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INDICE
INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………………….. 3
RECOMENDACIONES DIDACTICAS……………………………………………………………………………………………. 5
EVALUACION………………………………………………………………………………………………………………………………. 7
ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA. …………………………………………………………………………………………….. 9
BLOQUE I
MEDICION Y APROXIMACION……………………………………………………………………………………………………. 10
BLOQUE II
MEDICION DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERIMETRO Y AREA)………………………………………. 15
BLOQUE III
MEDICION Y CAPACIDAD DEL VOLUMEN…………………………………………………………………………………. 19
BLOQUE IV
OTRAS MAGNITUDES…………………………………………………………………………………………………………………. 31
MATERIALES DE APOYO
UNIDADES BASICAS DE MEDICION………………………………………………………………………………………….. 35
GEOMETRIA DEL PLANO…………………………………………………………………………………………………………….. 37
LOS POLIGONOS………………………………………………………………………………………………………………………… 52
PERSONALIDAD Y SEGMENTOS Y SEMEJANZA…………………………………………………………………………. 67
EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS………………………………….. 85
LA CIRCUNFERENCIA…………………………………………………………………………………………………………………. 96
AREAS DE FIGURAS PLANAS…………………………………………………………………………………………………….. 109
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO…………………………………………………………………………………………… 127
RECTAS Y PLANOS…………………………………………………………………………………………………………………….. 135
FIGURAS DE REVOLUCION………………………………………………………………………………………………………… 151
CONICAS Y CUADRATICAS………………………………………………………………………………………………………… 168
ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRABAJO GEOMETRICO………………………………………………….. 184
ANGULOS, TRIANGULOS Y BISECTRIZ……………………………………………………………………………………… 186
POLIGONOS……………………………………………………………………………………………………………………………….. 198
DE LOS PATRONES A LA MODELACION……………………………………………………………………………………… 202
AREA DE LOS RECTANGULOS……………………………………………………………………………………………………. 204
AREA DEL ROMBOIDE………………………………………………………………………………………………………………… 205
AREA DEL TRAPESIO………………………………………………………………………………………………………………….. 206
AREA DEL ROMBO………………………………………………………………………………………………………………………. 207
AREA DEL TRIANGULO……………………………………………………………………………………………………………….. 208
AREA DE POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………………………………………. 209
AREA DEL CIRCULO……………………………………………………………………………………………………………………. 210
PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS……………………………………………………. 211
LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180O
……………………………………………….. 212
2
EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES
NO ADYACENTES A EL……………………………………………………………………………………………………………….. 213
LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES …………………………………………………… 214
LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES……………………………………………………. 215
LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUENTES………………………………………………… 216
PROPIEDADES DEL CUADRADO…………………………………………………………………………………………………. 217
RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE SUBTIENDEN………… 218
ANGULO INSCRITO……………………………………………………………………………………………………………………. 219
ANGULO SEMI-INSCRITO………………………………………………………………………………………………………….. 220
ANGULO INFERIOR…………………………………………………………………………………………………………………….. 221
ANGULO EXTERIOR……………………………………………………………………………………………………………………. 222
CONCLUSIONES FINALES…………………………………………………………………………………………………………… 223
MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN……………………………………………………………………………………. 224
3
INTRODUCCIÓN
Esta asignatura corresponde al sexto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria, bajo
la modalidad semiescolarizada, y su estudio contribuye a la formación disciplinaria en el campo
de la geometría vinculada con la aritmética, así como a la formación didáctica, por el tipo de
actividades que los estudiantes resuelven y/o analizan.
El programa se divide en cuatro bloques, de los cuales el primero centra la atención en el
desarrollo histórico de la medición y de las unidades que se han utilizado para expresar
medidas, así como en el tipo de errores que se cometen al medir.
El segundo bloque se refiere al estudio de dos magnitudes muy comunes: la superficie y el
perímetro; se pone énfasis en la construcción de modelos que permiten realizar cálculos, en el
área y el perímetro, de manera eficiente. Cuando se habla de la construcción de la modelación
debe quedar claro el propósito de que los estudiantes intenten deducir fórmulas de otras más
simples, de manera que no haya necesidad de memorizarlas; por otra parte, se pretende que los
alumnos recurran a descomponer figuras en otras más simples para calcular sus áreas. Otro
aspecto importante de este bloque es el análisis de relaciones entre áreas de figuras inscritas o
circunscritas y el área lateral de diversos cuerpos geométricos.
El tercer bloque se refiere al estudio de la relación entre la capacidad y el volumen y a su
medición en cuerpos regulares e irregulares. Se trata de que los estudiantes amplíen sus
recursos para calcular el volumen o la capacidad de una gran variedad de cuerpos u objetos y
por distintos medios. Como en el bloque anterior, la deducción de fórmulas para calcular
volúmenes o capacidades es un aspecto importante a tratar.
El cuarto y último bloque se refiere al estudio de otras magnitudes, tanto fundamentales como
derivadas; algunas de ellas han sido poco estudiadas en los niveles escolares anteriores y por lo
mismo es necesario analizarlas con cuidado. Tal es el caso de la intensidad luminosa, la
intensidad de corriente eléctrica, la cantidad de sustancia, la densidad, entre otras.
Desde el punto de vista didáctico se hace la misma recomendación para todas las magnitudes,
en el sentido de analizar el significado de las unidades de medida, de las relaciones que se
establecen entre ellas y de las fórmulas que se pueden usar para calcular medidas. Todo esto se
hace con la finalidad de evitar el aprendizaje memorístico que, como sabemos, carece de
funcionalidad, además de la desarticulación con el contexto de trabajo.
El estudio de las magnitudes que se derivan de la relación entre magnitudes fundamentales,
como es el caso de la velocidad, representa una dificultad mayor para los estudiantes, por el
cálculo dimensional que es necesario hacer. Un caso simple es el área que resulta del producto
4
de dos longitudes, pero sin duda hay otros casos más complejos, como la aceleración, que
relaciona la velocidad con el tiempo. En todos estos casos es importante que los estudiantes
resuelvan una gran variedad de problemas y analicen diversos procedimientos.
5
RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS
La idea de problematizar el estudio de la disciplina
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme
en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la
disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el
estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se
presentan de cierta forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de
problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y
resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta
perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver
incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.
Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un
espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta
dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a
resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la
situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general
de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de
clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la
disciplina por parte de los estudiantes. En tal caso, es importante que tenga en consideración los
conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.
Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción
continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que llegan a ser rutina,
en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel central en el
desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son:
a) ¿He usado o identificado la información importante en el problema?
b) ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema?
c) ¿Puedo convencer a otros compañeros?
d) ¿He resuelto totalmente el problema?
e) ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución?
f) ¿Se puede generalizar este resultado?
Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los
problemas.
Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar
6
justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender
incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus
indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y
respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.
La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye
directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas
y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes obtienen
oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como
una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los
estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente
con el quehacer matemático.
Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas
fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de
manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma
que los estudiantes vayan concibiendo la geometría desde el punto de vista de la medición y el
cálculo y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes
necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma
disciplina.
7
EVALUACIÓN
Medición y cálculo geométrico
Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los
contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro
grandes categorías:
a) El desempeño actitudinal del participante para el despliegue de las actividades, en especial
las que tienen que ver con la vinculación entre el trazado, medición y cálculo, así como la
asociación de las diferentes disciplinas por las que ha transitado a los largo de las
asignaturas que le anteceden a la presente
b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje
c) El diseño del curso
d) El desempeño del profesor estudiante durante las clases presénciales
En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del profesor estudiante, como: la
disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y
juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su
participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.
En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente
programa de Medición y Cálculo Geométrico, como; la capacidad de análisis y síntesis, las
habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.
En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos
de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas
no solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la
disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de
intenciones por parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases,
si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de
conocimiento, habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los
propósitos implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que
implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y
todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la
reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.
Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a
evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como: si las tareas solicitadas se
realizan en tiempo y forma; si el profesor estudiante asiste a la clase presencial con los
8
materiales analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus
compañeros; si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene
dominio sobre la información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y
relevantes en las discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la
lógica preposicional, etcétera.
Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al titular de la disciplina como al
profesor estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las
reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.
9
ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA
Por lo anteriormente expuesto y dada la relevancia de la disciplina, se ha procurado incorporar,
en cada bloque de asignación temática algunas actividades que favorezcan la modelación
matemática y al mismo tiempo la medición y el cálculo geométrico.
La modelación matemática constituye un factor importante, ya que es el método que permite
descubrir patrones recurrentes en el tratamiento y presentación de datos; dichos patrones, que
si bien es cierto, tienen el carácter aritmético, también es cierto que a través de ellos se pueden
generalizar con letras y éstas serán las que den respuesta desde tres líneas importantes: el
cálculo de perímetro, área y volúmenes, vinculadas a los principios algebraicos.
Dichas generalizaciones aplicadas a la geometría, que también recurren a los patrones, tanto en
su composición como en el método de resolución de problemas, las iremos llamando “fórmulas”,
de ahí la necesidad de plantear múltiples actividades que permitan ir descubriendo, como
dijimos en las líneas anteriores, los patrones y a su vez las “fórmulas”.
Sin embargo, no significa que quien despliegue las actividades propuestas en la disciplina pueda
introyectar orto método para que el profesor estudiante llegue a la modelación y con ésta a la
fórmula, por lo que es recomendable seguir la secuencia de las actividades planteadas y que al
mismo tiempo se enriquezcan con las experiencias tanto del titular de la disciplina como de los
profesores estudiantes que participan en este proceso.
10
BLOQUE I
MEDICIÓN Y APROXIMACIÓN
PROPÓSITOS
Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de:
1. Contar con los elementos históricos de los sistemas de medición.
2. Aplicar las unidades convencionales de los sistemas de medida (decimal e inglés) en la
resolución de problemas.
3. Adquirir los elementos necesarios para realizar el análisis correspondiente en los errores e
incertidumbres en la medición.
TEMAS
1. Antecedentes históricos de la medición.
2. Unidades convencionales de medida. Sistema internacional de medidas; múltiplos y
submúltiplos. Conversiones a unidades de otros sistemas (sistema inglés).
3. Análisis de errores e incertidumbres en la medición.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid,
Síntesis.
SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.
— (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México.
— (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,
México.
— (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,
México.
11
ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN
1. Comente, reunidos en pequeños grupos de trabajo colaborativo la lectura “Los orígenes de la
geometría” del libro para el maestro, páginas 211 – 222; se sugiere centrar la atención en:
a) cómo se introducen las nociones geométricas,
b) en qué momentos de la vida del hombre empieza la aparición de ésta;
c) en qué momento histórico dio inicio la sistematización de la disciplina;
d) en qué consiste la geometría empírica;
e) cuáles fueron las culturas que dieron lugar a la sistematización de la materia;
f) cómo la utilizaron para realizar las grandes construcciones que hoy en día son
inexplicables para la ciencia;
g) cómo nacieron las “fórmulas”;
h) en qué momento de la historia de la humanidad nació la geometría deductiva y en qué
consiste; quiénes son los precursores;
i) qué son los números figurados;
j) qué relación hay entre los números triangulares, cuadrados, etcétera con el cálculo del
perímetro y superficie de figuras geométricas;
k) en qué consiste el patrón de la geometría axiomática;
l) las razones por las que se le atribuye a Euclides (300 a. C) la geometría axiomática;
m) en qué consiste el patrón de este estilo geométrico y
n) cuáles son los postulados y axiomas de Euclides
2. Los profesores estudiantes podrán formar pequeños grupos de trabajo e indagar en diferentes
fuentes bibliográficas, como: El manantial en Estudio de las geometrías de Howard Eves
(UTHEA, México), el nacimiento del sistema de medición, puede centrar su atención en algunas
culturas como la Babilónica, Egipcia, Romana, Maya, Griega y enriquecerla con las aportaciones
de algunos de los matemáticos de la antigüedad como: Pitágoras. Arquímedes, Ptolomeo,
Anaxágoras, Tales, etcétera.
Es importante recalcar que este proceso de indagación debe quedar centrado en el uso de
unidades de medición y las transformaciones o en su defecto la desaparición de las mismas y las
razones por las que se desvanecieron; por cuáles fueron sustituidas, si presentaron
transformaciones o no progresaron; en cualquiera de los casos, a qué se debió la transformación
o la falta de progreso; de modo que históricamente pueda responder al nacimiento del Sistema
de medición decimal e inglés
3. Calcule, el undécimo primer número en la serie de los números pentagonales, sabiendo que
11, 52, 123, 224, … n11
12
Observe que es una serie numérica que inicia con la unidad y su aumento no es constante, sin
embargo, al registrar el incremento de las cuatro primeras cifras de la serie, es decir, 5, 7, 9, …
lleva un aumento constante de dos en dos.
Este análisis numérico, permite establecer un patrón que tiene que ver con el cálculo de
superficies, de modo que dicho patrón será quien determine el enésimo número de una serie.
4. Resuelva la ficha No. 17 “El perro guardián”, del fichero de actividades didácticas, páginas 42
y 43; comente con su grupo de trabajo colaborativo, los patrones a que se recurre para el logro
del propósito explícito al inicio de la ficha de trabajo.
5. Establezca en tablas de comparación las principales unidades de media que se utilizan en el
cálculo de longitudes, superficies, pesos y volúmenes, para el sistema decimal
Unidades
Convencionales
Long. Sup. Peso Vol.
Múltiplos
Elemento
básico
Submúltiplos
Para el sistema inglés
Unidades
Convencionales
Long. Sup. Peso Vol.
Múltiplos
Elemento
básico
Submúlt
iplos
13
Consulte la tabla de principales unidades de medición que se muestra en la sección del material
de apoyo del presente programa de trabajo.
Otras unidades de medición, son las que se utilizan en el campo de la navegación área y
marítima, por lo que se sugiere que los profesores estudiantes manejen las conversiones de las
unidades de navegación, por ejemplo, nudos a kilómetros. Es importante señalar que el manejo
de las unidades de medición se realice siempre bajo contextos, por ejemplo:
“Una embarcación transportadora de alimentos no perecederos viaja a una velocidad constante
de 2.5 nudos por hora, si la distancia a recorrer es de 2 305 kilómetros, ¿cuánto tiempo tardará
en llegar a su destino?”
6. Ciencias disciplinarias, como la Física, Química, Biología, utilizan otras unidades de medición,
por lo que es necesario que el profesor estudiante realice algunas conversiones, tanto de los
sistemas de medición decimal e inglés como los correspondientes a estas ciencias disciplinarias,
por ejemplo: las micro unidades utilizadas por la química (moles), caídas libres que se calculan
en la física (newtons, atmósferas, etcétera); por su parte, las ciencias de la economía utilizan el
sistema monetario vinculado a los índices y éstos medidos en dos vertientes; el crecimiento o
decremento (pérdidas y ganancias) medidos en unidades y puntos porcentuales, por lo que
resulta conveniente que los profesores estudiantes resuelvan algunos problemas en los tenga
que ver la química, la física, la biología y la economía, aparte de los problemas de carácter
puramente matemático.
7. Realizar algunas conversiones en cada sistema de medida, resulta un buen ejemplo para
establecer comparaciones medicionales, como:
- Encontrar la equivalencia de 2. 4 metros en milímetros
- Encontrar la equivalencia de 789 metros en kilómetros
- Encontrar la equivalencia de 45.6 metros en yardas
- Encontrar la equivalencia de 8.745 TM en kilogramos
- Encontrar la equivalencia de la velocidad en kilómetros de un buque que navega a una velocidad
de 7.85 nudos náuticos.
8. El sistema de medición sexagesimal (3600
), es conveniente para establecer la comparación de
diferentes ángulos; agudo, recto, obtuso, grave, entrante, colineal, complementario,
suplementario, interiores, exteriores, inscritos y seminscritos, resultan otro buen ejercicio para
afianzar los diferentes sistemas de medición, y sobre todo para analizar los patrones que dan
lugar a situaciones más avanzadas en el estudio de la geometría. Para estos casos es
14
recomendable tener en cuenta los antecedentes geométricos en el trazado del dibujo (analice la
lectura “Aspectos básicos del dibujo y trazo geométrico” del material de apoyo)
15
BBLLOOQQUUEE IIII
MEDICIÓN DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERÍMETRO Y ÁREA).
PROPÓSITOS
Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de:
1. Identificar los patrones geométricos para el cálculo del perímetro y área de figuras, así
como el volumen de cuerpos geométricos
2. Aplicar dichos patrones en el planteamiento y resolución de problemas que tengan que ver
con el cálculo de perímetros y áreas, tanto de figuras regulares como irregulares, así
mismo
3. Calcular el volumen de los cuerpos regulares e irregulares
TEMAS
1. Justificación de diferentes fórmulas para calcular el perímetro y el área de paralelogramos,
triángulos y polígonos regulares (por ejemplo, calcular el área del triángulo a partir de: su base
y su altura, la medida de sus lados, etcétera).
2. Perímetro y superficie de figuras irregulares y de figuras curvilíneas.
3. Relación entre el área de distintas figuras geométricas. Figuras inscritas o circunscritas (por
ejemplo: investigar la relación entre la superficie de un círculo inscrito en un cuadrado y la
superficie de ese cuadrado).
4. Área lateral y total de prismas y pirámides, superficie cilíndrica, cónica y esférica.
BIBLIOGRAFÍA
García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid Síntesis
Alvídrez V. Juan Manuel, “De los patrones a la modelación”, Chihuahua 2000
SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.
— (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México.
— (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,
México.
16
ACTIVIDADES
1. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de las fichas “figuras básicas y
ángulos y representación gráfica” del Fichero de Actividades didácticas, páginas 18 – 19 y 23 –
23, respectivamente.
2. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de la ficha “Trazos geométricos
y figuras básicas” de las páginas 48 y 49 del fichero de actividades didácticas
3. Discuta con sus compañeros de grupo la forma de resolver el siguiente problema:
“A y B son puntos colineales de un rectángulo inscrito en una circunferencia, ¿cuál es el
perímetro y la mayor área que puede alcanzar”
Aplique otras variables, como, ¿qué pasaría si A y B son vértices opuestos del rectángulo?:
¿Variaría el perímetro y la mayor área que puede alcanzar?
¿Qué pasaría si A es un vértice y B es el punto medio de uno de uno de los lados colineales al
vértice A? ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que puede alcanzar?,
o bien, ¿qué pasaría si A es vértice y B es el punto medio de uno de los lados no colineales al
vértice A del rectángulo?, ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que pueda alcanzar?
17
Esta actividad, permite al profesor estudiante advertir que el patrón que se presenta, da lugar al
modelo matemático para calcular tanto el perímetro como el área de cuadriláteros y a partir de
la modelación, aplicar una fórmula ya conocida por los mismos, de modo que la actividad está
planteada para que el profesor estudiante sea capaz de descubrir el patrón y llegar al modelo
(fórmula), origen de las fórmulas que de manera tradicional se han utilizado, la diferencia es que
el profesor estudiante adquiere una gran riqueza al discutir y poner en práctica algunas
estrategias para llegar al modelo.
4. Cavalieri, dio lugar a la triangulación, entre otras, definida como el área que queda limitada
por tres longitudes, es el resultado del estudio de los cuadriláteros, por lo que, enfatizar el
análisis de los triángulos resulta conveniente para posteriores estudios, como los postulados de
Tales (semejanza) o los principios de Pitágoras que posteriormente se traducen en el análisis de
las funciones trigonométricas (analice “De los patrones a la modelación” del material de apoyo)
5. El análisis de los polígonos (pentágono, hexágono, etcétera, son el resultado de la recurrencia
de los patrones que se utilizan en el estudio tanto de los cuadriláteros como de los triángulos,
por lo que, se recomienda ir más allá de los mismos, como por ejemplo, plantear el cálculo de
las constantes que se establecen en un polígono inscrito en una circunferencia y esta a su vez
inscrita en el polígono, como se muestra en la siguiente figura:
En el cálculo, tanto del perímetro como de las áreas, el radio de la circunferencia inscrita resulta
ser la apotema del polígono inscrito en la circunferencia, además el patrón que se presenta a
partir del análisis de éste y otros problemas similares, permiten al profesor estudiante encontrar
patrones geométricos y establecer el modelo (fórmula) que de respuesta a la solicitud del
18
propósito de este bloque de trabajo; por otro lado, el tratamiento que se hace de dichos temas
recurre en forma sistemática al sentido común, experiencia e intuición del futuro Licenciado en
Matemáticas, abordando directamente el problema que se plantea.
La recurrencia consiste en que se justifican de manera elemental y simple las “fórmulas” para el
cálculo del perímetro, el área y el volumen que aprendemos desde la enseñanza elemental.
Dentro de este planteamiento, dichas fórmulas se enriquecen al ampliarse la colección de figuras
a las que se puede aplicar; de modo que en cada uno de los participantes de esta experiencia,
existen una gran variedad de trazos de figuras, que convergen a un patrón geométrico y éste
será quien le de vida a las “fórmulas” que aprendimos de manera memorística en la escuela
elemental.
6. Resuelva los problemas que se plantean en el libro del maestro en las páginas 238 a 240,
mostrando ante sus compañeros las estrategias utilizadas para encontrar las respuestas que se
esperan.
7. Analice el material “de los patrones a la modelación” del material del apoyo para el estudio de
la disciplina “Medición y Cálculo Geométrico”
19
BLOQUE III
MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN
PROPÓSITOS
Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de:
1. Establecer los principios de la modelación matemática para el cálculo del volumen de los
cuerpos geométricos regulares e irregulares
2. Determinar el cálculo del volumen de prismas y pirámides regulares a través de la
modelación matemática, bajo el principio de recursividad
TEMAS
1. Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de prismas, pirámides, conos, poliedros
regulares y la esfera.
2. Cálculo del volumen de cuerpos oblicuos (Principio de Cavalieri).
3. Relación entre volumen y capacidad.
4. Relación entre el volumen de distintos cuerpos (por ejemplo: investigar la relación entre el
volumen de la esfera más grande que puede ser contenida en un cubo respecto al volumen de
ese cubo).
ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN
Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se
aproximan bastante a las formas geométricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado,
un cucurucho, una caja de cerillos, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra
cultura, son modelos bastante aproximados de los cuerpos geométricos.
20
LOS POLIEDROS Y LA FÓRMULA DE EULER
Entre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras
limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que
permite dar una primera clasificación en poliedros y no poliedros.
Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos.
Según el número de éstas, los poliedros pueden ser tetraedros,
pentaedros, hexaedros, etc.
En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes
observar los elementos básicos que componen todo poliedro:
vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ángulos
diedros y ángulos poliedros.
Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de
diagonal de una cara del poliedro.
1. Para cada uno de los poliedros que aparecen en la tabla adjunta haz el recuento del
número de vértices, aristas y caras, y anótalo en la columna correspondiente.
Poliedro
No de caras
C
No de vértices
V
No de aristas
A
Relación aritmética
C + V = A + 2
Observa que en todos ellos se cumple la relación aritmética C + V – A = 2, o también
C +V = A + 2
21
En general: Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética:
N° de caras + N° de vértices = N° de aristas + 2
Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII.
2. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. En todo poliedro, sus caras son todas iguales.
2. El menor número de caras de un poliedro es cuatro.
3. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.
4. El cilindro y el cono son poliedros.
5. En los poliedros, el menor número de caras que concurren en un vértice es tres.
6. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, cinco.
7. Un hexaedro con 10 artistas tiene 8 vértices.
Entre los muchos poliedros que nos podemos imaginar, los de mayor interés son los poliedros
regulares.
Al igual que en geometría plana estudiábamos los polígonos regulares, así también en geometría
sólida podemos pensar en cuerpos con análogas características en cuanto a la regularidad.
Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y
de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras.
No obstante, veamos una notable diferencia entre la geometría plana y la geometría sólida. Así
como existe una infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos poliedros regulares cabe esperar?
Para contestar a ello, analizaremos el cuadro adjunto, teniendo presentes dos consideraciones
importantes:
22
Posibles caras
del poliedro
No de caras
por vértice ≥
Suma de ángulos de
cada vértice < 3600
Poliedro regular
3
Tetraedro
4
Octaedro
5
Icosaedro
6 Imposible
3
Cubo
4 Imposible
3
Dodecaedro
4 Imposible
3 Imposible
1. Todas las caras han de ser iguales, por ser regulares.
2. Los ángulos de las caras que concurren en un vértice suman menos de 360°, propiedad vista en el
tema anterior, pues en caso de sumar 360° exactamente no encerrarían un volumen, sino que
tendríamos una superficie plana.
Como puedes observar, sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos
platónicos:
El tetraedro, limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros.
El cubo o hexaedro, limitado por seis caras que son cuadrados.
El octaedro, limitado por doce caras que son pentágonos regulares.
Y el icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.
23
Algún motivo, como puede comprenderse, ha conducido a que estos cinco cuerpos geométricos
sean llamados sólidos platónicos. Platón, filósofo griego del siglo IV a. J.C., concebía el
mundo como constituido por los cuatro principios básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según
Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego
al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua
correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue
considerado por Platón como símbolo del universo.
Sin duda, nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época.
En cuanto a la figura de Platón, no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí
mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él
fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada
de la Academia “No entre aquí nadie que ignore la geometría”.
Siglos más tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del
siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler
concebía a Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas
separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y
por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay
armonía si no hay matemáticas”.
3. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus
respectivos desarrollos. Utiliza el pantógrafo para reproducir en cartulina y a tamaño ampliado
estos desarrollos; después recorta, dobla y pega convenientemente las pestañas; así obtendrás
tus cinco sólidos platónicos. Si no dispones de pantógrafo, utiliza la construcción de polígonos
vista en geometría plana para reproducir a escala dichos poliedros.
24
a) Contabiliza en dichos poliedros el número de vértices, caras y artistas, y comprueba la
fórmula de Euler.
4. Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y del octaedro regular de igual arista. Tras
procurarte cuatro fotocopias del desarrollo del tetraedro, móntalas para obtener las piezas de la
figura adjunta.
Intenta ajustar los tetraedros a las caras del octaedro para conseguir un tetraedro mayor. ¿Qué
relación guardan las aristas del tetraedro así obtenido, con las del octaedro?
25
EJERCICIOS:
b) Averigua las superficies de un octaedro regular de 16 cm de arista y de un cubo de igual
arista. Determina la relación entre las superficies de estos cuerpos. (Conviene recordar
qué área del triángulo equilátero = l 2
3 )
c) ¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene al unir los vértices de un cubo que son
extremos de tres aristas concurrentes?
d) Calcula en función de la arista las áreas de los cinco sólidos platónicos, y comprueba si los
resultados obtenidos coinciden con lo que aparecen en la tabla de áreas de la página 154.
Te habrás percatado de que en general los edificios se construyen
verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de
prismas. En la figura adjunta se muestra un prisma de base pentagonal.
Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos
polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos.
Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base, se dice que
el prisma es recto; en caso contrario, el prisma es oblicuo.
Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares.
Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares,
pentagonales, hexagonales..., etcétera.
5. Para visualizar prismas, toma una lámina de cartón grueso o de madera y recorta dos
polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos elásticos y manteniendo las bases paralelas
como muestra la figura tendrás multitud de prismas según la tensión a que sometas el hilo
elástico.
26
El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El
desarrollo plano de un prisma recto, tal como se muestra en el dibujo, nos permite obtener de
forma sencilla el cálculo de dicha superficie, ya que tal desarrollo no es más que un rectángulo
de base el perímetro de la base del prisma y de altura su arista latera.
De aquí que, AL = P.h donde P es el perímetro de la bese y h la altura del prisma.
Basta añadir al área lateral, la superficie de las dos bases para obtener el área total del
prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab representa el área de la base.
El desarrollo de la superficie lateral de un prisma
Recto es un rectángulo
Es preciso destacar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos, pues en éstos la
altura no coincide con la arista lateral. En tal caso, se debe estudiar el prisma oblicuo que nos
interese en particular.
6. Averigua las áreas lateral y total del prisma oblicuo de la figura.
27
Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son
paralelogramos.
Cubo Ortoedro
Algunas propiedades de éstos basadas en las de los paralelogramos, puesto que los planos
diagonales son paralelogramos, son las siguientes:
a) Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.
b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.
7. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del Teorema de Pitágoras.
28
En el triángulo rectángulo MON, d2
= c2
+ m2
, pero m es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2
= a2
+ b2
de donde d2
= a2
+ b2
+ c2
, o también: d
= cba 222
++ resultado conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras en el espacio.
M
C
O
D
B
M
NA
Puesto que el cubo es un ortoedro con sus tres aristas iguales, a = b = c, su diagonal sera: d =
33 2222
aaaaa ==++
8. Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a sus
faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2 600 a J. C. aproximadamente
y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y
146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales
pesa aproximadamente 20 toneladas.
Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén y Quéope
La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus
aristas en puntos distintos del vértice.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.
Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en:
- Pirámides rectas y oblicuas.
- Pirámides regulares e irregulares.
- Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etcétera.
29
Apotema
Caralateral
Altura
Base
Base
Altura
Caralateral
En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales. Es de
notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la
pirámide, un triángulo rectángulo.
9. Tú mismo puedes construir diferentes pirámides por el método experimental del hilo elástico,
como se muestra en la figura.
En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son triángulos isósceles
todos ellos iguales, y puesto que el área del triángulo es A = ))((
2
1
ab , contando el número de
estos es fácil deducir:
Donde P presenta el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la apotema del
polígono de la base.
30
10. Una figura geométrica derivada de la pirámide es el tronco de pirámide, que resulta ser el
trozo de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta.
En lo sucesivo supondremos el plano de corte paralelo a la base de la pirámide.
Para troncos de pirámide rectos y regulares, sus caras son trapecios isósceles, y puesto que el
área del trapecio es A = abb )'(
2
1
+ , contando su número es fácil deducir:
3
Donde p y p’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.
11. Sobre una cartulina reproduce a mayor tamaño los desarrollos planos de la pirámide y del
tronco de pirámide de la página anterior. Recórtalos y ármalos adecuadamente.
a. Calcula sus áreas laterales y totales.
b. ¿Te atreves a calcular sus alturas? Recuerda la eficacia del Teorema de Pitágoras.
31
BLOQUE IV
OTRAS MAGNITUDES
PROPÓSITOS
Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de:
1. Reconocer las diferentes magnitudes que se utilizan para la medición de la masa, el
tiempo y la temperatura
2. Derivar las magnitudes relacionadas con la velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad,
tasa, porcentaje
TEMAS
1. Magnitudes fundamentales: la masa, el tiempo y la temperatura.
2. Magnitudes derivadas: velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad, tasa, porcentaje,
etcétera.
BIBLIOGRAFÍA
Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid,
Síntesis.
García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid,
Addison Wesley Longman. Rivaud (1996), Geometría Intuitiva 2. Áreas, volúmenes y centros de
gravedad, México, Limusa.
SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.
— (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México.
— (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,
México.
— (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª Ed.,
México.
32
ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN
1. Sujete a discusión con el grupo de trabajo a qué tipo de magnitudes se refiere cuando se
habla de masa, tiempo y temperatura, en particular a las unidades básicas de cada una, es
importante que señalen, como parte de las discusiones lleguen a advertir, a partir de la unidad
básica, los múltiplos y submúltiplos de cada una de ellas.
2. Es importante que cada grupo de trabajo advierta la necesidad de modelar el proceso de
análisis de este tipo de magnitudes para el establecimiento de problemas para dar respuesta a
planteamientos de otras ciencias del conocimiento, como la física, química, biología, etcétera.
3. Busque información acerca de planteamientos de problemas en particular de la física y
química en los que se impliquen las magnitudes que relacionan problemas derivados del cálculo
de masa, tiempo y temperatura.
4. Como derivado de las magnitudes que relacionan la masa, el tiempo y la temperatura, es
importante que recurra a la ciencia de la física para revisar el tipo de problemas que plantea
esta disciplina, en tanto el uso de magnitudes que relaciona la velocidad, fuerza, peso,
resistencia y densidad, es conveniente que también en este apartado de la unidad de trabajo
distinga las formas convencionales de transformación, como la unidad que maneja el sistema de
velocidades como unidad básica, por ejemplo, la transformación de km
/hr y su equivalente a
m
/seg.
5. Discuta con el grupo de estudiantes que cursan esta parte de la especialidad, como el
concepto de tasa y porcentaje ayudan con la interpretación del cálculo de los conceptos que se
vienen discutiendo.
6. Pida a los estudiantes que busquen problemas que relacionen la velocidad, fuerza, peso,
resistencia y densidad, asimismo el cálculo de tasa y porcentaje, como:
33
La cantidad de ácido en x mililitros (ml) de una solución ácida al 10%
SOLUCIÓN
En este problema se supone que sabemos qué es una solución ácida al 10%.
En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es
agua. La relación implicada es la multiplicación:
Cantidad de ácido = 10% (x ml) = 0.10 (x ml)
Es útil ilustrar esta relación con algunos ejemplos.
Una solución ácida contiene ÁCIDO + AGUA
50 ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(50 ml) + 90%(50 ml)
= 0.10(50 ml) + 0.90(50 ml)
= 5 ml + 45 ml
= 50 ml de solución
100 ml de un 10% de solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml)
= 10 ml + 90 ml
= 100 ml de solución
x ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml)
= 10 ml + 90 ml
= 100 ml de solución
Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.10x ml.
34
MMAATTEERRIIAALLEESS
DDEE
AAPPOOYYOO
35
Unidades básicas
MASA Kilogramo kg
El kilogramo
equivale a la masa
del kilogramo patrón
internacional.
LONGITUD Metro m
El metro equivale a
1650763.73 veces la
longitud de onda de
la radiación emitida
por los átomos del
nucleido 86
Kr, en la
transición entre el
estado 5d5 y el
estado 2p10,
propagándose en el
vacío.
TIEMPO Segundo s
El segundo equivale
a 9192631770 veces
el período de la
radiación
correspondiente a la
transición entre los
dos niveles de la
estructura hiperfina
del estado
fundamental de los
átomos de nucléido
133
Cs.
CORRIENTE
ELÉCTRICA
Amperio A
El amperio equivale
a la intensidad de
una corriente
eléctrica constante
en el tiempo que, al
circular en el vacío
por dos conductores
paralelos situados a
un metro de
distancia, rectilíneos
e infinitos, de
sección circular y
despreciable, da
lugar a una fuerza
de atracción mutua
entre los
conductores de 2 x
10-7
neutronios por
metro.
INTENSIDAD
LUMINOSA
Candela cd
La candela es la
intensidad de luz
que emite 1 ÷ 6 x
10-5
m2
de la
UNIDADES BÁSICAS DE MEDICIÓN
UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________
36
superficie de un
cuerpo negro a una
temperatura
correspondiente a la
solidificación del
platino a una
presión de 101325
neutronios por
metro cuadrado, y
perpendicular a su
superficie.
CANTIDAD DE
SUSTANCIA
Mol Mol
El mol equivale a la
cantidad de materia
de un sistema
constituido por
tantas partículas
como átomos
contiene 12 ÷ 10-3
kilogramos de
nucleido del carbono
12
C.
TEMPERATURA
TERMODINÁMICA
Kelvin K
El kelvin equivale a
la
16
273
parte de la
temperatura
termodinámica del
punto triple del agua
(aproximadamente
0.01 ºC)
Kilogramo patrón
UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________
37
onceptos básicos de la
geometría1
se cree que el origen de la geometría
está en el antiguo Egipto. así lo
confirma uno de los escritos del
historiador herodoto cuando, hablando
del rey sesostris, dice:
“Este rey dividió la tierra entre todos los
egipcios de tal manera que cada uno
recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y
que él pudiera obtener sus rentas de cada
uno, imponiendo una tasa que debía ser
pagada anualmente. Pero todo aquel de
cuya parte el río hubiera arrastrado algo,
tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él
enviaba supervisores que debían medir en
cuánto había disminuido la tierra para que el
propietario pudiera pagar de acuerdo con lo
que le restaba, en proporción a la tasa total
impuesta. De esta forma me parece que se
originó la geometría, que luego pasó a Helas”
JAMES R. NEWMANN
El mundo de las matemáticas
Ed. Girjalbo
1
García Arenas, Jesús y Beltrán I. Infante, Celsti.
Geometría y experiencias, Ed. LONGAM, México
1995, Pp. 10 - 27
De aquí el uso del término Geometría, que en
griego significa medida de tierras.
En Egipto, la Geometría era un conjunto de
reglas y conocimientos empíricos con un
interés eminentemente práctico. Fue
posteriormente en Grecia, entre los siglos VI
y III a J.C., cuando adquirió un aspecto más
teórico, de la mano de los grandes
matemáticos: Tales, Pitágoras, Arquímedes,
Euclides, Apolonio, etcétera.
1.1. Recordando los elementos básicos de
Geometría
Todos los cuerpos que nos rodean ocupan
un lugar en el espacio, Se llama extensión
a la porción del espacio ocupado por un
cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones:
la longitud, la anchura y la altura, cada una
de las cuales se llama dimensión.
Hay cuerpos que se reducen a una sola
dimensión, como la línea, y otros a dos
dimensiones, como la superficie. El punto
es la mínima expresión de la extensión y,
por lo tanto, no tiene ni longitud, ni
anchura, ni altura; solamente nos indica
una posición en el espacio.
C
GEOMETRÍA DEL PLANO
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
38
ACTIVIDAD 1.1
a) Observa la fotografía anterior e indica
elementos que te sugieran la idea de
punto, línea, superficie y cuerpo
volumétrico.
b) Un rayo láser, ¿qué elemento
geométrico te sugiere? ¿Y una hoja de
papel?
c) ¿Es posible dibujar una línea recta en
toda su extensión? ¿y un plano?
1.2 Segmentos rectilíneos
Un segmento rectilíneo AB es la parte de
recta comprendida entre los puntos A y B.
¿Puedes dar ejemplos reales que te
sugieran la idea de segmento rectilíneo?
Observa que sobre una recta, un solo
punto A determina dos semirrectas, a la
izquierda y
a la derecha del mismo.
Para medir un segmento es necesario
adoptar una unidad patrón y compararla
con la longitud del segmento. Así, por
ejemplo, si queremos medir el segmento
AB y la unidad de medida es u.
Podemos comparar ambos segmentos con
la ayuda de un compás. El segmento AB
contiene exactamente 5 veces la unidad u.
En este caso, se dice que el segmento AB
mide 5 unidades de longitud.
ACTIVIDAD 1.2
a. Utilizando una regla sin graduar y un
compás construye un segmento que mida
3 veces la unidad u, u .
b. Tomando como unidad de medida u,
mide el segmento AB.
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
39
c. Observa que con otra unidad, por
ejemplo u’ = 2u, el segmento AB no
contiene a u’ un número entero de veces.
Esto nos indica que no todas las unidades
son adecuadas para medir un segmento.
De las unidades utilizadas históricamente,
las más convencionales responden a dos
sistemas:
1. Sistema Métrico Decimal (S. M. D.):
Mm. Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm
2. Sistema Anglosajón:
Milla, yarda, pie, pulgada,...
A lo largo del libro se utilizará
perfectamente el S. M. D.; pero recuerda
que la relación entre ambos sistemas es la
siguiente:
1 milla = 1.609,34 m
1 yarda = 0,9144 m
1 pie = 30,48 cm
1 pulgada = 2,45 cm
ACTIVIDAD 1.3
a. Utilizando la regla milimetrada mide
los dos segmentos que aparecen en la
actividad 1.2. Indica expresamente la
unidad de medida empleada. ¿Cuál sería el
resultado obtenido por un alumno del
English College que utiliza su sistema
anglosajón?
b. ¿Cuál es la unidad más idónea para
medir la distancia de Barcelona a Paría? ¿Y
la más idónea para medir las dimensiones
de una mesa de ping-pong?
c. ¿Cuántos kilómetros recorre un coche
que participa en la prueba de 500 millas en
el Circuito de Indianápolis?
Además de la regla y el compás como
instrumentos de medida, existen otros más
adecuados para medir ciertas piezas de
uno frecuente. Dos de los más conocidos
son el pie de rey y el tornillo micrométrico.
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
40
Cualquier libro de tecnología te orientará
sobre su manejo; con ellos es posible
medir con gran precisión piezas de
reducido tamaño.
ACTIVIDAD 1.4
a. Señala con una “x” los instrumentos
idóneos para medir el diámetro de una
canica.
-la regla - el tornillo micrométrico
-El compás - una cuerda
-el pie de rey
b. ¿Qué instrumento cree más adecuado
para medir las cotas 10.3 mm y 6,5 mm de
la figura?
¿Y para medir laminillas de oro de 0.03
mm de grosor, como las
utilizadas en joyería?
c. Para medir el grosor de un paquete de
1 000 hojas de papel, ¿qué instrumento
utilizarías y cómo deducirías el grosor cada
una de ellas?
Ejercicios:
1. El tamaño de una pantalla de televisor
se expresa mediante pulgadas (“). Así, por
ejemplo, se habla de televisores de 16”,
20”, 22”, etc., aludiendo a la medida de la
diagonal de su pantalla. Infórmate de las
pulgadas de tu televisor y, puesto que 1”
equivale a 2,54 cm, averigua el –tamaño-
de la pantalla de tu televisor en cm.
Verifica el resultado con una cinta métrica.
2. En la etiqueta de un carrete de hilo de
pescar se puede leer que la longitud de hilo
es de 50 yardas, ¿Cuántos metros de hilo
contiene dicho carrete?
3. La balanza también es un buen
instrumento para medir la longitud de un
rollo de alambre. Para ello, basta pesar 1
m de alambre del mismo tipo y a
continuación el rollo completo. Razona el
por qué este método nos permite
determinar la longitud del rollo.
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
41
4. Hemos estudiado diferentes unidades de
longitud; sin embargo, para distancias
astronómicas se utiliza otra unidad más
idónea, como es el año-luz (distancia que
recorre la luz en un año). Puesto que la
luz viaja a 300.000 km/s, averigua la
distancia en km a la que se encuentra la
estrella más próxima a nosotros (Alfa de
centauro) sabiendo que ésta se halla a 4,3
años/luz de la Tierra.
5. ¿Cuál de los dos segmentos AB y CD es
el más largo? Utiliza una regla graduada
para medir cada uno de ellos y no te fíes
de lo que te dicen tus sentidos. ¡A veces
los sentidos Traicionan!
1.3 ÁNGULOS: MEDIDA Y
CLASIFICACIÓN
Angulo es la parte del plano comprendida
entre dos semirrectas que parten de un
punto común llamado vértice, como se
aprecia en la siguiente figura:
Indicaremos por ∠AOB el ángulo de vértice
O y semirrectas OA y OB. En otras
ocasiones utilizaremos simplemente la
notación ô, aludiendo a su vértice
En realidad, dos semirrectas determinan
dos ángulos, como se observa en la figura,
si bien consideraremos como ángulo ∠AOB
el menor de los dos.
El ángulo formado por dos semirrectas
alineadas se llama ángulo llano. La mitad
del ángulo llano es un ángulo recto.
Experiencia: Construcción de ángulos
plegando papel
Toma una hoja de papel y dóblala una vez
para obtener un pliegue. Observa que
logras un ángulo llano. Si vuelves a doblar
haciendo coincidir el pliegue sobre sí
mismo, observarás que obtienes un ángulo
recto.
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
42
Con este patrón, ¿cómo harías para
conseguir:
a. ½ recto y ¼ recto?
b. ¾ de recto y
2
3
de recto?
c. 4 rectos?
Se hace necesario dar unidades patrón
más pequeñas y precisas que las obtenidas
en la experiencia anterior a fin de medir
ángulos. Xagesimal, a cada una de ellas.
Esta es la unidad más usual.
1 recto = 90°
Te sugerimos que midas los ángulos de la
experiencia anterior y que des el resultado
en grados sexagesimales.
El instrumento más utilizado para medir
ángulos es el transportador de ángulos.
Para ángulos menores de 1° se utilizan
unidades más pequeñas como son el
minuto y el segundo sexagesimal.
1° = 60 minutos sexagesimales = 60’
1’ = 60 segundos sexagesimales = 60 “
Esta subdivisión en 60 partes más
pequeñas de cada unidad es la razón por la
que el sistema de medida recibe el nombre
de sistema sexagesimal.
ACTIVIDAD 1.5
a. Utilizando el transportador de
ángulos, mide los ángulos de tu juego de
escuadras.
b. Con la ayuda de la escuadra,
dibuja ángulos de amplitud: 75°, 105°,
150°, 15°, 120°, 210°, 135°, y 225°,
basándote en los esquemas siguientes
según convenga.
La actividad anterior permite visualizar un
método para calcular la suma y la
diferencia de ángulos; sin embargo, un
método algebraico más propio para
ángulos que estén expresados en grados,
minutos y segundos viene reflejado en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Averiguar la suma y la diferencia de los
ángulos A = 46° 15’ 42” y B = 22° 41’ 30”.
Procederemos del siguiente modo:
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
43
Ejercicios:
1. Conociendo los ángulos A = 98° 19’ 13”
y B = 43° 35’ 58”, averigua la amplitud de
los ángulos A + B y A - B.
2. Si hacemos la operación con
calculadora, aparecen en pantalla el
resultado de 32,71° ¿Puedes decir cuántos
grados, minutos y segundos nos quiere
indicar?
1.3.1. CLASIFICACIÓN DE
ÁNGULOS:
egún la mayor o menor abertura
de un ángulo, éste puede ser recto,
agudo u obtuso.
El ángulo agudo es el que mide menos que
un recto, mientras que el ángulo obtuso
mide más que un recto.
Dos ángulos son complementarios si su
suma es 90°, o sea, un recto. Cada uno es
complemento de otro.
Dos ángulos son suplementarios si su suma
vale 180°, o sea, un llano. Cada uno es
suplemento de otro.
ACTIVIDAD 1.6
a. Clasifica los ángulos que observas
en la figura según su abertura, haciendo
uso del transportador de ángulos en caso
necesario.
b. Dibuja dos
ángulos consecutivos de
amplitud 52° y 37°
respectivamente. ¿Son
complementarios? ¿Y
suplementarios? Justifica tu respuesta.
c. El suplementario de un ángulo
obtuso ¿qué tipo de ángulo es? ¿Y el de un
ángulo agudo? ¿Y el de uno recto?
d. ¿Pueden dos ángulos agudos ser
suplementarios? ¿Y complementarios?
Razona tu respuesta.
EJERCICIOS
1. Calcula el complementario y el
suplementario de 30° 28’ 16” de amplitud.
2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un
ángulo de amplitud ¾ de un recto?
¿Cuánto mide su ángulo suplementario?
3. ¿Cuál es el complementario del ángulo
diferencia de los de amplitud A = 70° 27’ y
B = 37° 54’?
S
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
44
ACTIVIDAD 1.7
a. Completa el cuadro siguiente para
los distintos tipos de ángulos que aparecen al
cortar dos rectas paralelas por una secante.
b. Si 2 = 30°, ¿puedes decir cuánto
miden los otros 7 ángulos sin usar el
transportador?
c. Con los resultados del apartado
anterior, compara las parejas que figuran en
cada recuadro de la tabla que aparece en el
apartado a, y deduce la propiedad que las
caracteriza.
Dos herramientas muy utilizadas en
carpintería son la sierra y la guía que
observas en la fotografía. Dicho montaje es
un caso particular de la actividad anterior.
Experiencia: Descubriendo las propiedades
de un parquet.
El modelo de piezas de parquet diseñado
por la fábrica Serratus, S.A. es el
siguiente:
a. Los segmentos AB ,
IJGHEFCD ,,, , .... son segmentos
paralelos determinados por las rectas-guías
paralelas. Mídelos y comprueba si son
iguales.
En general se cumple que:
Dos paralelas cortadas por otras dos
paralelas, determinan sobre las primeras
segmentos iguales.
b. ¿Cuántas piezas diferentes observas?
c. ¿Utiliza el fabricante los principios
básicos de la actividad anterior? Justifica tu
respuesta.
d. Con las piezas de este fabricante,
diseña un parquet para tu propia
habitación. Dos buenos ejemplos podrían
ser los de la figura.
ALTER
NOS
INTER
NOS
ALTER
NOS
EXTE
RNOS
CORR
ESPO
NDIE
NTES
OPUE
STOS
POR
EL
VÉRTI
CE
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
45
e. Si las piezas son coloreadas son
iguales, ¿qué puedes decir de los ángulos A,
A’, A”,...? ¿Y de los ángulos B, B’, B”,...?
compara ambos tipos de ángulos, A y B, y
deduce si son suplementarios
En general se cumple:
Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y
ambos son agudos u obtusos, entonces son
iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso,
entonces son suplementarios.
En términos análogos, se puede enunciar
que:
Si dos ángulos tienen sus lados
respectivamente perpendiculares, y ambos
son agudos u obtusos, entonces son iguales;
pero si uno es agudo y otro obtuso, son
suplementarios.
1.3.2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:
a recta que divide un ángulo en dos
partes iguales se llama bisectriz.
El trazado de la bisectriz de un ángulo,
mediante regla y compás, se muestra en la
figura adjunta, donde el punto C se obtiene
trazando arcos de igual radio con centros
en A y en B. Al unir O con C obtenemos la
bisectriz de ∠AOB.
Tú mismo puedes comprobar, haciendo uso
del transportador, que la recta OC es la
bisectriz de dicho ángulo.
L
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
46
1.2. PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD
eguramente, vistas como las de la
fotografía superior te son
familiares. ¿Te has puesto a pensar
que las vías del tren sugieren la idea de
rectas paralelas? Recuerda que dos rectas
son paralelas cuando, por más que se
prolonguen, nunca se encuentran.
Observa, sin embargo, que las vías del tren
con los travesaños que las fijan al suelo,
ilustran la idea de rectas perpendiculares,
ya que forman ángulo recto.
Asimismo, en la fotografía observamos
cómo una vía cruza las otras dos, lo que
sugiere la idea de rectas oblicuas.
ACTIVIDAD 1.8
a. En el aula, ¿qué elementos te
sugieren rectas paralelas, perpendiculares
y oblicuas?
b. Responde razonadamente y, si lo
crees necesario, dibuja la figura.
- Si una recta es paralela a otra y ésta
lo es a una tercera, ¿cómo son entre sí la
primera y la tercera?
- Si una recta es paralela a otra y ésta
es perpendicular a una tercera, ¿cómo son
la primera y la tercera entre sí?
- Si una recta es perpendicular a otra y
ésta es paralela a una tercera, ¿cómo son
la primera y la tercera?
- Si una recta es perpendicular a otra y
ésta lo es a una tercera, ¿cómo son la
primera y la tercera?
Todas las consideraciones anteriores están
basadas en los axiomas y postulados de la
geometría euclidiana y recogidos en la
obra de Euclides (s. III a. J.C.), los
elementos, donde se halla recopilado, de
un modo sistemático y bien organizado,
todo el saber matemático conocido hasta
su época.
Acerca de Euclides, J. Babini en su libro
Historia su cinta de la matemática, nos
dice:
“Casi nada se sabe de Euclides, fuera de
las noticias que menciona Proclo en su
resumen histórico, según el cual Euclides
S
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
47
fue un sabio alejandrino que floreció hacia
el 300 a. De C., que publicó numerosas
obras científicas, destacándose entre ellas
los célebres Elementos, cuya importancia
científica y didáctica se pone en evidencia
ante el hecho de que hasta hace pocos
años eran aún utilizados como texto
escolar. Por lo demás, este tratado fue
siempre considerado como sinónimo de
geometría, y su extraordinaria difusión le
permite rivalizar con las obras cumbres de
la literatura universal: la Biblia, la Divina
Comedia, el Quijote....
Los Elementos no contiene toda la
geometría griega, ni es un resumen de
toda ella; sin duda contiene una gran parte
de la matemática que los griegos
anteriores a Euclides y el propio Euclides
elaboraron, pero esa parte no fue tomada
al azar, sino seleccionada de acuerdo con
un criterio prefijado que convierte a ese
conjunto de conocimientos en un sistema.
Esta tendencia al sistema es tan vigorosa
en Euclides, y tan rígido en su resultado,
que no sólo no se conocen elementos
posteriores a los de Euclides, sino que
éstos han servido de modelo a un tipo de
construcción científica, de método
científico, que usado desde entonces en la
matemática, se extendió y se extiende
actualmente a otros sectores científicos.
Por supuesto que los Elementos, ni por
su contenido ni por su orientación, son
fruto exclusivo de Euclides; su contenido
proviene en gran parte de los pitagóricos y
de Eudoxo, y en su orientación han influido
especialmente Platón y Aristóteles. Del
platonismo, del cual era adepto, Euclides
tomó la independencia de la ciencia de
toda finalidad práctica y por lo tanto la
abstracción y la primacía del conocer sobre
el hacer; de Aristóteles tomó el riguroso
método deductivo, la separación entre
principios y teoremas, y la distinción de los
principios en definiciones y axiomas.
El método euclídeo, que actualmente se
prefiere denominar método axiomático,
consiste en denunciar previamente los
supuestos e hipótesis básicos sobre los que
se construirá la ciencia, y edificar luego
ésta en forma rigurosamente deductiva.
Este método es de difícil realización, tanto
por la elección de las hipótesis básicas
como por el desarrollo deductivo, de ahí
que la crítica moderna haya denunciado
que en los Elementos el método
axiomático no aparece revestido de todas
las precauciones necesarias, ni cumple con
todas las exigencias que le impone la
lógica; circunstancias que evidentemente
no disminuyen el mérito de Euclides de
haber aplicado por primera vez, hace 23
siglos, un método fecundo para la ciencia.
Los Elementos comprenden 13 libros,
la mayoría de los cuales se abren con una
serie de definiciones, a las que en el libro 1
se agregan los axiomas, que Euclides,
distribuye en dos grupos: postulados y
nociones comunes.”
J. Babini
Historia sucinta de la Matemática
Ed. Espasa Calpe
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
48
El más conocido de los postulados es el
llamado quinto postulado de Euclides,
según el cual, por un punto exterior a una
recta se puede trazar una paralela a ella y
solamente una.
El libro de los Elementos, vigente aún en
nuestros días, ha servido como texto único
de matemáticas hasta finales del siglo XIX,
momento en que aparecieron otras nuevas
geometrías de la mano de Gauss,
Lobatchewski, Bolyay y Riemann. Estas
geometrías, llamadas geometrías no
euclidianas, se basan en la negación del
quinto postulado de Euclides, si bien
conservan los restantes.
Es preciso aclarar que las distintas
geometrías no son contradictorias entre sí,
sino complementarias. En nuestro libro
nos limitaremos al estudio de la geometría
euclidiana.
Autorretrato
De M. C. Escher
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
49
ACTIVIDAD 1.9
El quinto postulado del libro Elementos de
Euclides fue aceptado de forma inmediata
por su evidencia frente a los sentidos; sin
embargo, en ocasiones, nuestros sentidos
nos encubren realidades muy diferentes.
Un buen ejemplo lo puedes observar en las
figuras siguientes:
¿Son rectas las dos líneas verticales de
cada una de las figuras? ; ¿son paralelas?
Sirviéndote de una regla, mide a distintas
alturas y confirma la veracidad o falsedad
de tu respuesta.
Observa hasta qué punto los sentidos
pueden llegar a traicionarnos, detalle que
llevó a los geómetras del siglo XIX a
descubrir las geometrías no euclidianas, al
poner en entredicho el quinto postulado de
Euclides.
De la actividad anterior se puede extraer la
siguiente conclusión:
En geometría, y en matemáticas en
general, la intuición no es válida como
método de demostración.
1.4.1 TRAZADO DE PARALELAS Y
DE PERPENDICULARES
eamos a continuación algunos
métodos de dibujo para el trazado
de paralelas y de perpendiculares
haciendo uso de la regla, el compás y la
escuadra.
a. Paralela a una recta r por un
punto P:
La primera figura muestra la escuadra
deslizándose sobre la regla hasta alcanzar
el punto P.
En la segunda figura, los arcos y sus
centros respectivos están indicados con el
mismo color, siendo iguales los radios de
los arcos con centros en A y A’. La recta
PP’ es la paralela a r por P.
Observa que esta recta paralela a r por el
punto P es única, tal como asegura el
quinto postulado para la geometría
euclidiana.
b. Perpendicular a una recta r por un
punto P:
La primera figura no precisa ningún
comentario. Por lo que respecta a la
V
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
50
segunda, el punto P’ se obtiene de trazar
arcos de igual radio con centro en A y B.
La recta PP’ es la perpendicular a r por P.
Por último, en la tercera figura, para el
caso de que el punto P se halle sobre la
recta r, trazamos la circunferencia con
centro arbitrario O y radio OP. El diámetro
trazado por A nos da el punto P’, siendo la
recta PP’ la perpendicular deseada.
1.4.2 TRAZADO DE PARALELAS Y
DE PERPENDICULARES
a mediatriz de un segmento es la
recta perpendicular a dicho
segmento por su punto medio.
El trazado de la mediatriz se hace como
muestra la figura. En ella se han trazado
con centro en A y B arcos de igual radio
que determinan los puntos P y Q. La recta
PQ es la mediatriz del segmento AB.
ACTIVIDAD 1.10
a. Dibuja un segmento de unos 8 cm y
determina su mediatriz.
b. Elige un punto arbitrario de la
mediatriz y mide su distancia respectiva a
los extremos del segmento. ¿Qué
observas? Prueba con otros puntos de la
mediatriz. ¿Te atreves a dar un criterio
general para todos los puntos de la
mediatriz?
1.4.3. PROYECCIÓN ORTOGONAL
magina el dardo de la figura
cayendo verticalmente por su
propio peso sobre la recta r. El
punto de impacto P’, de la punta P
del dardo con la recta r, se llama
proyección ortogonal de P sobre r.
Observa que decir ortogonal equivale a
decir perpendicular.
Si lo que pretendemos es proyectar un
segmento PQ sobre la recta r, bastará
proyectar los extremos P y Q del segmento
y unirlos entre sí.
L
I
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
51
ACTIVIDAD 1.11
a. La línea ABCDE de la figura se llama
línea poligonal. Dibuja su proyección
ortogonal sobre la recta r.
b. Si un segmento mide 3 cm, ¿Cuánto
puede medir su proyección sobre una recta
según las distintas posiciones del
segmento? ¿En qué caso su proyección
sería un punto? ¿En algún caso será de 3
cm?
c. A continuación aparecen distintas
proyecciones de un punto sobre una recta.
¿Cuál de estas proyecciones no es
ortogonal? Justifica tu respuesta.
GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
52
Op Cit, Pp. 28 - 47
1.3. Polígonos
ecuerda del tema anterior lo que
es una línea poligonal. ¿Puedes dar
una definición de ésta?
__________________________________
_________________________________
Las líneas poligonales pueden ser abiertas
o cerradas, tal como lo muestran las
figuras:
Polígono es la superficie plana limitada por
una línea poligonal cerrada.
La palabra polígono proviene del griego y
está compuesta por poli (varios) y gono
(ángulos). Con frecuencia, observarás que
muchos de los términos utilizados en
geometría proceden del griego, este hecho
no nos debe extrañar, ya que fue en la
Antigua Grecia donde la geometría adquirió
un gran relieve.
En la figura adjunta observarás los
elementos básicos de un polígono:
vértices, lados, diagonales, ángulos
interiores y exteriores. Define con tus
propias palabras cada uno de ellos.
1.3.1 CLASIFICACIÓN DE
POLÍGONOS
tro elemento básico de todo
polígono es su perímetro. El
perímetro de un polígono es la
suma de las longitudes de sus lados.
Según el número de lados de los polígonos,
éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, hexágonos, heptágonos,
octógonos, eneágonos, decágonos.....
En la tabla adjunta puedes observar los
prefijos griegos de los polígonos que tienen
más de cuatro lados.
5-
penta
8-octo 11-
undeca
---
6-hexa 9-enea 12-
dodeca
20-
icosa
7-
hepta
10-
deca
--- ---
R
O
LOS POLÍGONOS
LOS POLIGONOS_________________________________________________
53
El polígono que tiene todos sus lados y
todos sus ángulos iguales se dice que es un
polígono regular.
En éstos, y sólo en éstos, aparecen dos
nuevos elementos: centro y apotema.
El centro de un polígono regular es el
punto interior que se halla a igual distancia
de sus vértices, y la apotema es el
segmento perpendicular desde el centro a
uno cualquiera de los lados. También
podemos decir que la apotema es el
segmento determinado por el centro y el
punto medio de uno de los lados.
ACTIVIDAD. 2.1.
a. Utilizando la tabla anterior, relaciona el
nombre de los polígonos con su número de
lados.
b. ¿Pueden existir polígonos con menos de
tres lados? Justifica tu respuesta.
c. Ayudándote con la regla y el
transportador descubre qué polígonos son
irregulares, y calcula en cm el perímetro de
cada uno de ellos.
d. ¡Dos hexágonos diferentes! Uno cóncavo
y otro convexo.
Dibuja a mano alzada un pentágono
cóncavo y otro convexo.
1.3.1SUMA DE LOS ÁNGULOS
INTERIORES DE LOS POLÍGONOS
CONVEXOS
a. Con la ayuda del transportado, mide
los ángulos del triángulo de la figura y
comprueba que suman 180°. Puede ocurrir
que por errores de precisión no te salga
180°; en tal caso te recomendamos que
LOS POLIGONOS_________________________________________________
54
recortes las puntas del triángulo y las
adjuntes en posición de suma de ángulos.
Observa así que su suma es 180°
b. Dibuja varios triángulos diferentes y
comprueba que en todos ellos el resultado
es el mismo. Observa que:
En todo triángulo, la suma de los ángulos
interiores es de 180°.
c. Dibuja polígonos convexos de distinto
número de lados. Completa la tabla
calculando el número de triángulos
obtenidos en cada polígono al trazar
diagonales desde un vértice.
Polígono
Número
de
lados
Número
de
triángulos
Suma de
los
ángulos
interiores
Triángulo 3 1 180º
Cuadrado 4 2 180º x
2
Pentágono 5
Heptágono 7
Octágono 8
Polígono
de n lados
n n - 2
Observa que:
Puesto que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180°, en un
polígono, la suma de sus ángulos interiores
será 180°(n – 2).
d. Recordando que los polígonos
regulares tienen los ángulos interiores
iguales, averigua cuánto mide cada uno de
ellos en los distintos casos del apartado c y
refleja el resultado de la columna vacía de
la tabla anterior.
Observa que:
En todo polígono regular en n lados, cada
ángulo interior mide:
( )
n
n 2180 −°
EJERCICIOS:
LOS POLIGONOS_________________________________________________
LOS POLIGONOS__________________________
55
1. ¿Puede ser que algún polígono no tenga
diagonales? Justifica tu respuesta. En caso
afirmativo, indica cuál o cuáles son.
2. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un
pentágono convexo? ¿Y en un polígono
convexo de n lados?
3. La suma de todos los ángulos interiores de
un polígono convexo es de 1.080°,
¿cuántos vértices tiene? ¿Cuántas
diagonales? En el caso de que fuese
regular, ¿cuánto valdría el ángulo central,
formado al unir dos vértices consecutivos
con el centro?
1.3.3 UN POLÍGONO MUY
PARTICULAR: LA CIRCUNFERENCIA
l número de lados de un polígono
puede ser tan grande como se
quiera; así, por ejemplo, es posible
construir polígonos regulares de 20 lados
(icoságono), de 100 lados, 1.00 lados,
etcétera. Al aumentar el número de lados,
éstos se hacen cada vez más pequeños. Si
pudiésemos construir polígonos regulares
de una infinidad de lados, sucedería que
cada uno de ellos no sería un segmento,
sino un punto, con lo cual habríamos
construido un polígono muy particular, la
circunferencia, caracterizada por el hecho
de que todos sus puntos están a igual
distancia del centro.
Reconocemos en la circunferencia los
mismos elementos que aparecían en los
polígonos regulares, si bien, algunos
reciben nombres diferentes.
El radio de la circunferencia equivale a la
apotema del polígono regular, y la longitud
de la circunferencia al perímetro de éste.
El círculo es la porción de plano interior a
la circunferencia.
Por tanto, no confundas circunferencia
con círculo. La circunferencia es una línea
y el círculo es una superficie.
el añillo sugiere la
idea de
circunferencia y la
moneda de circulo.
TRAZADO DE POLÍGONOS
REGULARES
1.3.4 TRAZADO DE POLÍGONOS
E
LOS POLIGONOS___________________________
56
REGULARES
l trazado de polígonos regulares a
mano alzada es prácticamente
imposible, como tú mismo puedes
comprobar. Por ello se hace necesario
recurrir a métodos de dibujo. A continuación
exponemos dos métodos para construir un
polígono regular.
a. Conocido el lado del polígono: Sea L el
lado. Trazamos dos arcos desde sus
extremos y obtenemos el centro B, y
describimos una circunferencia que nos
contendrá seis veces al lago. El radio de
ésta, AB, lo dividiremos en seis partes
iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y
6.
Si hacemos centro en 1 y radio hasta C,
dibujaremos una
circunferencia que
contiene ocho veces
el lado L y así
sucesivamente hasta
llegar a tomar como
centro el punto 6 y radio hasta C, lo que
permite dibujar una circunferencia que
contiene doce veces al lado L.
b. Dada una circunferencia: Uno de los
problemas que con más frecuencia nos
encontraremos será la necesidad de tener
que dividir la circunferencia en un número
determinado de partes iguales. A pesar de
que existen diversos procedimientos,
exponemos aquí el más conocido y que
podemos llamar general porque sirve para
todos los casos que se nos puedan
presentar.
Empezaremos por dibujar la circunferencia
dada. El diámetro AB lo dividiremos en un
número de partes igual al que queremos
dividir la circunferencia, en este caso siete.
Tomando como radio el diámetro de la
circunferencia y centro en los extremos de
éste, A y B, describimos dos arcos que al
cortarse nos darán el punto C.
Se une mediante una recta el punto C con
el 2 y se prolonga, obteniendo el D. El
arco AD es la séptima parte del total de la
circunferencia. En todos los casos se opera
del mismo modo, teniendo siempre
presente que la recta que une el punto
exterior C ha de pasar por el 2 (segunda
división del diámetro.) (Para dividir un
segmento en n de partes iguales ver Pág.
49).
1.3.5 POLÍGONOS REGULARES
TRELLADOS
E
LOS POLIGONOS___________________________
57
na de las figuras más bellas
en geometría y muy
utilizada en el arte de la
lacería árabe la constituyen los
polígonos estrellados, obtenidos al
unir vértices no consecutivos de los
polígonos regulares.
Así por ejemplo, si consideramos
un pentágono regular y unimos
sus vértices saltando de dos en dos,
obtenemos la estrella pentagonal. Esta
estrella sirvió de emblema a la escuela
pitagórica fundada por Pitágoras en
Crotona, en el siglo VI a J.C.
Por otra parte, sin embargo, la estrella de
Israel o hexágono estrellado, obtenido a
partir del hexágono regular mediante
saltos de dos vértices, no puede ser
dibujada de un solo trazo. De todo lo
anterior podemos concluir que existen dos
tipos de polígonos estrellados, según estén
construidos con uno o con varios trazos.
ACTIVIDAD 2.3.
a. Traza una circunferencia y divídela
en ocho partes iguales. Une los puntos
saltando de dos en dos. Utilizando otro
bolígrafo de diferente color, dibuja sobre la
misma circunferencia el polígono estrellado
que se obtiene al unir los ocho puntos
mediante saltos de tres en tres.
b. Repite la experiencia anterior
pero en este caso dividiendo la
circunferencia en 7 partes iguales.
c. De los apartados anteriores,
observa que en los polígonos
estrellados de un solo trazo, el
número de vértices y la amplitud del
salto son números primos entre sí.
Traza todos los polígonos estrellados
posibles de un solo trazo de 15
vértices. ¿Por qué no son de un solo trazo
de saltar de 3 en 3 y de 5 en 5?
1.4.TRIÁNGULOS
Recordemos del apartado anterior que el
triángulo es un polígono de tres lados, y
por tanto el más sencillo de los polígonos
que se pueden construir.
3.1. CLASIFICACIÓN DE
TRIANGULOS
tendiendo a la longitud de sus
lados, los triángulos pueden ser
equiláteros, isósceles o escalenos.
Los triángulos equiláteros tienen sus tres
lados iguales, los isósceles tienen dos lados
iguales y uno desigual, y por último, en los
triángulos escalenos sus tres lados son
desiguales.
Por otra parte, atendiendo a la amplitud de
sus ángulos, los triángulos pueden ser
rectángulos, obtusángulos o acutángulos
según tengan respectivamente un ángulo
U
A
58
recto, un ángulo obtuso o bien los tres
ángulos agudos.
En los triángulos rectángulos los lados que
determinan el ángulo recto se llaman
catetos, y el lado opuesto al ángulo recto,
hipotenusa.
La base de un triángulo puede ser uno
cualquiera de sus lados, y en tal caso, su
altura es la perpendicular bajada a la base, o
a la prolongación de ésta, desde el vértice
opuesto.
ACTIVIDAD 2.4
Recordando que los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°, responde justificando
tu respuesta:
a. ¿Puede un triángulo tener más de un
ángulo recto? ¿Y más de un ángulo
obtuso?.
b. ¿Cómo son los ángulos que se oponen a
los lados iguales de un triángulo isósceles?
¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo
equilátero y cuánto mide cada uno de
ellos?
c. Completa la tabla siguiente dibujando a
mano alzada todos los posibles tipos de
triángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Rectángulo No existe
T1 T2 T3
Obtusángulo No existe
T4 T5 T6
Acutángulo
T7 T8 T9
T6 es escaleno y obtusángulo y T8 es
isósceles y acutángulo
¿Por qué crees que no es posible dibujar
triángulos de los tipos T1 y T4?
d. En un triángulo rectángulo, ¿cuánto
suman sus ángulos agudos? Si el triángulo
rectángulo fuera isósceles, ¿cuánto mediría
cada ángulo agudo?
e. ¿Qué tipos de triángulos te sugieren
cada una de las escuadras de tu juego?
EXPERIENCIA: MANIPULANDO
TRIÁNGULOS
LOS POLIGONOS_________________________________________________
LOS POLIGONOS__________________________
59
on tiras de papel perforadas en sus
extremos podemos construir un
triángulo uniendo simplemente las
tiras con broches latonados de patitas, como
muestra la figura adjunta.
Construye tus propios triángulos con tiras
de papel perforado de 6, 6 y 9 cm, así
como con tiras de 12, 15 y 21 cm.
¿Es posible construir un triángulo con tiras
de 6, 9 y 18 cm? Ayúdate con la figura
adjunta.
un criterio general para que tres
segmentos formen triángulo es el
siguiente:
Tres segmentos forman un triángulo si la
suma de dos cualesquiera de ellos es
mayor que la del otro.
1.4.2 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
ara construir triángulos es preciso
conocer tres de sus elementos. En
cada caso se procede como vemos
a continuación:
a) Conocidos los tres lados a, b y c:
Sobre uno de ellos, hacemos centro en sus
extremos y con radios iguales a los otros
dos, se trazan arcos hasta que se corten.
b) Con dos lados a y b, y el ángulo
comprendido C: Se dibuja dicho ángulo, y
a partir del vértice, distancias iguales a los
lados dados definen el triángulo.
c) Con un lado a y los dos ángulos
adyacentes B y C: Se dibuja sobre los
extremos del lado dichos ángulos,
obteniéndose así el triángulo.
Criterios de igualdad:
Dos triángulos son iguales si coinciden al
superponerlos. No es preciso comprobar la
igualdad de sus tres lados y de sus tres
ángulos; basta conocer la igualdad de
alguno de estos elementos.
C
P
LOS POLIGONOS__________________________
60
I. Dos triángulos son iguales si
tienen los tres lados iguales uno a uno.
II. Dos triángulos son iguales si
tienen iguales un lado y dos ángulos.
III. Dos triángulos son iguales si
tienen iguales dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos.
Observa que la justificación de estos
criterios de igualdad está basada en las
tres construcciones expuestas
anteriormente.
Algunos textos de geometría enuncian el
segundo criterio en los siguientes
términos: -Dos triángulos son iguales si
tienen iguales un lado y sus dos ángulos
adyacentes-. Pero, ¿por qué no es preciso
que los dos ángulos sean los adyacentes al
lado conocido?
1.4.3. PUNTOS NOTABLES DE UN
TRIÁNGULO. RECTA DE EULER
e hace preciso en este momento
tener bien presentes algunos
conceptos básicos expuestos con
anterioridad, tales como mediatriz de un
segmento, bisectriz de un ángulo y
perpendicular a una recta por un punto
exterior a ella, por lo que sería conveniente
que refrescaras previamente estos
conceptos.
ACTIVIDAD 2.5
a. Sobre un triángulo ABC, dibuja con regla
y compás las mediatrices correspondientes
a los tres lados y constata que las tres se
cortan en un punto al que llamaremos
circuncentro.
Observa que con centro en dicho punto
podemos trazar una circunferencia que
pase por los tres vértices, llamada
circunferencia circunscrita al triángulo. A
su vez, el triángulo está inscrito en la
circunferencia.
b. Dibuja las tres alturas del triángulo ABC
y comprueba que se cortan en un punto al
que denominaremos ortocentro.
c. La recta que pasa por un vértice y el
punto medio de lado opuesto se llama
mediana. Dibuja sobre el triángulo ABC las
tres medianas y comprueba que se cortan
S
LOS POLIGONOS____________________________
61
en un punto al que nombraremos
baricentro.
Observa que: la distancia de cada vértice
al baricentro es
3
2
de la distancia del
vértice al punto medio del lado opuesto
(líneas azules, líneas paralelas)
d. En el triángulo ABC, dibuja las
bisectrices de los tres ángulos y comprueba
que se cortan en un punto al que se
designa con el nombre de incentro.
Observa que con centro en dicho punto
podemos trazar una circunferencia
tangente a los tres lados del triángulo,
llamada circunferencia inscrita al triángulo.
Y también, el triángulo está circunscrito a
la circunferencia.
e. Es curioso hacer notar que en cualquier
triángulo, el circuncentro, ortocentro y
baricentro están alineados en una recta
llamada recta de Euler.
Experiencia: visualizando la recta de Euler
Las figuras adjuntas te muestran el
circuncentro, ortocentro y baricentro de un
triángulo ABC y sus respectivas
construcciones. Copia en diferentes hojas
de papel transparente cada una de ellas y
observa que al superponerla, haciendo
LOS POLIGONOS____________________________
62
coincidir los lados del triángulo,
visualizarás a contraluz la recta de Euler
que pasa por los tres puntos mencionados.
Este hecho no es fortuito. Compruébalo
asimismo para los siguientes triángulos.
63
Experiencia: Localizando el punto de
gravedad de un triángulo
En todo triángulo el baricentro resulta ser
su centro de gravedad (punto donde se
concentra su masa) Compruébalo con un
triángulo de cartón, haciendo pasar por el
mismo un hilo anudado en su extremo y
observando que se mantiene en posición
horizontal o de equilibrio.
Repite la experiencia pasando el hilo por
otro punto distinto del baricentro.
EJERCICIOS:
1. De un triángulo isósceles sabemos que
su perímetro es 23 cm y que uno de sus
lados iguales mide 9 cm. ¿Cuánto medirá
el lago desigual?
2. ¿Hay algún caso en que los cuatro
puntos notables de un triángulo incentro,
circuncentro, ortocentro y baricentro,
coincidan? Justifica tu respuesta.
3. El baricentro de un triángulo se
encuentra a 6 cm de uno de sus vértices.
¿Cuál es la longitud de la mediana
correspondiente a dicho vértice?
4. Sobre los lados iguales AB y AC de un
triángulo isósceles se toman dos
segmentos BP y CQ respectivamente
iguales a AC y AB. Demuestra, haciendo
uno de uno de los criterios de igualdad de
triángulos, que BQ = CP.
5. ¿Pueden ser los ángulos de un triángulo
la mitad de los de otro? ¿Y sus lados?
Razona la respuesta.
6. Judith tiene la curiosidad de saber la
altura a que se encuentra la ventana de su
habitación, y para ello, con la ayuda de
una escuadra y un taburete de un metro de
altura, crea la situación descrita en el
dibujo adjunto. ¿A qué altura, sobre el
suelo, se encuentra la ventana de Judith?
(recuerda que los ángulos agudos de la
escuadra miden 45°).
7. El lado mayor de un triángulo es 8/5 de
lado menor y éste es 5/6 del lado mediano.
Sabiendo que el perímetro es 38 dm,
determina la longitud de los tres lados.
LOS POLIGONOS_________________________________________________
64
1.4.CUADRILÁTEROS
ecuerda que el cuadrilátero es un
polígono de cuatro lados. Sin
duda, es uno de los polígonos que
resulta más familiar, basta observar el
plano de un piso para comprobar que está
compuesto en su mayoría por piezas en
forma de cuadriláteros. No obstante, no
todos los cuadriláteros tienen la misma
forma, por lo que vamos a clasificar cada
uno de ellos
1.3.1CLASIFICACIÓN DE
CUADRILATEROS
ACTIVIDAD 2.6.
Paralelogramos
(lados
paralelos dos a
dos)
Cuadrado
Rectángulo Lados iguales dos a dos
y los cuatro ángulos
rectos
Rombo
Romboide
Trapecios (solo
dos lados
paralelos)
Trapecio
rectángulo
Sección
inferior de
un
triángulo
rectángulo
por una
base
paralela a
la base
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
Trapezoides
(ningún lado
paralelo)
Trapezoide
EXPERIENCIA: LOS
CUADRILÁTEROS Y EL TANGRAM
Conoces algún juego de tangram?
Estos consisten en obtener
diferentes figuras según la
colocación de algunas piezas básicas. A
continuación te proponemos la
construcción de uno de ellos sobre el
anagrama de la Cruz Roja. Este anagrama
está descompuesto en 8 tipos diferentes de
R
¿
LOS POLIGONOS_________________________________________________
LOS POLIGONOS__________________________
65
cuadriláteros. Identifica cada uno de ellos,
pasando después a calcar la figura con el
fin de poder recortar sus piezas básicas.
Una vez recortada, intenta recomponer el
anagrama.
Otra figura posible a partir de este tangram
es la siguiente:
¿Sabrías componerla con las piezas
básicas?
1.5.2. PROPIEDADES DE LAS
DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO
-Cada diagonal divide un
paralelogramo en dos triángulos
iguales: En efecto: ya que  =  y
∠B = ∠B por ser alternos internos entre
paralelas, y además la diagonal es lado común
a los dos triángulos, lo que nos sitúa en el
criterio II de igualdad de triángulos.
2. Las diagonales de cualquier paralelogramo
se cortan en su punto medio.
3. En el rombo y en el cuadrado, las diagonales
se cortan perpendicularmente, siendo a la vez
bisectrices de sus ángulos.
4. En el rectángulo y el cuadrado, las
diagonales son iguales.
ACTIVIDAD 2.7
a. Comprueba la propiedad 1 vista
anteriormente, recortando los triángulos de
un paralelogramo y superponiéndolos.
b. Dibujando convenientemente y midiendo
con regla y transportador, comprueba que
las propiedades 2, 3 y 4 son ciertas.
c. ¿Son ciertas las propiedades anteriores
para un cuadrilátero cualquiera? Justifica tu
respuesta ayudándote con los diferentes
cuadriláteros.
Ejercicios:
1. Un agricultor quiere dividir un campo
rectangular de 80 m por 60 m en ocho
parcelas triangulares iguales, pero no sabe
cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un
muchacho muy inteligente, le dice que una
manera de hacerlo es uniendo los puntos
medios de los lados opuestos y trazando a
continuación las diagonales de los
1
LOS POLIGONOS__________________________
66
rectángulos. Dibuja un rectángulo y
comprueba que es correcto el consejo del
muchacho. Calcula el perímetro de cada
una de las parcelas, sabiendo que el centro
del campo dista 50 m de cada uno de sus
vértices.
2. El perímetro de un rombo es 20 cm y
uno de sus ángulos mide 85°; determina la
longitud de cada uno de sus lados y la
amplitud de sus ángulos.
3. Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm;
une los puntos medios de los lados no
paralelos y pasa a medir el segmento así
determinado. Compara este resultado con
la suma de las longitudes de las bases.
¿Qué deduces?
4. El siguiente trapecio rectangular está
formado, como muy bien puedes observar,
por la combinación de un cuadrado y la
mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en
cuatro trozos exactamente iguales?
5. Un trapecio isósceles tiene la base
mayor triple
que la
menor; cada
uno de los
lados oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la
base menor. Determina el perímetro del
trapecio.
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ
67
Op Cit Pp. 44 – 65
3.1.PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS
n un día de sol, los cuerpos
producen sombra. ¿Te has detenido
a pensar la relación que existe
entre la altura de los cuerpos y la longitud
de las sombras que éstos producen?
Ya en el S. VI a J.C., uno de los siete
sabios de Grecia, Tales de Mileto, se
planteaba esta y otras cuestiones
análogas, de las que nos ocuparemos más
adelante.
De la vida de Tales se sabe que era un rico
comerciante de Mileto, que vivió
aproximadamente desde el 640 hasta el
550 a. J.C. Tenía mucho éxito como
hombre de negocios; sus tareas como
mercader los llevaron a muchos países y su
ingenio natural le permitió aprender de las
novedades que veía. Fue conocido por sus
admirados compatriotas de generaciones
posteriores como uno de los Siete Sabios
de Grecia; muchas leyendas y anécdotas
se reúnen en torno a su nombre. Se dice
que una vez Tales estaba encargado de
algunas mulas cargadas con sacos de sal.
Mientras cruzaba un río, uno de los
animales resbaló; al disolverse, en
consecuencia, la sal en el agua, su peso
disminuyó instantáneamente. ¡El astuto
animal, como es natural, se sumergió
deliberadamente en el próximo vado y
continuó este truco hasta que Tales atinó
con la feliz solución de llenar el saco de
esponjas! Este demostró ser un remedio
eficaz. En otra ocasión, Tales, que preveía
una cosecha de olivas extraordinariamente
finas, se apoderó de todas las prensas de
olivas del distinto; una vez obtenido este
monopolio, se convirtió en el jefe del
mercado y pudo dictar sus propias
condiciones. Pero entonces, según un
relato, una vez hubo demostrado lo que se
podía hacer, su propósito y había sido
conseguido; en vez de oprimir a sus
compradores, vendió magnánimamente la
fruta a un precio tan razonable que
horrorizaría a un capitalista de hoy en día.
Tales, como muchos otros comerciantes de
su tiempo, se retiró pronto de los negocios,
pero, diferenciándose de otros muchos,
dedicó su ocio a la filosofía y las
matemáticas. Comprendió lo que había
visto en sus viajes, particularmente en sus
relaciones con los sacerdotes de Egipto; y
fue el primero en poner de relieve algo del
verdadero significado del saber científico
egipcio. Fue un gran matemático y un
gran astrónomo a la vez. En realidad, gran
parte de su fama popular se debió a su
acertada predicción de un eclipse solar en
el año 585 a J.C. No obstante, se dice
que, mientras contemplaba las estrellas
E
68
durante un paseo nocturno, cayó dentro de
una zanja; entonces una anciana que lo
atendió exclamó: ¿cómo podéis saber qué
ocurre en los cielos si no veis lo que se
encuentra a vuestros pies?
Tales nunca olvidó la deuda contraída con
los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era
un anciano aconsejó firmemente a su
discípulo Pitágoras que les hiciera una
visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con
este consejo, viajó y obtuvo una amplia
experiencia, que le fue de gran utilidad
cuando, a la larga, se estableció y reunió
sus propios discípulos a su alrededor,
llegando a ser aún más famoso que su
maestro.
James r. Newmann
El mundo de las matemáticas
Ed. Grijalbo
Es sabido que el sol incide con igual
inclinación sobre los cuerpos en un
determinado momento y lugar, como
puedes observar en la figura.
Observando el esquema y utilizando la
regla milimetrada, compara las alturas de
la abuela y del bastón, con sus respectivas
sombras. ¿Podemos predecir la sombra
producida por un árbol de 4,5 m de altura
en el mismo momento y lugar?
Te habrás percatado de que las sobras
miden el doble de sus altura, por lo que
'*2 AAOA = y '*2 BBOB =
Y, por tanto:
2
''
==
BB
OB
AA
OA
La igualdad
'' BB
OB
AA
OA
= es una proporción
de segmentos, y el valor 2 común a ambos
cocientes, la razón de la proporción.
ACTIVIDAD 3.1
a. En la fotografía anterior comprueba,
usando la regla, que la relación de
proporcionalidad entre el tamaño de los
cuerpos y sus sombras respectivas en la
misma para todos ellos.
Este argumento le permitió a Tales, en uno
de sus viajes a Egipto medir la altura de
una pirámide aprovechando el momento en
que su propia sombra medía tanto como su
estatura. ¿Con qué razón de
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ
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Medicion y calculo geometrico

  • 1. 1 INDICE INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………………….. 3 RECOMENDACIONES DIDACTICAS……………………………………………………………………………………………. 5 EVALUACION………………………………………………………………………………………………………………………………. 7 ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA. …………………………………………………………………………………………….. 9 BLOQUE I MEDICION Y APROXIMACION……………………………………………………………………………………………………. 10 BLOQUE II MEDICION DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERIMETRO Y AREA)………………………………………. 15 BLOQUE III MEDICION Y CAPACIDAD DEL VOLUMEN…………………………………………………………………………………. 19 BLOQUE IV OTRAS MAGNITUDES…………………………………………………………………………………………………………………. 31 MATERIALES DE APOYO UNIDADES BASICAS DE MEDICION………………………………………………………………………………………….. 35 GEOMETRIA DEL PLANO…………………………………………………………………………………………………………….. 37 LOS POLIGONOS………………………………………………………………………………………………………………………… 52 PERSONALIDAD Y SEGMENTOS Y SEMEJANZA…………………………………………………………………………. 67 EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS………………………………….. 85 LA CIRCUNFERENCIA…………………………………………………………………………………………………………………. 96 AREAS DE FIGURAS PLANAS…………………………………………………………………………………………………….. 109 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO…………………………………………………………………………………………… 127 RECTAS Y PLANOS…………………………………………………………………………………………………………………….. 135 FIGURAS DE REVOLUCION………………………………………………………………………………………………………… 151 CONICAS Y CUADRATICAS………………………………………………………………………………………………………… 168 ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRABAJO GEOMETRICO………………………………………………….. 184 ANGULOS, TRIANGULOS Y BISECTRIZ……………………………………………………………………………………… 186 POLIGONOS……………………………………………………………………………………………………………………………….. 198 DE LOS PATRONES A LA MODELACION……………………………………………………………………………………… 202 AREA DE LOS RECTANGULOS……………………………………………………………………………………………………. 204 AREA DEL ROMBOIDE………………………………………………………………………………………………………………… 205 AREA DEL TRAPESIO………………………………………………………………………………………………………………….. 206 AREA DEL ROMBO………………………………………………………………………………………………………………………. 207 AREA DEL TRIANGULO……………………………………………………………………………………………………………….. 208 AREA DE POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………………………………………. 209 AREA DEL CIRCULO……………………………………………………………………………………………………………………. 210 PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS……………………………………………………. 211 LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180O ……………………………………………….. 212
  • 2. 2 EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL……………………………………………………………………………………………………………….. 213 LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES …………………………………………………… 214 LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES……………………………………………………. 215 LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUENTES………………………………………………… 216 PROPIEDADES DEL CUADRADO…………………………………………………………………………………………………. 217 RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE SUBTIENDEN………… 218 ANGULO INSCRITO……………………………………………………………………………………………………………………. 219 ANGULO SEMI-INSCRITO………………………………………………………………………………………………………….. 220 ANGULO INFERIOR…………………………………………………………………………………………………………………….. 221 ANGULO EXTERIOR……………………………………………………………………………………………………………………. 222 CONCLUSIONES FINALES…………………………………………………………………………………………………………… 223 MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN……………………………………………………………………………………. 224
  • 3. 3 INTRODUCCIÓN Esta asignatura corresponde al sexto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria, bajo la modalidad semiescolarizada, y su estudio contribuye a la formación disciplinaria en el campo de la geometría vinculada con la aritmética, así como a la formación didáctica, por el tipo de actividades que los estudiantes resuelven y/o analizan. El programa se divide en cuatro bloques, de los cuales el primero centra la atención en el desarrollo histórico de la medición y de las unidades que se han utilizado para expresar medidas, así como en el tipo de errores que se cometen al medir. El segundo bloque se refiere al estudio de dos magnitudes muy comunes: la superficie y el perímetro; se pone énfasis en la construcción de modelos que permiten realizar cálculos, en el área y el perímetro, de manera eficiente. Cuando se habla de la construcción de la modelación debe quedar claro el propósito de que los estudiantes intenten deducir fórmulas de otras más simples, de manera que no haya necesidad de memorizarlas; por otra parte, se pretende que los alumnos recurran a descomponer figuras en otras más simples para calcular sus áreas. Otro aspecto importante de este bloque es el análisis de relaciones entre áreas de figuras inscritas o circunscritas y el área lateral de diversos cuerpos geométricos. El tercer bloque se refiere al estudio de la relación entre la capacidad y el volumen y a su medición en cuerpos regulares e irregulares. Se trata de que los estudiantes amplíen sus recursos para calcular el volumen o la capacidad de una gran variedad de cuerpos u objetos y por distintos medios. Como en el bloque anterior, la deducción de fórmulas para calcular volúmenes o capacidades es un aspecto importante a tratar. El cuarto y último bloque se refiere al estudio de otras magnitudes, tanto fundamentales como derivadas; algunas de ellas han sido poco estudiadas en los niveles escolares anteriores y por lo mismo es necesario analizarlas con cuidado. Tal es el caso de la intensidad luminosa, la intensidad de corriente eléctrica, la cantidad de sustancia, la densidad, entre otras. Desde el punto de vista didáctico se hace la misma recomendación para todas las magnitudes, en el sentido de analizar el significado de las unidades de medida, de las relaciones que se establecen entre ellas y de las fórmulas que se pueden usar para calcular medidas. Todo esto se hace con la finalidad de evitar el aprendizaje memorístico que, como sabemos, carece de funcionalidad, además de la desarticulación con el contexto de trabajo. El estudio de las magnitudes que se derivan de la relación entre magnitudes fundamentales, como es el caso de la velocidad, representa una dificultad mayor para los estudiantes, por el cálculo dimensional que es necesario hacer. Un caso simple es el área que resulta del producto
  • 4. 4 de dos longitudes, pero sin duda hay otros casos más complejos, como la aceleración, que relaciona la velocidad con el tiempo. En todos estos casos es importante que los estudiantes resuelvan una gran variedad de problemas y analicen diversos procedimientos.
  • 5. 5 RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS La idea de problematizar el estudio de la disciplina Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierta forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas. Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal caso, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes. Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que llegan a ser rutina, en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: a) ¿He usado o identificado la información importante en el problema? b) ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? c) ¿Puedo convencer a otros compañeros? d) ¿He resuelto totalmente el problema? e) ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? f) ¿Se puede generalizar este resultado? Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los problemas. Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar
  • 6. 6 justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes. La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático. Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo la geometría desde el punto de vista de la medición y el cálculo y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina.
  • 7. 7 EVALUACIÓN Medición y cálculo geométrico Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes categorías: a) El desempeño actitudinal del participante para el despliegue de las actividades, en especial las que tienen que ver con la vinculación entre el trazado, medición y cálculo, así como la asociación de las diferentes disciplinas por las que ha transitado a los largo de las asignaturas que le anteceden a la presente b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje c) El diseño del curso d) El desempeño del profesor estudiante durante las clases presénciales En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del profesor estudiante, como: la disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras. En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente programa de Medición y Cálculo Geométrico, como; la capacidad de análisis y síntesis, las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras. En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento, habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia. Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como: si las tareas solicitadas se realizan en tiempo y forma; si el profesor estudiante asiste a la clase presencial con los
  • 8. 8 materiales analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica preposicional, etcétera. Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al titular de la disciplina como al profesor estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.
  • 9. 9 ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA Por lo anteriormente expuesto y dada la relevancia de la disciplina, se ha procurado incorporar, en cada bloque de asignación temática algunas actividades que favorezcan la modelación matemática y al mismo tiempo la medición y el cálculo geométrico. La modelación matemática constituye un factor importante, ya que es el método que permite descubrir patrones recurrentes en el tratamiento y presentación de datos; dichos patrones, que si bien es cierto, tienen el carácter aritmético, también es cierto que a través de ellos se pueden generalizar con letras y éstas serán las que den respuesta desde tres líneas importantes: el cálculo de perímetro, área y volúmenes, vinculadas a los principios algebraicos. Dichas generalizaciones aplicadas a la geometría, que también recurren a los patrones, tanto en su composición como en el método de resolución de problemas, las iremos llamando “fórmulas”, de ahí la necesidad de plantear múltiples actividades que permitan ir descubriendo, como dijimos en las líneas anteriores, los patrones y a su vez las “fórmulas”. Sin embargo, no significa que quien despliegue las actividades propuestas en la disciplina pueda introyectar orto método para que el profesor estudiante llegue a la modelación y con ésta a la fórmula, por lo que es recomendable seguir la secuencia de las actividades planteadas y que al mismo tiempo se enriquezcan con las experiencias tanto del titular de la disciplina como de los profesores estudiantes que participan en este proceso.
  • 10. 10 BLOQUE I MEDICIÓN Y APROXIMACIÓN PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1. Contar con los elementos históricos de los sistemas de medición. 2. Aplicar las unidades convencionales de los sistemas de medida (decimal e inglés) en la resolución de problemas. 3. Adquirir los elementos necesarios para realizar el análisis correspondiente en los errores e incertidumbres en la medición. TEMAS 1. Antecedentes históricos de la medición. 2. Unidades convencionales de medida. Sistema internacional de medidas; múltiplos y submúltiplos. Conversiones a unidades de otros sistemas (sistema inglés). 3. Análisis de errores e incertidumbres en la medición. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid, Síntesis. SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México. — (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México.
  • 11. 11 ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN 1. Comente, reunidos en pequeños grupos de trabajo colaborativo la lectura “Los orígenes de la geometría” del libro para el maestro, páginas 211 – 222; se sugiere centrar la atención en: a) cómo se introducen las nociones geométricas, b) en qué momentos de la vida del hombre empieza la aparición de ésta; c) en qué momento histórico dio inicio la sistematización de la disciplina; d) en qué consiste la geometría empírica; e) cuáles fueron las culturas que dieron lugar a la sistematización de la materia; f) cómo la utilizaron para realizar las grandes construcciones que hoy en día son inexplicables para la ciencia; g) cómo nacieron las “fórmulas”; h) en qué momento de la historia de la humanidad nació la geometría deductiva y en qué consiste; quiénes son los precursores; i) qué son los números figurados; j) qué relación hay entre los números triangulares, cuadrados, etcétera con el cálculo del perímetro y superficie de figuras geométricas; k) en qué consiste el patrón de la geometría axiomática; l) las razones por las que se le atribuye a Euclides (300 a. C) la geometría axiomática; m) en qué consiste el patrón de este estilo geométrico y n) cuáles son los postulados y axiomas de Euclides 2. Los profesores estudiantes podrán formar pequeños grupos de trabajo e indagar en diferentes fuentes bibliográficas, como: El manantial en Estudio de las geometrías de Howard Eves (UTHEA, México), el nacimiento del sistema de medición, puede centrar su atención en algunas culturas como la Babilónica, Egipcia, Romana, Maya, Griega y enriquecerla con las aportaciones de algunos de los matemáticos de la antigüedad como: Pitágoras. Arquímedes, Ptolomeo, Anaxágoras, Tales, etcétera. Es importante recalcar que este proceso de indagación debe quedar centrado en el uso de unidades de medición y las transformaciones o en su defecto la desaparición de las mismas y las razones por las que se desvanecieron; por cuáles fueron sustituidas, si presentaron transformaciones o no progresaron; en cualquiera de los casos, a qué se debió la transformación o la falta de progreso; de modo que históricamente pueda responder al nacimiento del Sistema de medición decimal e inglés 3. Calcule, el undécimo primer número en la serie de los números pentagonales, sabiendo que 11, 52, 123, 224, … n11
  • 12. 12 Observe que es una serie numérica que inicia con la unidad y su aumento no es constante, sin embargo, al registrar el incremento de las cuatro primeras cifras de la serie, es decir, 5, 7, 9, … lleva un aumento constante de dos en dos. Este análisis numérico, permite establecer un patrón que tiene que ver con el cálculo de superficies, de modo que dicho patrón será quien determine el enésimo número de una serie. 4. Resuelva la ficha No. 17 “El perro guardián”, del fichero de actividades didácticas, páginas 42 y 43; comente con su grupo de trabajo colaborativo, los patrones a que se recurre para el logro del propósito explícito al inicio de la ficha de trabajo. 5. Establezca en tablas de comparación las principales unidades de media que se utilizan en el cálculo de longitudes, superficies, pesos y volúmenes, para el sistema decimal Unidades Convencionales Long. Sup. Peso Vol. Múltiplos Elemento básico Submúltiplos Para el sistema inglés Unidades Convencionales Long. Sup. Peso Vol. Múltiplos Elemento básico Submúlt iplos
  • 13. 13 Consulte la tabla de principales unidades de medición que se muestra en la sección del material de apoyo del presente programa de trabajo. Otras unidades de medición, son las que se utilizan en el campo de la navegación área y marítima, por lo que se sugiere que los profesores estudiantes manejen las conversiones de las unidades de navegación, por ejemplo, nudos a kilómetros. Es importante señalar que el manejo de las unidades de medición se realice siempre bajo contextos, por ejemplo: “Una embarcación transportadora de alimentos no perecederos viaja a una velocidad constante de 2.5 nudos por hora, si la distancia a recorrer es de 2 305 kilómetros, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino?” 6. Ciencias disciplinarias, como la Física, Química, Biología, utilizan otras unidades de medición, por lo que es necesario que el profesor estudiante realice algunas conversiones, tanto de los sistemas de medición decimal e inglés como los correspondientes a estas ciencias disciplinarias, por ejemplo: las micro unidades utilizadas por la química (moles), caídas libres que se calculan en la física (newtons, atmósferas, etcétera); por su parte, las ciencias de la economía utilizan el sistema monetario vinculado a los índices y éstos medidos en dos vertientes; el crecimiento o decremento (pérdidas y ganancias) medidos en unidades y puntos porcentuales, por lo que resulta conveniente que los profesores estudiantes resuelvan algunos problemas en los tenga que ver la química, la física, la biología y la economía, aparte de los problemas de carácter puramente matemático. 7. Realizar algunas conversiones en cada sistema de medida, resulta un buen ejemplo para establecer comparaciones medicionales, como: - Encontrar la equivalencia de 2. 4 metros en milímetros - Encontrar la equivalencia de 789 metros en kilómetros - Encontrar la equivalencia de 45.6 metros en yardas - Encontrar la equivalencia de 8.745 TM en kilogramos - Encontrar la equivalencia de la velocidad en kilómetros de un buque que navega a una velocidad de 7.85 nudos náuticos. 8. El sistema de medición sexagesimal (3600 ), es conveniente para establecer la comparación de diferentes ángulos; agudo, recto, obtuso, grave, entrante, colineal, complementario, suplementario, interiores, exteriores, inscritos y seminscritos, resultan otro buen ejercicio para afianzar los diferentes sistemas de medición, y sobre todo para analizar los patrones que dan lugar a situaciones más avanzadas en el estudio de la geometría. Para estos casos es
  • 14. 14 recomendable tener en cuenta los antecedentes geométricos en el trazado del dibujo (analice la lectura “Aspectos básicos del dibujo y trazo geométrico” del material de apoyo)
  • 15. 15 BBLLOOQQUUEE IIII MEDICIÓN DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERÍMETRO Y ÁREA). PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1. Identificar los patrones geométricos para el cálculo del perímetro y área de figuras, así como el volumen de cuerpos geométricos 2. Aplicar dichos patrones en el planteamiento y resolución de problemas que tengan que ver con el cálculo de perímetros y áreas, tanto de figuras regulares como irregulares, así mismo 3. Calcular el volumen de los cuerpos regulares e irregulares TEMAS 1. Justificación de diferentes fórmulas para calcular el perímetro y el área de paralelogramos, triángulos y polígonos regulares (por ejemplo, calcular el área del triángulo a partir de: su base y su altura, la medida de sus lados, etcétera). 2. Perímetro y superficie de figuras irregulares y de figuras curvilíneas. 3. Relación entre el área de distintas figuras geométricas. Figuras inscritas o circunscritas (por ejemplo: investigar la relación entre la superficie de un círculo inscrito en un cuadrado y la superficie de ese cuadrado). 4. Área lateral y total de prismas y pirámides, superficie cilíndrica, cónica y esférica. BIBLIOGRAFÍA García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid Síntesis Alvídrez V. Juan Manuel, “De los patrones a la modelación”, Chihuahua 2000 SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México.
  • 16. 16 ACTIVIDADES 1. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de las fichas “figuras básicas y ángulos y representación gráfica” del Fichero de Actividades didácticas, páginas 18 – 19 y 23 – 23, respectivamente. 2. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de la ficha “Trazos geométricos y figuras básicas” de las páginas 48 y 49 del fichero de actividades didácticas 3. Discuta con sus compañeros de grupo la forma de resolver el siguiente problema: “A y B son puntos colineales de un rectángulo inscrito en una circunferencia, ¿cuál es el perímetro y la mayor área que puede alcanzar” Aplique otras variables, como, ¿qué pasaría si A y B son vértices opuestos del rectángulo?: ¿Variaría el perímetro y la mayor área que puede alcanzar? ¿Qué pasaría si A es un vértice y B es el punto medio de uno de uno de los lados colineales al vértice A? ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que puede alcanzar?, o bien, ¿qué pasaría si A es vértice y B es el punto medio de uno de los lados no colineales al vértice A del rectángulo?, ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que pueda alcanzar?
  • 17. 17 Esta actividad, permite al profesor estudiante advertir que el patrón que se presenta, da lugar al modelo matemático para calcular tanto el perímetro como el área de cuadriláteros y a partir de la modelación, aplicar una fórmula ya conocida por los mismos, de modo que la actividad está planteada para que el profesor estudiante sea capaz de descubrir el patrón y llegar al modelo (fórmula), origen de las fórmulas que de manera tradicional se han utilizado, la diferencia es que el profesor estudiante adquiere una gran riqueza al discutir y poner en práctica algunas estrategias para llegar al modelo. 4. Cavalieri, dio lugar a la triangulación, entre otras, definida como el área que queda limitada por tres longitudes, es el resultado del estudio de los cuadriláteros, por lo que, enfatizar el análisis de los triángulos resulta conveniente para posteriores estudios, como los postulados de Tales (semejanza) o los principios de Pitágoras que posteriormente se traducen en el análisis de las funciones trigonométricas (analice “De los patrones a la modelación” del material de apoyo) 5. El análisis de los polígonos (pentágono, hexágono, etcétera, son el resultado de la recurrencia de los patrones que se utilizan en el estudio tanto de los cuadriláteros como de los triángulos, por lo que, se recomienda ir más allá de los mismos, como por ejemplo, plantear el cálculo de las constantes que se establecen en un polígono inscrito en una circunferencia y esta a su vez inscrita en el polígono, como se muestra en la siguiente figura: En el cálculo, tanto del perímetro como de las áreas, el radio de la circunferencia inscrita resulta ser la apotema del polígono inscrito en la circunferencia, además el patrón que se presenta a partir del análisis de éste y otros problemas similares, permiten al profesor estudiante encontrar patrones geométricos y establecer el modelo (fórmula) que de respuesta a la solicitud del
  • 18. 18 propósito de este bloque de trabajo; por otro lado, el tratamiento que se hace de dichos temas recurre en forma sistemática al sentido común, experiencia e intuición del futuro Licenciado en Matemáticas, abordando directamente el problema que se plantea. La recurrencia consiste en que se justifican de manera elemental y simple las “fórmulas” para el cálculo del perímetro, el área y el volumen que aprendemos desde la enseñanza elemental. Dentro de este planteamiento, dichas fórmulas se enriquecen al ampliarse la colección de figuras a las que se puede aplicar; de modo que en cada uno de los participantes de esta experiencia, existen una gran variedad de trazos de figuras, que convergen a un patrón geométrico y éste será quien le de vida a las “fórmulas” que aprendimos de manera memorística en la escuela elemental. 6. Resuelva los problemas que se plantean en el libro del maestro en las páginas 238 a 240, mostrando ante sus compañeros las estrategias utilizadas para encontrar las respuestas que se esperan. 7. Analice el material “de los patrones a la modelación” del material del apoyo para el estudio de la disciplina “Medición y Cálculo Geométrico”
  • 19. 19 BLOQUE III MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1. Establecer los principios de la modelación matemática para el cálculo del volumen de los cuerpos geométricos regulares e irregulares 2. Determinar el cálculo del volumen de prismas y pirámides regulares a través de la modelación matemática, bajo el principio de recursividad TEMAS 1. Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de prismas, pirámides, conos, poliedros regulares y la esfera. 2. Cálculo del volumen de cuerpos oblicuos (Principio de Cavalieri). 3. Relación entre volumen y capacidad. 4. Relación entre el volumen de distintos cuerpos (por ejemplo: investigar la relación entre el volumen de la esfera más grande que puede ser contenida en un cubo respecto al volumen de ese cubo). ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se aproximan bastante a las formas geométricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillos, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra cultura, son modelos bastante aproximados de los cuerpos geométricos.
  • 20. 20 LOS POLIEDROS Y LA FÓRMULA DE EULER Entre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que permite dar una primera clasificación en poliedros y no poliedros. Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos. Según el número de éstas, los poliedros pueden ser tetraedros, pentaedros, hexaedros, etc. En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes observar los elementos básicos que componen todo poliedro: vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ángulos diedros y ángulos poliedros. Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de diagonal de una cara del poliedro. 1. Para cada uno de los poliedros que aparecen en la tabla adjunta haz el recuento del número de vértices, aristas y caras, y anótalo en la columna correspondiente. Poliedro No de caras C No de vértices V No de aristas A Relación aritmética C + V = A + 2 Observa que en todos ellos se cumple la relación aritmética C + V – A = 2, o también C +V = A + 2
  • 21. 21 En general: Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética: N° de caras + N° de vértices = N° de aristas + 2 Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII. 2. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1. En todo poliedro, sus caras son todas iguales. 2. El menor número de caras de un poliedro es cuatro. 3. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. 4. El cilindro y el cono son poliedros. 5. En los poliedros, el menor número de caras que concurren en un vértice es tres. 6. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, cinco. 7. Un hexaedro con 10 artistas tiene 8 vértices. Entre los muchos poliedros que nos podemos imaginar, los de mayor interés son los poliedros regulares. Al igual que en geometría plana estudiábamos los polígonos regulares, así también en geometría sólida podemos pensar en cuerpos con análogas características en cuanto a la regularidad. Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. No obstante, veamos una notable diferencia entre la geometría plana y la geometría sólida. Así como existe una infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos poliedros regulares cabe esperar? Para contestar a ello, analizaremos el cuadro adjunto, teniendo presentes dos consideraciones importantes:
  • 22. 22 Posibles caras del poliedro No de caras por vértice ≥ Suma de ángulos de cada vértice < 3600 Poliedro regular 3 Tetraedro 4 Octaedro 5 Icosaedro 6 Imposible 3 Cubo 4 Imposible 3 Dodecaedro 4 Imposible 3 Imposible 1. Todas las caras han de ser iguales, por ser regulares. 2. Los ángulos de las caras que concurren en un vértice suman menos de 360°, propiedad vista en el tema anterior, pues en caso de sumar 360° exactamente no encerrarían un volumen, sino que tendríamos una superficie plana. Como puedes observar, sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos: El tetraedro, limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. El cubo o hexaedro, limitado por seis caras que son cuadrados. El octaedro, limitado por doce caras que son pentágonos regulares. Y el icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.
  • 23. 23 Algún motivo, como puede comprenderse, ha conducido a que estos cinco cuerpos geométricos sean llamados sólidos platónicos. Platón, filósofo griego del siglo IV a. J.C., concebía el mundo como constituido por los cuatro principios básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como símbolo del universo. Sin duda, nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época. En cuanto a la figura de Platón, no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia “No entre aquí nadie que ignore la geometría”. Siglos más tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía a Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay armonía si no hay matemáticas”. 3. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus respectivos desarrollos. Utiliza el pantógrafo para reproducir en cartulina y a tamaño ampliado estos desarrollos; después recorta, dobla y pega convenientemente las pestañas; así obtendrás tus cinco sólidos platónicos. Si no dispones de pantógrafo, utiliza la construcción de polígonos vista en geometría plana para reproducir a escala dichos poliedros.
  • 24. 24 a) Contabiliza en dichos poliedros el número de vértices, caras y artistas, y comprueba la fórmula de Euler. 4. Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y del octaedro regular de igual arista. Tras procurarte cuatro fotocopias del desarrollo del tetraedro, móntalas para obtener las piezas de la figura adjunta. Intenta ajustar los tetraedros a las caras del octaedro para conseguir un tetraedro mayor. ¿Qué relación guardan las aristas del tetraedro así obtenido, con las del octaedro?
  • 25. 25 EJERCICIOS: b) Averigua las superficies de un octaedro regular de 16 cm de arista y de un cubo de igual arista. Determina la relación entre las superficies de estos cuerpos. (Conviene recordar qué área del triángulo equilátero = l 2 3 ) c) ¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene al unir los vértices de un cubo que son extremos de tres aristas concurrentes? d) Calcula en función de la arista las áreas de los cinco sólidos platónicos, y comprueba si los resultados obtenidos coinciden con lo que aparecen en la tabla de áreas de la página 154. Te habrás percatado de que en general los edificios se construyen verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de prismas. En la figura adjunta se muestra un prisma de base pentagonal. Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos. Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base, se dice que el prisma es recto; en caso contrario, el prisma es oblicuo. Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares. Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales..., etcétera. 5. Para visualizar prismas, toma una lámina de cartón grueso o de madera y recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos elásticos y manteniendo las bases paralelas como muestra la figura tendrás multitud de prismas según la tensión a que sometas el hilo elástico.
  • 26. 26 El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El desarrollo plano de un prisma recto, tal como se muestra en el dibujo, nos permite obtener de forma sencilla el cálculo de dicha superficie, ya que tal desarrollo no es más que un rectángulo de base el perímetro de la base del prisma y de altura su arista latera. De aquí que, AL = P.h donde P es el perímetro de la bese y h la altura del prisma. Basta añadir al área lateral, la superficie de las dos bases para obtener el área total del prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab representa el área de la base. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma Recto es un rectángulo Es preciso destacar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos, pues en éstos la altura no coincide con la arista lateral. En tal caso, se debe estudiar el prisma oblicuo que nos interese en particular. 6. Averigua las áreas lateral y total del prisma oblicuo de la figura.
  • 27. 27 Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son paralelogramos. Cubo Ortoedro Algunas propiedades de éstos basadas en las de los paralelogramos, puesto que los planos diagonales son paralelogramos, son las siguientes: a) Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio. b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales. 7. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del Teorema de Pitágoras.
  • 28. 28 En el triángulo rectángulo MON, d2 = c2 + m2 , pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2 = a2 + b2 de donde d2 = a2 + b2 + c2 , o también: d = cba 222 ++ resultado conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras en el espacio. M C O D B M NA Puesto que el cubo es un ortoedro con sus tres aristas iguales, a = b = c, su diagonal sera: d = 33 2222 aaaaa ==++ 8. Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2 600 a J. C. aproximadamente y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesa aproximadamente 20 toneladas. Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén y Quéope La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en: - Pirámides rectas y oblicuas. - Pirámides regulares e irregulares. - Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etcétera.
  • 29. 29 Apotema Caralateral Altura Base Base Altura Caralateral En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales. Es de notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo rectángulo. 9. Tú mismo puedes construir diferentes pirámides por el método experimental del hilo elástico, como se muestra en la figura. En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son triángulos isósceles todos ellos iguales, y puesto que el área del triángulo es A = ))(( 2 1 ab , contando el número de estos es fácil deducir: Donde P presenta el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la apotema del polígono de la base.
  • 30. 30 10. Una figura geométrica derivada de la pirámide es el tronco de pirámide, que resulta ser el trozo de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta. En lo sucesivo supondremos el plano de corte paralelo a la base de la pirámide. Para troncos de pirámide rectos y regulares, sus caras son trapecios isósceles, y puesto que el área del trapecio es A = abb )'( 2 1 + , contando su número es fácil deducir: 3 Donde p y p’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas. 11. Sobre una cartulina reproduce a mayor tamaño los desarrollos planos de la pirámide y del tronco de pirámide de la página anterior. Recórtalos y ármalos adecuadamente. a. Calcula sus áreas laterales y totales. b. ¿Te atreves a calcular sus alturas? Recuerda la eficacia del Teorema de Pitágoras.
  • 31. 31 BLOQUE IV OTRAS MAGNITUDES PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1. Reconocer las diferentes magnitudes que se utilizan para la medición de la masa, el tiempo y la temperatura 2. Derivar las magnitudes relacionadas con la velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad, tasa, porcentaje TEMAS 1. Magnitudes fundamentales: la masa, el tiempo y la temperatura. 2. Magnitudes derivadas: velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad, tasa, porcentaje, etcétera. BIBLIOGRAFÍA Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid, Síntesis. García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid, Addison Wesley Longman. Rivaud (1996), Geometría Intuitiva 2. Áreas, volúmenes y centros de gravedad, México, Limusa. SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México. — (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª Ed., México.
  • 32. 32 ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN 1. Sujete a discusión con el grupo de trabajo a qué tipo de magnitudes se refiere cuando se habla de masa, tiempo y temperatura, en particular a las unidades básicas de cada una, es importante que señalen, como parte de las discusiones lleguen a advertir, a partir de la unidad básica, los múltiplos y submúltiplos de cada una de ellas. 2. Es importante que cada grupo de trabajo advierta la necesidad de modelar el proceso de análisis de este tipo de magnitudes para el establecimiento de problemas para dar respuesta a planteamientos de otras ciencias del conocimiento, como la física, química, biología, etcétera. 3. Busque información acerca de planteamientos de problemas en particular de la física y química en los que se impliquen las magnitudes que relacionan problemas derivados del cálculo de masa, tiempo y temperatura. 4. Como derivado de las magnitudes que relacionan la masa, el tiempo y la temperatura, es importante que recurra a la ciencia de la física para revisar el tipo de problemas que plantea esta disciplina, en tanto el uso de magnitudes que relaciona la velocidad, fuerza, peso, resistencia y densidad, es conveniente que también en este apartado de la unidad de trabajo distinga las formas convencionales de transformación, como la unidad que maneja el sistema de velocidades como unidad básica, por ejemplo, la transformación de km /hr y su equivalente a m /seg. 5. Discuta con el grupo de estudiantes que cursan esta parte de la especialidad, como el concepto de tasa y porcentaje ayudan con la interpretación del cálculo de los conceptos que se vienen discutiendo. 6. Pida a los estudiantes que busquen problemas que relacionen la velocidad, fuerza, peso, resistencia y densidad, asimismo el cálculo de tasa y porcentaje, como:
  • 33. 33 La cantidad de ácido en x mililitros (ml) de una solución ácida al 10% SOLUCIÓN En este problema se supone que sabemos qué es una solución ácida al 10%. En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es agua. La relación implicada es la multiplicación: Cantidad de ácido = 10% (x ml) = 0.10 (x ml) Es útil ilustrar esta relación con algunos ejemplos. Una solución ácida contiene ÁCIDO + AGUA 50 ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(50 ml) + 90%(50 ml) = 0.10(50 ml) + 0.90(50 ml) = 5 ml + 45 ml = 50 ml de solución 100 ml de un 10% de solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml) = 10 ml + 90 ml = 100 ml de solución x ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml) = 10 ml + 90 ml = 100 ml de solución Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.10x ml.
  • 35. 35 Unidades básicas MASA Kilogramo kg El kilogramo equivale a la masa del kilogramo patrón internacional. LONGITUD Metro m El metro equivale a 1650763.73 veces la longitud de onda de la radiación emitida por los átomos del nucleido 86 Kr, en la transición entre el estado 5d5 y el estado 2p10, propagándose en el vacío. TIEMPO Segundo s El segundo equivale a 9192631770 veces el período de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles de la estructura hiperfina del estado fundamental de los átomos de nucléido 133 Cs. CORRIENTE ELÉCTRICA Amperio A El amperio equivale a la intensidad de una corriente eléctrica constante en el tiempo que, al circular en el vacío por dos conductores paralelos situados a un metro de distancia, rectilíneos e infinitos, de sección circular y despreciable, da lugar a una fuerza de atracción mutua entre los conductores de 2 x 10-7 neutronios por metro. INTENSIDAD LUMINOSA Candela cd La candela es la intensidad de luz que emite 1 ÷ 6 x 10-5 m2 de la UNIDADES BÁSICAS DE MEDICIÓN UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________
  • 36. 36 superficie de un cuerpo negro a una temperatura correspondiente a la solidificación del platino a una presión de 101325 neutronios por metro cuadrado, y perpendicular a su superficie. CANTIDAD DE SUSTANCIA Mol Mol El mol equivale a la cantidad de materia de un sistema constituido por tantas partículas como átomos contiene 12 ÷ 10-3 kilogramos de nucleido del carbono 12 C. TEMPERATURA TERMODINÁMICA Kelvin K El kelvin equivale a la 16 273 parte de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (aproximadamente 0.01 ºC) Kilogramo patrón UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________
  • 37. 37 onceptos básicos de la geometría1 se cree que el origen de la geometría está en el antiguo Egipto. así lo confirma uno de los escritos del historiador herodoto cuando, hablando del rey sesostris, dice: “Este rey dividió la tierra entre todos los egipcios de tal manera que cada uno recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y que él pudiera obtener sus rentas de cada uno, imponiendo una tasa que debía ser pagada anualmente. Pero todo aquel de cuya parte el río hubiera arrastrado algo, tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él enviaba supervisores que debían medir en cuánto había disminuido la tierra para que el propietario pudiera pagar de acuerdo con lo que le restaba, en proporción a la tasa total impuesta. De esta forma me parece que se originó la geometría, que luego pasó a Helas” JAMES R. NEWMANN El mundo de las matemáticas Ed. Girjalbo 1 García Arenas, Jesús y Beltrán I. Infante, Celsti. Geometría y experiencias, Ed. LONGAM, México 1995, Pp. 10 - 27 De aquí el uso del término Geometría, que en griego significa medida de tierras. En Egipto, la Geometría era un conjunto de reglas y conocimientos empíricos con un interés eminentemente práctico. Fue posteriormente en Grecia, entre los siglos VI y III a J.C., cuando adquirió un aspecto más teórico, de la mano de los grandes matemáticos: Tales, Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Apolonio, etcétera. 1.1. Recordando los elementos básicos de Geometría Todos los cuerpos que nos rodean ocupan un lugar en el espacio, Se llama extensión a la porción del espacio ocupado por un cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión. Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, y otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión y, por lo tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio. C GEOMETRÍA DEL PLANO GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 38. 38 ACTIVIDAD 1.1 a) Observa la fotografía anterior e indica elementos que te sugieran la idea de punto, línea, superficie y cuerpo volumétrico. b) Un rayo láser, ¿qué elemento geométrico te sugiere? ¿Y una hoja de papel? c) ¿Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? ¿y un plano? 1.2 Segmentos rectilíneos Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B. ¿Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo? Observa que sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y a la derecha del mismo. Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la longitud del segmento. Así, por ejemplo, si queremos medir el segmento AB y la unidad de medida es u. Podemos comparar ambos segmentos con la ayuda de un compás. El segmento AB contiene exactamente 5 veces la unidad u. En este caso, se dice que el segmento AB mide 5 unidades de longitud. ACTIVIDAD 1.2 a. Utilizando una regla sin graduar y un compás construye un segmento que mida 3 veces la unidad u, u . b. Tomando como unidad de medida u, mide el segmento AB. GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 39. 39 c. Observa que con otra unidad, por ejemplo u’ = 2u, el segmento AB no contiene a u’ un número entero de veces. Esto nos indica que no todas las unidades son adecuadas para medir un segmento. De las unidades utilizadas históricamente, las más convencionales responden a dos sistemas: 1. Sistema Métrico Decimal (S. M. D.): Mm. Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm 2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada,... A lo largo del libro se utilizará perfectamente el S. M. D.; pero recuerda que la relación entre ambos sistemas es la siguiente: 1 milla = 1.609,34 m 1 yarda = 0,9144 m 1 pie = 30,48 cm 1 pulgada = 2,45 cm ACTIVIDAD 1.3 a. Utilizando la regla milimetrada mide los dos segmentos que aparecen en la actividad 1.2. Indica expresamente la unidad de medida empleada. ¿Cuál sería el resultado obtenido por un alumno del English College que utiliza su sistema anglosajón? b. ¿Cuál es la unidad más idónea para medir la distancia de Barcelona a Paría? ¿Y la más idónea para medir las dimensiones de una mesa de ping-pong? c. ¿Cuántos kilómetros recorre un coche que participa en la prueba de 500 millas en el Circuito de Indianápolis? Además de la regla y el compás como instrumentos de medida, existen otros más adecuados para medir ciertas piezas de uno frecuente. Dos de los más conocidos son el pie de rey y el tornillo micrométrico. GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 40. 40 Cualquier libro de tecnología te orientará sobre su manejo; con ellos es posible medir con gran precisión piezas de reducido tamaño. ACTIVIDAD 1.4 a. Señala con una “x” los instrumentos idóneos para medir el diámetro de una canica. -la regla - el tornillo micrométrico -El compás - una cuerda -el pie de rey b. ¿Qué instrumento cree más adecuado para medir las cotas 10.3 mm y 6,5 mm de la figura? ¿Y para medir laminillas de oro de 0.03 mm de grosor, como las utilizadas en joyería? c. Para medir el grosor de un paquete de 1 000 hojas de papel, ¿qué instrumento utilizarías y cómo deducirías el grosor cada una de ellas? Ejercicios: 1. El tamaño de una pantalla de televisor se expresa mediante pulgadas (“). Así, por ejemplo, se habla de televisores de 16”, 20”, 22”, etc., aludiendo a la medida de la diagonal de su pantalla. Infórmate de las pulgadas de tu televisor y, puesto que 1” equivale a 2,54 cm, averigua el –tamaño- de la pantalla de tu televisor en cm. Verifica el resultado con una cinta métrica. 2. En la etiqueta de un carrete de hilo de pescar se puede leer que la longitud de hilo es de 50 yardas, ¿Cuántos metros de hilo contiene dicho carrete? 3. La balanza también es un buen instrumento para medir la longitud de un rollo de alambre. Para ello, basta pesar 1 m de alambre del mismo tipo y a continuación el rollo completo. Razona el por qué este método nos permite determinar la longitud del rollo. GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 41. 41 4. Hemos estudiado diferentes unidades de longitud; sin embargo, para distancias astronómicas se utiliza otra unidad más idónea, como es el año-luz (distancia que recorre la luz en un año). Puesto que la luz viaja a 300.000 km/s, averigua la distancia en km a la que se encuentra la estrella más próxima a nosotros (Alfa de centauro) sabiendo que ésta se halla a 4,3 años/luz de la Tierra. 5. ¿Cuál de los dos segmentos AB y CD es el más largo? Utiliza una regla graduada para medir cada uno de ellos y no te fíes de lo que te dicen tus sentidos. ¡A veces los sentidos Traicionan! 1.3 ÁNGULOS: MEDIDA Y CLASIFICACIÓN Angulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice, como se aprecia en la siguiente figura: Indicaremos por ∠AOB el ángulo de vértice O y semirrectas OA y OB. En otras ocasiones utilizaremos simplemente la notación ô, aludiendo a su vértice En realidad, dos semirrectas determinan dos ángulos, como se observa en la figura, si bien consideraremos como ángulo ∠AOB el menor de los dos. El ángulo formado por dos semirrectas alineadas se llama ángulo llano. La mitad del ángulo llano es un ángulo recto. Experiencia: Construcción de ángulos plegando papel Toma una hoja de papel y dóblala una vez para obtener un pliegue. Observa que logras un ángulo llano. Si vuelves a doblar haciendo coincidir el pliegue sobre sí mismo, observarás que obtienes un ángulo recto. GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 42. 42 Con este patrón, ¿cómo harías para conseguir: a. ½ recto y ¼ recto? b. ¾ de recto y 2 3 de recto? c. 4 rectos? Se hace necesario dar unidades patrón más pequeñas y precisas que las obtenidas en la experiencia anterior a fin de medir ángulos. Xagesimal, a cada una de ellas. Esta es la unidad más usual. 1 recto = 90° Te sugerimos que midas los ángulos de la experiencia anterior y que des el resultado en grados sexagesimales. El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador de ángulos. Para ángulos menores de 1° se utilizan unidades más pequeñas como son el minuto y el segundo sexagesimal. 1° = 60 minutos sexagesimales = 60’ 1’ = 60 segundos sexagesimales = 60 “ Esta subdivisión en 60 partes más pequeñas de cada unidad es la razón por la que el sistema de medida recibe el nombre de sistema sexagesimal. ACTIVIDAD 1.5 a. Utilizando el transportador de ángulos, mide los ángulos de tu juego de escuadras. b. Con la ayuda de la escuadra, dibuja ángulos de amplitud: 75°, 105°, 150°, 15°, 120°, 210°, 135°, y 225°, basándote en los esquemas siguientes según convenga. La actividad anterior permite visualizar un método para calcular la suma y la diferencia de ángulos; sin embargo, un método algebraico más propio para ángulos que estén expresados en grados, minutos y segundos viene reflejado en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Averiguar la suma y la diferencia de los ángulos A = 46° 15’ 42” y B = 22° 41’ 30”. Procederemos del siguiente modo: GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 43. 43 Ejercicios: 1. Conociendo los ángulos A = 98° 19’ 13” y B = 43° 35’ 58”, averigua la amplitud de los ángulos A + B y A - B. 2. Si hacemos la operación con calculadora, aparecen en pantalla el resultado de 32,71° ¿Puedes decir cuántos grados, minutos y segundos nos quiere indicar? 1.3.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS: egún la mayor o menor abertura de un ángulo, éste puede ser recto, agudo u obtuso. El ángulo agudo es el que mide menos que un recto, mientras que el ángulo obtuso mide más que un recto. Dos ángulos son complementarios si su suma es 90°, o sea, un recto. Cada uno es complemento de otro. Dos ángulos son suplementarios si su suma vale 180°, o sea, un llano. Cada uno es suplemento de otro. ACTIVIDAD 1.6 a. Clasifica los ángulos que observas en la figura según su abertura, haciendo uso del transportador de ángulos en caso necesario. b. Dibuja dos ángulos consecutivos de amplitud 52° y 37° respectivamente. ¿Son complementarios? ¿Y suplementarios? Justifica tu respuesta. c. El suplementario de un ángulo obtuso ¿qué tipo de ángulo es? ¿Y el de un ángulo agudo? ¿Y el de uno recto? d. ¿Pueden dos ángulos agudos ser suplementarios? ¿Y complementarios? Razona tu respuesta. EJERCICIOS 1. Calcula el complementario y el suplementario de 30° 28’ 16” de amplitud. 2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto? ¿Cuánto mide su ángulo suplementario? 3. ¿Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud A = 70° 27’ y B = 37° 54’? S GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 44. 44 ACTIVIDAD 1.7 a. Completa el cuadro siguiente para los distintos tipos de ángulos que aparecen al cortar dos rectas paralelas por una secante. b. Si 2 = 30°, ¿puedes decir cuánto miden los otros 7 ángulos sin usar el transportador? c. Con los resultados del apartado anterior, compara las parejas que figuran en cada recuadro de la tabla que aparece en el apartado a, y deduce la propiedad que las caracteriza. Dos herramientas muy utilizadas en carpintería son la sierra y la guía que observas en la fotografía. Dicho montaje es un caso particular de la actividad anterior. Experiencia: Descubriendo las propiedades de un parquet. El modelo de piezas de parquet diseñado por la fábrica Serratus, S.A. es el siguiente: a. Los segmentos AB , IJGHEFCD ,,, , .... son segmentos paralelos determinados por las rectas-guías paralelas. Mídelos y comprueba si son iguales. En general se cumple que: Dos paralelas cortadas por otras dos paralelas, determinan sobre las primeras segmentos iguales. b. ¿Cuántas piezas diferentes observas? c. ¿Utiliza el fabricante los principios básicos de la actividad anterior? Justifica tu respuesta. d. Con las piezas de este fabricante, diseña un parquet para tu propia habitación. Dos buenos ejemplos podrían ser los de la figura. ALTER NOS INTER NOS ALTER NOS EXTE RNOS CORR ESPO NDIE NTES OPUE STOS POR EL VÉRTI CE GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 45. 45 e. Si las piezas son coloreadas son iguales, ¿qué puedes decir de los ángulos A, A’, A”,...? ¿Y de los ángulos B, B’, B”,...? compara ambos tipos de ángulos, A y B, y deduce si son suplementarios En general se cumple: Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y ambos son agudos u obtusos, entonces son iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso, entonces son suplementarios. En términos análogos, se puede enunciar que: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, y ambos son agudos u obtusos, entonces son iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso, son suplementarios. 1.3.2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: a recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz. El trazado de la bisectriz de un ángulo, mediante regla y compás, se muestra en la figura adjunta, donde el punto C se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y en B. Al unir O con C obtenemos la bisectriz de ∠AOB. Tú mismo puedes comprobar, haciendo uso del transportador, que la recta OC es la bisectriz de dicho ángulo. L GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 46. 46 1.2. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD eguramente, vistas como las de la fotografía superior te son familiares. ¿Te has puesto a pensar que las vías del tren sugieren la idea de rectas paralelas? Recuerda que dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran. Observa, sin embargo, que las vías del tren con los travesaños que las fijan al suelo, ilustran la idea de rectas perpendiculares, ya que forman ángulo recto. Asimismo, en la fotografía observamos cómo una vía cruza las otras dos, lo que sugiere la idea de rectas oblicuas. ACTIVIDAD 1.8 a. En el aula, ¿qué elementos te sugieren rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas? b. Responde razonadamente y, si lo crees necesario, dibuja la figura. - Si una recta es paralela a otra y ésta lo es a una tercera, ¿cómo son entre sí la primera y la tercera? - Si una recta es paralela a otra y ésta es perpendicular a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera entre sí? - Si una recta es perpendicular a otra y ésta es paralela a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera? - Si una recta es perpendicular a otra y ésta lo es a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera? Todas las consideraciones anteriores están basadas en los axiomas y postulados de la geometría euclidiana y recogidos en la obra de Euclides (s. III a. J.C.), los elementos, donde se halla recopilado, de un modo sistemático y bien organizado, todo el saber matemático conocido hasta su época. Acerca de Euclides, J. Babini en su libro Historia su cinta de la matemática, nos dice: “Casi nada se sabe de Euclides, fuera de las noticias que menciona Proclo en su resumen histórico, según el cual Euclides S GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 47. 47 fue un sabio alejandrino que floreció hacia el 300 a. De C., que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas los célebres Elementos, cuya importancia científica y didáctica se pone en evidencia ante el hecho de que hasta hace pocos años eran aún utilizados como texto escolar. Por lo demás, este tratado fue siempre considerado como sinónimo de geometría, y su extraordinaria difusión le permite rivalizar con las obras cumbres de la literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote.... Los Elementos no contiene toda la geometría griega, ni es un resumen de toda ella; sin duda contiene una gran parte de la matemática que los griegos anteriores a Euclides y el propio Euclides elaboraron, pero esa parte no fue tomada al azar, sino seleccionada de acuerdo con un criterio prefijado que convierte a ese conjunto de conocimientos en un sistema. Esta tendencia al sistema es tan vigorosa en Euclides, y tan rígido en su resultado, que no sólo no se conocen elementos posteriores a los de Euclides, sino que éstos han servido de modelo a un tipo de construcción científica, de método científico, que usado desde entonces en la matemática, se extendió y se extiende actualmente a otros sectores científicos. Por supuesto que los Elementos, ni por su contenido ni por su orientación, son fruto exclusivo de Euclides; su contenido proviene en gran parte de los pitagóricos y de Eudoxo, y en su orientación han influido especialmente Platón y Aristóteles. Del platonismo, del cual era adepto, Euclides tomó la independencia de la ciencia de toda finalidad práctica y por lo tanto la abstracción y la primacía del conocer sobre el hacer; de Aristóteles tomó el riguroso método deductivo, la separación entre principios y teoremas, y la distinción de los principios en definiciones y axiomas. El método euclídeo, que actualmente se prefiere denominar método axiomático, consiste en denunciar previamente los supuestos e hipótesis básicos sobre los que se construirá la ciencia, y edificar luego ésta en forma rigurosamente deductiva. Este método es de difícil realización, tanto por la elección de las hipótesis básicas como por el desarrollo deductivo, de ahí que la crítica moderna haya denunciado que en los Elementos el método axiomático no aparece revestido de todas las precauciones necesarias, ni cumple con todas las exigencias que le impone la lógica; circunstancias que evidentemente no disminuyen el mérito de Euclides de haber aplicado por primera vez, hace 23 siglos, un método fecundo para la ciencia. Los Elementos comprenden 13 libros, la mayoría de los cuales se abren con una serie de definiciones, a las que en el libro 1 se agregan los axiomas, que Euclides, distribuye en dos grupos: postulados y nociones comunes.” J. Babini Historia sucinta de la Matemática Ed. Espasa Calpe GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 48. 48 El más conocido de los postulados es el llamado quinto postulado de Euclides, según el cual, por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a ella y solamente una. El libro de los Elementos, vigente aún en nuestros días, ha servido como texto único de matemáticas hasta finales del siglo XIX, momento en que aparecieron otras nuevas geometrías de la mano de Gauss, Lobatchewski, Bolyay y Riemann. Estas geometrías, llamadas geometrías no euclidianas, se basan en la negación del quinto postulado de Euclides, si bien conservan los restantes. Es preciso aclarar que las distintas geometrías no son contradictorias entre sí, sino complementarias. En nuestro libro nos limitaremos al estudio de la geometría euclidiana. Autorretrato De M. C. Escher GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 49. 49 ACTIVIDAD 1.9 El quinto postulado del libro Elementos de Euclides fue aceptado de forma inmediata por su evidencia frente a los sentidos; sin embargo, en ocasiones, nuestros sentidos nos encubren realidades muy diferentes. Un buen ejemplo lo puedes observar en las figuras siguientes: ¿Son rectas las dos líneas verticales de cada una de las figuras? ; ¿son paralelas? Sirviéndote de una regla, mide a distintas alturas y confirma la veracidad o falsedad de tu respuesta. Observa hasta qué punto los sentidos pueden llegar a traicionarnos, detalle que llevó a los geómetras del siglo XIX a descubrir las geometrías no euclidianas, al poner en entredicho el quinto postulado de Euclides. De la actividad anterior se puede extraer la siguiente conclusión: En geometría, y en matemáticas en general, la intuición no es válida como método de demostración. 1.4.1 TRAZADO DE PARALELAS Y DE PERPENDICULARES eamos a continuación algunos métodos de dibujo para el trazado de paralelas y de perpendiculares haciendo uso de la regla, el compás y la escuadra. a. Paralela a una recta r por un punto P: La primera figura muestra la escuadra deslizándose sobre la regla hasta alcanzar el punto P. En la segunda figura, los arcos y sus centros respectivos están indicados con el mismo color, siendo iguales los radios de los arcos con centros en A y A’. La recta PP’ es la paralela a r por P. Observa que esta recta paralela a r por el punto P es única, tal como asegura el quinto postulado para la geometría euclidiana. b. Perpendicular a una recta r por un punto P: La primera figura no precisa ningún comentario. Por lo que respecta a la V GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 50. 50 segunda, el punto P’ se obtiene de trazar arcos de igual radio con centro en A y B. La recta PP’ es la perpendicular a r por P. Por último, en la tercera figura, para el caso de que el punto P se halle sobre la recta r, trazamos la circunferencia con centro arbitrario O y radio OP. El diámetro trazado por A nos da el punto P’, siendo la recta PP’ la perpendicular deseada. 1.4.2 TRAZADO DE PARALELAS Y DE PERPENDICULARES a mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio. El trazado de la mediatriz se hace como muestra la figura. En ella se han trazado con centro en A y B arcos de igual radio que determinan los puntos P y Q. La recta PQ es la mediatriz del segmento AB. ACTIVIDAD 1.10 a. Dibuja un segmento de unos 8 cm y determina su mediatriz. b. Elige un punto arbitrario de la mediatriz y mide su distancia respectiva a los extremos del segmento. ¿Qué observas? Prueba con otros puntos de la mediatriz. ¿Te atreves a dar un criterio general para todos los puntos de la mediatriz? 1.4.3. PROYECCIÓN ORTOGONAL magina el dardo de la figura cayendo verticalmente por su propio peso sobre la recta r. El punto de impacto P’, de la punta P del dardo con la recta r, se llama proyección ortogonal de P sobre r. Observa que decir ortogonal equivale a decir perpendicular. Si lo que pretendemos es proyectar un segmento PQ sobre la recta r, bastará proyectar los extremos P y Q del segmento y unirlos entre sí. L I GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 51. 51 ACTIVIDAD 1.11 a. La línea ABCDE de la figura se llama línea poligonal. Dibuja su proyección ortogonal sobre la recta r. b. Si un segmento mide 3 cm, ¿Cuánto puede medir su proyección sobre una recta según las distintas posiciones del segmento? ¿En qué caso su proyección sería un punto? ¿En algún caso será de 3 cm? c. A continuación aparecen distintas proyecciones de un punto sobre una recta. ¿Cuál de estas proyecciones no es ortogonal? Justifica tu respuesta. GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________
  • 52. 52 Op Cit, Pp. 28 - 47 1.3. Polígonos ecuerda del tema anterior lo que es una línea poligonal. ¿Puedes dar una definición de ésta? __________________________________ _________________________________ Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, tal como lo muestran las figuras: Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos utilizados en geometría proceden del griego, este hecho no nos debe extrañar, ya que fue en la Antigua Grecia donde la geometría adquirió un gran relieve. En la figura adjunta observarás los elementos básicos de un polígono: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores. Define con tus propias palabras cada uno de ellos. 1.3.1 CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS tro elemento básico de todo polígono es su perímetro. El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos..... En la tabla adjunta puedes observar los prefijos griegos de los polígonos que tienen más de cuatro lados. 5- penta 8-octo 11- undeca --- 6-hexa 9-enea 12- dodeca 20- icosa 7- hepta 10- deca --- --- R O LOS POLÍGONOS LOS POLIGONOS_________________________________________________
  • 53. 53 El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, y sólo en éstos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema. El centro de un polígono regular es el punto interior que se halla a igual distancia de sus vértices, y la apotema es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados. También podemos decir que la apotema es el segmento determinado por el centro y el punto medio de uno de los lados. ACTIVIDAD. 2.1. a. Utilizando la tabla anterior, relaciona el nombre de los polígonos con su número de lados. b. ¿Pueden existir polígonos con menos de tres lados? Justifica tu respuesta. c. Ayudándote con la regla y el transportador descubre qué polígonos son irregulares, y calcula en cm el perímetro de cada uno de ellos. d. ¡Dos hexágonos diferentes! Uno cóncavo y otro convexo. Dibuja a mano alzada un pentágono cóncavo y otro convexo. 1.3.1SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS a. Con la ayuda del transportado, mide los ángulos del triángulo de la figura y comprueba que suman 180°. Puede ocurrir que por errores de precisión no te salga 180°; en tal caso te recomendamos que LOS POLIGONOS_________________________________________________
  • 54. 54 recortes las puntas del triángulo y las adjuntes en posición de suma de ángulos. Observa así que su suma es 180° b. Dibuja varios triángulos diferentes y comprueba que en todos ellos el resultado es el mismo. Observa que: En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es de 180°. c. Dibuja polígonos convexos de distinto número de lados. Completa la tabla calculando el número de triángulos obtenidos en cada polígono al trazar diagonales desde un vértice. Polígono Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Triángulo 3 1 180º Cuadrado 4 2 180º x 2 Pentágono 5 Heptágono 7 Octágono 8 Polígono de n lados n n - 2 Observa que: Puesto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, en un polígono, la suma de sus ángulos interiores será 180°(n – 2). d. Recordando que los polígonos regulares tienen los ángulos interiores iguales, averigua cuánto mide cada uno de ellos en los distintos casos del apartado c y refleja el resultado de la columna vacía de la tabla anterior. Observa que: En todo polígono regular en n lados, cada ángulo interior mide: ( ) n n 2180 −° EJERCICIOS: LOS POLIGONOS_________________________________________________ LOS POLIGONOS__________________________
  • 55. 55 1. ¿Puede ser que algún polígono no tenga diagonales? Justifica tu respuesta. En caso afirmativo, indica cuál o cuáles son. 2. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un pentágono convexo? ¿Y en un polígono convexo de n lados? 3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo es de 1.080°, ¿cuántos vértices tiene? ¿Cuántas diagonales? En el caso de que fuese regular, ¿cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos con el centro? 1.3.3 UN POLÍGONO MUY PARTICULAR: LA CIRCUNFERENCIA l número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiera; así, por ejemplo, es posible construir polígonos regulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, 1.00 lados, etcétera. Al aumentar el número de lados, éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cual habríamos construido un polígono muy particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro. Reconocemos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes. El radio de la circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste. El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie. el añillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de circulo. TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES 1.3.4 TRAZADO DE POLÍGONOS E LOS POLIGONOS___________________________
  • 56. 56 REGULARES l trazado de polígonos regulares a mano alzada es prácticamente imposible, como tú mismo puedes comprobar. Por ello se hace necesario recurrir a métodos de dibujo. A continuación exponemos dos métodos para construir un polígono regular. a. Conocido el lado del polígono: Sea L el lado. Trazamos dos arcos desde sus extremos y obtenemos el centro B, y describimos una circunferencia que nos contendrá seis veces al lago. El radio de ésta, AB, lo dividiremos en seis partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si hacemos centro en 1 y radio hasta C, dibujaremos una circunferencia que contiene ocho veces el lado L y así sucesivamente hasta llegar a tomar como centro el punto 6 y radio hasta C, lo que permite dibujar una circunferencia que contiene doce veces al lado L. b. Dada una circunferencia: Uno de los problemas que con más frecuencia nos encontraremos será la necesidad de tener que dividir la circunferencia en un número determinado de partes iguales. A pesar de que existen diversos procedimientos, exponemos aquí el más conocido y que podemos llamar general porque sirve para todos los casos que se nos puedan presentar. Empezaremos por dibujar la circunferencia dada. El diámetro AB lo dividiremos en un número de partes igual al que queremos dividir la circunferencia, en este caso siete. Tomando como radio el diámetro de la circunferencia y centro en los extremos de éste, A y B, describimos dos arcos que al cortarse nos darán el punto C. Se une mediante una recta el punto C con el 2 y se prolonga, obteniendo el D. El arco AD es la séptima parte del total de la circunferencia. En todos los casos se opera del mismo modo, teniendo siempre presente que la recta que une el punto exterior C ha de pasar por el 2 (segunda división del diámetro.) (Para dividir un segmento en n de partes iguales ver Pág. 49). 1.3.5 POLÍGONOS REGULARES TRELLADOS E LOS POLIGONOS___________________________
  • 57. 57 na de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la lacería árabe la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir vértices no consecutivos de los polígonos regulares. Así por ejemplo, si consideramos un pentágono regular y unimos sus vértices saltando de dos en dos, obtenemos la estrella pentagonal. Esta estrella sirvió de emblema a la escuela pitagórica fundada por Pitágoras en Crotona, en el siglo VI a J.C. Por otra parte, sin embargo, la estrella de Israel o hexágono estrellado, obtenido a partir del hexágono regular mediante saltos de dos vértices, no puede ser dibujada de un solo trazo. De todo lo anterior podemos concluir que existen dos tipos de polígonos estrellados, según estén construidos con uno o con varios trazos. ACTIVIDAD 2.3. a. Traza una circunferencia y divídela en ocho partes iguales. Une los puntos saltando de dos en dos. Utilizando otro bolígrafo de diferente color, dibuja sobre la misma circunferencia el polígono estrellado que se obtiene al unir los ocho puntos mediante saltos de tres en tres. b. Repite la experiencia anterior pero en este caso dividiendo la circunferencia en 7 partes iguales. c. De los apartados anteriores, observa que en los polígonos estrellados de un solo trazo, el número de vértices y la amplitud del salto son números primos entre sí. Traza todos los polígonos estrellados posibles de un solo trazo de 15 vértices. ¿Por qué no son de un solo trazo de saltar de 3 en 3 y de 5 en 5? 1.4.TRIÁNGULOS Recordemos del apartado anterior que el triángulo es un polígono de tres lados, y por tanto el más sencillo de los polígonos que se pueden construir. 3.1. CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS tendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos. Los triángulos equiláteros tienen sus tres lados iguales, los isósceles tienen dos lados iguales y uno desigual, y por último, en los triángulos escalenos sus tres lados son desiguales. Por otra parte, atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser rectángulos, obtusángulos o acutángulos según tengan respectivamente un ángulo U A
  • 58. 58 recto, un ángulo obtuso o bien los tres ángulos agudos. En los triángulos rectángulos los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa. La base de un triángulo puede ser uno cualquiera de sus lados, y en tal caso, su altura es la perpendicular bajada a la base, o a la prolongación de ésta, desde el vértice opuesto. ACTIVIDAD 2.4 Recordando que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, responde justificando tu respuesta: a. ¿Puede un triángulo tener más de un ángulo recto? ¿Y más de un ángulo obtuso?. b. ¿Cómo son los ángulos que se oponen a los lados iguales de un triángulo isósceles? ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo equilátero y cuánto mide cada uno de ellos? c. Completa la tabla siguiente dibujando a mano alzada todos los posibles tipos de triángulos. Equilátero Isósceles Escaleno Rectángulo No existe T1 T2 T3 Obtusángulo No existe T4 T5 T6 Acutángulo T7 T8 T9 T6 es escaleno y obtusángulo y T8 es isósceles y acutángulo ¿Por qué crees que no es posible dibujar triángulos de los tipos T1 y T4? d. En un triángulo rectángulo, ¿cuánto suman sus ángulos agudos? Si el triángulo rectángulo fuera isósceles, ¿cuánto mediría cada ángulo agudo? e. ¿Qué tipos de triángulos te sugieren cada una de las escuadras de tu juego? EXPERIENCIA: MANIPULANDO TRIÁNGULOS LOS POLIGONOS_________________________________________________ LOS POLIGONOS__________________________
  • 59. 59 on tiras de papel perforadas en sus extremos podemos construir un triángulo uniendo simplemente las tiras con broches latonados de patitas, como muestra la figura adjunta. Construye tus propios triángulos con tiras de papel perforado de 6, 6 y 9 cm, así como con tiras de 12, 15 y 21 cm. ¿Es posible construir un triángulo con tiras de 6, 9 y 18 cm? Ayúdate con la figura adjunta. un criterio general para que tres segmentos formen triángulo es el siguiente: Tres segmentos forman un triángulo si la suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que la del otro. 1.4.2 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS ara construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos. En cada caso se procede como vemos a continuación: a) Conocidos los tres lados a, b y c: Sobre uno de ellos, hacemos centro en sus extremos y con radios iguales a los otros dos, se trazan arcos hasta que se corten. b) Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C: Se dibuja dicho ángulo, y a partir del vértice, distancias iguales a los lados dados definen el triángulo. c) Con un lado a y los dos ángulos adyacentes B y C: Se dibuja sobre los extremos del lado dichos ángulos, obteniéndose así el triángulo. Criterios de igualdad: Dos triángulos son iguales si coinciden al superponerlos. No es preciso comprobar la igualdad de sus tres lados y de sus tres ángulos; basta conocer la igualdad de alguno de estos elementos. C P LOS POLIGONOS__________________________
  • 60. 60 I. Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales uno a uno. II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y dos ángulos. III. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Observa que la justificación de estos criterios de igualdad está basada en las tres construcciones expuestas anteriormente. Algunos textos de geometría enuncian el segundo criterio en los siguientes términos: -Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes-. Pero, ¿por qué no es preciso que los dos ángulos sean los adyacentes al lado conocido? 1.4.3. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. RECTA DE EULER e hace preciso en este momento tener bien presentes algunos conceptos básicos expuestos con anterioridad, tales como mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo y perpendicular a una recta por un punto exterior a ella, por lo que sería conveniente que refrescaras previamente estos conceptos. ACTIVIDAD 2.5 a. Sobre un triángulo ABC, dibuja con regla y compás las mediatrices correspondientes a los tres lados y constata que las tres se cortan en un punto al que llamaremos circuncentro. Observa que con centro en dicho punto podemos trazar una circunferencia que pase por los tres vértices, llamada circunferencia circunscrita al triángulo. A su vez, el triángulo está inscrito en la circunferencia. b. Dibuja las tres alturas del triángulo ABC y comprueba que se cortan en un punto al que denominaremos ortocentro. c. La recta que pasa por un vértice y el punto medio de lado opuesto se llama mediana. Dibuja sobre el triángulo ABC las tres medianas y comprueba que se cortan S LOS POLIGONOS____________________________
  • 61. 61 en un punto al que nombraremos baricentro. Observa que: la distancia de cada vértice al baricentro es 3 2 de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto (líneas azules, líneas paralelas) d. En el triángulo ABC, dibuja las bisectrices de los tres ángulos y comprueba que se cortan en un punto al que se designa con el nombre de incentro. Observa que con centro en dicho punto podemos trazar una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, llamada circunferencia inscrita al triángulo. Y también, el triángulo está circunscrito a la circunferencia. e. Es curioso hacer notar que en cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados en una recta llamada recta de Euler. Experiencia: visualizando la recta de Euler Las figuras adjuntas te muestran el circuncentro, ortocentro y baricentro de un triángulo ABC y sus respectivas construcciones. Copia en diferentes hojas de papel transparente cada una de ellas y observa que al superponerla, haciendo LOS POLIGONOS____________________________
  • 62. 62 coincidir los lados del triángulo, visualizarás a contraluz la recta de Euler que pasa por los tres puntos mencionados. Este hecho no es fortuito. Compruébalo asimismo para los siguientes triángulos.
  • 63. 63 Experiencia: Localizando el punto de gravedad de un triángulo En todo triángulo el baricentro resulta ser su centro de gravedad (punto donde se concentra su masa) Compruébalo con un triángulo de cartón, haciendo pasar por el mismo un hilo anudado en su extremo y observando que se mantiene en posición horizontal o de equilibrio. Repite la experiencia pasando el hilo por otro punto distinto del baricentro. EJERCICIOS: 1. De un triángulo isósceles sabemos que su perímetro es 23 cm y que uno de sus lados iguales mide 9 cm. ¿Cuánto medirá el lago desigual? 2. ¿Hay algún caso en que los cuatro puntos notables de un triángulo incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro, coincidan? Justifica tu respuesta. 3. El baricentro de un triángulo se encuentra a 6 cm de uno de sus vértices. ¿Cuál es la longitud de la mediana correspondiente a dicho vértice? 4. Sobre los lados iguales AB y AC de un triángulo isósceles se toman dos segmentos BP y CQ respectivamente iguales a AC y AB. Demuestra, haciendo uno de uno de los criterios de igualdad de triángulos, que BQ = CP. 5. ¿Pueden ser los ángulos de un triángulo la mitad de los de otro? ¿Y sus lados? Razona la respuesta. 6. Judith tiene la curiosidad de saber la altura a que se encuentra la ventana de su habitación, y para ello, con la ayuda de una escuadra y un taburete de un metro de altura, crea la situación descrita en el dibujo adjunto. ¿A qué altura, sobre el suelo, se encuentra la ventana de Judith? (recuerda que los ángulos agudos de la escuadra miden 45°). 7. El lado mayor de un triángulo es 8/5 de lado menor y éste es 5/6 del lado mediano. Sabiendo que el perímetro es 38 dm, determina la longitud de los tres lados. LOS POLIGONOS_________________________________________________
  • 64. 64 1.4.CUADRILÁTEROS ecuerda que el cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Sin duda, es uno de los polígonos que resulta más familiar, basta observar el plano de un piso para comprobar que está compuesto en su mayoría por piezas en forma de cuadriláteros. No obstante, no todos los cuadriláteros tienen la misma forma, por lo que vamos a clasificar cada uno de ellos 1.3.1CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS ACTIVIDAD 2.6. Paralelogramos (lados paralelos dos a dos) Cuadrado Rectángulo Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos Rombo Romboide Trapecios (solo dos lados paralelos) Trapecio rectángulo Sección inferior de un triángulo rectángulo por una base paralela a la base Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapezoides (ningún lado paralelo) Trapezoide EXPERIENCIA: LOS CUADRILÁTEROS Y EL TANGRAM Conoces algún juego de tangram? Estos consisten en obtener diferentes figuras según la colocación de algunas piezas básicas. A continuación te proponemos la construcción de uno de ellos sobre el anagrama de la Cruz Roja. Este anagrama está descompuesto en 8 tipos diferentes de R ¿ LOS POLIGONOS_________________________________________________ LOS POLIGONOS__________________________
  • 65. 65 cuadriláteros. Identifica cada uno de ellos, pasando después a calcar la figura con el fin de poder recortar sus piezas básicas. Una vez recortada, intenta recomponer el anagrama. Otra figura posible a partir de este tangram es la siguiente: ¿Sabrías componerla con las piezas básicas? 1.5.2. PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO -Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales: En efecto: ya que  =  y ∠B = ∠B por ser alternos internos entre paralelas, y además la diagonal es lado común a los dos triángulos, lo que nos sitúa en el criterio II de igualdad de triángulos. 2. Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio. 3. En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicularmente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos. 4. En el rectángulo y el cuadrado, las diagonales son iguales. ACTIVIDAD 2.7 a. Comprueba la propiedad 1 vista anteriormente, recortando los triángulos de un paralelogramo y superponiéndolos. b. Dibujando convenientemente y midiendo con regla y transportador, comprueba que las propiedades 2, 3 y 4 son ciertas. c. ¿Son ciertas las propiedades anteriores para un cuadrilátero cualquiera? Justifica tu respuesta ayudándote con los diferentes cuadriláteros. Ejercicios: 1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular de 80 m por 60 m en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un muchacho muy inteligente, le dice que una manera de hacerlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a continuación las diagonales de los 1 LOS POLIGONOS__________________________
  • 66. 66 rectángulos. Dibuja un rectángulo y comprueba que es correcto el consejo del muchacho. Calcula el perímetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo dista 50 m de cada uno de sus vértices. 2. El perímetro de un rombo es 20 cm y uno de sus ángulos mide 85°; determina la longitud de cada uno de sus lados y la amplitud de sus ángulos. 3. Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm; une los puntos medios de los lados no paralelos y pasa a medir el segmento así determinado. Compara este resultado con la suma de las longitudes de las bases. ¿Qué deduces? 4. El siguiente trapecio rectangular está formado, como muy bien puedes observar, por la combinación de un cuadrado y la mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en cuatro trozos exactamente iguales? 5. Un trapecio isósceles tiene la base mayor triple que la menor; cada uno de los lados oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la base menor. Determina el perímetro del trapecio. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ
  • 67. 67 Op Cit Pp. 44 – 65 3.1.PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS n un día de sol, los cuerpos producen sombra. ¿Te has detenido a pensar la relación que existe entre la altura de los cuerpos y la longitud de las sombras que éstos producen? Ya en el S. VI a J.C., uno de los siete sabios de Grecia, Tales de Mileto, se planteaba esta y otras cuestiones análogas, de las que nos ocuparemos más adelante. De la vida de Tales se sabe que era un rico comerciante de Mileto, que vivió aproximadamente desde el 640 hasta el 550 a. J.C. Tenía mucho éxito como hombre de negocios; sus tareas como mercader los llevaron a muchos países y su ingenio natural le permitió aprender de las novedades que veía. Fue conocido por sus admirados compatriotas de generaciones posteriores como uno de los Siete Sabios de Grecia; muchas leyendas y anécdotas se reúnen en torno a su nombre. Se dice que una vez Tales estaba encargado de algunas mulas cargadas con sacos de sal. Mientras cruzaba un río, uno de los animales resbaló; al disolverse, en consecuencia, la sal en el agua, su peso disminuyó instantáneamente. ¡El astuto animal, como es natural, se sumergió deliberadamente en el próximo vado y continuó este truco hasta que Tales atinó con la feliz solución de llenar el saco de esponjas! Este demostró ser un remedio eficaz. En otra ocasión, Tales, que preveía una cosecha de olivas extraordinariamente finas, se apoderó de todas las prensas de olivas del distinto; una vez obtenido este monopolio, se convirtió en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias condiciones. Pero entonces, según un relato, una vez hubo demostrado lo que se podía hacer, su propósito y había sido conseguido; en vez de oprimir a sus compradores, vendió magnánimamente la fruta a un precio tan razonable que horrorizaría a un capitalista de hoy en día. Tales, como muchos otros comerciantes de su tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero, diferenciándose de otros muchos, dedicó su ocio a la filosofía y las matemáticas. Comprendió lo que había visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto; y fue el primero en poner de relieve algo del verdadero significado del saber científico egipcio. Fue un gran matemático y un gran astrónomo a la vez. En realidad, gran parte de su fama popular se debió a su acertada predicción de un eclipse solar en el año 585 a J.C. No obstante, se dice que, mientras contemplaba las estrellas E
  • 68. 68 durante un paseo nocturno, cayó dentro de una zanja; entonces una anciana que lo atendió exclamó: ¿cómo podéis saber qué ocurre en los cielos si no veis lo que se encuentra a vuestros pies? Tales nunca olvidó la deuda contraída con los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era un anciano aconsejó firmemente a su discípulo Pitágoras que les hiciera una visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con este consejo, viajó y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la larga, se estableció y reunió sus propios discípulos a su alrededor, llegando a ser aún más famoso que su maestro. James r. Newmann El mundo de las matemáticas Ed. Grijalbo Es sabido que el sol incide con igual inclinación sobre los cuerpos en un determinado momento y lugar, como puedes observar en la figura. Observando el esquema y utilizando la regla milimetrada, compara las alturas de la abuela y del bastón, con sus respectivas sombras. ¿Podemos predecir la sombra producida por un árbol de 4,5 m de altura en el mismo momento y lugar? Te habrás percatado de que las sobras miden el doble de sus altura, por lo que '*2 AAOA = y '*2 BBOB = Y, por tanto: 2 '' == BB OB AA OA La igualdad '' BB OB AA OA = es una proporción de segmentos, y el valor 2 común a ambos cocientes, la razón de la proporción. ACTIVIDAD 3.1 a. En la fotografía anterior comprueba, usando la regla, que la relación de proporcionalidad entre el tamaño de los cuerpos y sus sombras respectivas en la misma para todos ellos. Este argumento le permitió a Tales, en uno de sus viajes a Egipto medir la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura. ¿Con qué razón de PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ