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Si en la celosía ABC los nudos A y B como componentes de un sistema totalson de por sí desplazables, se halla como sigue e...
longitud ∆DC, las normales levantadas en los puntos extremos de estos elementosse cortan en el punto C’. Del mismo modo se...
Paralelamente a CD en el punto D’. con ello se conocen dos puntos del diagrama.Los restantes se hallan partiendo de D’ y C...
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Y de donde,Nudo 1:Nudo 3:Nudo 4:Nudo 5: – –La solución del sistema de ecuaciones da:Nudo 8:Control en el nudo 7 (apoyo B)d...
Barra F 2s S S’02 39 6,00 0 - 0 -04 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,8106 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,8108 39 6,00 +1...
Como control pueden calcularse las flechas de un nudo cualquieramediante el principio del trabajo. Para ello ha de dispone...
La exactitud del desplazamiento obtenido puede deducirse por comparacióncon el resultado analítico se obtuvo.-4(gráficamen...
Av = + 7,00 t;Bv = + 3,00 t;Ah = Bh + 4,35 tB) Esfuerzos en las barras.Da la relación.
Diagrama de willot.
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Diagrama de willot.

  1. 1. Se requiere que los estudiantes elaboren un trabajo del diagrama de willot, con elprocedimiento de forma precisa para el cálculo y desarrollar un ejercicio práctico.Ejemplo del desplazamiento de una viga estáticamente indeterminada de 1gradode libertad.2- Diagramas de willot mohr para la determinación de desplazamiento enestructurasPara averiguar los desplazamientos de los nudos de una estructura isostática,podemos utilizar una construcción grafica muy simple consiste en ircompatibilizando las deformaciones de las barras y las condiciones del contorno.El resultado de estas operaciones será una estructura deformada, pero estosuponiendo pequeñas deformaciones es difícil suponer con precisión estosmovimientos, por lo cual es necesario obtener las deformaciones fuera delaarmadura y con un factor de amplificación que facilite la mediciónEjemplo de diagrama de willot mohrPara trazar este diagrama se deben seguir los siguientes pasos: a) Tomar unpunto (0) como un polo. b) Trazar a partir del punto (0) los movimientos de losnudos a la escala que estimemos oportuna para tener una fácil visualización. c) Apartir de estos puntos se trazan paralelas a las barras afectadas y sobre ellasllevamos las deformaciones sufridas por las mismas d) Considerando que paraarcos de circunferencias pequeños se puede sustituir el trazado de estos por
  2. 2. perpendiculares. Trazamos las perpendiculares a las rectas del tercer paso por lospuntos determinados por las deformaciones, y con ello obtenemos el nuevo lugardonde se encuentra el punto inicial o polo.EL DIAGRAMA DE WILLIOTa) Generalidades: Para el cálculo de los desplazamientos reales de losnudos de una celosía no son todavía suficientes los procedimientostratados hasta ahora que solo dan las componentes de los desplazamientosen una dirección determinada. Los desplazamientos reales puedencalcularse partiendo de la variación de longitud (∆s) = S S + α t t sEFb) Barra a y b unidades estribo rígido.En la celosía ABC una barra a experimenta un alargamiento (∆a) y la barra b unacotamiento (∆b). en primer lugar se supone que ambas barras entre sueltasen el nudo C de modo que pueden deformarse independientemente entre sí.Luego ambas barras han de llevarse de nuevo a la unión girando la barra balrededor de A y la barra a alrededor de B, describiendo los extremos de lasbarras un arco de radios a + ∆a y b - ∆b. El punto de corte de los dos arcos dela situación del nudo C después de la deformación de la estructura. Los nudosde la deformada se designan mediante A’, B’ y C’. Ya que las deformaciones∆s son muy pequeñas frente a la longitud de las barras s, los arcos puedensustituirse por sus tangentes, a saber, por las perpendiculares a las barras dela estructura no deformada. Por el mismo motivo las variaciones de longitud ∆sy las longitudes de s no pueden dibujarse a la misma escala. Las variacionesde longitudes ∆s se representan a una escala mayor en un diagrama dedesplazamientos particulares. Partiendo de un punto de referencia, se dibujanlas variaciones de longitud de las barras teniendo en cuenta su signo(alargamiento ∆a o acortamiento ∆b) en dirección de las barras de la estructurano deformada, ya que los nudos A y B del sistema son indesplazables y portanto han de coincidir con los nudos A’ y B’ correspondientes y coincidentescon estos nudos en el diagrama de desplazamientos. Las perpendiculareslevantadas en los puntos extremos de los desplazamientos dibujados ∆s secortan en el punto C’. de la congruencia de los dos cuadriláteros rayados sededuce que el segmento (A’B’), C’ en el diagrama de desplazamientos es igualal desplazamiento total buscando (segmento CC’) del nudo C.c) Barras a y b unidas a un estribo elástico:
  3. 3. Si en la celosía ABC los nudos A y B como componentes de un sistema totalson de por sí desplazables, se halla como sigue el desplazamiento real delpunto C:Basándonos en lo anterior suponemos ya conocidos los desplazamientosAA’ y BB’. Se supone ahora, como ya se ha descrito en b), que la unión estásuelta en C. la deformación de las barras puede descomponerse entonces en:1. Un desplazamiento paralelo (movimiento de traslación).2. Una variación de longitud.3. Un giro (rotación).Para obtener un diagrama de desplazamientos fuera de la figura delsistema, se elige el punto C como punto de partida y a partir de él se trazan enmagnitud y dirección los desplazamientos de los nudos AA’ y BB’. El punto C sedesigna también como polo; contiene a la vez el punto A y B. En los puntos asíobtenidos A’ y B’ han de trazarse las variaciones de longitud (∆a) o (∆b).Levantando las normales en los puntos extremos. El punto de corte deambas normales es el punto C’ cuya unión con C da el desplazamiento real delpunto C.Aplicando lo dicho en b) y c) puede calcularse el desplazamiento de cadauno de los nudos de una celosía.d) Diagramas de celosías enteras.Para la celosía en voladizo ha de hallarse el diagrama de desplazamientos.Partiendo del punto de referencia A’, B? correspondiente a los puntos fijos A y B,se dibujan en primer lugar las variaciones de longitud ∆AD y ∆BD en dirección de lasbarras; las normales levantadas en sus puntos extremos se cortan en D’. Si setrazan ahora en el punto B’ la variación de longitud ∆BC y en D’ la variación de
  4. 4. longitud ∆DC, las normales levantadas en los puntos extremos de estos elementosse cortan en el punto C’. Del mismo modo se obtiene el punto E’.El diagrama de desplazamiento así obtenido da los desplazamientos de cada unode los nudos con respecto al punto de referencia. Ya que los puntos A y B noexperimentan desplazamiento, los desplazamientos relativos son en este caso a lavez los reales de cada uno de los nudos.Si han de calcularse las componentes de los desplazamientos en una direccióndeterminada, basta con proyectar sobre esta dirección los desplazamientostotales. Con ello pueden p. e. calcularse inmediatamente mediante el diagrama deWilliot las líneas de curvatura del cordón superior e inferior de celosías. Larepresenta otra celosía cuyo único nudo indesplazable es el A. por simetría delsistema y de la solicitación la barra CD no gira al deformarse el sistema. Por lotanto si se elige como punto de referencia el punto D’ del diagrama dedesplazamiento que corresponde al nudo D, se obtiene C’ llevado .
  5. 5. Paralelamente a CD en el punto D’. con ello se conocen dos puntos del diagrama.Los restantes se hallan partiendo de D’ y C’ según la construcción de base. Lossegmentos D’ A’, D’C’ y D’B’ representan los desplazamientos de los nudos A, B yC respecto al nudo D paralelamente a CD en el punto D’. con ellos se conocendos puntos del diagrama los restantes se hallan partiendo de D’ y C’ según laconstrucción de base. Los segmentos D’A’, D’C’ y D’B’ representan losdesplazamientos de los nudos A, B y C respecto al nudo D. según las condicionesde apoyo el punto A es fijo mientras que el B sólo puede desplazarse en direcciónhorizontal. Por lo tanto, en contra de la hipótesis inicial, no es D el punto fijo A ycon ello igual al desplazamiento real. El nudo B se desplaza horizontalmente elvalor A’B’ = . Según ello se obtiene los desplazamientos totales de todos losnudos mediante el diagrama de Williot como distancia de los puntos B’, C’ Y D’del punto fijo A’.Hasta ahora al calcular los desplazamiento se partió de que es conocida enel diagrama de desplazamientos la situación de dos puntos próximos. Ello podíavenir condicionado por el hecho de que o bien los dos nudos eran indesplazableso bien la dirección de una barra era invariable. Pero en general no se da estecaso, de modo que es difícil predecir de antemano algo sobre el giro de las barras.Por lo que hay que elegir en primer lugar un punto cualquiera como punto dereferencia y considerar como fija la dirección de una barra que parte de este nudo.Los desplazamientos calculados partiendo de estas bases se contradicen con lascondiciones de apoyo, pero éstas pueden cumplirse mediante desplazamientossuplementarios.
  6. 6. En la celosía se muestra la determinación de tales desplazamientossumplementarios. Se elige como punto de referencia el A y se considera como fijala dirección de la barra U1. En la figura anterior se muestra el diagramacorrespondiente. Si estos desplazamientos se llevan sobre la figura del sistema,resultan para los nudos las nuevas situaciones B’, C’ y D en la estructuradeformada. Sin embargo la variación de la situación del nudo B allí indicada no esposible ya que B sólo puede desplazarse horizontalmente. Para eliminar estaanomalía la estructura se considera como rígida después de sus deformación, y segira alrededor del punto fijo A, el polo, hasta que B’ esté sobre el camino dedesplazamiento del apoyo B. después de girar este ángulo los nudos delsistema toman las posiciones A’’ A’, B’’, C’’, D’’.PROCEDIMIENTOS:Bv =c) Esfuerzos en las barras.Nudo 12:Nudo 9:
  7. 7. Y de donde,Nudo 1:Nudo 3:Nudo 4:Nudo 5: – –La solución del sistema de ecuaciones da:Nudo 8:Control en el nudo 7 (apoyo B)d. Variación de longitud de las barras y diagrama de desplazamientos.Lo primero se calcula mediante . Con estos valores se dibujaluego el diagrama de desplazamientos.
  8. 8. Barra F 2s S S’02 39 6,00 0 - 0 -04 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,8106 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,8108 39 6,00 +12,00 +8,80 +1,200 +10,57010 39 6,00 +12,00 +8,80 +1,200 +10,57U1 39 6,00 -2,74 -2,01 -0,274 + 0,55U3 39 6,08 -2,78 -2,07 -0,278 + 0,58U5 39 6,72 -10,70 -8,78 -1,070 + 9,40U7 39 6,72 -16,76 -13,76 -1,1,676 +23,03U9 39 6,08 0 - 0 -V1 16 4,00 0 - 0 -V3 16 4,00 -0,454 -0,54 -0,0454 + 0,02V5 16 5,00 0 - 0 -V7 16 8,00 -3,18 -7,57 -0,318 + 2,41V9 16 5,00 0 - 0 -V11 16 4,00 0 - 0 -D1 16 7,22 +9,86 +21,20 +0,986 + 20,90D4 16 7,82 -7,82 -18,20 -0,782 +14,23D5 16 7,82 +1,06 +2,47 +0,106 + 0,26D8 16 7,82 +3,91 +9,11 +0,391 + 3,56D9 16 7,82 -15,62 -36,39 -1,562 +56,88e) Líneas de curvatura.El punto 1’’ está sobre la paralela a la dirección de desplazamiento deapoyo A (nudo I) trazada por el punto 1’ y sobre la perpendicular a la línea deunión de los dos apoyos. Ya que el nudo 7 es indesplazable (apoyo fijo B),coinciden 7’ y 7’’. Mediante los dos puntos 7’’ y I’ queda fijada semejanteestructura. Para determinar las líneas de curvatura de los dos cordones seproyectan los puntos 1’ 12’ del diagrama de desplazamientos correspondientes acada uno de los nudos del cordón y los puntos 1’ a 12’ sobre las verticales quepasan por los puntos correspondientes del dibujo del sistema. Entonces lospuntos de corte resultantes se unen entre sí en el orden fijado por la construcciónde la estructura. La línea de unión de las perpendiculares trazadas hacia lospuntos 1’’, 3’’ hasta 11’’ o bien 2’’, 4’’ hasta 12’’ es una recta que se designa comolínea de cierre. Pero ya que una recta está determinada por dos puntos, essuficiente la proyección de sólo dos puntos. Las distancias verticales de lospuntos 1’, 3’’ hasta 11’ o bien 2’ 4’ hasta 12’ a esta línea de cierre dan lasordenadas de la línea de curvatura.
  9. 9. Como control pueden calcularse las flechas de un nudo cualquieramediante el principio del trabajo. Para ello ha de disponerse la carga P’ = 1 en elnudo correspondiente; los correspondientes esfuerzos de las barras S’ han desuperponerse entonces a los esfuerzos debidos a la carga dada según.
  10. 10. La exactitud del desplazamiento obtenido puede deducirse por comparacióncon el resultado analítico se obtuvo.-4(gráficamente),-4(analíticamente),EJERCICIOSe busca para el pórtico de celosía de tres articulaciones el diagrama deWilliot y la línea de curvatura del cordón superior. La sección de las barrasdiagonales, es F1 = 12 cm2, para todas las otras barras F2 = 22 cm2, el módulo deelasticidad E = 2,1 . 107t/m2.A) Reacciones:Av 15.00 – Ah 15,50= 37,5.Bv 11,25 – Bh 7,75 = 0,Ah = Bh,Av + Bv = 10,0.De estas ecuaciones se obtiene:
  11. 11. Av = + 7,00 t;Bv = + 3,00 t;Ah = Bh + 4,35 tB) Esfuerzos en las barras.Da la relación.
  • ChristianMedinaRomero

    Feb. 24, 2020
  • DilsonJose

    May. 18, 2017
  • StephanieLiberato1

    Jan. 24, 2016
  • sorayavaamoya

    Sep. 17, 2015
  • mikediaz509

    Sep. 16, 2015
  • Kx53

    Feb. 22, 2015

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