1. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS
SEGUNDO TALLER FÍSICA III.
PROFESOR: CESAR AUGUSTO SARMIENTO ADARME.
OPCIÓN MULTIPLE
ONDAS VIAJERAS
1. i) En una larga fila de personas que esperan comprar boletos, la primera persona sale y un pulso de
movimiento se presenta a medida que las personas caminan hacia adelante para llenar el hueco. A
medida que cada persona camina hacia adelante, el hueco se mueve a través de la fila. La propagación
de este hueco es, ¿a) transversal, o b) longitudinal? ii) Considere la “ola” en un juego de beisbol: las
personas se ponen de pie y levantan sus brazos a medida que la ola llega a sus posiciones, y el pulso
resultante se mueve alrededor del estadio. Esta onda es, ¿a) transversal, o b) longitudinal?
2. Una onda sinusoidal de frecuencia f viaja a lo largo de una cuerda estirada. La cuerda se lleva al reposo y una
segunda onda progresiva con frecuencia 2f se establece en la cuerda. i) ¿Cuál es la rapidez de onda de la segunda
onda? a) el doble de la primera onda, b) la mitad de la primera onda, c) la misma que la primera onda, d) imposible
de determinar. ii) A partir de las mismas opciones, describa la longitud de onda de la segunda onda. iii) A partir de
las mismas opciones, describa la amplitud de la segunda onda.
3. La amplitud de una onda se duplica, sin que se hagan otros cambios a la onda. Como resultado de esta
duplicación, ¿cuál de los siguientes enunciados es correcto? a) La rapidez de la onda cambia. b) La
frecuencia de la onda cambia. c) La máxima rapidez transversal de un elemento del medio cambia. d) Los
enunciados del inciso a) al c) son todos verdaderos. e) Ninguno de los enunciados del inciso a) al c) es
verdadero.
4. Suponga que con la mano crea un pulso al mover una vez el extremo libre de una cuerda tensa hacia
arriba y hacia abajo, comience en t � 0. La cuerda se une en su otro extremo a una pared distante. El
pulso alcanza la pared en el tiempo t. ¿Cuál de las siguientes acciones, tomada por si misma, disminuye el
intervalo de tiempo requerido para que el pulso llegue a la pared? Puede ser correcta más de una opción.
a) Mover la mano mas rápidamente, pero solo hacia arriba y hacia abajo una vez en la misma cantidad, b)
mover la mano mas lentamente, pero solo hacia arriba y hacia abajo por la misma cantidad, c) mover la
mano una mayor distancia hacia arriba y hacia abajo en la misma cantidad de tiempo, d) mover la mano
una menor distancia hacia arriba y hacia abajo en la misma cantidad de tiempo, e) usar una cuerda mas
pesada de la misma longitud y bajo la misma tensión, f) usar una cuerda mas ligera de la misma longitud y
bajo la misma tensión, g) usar una cuerda de la misma densidad de
masa lineal pero bajo tensión decreciente, h) usar una cuerda de la
misma densidad de masa lineal pero bajo tensión creciente.
5. ¿Cuál de los siguientes, tomado por si mismo, seria más efectivo para
aumentar la rapidez a la que se transfiere la energía mediante una
onda que viaja a lo largo de una cuerda? a) reducir a la mitad la
densidad de masa lineal de la cuerda, b) duplicar la longitud de onda
de la onda, c) duplicar la tensión en la cuerda, d) duplicar la amplitud
de la onda.
6. ¿Qué tipo de onda es “la ola” que se hace en los estadios durante los
partidos de futbol? i) transversal; ii) longitudinal; iii) una combinación
de transversal y longitudinal.
7. Si se aumenta al doble la longitud de onda en una cuerda, ¿qué
sucede con la rapidez de la onda? ¿Y con su frecuencia? i) se duplica
y permanece igual; ii) permanece igual y se duplica; iii) se reduce a la
mitad y permanece igual; iv) permanece igual y se reduce a la mitad;
v) ninguna de las anteriores.
8. La figura muestra una onda senoidal de periodo T en una cuerda en
los instantes 0,
1
8
𝑇,
2
8
T,
3
8
T,
4
8
T,
5
8
T,
6
8
T,
7
8
T y T a) ¿En qué instante el
punto A está en la cuerda que se mueve hacia arriba con rapidez
máxima? b) En qué instante el punto B en la cuerda tiene la máxima
aceleración hacia arriba? c) ¿En qué instante el punto C en la cuerda
tiene una aceleración hacia abajo, pero una velocidad hacia arriba?
9. Las seis cuerdas de una guitarra tienen la misma longitud y están
sometidas a una tensión muy parecida, pero tienen diferente espesor.
¿En qué cuerda viajan con mayor rapidez las ondas? i) la cuerda más
gruesa; ii) la cuerda más delgada; iii) la rapidez de onda es la misma
en todas las cuerdas.
10. Cada una de cuatro cuerdas idénticas transportan una onda senoidal
de frecuencia 10 Hz. La tensión de la cuerda y la amplitud de onda son diferentes para diferentes para
cuerdas: Ordene de mayor a menor los valores de la potencia
media de la onda en las siguientes cuerdas: i) tensión 10 N,
amplitud 1.0 mm; ii) tensión 40 N, amplitud 1.0 mm; iii) tensión 10
N, amplitud 4.0 mm; iv) tensión 20 N, amplitud 2.0 mm.
11. La figura muestra dos pulsos de onda con diferente forma
que viajan en direcciones opuestas por una cuerda. Haga una
serie de dibujos que muestren la forma de la cuerda al
aproximarse, traslaparse y pasarse los dos pulsos.
2. 12. Suponga que se duplica la frecuencia de una onda estacionaria, de 440 Hz a 880 Hz. ¿Todos los nodos
con f = 440 Hz serían también nodos con f = 880 Hz? Si es así, ¿habría nodos adicionales con f = 880 Hz?
Si no, ¿qué nodos faltan con f = 880 Hz?
13. Mientras vibra una cuerda de guitarra, se toca suavemente el punto medio de la cuerda para asegurar que
la cuerda no vibre en ese punto. ¿Cuáles modos normales no pueden estar presentes en la cuerda
cuando se está tocando de este modo?
14. Si usted sopla a través de la parte superior de una botella de refresco vacía, un pulso de sonido viaja a
través del aire en la botella. En el momento cuando el pulso llega al fondo de la botella, ¿cuál es la
descripción correcta del desplazamiento de elementos de aire desde sus posiciones de equilibrio y la
presión del aire en este punto? a) El desplazamiento y la presión están en un máximo. b) El
desplazamiento y la presión están en un mínimo. c) El desplazamiento es cero y la presión es un máximo.
d) El desplazamiento es cero y la presión es un mínimo.
15. Una cuerda de guitarra que vibra hace muy poco sonido si no está montada en el cuerpo de una guitarra.
¿Por qué el sonido tiene mayor intensidad si la cuerda se une al cuerpo de la guitarra? a) La cuerda vibra
con mas energía. b) La energía deja la guitarra a mayor rapidez. c) La potencia del sonido se dispersa
sobre un área más grande en la posición del escucha. d) La potencia del sonido se concentra en un área
mas pequeña en la posición del escucha. e) La rapidez del sonido es
mayor en el material del cuerpo de la guitarra. f) Ninguna de estas
respuestas es correcta.
16. Aumentar la intensidad de un sonido en un factor de 100 ocasiona que
el nivel sonoro aumente, ¿en qué cantidad? a) 100 dB, b) 20 dB, c) 10
dB, d) 2 dB.
17. Considere los detectores de ondas acuáticas en tres posiciones A, B y
C de la figura. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a)
La rapidez de onda es mayor en la posición A. b) La rapidez de onda
es mayor en la posición C. c) La longitud de onda detectada es mayor
en la posición B. d) La longitud de onda detectada es mayor en la
posición C. e) La frecuencia detectada es mayor en la posición C. f) La
frecuencia detectada es mayor en la posición A.
18. Usted está de pie sobre una plataforma en una estación de tren y escucha un tren que se aproxima a la
estación con velocidad constante. Mientras el tren se aproxima, pero antes de que llegue, ¿que escucha?
a) la intensidad y la frecuencia del sonido aumentan, b) la intensidad y la frecuencia del sonido
disminuyen, c) la intensidad aumenta y la frecuencia disminuye, d) la intensidad disminuye y la frecuencia
aumenta, e) la intensidad aumenta y la frecuencia permanece igual, f) la intensidad disminuye y la
frecuencia permanece igual.
19. Un avión que vuela con una velocidad constante se mueve desde una masa de aire frio hacia una masa
de aire caliente. ¿El numero Mach a) aumenta, b) disminuye, o c) permanece igual?
20. Dos pulsos se mueven en direcciones opuestas sobre una cuerda y son idénticos en forma, excepto que
uno tiene desplazamientos positivos de los elementos de la cuerda y el otro tiene desplazamientos
negativos. En el momento en que los dos pulsos se traslapan por completo en la cuerda, ¿qué sucede? a)
La energía asociada con los pulsos desaparece. b) La cuerda no es móvil. c) La cuerda forma una línea
recta. d) Los pulsos desaparecen y no reaparecerán.
21. Considere una onda estacionaria en una cuerda, como se muestra en la figura. Defina la velocidad de los
elementos de la cuerda como positiva si se mueven hacia arriba en la figura. i) En el momento en que la
cuerda tiene la forma que se muestra mediante la curva café en la figura a, ¿cuál es la velocidad
instantánea de los elementos a lo largo de la cuerda? a) cero para todos los elementos, b) positiva para
todos los elementos, c) negativa para todos los elementos, d) varia con la posición del elemento. ii) A
partir de las mismas opciones, en el momento en que la cuerda tiene la forma que se muestra mediante la
curva café en la figura b, ¿cuál es la velocidad instantánea de los elementos a lo largo de la cuerda?
22. Cuando una onda estacionaria se establece en una cuerda fija en ambos extremos, ¿cuál de los
siguientes enunciados es verdadero? a) El numero de nodos es igual al número de antinodos. b) La
longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda dividida por un entero. c) La frecuencia es igual al
número de nodos por la frecuencia fundamental. d) La forma de la cuerda en cualquier instante muestra
una simetría en torno al punto medio de la cuerda.
3. 23. Un tubo abierto en ambos extremos resuena a una frecuencia fundamental fabierto. Cuando un extremo se
cubre y de nuevo se hace resonar el tubo, la frecuencia fundamental es fcerrado. ¿Cuál de las siguientes
expresiones describe como se comparan estas dos frecuencias resonantes? a) fcerrado = fabierto, b) fcerrado
=1/2 fabierto, c) fcerrado = 2fabierto, d) fcerrado = 3/2 fabierto.
24. El Parque Balboa en San Diego tiene un órgano
abierto. Cuando la temperatura del aire aumenta, la
frecuencia fundamental de uno de los tubos del
órgano a) permanece igual, b) baja, c) sube, o d) es
imposible de determinar.
25. Se produce una onda sonora senoidal en aire con
un generador de señales electrónicas. Luego, se
aumenta la frecuencia de la onda de 100 Hz a 400
Hz manteniendo constante la amplitud de presión.
¿Qué efecto tiene esto sobre la amplitud de
desplazamiento de la onda sonora? i) se vuelve
cuatro veces mayor; ii) se vuelve dos veces mayor,
iii) permanece sin cambio; iv) se reduce a la mitad;
v) se reduce a la cuarta parte.
26. El mercurio es 13.6 veces más denso que el agua.
De acuerdo con la tabla, ¿a 20 °C, cuál de estos
líquidos tiene el mayor módulo de volumen? i) el
mercurio; ii) el agua; iii) ambos tienen el mismo; iv)
no se dispone de suficiente información para
decidir.
27. Se duplica la intensidad de una onda sonora en aire, sin alterar su frecuencia. (Tampoco cambian la
presión, densidad y temperatura del aire.) ¿Qué efecto tiene esto sobre la amplitud de desplazamiento, la
amplitud de presión, el módulo de volumen, la rapidez del sonido y el nivel de intensidad del sonido?
28. Si se conecta una manguera a un extremo de un tubo metálico y se introduce por ella aire comprimido, el
tubo producirá un tono musical. Si en el tubo se inyecta helio comprimido a las mismas presión y
temperatura, ¿el tubo producirá i) el mismo tono, ii) un tono más alto, o iii) un tono más bajo?
29. Un tubo de órgano cerrado de longitud L tiene una frecuencia fundamental de 220 Hz. ¿En cuál de los
siguientes tubos de órgano habrá una resonancia, si un diapasón con frecuencia de 660 Hz se hace sonar
cerca del tubo? (Hay más de una respuesta correcta.) i) un tubo de órgano cerrado de longitud L; ii) un
tubo de órgano cerrado de longitud 2L; iii) un tubo de órgano abierto de longitud L; iv) un tubo de órgano
abierto de longitud 2L.
30. Suponga el altavoz A en la figura emite una onda
sonora senoidal con frecuencia de 500 Hz, y el altavoz
B emite una onda sonora senoidal con frecuencia de
1000 Hz. ¿Qué clase de interferencia habrá entre estas
dos ondas? i) interferencia constructiva en varios
puntos, incluyendo el punto P, y destructiva en varios
otros puntos; ii) interferencia destructiva en varios
puntos, incluyendo el punto P, y constructiva en otros
varios puntos; iii) ni i) ni ii).
31. Un diapasón vibra a 440 Hz, mientras que otro lo hace a una frecuencia desconocida. Cuando ambos
diapasones se hacen sonar de modo simultáneo, se escucha un tono que sube y baja en intensidad tres
veces cada segundo. ¿Cuál es la frecuencia del
segundo diapasón? i) 434 Hz; ii) 437 Hz; iii) 443 Hz;
iv) 446 Hz; v) ya sea 434 Hz o 446 Hz; vi) ya sea 437
Hz o 443 Hz.
32. Imagine que está en un concierto al aire libre y que el
viento sopla a 10 m>s de los músicos hacia usted. ¿El
sonido que escucha ha sufrido un cambio Doppler? Si
acaso, ¿se desplazó a frecuencias más bajas o más
altas?
33. ¿Qué escucharía usted si estuviera directamente
detrás (a la izquierda) del avión supersónico de la
figura? i) un estampido sónico; ii) el sonido de un
avión, el desplazamiento Doppler a frecuencias
mayores; iii) el sonido del avión, el desplazamiento
Doppler a menores frecuencias; iv) ninguno de los
anteriores.
4. TABLA DE RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS TEORICAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
I
Ii
iii
iv
PROBLEMAS
1. Un pescador nota que las crestas de las olas pasan por la quilla de su bote anclado cada 3.0 s. El pescador hace una
medición y determina que la distancia entre dos crestas es de 8.0 m. ¿Qué tan rápido viajan las olas?
2. Una onda sonora en el aire tiene una frecuencia de 262 Hz y viaja con una rapidez de 343 m/s. ¿Qué tan separadas
están las crestas de la onda (las compresiones)?
3. Un marino golpea el lado de su barco justo debajo de la superficie del mar. 2.8 s más tarde escucha el eco de la onda
reflejada en el lecho del océano directamente abajo. ¿Cuál es la profundidad del océano en ese punto?
4. Un pequeño alambre de acero, de 1.0 mm de diámetro, se conecta a un oscilador y está bajo una tensión de 7.5 N.
La frecuencia del oscilador es de 60.0 Hz y se observa que la amplitud de la onda en el alambre de acero es de 0.50
cm. a) ¿Cuál es la salida de potencia del oscilador, suponiendo que la onda no se refleja? b) Si la salida de potencia
permanece constante pero la frecuencia se duplica, ¿cuál es la amplitud de la onda?
5. Una onda transversal en un alambre está dada por 𝛹(𝑥, 𝑡) = 0.015 𝑠𝑒𝑛 (25𝑥 − 1200𝑡), donde Ψ y x están en
metros y t en segundos. a) Escriba una expresión para una onda con la misma amplitud, longitud de onda y
frecuencia, pero que viaja en la dirección opuesta. b) ¿Cuál es la rapidez de cualquiera de las dos ondas?
6. Una onda viajera transversal en una cuerda se representa mediante 𝛹(𝑥, 𝑡) = 0.22 𝑠𝑒𝑛 (5.6𝑥 + 34𝑡), donde Ψ y x
están en metros y t en segundos. Para esta onda, determine a) la longitud de onda, b) la frecuencia, c) la velocidad
(magnitud y dirección), d) la amplitud y e) las rapideces máxima y mínima de las partículas de la cuerda.
7. Determine si la función D = A sen kx cos vt es una solución de la ecuación de onda.
8. Demuestre por sustitución directa que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: a) Ψ(x, t) = A ln(x +
vt); b) Ψ(x, t) = (x vt)4
.
9. Una cuerda tiene dos secciones con densidades lineales de
0.10 kg/m y 0.20 kg/m, como se ve en la figura. Una onda
incidente, dada por 𝛹(𝑥, 𝑡) = 0.005 𝑠𝑒𝑛 (7.5𝑥 − 12.0𝑡),
donde x está en metros y t en segundos, viaja a lo largo
de la cuerda más ligera. a) ¿Cuál es la longitud de onda
sobre la sección más ligera de la cuerda? b) ¿Cuál es la
tensión en la cuerda? c) ¿Cuál es la longitud de onda cuando la onda viaja sobre la sección más pesada?
10. Los dos pulsos que se muestran en la figura se mueven uno hacia el otro. a)
Bosqueje la forma de la cuerda en el momento cuando se traslapan directamente.
b) Bosqueje la forma de la cuerda algunos momentos después. c) En la figura a, en
el momento cuando los pulsos
pasan uno sobre el otro, la
cuerda está recta. ¿Qué ocurrió
con la energía en ese momento?
11. Suponga que dos ondas lineales de igual amplitud y frecuencia tienen una diferencia de fase f mientras viajan en el
mismo medio. Las ondas se representan mediante 𝛹1 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) y 𝛹1 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛷) a) Use la
identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑒𝑛
𝛼+𝛽
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
para demostrar que la onda resultante está dada por
𝛹 = 2𝐴 cos
𝛷
2
𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
𝛷
2
) (b) ¿Cuál es la amplitud de esta onda resultante? ¿La onda es meramente
sinusoidal o no? c) Demuestre que ocurre interferencia constructiva si Φ = 0, 2π, 4 π, etcétera, y que ocurre
interferencia destructiva si Φ = π, 3 π, 5 π, etcétera. d) Describa la onda resultante, mediante una ecuación y en
palabras, si Φ = π /2.
12. Una cuerda de violín vibra a 441 Hz cuando no se presiona con el dedo. ¿A qué frecuencia vibrará si se pulsa a un
tercio del camino desde el extremo? (Es decir, sólo dos tercios de la cuerda vibran como onda estacionaria).
13. La velocidad de las ondas en una cuerda es 96 m/s. Si la frecuencia de las ondas estacionarias es de 445 Hz, ¿cuán
separados están los dos nodos adyacentes?
5. 14. El extremo de una cuerda horizontal con densidad lineal de 6.6 * 10-4
kg/m
se une a un pequeño oscilador mecánico de 120 Hz y amplitud pequeña.
La cuerda pasa por una polea, a una distancia l = 1.50 m, y de este
extremo se cuelgan pesos, figura. ¿Qué masa m debe colgarse de este
extremo de la cuerda para producir a) un husos, b) dos husos y c) cinco
husos de una onda estacionaria? Suponga que la cuerda en el oscilador es
un nodo, lo que casi es cierto.
15. El desplazamiento de una onda transversal que viaja por una cuerda está representado por 𝛹1 = 4.2 𝑠𝑒𝑛 (0.84𝑥 −
47𝑡 + 2.1), donde 𝛹1 y x están en centímetros y t en segundos. a) Encuentre una ecuación que represente una
onda que, cuando viaje en la dirección opuesta, produzca una onda estacionaria cuando se sume a la primera onda.
b) ¿Cuál es la ecuación que describe la onda estacionaria?
16. Dos cuerdas en un instrumento musical se afinan para tocar a 392 Hz (sol) y 494 Hz (si). a) ¿Cuáles son las
frecuencias de los primeros dos sobretonos para cada cuerda? b) Si las dos cuerdas tienen la misma longitud y están
bajo la misma tensión, ¿cuál debe ser la razón de sus masas (msol/msi)? c) Si, en vez de ello, las cuerdas tienen la misma
masa por unidad de longitud y están bajo la misma tensión,
¿cuál es la razón de sus longitudes (lsol/lsi)? d) Si sus masas y
longitudes son las mismas, ¿cuál debe ser la razón de las
tensiones en las dos cuerdas?
17. Una cuerda puede tener un extremo “libre” si ese extremo
se une a un anillo que pueda deslizarse sin fricción sobre un
poste vertical como se ve en la figura. Determine las
longitudes de onda de las vibraciones resonantes de tal
cuerda con un extremo fijo y el otro libre.
18. Una excursionista determina la longitud de un lago escuchando el eco
de su grito reflejado por un acantilado en el extremo lejano del lago.
Ella oye el eco 2.0 s después del grito. Estime la longitud del lago.
19. Un bote pesquero oceánico navega justo sobre un banco de atún en un
día brumoso. De pronto, ocurre una explosión en otro bote que está a
1.35 km de distancia ver figura. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la
explosión es escuchada a) por los peces y b) por los pescadores?
20. La variación de la presión en una onda sonora está dada por ∆𝑃 =
0.0035 𝑠𝑒𝑛 (0.38𝜋𝑥 − 1350𝜋𝑡) donde ∆𝑃 está en pascales, x en
metros y t en segundos. Determine a) la longitud de onda, b) la
frecuencia, c) la rapidez y d) la amplitud de desplazamiento de la
onda. Suponga que la densidad del medio es ρ = 2.3 *103
kg/m3
.
21. ¿Cuáles son las frecuencias mínima y máxima que un
oído humano promedio puede detectar cuando el nivel de
sonido es de 40 dB?(Ver figura)
22. En un concierto dolorosamente ruidoso, una onda
sonora de 120 dB sale desde un altavoz a 343 m/s. ¿Cuánta
energía de la onda sonora está contenida en cada volumen de
1.0 cm3
de aire en la región cercana a este altavoz.
23. En un concierto de rock, un medidor de decibeles
registró 130 dB cuando estaba colocado a 2.2 m en frente de un
altavoz en el escenario. a) ¿Cuál fue la potencia de salida del
altavoz suponiendo una dispersión esférica uniforme del sonido
e ignorando la absorción en el aire? b) ¿A qué distancia el nivel
del sonido era más razonable, digamos, de 85 dB?
24. La frecuencia predominante de la sirena de cierto camión de bomberos es 1350 Hz cuando está en reposo. ¿Qué
frecuencia detectará si usted se mueve con una rapidez de 30.0 m/s a) hacia el camión de bomberos, y b) alejándose
del camión?
25. Un auto de policía que suena una sirena con una frecuencia de 1280 Hz viaja a 120.0 km/h. a) ¿Qué frecuencias
escucha un observador que está adelante en el camino conforme el auto se aproxima y conforme se aleja? b) ¿Qué
frecuencias se escuchan en un auto que viaja a 90.0 km/h en la dirección contraria antes y después de que pase el
auto de policía? c) El auto de policía pasa a un automóvil que viaja en la misma dirección y sentido a 80.0 km/h.
¿Cuáles dos frecuencias se escucharán en este último automóvil?
26. Dos altavoces están en extremos opuestos de un carro
de ferrocarril que pasa a 10.0 m/s frente a un
observador estacionario, como se muestra en la figura. Si
ellos tienen frecuencias idénticas de sonido de 348 Hz,
¿cuál es la frecuencia del pulso oído por el observador
cuando a) él escucha desde la posición A, frente al carro;
b) él está entre los altavoces, en B; y c) él escucha los
altavoces después que ellos lo han dejado atrás, en C?
6. TABLA DE RESPUESTA A LOS PROBLEMAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
a
b
c
d
e
