El documento proporciona información sobre los elementos y propiedades de los triángulos. Define los tipos de triángulos como equiláteros, isósceles y escalenos. Explica teoremas como el de Pitágoras y Euclides que se aplican a triángulos rectángulos. También cubre conceptos como área, perímetro, alturas y más.

1. I.E.P “ROBERT GAGNE”
PROF. RWRQ
APTITUD ACADÉMICA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CERTEZAS

2. 1.Definición
1. Triángulo
Es un polígono de tres lados.
2. Elementos primarios
• Vértices: Corresponde a la intersección de dos
trazos, los que se identifican con letras
mayúsculas.
En la figura, los vértices son A, B y C.
A B
C

3. • Lados: En la figura, los trazos AB, BC y
CA, corresponden a los lados del
triángulo ABC, los que se identifican con
letras minúsculas.
A B
C
ab
c
AB = c, BC = a, AC = b
Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre
mayor que el tercero.
a + b > c
b + c > a
a + c > b

4. Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3
cm, 4 cm y 7 cm.
Para determinar si existe el
triángulo, debemos verificar que se cumple
el teorema.
Ejemplo:
3 + 4 = 7 No se cumple.
4 + 7 > 3 Sí se cumple.
3 + 7 > 4 Sí se cumple.
Como una de ellas NO se cumple, no existe
dicho triángulo.

5. Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser
siempre menor que el tercero.
a - b < c
b - c < a
a - c < b
Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8
cm, 5 cm y 2 cm.
Para determinar si existe el
triángulo, debemos verificar que se cumple
el teorema.
8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.
8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.
5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.
Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.

6. • Ángulos interiores:
A B
C
y
son los ángulos interiores del
triángulo ABC.
Son aquellos que se forman por la intersección de
dos lados, en el interior de la figura.
Teorema: La suma de los ángulos interiores de
todo triángulo es 180º

7. Ejemplos:

8. Teorema:
En todo triángulo, a mayor
ángulo, se opone mayor lado y
viceversa.
Ejemplo:
A B
C
ab
c
En el triángulo de la figura,
c > a > b

9. • Ángulos exteriores:
´ ´ y ´
son los ángulos exteriores
del triángulo de la figura.
Son los suplementos de los ángulos interiores.
Teorema: La suma de los ángulos exteriores
de todo triángulo es 360º.
´ ´ ´

10. Teorema:
Cada ángulo exterior es igual a la suma de los
ángulos interiores NO adyacentes a él.
’ = +
’ = +
’ = +
Ejemplo:

11. 3. Elementos Secundarios
• Altura (h):
Es la perpendicular trazada desde un vértice al
lado opuesto o a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.
Ortocentro (H): Es el punto de intersección de
las alturas (hc , ha, hb).
A B
C
H
A B
C
hc
D

12. • Bisectriz (b):
Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo
divide en 2 ángulos de igual medida.
En la figura,
el ACD = DCB =
B
C
DA
bc

13. Incentro:
Punto de intersección de las bisectrices, que
corresponde al centro de la circunferencia inscrita al
triángulo.
Ejemplo:
E: Incentro

14. A B
C
S
• Mediatriz o Simetral (S):
Es la perpendicular levantada desde el punto medio
de un lado. En la figura, está representada la
simetral levantada desde D, punto medio del lado
AB.

15. Circuncentro:
Punto de intersección de las simetrales, corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
D, F y G: Puntos
medios.
E: Circuncentro

16. • Mediana:
Es el segmento que une los puntos medios de dos
lados consecutivos.
La mediana es paralela al lado opuesto y mide la
mitad de él.
D, E y F: Puntos medios.
DF, DE y EF: Medianas
DE// BC y DE = BC
2
EF// AC y EF = AC
2
DF// AB y DF = AB
2

17. Al trazar las tres medianas de un triángulo,
se forman 4 triángulos congruentes
(iguales).
El área de cada uno, es ¼ del área total del
triángulo ABC.

18. • Transversales de gravedad (t):
Es el segmento que une el vértice con el punto
medio del lado opuesto.
tc tc: transversal desde C
D: Punto medio del lado AB
Centro de gravedad o baricentro(G):
Punto de intersección de las transversales.
El centro de gravedad (G), divide a cada transversal
en razón 2:1.

19. D, E y F: Puntos medios.
AE = ta
BF = tb
CD = tc
G: Centro de gravedad
Ejemplo:
En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8
cm, entonces GF = 4 cm.

20. 4. Generalidades en un triángulo cualquiera
• Área o Superficie (A):
Corresponde al semiproducto entre una base y su
altura correspondiente.
Área = Base ∙ Altura
2
A =
A B
C
ab
c
hc
ha hb
2
c∙ hca∙ha
2
=
2
b∙hb
=

21. Ejemplo:
Determinar el área del triángulo de la figura:
En este caso, se tiene el valor de la base AB es 8, y
la altura que cae sobre su prolongación, CD es 3.
Luego su área es:
A =
2
8∙3 = 12

22. • Perímetro o longitud (P):
Corresponde a la suma de la medida de cada uno de los lados
del triángulo.
A B
C
ab
c
P = a + b + c
Ejemplo:
P = 15 + 18 + 22
P = 55

23. 5. Clasificación de triángulos
• Según sus ángulos:
-Acutángulo:
-Rectángulo:
-Obtusángulo:
Es aquel que tiene todos sus
ángulos interiores agudos
(menores a 90º).
Es aquel que tiene un ángulo
recto (90º).
Es aquel que tiene un ángulo
obtuso (mayor que 90º y
menor que 180º).
Ej.:
Ej.:
Ej.:

24. • Según sus lados:
-Escaleno:
Es aquel que tiene todos sus
lados distintos, a b c.
Ejemplo:
-Isósceles:
Es aquel que tiene 2 lados
congruentes y el lado
distinto llamado base.
Ejemplo:
(Base)

25. Ejemplo:
Se dice que el triángulo de la
figura, es “isósceles de base AB”, o
bien, “isósceles en C”.
Además, “C” se denomina ángulo
del vértice.
-Equilátero:
Es aquel que tiene todos sus
lados congruentes.
(Base)
En la figura, el triángulo ABC es
equilátero: AB = BC = AC.
Sus ángulos interiores también
son congruentes.

26. 6. Teoremas válidos para
Triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:
cateto
cateto
El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado
“HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.

27. 6.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados
de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
ó

28. De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
Ejemplo:
(Aplicando teorema de Pitágoras)
(Desarrollando)
(Restando)
(Aplicando raíz)
152 + (QR)2 = 252
225 + (QR)2 = 625
(QR)2 = 625 - 225
(QR)2 = 400
QR = 20
(Despejando (QR)2 )

29. • Números pitagóricos:
Son aquellos tríos de números que cumplen el
teorema de Pitágoras.
Los más utilizados son: 3, 4 y 5; 5, 12 y 13;
Estos tríos, además de satisfacer el teorema de
Pitágoras, generan “familias” de números
pitagóricos, que corresponden a todos los tríos
proporcionales a ellos. Por ejemplo:
3, 4 y 5
6, 8 y 10
9, 12 y 15
12, 16 y 20
....
5, 12 y 13
10, 24 y 26
15, 36 y 39
20, 48 y 52
....
8, 15 y 17
16, 30 y 34
24, 45 y 51
32, 60 y 68
....
8, 15 y 17

30. Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y
5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.
32 + 42 = 52
62 + 82 = (10)2
92 + 122 = (15)2

31. Consideremos los siguientes casos:
1. Cuando un cateto es el doble del otro
2. Cuando un cateto es el triple del otro
Ejemplo:
Ejemplo:

32. 6.2 Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la
altura sobre la hipotenusa, entonces:
Además, se cumple que:
∙hc
2 = p q
a2 = c q∙
b2 = c p∙
hc = a·b
c

33. De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo:
Aplicando Teorema de Euclides:
CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD = 4 3∙
CD = 2 3

34. Además, por Euclides se cumple que:
AC2 = AB AD∙ (Reemplazando)
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
AC2 = 7 4∙
2 7
2 3

35. 7. Relaciones Métricas en el
triángulo rectángulo
7.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°
En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de
30° y 60° se cumple que:

36. Ejemplo:
Determinar el área del triángulo ABC de la figura.
BAC = 30°
El área del triángulo ABC es:
CB = 5 y AB = 5 3
= 25 3
2
5
5 3
Área = 5 5 3
2
∙
30°

37. Los triángulos con ángulos interiores de
30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de
un triángulo equilátero.

38. 7.2 Triángulo rectángulo isósceles
A
C
B
En el triángulo rectángulo
isósceles de lado “a” de la
figura, se cumple que:
Ejemplo:
CBA = 45°
A
C
B
BC = 4 2
Solución:
45°
4 2
4
AC = 4 y
En la figura, determinar la
medida del lado BC (hipotenusa).

39. AM = MB = CM
7.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces:
tc : transversal

40. Ejemplo:
Completando los ángulos, CBA = 40°
Solución:
AD = DB = CD
D es punto medio
CBA = DCB
Por lo tanto, DCB = 40°
40°
40°
Si en la figura, CD es transversal de
gravedad, determine el DCB.
Si CD es transversal de gravedad,
El triángulo CDB es isósceles de base BC

41. 8. Triángulo Equilátero
8.1 Definición
Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos
congruentes.
AB = BC = CA

42. 8.2 Propiedades
• Las alturas, transversales, bisectrices y
simetrales, son iguales.
ha = hb= hc ba = bb= bcta = tb= tc Sa = Sb= Sc
Además:
ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc
Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro
y circuncentro coinciden.

43. Determine el área de un triángulo equilátero, cuya
altura mide 3 3.
• Área y altura de un triángulo equilátero:
Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces
su área y altura se expresan como:
A = a2 3
4
h = a 3
2
Ejemplo:
Para determinar el área, basta conocer el lado del
triángulo.

44. A partir de la altura determinaremos el lado.
Sea x la medida del lado, entonces:
h = x 3
2
3 3 = x 3
2
3 = x
2
6 = x
Como el lado del triángulo es 6, su área será:
A = 36 3
4
A = 9 3A = 62 3
4

45. • Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia circunscrita:
h = r + r
2
h = 3r
2

46. • Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia inscrita:
h = 3r

47. 9. Triángulo Isósceles
9.1 Definición
Es aquel que tiene dos lados congruentes y un lado
distinto llamado “base”.
Los ángulos basales son congruentes.
9.2 Propiedades
La altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en
la base, coinciden.

48. Ejemplo:
x= 50°
DBA = 40° y ADB = 90°
40°
90°
= 50°
En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto
medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
Si el triángulo es isósceles en
B, entonces la base es AC.
Si D: punto medio, entonces BD es transversal.
BD es altura, bisectriz y simetral.