaria”, y es la diferencia de presión
que presenta un líquido por unidad de longitud al circular por un conducto. Multiplicada
por el flujo de fluído y por la longitud recorrida da la potencia perdida en el escurri-
miento. La pérdida de presión entre los extremos del conducto o la canalización es por
otra parte la responsable de la circulación del mismo a la velocidad media Vm, en vez
de un movimiento acelerado, que sería el caso si no existiera la resistencia viscosa.
Ejemplo: Un tambor cilíndrico de eje vertical de
DT=1m de diámetro está lleno hasta una altura
h=(z3-z2)=0,5m de miel de abejas, de densidad
δδ=1100 Kg/m
3
y viscosidad ηη=300 cp (0,3
Ns/m
2
). La miel cae hacia los frascos por un tubo
vertical que sale hacia abajo desde el centro del
fondo del tanque de ∆∆x=(h2-h1)=6 m de altura y
D=2 cm de diámetro. ¿Cuánto tiempo se tarda
en envasar toda la miel, suponiendo que no hay
que cortar el chorro entre frasco y frasco.? Con-
siderar régimen laminar y verificar luego esto.
Análisis preliminar: (hecho por Bzz, una abeja
obrera que está haciendo una maestría en fluí-
dos viscosos): La miel circula sucesivamente por
dos conductos: el tanque y el tubo. Al paso por
ambos pierde energía por efecto viscoso. Tam-
bién pierde energía en el cambio de sección entre tanque y tubo de descarga (pérdida
por embocadura). Considerando que el recipiente es de mucho mayor diámetro que el
tubo, se puede despreciar en principio la pérdida de carga en aquél en mérito a su
escasa velocidad. En cuánto a la pérdida por embocadura, Bzz asegura que es sólo
considerable cuando el movimiento es turbulento. En tal caso la diferencia de presión
que impulsa el líquido a través del tubo, será la que hay en la base del recipiente más
la del extremo inferior de salida menos la atmosférica de salida. En la base del reci-
piente hay una presión, de acuerdo al teorema general de la hidrostática, igual a la
altura h del líquido en este por su peso específico ρ=δ.ρ=δ.g, más la presión atmosférica H
que se ejerce sobre la superficie libre. Ahora bien, durante el proceso de vaciado, el
nivel h del líquido en el tanque disminuye, por lo que la presión de impulsión irá dismi-
nuyendo y consecuentemente lo mismo hará la velocidad de escurrimiento. Habrá que
deducir pues una expresión de la velocidad media VVm con la altura h del fluído en el
recipiente.
Solución : Vimos que ∆∆P//∆∆x = 32.ηη/D22
VVm , por otra parte es ∆∆x=6m, y además
∆∆P = H + δδ.g.(h+∆∆x)- H = δδ.g.(h+∆∆x) de donde
VVm = ∆∆P D22
/∆/∆x /(32.η)η)= δδ.g.(h+∆∆x).0,02
2
/6/(32x0,2)=
[1100 Kg/m
3
x9,8 m/s
2
x0,02
2
m
2
/6m/32/0,3 Ns/m
2
].[h+∆∆x] = 0,075 [h+∆∆x] (m) [m/s]
Es decir que en un primer momento la miel fluye por el caño de descarga a
0,075x6,5=0,49 m/s
El volumen total de miel a desagotar es ππ.1
2
/4x0,5 = 0,3927 m
3
(432 Kg)
La ecuación de continuidad exige que las velocidades en el tubo y en el tanque estén
en razón inversa a la de sus respectivas secciones, así que llamando VVT = -dh/dt a la
h2=0
h3=+0,5m
h1=-6m
H
H
∆∆x
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 185
velocidad en el tanque de diámetro DT será VVT/VVm=(D/DT)
2
=0,0004 de donde
d(h+∆∆x)/dt = -0,0004x0,075(h+∆∆x) = -3x10
-5
(h+∆∆x). Integrando esta expresión y
poniendo x=h+∆∆x nos queda ln(x) = -3x10
-5
t +K
Cuando t=0 es h=+0,5 y x=6,5 de donde K=ln(6,5).
Así entonces es t = -1/3x10
5
.ln(x/6,5)
El tiempo que tarda en vaciarse el tanque corresponde a h=0, x=6 , o sea
t = -1/3x10
5
.ln(6/6,5) = 267 s = 4,45 minutos
Otro: En días cálidos la misma operación se hace en menor tiempo. Según Bzz se
debe a que la miel, como la mayoría de los líquidos, disminuye la viscosidad con la
temperatura. ¿Cuál será la viscosidad cuando el mismo tanque se vacía en 3 minutos
(180s)?.
Respuesta: el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad de escurrimiento,
que de acuerdo a lo visto vale: VVm = ∆∆P D22
/∆/∆x /(32.η)η) , o sea que el tiempo es direc-
tamente proporcional a la viscosidad. De tal manera si t1 y t2 son los tiempos que
tarda el envasamiento con viscosidades ηη1 y ηη2, resulta t1/t2=ηη1/ηη2 , de donde
ηη2 = ηη1.180/267 = 202 cp
Vicosimetros: Son aparatos que miden la viscosidad, muchos de ellos
(Ostwald, Saybolt) en base a la medida del tiempo de escurrimiento de líqui-
dos en condiciones normalizadas, como se explica en el ejemplo anterior.
Otros aparatos se basan en la medición directa de la fuerza entre dos super-
ficies que se desplazan a velocidad relativa constante separadas por una
distancia fija llena del líquido cuya viscosidad se desea medir.
Escurrimiento con pérdida de carga
En la figura se representa un dispositivo para estudiar el escurrimiento con
pérdida de carga. Un tanque se mantiene a un nivel H constante gracias a
una bomba y un rebalse. En su base tiene conectado un caño horizontal, de
diámetro variable con tubos verticales adosados en los que el líquido toma
una altura H mientras la salida está cerrada (principio de los vasos comuni-
cantes). Cuando se abre la salida, el líquido escurre por el caño horizontal a
H
y1
E
VVI VVII
VVI
2
/2/g
VVII
2
/2/g
∆∆x
y2
0 1 2 3
∆∆ p/ρρ
pérdidaporensanche
pérdida por
embocadura
186
velocidad VV y baja de nivel en los tubos hasta una altura y. Si no hubiera
rozamiento viscoso, se podría aplicar la ecuación de Bernoulli, y para los
puntos 0 en el recipiente y 1,2,3...en el caño, y se podría poner:
½ VV0
2
/g + h0 + p0/ρ =ρ = ½ VV1
2
/g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV2
2
/g + h2 + p2/ρ =ρ = ½ VV3
2
/g + h3 + p3/ρρ
Eliminando los términos h0 = h1 = h2 = h3 (el caño es horizontal) , conside-
rando que en el recipiente es VV0=0 y p0=H.ρρ , y sabiendo que la presión
viene medida por la altura y en los tubos, o sea p = y.ρρ , resulta:
H = VV1
2
/2/g + y1 == VV2
2
/2/g + y2 == VV3
2
/2/g + y3
De acuerdo a esto, ya que VV1=VV2 = VVI debería ser y1=y2 , sin embargo, se
observa en la práctica que entre ambos puntos hay una diferencia de nivel
en los tubos que marcan la presión.
Si tenemos en cuenta que la ecuación de Bernoulli, por estar basada en el
principio de conservación de la energía, no contempla pérdidas por roza-
miento, podemos asignar esa diferencia de presiones ∆∆p=ρ=ρ(y1-y2) al roza-
miento viscoso estudiado anteriormente.
Pérdida de carga en movimiento laminar
En efecto, para movimiento laminar (Re<3000) una medición en nuestro
aparato verificaría la ya deducida expresión de Poiseuille: ∆∆p//∆∆x =
32.ηη/D22
VVm , la que también puede ponerse en función del término de veloci-
dad, o presión dinámica VV
2
/2/g, de la siguiente manera (compruébese)
∆∆p/∆∆x = (64/Re).. ρρ/D [VV
2
/2/g] = j. ρρ/D [VV
2
/2/g]
Puesta en esa forma, la pérdida de carga se relaciona directamente con la
presión de velocidad referida al diámetro, ρ/ρ/D [VV
2
/2/g] a través de un coefi-
ciente sin dimensión que para movimiento laminar vale j = 64/Re , llamado
coeficiente de resistencia.
Así, entre dos puntos de un conducto que distan ∆∆x vale la ecuación:
VV1
2
/2/g + h1 + p1/ρ =ρ = VV2
2
/2/g + h2 + p2/ρ + Π .∆ρ + Π .∆x
En particular, si la sección del conducto no varía en el tramo considerado, de
longitud ∆∆x, es (VV1=VV2=VV) y la anterior queda:
ρ.ρ.(h1- h2) + (p1- p2) == j. ρρ/D [VV
2
/2/g].∆∆x
Resistencias locales
Un conducto opone una resistencia al paso del fluído que está distribuída a
lo largo de todo el tramo. Los cambios de sección (ensanches o reduccio-
nes), los de dirección (codos y curvas), válvulas y en general todo elemento
que perturbe el flujo, oponen resistencia que se puede considerar concentra-
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 187
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
0,1
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Re
j
Zona de régimen turbulento
Zona de
régimen
laminar tubos lisos
tubos rugosos
64/Re
tubos muy rugosos
Zona de transición
da en su lugar de ubicación. Resulta cómodo expresar la resistencia con-
centrada de un elemento a través de la longitud de caño de su mismo diá-
metro que produciría la misma caída de presión. Se la llama “longitud equi-
valente del elemento”. Por ejemplo, un codo a 90º equivale a dos o tres me-
tros de caño. Una curva de radio largo, sólo un metro. Una válvula tiene una
longitud equivalente que va de infinito cuando está totalmente cerrada, hasta
dos o tres metros de caño, cuando está totalmente abierta, dependiendo del
tipo de cierre (esclusa, globo, aguja, mariposa, etc.).
Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento
Los procesos en estado turbulento no pueden estudiarse con esquemas
simples como el de Poiseuille, ya que los filetes en el seno del líquido pre-
sentan formas cambiantes e impredecibles en un modelo determinista. Sin
embargo se pueden definir parámetros estadísticos como velocidades me-
dias de las partículas al estilo de las de las moléculas de los gases.
La resistencia en régimen turbulento es sustancialmente mayor que en el
caso laminar, y la dependencia con el término de presión de velocidad no es
de proporcionalidad, y ni siquiera los une una expresión analítica sencilla.
Intervienen en la resistencia en régimen turbulento además del rozamiento
entre partículas, la interacción de éstas con las paredes del conducto, a
través mecanismos que se desarrollan en la capa de contacto, llamada “ca-
pa límite”. En base a experiencias y teorías sobre fenómenos en capa límite
se han elaborado relaciones para determinar el coeficiente de resistencia j
en función del número de Reynolds Re.
La manera más corriente
es a través de gráficos,
que requieren conocer el
tipo de superficie interior
del conducto a través de
la rugosidad de la pa-
red. Ésta viene medida
por la profundidad de las
irregularidades que pre-
senta la superficie de
contacto líquido/sólido. La
rugosidad inicial, depen-
diente del acabado interior del conducto o canalización, varía con el tiempo
debido a modificaciones físicas o químicas (suciedad, incrustaciones, corro-
sión, etc.)
17
17
Desgraciadamente el valor de este parámetro, absolutamente determinante en el
resultado de la resistencia, en general sólo puede estimarse groseramente.
188
Ejemplo: Se desean bombear F = 50 m
3
/h de agua, de viscosidad ηη=0,001 Ns/m
2
y
densidad δδ=1000 Kg/m
3
, desde el río a un tanque elevado. La cañería de hierro gal-
vanizado nuevo (considerarla como tubo medianamente rugoso) tiene un tramo recto
horizontal de 100 m y luego sube hacia el tanque con otro tramo también recto hasta
40 m de altura, ambos de 4” de diámetro interno (d=0,102 m). ¿Qué potencia de
bombeo se necesita?
Solución: La velocidad en la cañería es VVm tal que el flujo es F=π.d
2
/4.Vm= 0,014 m
3
/s
de donde VVm= 4.F/ππ/d
2
= 1,7 m/s . El número de Reynolds es Re = VVm.d.δ/ηδ/η = 173371
(francamente turbulento). De gráfico sacamos j=0,024
La diferencia de presión entre la bomba y el tanque resulta de sumar la pérdida de
carga en la cañería y la diferencia de presión entre la parte más alta (h2=40 m) y el
nivel de la bomba, a nivel del río (h1=0):
(p1- p2) == j. ρρ/D [VV
2
/2/g].∆∆x + ρ.ρ.(h2- h1) =
0,024.9800/0,102.[1,7
2
/2/9,8].(40+100) +9800.40 = 47600 + 392000 = 439600 N/m
2
La caída de presión en la cañería representa el 47600/439600x100=11% del total
La potencia necesaria es N = F. ∆∆p = 50/3600x439600 = 6105 W
18
Movimiento relativo entre sólido y fluído
Cuando un sólido se desplaza en el interior de un fluído quieto, o cuando
está sumergido en una corriente,
19
aparecen fuerzas que se oponen al movimiento
relativo debido a dos causas: la resistencia viscosa y la reacción de inercia del fluído
sobre el sólido, que lo desplaza en su movimiento relativo. La primera origina fuerzas
“de arrastre”, tangenciales a la superficie del sólido. La aceleración relativa entre fuído
y sólido, normal a la superficie de éste, genera fuerzas perpendiculares, “de presión”
en contra de la superficie, o “de succión” si la reacción es saliente.
Se comprende que las fuerzas de presión o succión dependen de la sección
del objeto en el plano perpendicular a la velocidad (sección de carena, según los
navales) y de cómo va variando esa sección a lo largo de las líneas de corriente. Las
formas suaves y alargadas del casco de un buque bien diseñado producen menos
18
Si la bomba fuera del tipo centrífugo, su rendimiento varía entre 0,6 y 0,7. Por lo
tanto el motor que la acciona debería entregar 6105/0,6 = 10 175 W = 13,82 CV
19
No es exactamente equivalente que un fluído esté quieto y en él se desplace el
sólido, a que sea el fluído el que se desplace y el sólido esté quieto. Sin embargo los
resultados pueden homologarse. En los túneles de viento se simula un avión en mo-
vimiento en aire quieto con un modelo quieto sumergido en una corriente de aire.
zona de presión zona de arrastre
zona de succión
zona de remolinos
zona de arrastre
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 189
aceleración que una barcaza de proa plana. Las fuerzas
de arrastre dependen de la extensión y tipo de superficie
(rugosa o lisa), y de la velocidad relativa. Velocidad,
rugosidad y viscosidad determinan el tipo de movimiento
relativo sólido/fluído (laminar o turbulento). El régimen
laminar se caracteriza por menor relación entre fuerza
de arrastre y fuerza de presión que el turbulento, en el
que el efecto dominante es el de arrastre. En cuanto a la
resistencia total, suma de ambos efectos, es en general
menor a régimen turbulento y crece más que proporcio-
nalmente con la velocidad. Si bien una superficie rugosa
produce más fuerza de arrastre que una lisa en una
capa límite laminar, el efecto se invierte cuando una
irregularidad en la superficie genera una capa límite
turbulenta, en la que hay mucho intercambio de energía con el resto del fluído. Por esa
razón la misma se mantiene un mayor trecho pegada a la superficie y en consecuen-
cia habrá menor succión en la parte trasera del cuerpo en movimiento. Los hoyuelos
en las pelotas del golf y la rugosidad en la piel de los tiburones crean una capa límite
turbulenta haciendo que las líneas de corriente rodeen al móvil en la parte trasera y
reduzcan la consabida succión. Detrás del cuerpo queda en general una estela de
remolinos que implica una pérdida adicional de energía. La magnitud de este efecto
depende de la forma de la cola del móvil.
La trayectoria de proyectiles en un medio fluído se aparte de la forma para-
bólica. Véase al respecto el análisis que se hace de este problema bajo el título “Tiro”,
en el que se usan las fórmulas de Stokes y Newton, tratadas a continuación.
Fórmulas de Stokes y de Newton
El físico y matemático irlandés G. Stokes (1819-1903), especialista en fluídos, formuló
la ley que gobierna la resistencia F de un fluído de viscosidad η sobre esferas de radio
r que se mueven a pequeñas velocidades relativas V
F = 6 π ηπ η r VV (válida para régimen laminar).
Para velocidades grandes, se utiliza la fórmula de Newton, que expresa
la fuerza en función de la presión de velocidad ρ.V
2
/2/g, la sección de
carena S y un coeficiente k que depende de la manera en que el cuerpo
desvía al fluído.
F=k.ρρ.VV
2
/2/g.S
Para una placa plana, que transforma toda la presión de velocidad en
presión efectiva es k=1 . En cambio una semiesfera con la concavidad
hacia el frente “embolsa” el flujo, que sale con una componente en sentido contrario a
la dirección original. Esto multiplica la fuerza por un coeficiente 1 < k < 2
Una semiesfera con la concavidad hacia atrás desvía el flujo hacia los costados en
menor medida que una superficie plana, y en tal caso es k<1
Ejemplo: ¿Qué presión recibe una pared vertical sobre la que sopla un viento de 40
Km/h?. Respuesta: Aplicamos la fórmula F/S = k.ρρ.VV
2
/2/g. con k=1, δδ=1,25 Kg/m
3
resultando así F=1,25x(40000/3600)
2
/2=77 N/m
2
.
Con un viento de 100 Km/h la presión sube (100/40)
2
= 6,25 veces, o sea 481 N/m
2
Se comprende que los edificios deban calcularse la presión sobre que sobre sus pare-
des puedan ejercer fuertes vientos.
k=1
k=1,3
k=0,4
capa límite laminar
capa límite turbulenta
mayor succión
menor succión
190
Máquinas hidráulicas
Transforman en trabajo la energía
mecánica de un fluído. La más sencilla
es la rueda hidráulica, que hizo funcio-
nar los molinos de trigo durante siglos.
Aprovecha la energía potencial de una
masa de agua embalsada a una altura
h2 que llena los espacios entre paletas
en su descenso hasta h1. El peso de
este volumen de agua genera un mo-
mento que hace girar la rueda. El
trabajo que ejecuta cada volumen v de líquido de densidad δδ de peso δδ.g.v
es igual a su energía potencial δδ.g.v.(h2-h1). La potencia W en el eje de la
rueda vale, para N paletas por unidad de tiempo W=N.δδ.g.v.(h2-h1)=G(h2-h1)
siendo N.δ.δ.g.v.= G[Kg/s] el gasto total de líquido que pasa por la máquina.
Actualmente se usa en centrales eléc-
tricas una máquina diseñada en el
siglo XIX por el ingeniero hidráulico
inglés J. B. Francis (1815-1892), que
consta de una caja espiral por donde
el agua entra tangencialmente, y un
rotor de paletas central. El agua ataca
las paletas del rotor con una dirección
controlada por una serie de paletas
fijas (álabes directores). El flujo de
agua describe trayectorias en espiral
hacia el centro, por donde abandona la
máquina. La reacción del cambio de
dirección del flujo sobre las paletas del
rotor genera la fuerza motora que se
transmite al eje. Con pequeñas modifi-
caciones en la inclinación de álabes y
paletas, esta máquina trabaja como
impulsora de líquido, o sea como
bomba, cuando se le suministra tra-
bajo en el eje mediante un motor que
la hace girar en sentido contrario al
indicado en la figura. En ese caso, las
paletas le confieren energía rotatoria al
líquido, que por fuerza centrífuga tien-
de a ir hacia la periferia recorriendo un flujo inverso al señalado, saliendo
tangencialmente por la caja espiral. Las bombas centrífugas producen una
presión en base a la energía cinética del líquido, o sea a la altura de presión
δδ.VV2
/2. Por eso la altura de elevación del líquido crece con el cuadrado de la
(h2-h1)
Corona de álabes directores
Caja
espiral
rotor
paletas
del
rotor
Turbina tipo
FRANCIS
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 191
velocidad de giro, que está en relación con la velocidad tangencial VV con el
que el líquido abandona la caja espiral. El flujo, en cambio, es directamente
proporcional a la velocidad de salida. La potencia del chorro es el producto
del gasto (flujo por peso específico) y la altura de elevación, por lo cual de-
pende de la tercera potencia de la velocidad. El rendimiento de estas máqui-
nas es el cociente entre la potencia del chorro y la entregada en el eje por el
motor. La transferencia de energía del rotor al líquido se realiza a través del
impulso que éste recibe de las paletas. Como en cualquier canalización, en
una bomba centrífuga existen pérdidas importantes por rozamiento viscoso y
turbulento. Desde ese punto de vista el aparato puede considerarse que
produce una pérdida de carga localizada como cualquier accesorio, que se
debe restar al aumento de potencial que tomaría el fluído en una evolución
sin pérdidas, para obtener la verdadera presión de salida.
Ejemplo: Una bomba centrífuga ha sido probada con agua, arrojando un flujo de F=10
m
3
/h cuando marcha a una velocidad angular de n=1450 rpm, con una altura de
elevación de h=20 m y un rendimiento η=η=0,6
1) ¿Qué potencia debe tener el motor de accionamiento cuando bombea ácido sulfúri-
co concentrado (δ=1840 Kg/m3) en las condiciones apuntadas?
Respuesta: W=G.h/η= 10 m
3
/h x1840 Kg/m
3
/ 3600 s/h x 9,8 m/s
2
/ 0,6 x 20 m=1670 W
2) ¿De qué orden será el diámetro del rotor y el diámetro de la boca de salida de la
bomba, suponiendo que la velocidad de salida del líquido debe ser 3 m/s? (considerar
que la velocidad del líquido es la mitad de la velocidad tangencial del rotor)
Respuesta: La velocidad VV tangencial del rotor de radio R es tal que:
ωω=2ππn/60 = VV/R = 151,84 rad/s, de donde R = V/ωω = 6 m/s /151,84 = 0,04 m (diáme-
tro del rotor=0,08 m)
El diámetro de la boca de salida D debe cumplir la relación ππ.D
2
/4.VV=F , de donde
D=(4.F/ππ)
½
= (4.10/3600/3,14)
½
= 0,06 m
3) ¿Qué se pude esperar si se hace funcionar la misma bomba a 1500 rpm?
a) La potencia de bombeo depende del cubo de la velocidad, así que la nueva
potencia será del orden de (1500/1450)
3
x1670W=1,107x1670W=1849W. En rea-
lidad será superior a este valor en razón de que también los rozamientos crecen
con el cuadrado de la velocidad, afectando al rendimiento, que será inferior a 0,6.
b) La altura de elevación (presión a la salida de la bomba, expresada en altura de
líquido) está dada por el nivel de envío (h=20m, que es constante) más las pérdi-
das (j.V
2
/2/g). La velocidad V depende directamente de la velocidad del rotor, así
que el gasto aumentará (1500/1450) = 1,034 veces. Las pérdidas aumentarán
aproximadamente (1500/1450)
2
= 1,07 veces si se desprecia la variación del coe-
ficiente de rozamiento j
termodinamica
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  • 1. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 155 CALOR Y TERMODINÁMICA Calor y Primer principio de la Termodinámica Generalidades Calor y temperatura son conceptos asociados a la sensación que producen el contacto o la proximidad de ciertos objetos, a los que calificamos subjeti- vamente de fríos o calientes. Se ha visto que la temperatura es un indicador estadístico de la energía específica (por unidad de masa) de las partículas en las que se pueden considerar constituídos los cuerpos extensos. El calor, como resultado de la temperatura extendida a toda la masa de un cuerpo o sistema, puede entenderse como un tipo de energía asociada a la materia, diferente a la energía mecánica. El sabio griego Aristóteles (384-322 AC) ya lo consideraba como una propiedad de la materia. Mucho después, el fran- ciscano inglés Roger Bacon (1214-1294) suponía que el calor se debía a las vibraciones rápidas de las partículas que constituían la sustancia. Los sabios franceses Lavoisier(1743-1794) y Laplace (1749-1827) observaron que la propagación del calor tiene gran analogía al movimiento de un fluído que corre a través de la materia. Estas concepciones diversas, lejos de contrade- cirse se complementan, como veremos a lo largo del estudio. Cantidad de calor – calor específico Para llevar a un cuerpo de masa m de una temperatura T a otra muy próxi- ma T+dT es necesario entregarle una cantidad de calor dQ proporcional a la masa y a la diferencia de temperatura, de tal modo que dQ=m.ce.dT La constante de proporcionalidad ce se llama calor específico de la sustan- cia en cuestión a la temperatura T. El calor específico de la mayoría de las sustancias puede considerarse constante dentro de ciertos límites de tempe- ratura, sin embargo, para no perder generalidad debe tenerse presente que siempre es una función de ésta. La cantidad de calor se mide usualmente en calorías. La caloría (pequeña caloría) es la cantidad de calor necesaria para elevar 1 ºC una masa de 1 gramo de agua pura de 0º a 1 ºC. El calor específico del agua queda así definido como 1 cal/ºC/g a 0ºC 1 Teniendo en cuenta la equivalencia entre calor y trabajo mecánico cuando 1 Para elevar la temperatura de 1 g de agua de 0ºC a 100ºC hacen falta 100,5 cal. Esto demuestra que el calor específico del agua aumenta con la temperatura
  • 2. 156 éste se transforma íntegramente en aquél, se puede expresar la cantidad de calor directamente con unidades de energía, sabiendo que se producen 0,24 calorías cuando se transforma íntegramente en calor un trabajo de 1 Joule. Esta equivalencia entre calor y energía fué determi- nada por el físico inglés James Prescott Joule (1818-1889), quién midió el aumento de temperatura que se producía en el agua de un recipiente aislado agitada por el movimiento de un molinete, el cual a su vez estaba accionado por una pesa que descendía por gravedad. El aparato estaba hecho con cuidados especiales como para hacer mínimos los rozamientos en partes móviles fuera del líquido, que no produci- rían efecto computable. La energía potencial de la pesa se transformaba así casi íntegramente en calor al cabo del descenso. Calorímetro de agua Para medir las cantidades de calor de cuerpos o sistemas, se aprovecha el principio de conservación del mismo: cuando se ponen en contacto dos cuerpos a diferente temperatura fluye calor del más caliente al más frío hasta que las temperaturas se igualan. La cantidad de calor perdida por el cuerpo o sistema más caliente es igual a la ganada por el más frío. La evolución de ambas temperaturas que convergen hacia la final de equilibrio se realiza con leyes exponenciales que se acercan asintóticamente, aunque prácticamente se puede considerar que el equilibrio se alcanza pasado un tiempo finito. Como sistema de referencia se emplea generalmente una masa m1 de agua a temperatura bien determinada T1 en un recipiente aislado, como en la experiencia de Joule para determinar el equivalente térmico del trabajo. En el agua se sumerge el otro sistema, de masa m2 a una temperatura T2 . El equilibrio se alcanza a temperatura final Tf de manera que ∆∆Q1=-∆∆Q2, o sea m1.c1.(T1-Tf) = -m2.c2.(T2-Tf) . El conjunto es una calorímetro de mezclas. Termómetro y temperatura La temperatura se mide de ordinario con un termómetro de dilatación, aparato que emplea la propiedad de algunos líquidos (mercurio o alcohol absoluto) de aumentar de volumen por el calor en forma proporcional a la temperatura (véase más adelante, dilatación de los líquidos por el calor). Al aumentar el volumen del mercurio de la ampolla (bulbo) éste desplaza al que está en el tubo de sección constante. Se gradúa el termómetro con una es- cala lineal cuyo cero corresponde al extremo de la columna mercurial colo- cando todo el termómetro en hielo fundente, y asignando el valor cien a lo que marca todo el aparato en el vapor en equilibrio en agua en ebullición a Equivalente térmico del trabajo
  • 3. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 157 la presión atmosférica normal 2 . Esta escala se llama de Celsius o centígra- da. La temperatura en grados Celsius 3 o Centígrados (ºC), se relaciona con la temperatura absoluta T a través de la relación T=t+273. Como se recuer- da, la escala absoluta (en grados Kelvin) se define en base a la ecuación de los gases ideales T=p.v/n/R, por la cual el producto de la presión y el volu- men ocupado por un gas es proporcional a una variable que es una medida macroscópica de la energía interna del gas. Más adelante veremos que la escala absoluta de temperaturas queda también definida por consideracio- nes termodinámicas, por lo cual también se la llama “escala termodinámica”. En países anglosajones aún se usa la escala termométrica Fahrenheit 4 (ºF), que asigna al agua hirviente el valor 212ºF y al hielo en fusión 32ºF. Está completamente abandonada la antigua escala de temperaturas Reaumur, cuyo cero coincide con el de la escala centígrada, pero que divide al inter- valo entre hielo y vapor de agua hirviente en 80 partes en vez de cien. Ejemplo: Un trozo de metal de 900g calentado en contacto con agua hirviente se sumerge en un calorímetro muy bien aislado que tiene 1 litro de agua a 15ºC. La temperatura del agua asciende hasta estabilizarse en 23ºC. ¿Cuál es el calor específi- co del metal? Solución: Planteamos la ecuación calorimétrica de equilibrio m1.c1.(t1-tf) = -m2.c2.(t2-tf) para m1=1Kg, m2=0,9Kg, t1=15ºC t2=100ºC tf=23ºC c2/c1 = m1/m2.(tf-t1)/(t2-tf) = 1/0,9 x (23-15)/(100-23) = 0,11 Respuesta: el calor específico del metal es algo mayor que un décimo del del agua Dilatación de los cuerpos por el calor Todos los cuerpos se dilatan por el calor. Esa dilatación es relativamente pequeña en los sólidos, mayor en los líquidos y mayor aún en los gases. De estos últimos hemos ya estudiado las relaciones entre temperatura, presión y volumen, así que nos dedicaremos ahora a los dos primeros. Dilatación de los sólidos Dilatación lineal Si sometemos al calor a una varilla sólida de longitud inicial Lo a la tempe- ratura To , observamos que su longitud crece con la temperatura T, según la ley L = Lo + Lo.αα.(T-To) = Lo [1+αα.∆∆T] . El coeficiente αα se llama de dilata- ción lineal, y puede considerarse como una constante propia de cada mate- rial dentro de cierto rango de temperatura. 2 Cuando sólamente el bulbo del termómetro está en el sistema cuya temperatura se quiere determinar, es necesario hacer una corrección que tenga en cuenta la diferente dilatación de la columna (corrección por columna emergente). 3 Inventada en 1742 por el astrónomo sueco Andrés Celsius 4 Esta escala se debe al físico alemán Daniel Gabriel Fahrenheit (siglo XIX)
  • 4. 158 COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL DE ALGUNOS SÓLIDOS MATERIAL α(1/α(1/ºC) MATERIAL α(1/α(1/ºC)) Vidrio 0,9 x 10 -5 Plata 2 x 10 -5 Platino 0,9 x 10 -5 Aluminio 2,6 x 10 -5 Hierro 1,1 x 10 -5 Cinc 2,9 x 10 -5 Cobre 1,8 x 10 -5 Plomo 2,9 x 10 -5 Latón 2 x 10 -5 Azufre 7,4 x 10 -5 La ley anterior puede ponerse de la forma (L-Lo)/Lo=αα.∆∆T lo que nos dice que el alargamiento relativo a la longitud primitiva es proporcional al aumento de la temperatura. Ejemplo: ¿Qué aumento de longitud se producirá en una viga de hierro que tiene 6 m de longitud a 20ºC cuando la temperatura ambiente sube a 30ºC? ∆∆L = L.α.(α.(T-To) = 6m.1,1 x 10 -5 (ºC) -1 10ºC = 0,66 mm Consideración: Si a esta viga se le impidiera dilatar- se, por ejemplo empotrándole los extremos y supo- niendo que no hay pandeo (flexión lateral), ejercería una fuerza sobre los vínculos equivalente a la que le produciría un acortamiento ε = ∆L/L = 0,66/6000 = 0,00011 . De acuerdo a lo visto en resistencia de materiales, el acortamiento produce un esfuerzo de compresión σσ en el hierro de la viga igual a σσ = E.εε = 2,2x10 11 x 0,00011 = 24,2 x 10 6 N/m 2 = 247 Kg/cm 2 . Supongamos que la viga en cuestión fuera un perfil de ala ancha Nº 30, que posee 121 cm 2 de sección. Al estar impedida de dilatarse libremente por el calor, ejercería sobre los apoyos una fuerza de 247x121= 23887Kg Dilatación cúbica Considerando que un cubo de material sufrirá una dilatación lineal en cada arista de longitud Lo con la misma ley anterior, podemos plantear la variación de volumen del cubo con la temperatura, según la siguiente expresión: Vo=Lo 3 ; V = L 3 = Lo 3 (1+α.∆T) 3 = Lo 3 [1+3.α.∆T+3.α 2 .∆T 2 +α 3 .∆T 3 ] Como αα es un valor muy pequeño, se pueden despreciar los términos en los que aparece al cuadrado y al cubo, quedando muy aproximadamente que V≈≈Vo.[1+3.αα.∆∆T]. Comparando esta fórmula con la de la dilatación lineal se ve que el coeficiente de dilatación cúbica equivalente vale 3 veces el de dilatación lineal. De la misma forma se demuestra que el coeficiente de dila- tación superficial resulta 2αα Dilatación de los líquidos El coeficiente de dilatación de los líquidos en general varía con la temperatu- ra, de manera que la ley que relaciona volumen y temperatura no es lineal. El agua, por ejemplo, se contrae de 0ºC a 4ºC. De allí en adelante se dilata. Por lo tanto a 4ºC el agua alcanza su máxima densidad. En cambio el mercu- 30cm
  • 5. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 159 rio posee un coeficiente de dilatación cúbica casi constante, igual a 2x10-4 , hecho que lo hace muy apropiado para la construcción de termómetros. La movilidad de los fluídos y su propiedad de variar de densidad con la tem- peratura permite su calentamiento o enfriamiento por convección natural, esto es por el movimiento de ascenso de porciones menos densas y el des- censo de las más densas. Este mecanismo en el caso del agua, que tiene densidad máxima a 4ºC hace que un lago enfriado por un viento helado se congele superficialmente recién cuando toda el agua llega a 4ºC Primer principio de la Termodinámica Como recordarán, el principio de conservación de la energía mecánica dice que en un sistema aislado, en el que no pueda entrar ni salir materia y energía, se conserva la energía y la materia total. La energía puede pasar de cinética Ec a potencial V y viceversa, pero su suma o total permanece constante, es decir Ec+V=cte y consecuentemente su variación es nula, es decir ∆∆(Ec+V)=0 Si el sistema está en relación con el medio externo o medio ambiente, pue- de haber con éste intercambio de energía, de materia o de ambas. Se llaman sistemas cerrados los que pueden intercambiar sólo energía con el exterior. Si pueden intercambiar también materia se llaman sistemas abiertos. En sistemas cerrados la energía mecánica se intercambia a través de un trabajo L hecho a costa de la variación de su energía total. Es usual la convención de tomar como positivo al trabajo realizado contra el medio exterior y negati- vo si el exterior realiza trabajo contra el sistema. Considerando una evolu- ción del sistema desde un estado inicial i a otro final f, y con la convención de signos antedicha es: (Vf+Ef)-(Vi+Ei)+L=0, o sea ∆∆(V+Ec)+L=0 Si se reconoce a la cantidad de calor ∆∆Q como otra forma posible de energía además de la mecánica, podemos incluirlo en el principio de conservación, que pasa a llamarse entonces “primer principio de la termodinámica” para sistemas cerrados. Tomando al flujo de calor ∆∆Q como positivo cuando entra al sistema y nega- tivo cuando sale (al revés que el trabajo) resulta: ∆∆(V+Ec)-∆∆Q+L=0 y también ∆∆(V+Ec) = ∆∆Q - L La energía interna U Hemos visto que la energía potencial V de un cuerpo rígido es igual a su masa m multiplicada por la aceleración de la gravedad y por la altura del centro de gravedad h con respecto a un nivel de referencia (por ejemplo el nivel del mar). Así entonces expresamos V=m.g.h .
  • 6. 160 También sabemos que un cuerpo rígido de masa m cuyo centro de gravedad se mueve a velocidad uniforme v posee una energía cinética de traslación Ec=1/2 m.v 2 La materia sólida puede modelizarse como cuerpo rígido sólo en primera aproxima- ción, cuando se trate de cuerpos poco deformables y siempre que no estén en estudio fenómenos calóricos. La difusión y transmisión del calor requieren un modelo de mate- ria formada por átomos, moléculas, cristales, o partículas pequeñas en general, como vimos para los fluídos. Sin embargo, y a diferencia de éstos, las partículas constituti- vas de los sólidos están vinculados entre sí por fuerzas de cohesión (responsable de la transmisión de esfuerzos tangenciales) que les imponen condiciones de movilidad mucho más restringida que en el caso de los fluídos. Las partículas del sólido sóla- mente pueden vibrar o rotar alrededor de una posición de equilibrio y no hay trans- porte o convección de materia dentro del cuerpo, como puede haberlo en un fluído. Si en vez de un cuerpo rígido consideramos a la materia de cualquier tipo como un sistema formado por un gran número de individuos de masa mi (i=1,2...n), distinguibles o no desde el punto de vista estadístico, cuya masa total vale m=ΣΣmi, y que poseen velocidades individuales vi si se trata de un fluído y energías de deformación y vibración ui en el caso de sólidos, resulta que además de la eventual energía potencial o cinética de traslación del conjunto, debe considerarse la suma de la energía individual de cada una de sus partes, que puede ser cinética Ec’=ΣΣ ½ mi.vi 2 o también la suma de la energía potencial y de vibración de cada partícula V’=ΣΣui A toda esa energía que no proviene del movimiento o la posición del centro de gravedad del sistema, sino de la suma de las energías individuales de los elementos constitutivos del mismo, la llamaremos energía interna U, y en nuestro caso será U = V’+E’c Así entonces la energía total de un sistema vale Et = Ec + V + U Entonces el primer principio de la termodinámica se escribe: ∆∆V + ∆∆Ec + ∆∆U = ∆∆Q – L En el caso frecuente de que el centro de gravedad del sistema en estudio se mantiene inmóvil a través de los cambios o transformaciones que va sufrien- do, será Ec=0 y ∆∆V=0 , en cuyo caso el primer principio de la termodinámica puede expresarse en la forma ∆∆Q = ∆∆U + L Trabajo El término L que figura en el primer principio se genera cuando un sistema cambia de volumen (se expande o se contrae) bajo una determinada pre- sión. Esa presión que actúa sobre una superficie se traduce en una fuerza, que ejecuta trabajo al desplazarse por la expansión o la compresión que sufre el sistema.
  • 7. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 161 El ejemplo más claro es el de un gas encerrado en un cilindro de superficie S con un pistón móvil. La fuerza que el gas ejerce sobre el pistón vale p.S . Si el pistón se desplaza un trecho dx hacia afuera, el sistema ejecutará contra el medio un trabajo dL=p.s.dx , pero S.dx es el volumen dv barrido por el pistón en su carrera infinitesimal. Así entonces dL=p.dv. En una evolución finita entre dos volúmenes v1 y v2 el trabajo total será Evolución isotérmica Así, en el caso de un mol de gas perfecto a temperatura constante (evolu- ción isotémica), la expansión entre volúmenes v1 y v2 produce un trabajo igual a dL=RT/v.dv=RT d(lnv), con lo cual L1,2 = R.T.ln(v2/v1) Ejemplo: ¿Qué trabajo entrega al medio una masa de 1 Kg de aire que evoluciona a 20ºC (293 ºK) desde un volumen inicial al doble de éste? L1,2 = n.R.T.ln(2) = 1Kg / 0,0144 Kg/mol x 8,3 J/ºK/mol x 293ºK x 0,693 = 117060 J Como la evolución es isotérmica, es nula la variación de energía interna. Entonces, de acuerdo al segundo principio debe ser ∆Q=L , es decir que el trabajo se ha efectuado a costa del calor que ha ingresado en el sistema, necesario para mantener la tempe- ratura constante durante la evolución. Energía interna y temperatura: Que la energía interna U depende de la temperatura se desprende de las consideraciones anteriores. Existe una célebre experiencia realizada por Joule para comprobar si la energía interna de un sistema depende exclusi- vamente de la temperatura. Se dispone en un calorímetro de agua perfec- tamente aislado térmicamente (con paredes que no pueden conducir el ca- lor) dos botellones de gas unidos por una válvula. Uno de ellos contiene gas a presión y el otro está al vacío. Cuando se abre la válvula, el gas del lleno pasa al vacío hasta que se igualan las presiones: el volumen pasa al doble y la presión a la mitad. El agua del baño no acusa ninguna variación de tempe- ratura al cabo del proceso, lo que revela que el cambio de volumen de un gas que no realiza trabajo es adiabático, esto es sin intercambio de calor con el exterior. El primer principio nos dice que el calor intercambiado es igual a la variación de energía interna más el trabajo efectuado. Como calor y tra- bajo son necesariamente nulos en el proceso descripto, podemos afirmar que la variación de energía interna también lo es. Como es seguro que el volumen y la presión variaron en la evolución efectuada por el gas, y la tem- peratura permaneció constante, igual que la energía interna, ésta sólo puede ser función de aquélla. ∫= 2 1 v v 1,2 p.dvL p dx S
  • 8. 162 Una variación de energía libre responde pués a una varia- ción de temperatura, de tal modo que dU=cv.dT. La constante cv se llama “calor específico a volumen cons- tante” porque coincide con ∆Q/∆T cuando el volumen de la evolución no varía, es decir cuando el trabajo es nulo. El resultado de la experiencia de Joule recién descripta ejecutada con gran precisión revela sin embargo una pequeña disminución de la temperatura del sistema. Este efecto, estudiado por W Thomson se emplea en enfriar gases, expandiéndolos sin la ejecución de trabajo. Se conoce como efecto Joule-Thomson, y es explicable teniendo en cuenta que entre las moléculas de los gases reales existen fuerzas de atracción. Para vencerlas durante la expansión se requiere efectuar una trabajo interno a costa de la temperatura del gas. Evolución a presión constante Aplicando el primer principio a una evolución para un mol de gas perfecto a presión constante, en la que L=p(vf-vi) resulta dQ=cv.dT+R(Tf-Ti)=(cv+R).dT , pero como la evolución es a presión contante, su calor específico también lo será, es decir que dQ=cp.dT de donde cv+R=cp, y R=cp-cv . Por supuesto que esta expresión tiene vali- dez general, a pesar de haber sido deducida para un caso particular de evolución. Evolución adiabática Una evolución sin pasaje de calor (por ejemplo, un gas que se expande en un cilindro aislado térmicamente) implica que el trabajo entregado o recibido es a costa de la propia energía interna del sistema. Tales evoluciones se llaman adiabáticas. Un gas que sufre una evolución adiabática lo hace según una ley que trataremos de deducir del primer principio. Según éste es dQ=dU+p.dv. Como dQ=0 según lo planteado, resulta dU=-p.dv. Pero vi- mos que dU=cv.dT, entonces cv.dT=-p.dv=-R.T.dv/v. De lo anterior sale que cv.d[ln(T)]=-R.d[ln(v)] , e integrando resulta cv.ln(T)=-R.ln(v)+C (C = cons- tante de integración) . Tomando antilogaritmos es (para K=ln(C)) T cv = K.v –R , pero como T=p.v/R es p cv .v R+cv =k.R , y extrayendo en ambos miembros la raíz cvésima queda p.v (R/cv+1) = (k.R) 1/cv = constante Como, por lo visto en el estudio de una evolución a presión constante es R=cp-cv, la relación entre presión y volumen de un gas perfecto que evolu- ciona adiabáticamente puede ponerse p.v (cp/cv) =constante. Para el aire es cp/cv=1,4 . Para cualquier gas es cp>cv . Es fácil darse cuenta de ello considerando que la canti- dad de calor necesario para producir un mismo incremento de temperatura dT en un sistema a volumen constante dU = cv.dT es menor que dQ = cv.dT+p.dV = cp.dT en otro a presión constante, cuyo volumen varía durante la evolución. El primero no pue- de efectuar trabajo y todo el calor incide en un aumento de temperatura, mientras que el segundo requiere más calor adicional para efectuar el trabajo contra el medio.
  • 9. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 163 Trabajo en una evolución adiabática Vimos que en una evolución adiabática entre estados p1,v1 y p2,v2 se cumple la ley p1.v1 (cp/cv) = p2.v2 (cp/cv) = cte De ésta se deducen: p2/p1 = [v2/v1] -(cp/cv) v2/v1 = [p2/p1] -(cv/cp) El trabajo que realiza el gas durante la evolución adiabática, en la que dQ=0 resulta por lo tanto igual a la variación de energía interna cambiada de signo, es decir: dL=-dU=-cv.dT. Integrando entre T1 y T2 es L1,2=cv (T1-T2)=cv.T1(1-T2/T1) Como T1=p1.v1/R ; T2=p2.v2/R y R=cp-cv es T2/T1=(v2/v1) (1-cp/cv) = p2/p1 (1-cv/cp) Así entonces L1,2 = cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (v2/v1) (1-cp/cv) ] = = cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (p2/p1) (1-cv/cp) ] Evoluciones generalizadas – politrópicas Prácticamente cualquier evolución gaseosa en equilibrio que una dos puntos en el es- pacio p,v se puede representar con la fór- mula generalizada p.v n =cte , eligiendo adecuadamente el exponente n. Éste ca- racteriza la evolución y se define como n=(c-cp)/(c-cv) , donde c es el calor especí- fico de la evolución en cuestión, definido, como ya se vió por el cociente entre canti- dad de calor intercambiado y diferencia de temperatura, es decir c=dQ/dT Esta evolución general se llama politrópica de grado n . Casos particulares se dan como ejemplo a continuación: • Una isotérmica tiene calor específico infinito, ya que dT=0 y dQ≠≠0 . De acuerdo a la fórmula anotada antes para el exponente n, el límite de este cociente vale 1 para c=∞∞ y en tal caso p.v 1 =p.v=cte (Ley de Boyle- Mariotte) • Una adiabática tiene calor específico nulo, ya que dQ=0 y dT≠≠0 . De acuerdo a la fórmula, n=cp/cv , lo que está de acuerdo a lo ya visto para este tipo de evoluciones. • Una isobárica o evolución a presión constante tiene por definición un calor específico c=cp, con lo cual n=(c-cp)/(c-cv)=0 y entonces p.v 0 =p=cte, que indica presión invariable. • En una evolución a volumen constante o isócora es c=cv de donde n=∞∞. La representación de la función p=k/v n para n muy grande da un trazo prácticamente vertical, que responde aproximadamente a una evolución a volumen constante. p v n<0 n=0 n<1 n=1 n=cp/cv n=∞∞ p= cte/vn n=(c-cp)/(c-cv)
  • 10. 164 Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción Resulta útil para estudiar evoluciones a presión constante, como las que ocurren por ejemplo en sistemas en comunicación con la atmósfera, definir una nueva función termodinámica llamada entalpía I = U+p.v , cuya expre- sión diferencial es dI = dU + p.dv + v.dp = dU + dL + dLc = dQ + dLc De los tres términos, la suma del primero y segundo término (energía interna y trabajo) nos da la cantidad de calor dQ. El tercer término dLc = v.dp repre- senta el trabajo diferencial necesario para hacer circular un volumen de fluí- do v entre las presiones p y p+dp . Por tal motivo se lo llama “trabajo de circulación” , para distinguirlo del trabajo de expansión o compresión con cambio de volumen, que vimos vale dL=p.dv La cuestión se aprecia considerando un compresor a pistón que aspira una masa unitaria de gas de volu- men específico v1 a presión p1, lo comprime hasta p2 y lo envía a un depósito a la misma presión p2. El trabajo total que el compresor efectúa en este ciclo es la suma de: • el trabajo que efectúa el medio sobre el compresor –p1.v1 • el trabajo de compresión ∫∫p.dv entre v1 y v2 • el trabajo para expulsar el gas hacia el depósito +p2.v2 Los tres términos están representados sobre el gráfico p,v por sus respecti- vas áreas. Se ve que la suma de estas áreas con sus signos respectivos da la parte sombreada en celeste, encerrada por la curva de la evolución y el eje de presiones, y que viene representada por la integral ∫∫v.dp definida entre p1 y p2 La entalpía es una función potencial, es decir que no depende más que de los estados final e inicial del sistema en cuestión. Así es que ∆∆I = I2-I1 = ∆∆U + ∆∆(p.v) = U2-U1 + p2.v2 - p1.v1. La diferencia de entalpías entre estados final e inicial de un sistema mide el flujo de calor que entra o sale mientras la presión se mantenga constante. De tal manera, el calor específico de una evolución a presión constante, que por definición es cp=(dQ/dT)p=cte coincide con cp=dI/dT . (Recuérdese que el calor específico a volumen constante cv=dU/dT) La diferencia de entalpía mide el trabajo de circulación en evoluciones de sistemas abiertos aislados (dQ=0), por ejemplo el trabajo que se produce por el paso del fluído que hace funcionar una turbina (agua, vapor o gas). Termoquímica - Calores de reacción La química pasó a ser ciencia exacta a partir de los trabajos de Lavoisier, que establecieron los principios de conservación de la masa, y del aporte de la termodinámica. En particular, el primer principio de la termodinámica apli- p1 p2 v2 v1 1 2 Trabajo de circulación ∫∫v.dp p1 p2
  • 11. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 165 cado a sistemas en los que se producen reacciones químicas permite traba- jar con las energías térmicas de los procesos incluídos en las ecuaciones, como veremos a continuación. Los calores producidos en las reacciones químicas a presión atmosférica se miden por sus respectivos saltos entálpicos. . Por ejemplo, se estudia en química que la combustión del carbón está repre- sentada por la ecuación C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J , lo que indica que cuando 12,01 g de carbono puro (grafito o diamante) se queman a presión constante combinándose con 32 g de oxígeno gaseoso completamente (por eso el signo = entre ambos miembros), producen 44,01 g de dióxido de carbono gaseoso y que la reacción está acompañada desde el punto de vista energético por una diferencia de entalpía de [(-391667)J]. El signo negativo de ∆∆I = I2-I1 indica que la entalpía I2 de los productos de la reacción es menor que la entalpía I1 del sistema antes de la reacción. De acuerdo a la convención de signos adoptada, esa cantidad negativa indica calor que sale del sistema, o sea producido por la reacción química, que como se realiza a presión contante coincide con la diferencia de entalpía 5 . Las reacciones que producen calor se llaman exotérmicas. Consideremos ahora la ecuación de reducción del dióxido de carbono a monóxido por medio del hidrógeno, que también es exotérmica CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 46670 J La entalpía es una función potencial, o sea que sólamente depende del es- tado inicial y final del sistema. Por otra parte, las reacciones químicas pue- den expresarse con una igualdad matemática que describe un balance entre las masas de sustancias reaccionantes y productos de la reacción. No hay inconvenientes en sumar ambas ecuaciones con sus términos de masa y de entalpía como si fueran pasos intermedios hacia un estado final, resultado de la reacción completa de 12 g de carbono más 32 gramos de oxígeno más 2 gramos de hidrógeno para obtener un mol de monóxido de carbono más uno de agua al estado de vapor: C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) - 46670 J ----------------------------------------------------------------------------------------------------- C(sólido) + O2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 438337 J Si se lleva a cabo una reacción como esa, se obtiene dentro de los límites del error experimental una diferencia de entalpía que se ajusta a la suma de 5 A volumen constante el valor absoluto del calor de reacción es menor que la diferen- cia de entalpías anotada, ya que no contiene el término de trabajo de expansión. Esto quiere decir que si quemamos carbón en un recipiente cerrado y rígido, obtendremos menos calor que en el hogar de una caldera, o en un brasero a cielo abierto.
  • 12. 166 ambas, esto es 438337 J. En 1840, el químico ruso-suizo Germán E. Hess fué el primero en señalar que el calor producido o absorbido en una reacción química determinada es una cantidad fija e independiente del camino o del número de pasos intermedios. Hess empleó este principio para calcular calores de reacción combinando adecuadamente reacciones de calores conocidos. Aunque esta “ley de Hess” es consecuencia directa del primer principio aplicado a la química, mantiene su identidad como tal, como muchas otras leyes y principios descubiertos antes de la teoría que viniera después a justificarlos Segundo Principio de la Termodinámica Si bien el trabajo puede convertirse íntegramente en calor, la inversa no es cierta. Sólo una parte del calor puede transformarse en trabajo. Esa propor- ción de trabajo obtenido frente a calor empleado aumenta con la diferencia de temperatura entre la fuente que suministra el calor (por ejemplo la caldera de la central Costanera) y el lugar donde se sume ese calor después de utilizado (por ejemplo el agua del Río de la Plata, que enfría el vapor de escape de las turbinas). En 1824, un oscuro oficial del ejército francés alejado de los asuntos milita- res y dedicado a cuestiones científicas y técnicas, Nicolás Leonardo Sadi Carnot, publicó una célebre memoria donde consignó dos cuestiones prin- cipales: a) El calor puede generar trabajo cuando fluye a través de un dispositivo adecuado: una máquina térmica. Fluir significa escurrir, correr como lo hace un fluido. Los fluidos circulan desde un lugar de mayor altura o pre- sión a otro de menor nivel. Nunca al revés. Carnot reconoció que también el calor puede considerarse como un fluido que fluye sólo si hay una dife- rencia de temperatura: No puede pasar calor entre dos fuentes de igual temperatura, y menos aún puede pasar calor de lo frío a lo caliente. Este sencillo aserto es la base de la termología moderna: se lo llama “segun- do principio de la termodinámica”. Una manera de enunciarlo es que no puede transformarse calor en trabajo mecánico si no existen dos fuentes a temperatura diferente, así como no puede convertirse en tra- bajo la energía potencial del agua de un dique si no hay un lugar más bajo donde verterla, después de su paso por las turbinas hidráulicas. b) Toda evolución espontánea de un sistema se verifica en un solo sentido: el que lleva al mismo a una energía menor. Además esa evolución irre- versible implica necesariamente una pérdida de eficiencia tanto mayor cuánto más irreversible sea la transformación. Esa pérdida de eficiencia o rendimiento era la que Carnot buscaba minimizar, soñando seguramente con un navío a vapor más eficiente que diera a Francia la supremacía en los mares. No hay mal que por bien no venga, ya que de esta aspiración bélica, buena para los galos y mala para sus posibles enemigos, surgió una ciencia que indudablemente benefició a toda la humanidad. Carnot
  • 13. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 167 diseñó una máquina que evolucionaba muy lentamente en forma prácti- camente reversible. Si se la hacía andar ”al derecho” transformaba calor en trabajo aprovechable en su eje. Si se invertía su sentido de marcha funcionaba como refrigerador, bombeando calor desde la fuente fría a la fuente caliente a costa del trabajo entregado en su eje. Carnot demostró con un razonamiento impecable a la vez que simplísimo, que una máqui- na así era la de mayor rendimiento posible, solamente dependiente de la diferencia de temperatura entre fuentes caliente y fría. Evoluciones: Cuando un sistema evoluciona, cambia. Cambia de lugar, de composición o de tem- peratura. Todos los fenómenos naturales se traducen en cambios. El vapor se calien- ta, se enfría, se condensa. Los gases se dilatan o se contraen. Los cuerpos se mue- ven, caen suben o bajan. Los seres vivos nacen, crecen y mueren 6 . Por el contrario, los sistemas inanimados evolucionan siempre espontáneamente hacia estados de mayor equilibrio: los cuerpos caen hacia abajo porque así van hacia una situación de menor energía potencial, que es en definitiva una situación de mayor equilibrio. De la misma manera el calor fluye de la fuente caliente a la fría. El azúcar en una taza de café tiende a difundirse por todo el café, porque es la situación de menor energía. Una ráfaga de viento desordena las hojas secas apiladas por el jardi- nero. Nunca se ha observado que a partir de una taza de café dulce se forme en su fondo un terrón de azúcar y el café pase a ser amargo. Nunca se observó que espontánea- mente el viento apile las hojas secas de la plaza en montones ordenados. Nunca se observó que se enfríe la pava y se caliente la hornalla. Se admite sin embargo que estos ejemplos “al revés” tengan una remota probabilidad de ocurrir. Pero es tan escasa que si alguien afirma que un hermoso cuadro es pro- ducto del azar al caerse del estante algunos frascos de pintura, será llevado al mani- comio o a la cárcel. Lo anterior nos muestra que evolución espontánea implica desorden, o lo que es lo mismo, que ordenar un sistema requiere algo que está afuera del mismo. Un sistema inanimado como el universo requiere pues naturalmente una fuerza ordenadora exte- rior. Evidentemente esa fuerza ordenadora emana del Creador, único motor inmóvil capaz de ordenar sin desordenarse él mismo, al decir de Santo Tomás. Es frecuente en el estudio de la Termodinámica que, como en este caso, se llegue por necesidad en forma mucho más manifiesta que en otras ciencias al Principio Único, o sea a Dios. La Termodinámica es, desde este punto de vista, una ciencia de categoría superior, que se roza con la Filosofía y la Metafísica. Sus principios, no demostrables, existen y se cumplen siempre en todo el universo. Sirven para contrastar cualquier 6 Solamente los seres vivos pueden evolucionar hacia situaciones de menor equilibrio. La vida es eso: escalar hacia estados de organización y funcionamiento difíciles e inestables, que van en contra del estado de equilibrio por antonomasia: la muerte.
  • 14. 168 teoría. Decía nuestro querido profesor Staricco que cuando una teoría falla o una hipótesis hace agua, es casi seguro que contradice alguno de los principios de la Termodinámica. Evoluciones reversibles: sucesión de estados de equilibrio Un sistema está en equilibrio interno cuando sus partes cesan de intercam- biar energía. El equilibrio con el medio externo también se caracteriza por la cesación de intercambio de energía entre sistema y medio. Desde ese punto de vista, una evolución interna o contra el medio de un sistema en equilibrio es imposible porque la fuerza o tendencia impulsora 7 es precisamente el apartamiento del estado final. Carnot reconoció estos hechos en la teoría de la máquina de vapor a través de una ley inexorable de la Naturaleza: la transformación espontánea de un sistema es irreversible, es decir que avanza en un sentido que no admite marcha atrás. Esta evolución sin posibilidades de volver por donde vino, importa una pérdida de calidad en el sistema que es tanto mayor cuánto más alejado esta del punto de equilibrio. En el caso de una máquina térmica, la irreversibilidad de su ciclo significa un peor aprovechamiento del calor transformado en trabajo. Para mejorar este aprovechamiento Carnot inventó una máquina de rendi- miento óptimo, haciéndola funcionar con evoluciones que no se apartaran sensiblemente del estado de equilibrio. La sucesión de estados de equilibrio que comportan este tipo de evoluciones las hace reversibles, porque la fuer- za impulsora es casi nula y puede insensiblemente hacerse de signo contra- rio invirtiendo así el sentido de la transformación sin saltos. Las evoluciones reversibles o en estado de equilibrio son las únicas que en rigor pueden representarse por una sucesión de puntos en el diagrama (p,v por ejemplo). Cada punto corresponde a las coordenadas de presión , volu- men y temperatura iguales para todas las porciones del sistema en un ins- tante. Por el contrario, el estado de un sistema no homogéneo, en el que hay porciones con un par de coordenadas y otras con otro, no es representable por un punto, ni su evolución con una línea. Algunos prefieren dibujar una mancha y una línea borrosa, que abarque la zona probable o el estado pro- medio del sistema. Otros prefieren una línea punteada. Si la evolución está muy alejada del equilibrio, deben indicarse los estados inicial y final del sis- tema, prescindiendo de los intermedios, que son irrepresentables con puntos o líneas. 7 Los anglosajones llaman “driving force” a esa fuerza propulsora de la evolución del proceso en cuestión. Por ejemplo la “driving force” de una transmisión de calor es la diferencia de temperatura entre fuente y sumidero. La de un proceso de convección es la diferencia de densidad.
  • 15. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 169 Generalmente una evolución reversible se ejemplifica con una evolución muy lenta. Esto es así porque la rapidez o brusquedad en la evolución de un sistema implica inhomogeneidades y fenómenos transitorios que consumen energía. Por ejemplo, la compresión brusca de una masa de gas en un cilin- dro por un pistón que avanza rápidamente supone una zona más comprimi- da en la vecindad de éste. Esa onda de presión se propaga por el sistema generando una oscilación que en definitiva se amortigua con disipación de energía. Una compresión lenta da tiempo a que a cada posición del pistón corresponda un gas homogéneo en todo el cilindro. Después de Carnot vinieron otros que reconocieron que la irreversibilidad era siempre sinónimo de ineficiencia y desorden, no solo para una máquina térmica sino para cualquier sistema. Desorden, ineficiencia e irreversibilidad son conceptos cuantificados por una función termodinámica llamada Entropía, de la que nos ocuparemos a conti- nuación, en forma sucinta, y con todo detalle al tratar el ciclo de Carnot. La entropía Un físico-matemático polaco seguidor de Carnot, Rodolfo Julio Emanuel Clausius (1822-88), descubrió la manera de medir el desorden a través de la teoría de la má- quina de vapor. Encontró que la suma de las cantidades de calor transferidas divididas por la respectiva temperatura absoluta a la que se realizan, dan cero en el caso de ciclos reversibles, como el de Carnot. Si todo o parte del ciclo es irreversible, esa suma da menor que cero. Ese hecho lo llevó a relacionar reversibilidad con esa fun- ción que es nula en un ciclo reversible y a la que llamó con la palabra entropía 8 . Se designa a la entropía normalmente con la letra S. Así, se define matemáticamente a la variación de entropía de una evolución reversible en la que de transfiere una cantidad de calor ∆Q a la temperatura absoluta T como el cociente: ∆∆S=∆∆Q/T 9 La entropía pasó a ser más que una mera variable físico-matemática y pronto fue relacionada con un concepto probabilístico gracias a los trabajos de Boltzmann y Maxwell sobre gases, de los que ya hablamos en esta obra. Ambos estudiaron a los gases desde el punto de vista microscópico. Sabían que estaban formados por enjam- bres de partículas (moléculas) que chocaban ente sí desordenadamente. Asemejaron a un sistema de gran cantidad de partículas en movimiento interactivo a un bolillero con gran cantidad de bolillas. Estudiaron como se distribuirían esas bolillas en catego- rías según su energía cinética. Para ello, no podían calcular la velocidad y situación de las bolillas/moléculas siguiendo a cada una de ellas como se podría hacer si fueran unas pocas bolas de billar en la mesa durante una carambola: eran demasiadas bolas de billar para hacer semejante cálculo. En cambio emplearon un método estadístico, tratando de calcular qué porcentaje del total de moléculas tendrían velocidades comprendidas entre dos límites determinados. Así llegaron por vía puramente teórica a la ya vista ley de distribución de las veloci- dades o energías de las moléculas de un gas. La teoría de Maxwell y Boltzmann coin- cidía bastante bien con los resultados de experimentos con gases reales. 8 La etimología de entropía recuerda a tendencia o dirección (tropos) 9 Este tema se trata más adelante en el párrafo “Ciclos reversibles – Función entropía”
  • 16. 170 Resultó que de esos estudios, que la probabilidad que un enjambre de partículas tuviera una determinada distribución de velocidades estaba relacionada con la entro- pía, ya que ambas, probabilidad y entropía, aumentaban con la evolución natural del sistema hacia su destino final de equilibrio. Efectivamente, ese estado final suponía probabilidad máxima. Y así la entropía tuvo además de la interpretación macroscópica de Clausius, una interpretación fina o microscópica, que la relacionaba con el estado de caos natural de los sistemas inanimados de muchas partículas. Cuando se desarrolló la teoría de la información gracias a los trabajos del ingeniero electrónico norteamericano Claude B. Shannon (1948) se generalizó aún más el con- cepto de entropía.. Información es la forma o configuración que toma una noticia o mensaje. Información es lo contrario a desorden, caos o ruido en los datos: así se relaciona a la degradación que sufre un mensaje con el aumento de entropía. Pero esto es otro tema que está desarrollado al tratar sobre la transmisión de información por ondas electromagnéticas. La máquina de Carnot En la época de Carnot era ampliamente conocida la máquina de vapor per- feccionada por el ingeniero escocés James Watt en 1765, sobre anteriores ingenios de los ingleses Savery y Newcomen 10 . La máquina de vapor transformó la industria del mundo. Impulsó barcos y movió máquinas de todo tipo, reemplazando a las velas, molinos, bueyes, caballos y.... ... a la mano de obra humana. Inició así la revolución industrial, con sus ventajas e inconvenientes. Un tema muy interesante, que seguramente estudiarán en los cursos de Historia. En Física nos ocuparemos de otra revolución paralela y no menos importante causada también por la humeante máquina de Watt: El Segundo Principio Descripción y principio de funcionamiento de una máquina de vapor alternativa. La máquina de vapor alternati- va de Watt consta de un cilin- dro en el que se desliza un émbolo o pistón desde uno a otro extremo. El pistón, en su movimiento alternativo acciona una rueda o volante mediante un mecanismo de biela- manivela. El cilindro comunica con la parte superior de un recipiente con agua cerrado 10 En las primitivas máquinas de Savery y Newcomen el vapor llenaba un cilindro que luego se enfriaba. Watt introdujo el concepto de mantener el cilindro a temperatura constante, haciendo evolucionar al vapor fuera de éste, y eventualmente condensán- dolo en un recipiente aparte. Ello permitía un ciclo más rápido y ágil. ESQUEMA DE UNA MÁQUINA DE VAPOR DE DOBLE EFECTO caja de válvulas cruceta vástago biela volante salida entrada de vapor manivela o cigüeñal cilindro corredera de regulación pistón
  • 17. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 171 que se calienta con fuego: es la “caldera” que produce vapor de agua caliente a pre- sión (por ejemplo 10 atm), que es el agente motriz. Cuando el pistón está en un ex- tremo del cilindro, el vapor entra por allí a través de la válvula de admisión y desplaza al pistón hacia el otro extremo. Antes de llegar a él se cierra la válvula de admisión y se aprovecha la expansión del vapor que entró hasta ese momento. La expansión continúa hasta que el pistón llega al fin del cilindro. Impulsado por la inercia del volante el pistón vuelve en sentido contrario y barre a través de la válvula de escape al vapor “usado”, el que escapa al aire o mejor va a un condensador. El ciclo recomienza cuan- do el pistón vuelve a encontrarse en el extremo primero, cerrándose la válvula de escape y abriéndose la de admisión. La apertura y cierre cíclico de las válvulas o lumbreras (orificios de entrada o salida de vapor) están comandadas por un mecanis- mo de biela manivela secundario desfasable a voluntad con respecto al principal 11 . En las máquinas de doble efecto, el vapor entra alternativamente por uno y otro extremos del cilindro, mejorando así su uniformidad de marcha. Desde sus comienzos la máquina de vapor fue objeto de continuos perfeccionamien- tos en los materiales, forma, diseño y acabado de sus órganos (pistón, cilindro, biela, cojinetes, doble efecto, avance de admisión y del escape, etc.), mejoras en el ciclo térmico (agregado del condensador, aumento de la temperatura y calidad del vapor, etc.) y mejoras en los generadores de vapor o calderas y accesorios (bombas, contro- les, etc.). Los trabajos de James Watt en tal sentido fueron tan importantes que a veces se lo toma como su verdadero inventor, eclip- sando a Savery y Newcomen.. A Watt se debe un regulador centrífugo que aún se usa en las turbinas para man- tener la velocidad de giro independiente de la carga mecánica de la máquina. Cuando ésta disminuye la máquina tiende a acele- rarse, las bolas del regulador suben y a través de un sistema de bielas tienden a cerrar la válvula de entrada del vapor. El fenómeno inverso ocurre cuando la máquina tiende a “quedarse” por el mayor esfuer- zo exigido. Volver a vivir Hasta mediados de este siglo se usaban comúnmente máquinas de vapor alternativas en locomotoras de ferro- carril, barcos, grúas y bombas de agua. Los perfeccio- namientos del motor Diesel, de las turbinas de vapor y de gas fueron desplazando a la máquina de pistón, más rústica y confiable pero más pesada y menos rendidora. Actualmente es muy raro ver alguna máquina de vapor en servicio regular salvo algunas locomotoras en ferroca- rriles turísticos, museos y otras curiosidades. Los que tenemos algunos años recordamos las impresionantes 11 Este mecanismo se debe al ingeniero inglés George Stephenson (1781-1848), quién aplicó la máquina de vapor a los ferrocarriles. Con él no solamente se regula la velocidad, sino que hasta puede invertirse la marcha. REGULADOR DE WATT VÁLVULA vapor de la caldera rueda de la máquina vapor a la máquina
  • 18. 172 locomotoras del “Ferrocarril Central Argentino” que arrastraban al “Rayo de Sol” a más de cien kilómetros por hora entre Buenos Aires y Córdoba. Más historia: En la época de Carnot y a pesar de los progresos introducidos por Watt, las máquinas de vapor tenían dos defectos principales: eran mecánicamente imperfectas y aprove- chaban mal el calor del combustible (leña, carbón). Lo primero tendió a mejorar con la aparición de máquinas-herramienta más elaboradas para tornear los cilindros y pisto- nes, obra de mecánicos y artesanos. Asimismo, se avanzó en el estudio y conoci- miento de materiales, produciéndose piezas más resistentes y livianas. El mejor apro- vechamiento del calor surgió de los estudios que realizó Carnot, como se dijo antes. Fueron llevados a cabo tan magistralmente que trascendieron el área técnica, la ter- mología y la física misma. Llegaron a tocar los límites del conocimiento humano y lo conmovieron profundamente. La técnica abrió las puertas a la metafísica y detrás de la Termodinámica apareció la refulgente firma del Creador. Ahora veremos cómo. Las ideas de Carnot: Desde la época de Carnot no se ha avanzado substancialmente en el estu- dio teórico sobre la transformación de calor en trabajo. El inolvidable Ingenie- ro Adolfo Cattáneo, nos decía, allá por los años cincuenta, que Carnot le puso la tapa al tema del calor, tan perfecta y acabada fue su obra. El ingenio de Carnot es una máquina térmica reversible que transforma calor en trabajo mecánico (motor) o trabajo mecánico en flujo de calor (refrigera- dor), según el sentido de la evolución cíclica reversible de un gas ideal, limi- tado por dos isotérmicas y dos adiabáticas, como se muestra en el dibujo. El cálculo nos enseña que en un diagra- ma p,v la curva representativa de una evolución cualquiera p=f(v) entre dos puntos a y b delimita un área con el eje de los volúmenes dada por la integral ∫∫a,bp.dv . Ya vimos que ella mide el trabajo del sis- tema contra el medio. Si el área queda a la derecha de la evolución (por ejemplo en el caso de que el volumen aumente) el tra- bajo es positivo, o sea que se entrega al exterior. Por el contrario, si cuando reco- rremos la curva vamos dejando el área a la izquierda, el sistema recibe trabajo del exterior. Con este concepto de área orientada positiva o negativa, resulta que el trabajo neto ejecutado por un gas que recorre el ciclo cerrado en el sentido horario 1,2,3,4 será proporcio- nal al área rayada, resultado de restar la evolución 4,3,1 de la 1,2,3. Por ser reversible, el ciclo cumplido al revés (4,3,2,1) supone que el medio suminis- tra ese mismo trabajo. Durante la evolución isotérmica reversible 1,2 el gas recibe una cantidad de isotérmica a T1 isotérmica a T2<T1 adiabática adiabática CICLO DE CARNOTP V 1 2 4 3 ∆∆Q1 ∆∆Q2
  • 19. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 173 calor ∆∆Q1 de una fuente a temperatura T1. Esta cantidad de calor se trans- forma íntegramente en trabajo mecánico al expandirse entre v1 y v2. A partir de v2 se suspende el suministro de calor a la masa gaseosa, que sigue ex- pandiéndose adiabáticamente perdiendo así energía interna (y por ende disminuyendo su temperatura) hasta llegar al volumen extremo v3 a la tem- peratura T2. El trabajo suministrado por el gas al medio externo durante la evolución 2,3 es igual a la variación de energía interna entre T1 y T2. Desde el punto 3 se inicia una compresión isotérmica hasta el punto 4 a costa de trabajo exterior, cuyo equivalente pasa al sistema sin que aumente la tempe- ratura T2 . El punto 4 donde termina esta compresión adiabática se elige de manera que pertenezca a la adiabática 4,1 , es decir que pueda cerrase el ciclo con una evolución en la que se entrega trabajo exterior sin permitir el paso de calor del gas al medio. En esta evolución adiabática 4,1 se alcanzan las condiciones iniciales p1,v1 con un trabajo igual y de signo contrario al que el sistema suministrara al exterior en 3,4, ya que ambas son evoluciones adiabáticas entre temperaturas iguales. Resulta así que el trabajo neto que el gas entrega al exterior al recorrer el ciclo completo es la diferencia entre el calor ∆∆Q1 que ingresa al sistema en 1,2 y el ∆∆Q2 que sale en 3,4 Una máquina que utilice este ciclo de evoluciones reversibles (sucesiones de estado de equilibrio) se puede materializar con un gas dentro de un cilindro cerrado por un pistón móvil. Éste entrega o recibe trabajo a través del clásico sistema biela manivela, que acciona un volante, destinado a acumular energía durante las evoluciones activas 1,2 y 2,3 y devolverla al sistema en las compresiones 3,4 y 4,1 El calor entra y sale del sistema a través de las paredes del cilindro, que está rodeado de una cámara o camisa. Mientras el gas evoluciona entre v1 y v2 la camisa se mantiene llena de un fluído a temperatura T1 que proviene de una caldera . Esta evolución 1,2 consiste en una transmisión de calor desde el fluído al gas a través de las paredes del cilindro. La velocidad de este pasaje depende de la diferencia de temperatura entre fluído portador del calor y gas que evoluciona dentro del cilindro. Esa diferencia implica un proceso irreversible, ya que no es una sucesión de estados de equilibrio, y que como se verá, atenta contra el rendimiento del ciclo. Por eso Carnot imaginó una evolución suficientemente lenta como para que se pueda considerar prácticamente nula la diferencia de temperatura entre gas y fluído, ambos en equilibrio a T1. En 2 se descarga la camisa del fluído portador del calor, el que vuelve a la caldera. El gas sigue expandiéndose adiabáticamente, empujando el pistón hacia su punto muerto inferior en 3, y enfriándose a costa de su energía interna hasta T2<T1. En ese mo- mento, el volante de la máquina comienza a devolver parte de su energía acumulada, iniciando una compresión isotérmica, ya que la misma está acompañada de la circula- ción por la camisa de un fluído a temperatura T2, que proviene de un depósito distinto a la caldera. Dicho fluído extrae el calor Q2 desarrollado durante la compresión 3,4 , que se desarrolla con las mismas características de reversibilidad que la expansión 1,2, esto es a temperatura constante igual para gas y fluído. Por último, al llegar al volumen v4 se vuelve a vaciar la camisa, quedando aislado el contenido gaseoso del cilindro. A partir de entonces y hasta el punto muerto superior 1, el pistón recibe tra- bajo del volante en forma adiabática elevando por lo tanto su temperatura hasta la inicial T1, estando entonces en condiciones de comenzar un nuevo ciclo. El trabajo neto que entrega el motor de Carnot es la suma (diferencia de
  • 20. 174 valores absolutos) entre el calor ∆∆Q1>0 suministrado en la evolución 1-2 y el calor ∆∆Q2<0 cedido en la 3-4, que de acuerdo a lo visto valen: ∆∆Q1 = R.T1.ln(v2/v1) ∆∆Q2 = R.T2.ln(v4/v3) El refrigerador de Carnot en cambio utiliza este mismo trabajo tomado desde el exterior para “bombear" ∆∆Q1+∆∆Q2 desde la fuente fría a T2 hasta la fuente caliente a T1 Se define como rendimiento termodinámico de una máquina térmica a la relación entre el calor transformado en trabajo y el calor que se extrae de la fuente caliente. En el caso del motor de Carnot su rendimiento es: νν = (∆∆Q1+ ∆∆Q2) / ∆∆Q1 = 1 + (∆∆Q2 / ∆∆Q1 ) Aplicando las relaciones deducidas para las transformaciones adiabáticas se demuestra que, en las fórmulas anteriores de ∆Q1 y ∆Q2 es v2/v1 = v3/v4 con lo que el rendimiento anterior vale: ν = (T1-T2)/T1 = 1 - T2/T1 Puede demostrarse que esta igualdad no sólo se cumple en el caso que el medio que evoluciona sea un gas perfecto, sino también para cualquier otro agente que pueda evolucionar en forma reversible. Teorema de Carnot Carnot demostró también que el valor del rendimiento de su ciclo es el má- ximo alcanzable para una máquina térmica que funcione entre temperaturas extremas T1 y T2, y que ello ocurre solamente si las evoluciones que cumple el agente son reversibles. En caso contrarío, si las evoluciones son irreversi- bles, el rendimiento será menor que el de la máquina de Carnot. A esta conclusión se llega imaginando dos máquinas de Carnot Iguales, vinculadas mecánicamente a través de un eje común, y térmicamente dependien- tes de las mismas fuentes fría y caliente. Sí una de ellas funciona como motor y la otra como refrigera- dor, el balance entre los calores Intercambiados entre máquinas y fuentes resulta nulo debido a ser ambas idénticas y reversibles. Ahora bien, supon- gamos que reemplazamos el motor de Carnot por otro que rinda más: un “súper-motor” Como el trabajo mecánico transferido al refri- gerador es el mismo de antes, el mayor rendi- miento del súper-motor que lo suministra re- presenta una menor cantidad de calor tomado de la fuente caliente, o una menor cantidad de calor entregada a la fuente fría, o ambas cosas a la vez. En cualquiera de los casos, el balance calórico ya no cierra, y la fuente ca- liente recibe más calor del refrigerador del que entrega al motor. Asimismo la fuente fría recibe menos calor del motor del que bombea el refrigerador. En FUENTE CALIENTE FUENTE FRÍA MOTOR REFRIG acoplamientomecánico
  • 21. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 175 consecuencia la fuente caliente eleva su temperatura y la fría la disminuye sin que se entregue al sistema trabajo mecánico neto. Ello constituye en definitiva un pasaje espontáneo de calor de la fuente fría a la caliente, nunca observado, lo que desacredita la hipótesis del “súper-motor” de mayor ren- dimiento que el de Carnot . Si en vez de máquinas de Carnot se emplean otras que funcionen con ciclos reversibles, se puede descomponer éstos en ciclos parciales de Carnot, como se verá a continuación. Ello permite afirmar que sus rendimientos serán equivalentes. Ciclos reversibles – Función entropía Sea un ciclo reversible de forma arbitraria que por lo visto tiene ren- dimiento máximo. Cortemos su diagrama p,v con una familia de n curvas adiabáticas, de manera de cubrirlo totalmente con esta parti- ción. Luego formemos con dichas adiabáticas (n-1) ciclos de Carnot con arcos de isotérmicas, compen- sando debidamente las áreas ence- rradas entre las adiabáticas, las isotérmicas y las porciones del ciclo original, de manera que el área de éste sea igual a la suma de las de los (n-1) ciclos de Carnot., para cualquiera y cada uno de los cuales vale la siguiente : 1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 = 1 - T2/T1 de donde ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 = 0 Podemos sumar las expresiones idénticamente nulas de los (n-1) ciclos, caracterizando con exponente sup a la parte del ciclo perteneciente a la iso- térmica superior y con inf la parte correspondiente a la isotérmica Inferior; con el subíndice i caracterizando el número de ciclo correspondiente: Para i=1 a (n-1) Σ (∆∆Qi/Ti)sup + Σ (∆(∆Qi/Ti)inf = 0 Si hacemos tender a infinito la partición, las cantidades de calor ∆∆Q pasarán a cantidades elementales dQ y las sumatorlas pasarán a integrales a lo largo de la parte superior e inferior del contorno del ciclo original, con lo cual será: ∫∫ sup (dQ/T) + ∫∫inf (dQ/T) = 0 o sea que la integral a lo largo del contorno del ciclo cerrado será nula: ∫∫ (dQ/T)=0 A diferencia de la energía interna ∆∆U, la cantidad de calor ∆∆Q intercambiada en una p v áreas iguales adiabáticas isotérmicas T1 T2 ∆∆Q2 ∆∆Q1
  • 22. 176 evolución depende del tipo de ésta, además de los estados inicial y final. Desde el punto de vista matemático esto se compadece con el hecho de que Q no es una fun- ción potencial y por ende tampoco es susceptible de tener una diferencia exacta dQ. Así entonces ∫∫1,2dQ ≠≠ Q2-Q1 y en cambio ∫∫1,2dU = U2-U1 La expresión ∫∫(dQ/T)=0 indica que en una evolución reversible la cantidad subintegral es una diferencial exacta, o sea que existe una función S tal que dS = dQ/T Vimos ya que dicha función S se denomina entropía . Por ser una función potencial su valor no depende de la evolución, sino del estado final e inicial del sistema, es decir que se cumple: ∫∫1,2(dQ/T) = S2-S1 En matemáticas se usa el procedimiento de pasar de una función no potencial a otra potencial, a través de la búsqueda de un factor (que a veces existe y otra no), que multiplicado por el Incremento de la primera, la transforma en diferencial exacta. Se conoce con el procedimiento del factor Integrante. Así, la inversa de la temperatura absoluta es el factor integrante de la cantidad de calor Combinando primero y segundo principios queda la expresión (válida única- mente para evoluciones reversibles) : T dS = dU + p.dv Entropía e irreversibilidad Para encontrar la relación macroscópica entre ambas, pensemos en un ciclo formado por una transformación superior irreversible (de A a B) y cerrado por otra transformación reversible (de B a A). Como vimos, en rigor no se puede representar una transformación irreversible por una curva, así que la indica- remos con una línea gruesa difusa para significar estados no determinados con precisión. Como el ciclo tiene una parte irreversible, en conjunto tam- bién lo es. Siguiendo un desarrollo similar al de antes y descomponiendo este ciclo en ciclos parciales de Carnot, vale para cada uno y cualquiera de ellos: 1 + ∆∆Q2/∆∆Q1 < 1 - T2/T1 La anterior desigualdad responde a que el primer miembro es el rendimiento de un ciclo parcial que tiene una parte irreversible (la isotérmica a T1), mien- tras que el segundo miembro es el rendimiento de un ciclo de Carnot que funciona entre las mismas temperaturas y por lo tanto es mayor. De la anterior sale que ∆∆Q2/T2 + ∆∆Q1/T1 < 0 , y tam- ∆∆Q1 ∆∆Q2 ΑΑ ΒΒ adiabática irreversible evoluciónreversible
  • 23. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 177 bién, razonando como antes se deduce que para un ciclo irreversible es: ∫∫ dQ/T < 0 La integral en un ciclo cerrado se puede dividir en dos integrales: ∫∫ dQ/T = A∫∫B dQ/T + B∫∫A dQ/T < 0 y como la evolución de B hasta A es reversible, podemos poner que B∫∫A dQ/T = SA-SB , y entonces ∫∫ dQ/T = A∫∫B dQ/T + SA-SB < 0 Ahora bien: supongamos que la primera evolución irreversible se realizara sin intercambio de calor con el exterior (adiabática irreversible). Se podría tratar por ejemplo, de una rápida compresión. Su rapidez cumpliría dos fun- ciones: la de no dar tiempo al intercambio de calor con el exterior, y la de generar inestabilidades e inhomogeneidades en el sistema, propias de las evoluciones irreversibles. Seria en tal caso dQ=0 y por lo tanto A∫∫B dQ/T = 0 Además, en la evolcuión reversible desde B hasta A resulta: B∫∫A dQ/T = SA-SB < 0 con lo que SB > SA Esta desigualdad indica que la entropía en sistemas aislados que evolucio- nan en forma irreversible va en aumento. Este proceso de aumento es pro- porcional a la irreversibilidad de las evoluciones que se llevan a cabo en el seno del sistema en cuestión. Entropía. y metafísica Si consideramos que el sistema aislado en cuestión puede ser el universo mismo, la termodinámica está en condiciones de afirmar que la entropía del cosmos debe ir en aumento, ya que las transformaciones espontáneas que en él ocurren son pasos irreversibles hacia el equilibrio entre sus partes. Es imaginable que en un tiem- po suficientemente largo se llegue al equilibrio térmico en todo el universo, si se ad- mite que éste es realmente un sistema aislado. La entropía habrá llegado al máximo posible. En tal estado de temperatura uniforme, ninguna transformación será posible. El hecho de que ahora se produzcan evoluciones indica que no estamos en equilibrio y por lo tanto el universo no tiene edad infinita ni existió desde siempre, ya que de ser así habría llegado al equilibrio. Otra consideración que se deduce de este esquema termodinámico del uni- verso es que el aumento de entropía actual permite remontarnos hacia atrás e imagi- nar el momento de la Creación, en la que Dios puso el reloj en S = 0. Resulta así que el Segundo Principio de la Termodinámica, nacido de la preocupación por mejorar el rendimiento de resoplantes máquinas, se transforma sutilmente a través de los razonamIentos de Carnot y Clausius en la mágica función Entropía, cuya evolución rige todo proceso espontáneo existente, y que como se ha visto nos plantea cuestiones que trascienden a la ciencia y a la técnica.
  • 24. 178 Fluidodinámica Primer principio para sistemas abiertos Para prepararse para el conocimiento de la fluidodinámica, resulta oportuno plantear el primer principio de la termodinámica en sistemas abiertos, esto es en los que intercambian materia con el exterior. Imaginemos un fluído que atra- viesa un tubo de sección gene- ralmente variable, de paredes impermeables a la materia y al calor, con un motor térmico en su interior que ejecuta un trabajo Lm hacia el medio exterior a expen- sas de la energía del sistema. Consideremos el funcionamiento del sistema en estado de régi- men, es decir en el cual todo el fluído que entra por la sección 1 sale por la 2 (no hay acumulación ni enrare- cimiento de materia en su interior). Además sea Q el calor del exterior que el sistema recibe por cada Kg de fluído que circula. Aplicando la fórmula del primer principio será Q – L = U2 - U1 Debemos considerar que el trabajo total L desarrollado por el sistema está compuesto por los siguientes términos: • El trabajo que entrega el motor Lm • La energía necesaria para acelerar la unidad de masa del fluído desde la velocidad de entrada VV1 hasta la de salida VV2, • La energía necesaria para elevar cada Kg de fluído desde el nivel de entrada h1 al de salida h2 • El trabajo necesario para introducir un Kg de fluído de volumen específi- co v1 a la presión p1 y extraerlo a la presión p2 y volumen específico v2. Como vimos este término es el trabajo de circulación Lc = p2v2 - p1v1 De tal manera es L = Lm + ½ (VV2 2 -VV1 2 ) + g.(h2-h1) + p2v2 - p1v1 , lo que reemplazado en la expresión del primer principio nos da: Q + U1 +½ VV1 2 + g. h1 + p1v1 = U2 + ½ VV2 2 + g. h2 + p2v2 + Lm Si de esta ecuación general eliminamos los términos calóricos, nos queda Q Lm h2 VV1 VV2 S1 S2 h1
  • 25. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 179 una ecuación de conservación de energía mecánica: ½ VV1 2 + g. h1 + p1v1 = ½ VV2 2 + g. h2 + p2v2 + Lm y si el sistema no ejecuta trabajo hacia el exterior, resulta ½ VV 2 + g. h + p.v = constante ecuación que se atribuye al físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) del que ya hemos hablado al tratar la teoría cinética de los gases. La fórmula anterior para el caso de gases perfectos se transforma en ½ VV 2 /g + h + R.T/g = constante. Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica) Para líquidos incompresibles el volumen específico v (de 1 Kg de fluído) se mantiene constante en razón precisamente de su incompresibilidad, y es la inversa de la densidad v=1/δδ . Así resulta la ecuación de Bernoulli de la hidrodinámica: ½ VV 2 /g + h + p/(δδ.g) = constante, o bien, para δ.δ.g = ρρ (peso específico) VV 2 /2/g + h + p/ρ =ρ = cte Presiones dinámica y estática Al primer término VV 2 /2/g se lo denomina usualmente “altura dinámica”, o “altura de velocidad” . Multiplicado por el peso específico nos da la “presión dinámica” del fluído, mientras que p es la “presión estática”, que ejerce el fluído sobre las paredes del tubo por donde circula. En un chorro libre, o en un tubo de corriente es p=0 La ecuación anterior, es válida cuando la circulación del fluído incompresible se realiza sin realizar trabajo hacia el medio exterior, sin que haya fenóme- nos calóricos (Q=0 , T=cte), y sin pérdida de energía (evolución reversible). Esta condición de reversibilidad se cumple sólo si el movimiento del fluído se lleva a cabo sin rozamientos dentro de la propia masa y contra las paredes del tubo, y sin choques o remolinos en los que la energía cinética es irrecu- perable en mérito al desorden que implican estos fenómenos típicamente irreversibles. Gasto – Ecuación de continuidad Además de la ecuación de Bernoulli, que implica conservación de la energía, siempre se cumple en el movimiento de los fluídos incompresibles el princi- pio de conservación de la masa, es decir que la cantidad de fluído que ingre- sa por unidad de tiempo a una porción del sistema es la misma que la que sale de ella 12 . A esta cantidad se la llama gasto en la jerga técnica de los 12 Si los fluídos son compresibles (gases o vapores), la conservación del gasto puede
  • 26. 180 hidráulicos. El gasto G[Kg/s] se mide por el flujo de la velocidad VV del fluído de densidad δδ a través de una sección cualquiera de área S por la que pase todo el fluído. Matemáticamente hablando es G = S.VV.δδ.cos (αα) , siendo αα el ángulo que forman entre sí la normal a la superficie considerada y la dirección de la velocidad. Noción de tubo de corriente El tubo por donde circula el fluído objeto de nuestras deducciones anteriores, puede no ser necesariamente un conducto con paredes materiales, baste que sobre la superficie de ellas (de existencia física o virtual) no pueda entrar ni salir fluído. Ello significa que de acuerdo al concepto de flujo de corriente, éste debe ser nulo sobre las paredes del tubo y por lo tanto la velocidad del fluído debe ser paralela a las paredes de este tubo, formando así lo que se llama “tubo de corriente”. Sobre tubos de corriente se pueden aplicar los conceptos de conservación de masa y energía que dan origen a las fórmulas de continuidad y de Bernoulli. Ejemplo: Estudiar el movimiento del fluído en un vaso con un orificio en su pared. Suponiendo que el agua del vaso de sección S1 sale sin rozamientos por el orificio de sección S2 , podemos aplicar la ecuación de Bernouilli entre la superficie, a nivel h1 que está a la presión atmosférica p1=H , y el punto de salida, a nivel h2 a la misma presión exterior p2=H , resultando: ½ VV1 2 /g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV2 2 /g + h2 + p2/ρ ,ρ , de donde, reemplazando valores : ½ VV1 2 /g + h1 + H/ρ =ρ = ½ VV2 2 /g + h2 + H/ρρ , o sea VV2 2 -VV1 2 = 2.g (h1-h2) de donde VV2 2 = 2.g (h1-h2) + VV1 2 [1] Ahora bien, aplicando la ecuación de continuidad en las secciones de la superficie libre S1 y en la del orificio de salida S2, en las que supondremos a las respectivas velocidades del fluído VV1 y VV2 uniformes sobre las superficies y normales a las mis- mas (αα=0) , resulta G1=G2=G, o sea S1.VV1=S2.VV2 de donde VV1=G/S1 y de acuerdo a [1] resulta VV2 2 = 2.g (h1-h2) + G 2 /S1 2 Como también G=VV2.S2 resulta G 2 = 2.g (h1-h2) / (1/S2 2 -1/S1 2 ) Si el orificio es muy pequeño con respecto a la superficie del vaso, es decir S2<<S1, podremos poner que el denominador de la expresión anterior vale(1/S2 2 -1/S1 2 )» 1/S2 2 , con lo cual (GS2) 2 = 2.g (h1-h2) = VV2 2 , de donde la velocidad de salida es la de caída libre de un cuerpo desde h1 hasta h2, vale decir: VV2 = [2.g.(h2-h1)] ½ no cumplirse momentáneamente bajo regímenes no permanentes (no “estables” con el tiempo). VV =Ö2.g.h h =h1-h2 h1 h2 S1 S2
  • 27. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 181 En la figura se muestran en rojo las trayectorias que siguen las partículas del fluído dentro del vaso del ejemplo. Son las líneas de corriente, que delimitan los tubos de corriente en un movi- miento sin torbellinos, dentro de los cuales son aplicables las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli. En azul se muestran líneas que corresponden en tres dimensiones a superficies cortadas perpendicularmente por los vectores velocidad, es decir que son atravesadas por el mismo flujo. Desde el punto de vista matemático, esta familia de curvas de igual flujo y de velo- cidad corresponden respectivamente a superficies de igual potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, es decir VV=ÑΦΦ Viscosidad de los fluídos Vimos que entre las partículas de un fluído no hay vínculos que permitan, como en los sólidos, transmitir esfuerzos estáticos de corte. En cambio, cuando en un fluído hay dos capas con diferentes velocidades, se establece una fuerza de arrastre entre ellas con una intensidad proporcional a la su- perficie de las capas, a la diferencia de velocidad, e inversamente proporcio- nal a la distancia que las separa. Esta suerte de fuerza de corte interna entre capas del fluído en movimiento se llama fuerza viscosa 13 . F = ηη.S.dVV/dy La constante ηη es la viscosidad del fluído , que de acuerdo a la fórmula ante- rior queda definida como la fuerza de arrastre en el sentido de la velocidad relativa entre dos capas de superficie unitaria por unidad de distancia que las separa y por unidad de velocidad relativa. La viscosidad se mide por lo tanto en N/m 2 /(m/s/m) = [Ns/m 2 ]. El término dVV/dy es el gradiente de la velocidad en el sentido perpendicular a la misma. La unidad de viscosidad que se emplea comúnmente es el centipoise, que es la centésima parte del poise 14 , unidad derivada del sistema cgs : 1 poise = 1 dina.s/cm2 = 0,001 Kg x 0,01 m/s2 x 1s /0,0001 m2 = 0,1 Ns/m 2 1 centipoise = 1 cp = 10-3 N.s/m2 . El agua a 20ºc tiene aproximadamente una viscosidad de 1 cp La viscosidad de los fluídos depende de la temperatura. En los líquidos dis- minuye y en los gases aumenta, como se ve en la siguiente tabla: 13 Del latín viscosus que significa pegajoso. 14 En honor al físico y fisiólogo francés J. Poiseuille (1799-1869) quién estudió el movimiento laminar de fluídos. Campo de velocidades en el vaso del ejemplo VV+dVV VV dy SF
  • 28. 182 Tablas de viscosidades de diferentes fluídos y su dependencia con la temperatura (cp) FLUÍDO¯ | temp® -10ºC 0ºc 10ºC 20 ºC 30ºC 50ºC 100ºC agua -- 1,7 1,3 1 0,6 0,55 0,28 glicerina (100%) 1000 900 800 700 140 100 15 querosén 5 4 3 2,5 2,2 1,5 0,6 mercurio 1,8 1,7 1,6 1,55 1,5 1,45 1,3 aire a pr.atmosf. 0,016 0,017 0,0175 0,018 0,0185 0,019 0,022 Otros valores de viscosidad 15 Aceite mineral liviano a 15ºC 10/12 cp Aceite mineral pesado a 15ºC 50/50 cp Hielo (en glaciares) 10 9 cp Vidrio común a 580 ºC 10 8 cp Movimientos laminar y turbulento – Número de Reynolds Cuando un fluído circula según el modelo que permitió deducir el teorema de Bernoulli, es decir cuando las líneas de corriente corren ordenadamente sin mezclarse, delimitando los famosos tubos de corriente, puede definirse una función potencial ΦΦ cuyo gradiente es la velocidad, como ya se vió. Este tipo de movimiento se llama laminar, y en general está caracterizado por veloci- dades bajas y grandes viscosidades. Cuando el fluído corre superando cierta velocidad promedio crítica, el movimiento deja de ser laminar. No se pueden definir claramente líneas de corriente aplicables a todo el fluído porque las trayectorias que siguen las partículas se cruzan y configuran una red de trazos con vueltas o torbellinos, que varían continuamente de forma y posi- ción. Se dice que en este caso el fluído está en régimen turbulento. Los estudios realizados por el ingeniero irlandés O. Reynolds (1842-1912), per- mitieron relacionar el estado laminar o turbulento en la circulación de un fluído con un parámetro sin dimensión llamado en su honor “Número de Reynolds”, definido por Re = VV.D.δδ/ηη , donde VV = velocidad media característica del movimiento en m/s D = dimensión en m representativa del sistema en el que se realiza el fenómeno (diá- metro del conducto para circulación en tubos, diámetro de la partícula en estudios de arrastre de sedimentos, etc) δδ = densidad del fluído en Kg/m 3 ηη = viscosidad del fluído en N.s/m 2 Cuando el movimiento de un fluído tiene un número de Reynolds caracterísi- tico menor que 3000 puede considerarse laminar. Para Re=3000 se está en un estado límite, entre laminar y turbulento. Con Re>3000 el movimiento está caracterizado por líneas de corriente arremolinadas. La determinación del estado de régimen (laminar o turbulento) es muy im- 15 El hielo en glaciares se funde por la presión de las capas superiores y el conjunto funciona como un fluído de viscosidad elevada. El vidrio fluye aún a temperatura am- biente: los cristales en las ventanas añosas tienen mayor espesor en la parte inferior.
  • 29. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 183 portante para determinar la resistencia a la circulación de fluídos por con- ductos o canales y el efecto de arrastre sobre objetos en la corriente. Circulación por un tubo en régimen laminar Sea un fluído que circula por un tubo de radio R en régimen laminar debido a un gradiente de presión ΠΠ = ∆∆P/∆∆x constante en el sentido del eje x del tubo. Debido al efecto de la viscosidad, la capa de fluído pegada a las paredes tiene velocidad nula. Las capas concéntricas hacia el centro poseen veloci- dades crecientes hasta llegar al eje del tubo, donde la velocidad del fluído es máxima. Para deducir la función de distribución de esas velocidades, consideremos, recreando el razonamiento de M. Poiseuille, que cuando el régimen es esta- cionario, esto es sin aceleraciones, la fuerza viscosa F que se genera en cada aro (coloreado celeste en la figura) de ancho dx y radio r debe equilibrarse con la fuerza generada por la diferencia de presión sobre la sección A=ππ.r 2 (discos en verde). Así, en una superficie cilíndri- ca dS a la distancia r del eje del tubo es dF =ηη.dS.dVV/dr 16 para dS=2.π.π.r.dx (aros en celeste) , resultando entonces: dF = ηη.2.π.π.r.dVV/dr.dx = ππ.r 2 ΠΠ.dx De esta fórmula obtiene el gradiente de velocidades dVV/dr , al que asigna- remos signo negativo por que la velocidad disminuye con la distancia al eje del tubo, según lo dicho. Así entonces es: dVV/dr = - ΠΠ r / (2η)η) , la que inte- grada da V=- Π/(2η).r 2 /2 + K . Para r=R es V=0 de donde K=Π/(2η).R 2 /2 y entonces VV(r) = ΠΠ/(4ηη) (R 2 -r 2 ) (Fórmula de Poiseuille) que es una parábola con un máximo en el centro del tubo. Para calcular el flujo total, debemos integrar la velocidad por la sección des- de r=0 hasta r=R , resultando así F=o! R 2.ππ.VV(r). r..dr = ΠπΠπ/(2ηη) o! R (R2 -r2 ) r..dr = π.Π.π.Π.R44 /(8ηη), Introduciendo VVm como la velocidad media, resulta por definición F=ππR 2 VVm , de donde VVm=Π.Π.R22 /(8ηη) , y la caída de presión por unidad de longitud viene dada por ΠΠ = ∆∆P/∆∆x = (8ηη)/R22 VVm Si se desea expresar la anterior en función del número de Reynolds Re=VV.D.δδ/ηη para D=2.R resulta ΠΠ = 32ηη/D22 VVm = ρρ/D.(64/Re)..[VVm 2 /2/g] 16 Los vectores en rojo del dibujo corresponden a la fuerza viscosa sobre una fracción del anillo, por lo cual se los ha definido como diferencial de segundo orden d 2 F, siendo dF=!d 2 F dr dx d2 F r R x d2 F VV
  • 30. 184 Los hidráulicos llaman a ΠΠ “pérdida de carga unitaria”, y es la diferencia de presión que presenta un líquido por unidad de longitud al circular por un conducto. Multiplicada por el flujo de fluído y por la longitud recorrida da la potencia perdida en el escurri- miento. La pérdida de presión entre los extremos del conducto o la canalización es por otra parte la responsable de la circulación del mismo a la velocidad media Vm, en vez de un movimiento acelerado, que sería el caso si no existiera la resistencia viscosa. Ejemplo: Un tambor cilíndrico de eje vertical de DT=1m de diámetro está lleno hasta una altura h=(z3-z2)=0,5m de miel de abejas, de densidad δδ=1100 Kg/m 3 y viscosidad ηη=300 cp (0,3 Ns/m 2 ). La miel cae hacia los frascos por un tubo vertical que sale hacia abajo desde el centro del fondo del tanque de ∆∆x=(h2-h1)=6 m de altura y D=2 cm de diámetro. ¿Cuánto tiempo se tarda en envasar toda la miel, suponiendo que no hay que cortar el chorro entre frasco y frasco.? Con- siderar régimen laminar y verificar luego esto. Análisis preliminar: (hecho por Bzz, una abeja obrera que está haciendo una maestría en fluí- dos viscosos): La miel circula sucesivamente por dos conductos: el tanque y el tubo. Al paso por ambos pierde energía por efecto viscoso. Tam- bién pierde energía en el cambio de sección entre tanque y tubo de descarga (pérdida por embocadura). Considerando que el recipiente es de mucho mayor diámetro que el tubo, se puede despreciar en principio la pérdida de carga en aquél en mérito a su escasa velocidad. En cuánto a la pérdida por embocadura, Bzz asegura que es sólo considerable cuando el movimiento es turbulento. En tal caso la diferencia de presión que impulsa el líquido a través del tubo, será la que hay en la base del recipiente más la del extremo inferior de salida menos la atmosférica de salida. En la base del reci- piente hay una presión, de acuerdo al teorema general de la hidrostática, igual a la altura h del líquido en este por su peso específico ρ=δ.ρ=δ.g, más la presión atmosférica H que se ejerce sobre la superficie libre. Ahora bien, durante el proceso de vaciado, el nivel h del líquido en el tanque disminuye, por lo que la presión de impulsión irá dismi- nuyendo y consecuentemente lo mismo hará la velocidad de escurrimiento. Habrá que deducir pues una expresión de la velocidad media VVm con la altura h del fluído en el recipiente. Solución : Vimos que ∆∆P//∆∆x = 32.ηη/D22 VVm , por otra parte es ∆∆x=6m, y además ∆∆P = H + δδ.g.(h+∆∆x)- H = δδ.g.(h+∆∆x) de donde VVm = ∆∆P D22 /∆/∆x /(32.η)η)= δδ.g.(h+∆∆x).0,02 2 /6/(32x0,2)= [1100 Kg/m 3 x9,8 m/s 2 x0,02 2 m 2 /6m/32/0,3 Ns/m 2 ].[h+∆∆x] = 0,075 [h+∆∆x] (m) [m/s] Es decir que en un primer momento la miel fluye por el caño de descarga a 0,075x6,5=0,49 m/s El volumen total de miel a desagotar es ππ.1 2 /4x0,5 = 0,3927 m 3 (432 Kg) La ecuación de continuidad exige que las velocidades en el tubo y en el tanque estén en razón inversa a la de sus respectivas secciones, así que llamando VVT = -dh/dt a la h2=0 h3=+0,5m h1=-6m H H ∆∆x
  • 31. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 185 velocidad en el tanque de diámetro DT será VVT/VVm=(D/DT) 2 =0,0004 de donde d(h+∆∆x)/dt = -0,0004x0,075(h+∆∆x) = -3x10 -5 (h+∆∆x). Integrando esta expresión y poniendo x=h+∆∆x nos queda ln(x) = -3x10 -5 t +K Cuando t=0 es h=+0,5 y x=6,5 de donde K=ln(6,5). Así entonces es t = -1/3x10 5 .ln(x/6,5) El tiempo que tarda en vaciarse el tanque corresponde a h=0, x=6 , o sea t = -1/3x10 5 .ln(6/6,5) = 267 s = 4,45 minutos Otro: En días cálidos la misma operación se hace en menor tiempo. Según Bzz se debe a que la miel, como la mayoría de los líquidos, disminuye la viscosidad con la temperatura. ¿Cuál será la viscosidad cuando el mismo tanque se vacía en 3 minutos (180s)?. Respuesta: el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad de escurrimiento, que de acuerdo a lo visto vale: VVm = ∆∆P D22 /∆/∆x /(32.η)η) , o sea que el tiempo es direc- tamente proporcional a la viscosidad. De tal manera si t1 y t2 son los tiempos que tarda el envasamiento con viscosidades ηη1 y ηη2, resulta t1/t2=ηη1/ηη2 , de donde ηη2 = ηη1.180/267 = 202 cp Vicosimetros: Son aparatos que miden la viscosidad, muchos de ellos (Ostwald, Saybolt) en base a la medida del tiempo de escurrimiento de líqui- dos en condiciones normalizadas, como se explica en el ejemplo anterior. Otros aparatos se basan en la medición directa de la fuerza entre dos super- ficies que se desplazan a velocidad relativa constante separadas por una distancia fija llena del líquido cuya viscosidad se desea medir. Escurrimiento con pérdida de carga En la figura se representa un dispositivo para estudiar el escurrimiento con pérdida de carga. Un tanque se mantiene a un nivel H constante gracias a una bomba y un rebalse. En su base tiene conectado un caño horizontal, de diámetro variable con tubos verticales adosados en los que el líquido toma una altura H mientras la salida está cerrada (principio de los vasos comuni- cantes). Cuando se abre la salida, el líquido escurre por el caño horizontal a H y1 E VVI VVII VVI 2 /2/g VVII 2 /2/g ∆∆x y2 0 1 2 3 ∆∆ p/ρρ pérdidaporensanche pérdida por embocadura
  • 32. 186 velocidad VV y baja de nivel en los tubos hasta una altura y. Si no hubiera rozamiento viscoso, se podría aplicar la ecuación de Bernoulli, y para los puntos 0 en el recipiente y 1,2,3...en el caño, y se podría poner: ½ VV0 2 /g + h0 + p0/ρ =ρ = ½ VV1 2 /g + h1 + p1/ρ =ρ = ½ VV2 2 /g + h2 + p2/ρ =ρ = ½ VV3 2 /g + h3 + p3/ρρ Eliminando los términos h0 = h1 = h2 = h3 (el caño es horizontal) , conside- rando que en el recipiente es VV0=0 y p0=H.ρρ , y sabiendo que la presión viene medida por la altura y en los tubos, o sea p = y.ρρ , resulta: H = VV1 2 /2/g + y1 == VV2 2 /2/g + y2 == VV3 2 /2/g + y3 De acuerdo a esto, ya que VV1=VV2 = VVI debería ser y1=y2 , sin embargo, se observa en la práctica que entre ambos puntos hay una diferencia de nivel en los tubos que marcan la presión. Si tenemos en cuenta que la ecuación de Bernoulli, por estar basada en el principio de conservación de la energía, no contempla pérdidas por roza- miento, podemos asignar esa diferencia de presiones ∆∆p=ρ=ρ(y1-y2) al roza- miento viscoso estudiado anteriormente. Pérdida de carga en movimiento laminar En efecto, para movimiento laminar (Re<3000) una medición en nuestro aparato verificaría la ya deducida expresión de Poiseuille: ∆∆p//∆∆x = 32.ηη/D22 VVm , la que también puede ponerse en función del término de veloci- dad, o presión dinámica VV 2 /2/g, de la siguiente manera (compruébese) ∆∆p/∆∆x = (64/Re).. ρρ/D [VV 2 /2/g] = j. ρρ/D [VV 2 /2/g] Puesta en esa forma, la pérdida de carga se relaciona directamente con la presión de velocidad referida al diámetro, ρ/ρ/D [VV 2 /2/g] a través de un coefi- ciente sin dimensión que para movimiento laminar vale j = 64/Re , llamado coeficiente de resistencia. Así, entre dos puntos de un conducto que distan ∆∆x vale la ecuación: VV1 2 /2/g + h1 + p1/ρ =ρ = VV2 2 /2/g + h2 + p2/ρ + Π .∆ρ + Π .∆x En particular, si la sección del conducto no varía en el tramo considerado, de longitud ∆∆x, es (VV1=VV2=VV) y la anterior queda: ρ.ρ.(h1- h2) + (p1- p2) == j. ρρ/D [VV 2 /2/g].∆∆x Resistencias locales Un conducto opone una resistencia al paso del fluído que está distribuída a lo largo de todo el tramo. Los cambios de sección (ensanches o reduccio- nes), los de dirección (codos y curvas), válvulas y en general todo elemento que perturbe el flujo, oponen resistencia que se puede considerar concentra-
  • 33. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 187 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 0,1 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Re j Zona de régimen turbulento Zona de régimen laminar tubos lisos tubos rugosos 64/Re tubos muy rugosos Zona de transición da en su lugar de ubicación. Resulta cómodo expresar la resistencia con- centrada de un elemento a través de la longitud de caño de su mismo diá- metro que produciría la misma caída de presión. Se la llama “longitud equi- valente del elemento”. Por ejemplo, un codo a 90º equivale a dos o tres me- tros de caño. Una curva de radio largo, sólo un metro. Una válvula tiene una longitud equivalente que va de infinito cuando está totalmente cerrada, hasta dos o tres metros de caño, cuando está totalmente abierta, dependiendo del tipo de cierre (esclusa, globo, aguja, mariposa, etc.). Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento Los procesos en estado turbulento no pueden estudiarse con esquemas simples como el de Poiseuille, ya que los filetes en el seno del líquido pre- sentan formas cambiantes e impredecibles en un modelo determinista. Sin embargo se pueden definir parámetros estadísticos como velocidades me- dias de las partículas al estilo de las de las moléculas de los gases. La resistencia en régimen turbulento es sustancialmente mayor que en el caso laminar, y la dependencia con el término de presión de velocidad no es de proporcionalidad, y ni siquiera los une una expresión analítica sencilla. Intervienen en la resistencia en régimen turbulento además del rozamiento entre partículas, la interacción de éstas con las paredes del conducto, a través mecanismos que se desarrollan en la capa de contacto, llamada “ca- pa límite”. En base a experiencias y teorías sobre fenómenos en capa límite se han elaborado relaciones para determinar el coeficiente de resistencia j en función del número de Reynolds Re. La manera más corriente es a través de gráficos, que requieren conocer el tipo de superficie interior del conducto a través de la rugosidad de la pa- red. Ésta viene medida por la profundidad de las irregularidades que pre- senta la superficie de contacto líquido/sólido. La rugosidad inicial, depen- diente del acabado interior del conducto o canalización, varía con el tiempo debido a modificaciones físicas o químicas (suciedad, incrustaciones, corro- sión, etc.) 17 17 Desgraciadamente el valor de este parámetro, absolutamente determinante en el resultado de la resistencia, en general sólo puede estimarse groseramente.
  • 34. 188 Ejemplo: Se desean bombear F = 50 m 3 /h de agua, de viscosidad ηη=0,001 Ns/m 2 y densidad δδ=1000 Kg/m 3 , desde el río a un tanque elevado. La cañería de hierro gal- vanizado nuevo (considerarla como tubo medianamente rugoso) tiene un tramo recto horizontal de 100 m y luego sube hacia el tanque con otro tramo también recto hasta 40 m de altura, ambos de 4” de diámetro interno (d=0,102 m). ¿Qué potencia de bombeo se necesita? Solución: La velocidad en la cañería es VVm tal que el flujo es F=π.d 2 /4.Vm= 0,014 m 3 /s de donde VVm= 4.F/ππ/d 2 = 1,7 m/s . El número de Reynolds es Re = VVm.d.δ/ηδ/η = 173371 (francamente turbulento). De gráfico sacamos j=0,024 La diferencia de presión entre la bomba y el tanque resulta de sumar la pérdida de carga en la cañería y la diferencia de presión entre la parte más alta (h2=40 m) y el nivel de la bomba, a nivel del río (h1=0): (p1- p2) == j. ρρ/D [VV 2 /2/g].∆∆x + ρ.ρ.(h2- h1) = 0,024.9800/0,102.[1,7 2 /2/9,8].(40+100) +9800.40 = 47600 + 392000 = 439600 N/m 2 La caída de presión en la cañería representa el 47600/439600x100=11% del total La potencia necesaria es N = F. ∆∆p = 50/3600x439600 = 6105 W 18 Movimiento relativo entre sólido y fluído Cuando un sólido se desplaza en el interior de un fluído quieto, o cuando está sumergido en una corriente, 19 aparecen fuerzas que se oponen al movimiento relativo debido a dos causas: la resistencia viscosa y la reacción de inercia del fluído sobre el sólido, que lo desplaza en su movimiento relativo. La primera origina fuerzas “de arrastre”, tangenciales a la superficie del sólido. La aceleración relativa entre fuído y sólido, normal a la superficie de éste, genera fuerzas perpendiculares, “de presión” en contra de la superficie, o “de succión” si la reacción es saliente. Se comprende que las fuerzas de presión o succión dependen de la sección del objeto en el plano perpendicular a la velocidad (sección de carena, según los navales) y de cómo va variando esa sección a lo largo de las líneas de corriente. Las formas suaves y alargadas del casco de un buque bien diseñado producen menos 18 Si la bomba fuera del tipo centrífugo, su rendimiento varía entre 0,6 y 0,7. Por lo tanto el motor que la acciona debería entregar 6105/0,6 = 10 175 W = 13,82 CV 19 No es exactamente equivalente que un fluído esté quieto y en él se desplace el sólido, a que sea el fluído el que se desplace y el sólido esté quieto. Sin embargo los resultados pueden homologarse. En los túneles de viento se simula un avión en mo- vimiento en aire quieto con un modelo quieto sumergido en una corriente de aire. zona de presión zona de arrastre zona de succión zona de remolinos zona de arrastre
  • 35. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 189 aceleración que una barcaza de proa plana. Las fuerzas de arrastre dependen de la extensión y tipo de superficie (rugosa o lisa), y de la velocidad relativa. Velocidad, rugosidad y viscosidad determinan el tipo de movimiento relativo sólido/fluído (laminar o turbulento). El régimen laminar se caracteriza por menor relación entre fuerza de arrastre y fuerza de presión que el turbulento, en el que el efecto dominante es el de arrastre. En cuanto a la resistencia total, suma de ambos efectos, es en general menor a régimen turbulento y crece más que proporcio- nalmente con la velocidad. Si bien una superficie rugosa produce más fuerza de arrastre que una lisa en una capa límite laminar, el efecto se invierte cuando una irregularidad en la superficie genera una capa límite turbulenta, en la que hay mucho intercambio de energía con el resto del fluído. Por esa razón la misma se mantiene un mayor trecho pegada a la superficie y en consecuen- cia habrá menor succión en la parte trasera del cuerpo en movimiento. Los hoyuelos en las pelotas del golf y la rugosidad en la piel de los tiburones crean una capa límite turbulenta haciendo que las líneas de corriente rodeen al móvil en la parte trasera y reduzcan la consabida succión. Detrás del cuerpo queda en general una estela de remolinos que implica una pérdida adicional de energía. La magnitud de este efecto depende de la forma de la cola del móvil. La trayectoria de proyectiles en un medio fluído se aparte de la forma para- bólica. Véase al respecto el análisis que se hace de este problema bajo el título “Tiro”, en el que se usan las fórmulas de Stokes y Newton, tratadas a continuación. Fórmulas de Stokes y de Newton El físico y matemático irlandés G. Stokes (1819-1903), especialista en fluídos, formuló la ley que gobierna la resistencia F de un fluído de viscosidad η sobre esferas de radio r que se mueven a pequeñas velocidades relativas V F = 6 π ηπ η r VV (válida para régimen laminar). Para velocidades grandes, se utiliza la fórmula de Newton, que expresa la fuerza en función de la presión de velocidad ρ.V 2 /2/g, la sección de carena S y un coeficiente k que depende de la manera en que el cuerpo desvía al fluído. F=k.ρρ.VV 2 /2/g.S Para una placa plana, que transforma toda la presión de velocidad en presión efectiva es k=1 . En cambio una semiesfera con la concavidad hacia el frente “embolsa” el flujo, que sale con una componente en sentido contrario a la dirección original. Esto multiplica la fuerza por un coeficiente 1 < k < 2 Una semiesfera con la concavidad hacia atrás desvía el flujo hacia los costados en menor medida que una superficie plana, y en tal caso es k<1 Ejemplo: ¿Qué presión recibe una pared vertical sobre la que sopla un viento de 40 Km/h?. Respuesta: Aplicamos la fórmula F/S = k.ρρ.VV 2 /2/g. con k=1, δδ=1,25 Kg/m 3 resultando así F=1,25x(40000/3600) 2 /2=77 N/m 2 . Con un viento de 100 Km/h la presión sube (100/40) 2 = 6,25 veces, o sea 481 N/m 2 Se comprende que los edificios deban calcularse la presión sobre que sobre sus pare- des puedan ejercer fuertes vientos. k=1 k=1,3 k=0,4 capa límite laminar capa límite turbulenta mayor succión menor succión
  • 36. 190 Máquinas hidráulicas Transforman en trabajo la energía mecánica de un fluído. La más sencilla es la rueda hidráulica, que hizo funcio- nar los molinos de trigo durante siglos. Aprovecha la energía potencial de una masa de agua embalsada a una altura h2 que llena los espacios entre paletas en su descenso hasta h1. El peso de este volumen de agua genera un mo- mento que hace girar la rueda. El trabajo que ejecuta cada volumen v de líquido de densidad δδ de peso δδ.g.v es igual a su energía potencial δδ.g.v.(h2-h1). La potencia W en el eje de la rueda vale, para N paletas por unidad de tiempo W=N.δδ.g.v.(h2-h1)=G(h2-h1) siendo N.δ.δ.g.v.= G[Kg/s] el gasto total de líquido que pasa por la máquina. Actualmente se usa en centrales eléc- tricas una máquina diseñada en el siglo XIX por el ingeniero hidráulico inglés J. B. Francis (1815-1892), que consta de una caja espiral por donde el agua entra tangencialmente, y un rotor de paletas central. El agua ataca las paletas del rotor con una dirección controlada por una serie de paletas fijas (álabes directores). El flujo de agua describe trayectorias en espiral hacia el centro, por donde abandona la máquina. La reacción del cambio de dirección del flujo sobre las paletas del rotor genera la fuerza motora que se transmite al eje. Con pequeñas modifi- caciones en la inclinación de álabes y paletas, esta máquina trabaja como impulsora de líquido, o sea como bomba, cuando se le suministra tra- bajo en el eje mediante un motor que la hace girar en sentido contrario al indicado en la figura. En ese caso, las paletas le confieren energía rotatoria al líquido, que por fuerza centrífuga tien- de a ir hacia la periferia recorriendo un flujo inverso al señalado, saliendo tangencialmente por la caja espiral. Las bombas centrífugas producen una presión en base a la energía cinética del líquido, o sea a la altura de presión δδ.VV2 /2. Por eso la altura de elevación del líquido crece con el cuadrado de la (h2-h1) Corona de álabes directores Caja espiral rotor paletas del rotor Turbina tipo FRANCIS
  • 37. FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA 191 velocidad de giro, que está en relación con la velocidad tangencial VV con el que el líquido abandona la caja espiral. El flujo, en cambio, es directamente proporcional a la velocidad de salida. La potencia del chorro es el producto del gasto (flujo por peso específico) y la altura de elevación, por lo cual de- pende de la tercera potencia de la velocidad. El rendimiento de estas máqui- nas es el cociente entre la potencia del chorro y la entregada en el eje por el motor. La transferencia de energía del rotor al líquido se realiza a través del impulso que éste recibe de las paletas. Como en cualquier canalización, en una bomba centrífuga existen pérdidas importantes por rozamiento viscoso y turbulento. Desde ese punto de vista el aparato puede considerarse que produce una pérdida de carga localizada como cualquier accesorio, que se debe restar al aumento de potencial que tomaría el fluído en una evolución sin pérdidas, para obtener la verdadera presión de salida. Ejemplo: Una bomba centrífuga ha sido probada con agua, arrojando un flujo de F=10 m 3 /h cuando marcha a una velocidad angular de n=1450 rpm, con una altura de elevación de h=20 m y un rendimiento η=η=0,6 1) ¿Qué potencia debe tener el motor de accionamiento cuando bombea ácido sulfúri- co concentrado (δ=1840 Kg/m3) en las condiciones apuntadas? Respuesta: W=G.h/η= 10 m 3 /h x1840 Kg/m 3 / 3600 s/h x 9,8 m/s 2 / 0,6 x 20 m=1670 W 2) ¿De qué orden será el diámetro del rotor y el diámetro de la boca de salida de la bomba, suponiendo que la velocidad de salida del líquido debe ser 3 m/s? (considerar que la velocidad del líquido es la mitad de la velocidad tangencial del rotor) Respuesta: La velocidad VV tangencial del rotor de radio R es tal que: ωω=2ππn/60 = VV/R = 151,84 rad/s, de donde R = V/ωω = 6 m/s /151,84 = 0,04 m (diáme- tro del rotor=0,08 m) El diámetro de la boca de salida D debe cumplir la relación ππ.D 2 /4.VV=F , de donde D=(4.F/ππ) ½ = (4.10/3600/3,14) ½ = 0,06 m 3) ¿Qué se pude esperar si se hace funcionar la misma bomba a 1500 rpm? a) La potencia de bombeo depende del cubo de la velocidad, así que la nueva potencia será del orden de (1500/1450) 3 x1670W=1,107x1670W=1849W. En rea- lidad será superior a este valor en razón de que también los rozamientos crecen con el cuadrado de la velocidad, afectando al rendimiento, que será inferior a 0,6. b) La altura de elevación (presión a la salida de la bomba, expresada en altura de líquido) está dada por el nivel de envío (h=20m, que es constante) más las pérdi- das (j.V 2 /2/g). La velocidad V depende directamente de la velocidad del rotor, así que el gasto aumentará (1500/1450) = 1,034 veces. Las pérdidas aumentarán aproximadamente (1500/1450) 2 = 1,07 veces si se desprecia la variación del coe- ficiente de rozamiento j