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LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

C
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LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

1 de 48
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
PROFESORA: VIVIANA POLISENA
AÑO: 2008/2009
LÍMITE DE FUNCIONES
DE DOS VARIABLES
Otro enfoque para su estudio
Por Claudia Durnbeck
LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
PLANTEAMIENTO
Referencias para una adecuada interpretación de esta propuesta:
Cuando nombremos “Límite”: Estaremos refiriéndonos al Límite de una
función de Dos variables.
Cuando digamos “Límite Doble”: Estaremos refiriéndonos al Límite
también llamado Límite Simultáneo, que es cuando las dos variables
tienden juntas al punto en cuestión.
LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
FUNDAMENTACIÓN:
Interpretarla, implica, conocer el significado de los operadores y
cuantificadores que en ella interviene y, en general, la mayoría son
nuevos para alumnos de este nivel.
También, implica tener claros ciertos conceptos como: Dominio de una
función, punto de acumulación, entorno reducido de un punto ó
distancia entre puntos en
La dificultad que representa explicar y comprender el tema Límite de
Funciones de dos Variables se debe, a mí entender, a las siguientes
razones:
1 - Se inicia el desarrollo del tema con la expresión, que define el Límite
Doble:
LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
2 - Las posibilidades de elegir el camino para acercarnos a un punto, en
el espacio de 2-dim, son infinitas.
Suponer un resultado, no es algo que resulte cómodo en matemática,
creo que la incertidumbre no es familiar en el lenguaje de la
matemática básica.
3 - Para afirmar que el Límite de una función en un punto existe
irrefutablemente, se debe probar que “él mismo” verifica la definición
y no siempre es posible hacerlo, e incluso en los casos posibles,
para el alumno es una tarea muy difícil.
LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
HIPÓTESIS:
¿Es posible desarrollar el tema, sin utilizar, al menos inicialmente, las
expresiones: Infinitos (caminos) vs. Único (valor del Límite) y es posible que
exista…?
¿Si la función está definida ¨naturalmente¨ en el punto, el límite está resuelto?
¿Sería conveniente comenzar el estudio del Límite de una función, analizando en
el punto, previamente, el comportamiento Algebraico de la función?
¿Es suficiente ¨hallar¨ mecánicamente el Límite ó es necesario justificar su
existencia?
¿Cuál es la prestación más interesante que brindan los límites Reiterados o
Iterados?
¿Los Límites Reiterados…son límites direccionales?
Encontrar otra manera de comenzar el desarrollo del tema que no sea por la
Definición. Es decir, No comenzar por la definición.
Representar gráficamente la situación del Límite de manera clara y didáctica,
para usar ésta representación como partida en el desarrollo del tema.
Utilizar el Concepto ya estudiado de Límite de funciones de una Variable,
como apoyo, destacando las diferencias y concordancias.
Transmitir los conceptos de L. Simultáneo, L. Iterados y L. Direccionales, con
herramientas didácticas y pedagógicas accesibles, de modo que el alumno
pueda descubrir las diferencias y las concordancias que hay entre ellos, y así
potenciar su valor como herramientas en el estudio del Límite.
Utilizar las representaciones Gráficas de la función estudiada, como guía en
el análisis.
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LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE INGENIERÍA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA PROFESORA: VIVIANA POLISENA AÑO: 2008/2009 LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Otro enfoque para su estudio Por Claudia Durnbeck
  • 2. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES PLANTEAMIENTO Referencias para una adecuada interpretación de esta propuesta: Cuando nombremos “Límite”: Estaremos refiriéndonos al Límite de una función de Dos variables. Cuando digamos “Límite Doble”: Estaremos refiriéndonos al Límite también llamado Límite Simultáneo, que es cuando las dos variables tienden juntas al punto en cuestión.
  • 3. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES FUNDAMENTACIÓN: Interpretarla, implica, conocer el significado de los operadores y cuantificadores que en ella interviene y, en general, la mayoría son nuevos para alumnos de este nivel. También, implica tener claros ciertos conceptos como: Dominio de una función, punto de acumulación, entorno reducido de un punto ó distancia entre puntos en La dificultad que representa explicar y comprender el tema Límite de Funciones de dos Variables se debe, a mí entender, a las siguientes razones: 1 - Se inicia el desarrollo del tema con la expresión, que define el Límite Doble:
  • 4. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2 - Las posibilidades de elegir el camino para acercarnos a un punto, en el espacio de 2-dim, son infinitas. Suponer un resultado, no es algo que resulte cómodo en matemática, creo que la incertidumbre no es familiar en el lenguaje de la matemática básica. 3 - Para afirmar que el Límite de una función en un punto existe irrefutablemente, se debe probar que “él mismo” verifica la definición y no siempre es posible hacerlo, e incluso en los casos posibles, para el alumno es una tarea muy difícil.
  • 5. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES HIPÓTESIS: ¿Es posible desarrollar el tema, sin utilizar, al menos inicialmente, las expresiones: Infinitos (caminos) vs. Único (valor del Límite) y es posible que exista…? ¿Si la función está definida ¨naturalmente¨ en el punto, el límite está resuelto? ¿Sería conveniente comenzar el estudio del Límite de una función, analizando en el punto, previamente, el comportamiento Algebraico de la función? ¿Es suficiente ¨hallar¨ mecánicamente el Límite ó es necesario justificar su existencia? ¿Cuál es la prestación más interesante que brindan los límites Reiterados o Iterados? ¿Los Límites Reiterados…son límites direccionales?
  • 6. Encontrar otra manera de comenzar el desarrollo del tema que no sea por la Definición. Es decir, No comenzar por la definición. Representar gráficamente la situación del Límite de manera clara y didáctica, para usar ésta representación como partida en el desarrollo del tema. Utilizar el Concepto ya estudiado de Límite de funciones de una Variable, como apoyo, destacando las diferencias y concordancias. Transmitir los conceptos de L. Simultáneo, L. Iterados y L. Direccionales, con herramientas didácticas y pedagógicas accesibles, de modo que el alumno pueda descubrir las diferencias y las concordancias que hay entre ellos, y así potenciar su valor como herramientas en el estudio del Límite. Utilizar las representaciones Gráficas de la función estudiada, como guía en el análisis. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES OBJETIVOS:
  • 7. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES OBJETIVOS: Relacionar conceptos vistos en cursos anteriores, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, de modo que nos sirvan de apoyo en este estudio. Por último: Encontrar un procedimiento más estimulante para el alumno que el tradicional, con respecto al estudio de Límite. Teniendo como meta, que el alumno se involucre en las investigaciones propuestas, es decir, en el análisis algebraico de la función y la interpretación de su representación gráfica.
  • 8. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES DESARROLLO En el caso de funciones de dos variables independientes, para acercarnos a un punto del Dominio, , tenemos infinitas opciones, infinitos caminos para llegar a él. Y es justamente esto, lo que hace complejo el estudio del Límite de funciones de Dos Variables, ¨Si el Límite existe, es único e independiente del camino utilizado¨ y nunca podremos verificar que por todas estas opciones, llegamos al mismo resultado. Conclusión 1: Es por eso, que solamente si el Límite hallado, verifica la definición, podremos asegurar la existencia del Límite. Veremos un ejemplo, tomando una función sencilla, que nos ilustrará sobre el comportamiento de los valores de una función escalar de dos variables, cuando los puntos del Dominio se aproximan a un punto que puede o no pertenecer a él.
  • 9. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sea: y estudiemos su comportamiento en Dominio de la función, todo el plano R2, solo representamos el primer octante. Realizamos una tabla de valores en las proximidades de (3;2), con el objeto de vincular este estudio, con el de funciones de una variable. Tomemos valores sobre las rectas x=3 e y=2. X y F(x;y) 2,991 2 4,991 2,995 2 4,995 2,999 2 4,999 3 2 5 3 1,999 4,999 3 1,995 4,995 3 1,991 4,991 Observemos la tabla y el gráfico, sin olvidar que nos estamos moviendo sobre las rectas x=3 e y=2. Cuanto más nos acercamos al punto del Dominio (3;2) , la función se aproxima al número real 5. La diferencia entre f(x;y) y 5 será más pequeña, cuando los (x;y) estén más cerca de (3;2).
  • 10. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Consideremos que el valor absoluto de esta diferencia es menor que dos milésimo:
  • 11. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Volvamos a la tabla y tomemos (x,y)=(3;1,9999) para verificar: x Y f(x;y) 3 1,9999 4,9999 Vemos que a los (x;y) que se encuentren a una distancia de (3;2) inferior a 0,001 le corresponden por medio de la función, valores reales que están a una distancia menor que 0,002 de 5. Debemos tener en cuenta que fijamos previamente el número 0,002 y de ahí se desprendió el número 0,001, por lo tanto es Del desarrollo anterior deducimos que para cualquier número (en el ejemplo ) , es suficiente elegir (en el ejemplo )
  • 12. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Conclusión 2: Tomamos una función sencilla, conocida por los alumnos y de fácil representación, realizamos un desarrollo similar al que se hace para funciones de una variable y relacionamos este nuevo concepto. Analizamos gráfica y analíticamente con el grupo y luego… definimos. Generalizando la deducción anterior, expresamos la Definición de Límite de funciones de Dos variables: Literalmente: (Sugerimos ser muy explícitos para tener una mejor llegada al alumno, siempre relacionar con la gráfica, para lograr una rápida interpretación) ¨El Límite de la función f(x;y)cuando (x;y) tiende o se aproxima al punto de acumulación del Dominio de la función (a;b,) es igual número real L, si y solo si, para todo número real Épsilon ( , positivo, existe en correspondencia o dependiente de él, otro número real Delta ( , también positivo, de tal modo que para todo punto (x;y) del dominio que pertenezca al entorno reducido del punto (a;b) de radio Delta, entonces la diferencia entre el valor de la función en ese punto y el número real L, tomada en valor absoluto, es menor que Épsilon¨. (Observemos la representación de la función, junto con los alumnos e interpretemos gráficamente la definición, antes de expresarla simbólicamente)
  • 13. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Simbólicamente: Con: No es necesario que la función este definida en (a;b) para que el Límite en ese punto exista. Hasta el momento, hicimos un desarrollo similar al que algunos autores hacen para Límite de funciones de una variable. Observemos la diferencia: Cuando hablamos de distancia en R, solo tenemos la posibilidad de tomarla de un lado o del otro del punto. En cambio, para hablar de distancia en R2, tenemos que hablar de Entorno. Conclusión 3: Usamos los conceptos adquiridos para funciones de una variable y establecemos las diferencias con este nuevo concepto: El entorno en R2.
  • 14. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Definición: Dado un punto y un número real , llamaremos Entorno del punto , de radio ¨ ¨, al conjunto de todos los puntos pertenecientes al cuyas distancias a son menores que ¨ ¨. Simbólicamente: Será Entorno Reducido, cuando el punto no pertenezca al Entorno. Recordemos Distancia en : Se representa en por un círculo de centro y radio r.
  • 15. Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente del camino elegido y de que el camino debe contener al punto. Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estén incluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste, no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular el límite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto de puntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites ¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función. 2R 2 R LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
  • 16. Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente del camino elegido y de que el camino debe contener al punto. Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estén incluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste, no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular el límite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto de puntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites ¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2R 2 R 2R
  • 17. Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente del camino elegido y de que el camino debe contener al punto. Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que estén incluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste, no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular el límite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto de puntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites ¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2R 2 R 2R
  • 18. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Antes de ver algunos ejemplos, distinguiremos dos situaciones: a) Cuando la función está definida en el punto donde queremos estudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando calculo el Límite Doble o Simultáneo. b) Cuando la función no está definida en el punto donde queremos calcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcular el Límite Doble. En el caso a), cuando no hay indeterminación, problema resuelto: El Límite Doble existe. Debemos pensarlo “intuitivamente”, el Límite al cual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función. El caso b) es el que nos va a ocupar, cuando el Límite doble simultáneo no existe, lo que genera la necesidad de usar otros caminos para buscar el límite.
  • 19. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Veamos algunos Ejemplos: 1er Ejemplo: Hallar Previamente, estudiamos cual es el Dominio de la función: Son todos los puntos de con excepción del punto (0;0). No es necesario que el punto donde se estudia el Límite pertenezca al Dominio de la función, pero si debe ser un punto de acumulación. Haciendo uso de los programas con los que contamos actualmente, por ejemplo el Derive, graficamos la función a estudiar, para obtener la información que orientará el análisis. Sugerimos hacerla rotar, aplicar zoom, cambiar los colores, etc. 2 R
  • 20. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Vemos el “agujero” en (0;0), lo que No implica que el Límite no exista, pues puede no estar definida en el punto y sin embargo tener Límite en él. Aplicamos el L. D.: Pertenece al grupo b) pues obtenemos una indeterminación. Recurramos a otros caminos para, descartar la existencia del Límite, encontrando dos Límites distintos, ó por distintas trayectorias un mismo valor, con lo que tendremos es un “candidato “ a Límite y deberemos probarlo por Definición para asegurar la absoluta existencia, lo que es, en la mayoría de los casos, muy complicado.
  • 21. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Introducimos el siguiente concepto: Límites Reiterados o Sucesivos: Éstos no perteneces al grupo de los Límites Restringidos. Definición: Los Límites Reiterados, presuponen que un cierto entorno reducido de “b” sobre la recta x=a y un cierto entorno reducido de “a” sobre la recta y=b existen las funciones y respectivamente.
  • 22. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 23. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 24. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 25. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 26. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 27. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 28. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 29. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 30. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 31. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 32. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 33. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 34. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden no existir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto. Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando los Reiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dos variables No existe. En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia del Límite. Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable y luego otra, en la función resultante. Simplemente, es un procedimiento que permite transformar el Límite de una función de dos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.
  • 35. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Volvamos el ejemplo y apliquemos los Límites Reiterados: Este resultado de la aplicación de Límites Reiterados, nos ilusiona sobre la existencia del Límite por haber obtenido el mismo valor por dos caminos distintos… Pero sabemos que esto no indica nada, lo ideal hubiera sido que ellos tengan resultados distintos, así podríamos concluir en la No existencia del Límite. Debemos seguir trabajando. Conclusión 4: Explicamos en forma sencilla, qué son y para qué son útiles los Límites Iterados o Reiterados, como así también sus limitaciones, definiéndolos e ilustrando con un ejemplo.
  • 36. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Tomemos ahora la trayectoria , Parábola incluida en el Dominio de la función y que pasa por el punto (0;0), apropiado. Entonces: No podemos sacar ninguna conclusión con esta indeterminación obtenida, el camino elegido, no nos proporciona ningún dato. (La idea didáctica es, en este primer ejercicio, transitar por distintos caminos, que NO nos lleven por un tobogán a la solución, para que los alumnos puedan ver que nosotros también erramos en la elección de trayectorias y que quede claro, que cuando no nos brindan datos, debemos descartarlos) Tomemos ahora la trayectoria y=x, siempre repasando: Está incluida en el Dominio de la función y contiene al punto de estudio. Hemos encontrado dos valores distintos del Límite. La función NO puede tener Límite en (0;0) porque en un entorno del punto, hay elementos para los cuales la función tiende a 1/2 y para otros a 0 (ver resultado de los Límites Iterados).
  • 37. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2do Ejemplo: Hallar Elegimos un ejercicio cuya función es similar a la del ejemplo anterior con el propósito de llamar la atención del alumno sobre la definición de cada una y luego compraremos los resultados. Observemos su Representación gráfica:
  • 38. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Aplicando L.D. simultáneo, tenemos: Indeterminación, caso b), debemos seguir estudiándolo por otros caminos. Hallemos los Iterados: Iguales…Tomamos otra trayectoria, por ejemplo y=mx, haz de rectas que pasan por el origen, recordemos que el resultado tiene que ser independiente de m, de lo contrario tendríamos infinitas soluciones, para .
  • 39. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Encontramos un candidato a Límite, es 0. Debemos intentar probar que para ese valor se cumple la definición, de otro modo, no podremos asegurar la existencia del mismo. :
  • 40. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
  • 41. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Comparemos el Ejercicio 1 con el 2, teniendo en cuenta que en ambos casos, buscamos el Límite en (0;0). Las funciones son: Ejemplo 1 Ejemplo 2 Funciones del mismo tipo, ambas cociente de polinomios de dos variables. Analizamos con el alumno, porqué la 1) No tiene límite y la 2) Sí, siendo muy parecidas? Con la intensión de que haga este tipo de análisis, como Método, antes de comenzar a resolver un ejercicio, como así también, observar previamente las gráficas, porque esta información puede orientarlo en cómo encarar la demostración, si para la No Existencia o para la Existencia
  • 42. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES En 1) El Polinomio del numerador es de igual grado que el de denominador. Si atendemos a la parte algebraica, que pasará para valores próximos a (0;0)…podemos imaginar e incluso probar con puntos tales que . Sabemos que los puntos de este entorno reducirán el valor de la función cuanto más próximos estén a (0;0) y por ser de igual grado los polinomios del numerador y denominador , lo harán simultáneamente, de modo que la indeterminación es inevitable al llegar al punto. Esto nos dispone a buscar la prueba de que No existe límite. Para ello, sugerimos, “ Pispear” la función para detectar en que subconjunto del Dominio la función tendría infinitos límites ó uno distinto a alguno ya determinado. En 2) El polinomio del numerador es de mayor grado que el de denominador, por lo tanto, al acercarnos a (0;0), el numerador se achicará más rápidamente, que el denominador, de esta forma, al aproximarnos a (0;0), tendremos el cociente 0/número, lo que nos da 0. Estas consideraciones nos orientan a probar la Existencia del Límite. Siempre recordando que solo la comprobación por la Definición nos asegura la existencia.
  • 43. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Conclusión 5: Consideramos que el análisis del comportamiento algebraico de la función debe hacerse, antes de comenzar con la mecánica de pruebas por distintos caminos. Debemos apoyarnos y confiar en los cursos previos a éste, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, los alumnos ya tienen los conceptos para hacer este tipo de estudio y usarlos les genera confianza y estímulo. Depende de nosotros, docentes, el encontrar los disparadores de su interés. Ahora comparemos las gráficas: Si pensamos en el cálculo del Límite, como una acción, al “aproximarnos”, como dice la definición, estamos en movimiento. Ahora bien, si nos imaginamos sobre una alfombra, deslizándonos por una y otra superficie, cuál de las dos tiene la ¨anatomía¨ de hacernos llegar a (0;0)? En el ej. 1) nos frenaríamos, pues es una superficie de suaves pendientes, por el contrario, en el ej. 2) chocaríamos con el eje “z” en (0;0), por ser pronunciada su inclinación hacia el punto en estudio. Es otro elemento más, poco ortodoxo matemáticamente, pero que nos guía con respecto al rumbo, el estudio del Límite.
  • 44. Es una función exponencial, con exponente “x.y”. Para ningún punto del plano ,se van a presentar inconvenientes , ninguno va a poder provocar una indeterminación. Por lo tanto, va a existir el Límite en todos ellos, caso a). LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Vemos la gráfica donde se aprecia la regularidad de la función: Analicemos un par de funciones
  • 45. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Vista de arriba no presenta “agujeros”, lo que nos indica que esta función se portará bien, en todos los puntos de su Dominio. Tanto el análisis gráfico como el analítico, nos orientan a probar la existencia del Límite.
  • 46. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La función no está definida en (0;0) Apliquemos el L.D. simultáneo: Pero si “pispeamos” la función y trabajamos algebraicamente… Podemos calcular el Límite del producto, como el producto de los Límites, por propiedad de esta aplicación: Otro ejemplo:
  • 47. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Conclusión 6: Recordemos al alumno, los conceptos ya estudiados y hagamos que los relacionen en todos los temas posibles. Ellos tienden a encapsular los conceptos y no establecen relaciones, como tampoco los usan de apoyo. De este modo los estimularemos para que optimicen lo estudiado anteriormente. Observemos la gráfica: Apreciamos el corte, es decir, la indefinición que la función presenta en el origen de coordenadas. Pero como el L.D. simultáneo nos da un resultado real, deberemos intentar comprobarlo por definición, ó quedarnos con el candidato a Límite, L=-1.
  • 48. LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Conclusión 7: Atendiendo a la Definición y a la Gráfica de la función, el alumno, encontrará un sendero por donde transitará con mayor comodidad, que utilizando la práctica tradicional en la búsqueda del Límite a ciegas. Y los profesores, no correremos tanto, cuando tengamos que desarrollar el tema.