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SECCIONES CONICAS
INTRODUCCIÓN
DEFINICIÓN
Curvas o lugares
geométricos que se
generan al interceptar un
plano con un cono
circular recto.
Generatriz del
cono
1. LA CIRCUNFERENCIA
Se forma de la
intersección del cono
circular recto con un
plano horizontal, paralelo
a la base del cono
Plano paralelo a la
base
Circunferencia
Base del cono
2. LA PARÁBOLA
Se forma de la
intersección del cono
circular recto con un
plano paralelo a la
generatriz del cono
Generatriz del cono
Parábola
Plano paralelo a la
generatriz del cono
3. LA ELIPSE
Se forma de la
intersección del cono
circular recto con un
plano oblicuo a la base
del cono
Plano oblicuo a la
base
Base del cono
Elipse
4.LA HIPÉRBOLA
Se forma de la
intersección del cono
circular recto con un
plano vertical,
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parabólica
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  • 2. DEFINICIÓN Curvas o lugares geométricos que se generan al interceptar un plano con un cono circular recto. Generatriz del cono
  • 3. 1. LA CIRCUNFERENCIA Se forma de la intersección del cono circular recto con un plano horizontal, paralelo a la base del cono Plano paralelo a la base Circunferencia Base del cono
  • 4. 2. LA PARÁBOLA Se forma de la intersección del cono circular recto con un plano paralelo a la generatriz del cono Generatriz del cono Parábola Plano paralelo a la generatriz del cono
  • 5. 3. LA ELIPSE Se forma de la intersección del cono circular recto con un plano oblicuo a la base del cono Plano oblicuo a la base Base del cono Elipse
  • 6. 4.LA HIPÉRBOLA Se forma de la intersección del cono circular recto con un plano vertical, perpendicular a la base del cono Notar que son dos ramas con tendencia parabólica Plano perpendicular a la base Hipérbola
  • 7. Identificación de las cónicas Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado con dos variables es una ecuación de la forma: Donde A,B,C,D,E,F son constantes arbitrarias no todas iguales a cero. El conjunto de pares ordenados (x,y) del plano que satisfacen la ecuación anterior se llama sección cónica. De la ecuación general de segundo grado puede obtenerse , en particular las ecuaciones correspondientes a las cónicas. 0 ) , ( 2 2        F Ey Dx Cy Bxy Ax y x f
  • 8. 1.Forma general de la circunferencia De la ecuación: Si B=0 y A=C se dice que la cónica es una circunferencia. Obteniendo así la ecuación general de la circunferencia Dividiendo entre A a ambos lados se puede generalizar la misma ecuación con coeficientes unitarios en los términos cuadráticos de X y Y 0 ) , ( 2 2        F Ey Dx Cy Bxy Ax y x f 0 2 2      F Ey Dx Ay Ax 0 2 2      F Ey Dx y x
  • 9. Ecuación Ordinaria de la Circunferencia Definición:Es el lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del plano que estan a una distancia dada (radio) de un punto dado(centro), tal que esa distancia es constante. Consideremos el puntoP(x,y) del plano , y el punto C(h,k),centro que no pertenece al lugar geométrico. Usando teorema de Pitágoras y el concepto de distancia se tiene en la figura: |CP|2=|BC|2+|PB|2 R 2=(x-h)2+(y-k)2 h k (x,y) y x (h,k) R Y-k X-h
  • 10. Ecuación ordinaria de una circunferencia de radio “r” y centro (h,k) Si la circunferencia esta centrada (h,k)=(0,0) entonces: A partir de la ecuación general, se llega a determinar los elementos principales mediante un complemento de cuadrados: Agrupando:     2 2 2 r k y h x     2 2 2 r y x   0 2 2      F Ey Dx y x     F Ey y Dx x      2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 E D F E Ey y D Dx x                                                    4 4 2 2 2 2 2 2 F E D E y D x
  • 11. De la ecuación anterior se deduce que para : Los elementos intrinsicos son: Observar: si r 2 < 0 no hay lugar geométrico si r 2 =0 el lugar geometrico es un punto si r 2 > 0 el lugar geometrico es una circunferencia de radio r Ejemplos: Determine la ecuación ordinaria y general de una circunferencia de radio 5 y centro en (-3,4). Sustituyendo en la ecuación tenemos: Desarrollando los binomios y simplificando Se obtiiene la ecación general:     2 2 2 r k y h x     4 4 , 2 , 2 2 2 2 F E D r E k D h            2 2 2 r k y h x         2 2 2 5 4 3     y x 0 8 6 2 2     y x y x
  • 12. Encuentre el centro y radio de la circunferencia Agrupando términos y factorando: 0 25 20 12 4 4 2 2      x x y x     4 25 5 4 4 3 4 4 2 2     y y x x 4 59 2 5 2 3 2 2                 y x
  • 13. Representa la ecuación de una circunferencia expresada en forma general, puesto que se ha obtenido de la ecuación general de segundo grado con dos variables. Ordenando términos en relación a las variables: 2x2 -3x+ 2 y2+4y-5=0 Agrupando términos: (2x2 -3x )+ ( 2 y2+4y)=5 Dividiendo ambos miembros entre 2: Completando cuadrados: 0 5 4 3 2 2 2 2      y x y x La ecuación   5 2 2 2 3 2 2 2           y y x x   2 2 3 5 2 2 2 x x y y             2 2 3 9 5 9 2 1 1 2 16 2 16 x x y y                 2 2 3 65 3 65 1 Circunferencia de Centro C , 1 y radio r= 4 16 4 16 x y                 
  • 14. Uso del discriminante de la ecuación general cuadrática A partir de la ecuación general, se le llama discriminante de la ecuación a la expresión: D=B2- 4AC Si B2- 4AC=0. Se dice que la cónica es una Parábola. Si B2- 4AC<0. Se dice que la cónica es una Elipse. Si B2- 4AC>0. Se dice que la cónica es una Hipérbola. Ejemplo: identificar el tipo de cónica mediante el uso del discriminante 0 5 2 3 2 3 3 2 2       y x y xy x      Elipse es 0 es como , 15 2 3 4 3 4 2 2        AC B 0 3 2 3 2 6 3 2 2       y x y xy x      Hipérbola es 0 es como , 12 2 3 4 6 4 2 2      AC B
  • 15. Parábola. Ecuación Ordinaria. Definición:Es el lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del plano que equidistan de un punto y una recta dados de tal manera que el punto no pertenece a la recta. La recta y el punto dados estan sobre el plano y se llaman directiz y foco, respectivamente. Consideremos el puntoP(x,y) del plano , y el punto V(h,k),Vertice que pertenece al lugar geométrico.F un punto que pertenece a un eje de simetria de la parabola,ubicado a p unidades del V y D la recta directiz externa a la parábola ,y perpendicular al eje de simetria y tambien ubicada a p unidades del v, entonces: |FP|=|DP| F(p,0) P(x,y) D d1 d2 d1=d2
  • 16. Planteando la igualdad de distancias, entre puntos y de un punto a una recta: Elevando al cuadrado a ambos lados: Despejando el cuadrado de y: Siendo esta la ecuación de una parábola abierta a la derecha con vertice en el origen y foco (p,0) Si se abriera hacia las x negativas la ecuación es: Si el vertice no es (0,0) , sino que (h,k) y si se abriera es sentido vertical las ecuaciones solo se desplazan en x y y en h,k respectivamente y los términos cuadráticos cambian. Estos casos particulares se presentan a contnuación.    2 2 2 p x y p x        2 2 2 p x y p x     px y 4 2  px y 4 2  
  • 17. Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Parábola Horizontal (abierta hacia la derecha)     h x p k y    4 2 Directriz x=h-p Foco(h+p,k) Vértice(h,k) p p
  • 18. Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Parábola Horizontal (abierta hacia la izquierda)     h x p k y     4 2 Directriz x=h+p Foco(h-p,k) Vértice(h,k) p p
  • 19. Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Parábola Vertical (abierta hacia arriba)     k y p h x    4 2 Directriz y=k-p Foco(h,k+p) Vértice(h,k) p p
  • 20. Ecuaciones Ordinarias de la Parábola Parábola Vertical (abierta hacia abajo)     k y p h x     4 2 Directriz y=k+p Foco(h,k-p) Vértice(h,k) p p
  • 21. Ecuación Ordinaria de la Elipse Definición: Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias de dos puntos fijos llamados focos a un punto p(x,y) es constante . Una elipse tiene dos ejes de simetría que son perpendiculares entre si; el eje mas largo se llama “eje mayor” y el mas corto “eje menor” , el punto de intersección de los ejes se llama “centro de la elipse”.También se tienen dos puntos fijos internos a la elipse y situados sobre el eje mayor a “c” unidades del centro de coordenadas (h,k). La elipse tiene 2 vértices los cuales son los 2 puntos donde el eje mayor intercepta la curva. La longitud del eje mayor es 2a unidades, mientras que la del eje menor es 2b unidades. Observar la gráfica de una elipse con sus elementos principales. |F1P|+|F2P|=2a al elevar al cuadrado y completar cuadrados se genera una ecuación ordinaria que involucra a todos sus elementos: F1(h-c,k) F2(h+c,k) P(x,y) d1 d2 a a b c c b V(h,k)             a k y c h x k y c h x 2 2 2 2 2               1 2 2 2 2     b k y a h x
  • 22. Ecuación ordinaria de la Elipse Notar que en la ecuación ordinaria siempre lo cual permite distinguir el tipo de elipse que se tiene. Además siempre c < a y la relación que cumplen estas tres dimensiones (solo para la elipse) es : Otro elemento importante es la longitud del lado recto (LR) que es la longitud de un segmento de recta dentro de la elipse que es perpendicular al eje mayor Elipse Horizontal 2 2 b a  2 2 2 c b a   C(h,k) F2(h+c,k) F1(h-c,k) v2(h+a,k) v1(h-a,k) Eje menor (2b) Eje mayor (2a) a b LR 2 2      1 2 2 2 2     b k y a h x
  • 23. Ecuación ordinaria de la Elipse Elipse Vertical C(h,k) F2(h,k-c) F1(h,k+c) v2(h,k-a) v1(h,k+a) Eje menor (2b) Eje mayor (2a)     1 2 2 2 2     b h x a k y
  • 24. Ecuación Ordinaria de la Hipérbola Definición: Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias desde dos puntos fijos llamados focos a un punto p(x,y) es constante . La Hipérbola tiene dos ejes de simetría, perpendiculares entre si. El eje que intercepta a la hipérbola se llama “eje transverso”. y el perpendicular “eje conjugado” , el punto de intersección de los ejes se llama “centro de la hipérbola”. Los puntos donde el eje transverso corta a la Hipérbola se llama “Vértice de la Hipérbola”. Cada Hipérbola tiene dos “Asíntotas”, que son rectas que se interceptan en el centro de la hipérbola. Los focos son los dos puntos fijos internos a la Hipérbola y situados sobre el eje transverso a “c” unidades del centro de coordenadas (h,k). La Hipérbola tiene 2 vértices los cuales son los 2 puntos donde el eje transverso intercepta la curva. |F1P| - |F2P|=2a al elevar al cuadrado y completar cuadrados se genera una ecuación ordinaria que involucra a todos sus elementos: F1(h-c,k) F2(h+c,k) P(x,y) d1 d2 2b 2a 2c V(h,k)             a k y c h x k y c h x 2 2 2 2 2               1 2 2 2 2     b k y a h x
  • 25. Ecuación ordinaria de la Hipérbola Notar que en la ecuación ordinaria siempre lo cual permite distinguir el tipo de elipse que se tiene. Además “a” y “b”pueden tomar valores cualesquiera sin importar cual es mayor y la relación que cumplen estas tres dimensiones (solo para la elipse) es : Otro elemento importante es la longitud del lado recto (LR) que es la longitud de un segmento de recta dentro de la elipse que es perpendicular al eje transverso Hipérbola Horizontal 2 2 a c  2 2 2 b a c   C(h,k) F2(h+c,k) F1(h-c,k) v2(h+a,k) v1(h-a,k) Eje conjugado (2b) Eje transverso (2a) a b LR 2 2      1 2 2 2 2     b k y a h x Distancia Focal (2c)
  • 26. Ecuación ordinaria de la Hipérbola Hipérbola Vertical C(h,k) F2(h,k-c) F1(h,k+c) v2(h,k-a) v1(h,k+a) Eje conjugado (2b) Eje transverso (2a)     1 2 2 2 2     b h x a k y Distancia focal (2c)
  • 27. Parábola Inclinada Cuando el eje de simetría de la parábola es inclinado (no paralelo a los ejes x y ) la ecuación se representa en forma general y se obtiene a partir de la definición igualando las distancias de un punto (x,y) al foco y la distancia del mismo punto a la directriz. Finalmente el discriminante indicara que se trata de una parábola. p p Vértice(h,k) foco directriz
  • 28. Elipse Inclinada Cuando los ejes de simetría de la elipse son inclinado (no paralelo a los ejes x y ) la ecuación se representa en forma general y se obtiene a partir de la definición sumando las distancias de un punto (x,y) a los focos . Finalmente el discriminante indicara que se trata de una Elipse. c c centro(h,k) focos directriz Vértices a a
  • 29. Hipérbola Inclinada Cuando los ejes de simetría de la Hipérbola son inclinado (no paralelo a los ejes x y) la ecuación se representa en forma general y se obtiene a partir de la definición restando las distancias de un punto (x,y) a los focos . Finalmente el discriminante indicara que se trata de una Hipérbola. a a centro(h,k) Vértices asíntotas focos c c