1. RESOLUCIÓN PRIMER PARCIAL MAT. 1101 “G”
x 2 − 4x − 5 x 2 − 10x + 25
1.- Resolver: 〈 .... . . . ∀ x ∈ R
x − 1 x+ 3
Solución:
Usando la propiedad: a
2
= 2
a
para que desaparezca el valor absoluto de la inecuación:

2. ( )( )
2 2 2 2 2
x − 4x − 5 x − 10x + 25  x − 4x − 5   x2 − 10x + 25  x2 − 4x − 5 x2 − 10x + 25
2 2 2 2
〈 ⇒   〈   ⇒ 2 〈 2
x − 1 x + 3  x − 1   x + 3  ( x − 1) ( x + 3)
Factorizando :
( x + 1) ( x − 5) 2 〈 ( x − 5) ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x − 5) 2 〈 ( x − 5) 2( x − 5) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2 ( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
E liminamdo _ ter min os _ Semejantes :
( x + 1) 2 〈 ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
 x〉 0. . . . +
 Aplicando la regla de los signos:
Considerando : x =  x = 0
 x〈 0. . . . −

Se _ formaran _ dos _ inecuaciones :
a). .Con : x〉 0. . . . +
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9) 〈 ( x2 − 10x + 25)( x2 − 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 12x3 + 46x2 − 60x + 25
( )
20x3 − 24x2 + 84x − 16〈 0 ⇒ 4 ⋅ ( 5x − 1) x2 − x + 4 〈 0
Sean _ las _ raizes :
1 1± 1− 4
x1 = . . . y. . . . x2y3 = . .∉ R.
5 2
 1
Comprobando para el intervalo:  ∞5 

− ;

.......Para : x =0

3. 20x3 − 24x 2 + 84x − 16〈 0
20 ⋅ 03 − 24 ⋅ 02 + 84 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
a). .Con : x〈 0. . . . . −
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( − x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9)〈 ( x2 − 10x + 25) ( x2 + 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 8x3 + 6x2 + 40x + 25
16x3 + 16x2 − 16x − 16〈 0 ⇒ 16 ⋅ ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 〈 0
Sean _ las _ raizes :
x1 = 1. . . . y. . . . . x2y3 = − 1
Aplicando la regla de los signos:
Comprobando para el intervalo: ] 1 1 .......Para
− ; [ : x =
0
16x3 + 16x 2 − 16x − 16〈 0
16 ⋅ 03 + 16 ⋅ 02 − 16 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V

4. Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
La solución déla inecuación estará dada por la graficas:
 1
∴Cs = − ∞ 
;
 5
2.- Determinar el dominio de la función, e indicar si la función es PAR o IMPAR.
 1
( )
f ( x ) =  x ⋅ x +  ⋅ sen x 2
x

Solución:
 2n − a

a
Las condiciones para hallar dominios de funciones son: f ( x ) =  en caso de que
 0
 ln( − a )

alguna de estas condicione aparezca, no da a entender que en esos valores la función no
tiene su dominio.
Como se puede observa en la expresión lo único que se debe evitar es la división por cero.
∴Df = x ∈ / x ≠}
{∀ R 0
Para saber si es una función par o impar se debe considerar lo siguiente:
De la definición de función PAR: f ( x ) = (x )
− f
De la definición de función IMPAR: f ( x )= f ( )
− − x

5. 
f ( − x ) = − x ⋅ x +
1 
( )  1  1
⋅ sen ( − x ) ⇒ f ( − x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x ⇒ f ( x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x
−x 
2

x
2

x
( )
2
( )
  
Como puede observarse la función es impar.
 x. . . . . Si x ≥ 1
3.-Estudiar la continuidad de la función: h( x ) =  2
 x − 1. . .Si x 〈 1
Solución:
 x〉 0
 x
Para: x. . . . . Si x ≥ 1⇒ sea : y = x _ pero : x =  x = 0 ⇒ y = 
 x〈 0 − x

 x〉 0
  x≥ 1
De las condiciones: x ≥ 1⇒ pero: x =  x = 0⇒ x = 
 x〈 0  x −≤ 1

De la misma forma para: x2 − 1. . .Si x〈 1 ⇒ sea : y = x2 − 1

6.  x〉 0
  x〈 1
De las condiciones:
x〈1⇒ pero: x =  x= 0 x =⇒ 
 x〈 0  x〉 − 1

Graficando ambas funciones dadas por tramos, se observa que la función no es continua.
Ya que no cumple las condiciones de continuidad:
a) _ f ( a ) = No _ existe
lim f ( x )
b) _ = No _ existe
x→ a
lim f ( x )
c) _ f ( a ) ≠
x→ a

7. 1 −cos x
4.- Sea la función: f ( x) = , hallar el limite en x =0
si existe. Sugerencia:
senx
Hallar y analizar los limites laterales.
Solución:
1 −cos x 1 −cos 0 1− 1 0
lim f ( x ) =lim ⇒ =
L ⇒L = ⇒L = , existirá una
x→0 x→0 senx sen0 0 0
indeterminación, la cual aremos desaparecer, utilizando un artificio matemático:
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒lim ⇒lim ⇒lim
x→0 x→0 senx x→ 0 sen 2 x x→ 0 1 − cos 2 x x→ 0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→0 (1 + cos x ) 1 + cos 0 2
Como sabemos, el límite existiera si y solo si, los limites, laterales son iguales, es decir el
límite por izquierda es igual al límite por derecha:
lim f ( x ) = lim f ( x ) − +
x→0 x→0
Resolviendo los límites laterales:
Por la propiedad del coseno: ( cos −) =
x cos x
a)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ −
0 −
x→0 senx x→ −
0 sen 2 x x→ −
0 1 − cos 2 x x→ −
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→ −
0 (1 + cos x ) 1 + cos( − 0 ) 2
b)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ +
0 +
x→0 senx x→ +
0 sen 2 x x→ +
0 1 − cos 2 x x→ +
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = 
x→ +
0 (1 + cos x ) 1 + cos( 0 ) 2
Como se puede observar tanto el límite por izquierda cono por derecha no son iguales:
1 −cos x 1 −cos x
lim ≠ lim
x→ −
0 senx x→ +
0 senx
1 1
± =
2 2
∴ El _ límite _ no _ existe