Tasas de Interés y Conversión

MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Tasas de Interés
Carlos Mario Morales C

Contenido temático
 Tasa de interés Nominal
 Tasa de Interés efectiva
 Conversión de tasa nominal a tasa efectiva y
viceversa
 Conversión de tasa efectiva a tasa efectiva
 Ecuación de Valor
Tasas de Interés

Concepto: Es una tasa de interés de referencia que representa la
tasa que se cobra a un capital en un año; cuando los intereses se
liquidan y capitalizan en un periodo determinado. De esta forma,
pueden existir varias tasas nominales, dependiendo del periodo de
capitalización: nominal-mensual, nominal-semestral, nominal-anual,
etc.
La tasa nominal se representa con la letra j
Denominación: Se nombra con el valor y las letras N o C (que
indica que es nominal), seguida de una letra que indica el periodo
de capitalización. Ejemplos: 40%CT o 40%NT
Tasa de Interés Nominal

Es la tasa de interés que efectivamente se cobra por un periodo de tiempo;
de esta forma, la tasa corresponderá a un periodo (n) y se representa por
una letra 𝑖
Si “𝑛” son trimestres entonces, la tasa será 𝑋% Efectivo Trimestral (ET)
Si “𝑛” son meses entonces, la tasa será 𝑋% Efectivo Mensual (EM)
Si “𝑛” son semestres entonces, la tasa será 𝑋% Efectivo semestral (ES)
Si “𝑛” es anual se puede omitir el calificativo, es decir: 𝑋% Efectivo (E o EA)
Tasa de Interés Efectiva

$1000
10%
100
1000
Conversión de tasa nominal a tasa efectiva y
viceversa
La tasa Nominal es igual a la efectiva multiplicada por el
número de periodos (m) de capitalización que hay en un
año
𝐽 = 𝑖 × 𝑚
La tasa efectiva es igual a la Nominal dividido por el
número de periodos (m) de capitalización que hay en un
año
𝑖 =
𝑗
𝑚

Conversión de tasa efectivas
Equivalencia de Tasas: dos tasas efectivas son equivalentes
cuando teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al
final del año.
Igualando estas dos ecuaciones y despejando 𝑖1 se obtiene que:
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖1) 𝑛1
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖2) 𝑛2
𝑖1 = (1 + 𝑖2)
𝑛2
𝑛1−1
𝑖2 tasa efectiva conocida
𝑖1 tasa efectiva desconocida
𝑛1 Periodo de capitalización de la tasa desconocida
𝑛2 Periodo de capitalización de la tasa conocida

En contraste con el interés 𝑖 (vencido), el interés anticipado se denomina 𝑖 𝑎.
Cuando no hay una referencia específica, se supone que la tasa de interés será
siempre vencida
Modelo matemático
𝑖 =
𝑖 𝑎
1 − 𝑖 𝑎
Despejando 𝑖 𝑎 en función de 𝑖 entonces se obtiene:
𝑖 𝑎 =
𝑖
1 + 𝑖
Equivalencia entre tasas efectivas anticipadas y vencidas

Relación entre las tasas vencidas y anticipadas
Equivalencia de Tasas: dos tasas efectivas son equivalentes
cuando teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al
final del año.
Igualando estas dos ecuaciones y despejando 𝑖1 se obtiene que:
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖1) 𝑛1
𝑉𝐹 = (1 + 𝑖2) 𝑛2
𝑖1 = (1 + 𝑖2)
𝑛2
𝑛1−1

Conversión entre tasa de Interés
Existen innumerables situaciones de la vida cotidiana donde se hace necesario
convertir la tasa de interés dada a otra denominación con el fin de poder
comparar para la toma de decisiones o simplemente realizar cálculos.
Se pueden tener varias posibilidades, así:
1. Una tasa nominal a otra
2. Nominal a Efectiva vencida
3. Nominal a efectiva anticipada
4. Efectiva vencida a Nominal
5. Efectiva anticipada a Nominal
6. Efectiva a efectiva
7. Efectiva vencida a efectiva anticipada
8. Efectiva anticipada a efectiva vencida

Utilizando los modelos matemáticos vistos previamente se puede convertir
cualquier tasa a cualquier base siguiendo los pasos que se ilustran en las
siguientes graficas:
j1
i1 i2
j2
1
2 3
4
𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1

j11
2 3
4
i1
i2
j2
i1aj1a i2a
j2a
5 6 7 8𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
𝑖1𝑎 =
𝑗1𝑎
𝑚
𝑗2𝑎 = 𝑖2𝑎 × 𝑚

Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017
Considerando el concepto de equivalencia entre valores financieros de una
operación financiera; es posible igualar los valores de la operación en una fecha
determinada, la cual se denomina fecha focal (ff).
Fecha Focal: es una fecha cualquiera en la cual se da la igualdad entre ingresos
y egresos. La fecha focal se define libremente a criterio del analista; en las
ecuaciones se representan como ff, y gráficamente como una línea interrumpida
perpendicular a la línea del tiempo, cruzando por el periodo escogido
Principio Fundamental: se establece que para toda operación financiera la
sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos en la
fecha focal; o lo que es igual la suma de las obligaciones igual a la suma de los
pagos
Ecuaciones de Valor

∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)
∑ Obligaciones = ∑ Pagos (en ff)
Ingresos
Egresos
Fecha Focal
ff
Ecuaciones de Valor

DTF: se define como el promedio ponderado semanal de las tasas
de captación de los certificados de depósito a 90 días pagando los
intereses por anticipado; en los bancos, corporaciones financieras,
compañías de financiamiento y corporaciones de ahorro y vivienda.
TCC: es el promedio ponderado de las tasas de captación de los
certificados a 90 días solo en las corporaciones financieras
CDAT: depósitos a término fijo de menos de un mes
Depósitos a termino fijo
Aplicaciones de interés compuesto

La inflación es el fenómeno económico que representa el alza general de los
precios de una economía; por su parte, cuando se presenta una baja
generalizada de precios el fenómeno se denomina deflación. La inflación se
simboliza con la letra “𝑓”; la deflación estará representada por inflación
negativa “ − 𝑓”
La devaluación (𝐷𝑣) es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por
ejemplo, hay devaluación del peso frente al dólar cuando hoy hay que pagar
$1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde su valor es $1.900 pesos
Inflación y Devaluación

La inflación se calcula con base en los aumentos de los productos de la
canasta familiar, la cual es un conjunto de artículos previamente
seleccionados que representan la totalidad de los productos de consumo.
Todos los cambios de la canasta familiar se miden a través del IPC –Índice de
Precios al Consumidor-
En el sector empresarial la canasta familiar en vez de bienes de consumo
incluye materias primas, salarios, servicios y demás materiales e insumos
necesarios para la producción, en este caso la inflación de los productos se
mide de acuerdo a las variaciones del IPP –Índice de precios al productor- el
cual varía de acuerdo sector económico.
La inflación se mide como una tasa efectiva anual
Calculo de la Inflación

La devaluación es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por ejemplo, hay devaluación
del peso frente al dólar cuando hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde
hay que pagar $1.900 pesos por el mismo dólar; para calcular la devaluación se procede como
sigue:
𝐷𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
1.900 − 1.800
1.800
= 0,0555 = 5,55%
En este caso, se dice que hubo una devaluación del 5,5% del peso con respecto al dólar
En general la 𝐷𝑣 se calcula como:
𝐷𝑣 =
𝑇𝐶𝑓 − 𝑇𝐶𝑖
𝑇𝐶𝑖
= 𝐷𝑣%
Calculo de la Devaluación

En el ejemplo anterior, la inversión gana dos tasas de interés por un lado la tasa de interés reconocida por el banco y
por otro lado la tasa de devaluación del peso con respecto al dólar. En estos casos cuando se combina una tasa i1 y
una tasa i2, se puede determinar una tasa combinada que reúne ambas tasa de interés. A continuación se deduce la
formula del interés combinado: Para un peso sometido a una tasa de interés i1, durante un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1
Si este valor resultante se somete a una tasa de interés i2, también durante de un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
El monto final, aplicando una tasa de interés combinada, durante un periodo, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐
Igualando las dos expresiones anteriores, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐 = 1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
Al despejar 𝑖 𝑐, se obtiene:
𝑖 𝑐 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖1 × 𝑖2
Tasas combinadas

En los proyectos de inversión la rentabilidad real se ve afectada por la
inflación. para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la formula de
tasas combinadas, considerando que la tasa combinada se compone de la
tasa real y la tasa causada por la inflación
𝑖 = 𝑖 𝑟 + 𝑓 + 𝑖 𝑟 × 𝑓
Despejando 𝑖 𝑟, se obtiene:
𝑖 𝑟 =
𝑖 − 𝑓
1 + 𝑓
𝑖 𝑟 se conoce como tasa deflactada
Tasas deflactadas

Muchos de los créditos que se adquieren en el sector financiero
comúnmente se pactan a una tasa de interés principal más unos
puntos adicionales; a estos puntos adicionales se les denomina
“SPREAD”.
Cuando la tasa de interés principal esta dada por una tasa efectiva,
para calcular la tasa pactada, es decir la principal más el SPREAD, se
utiliza la formula de tasas combinadas; por su parte, cuando la tasa
principal se expresa como un interés nominal, entonces simplemente
se suman la tasa principal y el SPREAD.
En general la inflación se expresa como una tasa efectiva anual, el
DTF y el TCC como un interés nominal
Tasas Referenciadas

Son letras de cambio, respaldadas por una
entidad financiera, con cargo a un
proveedor de bienes; a través de ellas la
entidad asegura el pago al momento del
vencimiento. En general, su plazo es menor
a un año; no son divisibles y no son
gravables en el mercado primario. Las
Aceptaciones reciben el nombre de
bancarias cuando son respaldadas por los
bancos, y financieras cuando su respaldo
proviene de otras entidades financieras
Aceptaciones Bancarias y financieras
Banco /Entidad
Expide aceptacion a
solicitud de un
Comerciante
Comerciante
recibe la aceptación
del Banco
Proveedor
recibe aceptacion del
comerciante como
respaldo a una compra
OTC
mercado extrabursatil;
donde se puede
descontar Aceptación
Bolsa
Mercado Bursatil donde
se puede descontar la
aceptacion

1. Una empresa realiza inversiones por $100´000.000 y $300´000.000 en
Enero y Mayo respectivamente del año 2005; como rendimiento a dicha
inversión recibe a partir de Enero del 2006, cada seis meses durante ocho
años, la suma de $55´000.000. A través de una gráfica de flujo de caja
ilustre la operación financiera
2. Un concesionario de vehículos, que utiliza interés exacto, ofrece su último
modelo que tiene un valor de $80´000.000 con el siguiente plan de
financiación: la mitad de contado y el resto se paga dentro de un año. ¿Qué
tasa de interés está cobrando el concesionario a un cliente que compra el
vehículo el 1 de agosto del 2011, si este debe pagar $52´000.000 al cabo
del año?
Ejercicios

3. Un empresario establece una fiducia por $65´000.000 el 15 de septiembre
del 2011 ¿Durante cuánto deberá mantenerla establecida, para al final
recibir $72´000.000; si la entidad reconoce interés exacto y una tasa de
interés simple del 1,4% mensual.
4. ¿Cuánto deberá ahorrar una familia el día de hoy en una entidad bancaria,
para pagar la cuota inicial de un apartamento, $18´000.000, el 25 de
octubre del 2012, si la entidad reconoce una tasa de interés simple del
0,8% mensual?
5. Una persona compra una cocina a crédito; si la tasa de interés simple que
cobra el comerciante es 1,2% mensual ¿Cuál será el valor de la cocina de
contado, si la persona paga al cabo de tres meses la suma de $2´850.000?
Ejercicios

Tasas de Interés y Conversión

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (6)

Similar a Tasas de Interés y Conversión

Similar a Tasas de Interés y Conversión (20)

Más de Escuela Negocios (EDUN)

Más de Escuela Negocios (EDUN) (20)

Último

Último (20)

Tasas de Interés y Conversión