UNIVERSIDADNACIONALDE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
INTRODUCCIÓN
De la misma manera en que la integral d...
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 2
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ANÁLISIS MATEMÁTICO III 3
PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
ii) Integramos cambiandoel ordende integración.
𝐼𝐼𝐷 ...
ANÁLISIS MATEMÁTICO III 4
PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
b) ∫ ∫ √(1 + cos2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜋/2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦)
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
𝐼𝐼𝐷 = 0.61
c) ∫ ∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑦𝑑𝑥
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𝐼𝐼𝐷 = ∫∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑥𝑑𝑦
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ii) Integramoscambiandoel ordende integración.
𝐼𝐼𝐷 =...
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2) despejandox enfunciónde y:
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3) EVALUANDO:
∬ (𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑦3 + 4)𝑑𝐴
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3. EVALUAR:
∬ 𝑥𝑑𝐴𝑅 SiendoRla regióndel primercuadra...
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3) evaluando:
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2) Solido:
𝑧 = 3𝑥2 + 𝑦2
𝑥 = 𝑦2 − 𝑦
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3) Volumen...
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5. Halle el volumendel sólidoacotado por la superfi...
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ii) Volumen del sólido.
𝑑𝑉 = 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑉 = ∬ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
𝑉 ...
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6. Halle el volumendel solidoubicado sobre la super...
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II. GRAFICODEL SOLIDO:
III. VOLUMEN DEL SOLIDO:
𝑑𝑉 ...
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
𝑉 = 0.6134 𝑢𝑛𝑖𝑑3
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ANÁLISIS MATEMÁTICO III 21
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𝑉 =
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Hacemos: 𝑦1 = √64−(4−5𝑠𝑒𝑛( 𝜃)) 𝑟2
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9. Hallar la masa y el centro de masa de una lámina...
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III. MOMENTOS:
𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
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= ∫ ∫ 𝑦2
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10. Hallar la masa y el centro de gravedad de masa ...
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
Entonces:
𝑚 = ∫ ∫ 𝑘𝑟2 𝑑𝑟𝑑
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
𝑀 𝑦 =
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Luego:
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PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL
𝑀 𝑥 =
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𝑀 𝑥
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CONCLUSIONES
 APRENDIMOSA UTILIZARLOS SOFTWARES( A...
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  1. 1. UNIVERSIDADNACIONALDE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL 2° PRÁCTICA DE INTEGRAL MULTIPLE CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III DOCENTE : ING.HORACIO URTEAGA BECERRA ESTUDIANTES:  CHUQUIRUNA CHÁVEZMARVICK ALAIN  RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY  SOLANO VARGAS DIEGORENATO CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015
  2. 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 1 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL INTRODUCCIÓN De la misma manera en que la integral de una funciónpositiva de una variable definida en unintervalopuede interpretarsecómoel áreaentre la gráfica de la funcióny el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definidaenunaregióndel espacio xyz,elresultadoes unhipervolúmen,sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores. La manera másusual de representarunaintegral múltipleesanidando signosde integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representasobre cada signode integral,o a menudoesabreviadopor una letra en el signode integral de más a la derecha: Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen. OBJETIVOS  UTILIZAR LOS SOFTWARES (AUTOCAD, DERIVE 6, MATHCAD) PARA EL DIBUJO DE LOS SÓLIDOS ASÍ COMO DETERMINAR LAS GRAFICAS Y RESULTADOS DE LAS INTEGRALES DOBLES Y VOLUMENES DE LOS SÓLIDOS.  APLICAR LOS CONOCIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DEL TEMA DE INTEGRALES MULTIPLES MEDIANTE LOS MÉTODOS APRENDIDOS PREVIAMENTE EN CLASE.
  3. 3. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 2 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 1. Evalué las siguientesintegralescambiandoel ordende integración. a) ∫ ∫ √( 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 √𝑦 1 0 b) ∫ ∫ √(1 + cos2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜋/2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦) 1 0 c) ∫ ∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 d) ∫ ∫ 𝑦𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 9 𝑦2 3 0 e) ∫ ∫ 𝑒 𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 3 3𝑦 1 0 f) ∫ ∫ 𝑒 𝑥4 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 ∛𝑦 8 0 𝑎) ∫ ∫ √( 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 √𝑦 1 0 SOLUCIÓN i) Grafica de loslímitesde laintegral doble.
  4. 4. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 3 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL ii) Integramos cambiandoel ordende integración. 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫√( 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦 1 √𝑦 1 0 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ √( 𝑥2 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 0 1 0 𝐼𝐼𝐷 = 3√2 8 − ( ln(√2 + 1) 8 )
  5. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 4 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL b) ∫ ∫ √(1 + cos2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜋/2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦) 1 0 SOLUCIÓN i) Gráfica de loslímitesde laintegral doble. ii) Integramoscambiandoel ordende integración. 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ √(1 + cos2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜋 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝑦) 1 0 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ √(1 + cos2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 0 𝜋 0
  6. 6. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 5 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝐼𝐼𝐷 = 0.61 c) ∫ ∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 SOLUCIÓN i) Gráfica de loslímitesde laintegral doble. ii) Integramoscambiandoel ordende integración. 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0
  7. 7. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 6 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝐼𝐼𝐷 = ∫∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑦3 𝑑𝑥𝑑𝑦 √𝑦 0 1 0 𝐼𝐼𝐷 = 1 12 (1 − cos(1)) ∫ ∫ 𝑦𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 9 𝑦2 3 0d) SOLUCIÓN i) Gráfica de loslímitesde laintegral doble. ii) Integramoscambiandoel ordende integración.
  8. 8. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 7 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ 𝑦𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 9 𝑦2 3 0 𝐼𝐼𝐷 = ∫∫ 𝑦𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 √𝑥 0 9 0 𝐼𝐷 = 𝑠𝑒𝑛(81) 4 e) ∫ ∫ 𝑒 𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 3 3𝑦 1 0 SOLUCIÓN i) Gráfica de loslímitesde laintegral doble. ii) Integramoscambiandoel ordende integración.
  9. 9. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 8 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ 𝑒 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 3𝑦 1 0 𝐼𝐼𝐷 = ∫∫ 𝑒 𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 3 0 3 0 𝐼𝐷 = 1 6 (𝑒9 − 1 f) ∫ ∫ 𝑒 𝑥4 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 ∛𝑦 8 0 SOLUCIÓN i) Gráfica de loslímitesde laintegral doble.
  10. 10. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 9 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL ii) Integramoscambiandoel ordende integración. 𝐼𝐼𝐷 = ∫ ∫ 𝑒 𝑥4 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 √ 𝑦3 8 0 𝐼𝐼𝐷 = ∫∫ 𝑒 𝑥4 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥3 0 2 0 𝐼𝐼𝐷 = 1 4 (𝑒16 − 1) 2. Evaluar: ∬ (𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑦3 + 4)𝑑𝐴𝑅 Siendo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2} SOLUCION: 1) Regiónde integración: 𝑅 = {(𝑥. 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2}
  11. 11. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 10 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 2) despejandox enfunciónde y:
  12. 12. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 11 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 3) EVALUANDO: ∬ (𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑦3 + 4)𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ (𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑦3 + 4)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 𝑥1 𝑦2 𝑦1 ∬ (𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑦3 + 4)𝑑𝐴𝑅 = 8 ∗ 𝜋
  13. 13. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 12 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 3. EVALUAR: ∬ 𝑥𝑑𝐴𝑅 SiendoRla regióndel primercuadrante,acotadaporlas circunferencias: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 Grafique laregiónde integraciónusandoel programaderive. SOLUCION: 1) Regiónde integración: 𝑅 = {(𝑥. 𝑦)/√ 𝑥(2 − 𝑥) ≤ 𝑦 ≤ √4 − 𝑥2 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2} 2) despejandox enfunciónde y:
  14. 14. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 13 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 3) evaluando: ∬ 𝑥𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦2 𝑦1 = ∫∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 √4−𝑥2 √𝑥(2−𝑥) 2 0 𝑥2 𝑥1 ∬ 𝑥𝑑𝐴 𝑅 = −1.356
  15. 15. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 14 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 4. Halle el volumendel solidoubicado debajodel paraboloide 𝒛 = 𝟑𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ∧sobre la regiónacotada por 𝒚 = 𝒙 ∧ 𝒙 = 𝒚 𝟐 − 𝒚. SOLUCIÓN 1) Regiónacotada: 𝑅 = {(𝑥. 𝑦)/𝑦2 − 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ − 1 4⁄ ≤ 𝑥 ≤ 2}
  16. 16. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 15 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 2) Solido: 𝑧 = 3𝑥2 + 𝑦2 𝑥 = 𝑦2 − 𝑦 𝑦 = 𝑥 3) Volumendel solido:V 𝑣 = ∬ 𝑧𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2 𝑥1 = ∫ ∫ 3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 𝑦2−𝑦 2 0 𝑦2 𝑦1
  17. 17. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 16 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 5. Halle el volumendel sólidoacotado por la superficie 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝟗 ∧ los planos 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎∧ 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐, en el primer octante. SOLUCIÓN i) Gráficodel sólido.  𝑆1: 𝑥2 + 𝑧2 = 9 (Cilindro regular)  𝑆2: 𝑥 = 0 (Plano yz)  𝑆3: 𝑦 = 0 (Plano xz)  𝑆4: 𝑧 = 0 (Plano xy)  𝑆5: 𝑥 + 2𝑦 = 2 (Plano)
  18. 18. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 17 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL ii) Volumen del sólido. 𝑑𝑉 = 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑉 = ∬ 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 𝑉 = ∫ ∫ √(9 − 𝑥2)𝑑𝑥𝑑𝑦 2−2𝑦 0 1 0 𝑉 = 2.88 𝑢𝑛𝑑3
  19. 19. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 18 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 6. Halle el volumendel solidoubicado sobre la superficie 𝒛 = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ydebajode la superficie 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝟏. SOLUCION I. GRAFICODE LA REGION DE INTEGRACION: 𝑆1: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 …Conode revolución 𝑆2: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 …Esfera 𝑆1 ∩ 𝑆2: √ 𝑥2 + 𝑦2 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2 ≈ 𝑟 = 1 2 …Circunferencia
  20. 20. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 19 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL II. GRAFICODEL SOLIDO: III. VOLUMEN DEL SOLIDO: 𝑑𝑉 = 𝑧𝑑𝐴 = ( 𝑧1 − 𝑧2) 𝑑𝐴 𝑉 = ∬( 𝑧1 − 𝑧2) 𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ (√1 − 𝑟2 − 𝑟2) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 1 √2 0 2𝜋 0 𝐼 = ∫ (𝑟√1 − 𝑟2 − 𝑟2) 𝑑𝑟 1 √2 0 𝑉 =∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0
  21. 21. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 20 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝑉 = 0.6134 𝑢𝑛𝑖𝑑3 7. Halle el volumendel solidoacotado por las superficies 𝒛 = 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐y debajode la superficie 𝒛 = 𝟒 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐. SOLUCION I. GRAFICODEL SOLIDO: 𝑆1: 𝑧 = 3𝑥2 + 3𝑦2 …Paraboloide de revolución,se abre haciaarribay con V(0,0,0) 𝑆2: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 …Paraboloide de revolución,se abre haciaabajoy con V(0,0,4) 𝑆1 ∩ 𝑆2: 3𝑥2 + 3𝑦2 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 = 1 …Circunferencia II. VOLUMEN DEL SOLIDO: 𝑉 = ∬( 𝑧2 − 𝑧1 ) 𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ (4 − 𝑟2 − 3𝑟2) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 1 0 2𝜋 0
  22. 22. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 21 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝑉 = 8. Halle el volumendel solidoque estádentro del cilindro 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝟒 y de la superficie 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝟔𝟒. SOLUCION I. GRAFICODEL SOLIDO:
  23. 23. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 22 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL Hacemos: 𝑦1 = √64−(4−5𝑠𝑒𝑛( 𝜃)) 𝑟2 4 Convirtiendoacoordenadaspolarescon 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠( 𝜃) ∧ 𝑧 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) II. VOLUMEN DEL SOLIDO: 𝑉 = ∬ 𝑓( 𝑥, 𝑧) 𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ √ 64 − (4 − 5𝑠𝑒𝑛( 𝜃)) 𝑟2 4 2 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑉 = 49.0396 𝑢𝑛𝑖𝑑3
  24. 24. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 23 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 9. Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que tiene la forma de una región acotada por la curva 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏( 𝒙), el eje x y las rectas 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝒙 = 𝝅 ; si la densidad de área, en cualquierpunto, esigual a la ordenada del mismo. La masa se da en slugs y la distancia en pies. SOLUCION I. GRAFICODE LA PLACA: En donde: 𝜌( 𝑥, 𝑦) = 𝑦 II. MASA DE LA PLACA 𝑚 = ∬ 𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅 𝑚 = ∫ ∫ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 sin(𝑥) 0 𝜋 0 𝑚 = 1 2 ∫ (sin(𝑥))2 𝑑𝑥 𝜋 0 = m = 𝜋 4 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠
  25. 25. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 24 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL III. MOMENTOS: 𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ 𝑦2 sin( 𝑥) 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜋 0 = ∫ 1 3 (sin( 𝑥))3 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 sin( 𝑥) 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜋 0 = 1 2 ∫ 𝑥( 𝑠𝑖𝑛( 𝑥)) 2 𝑑𝑥 𝜋 0 IV. CENTRO DE MASA: 𝑥̅ = 𝜋2 8 𝜋 4 = 𝜋 2 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑦̅ = 4 9 𝜋 4 = 16 9𝜋 𝑝𝑖𝑒𝑠 → 𝑀𝑥 = 4 9 𝑠𝑙𝑢𝑔. 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑀𝑦 = 𝜋2 8 𝑠𝑙𝑢𝑔. 𝑝𝑖𝑒𝑠
  26. 26. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 25 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 10. Hallar la masa y el centro de gravedad de masa de una lámina que tiene la forma de una región acotada por la curva 𝒓 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅/𝟐, el eje polar; si la densidad de área, en cualquierpunto, varía en forma directamente proporcional a su distancia al polo. La masa se da en slugs y la distancia en pies. SOLUCIÓN i) Gráfica de la lámina. ii) Regiónde integración: {(𝑟, 𝜃)/0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ,0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2} iii) Masa encoordenadaspolares. 𝑑𝑚 = 𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑚 = ∬ 𝜌( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅 𝜌( 𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑟 = √(𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
  27. 27. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 26 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL Entonces: 𝑚 = ∫ ∫ 𝑘𝑟2 𝑑𝑟𝑑 1 0 𝜋 2 0 𝜃 𝑚 = 𝑘𝜋 6 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠 iv) Centrode masa encoordenadaspolares. a) Con respectoa 𝑥. 𝑥̅ = 𝑀 𝑦 𝑚 𝑀 𝑦 = ∫ ∫ 𝑘𝑟3 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 𝜋 2 0
  28. 28. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 27 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝑀 𝑦 = 𝑘 4 Luego: 𝑥̅ = 𝑀 𝑦 𝑚 𝑥̅ = 𝑘 4 𝑘𝜋 6 𝑥̅ = 3 2𝜋 𝑝𝑖𝑒𝑠 b) Con respectoa 𝑦. 𝑦̅ = 𝑀 𝑥 𝑚 𝑀 𝑥 = ∫ ∫ 𝑘𝑟3 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 𝜋 2 0
  29. 29. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 28 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL 𝑀 𝑥 = 𝑘 4 Luego: 𝑦̅ = 𝑀 𝑥 𝑚 𝑦̅ = 𝑘 4 𝑘𝜋 6 𝑦̅ = 3 2𝜋 𝑝𝑖𝑒𝑠
  30. 30. ANÁLISIS MATEMÁTICO III 29 PROBLEMAS DE INTEGRALES MULTIPLES ING.CIVIL CONCLUSIONES  APRENDIMOSA UTILIZARLOS SOFTWARES( AUTOCAD,DERIVE6, MATHCAD)  REFORZAMOSNUESTROS CONOCIMIENTOSAPRENDIDOSPREVIAMENTEEN CLASE, PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES MULTIPLES UTILIZANDO LOS DIFERENTES MÉTODOS.

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