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Culegere matematica

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  1. 1. Aprobat de Ministerul Educatiei §i Cercetirii prin Ordinul nr. 3886 din 24.05.2004 Lucrareaintitulaté, ,Matematic§ -clasaaIX-a. Algebrr“a- Geo- metrie. Trigonometrie“, este o culegere elaboratft in conformitatc cu programa §colar2i corespunzfitoare ofenei educationale , ,Trunchi comun si curriculum diferentiat“. Pe léngé posibilitatea perfectioniirii deprinderilor de calcul si rationament, lucrarea dé posibilitatea dezvoltérii capacittttilnr intelcctuztle de explorare/ investigare a problemelor de matematicfi, precum $1 stimularii interesului §i motivatiei pentru studiul §i aplicareu matematicii. Lucrarea este alcétuitil din trei pérti in care gésim exercigii 51 pro- bleme de algebra, de geometric §i trigonometric, precum 5i rispunsuri. indicatii si solugii complete. Culegerea este recomandaté tuturor elevilor de clasa a lX—u indiferent de specializarea sau de profilul pe care il urmeaza. De asemenea, se adreseazé profesorilor de matematici, fiind un instrument auxiliar de informare stiintificé pentru lectiile cureme, lecgiile recapitulative sau pentm pregiltirea concursurilor scolare. ISBN 973-8418-8Bv7 IIIIII I 0780718 fllltllttl Q MARIUS BURTEA, GEORGETA BURTEA - MATEMATICA - CLASAAIX-A - Algebra - Geomelvle Tvlgoviomelvle ‘ix EDIII/ IRA CZ’ CARMINIS
  2. 2. -. I‘. H . .. . I. _s. s . .r. % '15 In . .
  3. 3. Marius Burtea Georgeta Burtea MATEMATICII clasa a IX-a so ALGEBRII 0 GEDMETRIE TRIGDNOMETRIE Editura Canninis Pitesti
  4. 4. Deucrlerea CIP I Blbliotecfl National: I Rominiei BURTEA. GEORGETA yutemnticl: clasa n ! )(-n: nlgebrfl, geometric. trlgonometflel Georgeta Burtca, Marius Burtea. — Pltestl: Carmtnls Educational, 2004 328 p. ; 11.: 23.5 Cm ISBN 973-8418-88-7 l. Burtea, Manus 51(075.35) Copyright © Edltura CARMINIS PREFATA l. u('rzu‘t~u illlitulrita , ,Matemati(: :l -- (‘lusn A IX-u. Algebra. Geometric. 'lrlgono| nelrie-“, reprezinta o r-ulcgerc do pr0l)lcnlr ('dl‘(‘ vlne in sprljinul manu- ulelnr alternative pcntru clasa :1 lX—. 'i. Aceasta este elaborata in vunformitute (‘ll programa scolara corespun- zatoare ofertel edurrallonale , .’I‘runchi comun st curriculum dlfercnttat". Problcmelc cuprlnse in llecare capitol vtn in spnjtnul cunoasteril. inte- legerii st aprofundarll conveptelor malcmaticc prevazute dc programa scolara. Pe lénga pnsibllitatea perfecitlonttrii deprlndcrilor de calcul 51 ratio- nament. lucrarea da poslbtlltatea dezvoltaril rrapacitzitflor lntclectualc dc explo- rare/ tnvestigare a problemelor de matemativa, precum $i a stlmularii interesului st motivatlei pentru studiul st aplicareu matematicil. Lucrarca este alcatulta din 3 partl: Partea l. lntltulatia , ,Elernentc dc algebra" ttupnndc excrcltli st probleme despre multlmea numerelor reale, elemcntc dc logtca matematlca. elemente generate despre functii. {unctia dc gradul I si functla dc gradul al lI—lea. Panca a lI—a, intltulata . ,Elemcnte de geometric“ cuprinde exercitit si probleme de geometric vectoriala in plan, trigonometric 51‘ aplicatli ale trigonometriei in geometria plana. Partea a Ill-a. cuprindc raspunsuri, indicatii $1‘ solutii complete pentm un numar foartc mare de problemc. Culcgcrca este recomandatit tuturor elevtlor dc clasa a IX—a indiferent de specializarea sau de prnfilul pc care il unneaza. De asemenea sc adreseaza profesorilor dc matematica, fiind un instrument auxiliar dc infonnare stiintifica pentru lectiile curenlr-, lectiile recapitulativc sau penlru pregatirea concursurilor scolare. Ceca cc recrmmnrlfi at-easté nulegerre dc problems esle faptul ca prezinta 0 paleta larga dc prohlcme organizafc de la problems obisnuite. uzuale la prohlomc (-ornplcxo, original: -. / lutorii
  5. 5. I Algebra ‘I. MUIIIMI _SI rtrmrnrr us Luuiclmltrmnrici ELEMENTE DE ALGEBRII I. MULTIMI SI ELEMENTE DE LOGIC! ‘ MATEMATICK 0 MULTIMEA IIIUMERELOR HEALE I. I. UPEIIAIIIALEEBII/ (IE [Ill IVUMEIIE IIEAIE 78 72 D1. St’ t-(>risitlcl'; 't IllllIlt‘l't'lt‘ 7.t'('IlIItllt‘ . , st ‘ ) , . 10' It) so st‘ svriv ! ~lll) lUl'llI{l «Iv ll'1l4‘llt‘ / .t't'IIlI1ll£I nu11u'i’<-lr-: XIV: ’ xzxyz. ltl''l U2. 5;: st‘: -lt‘('ti1t'7,«': r7 {Iii IS‘ “2 3 I-18 24 4 5 a) —— [4 1 ‘jab I 7 5 I‘ : :5 F, b)(/ J) : (—v3‘) sfiiisi i- «I I 4 I clIvrs5m _I I. '— . I‘ Z/ .[. ‘l) 2 If) I i --. > d) , ,_ V‘éJ_ril. t;s. li' i , II)(Il)/ (V (0.2) . Mt)’ e)I i.2i5i I t>_l[-Ill ‘I2 Liirii l. .‘<(-III D3. . s.i >1‘ vlvt lllt'/ /t‘ 7 8 I7: 312 i , )IZ 1: I I mi “: i a) - I‘. 23: l I ZN I I II 0.2:’. 1 I b) ulizi em» I 1 0,75 . : l »Iu_z2r»i In
  6. 6. I Alphrl 0 I. MIILIIMI SI ELEMENTE DE LIIGICK MAYEMATICK c) (S+2»/ g)‘+————1 gaofle‘/5) 1 (5_2‘/ g)‘ 1024 ("$114354 '("23)'[’ 0,(l6): | :2; dl —5,2]+[o.5(a)—2.(3)]—{v7; +s: J+1,95‘ B4. S3 se arate ca urmatoarele numere sunt Inverse unul alluia: 7 11 5 l = -— —~— : ,0 5 -0.05 : ~. X K45+30 12) 1 ( ) : } 40 7 19 y= {0.8(3)+[0,1(6)—0.(4)+0.08(3)]: %}-E+%. D5. Se dau numerele reale a=5—2/5 $1 b:2/3+5. S5 se arale ca Cele b — a + 3‘/ ab +3 J5 ' doua numere sunt Inverse unul altuia 31 ca «lag + b2 : U6. Se dau numerele reale: 3 _ 15.1. 10 5 1,6(1)—3.3(s)»1,(2) 6:62—63- 3 5 A: : (—0,86)~0.0(6) 51 13 = — 1,(42s571). NJ 22 ’ 5} Sa se calculezez A’ + B’ ‘ 3A — B ' b) suma inverselor numerelor A 51 B; c) suma opuselor numerelor A 51 B. b c El 7. Dana g— E + E : 0,91, 53 se calculeze valoarea expresiel: c 200 13.100 [ IOOJ a n) A—B: A+7B; '22 91 8 -91 -M1. 3 D8. Daca a2 + b7 — 2a — 4b + 5 : 0, 5a se (talculeze a2°°5 + (b — a)m°5. D9. I) Data 4x2 +9y7 : 256 $1 2); + By : 20, 53 se caktuleze xy. 2x — 3y. x si y. b] Dara 3a — 5b = 8 si 9a’ + 25h’ =16-0, sa se calculeze ab. 3a + 5b. a. b. D 10. Fie a 51 b numere reale cu proprlelalea ca 21 + b :10 $1 ab : 15. Sa se calculeze: I) a2 + b“. a" +1)“. a" +h‘. as + b": 1 1 1 13- —. . )a+b a‘ il Alnubri -‘L l! ll'[lM| 5| EEEMEHYE DE LDEICK MATEMAYIFK CI 1 1. S3 so delemflne numerv; -,le real? :1 51 b. respertlv x 51 y dara: a)221’125b’ + 5(2:. + 5) 10:11) :0: b] Fax‘ 1 9y“ 6x(2 y}+ 9 -,0. . - ~ 2 . x ‘a )0 n '* —~—— -'——* S ‘ ' D ill I 1 rt 1 1 24“ 9‘) eslt | )al1'ah1] unui numar 12. S‘; 50 VP! ‘ u r N 1 y H” 129‘) 2: real slI1nd('a 74:; : 3 l() ‘. 7a+2.(6)b D 13. Stiind ca 53 _13b 3- : 2(6). 523 se slahileast-a (lava raporlul 1* : b cubul unui nurnar real. 0 14. Sa Se stabileasca valoarea dc adevzir a urmaloarelor reiaul: n) a(b+(: )(b+(', ——a)+b(a+(')(a+c—b)+c(a +b)(a+b—c)rGab¢: : 1.) [4ab. (-11* +1)(h" +1)]” —(a* —1)‘(h‘-’ — 1)‘ ~—4(a—b1’(1—ab)’: c) 1a+11+c; " —_aw1;‘ . 1" ‘Ys’$, c1Y]J‘| /11Y. ;(( 1:1) Va“ 1133+ c“ aabrl +3(a+b+c)(ab-1 bc+Ca): d) (a+b+<: )" ~(—a 4 b+c)"5 —(a—b+(-)3 ~(a+b—c)d =24abc: e) l 1+a+2a2+a”+a" [a+b a—bJ_( '‘ ' , _ ‘ 1+1, 1~ab 1+ah f: ii:1—3(: ~Ti“]= [1~I: :1T+3{: :;})[: :i—lJ} :3 D 15. Sn sc (‘[1-«: l1«-zv up: -rntiile (-11 pm*ri 1'11 <*xprm(-, n( intreg: -» 1:1” 1;)“ '” 8:19; ‘:31 c)3 5* :1(4+3* 1")“-(4v2*‘ 8-2*)’ :15“: 7 esle
  7. 7. I Aluuhli I I. MUIJIMI SI HEMEIHE IIE lllfillll IMTEMATIBK V_ K 7 _ _____fi I Alnullrl I I. MULIIMI SI ELEMENTE DE lolillil MATEMATICK an 5'” -5 as A4-(2215 1 {5“ ~<s= *1‘ 25461" 1” [<= s-21"‘J‘ - Jim‘ / ;.-. .=~ $1 . . p. q -12 3 ’ -2" >8: ) } H 2 C] 20. Care 9519 valuarea maxima a expreslei: 1 —~" ' 3 I ‘“ ’ " -‘ 5 ' . e) , _:5, , ; .5 ; 15 . _'_(,1)’ ' -£(,1) 1 , .:(,1) ‘,3 (,1) "m_”E~. {. . 5 6 24-‘ 25 48 4, :32 2 5 4 2 6 ' 2 D21. Daca 221(a —5)+2b(b~])1l3:O sa se calculezc: (a _ H2005 + (3 _ 8b)2rx15' 022. S3 se calculeze folosind uperatiile cu radicali: .1(¢§. JE. ¢:§-. fo)-[. I(1-@)’. ¢2Tfi. Jfi]; 3 1>)(Jfi+J27+fi)-(1+JE): c) (2~/ §+3B—7fi)(J72—5./204-zfi): 1 d)«5+/ §;+E+. ..+«/22°”. . 1 , " " "‘ " 1 “ " CI23. Sf) 5:: determine media arilmeticé. media geometrica $i media armonica d) [ bzj 3) 1 ( a2] ‘[3 ’ B] ' 1, 1: numerelur a 51 b. suind ca: '1 I)a= s/98+‘/32-‘/50,b= x/162+~/ E—/ E: Cl 17. S2‘: se scrie sub [onna mai simple’: expresiile: 1;) 3 = 3,/128 + , /200 7 2./242_ b : ./32 - , /283 + 2,/450; .2 2 ) (221 'x’")2 azxn ‘ ‘ C) 3 _ /162 +12’ +/162 —12’ — / l6—l2 3 by ' ' 4(b—1y2)2 ' 18+2% ' 1 1 25 1 ' __ n 7". 4 " ‘ _ , b: V: i+[——] -/20,25 —1 : IO.32(l): b) a:1(a. .) V <1 7fl)___#1__(a. .—. « _a611)_(aLn14_‘a11 [43 255 /5 an as a. ..1 , ‘ d)a: x/2.73-. /7—2@+2J§+5.b= /3+2‘/ Ev. /fi+5.-2J5. 5 D 18. 3) S3 se scric sub fumlzi mai simpla expresia: 1 (a + b)(a’ + b’)(a" + b‘ + b“). ..(a”" + by ‘ Cl 24. Sa se determine valoarea de adevar a propoziliilor: [)| Z/5I1+2E~. VlIE~§ p2:/2+2-3"+9" eDI.1.VneN; ls) Fie A : [l + + + + Pemru :1 : 2. Se arulc 21 212 Ln’ 3 C«’lA<2- | )., :4—/ E-(4+E)(/ '13~4/§)€N: - - . .- . . , V 1 D 19. Care Sl.1I1lVa1()1'l1k'[)US1b11(’ ale expresnlm. P‘ i 2) I 5 2»/5 V (4 + J? ) ‘ A( 4 7 '] E Q I‘ a)E, =(. .1)""[—§J (—l)k‘'. %+(—l)k'2.keN: ‘5 — i 2 g 2 / I I (71)2.. ..: a EI25. Sa se arate ca expresia [)2+«/3 +/ (2+/3) X} +[/7+4‘/3 ——fl7+4~/3| ‘J b) E, =~—(—l)""'+«1-l)""+ —. m,neN: ; 5 2 10 1 nu 1-slv numar irallonal.
  8. 8. E Mglhll I I. MULTIMI SI ELEMENTE DE lflfilfl‘ MITEMAYIIIK A» _ 7 D26. Daca x este partea intreaga a numarului —24,7l si x —8y .7. sin av calculezc ’(x _7}2 15y’ r 0 25)2 1'5(_y‘ + 64]. D27. sa SI‘ arate ta unnalourea expresle nu depinde dc x: . «,(x): xe. »4fi*l‘%—; Xx’:1_++84 J(7.7F+[(TIx; U28. S3 se arate ca daca x e [-1, 1], y E 4], atunci expresla / (7x+y—5)2 +/ (2x+y+5)’ — / (x—y—4)’-+[(2x—y——-5)” nu deplnde dexsiy. . .' e—[—4, 4]. D29. S3 se scrle ca suma algebrica de doi radicaii simpll: J5 + 2&3: f5: J2_i'; /17+i2J§; J5—@-. ]3+2x/3--x2.xe[O, 51: 8a —2/16a2—9.a D30. Sa se an-ate ca numerele A. B, C sunt rationale daca: A: /l3—30xl2—/9—4/5 +/ i3+3o‘)2+l9+4J§: B= J26+6fi3—4/8+2‘, /6Ax/ E6 +/26—6!13+4l8—2/6+«/72?); c: [25+4)3—2~/6+2JE --!25—4, /8+2‘/6——2«/3. U31. S3 se arate ca b + 3 2 Q stiind ca: a: I3~fi+»/9—4«/5 si h= /«K7i—/ Fifi. U32. Se considera numerele a — si 1) : ‘Er — o 2 Sa se arale ca ~ E 1.1, a + / Eb 2 I D33. S3 sc arale ca daca EX 2 fil7+/7:2:— S1 9 atunci U34. Dacii u » / £_smz/ [5 8 +2‘/ ii, sa so (‘&lll‘llt"/ X‘ (:1 v 2x/ §)1”m 10 I llquhri I l. I! l|l'[lM| SI ELEMENYE DE LIIGICK MATEMAIIIEK D35. I)-aca n fl‘; Jig. 521 se calculeze n’°"‘. . mi se (~alvul("/ .«. - 27% din numfi U37. Sa 59 raiinnalizezo numilorii fmrliilnr: 2 1 1 . _; b) — . —-—— : cl ~——~; —. '0 J3 J4 VJ7 5* 3 .1) 4-; e) —+. » oe 2./ §—/ It-) 65--9 5+6‘! 3) ___lfi, -- 1.) ——~—. ~L ——4~: 1) 47%» ¢§, J§+fi' 2—J2+fi—@ Js—«3—/5+1 CI 38. 53 se scrie sub furma mai simpla expresiiic: s/ fi+~fi‘2‘+/5+2‘ 2+‘/5' x/ Z mfg- d) 3+2x/5+ 3—2~/ E “)~Tfi: ~/1:2;-u / .5—‘2 J3“/ EH/4+fi: c) Jfi+Jfi+J§ ‘rump s»2J§' U 39. S3 S6: scrie sub funna mai simpla cxpresiile: 2 4x(x+/ x"—l) g)— ——4 , xeD[~1,l]2 (x+xlx’~| ) —1 5) “Mi _ 1 2.{; X+_.1Ll. ‘x. Ll+,1. , x:O. x2—1; 2 2»/ x+l ¢x+1+1 / 'x+l~1/ x C) Ekxrlrofr/ §$+/ §$+b/ —'i'_£#Lrl7; #«/ ?fa’+x/ fi~1 d)aJ? i—x/ :E+x/ ii-. b~b~/ fifxgr ” . +rE+m M 2x +2/ §(_; —‘E'Q+3 @( 5 + / .73‘) U40. S21 so ralculeze sumelc: _ I I __“_| _ V . ‘W '*i? f2’¢§. ¢§""‘¢fi. a: ’ l 1 r_| V_ ___ : "’ 5* ¢>; 'I§Ji' ‘M Cm ‘ ‘ "J7, . .e¢.1.w. . ll
  9. 9. I Algului ' I. MDLIIMI SI ELEMENTE DE LOEICK MAIEMATICK _ I I . - D41. Sa se rezolve E(‘ll2ili'd + + +7; '— 20.11:: N. '1 k 1 D42. I) Sn sc 2111110 ('11 2111- lm‘ ('p,2l| ilul('a ¢" ‘~ / n 4 orirarc ar [1 11¢ N si k 1 L1 {x/ ii flit! h) Six so ('H]('lI]l‘7.(‘ Slllllili x/ nv ¢1V1 J2 ion — 11+] J11 —i / _n S: x/ n+1 rx/ Ti *V£(x/ '11 473171 Vi)< I ’ . '3(Jn— l tlx/ -I: y ~ U43. Sa se determine ilil. llliiIiIi(‘t A= Jx<I / XX 5—eN1 [ x+l I Bzjxeh x: /5—r—n nr—N] 1 , 9 I cJ. .~ J277.~1 l n—3 I D: {x1:l' x: J4—? I. }("1I. / E: l< amjxep x - 1&3", uerwl I 4 I D44. S2“: se determine x E’ as (-1 inrrii numéxnil W _m . 15;. mg _ I X 2 7 I2 1’(Ji. T’1 ;7i1T; 1 J1. . 11 1;. " I upm - 1. Mumm $1 nsuum us LOEICK MnmAnc1 TESTE DE VEHIFICAIIE m Teltul nr. 1 O 1. [)ciern1innti media aiitniclica. media geumeirlta si media annmiiea a numerelor: 1721 5.15 5. J2 , 1x7*. .;(s. :fi) ~ : 1/16’ +1214./16" —W —/16-12> 13 1s+2@ O 2. Sn se demonstreze ca oricare ar ii x e I2. numarul: (2x’ — Bfix + l)(2x’ + 9 — ~/ Ex)+ 16 este patrat perfect. (4x’ +x—l)(4x’ +x—5)+4 (4x2 +x—1](4x’ +x]~6 O 3. 5:: so simpiifice fraciia O 4. Sa 51: determine muliimea A : {X e l ‘PX + 7 E N}. x + 4 Team! in. 2 O 1. Fie numereie a : Jé 4' 3 5i b : Sa se arate ca: 2 2J5 I) media alitmetica. media arrnonica si media geomeirica a numerelor :1 si b nu suni numere iiationale: 1)) media ponderala, cu ponderile 3 si 5. a numerelor a $1 b esle numér iratiunal. O 2. Sa Se determine mulumea A : {X e l | six’ + 8x + 20 6 N1‘. 03. F11 21:1/3—~/3 sib. »x/6—~/ E. (ialculati am + :1" rb + a“ - b + + azb -2h +1. 0 4. Fit‘ x, y. z numcre reale strict poziiivc. I)a(', z'i sr uruic ('1! x — y : 7.. 13
  10. 10. I Mgului - I. MULTIMI sl nzuem ns Lnmcl Mmmmcl _ 1.2. IMDUNAIIEA MIMEBELUII IIEAIE D45. I)u('I :1 5i In sun! numerv rcnle puzilivc, 5.1 . ~:<- urulv x-.1 LJIMI $l ELEMENTE us l mu MIYEMATIBL , an sun! IIIllll(‘l‘('I‘(f1ll(‘p()LiliVl‘. an sv urulv ('71: D48. Daca a. b. 0 sun! numere male p()7,ItivL-. as 51- denmnslrcxr ix1(-ggulilulm: all) + bv ca + h + 1- a + b b + 1 ( + .1 2 ' n 1 fi. .1/ >El”,1l“"' ———[u| ~ u. _, ~, ..v uh], U51. S3 Se demonstreze ca dacii a, h, 1- sum lungimflr lulurllor firlunghtului D47. Daca a, b. r sunl numere reale pozitive. sa se demonstrt-29 ('3' ABC’ aumcl: I '1 '2 2 '1 2 _'1 V | J _J_ 3) (a+b)(b_, C)(C+a)28abC. I) b(a +(: )+<: (u 4 b )4 u(b H .1 «h 4(, W 3(1)! + (‘2)+b(a2 -9 (-’)+ c('. '1 + b2)26abL‘; h) 32 / ‘ 2”’? ‘C2 )3 c) 2(a" +1)" +c3)2(a +b)ab+(b+(')hc 4-(a + c)ac; c) m(/ A8): 90° daca si numai daca : / a + r + / '3 — r, cl) a2+b2 +6‘ ——ab—uc—bc20: e) (a. b. IL)2 ;3('abaL . 1). ). f] a3 + b3 + C3 2 3abc; D52. Sa se demunslreze ca: x/ a‘+b“+/ b‘+c* »«/ a’1- Ex/ Za+l)1| ,J| n.ruLaAflu.1). x O. g) a‘ + b‘ + 10231)’ :2 Sasb + 83h” —— 82:25‘; D53. 53 se demonstreze (‘B oricare ar Ii 21 2 l are lot inegalitaleaz 1:) 8ab(l—ab)$(1+a2)(l+b’); 1 >2/g _2,g_ 1) (a+ b)‘ S8(a‘ +b‘ ); ) a3 + b3 + 27 2 9ab. D54. Fits 21, b. C numere reale ozitive. SA se aralc ca: P 1 1 1 (iii; 1'. =1,[ ’-——:9I D48. Dana a, b, C sunt numere reale pozitive, sa Se arate ca: n) ac 1 + ) * C a um“ a + b + 4- / b . I) +C a+( +a+b26: bldacé a+b+ c. l. alunvi ab+bc+r'a£l si ab(‘<L: (' 3 27 1(d + b ) c) daca £l1)(2 : 1, alunci a +1) + c ,2, 3. — ' + r 3 C) daca d, + b, +(2 1 l 1 } } 1 D55. S2’: sc dt‘, m0nstre7.e ca: ' ' : .aunci ——g'. — . ‘ . ‘ . ——-V -- . ""*' 2 ””“" = a)J”—2ox+2o+. /‘ 6J§y+10>5,rx. _yeIr- 1:) J3? 18x48?» « / Tsdxz . Mix .3 « Jc‘»7§f2} 955218. v . ». l.: D49. Daca x, . x, . . , x sunl nunu= r<- rcule pnxilivr vu sumn <~gul:1 (-1: 1. 5:1 51‘ aralt‘ ca: 8) / X, (X, + x. , V» « x”1x, rxz +V. .. xx. h) ' ‘~ ~ — x, +x, x, 4 x. , c) J? ‘ A V/ {x»l: «:1 4 /4y7+8y‘-" TE . Jwx’ +122’. 5:; >15, *3 x. _v. 2.. I. . > I ‘ D56. Fir x, y, x numere rcnle pozitive uslfcl ixuial ‘‘ ~ y o 7 — xyz. Sf) :40 : r. 'aIe ,2 1, 1 cf: 36<;4(xyayz»x'/ .)«, '$)+>'y / .. U57. Sa so (l(‘, IH(lllSll‘L"/ ,(‘ ("L / x|_y<'/ .) v V/ $/(7)<Vw/ ,)+ /21>; ~ v)‘ V/2V‘X 4 V I '/ .). VX. ,'. ‘/‘ 1". WI 14 15
  11. 11. I Algcirl I I. Mlll]'| MI SI ELEMEIIE DE LIIGIEK MATEMAYIIIK U58. Daca x. y. 7. sum numerc reule puzilive. 5;: se amle ca: x(y + l)+ y(7.+1)+z(x +1)26 / xyz. CI59. Dara x eslv nuI11ir r«".1l puxinv. sa so rlr-1v1n11sl1'r7.<‘ (-21: — ]+x l—x 1 If: —; I) ~— I X 2 ) x 2x D60. Da ‘A a, b. (‘ sunl 111,1111c1'c1*eul(‘ asllcl in('; ’1l ‘.1 0 b A (1 *— 1. alumtiz ~/3 ‘I+/3b+§+x/3('+3 (6. D61. Daca 2:. b. C. d sunl numcre pozlllvc aslfel incél 21 + b 1 c +d =1. sa Se arale ca x/8a +1 + ~/ Eb + l + x/8;}/1 + /8dA4:] < 8. D62. Sa se arate ca: . .,i; _.£. fl.. @.@. J35.< ~— 3: 5 7 9 I I I3 . / . / 2'? ’ T b] LE4 20 +—43+. ..+i7£Ll—H )<fl, nshl’. 5 9 13 4n + l 2 D63. Se considera numerele pozilive 21,. 212. an on produsul egal cu 1. 5:1 se demonstreze ca: (1 + a, )(1 1- 212 ). ..(1 + an ) 2 2“. D84. Se consldera numerelc rcale pnzitivr 21 :51 [1, S21 se demonstreze i11egali~ a .1 b n M tateaz 1+3 + l+—] 22 , neH. a D65. S2‘: se demunskreze ca pentru V 21 6 I2 are he relafia: D66. Fie x. y. z. te(0. +7.1). Y Z . «. . +4‘ — + — nu esle nu1n.11 na(u1al. x+y+l x+y+7. y+7.+l 53 Se arate ca + x+z+I D67. S3 se compare I]ll| I‘l('l'(‘l(‘ rcale a. h. r slilnd ('21 21:2. c=5—x. iar Xell. | ):3x~l. D68. 521 st d(‘l(‘rn11'n(‘ nu111<*r1:l(~ x. y. 7.: N‘ sliind (~11 (‘SIP vrrifirulfl ine; .I, ;1l1— tatea xy'/ .+x+y+zsxy—1-x7. 1-y'/ .+l. D69. Fie a. b. C lunglmilc latufllor trlun; .I, hlului ABC care vcriflca relalla: Ja’ — [221 + 46 + bx - 4 / (:1: (iv + 25 i 7. S3 S6 delenn1r1e lun(! ,in1ile laturllnr lrlunghiului s1 masurllt‘ 1nghiu11lor aceslula. I6 I Alpulni I I. MLILIIMI 5| ELEMENTE IIE HIEIEK IMTEMATICI 1:51: as vsnmcnne 2== === Testul nr. 1 O 1. F16 21. b, (‘. (I numere reale. 5231 se aralt: ca: 2(ul) 4 u(: + ad + be + bd + Cd) é 3(a" +11‘ +02 + d’). 1-2-3 +(’n~l)-n(n+l) 2'*—1 " n‘-‘—l _ 1 = 2k k’—k+1 k’+k+l (k= vk+1)(k"+k+1)' . neN, n22. O 2. Fle S" = + a) sa se arate ea In) S3 Se arale ca S“ < O 3. Detennlnau minimul expresiei: 5x’ + 18y’ A l2xy — 2x — 24y +20. 0 4. sa se arate ca pentru orlce numere a. b, c 2 (0. + on) are 10C inegalltateaz J; + no +_ 1E Sat (a+b)(a+c) (b+a)(b+c) (c+a)(c+b) 4‘/ abc Teltul nr. 2 O 1. F is a, b. C numere real: poziuve. sa se arale are loc inegalitateat 1 1 1 <fi_J§+/3+5 ,2 ,2. + —+ — a’+2 C2+2 abc b’ + 2 O 2. S3 se arate ca a(a —4)(a" ~83 +l2)+16 20. V 2 Eli O 3. Fie a si b doua numere reale oarecare. Si: se demunstreze ca: 2 a) a7‘ +bZ 2 ¥ 421)) : b)daca a. b.c. dEI4 si a+b+c+d—2=0. alunci a’ +b’+c’+d2Zl- O 4. S3 se detennine numerele reale a si h stiind ca verifica relafla: [¢; ..é)[J1;. %];2[]%+. [§]s: u21.o<n:1. 17
  12. 12. I maul - 1. uu1J1u1 :1 ELEMEIIYE 0E umlcl unsulnnnl D 70. I371. CI 72. U 73. D 74. 1.3. M00!! ! lll UNUI MUM/ Ifl Ill-‘Al SA se calculeze: .1 | —a%‘_| -5|+2 1.) |2fi—3|—| —fi| +3.|1—J§]: cl |4J§—8}—|3—~/5}+[5—3~/ ':? |: d) | ~/5-‘/5]+5|2 —~/ §|+|1—/ §|—3|—31. _§. 53 se efectuezez .1 J22-12‘/5+‘/17_12f—%; b) 1/21-12‘/5 ~/52-30‘/5 —/7-4‘/ '5; c) , /76-32‘/5 +1/16‘/ §+28 -4 ~6~/5+-11: d) , /7‘—2«/ E +2I13—2~/ IE +1/17—4~/1_5 —JE. Care numar nu est: intreg: a= /so-12£+2J4~/ T2"-1/27-18‘/ E: b= /11—/ §E+/14—4~/ §—/4—2~5: c=3/8—/ Z§+/43—30~/5+ 25—4JE? Sa se determine numerele reale care vexifxca egalltatjle: I) | x|=36; bl | a|= —l6; c) ]-b| =|—81|: d) | y—/ §|= |«/5-8’: 3x—2 e)|3z—4|=0:fllx/ §x+J§| =/5-2‘/ g;g) 4 1:) | (5x—35)(y—6)| =0; 11 | x* —1|+|2x—4|=0: 1) [418 —12x +9|+|1+25y’ +10y| =o. x~l —~+ 2 Sa se gaseasca numerele intregl care veriflca egalnaule: — 2 — 1 . ) x 1 (X ) _ 5x 7 ~o, a3 2+3 6+( 1.1 | (x + 4)(x + 2) —(x +111: 3: 3 c) | (3—x)(x+s)+(2—x)"| =5; 12x»;1’—1x-21’»sx1»;1 ll) cl ‘’ | 8) _I_A1na1ua -1.11ndu111M1s1£L:1111eu15n£1ot111:i1 MATEMAIICK ~/ '2xr l)— {)(/3 — Jgfi: x12)‘ (x. —11“. v27; 1 ‘ <1 1 2x lfix" 2' D75. Folusind p1‘op1'ielaUl(- 11md11lul11i 1111111 numar real 53 st: detcrn1im- numerelc U76. U77. 1:) e) {)1 53 3) S3 f) K) reule care verlfica: x —3:;0;b)13x~v4|«:0;c)|2xr8|«’2: d)6—5x| —2s0: ex‘ +5x —11|20;n{15——: xx| ,(1;g)]3x“ 7x 4 21:0; 1;) |2x —51,. 1; —l2x —2|? :2; j) 12:“ 1 x11‘< x" »1 101:0. Se re’/ .olve 1'ne(: uati1le pr mullimea Spt'(Tifi('Zl(? l1 4n+l >l. n:H: n 3 —4 211 "‘ 211 , 1 2—. neI: 2+ 112+-2 _2_"+3 2"+l 4.5"+1 5"+2 lS—? —.neH: 17 21-. nPN: 123 se rezolve ecuatiile: 3114 — 5, _ 5|*| +1 . . ? _i*:1:5 , E13,. 2(4x~ 3)“ ——5 3(3 / (4+5x)“ +2):50x(x+2) 2011; 1). 3—4x| +.'3:_ ()1
  13. 13. I Alguhvl - I. Muqmu $l HEMEMTE n: LOGIGK ummmck _ _ _ _i . “Md _ L "mm" 5' mum‘ H mm“ Mmmmd U78. sa se rezolve inecuatflle: nag, nag; u_ b, (3 E p {Q}, 53 Se demonstreze Ca. a)| x~l]«(7—| x+4|)20: b)|2x+3|<(|4x4-l| —7)<(): ' a~b + b~L: + (‘-21 Z a~bV 3 —2 -3 . . . ‘ c)((3x+1—11)-}x43|<0: d) L1J—((> ‘ A h < |3x--1} e) '4)‘ 7 SW)‘ 7 /2 g 2] 1‘ 0 n iwzlilzl‘ ( 0 D89. Dana 21. 1). 1' sum numere reale pozllive. sa so arale ca: ' 2*|4X’l‘ V (ab+bc+va)-1-; abc U90. Daca 2). b, cal) sa se demonslreze ca: 1 1 D79. Sa se determine x eN 51 n e N‘ sulnd ca x 4 ‘x —— 4| 4 2" 736. I) ('31 +]b| +|CD[‘: |+fl*| %‘) 2 91 D80. Daca aerfi si be I N, sa se scrie sub fomnamal slmpla expresia: 1,) ]a+b| .‘1 +| b+c| .1—— +| a+(| - l—a—1C s2[a»§ + b_l_: + (. ,l , . C ~l25a2~/4:,14J(: +11)71—, [2a+? —,(b~a)2, UB1. Daca —Z S b S —l, 53 se rezolve ccuatla: J(b+1’ —‘ (b+2 2 4 , I(3—2b)2 : (b—3)2. D92. Daca a, b. cal) {0}, $3 se demonstreze ca: 1 l l<a2+b’+cZ U91. Daca a. b E D S3 se arale ca: 20“ + b| *|3b| ) 3 (la! +| bI)(13V+| "| * 2) U82. Dana x < 0 sin se rezolve ecua_tia: E + M + H ’ label Ix’ +81—[3x —2[ ~ . (x—3)2 + 4[(2 v x)’ «Q ~ , I(»2x)2 :0. C193. Pol fi adevarate simultan inegalitétile: U83. F10 x. y elz astfel incét [3y —2x ~61 :5 Si |3x —4y +1]: 2. S3 se arate {XI <| Y”Zr$ | YI<| Z"X|3 | ll<| X “W7 ca Al2Sy~x£2. U94. F18 a >0 $1 x. y. ZED aslfel incét | x|<i, |y| <l. . ' ’-, z j’ 1 '. ’—— —.12>. .—, r. - H 3 6 EI84 FIE x y 7elJ aslfcl1u(1L 4! Iy 4 91 4(x4 y) '§( + I) ) Sasc Sa Scdemonstreze ca: determine cea mai mica valoare a lui x si cea mal mare valoare a lui y. . ) "*3 <1; . ,,%¥+7«_+=1iyL, <1_ CI85. Fie x, eI)siu, e{——l.0,l}. i:fi. Sasearateca: 1+axy 3 l*'3 (Xy*X7—*YZ) 3 | u,x, +u.1X2 4 4 u, ,_x“]: 'x, +[x, |+. ..4x"‘. 086. S3 se dE‘l‘lll')I‘lSll'('Y, '3 ('21 ‘El 4 I) 4 1*} {an —— h + c} [)2 4 (21 4 1')’. v .1. I), (' oz IJ. U87. Dacfl 2:. be IJ. 5:": so I) ‘L: 4 I)‘ +| u — I)‘ S 2»/ ui 4» b. in 4i i ‘ V ' 1+| a+b| ’l+‘u l+| b 2° 21
  14. 14. .. .. . .x». - . e.. .,. I Alnnhrl I I. Ml. |l'| ’lMl SI EIEMEITE DE lllfilfll MITEMATICK , 11551-5 55 Vgnuqcmg Teuul nr. 1 O 1. 5:1 se determine solutiile intregi in cazume: .) 2(5ix| —1)_16jxi+13 : l_2]x1+3: 15 10 3 2 110): +1] > 0_ 3—|6x -41’ ' l+4x’ X2 4-3 B) c) 4- 1 Z~. 2 0 2. Fle X. y. z 5 I) care verifica egalitatea: x’+4y’+9z’—2x—l2y+6z+10=0.Sasearateca %Sx+y+zS4. 2 , ’3j'1”" 2 0 3. SA se calculeze valoarea expresiei . I(a + 3) +(3b )+ ‘)§(a — 5) +(b — 2) stllndca a—4b+3=0 $1 0SbS2. 04. He a. b.ceD' $1 a+b+c= O. sa se demonstreze ca :1 + L + L ab’ Teltul nr. 2 1 <—. 2 +1’ l+4xy O 1. Fie x. yell ast. fe1inca‘1t1x]<% 51 | y1 <%. Sa se arate ca 0 2. He 3. b. C E If $1 (a + b)(a + c)(b+ C) : 0. Sa 58 demonstreze lnegalltatea b a+c a b+c C a+b + >1. + O 3. Sa se rezulve ecuaiia 4 / ix —3)2 4 — ; l)2 : 8 pentru 2 S x S 4. O I. Pie numerele x, y e I). x 2 [—1. 2] $1 2y ~ x : 1. 53 se determine valoarea expres1e1E: K-41)) +| x—2]4 [3(2y—3)2‘4(x —2)2 4, x’ +VE: 7/7‘ 42x41. 22 I Alpagri - l. _M|1L'[lMl $1 ELEMENTE n: LDGICVKJJATEMATEJVKV 1.4. AHVUXIM/ Im PIIIIV L/ rs/ I sAu Pfl/ N AM as 1395. S6 Se scrie apruxlmarilo zccimalc prin llpsin (~11 (1 eruuro (iv 10 ‘ . 10 " si 10 ° pentru munerelc: 11) 2.403571: 0.873134; 7 2.413256: 4.89317. b, E; ‘E; ‘E; E, ‘L’5?; 5?fi.9§§,7 E‘? 1,. 8 6 12 15 10" ' up ' c) x/5: x/5: / $3: x/ E3: 3.44 4 n D96. Sa se scrie aproximarile Z("('1ll]&I1(' prin adaos (-11 u <-mz1rt- 111111 1111011 (11-1111 10 '.10 '1. 10 4 penlru numerele: 3) 2.34215; 4.02872: 43.25712; 0.58149: 11) 20240: -2140. ; —245.5:1111 11193:’; -E; 2°; 24 10’ 12 27 7 1:) 415: Sn; D97. S51 <0 rlelermine trunchierilc dc urclinul 2 >1 3 pemru 11111111-1:~1r. 4.245982; 43.465248: — M; 37?; 4.2(41). D98. Sa se determine rotunjirlle la 2'1 doua si la 21 treia zecimala a numerelor: ‘/5 fi_ 39o_ 802, 427’ 40239152 17'13' 6‘ 10“ 1 J5 U99. Se considera numérul real 4, : —2 : l.6l803398.. . (numxitul dc aur). S3 se determine: I) aproximarile zeciinale prin 1ips: ’1 si prin ndaas 1'11 0 eronre mai n1i(~:1 deczit 10 ". n e {2. 3. 4. 5}: b)i1unC11ierile de ordin 11. 11 E (4. 5. (3. 7‘, : :1 c) rotunjirlle la 21 nva zerixnnla. 11 1 {2. 3. 7}. El 100. Siabiliti dam: a) 180 estc :1 :1pmxi111:11'<‘ priu 11pS: '1 ('11 u r-m.1r<- 111111 1111111 t1(‘('. |l I0 ' 10442 e t ——' p n ru 58 I1) 100 cslv <1 upmxi111111'r prin lipsn 1'11 4) <*1‘r1:n'l' 111111 1111111 <11-11:11 10 ’ 10501 pt-nl1'11 — — . I05
  15. 15. I I'UuIeIII.1 - I MIN IIMI SI IIIMINH U5 llNil(? l IIIMIIMIHII. / IWIFH. III . I I II . IIIIII~. IIII, III IIIIIIIII . I€ ‘III «II I| l)IVIII‘~III/ I‘ I I IIIIHIIIIH‘ I I _ I‘I4 I. IIIIII III'1I' II-III-IIIII IIIII . ) , I I I"| II); ',_ "I II I I I‘, ‘I‘ VIIEHV IIIIIIIII ‘ I. .I AIIIIIIIIVIII/ I IIIIIHHIIIII IIII I I I I-III I, IIIIII II~IIII IIIIIIIIIII» IIIIIIIIIIIIIIII IIIII II I ‘, I I F1103. I IHI‘ IIIIIIII . ..III, I . . II I I K! I-. II II _| |III’lllI HI‘ II| .Il IIIIII. I 'II I I; I1 IHIHIIIIIIIIIIIIHII ’ II I| H104. ‘IIIII. IIIII ‘ I II II IIIIIIMIHIIHI IIIIIIIII I ‘II —III . HII|4‘ I. I 4| III! Vi‘ . . I I V II II‘ F1105. | ‘lI . I III 'I ‘I L! fl]5.l"II. |l4|l11IIII I1 ‘w. |ll I": 4| II . I I -I :2 III 5;. » l‘(*H'J4ll’[. I IIIIIIIII. II« II~, III- II , .I . I, - ‘ I’ ‘I I Z , , ‘I . I IHIIII III l‘IHI I I I III I! IlllIl'l . I‘ (‘II‘(lII| lIlIllIl. ll(' IHIIIIJHHII IIII II , I IIIIIIIII I AIQUIIIR ‘I MUIIIMISIEIEMENH lIlIUUIC/ fv1/IIPM/ IIIII/ I I. 5. PA/ In i/ Ilr/ I5/I 5/I’. P/ I/I TE FIIACI/ U/VA/ M W HHS. .‘. II -. IIIIIIIIII/ I IIIHIKII IlIII4.I‘_LI| ‘~I [hllIl'. IHIHHIIIIIIIIIJ I'I| IH>III III- IIJ. I;II~< l(. ’1I “I. II'II I’. I‘ "" II ‘ I II , . | '.'I l| )4II“I| I. I‘ I ‘I II II ; 1 ‘ III In ll MII :1 I III; / F1107. S-II I KIIIIHII‘/ I‘ | IIl| H'Il IHIIIIIILI ‘.1 | I.IIII. I IIIIIIIIIIIIII I aj(‘. ‘,. l| (LI) . [ II IIIIIIII II IHI . s.: zI b)(I"! .-II [»fI Q2I, (I2 II nuns. III | )I| lRl I ‘-I . III. .IIIIII. I [: !l b) [LHH ' I . :I }: ».. III: II; (II'l('HlliHl' Iyfi. | (Iyj U109.S(‘(1IlI‘~ulll<‘l. Il| IIll<'ll'll‘1 I| I2II l. |’- , II 2 II I II II I . V ‘I’ 5.’II'(dl(Il| l‘/ ,1‘: / II; III AI «II ’ I. -I ' «I I’ ! 3 5110.5». I‘4Il‘INI‘l£iIHIIHIIHIIII‘ ' ’ ' " II x I. I 1‘! L! "I I I III IIII §. I‘t| (‘H’HII| |I1". I“‘] II“: K I I I I F1111. . »I- (lI| IIl| Il-I lllHI| .IIII] II‘ ‘ I. ~. I" 1': II III IIIII I. .Il*I(‘IlI‘IIlII| |H4 HIIH4"I|1III ‘II ‘ II 'I'III, "I F1112. : III~II I. IIIIIII/ I ])IIlII‘II Ill’II’II[1Il. I IHHHII'IIII a) II III III . b] all III II N c] H‘ -IIII. III (I) . II ‘III II o) IIII II II
  16. 16. ii Alnullri I I. MULIIMI SI ELEMENTE DE LIIEIBK MATEMATIEK U 113. S3 S1‘ 1'c1k:11leze partea intreaga a n11merc1n1': . .11J2.@fi1‘. 1.111:. J:n1". D114. Sn 51- w-1'1fi1~(- v; {z1lil21lr'z1: 1J1"'21.1J; §7Ez1 1 . . 111511 571 12711. D 115. S21 91- tlexnovislrc-'/ ,1; ca penlru 0111-0 11 e N‘ 1111111a1'ul. 11/1—1” :1“1+1r/117 +2 1 1 1 11/11’ 111] este palm! pt-.1'f1*1‘1, L . . D 118. Sa se arate (~51: 11)1fi31.11J271+. ..11J17T}§1: 2 1,1 [f11+1@1+1fi1+. ..+1J. 'fiT11=H_w‘1g““*"’. n(n1L) n€~. _ D 117. Se consldera numarul: A:1’1—. ,.%11’1~. ?—411’1~. .‘—«=111«11~.3021~ne~‘—11=- Sa se determine {A}, [BA], 116A}. U 118. Se considera numarul: 21 _ 1 1 + 1 ‘Jfi1n.1§1*¢fi15.1§)*'” JmTT115.m1‘ 11) Sa se scrie sub fonna restrénsa $1 53 se calculeze [2], II] S! ) : :e determine 11 e N pentru care 121} : D 119. S9 ronsidera numarul x : 1/Qnz +311. 11 E N‘ 51 y : ]4n2 1 11, 11 r; N‘. 1:) Sa se delermlne [X] si 5:) se dovedeasca faplul ca 1x1 < 1 Is) S? ! S? delemflne [y] $1 5;) se arate (-3 {y} < CI 120. Sri Sr (lelor11'11n1‘ nu1n2n11 slllnd m 1 1: 6 51 x 1 y H. U 12!. I)<‘n1u11sIra111'a penlru oricv x. y e I. ‘ 1111 lo(- inegalilault-: I) [x] 1 [y1‘_-[x 1 y]« 1x] 1 1 l: ‘=1 [X1 [Y1 -1i1><— . v]<[X1' 11'! » 26 ___ 7 1: 111.1111 - 1. 111111111111 51 51:11:11: as LDEICI unzmnnl V‘__)}__; ___; ______ D 122. sa st-. (1e111o11s11'eze 9) '3 dam‘ X1 . V ‘ [Q 1 /1: [1;enerr11izare) b) 1xy1- (lava x. y r.1 1,11] (3123. Sr: w 1|c111m1.~. l1'1-/ .1- (:11 110111111 111 im-1.I, alllalc11: [X1]1[X211.. .1[x“J; -[X11>11, 1 1*11u111v1'r . ', . . . . )1“ el) are 10¢ .11H| :.1>. ,]11x£]1, 11x_. ]+n—1_ U 124. SA se aratc (-21: I) n[x]s[nx]: n[x]+11-— 1. V 11 1, N, x eliz; b) n[-—x]: [~nx] 5. rn[x1, x 1, In 11 Q N; c)%fl.1x1s1x1+12x1.. ... .1.. x1:: P1'f¥ x1+""; “) D 125. S3 :56 demonstreze ca: I) :1x}, V x ED: 11) {—x1:1-—1x1,VxE[2l: c)11—{x}}: l—1x}. VxeDl. U128. Sa se demonstreze ca: a) [n]+[—n]=0<: >nel; II) [n—a]: n—[a]—l, V 11el, :1el> I: 0) {n—a}= {—a}:1—{a}, V neI, ae[v I. U 127. S21 se demonstreze ca pentru orice n e N are loc egalitatea: D/3+‘/ n+1] 1‘/4n+21 72 11/4n-121 +[_«‘E+x/ r—1:1‘17 CI 128. S21 sc rezolve ecuamle: I) [X *1]=4: l>)[3X->5]:7: c) [x]1[x1l]+1x1 2]-x+§: a11x1+1x—3]-111x141;e11x1—g 1 111211 Hi; ‘)1>Lél31:_x+720;h)1x+]‘ 3_X~' x-. . I) 2 = x+2; k)[
  17. 17. I Alnlbli I I. MULIIMI $I HEMENYE DE LOGIBK MATEMAVICK , , lIIM1s1s1sM:1m us LOGICK Mn: w4n1:i 1 n) 7[xr W 8[X] J! I : 0; D) E, ‘ L1 1 1 gig 1 1 D 136. S31 urale ca penlru OI‘i(‘IlI'(‘ numttrv 11. p e N’ are 101- 1‘guIilal<*:1: 3 1 4 ‘ n 1 n 1 11 I 1 ’ ’ "'”' ~ 11. 2x1I14x1S 5x11 1 pr 1 I’ ‘ ‘(1~. "E{' 1 U 137. S51 S1: d1-ic1'111i11v 1111111011-Iv nul11rul1- 11 1111111111 411111-: 1 ' I’ U 129. S21 Sc rczolvv in l1 1-<-uullllc: 12 IL! 1 12:31, 11. 1:1-111111 ur1'(-11n- 111 N, 1) 4x‘ 4[x“141.o: 11) >1" 1 16[x]“ 164 ~41. ~P- " ” 1) V K D 138. S11 so determine numerele naluralv p. 11. 1' ponlru (-211 : D 130. S8 St‘ rezolve ccuatla 15x“ ~ lOx A-12171 —5x‘ 110x — 121. 1 H H 1] n + 2 1 E 1 -v-- =11. ])(‘1l‘llI‘lll)I‘iL‘}. |l”l‘ n s N. r C! 131. S11 se arale ca pentru Lwriuun‘ 11 e N. numarul: {1,,1:1%v1+11L”. lJ? V 1 D139. F18 f(n) : an’ 1 bn 1- 1-. 21. 11.1-1: N. a :0. S2’: 51‘ dcl(:1'111inv .1. 11. 1 111 2 estepaI, r211 perfect. 3 _ cazurilez I)1r(n) + {UH 1) :11: 1 112, 7 n; N: U 132. S3 se arate ('3 penlru ori1'a| ‘1> n 45 N. numarul: V 2 2 2 1 2' ' 2 " 3 ‘ 4 " r n 1 1 , f(n) : 1+1(n; 1 1+1(n—: _) )— 1 (H: ) + (“+5 ) esle palral W 12 ) + (n + ) este p1it1'al perfect 110111111 u1'i(‘111‘<‘ 11 1111111211‘ . . .1 . , pel, red_ natural: f V ' ' V . D 133 S3 Se arale cf! Pfintru oricare n F N au loc ct-? .aliLaule~ C) 1 1 f'(B; *3')1"(1!+ 211» V '1" N1 I] n’+n + n2+3n+2 : (n+1)2_ I 2 2 ' CI 140. S3 se delennine x E I) penlru care are lot egalitale-11: . — ' 1 M r1¢*n + 1-,1+3n+2 + n11-5n+6 + 1121711112 t ”+2)z. x1>E111x. %1:[2x]_ 4 4 ' 4 4 D 134. sa se demonslreze ca pentru n e N'. are l()(‘ egalitateaz 11 2 n 111 11 1 11 #+—+—+. ..1—: ~»—-. 2 2 2 2 2 2 2 1 U 135. Se co11sid1’1‘. "1 11. 11 1, N" si f(n. p) : p I) S51 51* zu'ul1- 1-:1 1111. 31 1 [(11 1 1. 31 1 [(11 12.31 «>141 11z'11rul pu'1'1:1-l p(‘I11l‘ll ()1‘1("dl'k‘ 11 c N". 1)) S23 SP urate ca pt-nlru oricnre n 4; N‘. numarul: f(n) — {(11, 2) 1 [(11 1 I. 2) nu 1-stc patrzlt perlbrl. 0) S3 S0 arale 4-a d;1('z‘111u1narul H11) : f(n. p)1f111 1Lp)1l'[11 4 2.1)) es(epalrulperf1>1-l pt. -nlru 01'i(-211'? Il1», N-. ulL1n1:i p 11. 28 25)
  18. 18. I Aloebrl 0 I. MIJLIIMI $1 ELEMEIYE DE LDBICK MATEIMYIGK 1.5. UPEIIAIII (Ill INTERI/ /ll. E HE IIIUMEIIE R2115 D 14l. Care dlnlre urmalnarele relam sum adevixrale: .1 b) 4521-5, 51; c) 21-1-10. 2]: d) 44%, 2:]; e) J§g11,73;1.74); t) ~rre(~8,l4:*3,141)? 1;) --2.015142, 0]; 1.)1,141e1%;1.1s)J;1)§e1-.1., o_1e1); ))—2.o1e[—2,012). 11»): 146 141 k) 3.2(4)el: T7—, fl]? U 142. Foloslnd deflnlua tntervalulul dc numere reale, 53 se explicueze relaullez J; d) ms. [2.1: 2(1)]: 1 2_ 3 _ , *1 1 I)X6[~§, §:1,b) ye(—Z—.1,(3l)]. c) :61 2. 2 e) ne(—w: . O]: f) pe1—m. 44]; g) 21212;. +<i-‘jlh)1)€(-/ §.f2‘)i 1) ce(—13. ma); 1) dz —U«. -E‘: k)ee[—1.4]:1)u¢(—2.5]; 4 m) v¢(~3.5. 4,8); n) xe[a. b]: P) YE(a, +02): q) Z E(—0o.0]. CI 144.Se dau lntervalele de numere reale: l: [~3. J= E—%. L= [l. 6). S3 se efectueze opera_ti1le cu intervals: 1.1) 1u. J; b) JUK: c) 11.11.: 11) 1uK; e) JUL: 1) IUJUKULI 2.1) Ind; 11) 111K: 1:) Ir11.: d) JAK: e) JAL: f) lrKmL: g) 1r‘1JrKr‘1L. B 145.53 Se determine 1 n1 daca I esle unul dintre Intervalclez (—8. »-4): [—2, 5); 1—3.2. — 1—5F. —4J§): [-H. _@1_; 141, 5;). 1 El 146.Efcc111aLi r<‘, unl1n11e: a) 1—2. 3]u13. b) 1-4. 1)11)—4. 1}: c) [7, 10]u1—3. 71: 1 d)[ 11.4; 11117 3,8: -21; e11 3.1121: JE1 1143.112); 1.4): 30 , , H Alnuul -1. MIJLIIMI $1 musurz 1:: Ln1:11:l MAYEMATICI n 1.1. T_fi)u[-¢1—o; 1.741. ,1 £1 1-)1-. ,,.2,1131)v1_5,2§J; 111%. .1;). )1,10,[, );J,1A2.5)U[Al_ W) D 147.53 se rletermlne x, y e D daca x < y 51; '1 ["' Y]V[‘3~ 41=1'5- 7]: M [x- y1U1~6. -3]= [—8. ~31. D 148. Efectuatl lntersecmle de intervalr. I) {—§, —i]nJ: _§ _. l.»| ,) [4314 1 J‘ 2 2 4- 3- 1 )- 1~[—2 3.1.0181]; 1:) (~S. 2)/112. 8): d) (-1. 2); g) 1J, ,{_1‘ *1 (~4~ 6)n(3- 9)n(—11 7): 1) (—oc. — 11n{—3, 1): 11) 1.10, 3111.3, 10,; 1313- +"°)fl(*2-5): !) (-2- +w)r(—oo. —1.11. [3 149.53 5:: efectuae: I)[~4,l5r—2.5.15;b(_l 1 . _ 1 . 11 1 I 43.52 r)1,c) 1.3 rxl, K1 4. 4%]n~nE, §]; h) (1 N)m[—%1}, +go]; 1) (1 Q)m[—1.l%]: 1) [-2.2] 1: 1:) [~1, 4] N. D . ~ 150 sa se determine numerele reale x. y 1n fiecare dlntre cazurlle: «I 1x. y1~<1. s1 2%]; ‘'1 (~31 y1/)1X- 41:[-1. 4]: c) [x. y]n[3, 5]= [3. 5]. —; _ U15l. Se mnsidera lntervalele dc numere realer I21 5}: J:1,3_ Ho); K= (—2. 2): L: [%.1J. sa se calculezez I)I. J:1K:11.; .J1:1(1;1.1:JK;1.. ); bl C1 (K)? ‘71 111): C11 (L): (7,. (K): CL (K); cl (1); C‘ (J); cl (L); "1 “- 1“ "'11 ‘H ('1 ~J>= ‘H (K1 11-1: <7. 1I»»K)1 c. (I K): C. (C. 111)). :11
  19. 19. I Alnolnl - I. MIIIIIMI 5| ELEMENTE DE IDGICK MAYEMATIBII 7 CI 152.Se dau in| crvalcI(- do mum*r(- I”(‘Z| l(‘ I 15, 2] xi J I. II] I) 53 SC ('2|]('llI("/ .1‘ (‘I III ml}, (3, (HI -C, (J) si 5;’: SI‘ '()II][)IlI’(‘ 1nuIIIm1l(‘ ubtlnulc. la) SI‘: SI‘ (*aI<-11Iw, <- (‘I (II ml). I‘, (I) «C, (.1) . si :45: >I- vmnpurr mullimllo nbtlnulc. U153. F16 inlervulrlv (Io mum-n> rvulv I ~ I - I) Sa so determlne IIIJ, II ul, I J. J I. 13) S3 so ‘V51llIl"l. t' in funvtk‘ (Ir numarul do CICIIICIIIK‘ muhilnru K: I’. unde K = IrI. J. Dl54.FIe numerele I) xi inlen/ ulelr (iv numen' rcnle .2110 puzilivc :4. 1:(w». Jab): .1 2”’ . “ * "1. Sa se delemnne 1/~I. J.1uJ.1. J;. JI. «:1 I I) 2 U l55.Se CUl)Sl(Il: l'¢I unlcxvzdui in V [L2 I 5 — n -_I n I) S! ) sc calculezc I, ml ' b) S2‘) Se delcrmme In « IN. C! l56.Se considers Intervalul I“ ~ [2 + L, 7 — n e N'. n n I] Sa Se determine 15 A [4, 8]: I, ulz uI, : C, ’ (1,). II) S3 se arate ca L, c I, nI, . 4:) Sa se evalueze muILImea 1,, M l in Iunctie do numénll cle elemcnle. U 157. FIE intervalul I: (:1. :1" :1 e I)" ‘III. I) S3 se determine 21 astfcl in(~iIl 1 e I «'I(z, :. I r }, b) S3 se delennine :1 uslfel inmil I l N : {'3}. Cl l58.FIe Intervalul I : (0. I r I. I| . I) e] si 1| « I1. S3 sc (1(‘Il‘I'lI]IHI' IIllk‘l‘§C(‘UEi dintre [a. b] si inlmvalulz :1 I Inf’ '1 I Jr; a)[o.1—;3]; b) ($35.1); c) [; .—1.2i"—]; a)I“1“"J{j 21 I I), CI 159.53 se determine A qi y in (721/. lII'I1‘. I) [—3. y]r'I[x. 4]. [ 1. 4]; c) [x. y]; I((). 3) r((). 3]: b)[x. y]I‘I 2.11) | x,4): d) [X-1‘II. '~4| IX-. V} 32 D 16°-F“ X ' 10- I ' )- Si"! Si‘ rlelt-rmine inlersvcliilc dc Inlen/ ale: fllI—x. x]«‘I[O. x]: b)[—x. xJ(‘1—'J'X'£J: d) I -'3 I‘ 1 . . . I X / c)[ . ‘ I I. x I 2]« I[(), x I I]: f)[ Six. 4): ] [. '3x, 5x]. C) l'X. XlIV% p. ‘_x“I; I11 D 181-H“ “ 41- W‘). Sf! St‘ dv1m111|m‘ I| IIl‘l’S(‘(‘liiI I » — '1 | V", . 1I. £|, ilzvill, ’ B 162.52! se determine in Iunctie do x inlcrsc-cllu lntcrvalelur: 1 : D 163.56 dau muILlm1le de numerc realoz _l K. . , "I"6”| IX| =2}. J; Ixenj ]x+ II: -.1}; K — | >.u I ll S3 se expllcllezc multimlle I. J, K. b) Sa sedetemlinez lu. l.JuK, IrIK, Im. J.III. IxK,1 .1. K J p J C. (K)- C: (J)- CI 164.58 consider: Intervalele de numere reale I = [u b] si K = [c d] 1) Sa se delennine l stiind ca; I/11:0 si| a—b+][: a12+b2+. a_21,,1i 2 16’ 11) S3 sc detenulne K stlind cf): lFVK= ll}-$i| (- d+2| 3 ')+dz —4d+2 c) Sa se detennine INK: IIJK; K [; Cm H“): (~ (KL mu U165.Fic 2: , - O si inten/ alele dc numere rcalc I , , u J . ~ ( W, ’ 31' I 5, 2| K : I« J. S3 sc delermino u I; I. astful inrutz I) K WI I are un slngur (‘Il‘III(‘llII W K 4 I I are n L‘I{’IlI('Il((‘. n , : 2 33 , , , .fl
  20. 20. E Alguhri I I. MIJIIIMI SI ELEMENTE | 'lE LDGICK MATEMATICK EI1. CI2. IIUPDZIIIE. PIIEBICA T. CUANTIFIEA TORI (" r<- (lintrr urlnamurclv cnunluri sum propnzitii: I) . .Nunmn1] nulurul 2 «-. s|<- pur si prim. “: b) , .Anu1 2004 est? hisvc . . c) . .R0mbul rste pz1ral(‘logrzun, “. d) . .Comparau numere-le (3“ )' (2'‘ )" ! ‘'; e) "Cine a reznlval t-xerv. -itlul’? . 1) . ,3(x +1)-2 :7. x 2D": Sa as determine valoarea dc arlcvm‘ :1 propozmilorz I) . .Numerelt- 4 si 3.2 sunl dirvcl proporuonale nu numerelc: ]_g, (9sn'111gi 3 ' 218 ‘ 1.875" b) , .NllIl‘It‘rP| P (). (3R46l5)-5.2 . ~.i ——0'6, u.41(t: ; numerele 4 : _3i 5.": B3. c) . ,Prin douix puncle din plan trace eel puun 0 dreapta"; 4) g) . .Sumu unghlurilor trlunghiului ABC esle mai mica decal 180". sum lnvers prnpurliunale ru 41) , ,Diagonale1e dreptunghiului sum congruent: $1 perpendlcularcf‘: 2) . .Medianele unui trlunghi nu sunt concurente. ": f) . .Numarul % esle snlutie a ecuatiei 4x2 — 8x + 3 . —— 0.“. Se considcra propozitiilcz p: ,. Cel mal mic muluplu comun al numerelor 60, 504. 180 (-516 lriplul numarului 840.“: 78."; D4. (1: . .Cel mai mare mulliplu do 72 mui mic decal 1000 csle mulliplu de r: ,[)ni vectnri sunl roliniari dam au arrelusi mndul. “: 1 1 1 ': ,. Mcd" 2 rilmelica < nerelor 2 : 1 + -— + . o . 1*: Id i "I HUI I 2 1 2 2004 h l+——+—+. ..+ 3 2005 Sn xv determine vnlnrile rlc ndr-v: ‘n' v(p). v(q). vlrj, v[s). vste mlmar pur. " SA so slahile s‘(‘Z‘A vznlonreu de adevar a pmpozi_liilo " I) "Mulflme-a nlIll)("| '('l()l‘ part: 51 prime eslc Inflnlt: ‘). ": b)1fi’l, _[E_"/ ‘:5+. f.; /§, @_', i7Z 1, L I“: 34 J£§i]r; 'J:3 J52 ‘(¢E; )~' _, .» H N In ” n | _ V 1'3 " M"”'! “ .5’ ElEM§N1§_nz Lzauggcximgmgurocl d) . ‘min‘‘ 1.11; , "_g; N, ‘. _,. ‘ .1‘ e] . .NInn<-n-Iv n. / n’ 4 n El. "-1., ,m, ,[. W an. ~. . . _ , r‘f{ul:1r1|xA. ". “H N I'M“ mm '”4"’ 1) , .1n0|_‘ ‘ l()()()1M ‘ 100mm, . ‘ . ,,‘ gm 1)‘ n 1)’ ( : )""“ um h). .1: u""' x21 1>"" -‘H n“"‘ gum. H 2004' . ,~ Wm. .. 1) . .( 2|‘”" ( : s|"" ‘- V . 4« J). .[/2*»/1% ’V2 <3)" «(V/ ':; ‘ V1; 9;; '5 /1 I y. s —r—— . ¢)Vg”» 2004 2005 E|5.S. '1,'> ' . , . st tklunllnt : l]Udl(. l (It . ul(v: u' :1 prn]'m/ Jlnlux 3] . .l)i: ~'tunru rlinlrv puuc-lvlv A1 2 .1) x. n(. | 1) M4,. (, k.. .]. —I (H d. I I ' * ' - A A ' is an .1 dimre [)1lI‘l(‘1(‘l(* Cl 7. 0) 5; r)|3_ 0': b) . .A 5()()~. n 7.0('i| n21l(A 1| llllIlXflI‘lI]lli 113 0] . .I’ute‘r1le ru L-xponenl natural 2111- lui 1% . ~.unI (l1vi7,ihil<A ru 5). "- dl . .M_ed1una impnrte Iuiunghiul HI dun: lriunglxiuri cu ; m'i : 'gu. l(- e) . .D1ugnn2lu pzn'2nl<*]ipipedului (ln= pluu; ;hi«* (~11 d1n1en2<1unile | .‘_V; pri[]1;)| g vsln-r~il1'; u.'§’ prin (‘Elli mai mici nmnerc u; ,1u, ~;, |.) P, -(, p0.. ”0m]h. K. ” "mmr(,1(_ 11.21. 21 W, 3‘ 2' 3 esle J485.“: S If] lrapez <lre_pl1>| n;ghic zm- hnzulr do 4 nu 5| «4111si unqhu un (Ir 15 uma pahalvlm l11l‘lL{Il1]l1UI‘(H1l]{UIX. l'(‘lln‘ lui -«Ir <*; ,.'1l. | (‘II 102.“: « g). .m. - ()__')4 ‘(X M] , , . _ M N: x ‘ [ :5 : h ,1‘ ra. »1| A11111n-x2>cv. '$y. ~ 13;- h). .inmbuI / B(:1)A'1s'(: 'n' nu xur rvl: liilI' AH ‘ <1’ A1)’ A(‘' / 1s+("(" +ls'A' AA’ M An 4 up , mm n'(" M2" :1 . .in munmnul MK‘. rcmnsr , mg ~, A. ‘ , ‘L5 I‘ n-gum: ff1t. Iu'u I). /Inn('i an luv (‘; .f; |lil. ’1lil<-’m‘Im’i4Ih' [ ‘ . 1; . ‘ I-. I« luv q | <‘(' ‘, :,_~ u—— ‘I, ___>/ , ,, .
  21. 21. I Algulnl 0 I. MIJLIIIII 5| ELEMEIYE ll! LOGIC‘ MATEMAIICK 06' sa 58 detennme mummeu dc adcvm a prcdumclmu U15.” . ;so determine universul predlcmului sl multimea de adevar di ( a pre 7 I) p, (x): .,5(x«2)— 2x 3(54 x)+7. xel'“'. L Catelor; . '2 ‘J . . ,3 1’ . , ‘ K‘ 2 , . 4 h)p, (x). ..5(7x 3).2(2.+1) 544x I) uéxmn a)p, (x; ... ;[‘l. x 1,; ,5- c)p; .(x): ../7—4J3 x. .l_ x—-N5)‘ x(J3»| ),. .1=a 1,) p1()(); _‘ ' 1 P /3 8 W. ~ . d) p, (x): ., —2,4[x 5)+5.2(x -4)—4(0.‘. <)5x—2.2). xs l. ". ‘ ¢)p_1{x): __ ‘ 2 Zxrol Kg’: I U7. S21 Se delemllnc mulumeude adev{u‘apredIculelor: J 1 K ‘ q 7 2 I ‘ , ‘ n). .p, (x): [xo§—l1——{: +1j»(x—1)(2x+2), xe: V‘ A 2V i 2 , d)p4(x): h[f 15*‘ 3;‘ II) p2(x): ,.(2+x)" ~2(x+1)"—(x2«—2): x(3—x)(xI3). xeN": x* "*1 (x+l) x 3 ' Z *9 Pa(X)3 X)+2(X +1)= 'i+xf3 * 5- ’‘ 5'“? 511- 53 58 determine mulurnea dc adevar a predicatelor: I) P. (X): .. |6x’ — 5x -- 6‘ + |2x + 3x’! : O. x E I)“: W P2(X)i T x. x elf‘: d) p, (x): ., (2x +fi—l)z —(x +2/3)} — (3x—1)(x a 3): (1— 4 3. x eh“. U8. S3 se determine multlmeu dc adevar a predicatelor 1) p, (xj: x3+(1+«/ §)x’ +Bx~0‘ xsll (. J“: 3 1" -3 h)P2(X): »(Xf)/ —(x2) , .e . 1 -3 5 e) P5(X)i. .7x —9|x]—10:0.xEl N“; °’ 93”‘): "("'”3 ’2"(¥+2"’“5:(’”2): " "E" P‘ I) Ps(X): .. /4x’ —12x+9—6)3—2x| +15:0,xe1;. ~ d) p. (x): ,(x’ +x+l)(x‘+xo-2): l2.xe O) P5 (X): “(X2 _ 3x + INX2 3x 73) : 5‘ X E Nu: U12. SE se d8lEl"I'nil: lE mulumea de adevar a predicatelor: fl ( ) V 42 F ‘H llP. (X)= ~4x‘+1|(3—]2x+5|):0,xev“: . X I “X I X + . 7 Q, X E J p“ 6x‘+7x >18 bl mu): ..lx+6|(l3x—7—s)g0. . -er"; o 55x — 4 — 6 B9. S8 sc delemline univt-rsul predicnlului $1 rnullimczu (Iv udc-v: 'n' a prNlica- c) P3 P03 « V , —; 0. . a IJ4 “: tulul: x—l 4 _ x"—25 '1Pu(X)= - igfiix-; "1'-HL‘ d)P4(X)5--| (5lT7|—TI:0.xrI I I I 2 13. 521 SC dela-nmn(* muhimr-2: do udttviur 1: | )l'l‘(“('2Il('lUl' c) FAX); EFL’ ’E_', ’5"! .x.14;-~; I) p, (x): ,.[2xn3]; !'>. .'el. »", X + 4 1 7 X x — 1 ‘( + 1 I‘ b . : . . ——_ , ‘__ v rm d)p‘m_v _1_s_ 3.M£. . HMX) [3] 4 6) P; ;(XJ3 ~-[3X]"5 52-1(5)} ’ [7,-5.(6)] o; 2.8(3)}, .‘ an": d) |74(X)3 --4[X2] 9[x]+ G U. x -4 " 36 137
  22. 22. H Aluuhvl 0 I. MIJLTIMI $I ELEMENTE DE llilcl MATEMATIBK 7 CI 14. S3 se determine mulumea de adevar a pre(IIcateI01': n)1>. (x): .. b)p, lx): .. : —’: .I. x: c) p_, (n): .. . d)| ,4(n); ‘__I__ D 15. 53 se detennlne mulumea dc adevar a predlcatelor blnarc: I) p, (x. y): ,. (x ~3)(y+2):8: (x. y)e'l><I“: b) p2(x, y): ..(x——1)(y+l)=14:x>y. (x. y)elx1“: c) p_, (x, y): ,, (3x” +4x~4)/ I +(y’ —36)‘‘ :0, X, yet": d)p4(x, y}~I1<+5y—I7I+I3x—4v+6I: O.x1yell/ ‘: e] p5(x. y): .. (2x+y+2)/ §+(4x+y+5)fi :0, X, yell)“. U 16. Se cunsldera predicalele Lmare: 1 . . p(x): ,.1,(6)x —O, l(6) =4x+2E, x e I}: <1(y)I »(y +1)“ +2(y '3)2 ~(y ~41” : y” ~2(1—2y). y elf‘ n) 53 se determine propozitiile: 2 Inarea dc adevar a acestora. 1:) Sa S(‘ determine multimea de udevar :1 fiecarui predicm. 1:) Ce valoarc de adevar au propozitiile: l3x)p(x). 1Vx)p(x): l3y)q(yI: (V. v)r1<y)‘-* U17. Fit‘ prediczxlul p(n): s; I. n e l“. I‘ § 3) 5:1 se [)| ‘(‘(‘IZ(“I. (‘ vzxlnnrea (IF udoviir 21 pmpo7.i1i1'Inr: 11(0), p(2), p(4). 3 x F. I usll'eIi11L*; iI p(x)~: I N. 1)) SA se (lelcrunlne n'111Iun1e:1 (Ie adevar :1 pre<'II('ul11lui. C118. FII’ predlcalul unar p(xj: ., XLXYVZI 7 I — X Sn sv s121blIe;1s1'n valoureu de udev. ’1r'.1 pr()p07.i(lIIor: |Ix)p(x]: (Vx)Ip(x); I Ix)Ip(x). 38 P[lI1PI2)'»P('2I3 p(J§): q(1): q(-3): q(2): t1(51: <1(5) previzénd Va- ; 3n-+1 . .‘r, l" _ an Mgabri - 1, Mumm 51 mum: us Lumcl Mnsmnlcl . ,, . , e.. _._i%§ ‘ _ D19. F11‘ prc(IiL~:1I11IbIm11‘ 11(z1.I1): ,_/ (111111 5)‘ ~V/111:1; S3? C 1.11.1): | " a) D011-1'1ni1121li p| ‘11pu7,iliiIt' [| I 1. 1.11. 1'1. . .j II :3 ax vuI0rI| ,. ]or<I1* :1(|1 . b)S; '1~z- [>11-r~i/ .1-/ ,1' v.1I11.11‘v:1 (Ir . IKIl‘’-II .1 [11'n]m/1I11In| ( AII €I>| p(.1.I1): (7u)[/ I))p(21. I1). (I:1)| v I))p(.1. I1). c) SA 51- v1>1|I1<~: ' (:51 p1‘0p07,Il 121. (V :1) 21 s— (V2. 5}. (V b] In | :5. 4}p(;1. I111 N‘ vslv pmp1r/ .i1i1~ ml: -v1| 'z1lf1, U20. Se romaidr-1'51 prerlk-1111-I(~ hinzm-: p(x. y): ,, x’ + y” —4y +16 >0. x. v1—l"' q(;1, I1): “(II 211114 51)” 11)) 1 :1. I) ~11“ Ce valoare (Iv 21dev. ’1r an propu/ .i| ii]c: a) [1/x)(Vy)p(x. y); (3x)[]y)p(x. y]; I1.| (:1yIIp(x. y): b) lj:1)(3I)]q(L1. h1:1vn)1vhflqqu. 111:11.11Ivh1". q(u. ma’ U21. Sa 59 determine vulnarca dc zxde-var :1 p1't1pnziliiIn1': ‘ a) , .v 11 EN. 54 3" '~’ 21 3"‘ .8 :4" H 1:: :1" 1111": b) . ,/ n e l, .(n1 3111 I)[n‘ — 311 - (3)1 1 rate 115111711 perferl": c] , .J net, n)+4(n 3) : 53): , I": _ Va) I 2 d) . ,j 111%] N. 4" “"91 1) . .‘J 11e'N' / n I e) 1.m.1—~'}1:. I D22. 521 an (Iclvrmin1- vz1lo;1n>. '1 rle z1<Ie-v: '1r .1 p1'4>]m7_i1iiI1>. a) . .I Jx)| Iyj, .’§>I_' 2y 12.15() (1.. ;. 1 I": b) , ,1 I1n| |‘/11}. 111" 1 11" 1 13111 I U. 111. u1—l": c] .11«11vv1rv/ ,). »w‘ ‘W 2.1.. .4;1; 1.1.1 3. 1.x.1./ .|'‘ 11) »l’N)l’vI1v/ .).1x 1_VIlx . /.1 (. 1; ‘z}‘. . 1. / .[(1.1r1‘. e]1.'. ’. v.'/1(1). ,,1‘1_r»1/.1‘I_1 1.1311‘ C1!)
  23. 23. I Alunhvi - 1. MIJLIIMI 51 211112111: L: 1oc_1c£ 11111711151195 __. ... ._I. I , TESTE DE VERIFICARE — Teslul nr. 1 O 1. C1111) (l'u1u’1)111'1n:1l11;11'1-11'1'11l111111'is1111l pmp<)'/ .1(ii5112111-4411111 p11'1l11*;1(1-" I) , .N111111)r4~l1~ 2. 111. 24 511111 <l‘1rc1-l p1'upm'lim1ui1- 4-11 n11n11~11-l1- (), (2 12.1.1); 4.". b) . .Ec11uli:1 4(>. c) . .ix 12)'1(y 11) I 2“, X: e) . .O1‘icu1'c ur ii 1 O 2. Sn Se del(-nnim‘ vuioareu dc udcvilr 11 propu/ .iliiim*: 2 143 N V a)p: ..v n: .~.1—1)"'~i—3»i 0.1407)-1111" I8 7) V . . K v 1 b) q : ,. 'j x. y. 7. (N. )3 I» 7: vi x 6516 prim". y .5 O 3. Six se detennine mu1i, i1m>a de adevar a prcdicamluit pix. y, 2): wMz‘1surile x. y. 7. ulc u111:, hiuri1ur unui ri1111;; l1i sunl p1'upm‘Lin— nah: cu 2. 10 Si 12“. I Testul nr. 2 0 1. Sa 36 determine valoarea do adevar 21 pmp(>zilii1o1“ i . . 1 . in . .211 1 i p: .. Nun12‘n‘11l 21 — 4) ‘ 215 15 1; ‘ l'. ‘~il(‘ SIlhllllilLU' i q: ..2J13C7z72i O 2. S11 51' (lc1)r111'11 a) pi11i'. .jr-1V: ‘2J1; »J.1u7 47111.71 2 J2U':14.1 14311" 1111111141.» N": b) qix. _vi. ,.iH.8|1'. )>1 12.1115: 1 1as1i4iz_5. 1:1.i2)v 4 1111i 11. . (u r". I O 3. 51- (‘m1siLl1*1‘£1 ])l‘I‘(iil‘. i(lIi pin]: — 1 I. 11: I" 511 S1‘ pr1-1-1'/ .1)/ ,0 1' 11) V11» ~1. pinii Ziv Sxix 12) )1 16 111‘1)sul11li:1 x I" 3)) '/ _”. )1._y. ze| .1“. N": 1eN'. ii 1 11)‘ ‘£357. 1' 2.5.4.’ i5 i «1 1111l(im(-:1 (Iv .14'lcv: ‘11';1 prv(lir:1I1*ln1" J55» inf? «Na N3) 1)‘“ ‘'40.. en -1 :1lu:1n~:11l1- 1|(l('/ ill‘ .1 p1'opny. iliilm" bl ‘ 11» N, p(11i'. 1:) i114 l. pi11)4-. ~l1'i. '1i. s;1 -H) _ I Alunhv MULIM 5' MA1Ic£ OPERAIII LOGICE ELEMENTARE CORELATE CU OPERAIII $l RELAIII CU MULIIMI 3.1. UPEHAIII LUGICE EIEMENTARE CU PRDPUZIIII FUBMULE DE CALCUI. PRDPUZIIIONAI. Cl 1. Sv 1-11115»-i(i<)m prupu'/ .iLiilv: 11: . . lax lu111111un1:1ri11(rL-1.{ x11slI'1-l'u11~{1t 11x" 1 5x 2 0.": xisla 1111 1111111;'11‘1'c11lx11sl|1)lin1-i1I ix + 2i 4 ix’ 4i — 0.", 3:». 4 c slubilt-1151-. ’1 vulorilv dc z1dcv. ’1r ulv: prupumliiiur: 3) 1), q, p v (1, ip. iq. ip v iq. iip v 14), Ah: v 11. p v iii: ‘)1 1) A 11- ii) / in» 1(1) A 11)» '11) A 11- 1) AM: c) p —> q. ip wiq. ip —> (1, p aiq. Viip — > q). iq ail): 1'1) 1.: 4 > (1. ip Hiq. p Hiq. ip <—> q. (p / (1) - ; q)i ~—> (1. U2. Sc 1~ons‘1der. ’1 prupoziliilm pt . .Ori1-u11~;1ri‘1 x elr. i3x2 ~4x +2iib 4x 13x‘i4 5 » 0.“: qt . .Ori(~are in ii x e L), i3x” 42x 1 1i 4 ix ~ 3i .2 0." S11 . stul)i1e;1sL': § 'al0ril4= de adevar ale mopoziiiilnr: -) 1). 11. 1) v 11- W1). its. in) v t1).71)vi<1: 1)) 1)A<1» 11» A (1)11) Aiq<i(1)vt1iA(1) Aq). 71(1) A 11) A11) « <11: cl1) ) 11- 11) 4711- W11 ~11)-7(1) 9 <1)- (1) V (1) V’) (1) A 11)- il 1) / » qi »»ip viq. Viip J11) —>ip Aiq: d) 114+ 11. i1><—>i<1, ilp / q) er/ iii) « ql. ip A q <~>i1| ’ p. D3. 51- 4-n11side1': '1 pmpu/ .itiil(): p: .. in i1exagon11l ABCDEF arr Inc 1': -lalia FB 1 BC 7 CF. “ <1: .1111 1rl11ngl1i111 ABC arc 101* r(-‘:1ii. '1 ‘ZEN! : i-K‘, 4 1511. 1111111) M estu- 111ijlm~11Hz1l111'ii i/ (‘i S11 51' -(;1bi11~. '1.~:1'z1 ';1l(n'il4- 111* . ’I(i(''£Il‘ 111* pmpn/ .i| iilu| ' 1). 14 51 uh- p1'u])n'/ ,il11l01‘ 111111111151‘ 111111111110 ilin ;11’1's(1~ 11111110/. i(ii 1~;1 L11-X1-r1~iii11l 2111((‘1‘1m'. D4. 51- m11.~; i111-1i1 p1'()p()7 . ix, .. .111111111)rt'l1~n-2111)x siy;1s(l’el111<-ul ix 2i 1 3y’ 1 _v A 5 F) 1|‘ __()1i1’:11’1- .11‘ Ii xi (0. 4 1| 1111-l1)1‘1‘1-l:1liz1 2x )| « () " 41
  24. 24. U5. C16. 717. 2". . ~ 7». 1 . 1 4 , 1‘l(l /10 V10 ‘.110 S51 91-(I(>l<-r1111n1~':1I<>;1r<):1:I<' ;1<I<'':1r11 1)1‘<>1)<)'/ ,i(iil4)1. '1<1.I1'. I1) 1')— r.1> <11) 1‘): I11» I11 )1‘. I1) A <11 A-1‘: B)1)<1.1'.1> <1 1.11)» M11 <1 12]) 1'. <1 1'.1>/11. 01(1) >11) )1‘-(1 ><11)1). (r1 >1’) )1). |1)*&1I<>II111)-11~')I<)I: d]i11,(1i (11.r).11ui<1-11.111111 1‘| .(1), (1). i1) >11i». i([ 11.11) >1‘). 5:1 av 2111114-1'. ’1 111‘111:')l1)z1ruI<) l<:1'm11l4A <l<~<'u| <-11] 1)1'<11)u‘/ .1l11>11.1I 1111| l.111I<)ln1;1i: I) I1)’ I1)i (principiul noncontradictiei); I2) (11) » <11AI1)I >11: C) II1) w (1) A Iqi + 1) [modus tollendo ponens]: d] [(1) > <1] ' I11) > I11 (modus tollendo tolens]: e) (1) r1114 >II1) - -1): 0 I11) —» <1) < 1 11 , » I11 (legea negérii lmplicaitieil: E) ((1) '>11IA(r1'>)'II '>11) h) 1) sip . <1)<+ 1); i) p»|11¢<1)4—>1): j) iip ><1iniI1)——»<1ii +11: k)i‘I(1/iIp —>(1ii )1) > r) Ilegen silogismului): S2’) ~41‘ ~; (;1I)iI1). xs<’: '1 ';1l<1:11'<-:1 111- . 'x<I<-'; '11' 11 1)1'<)1)11'/ ,1|11Im' 1) >1 <1 4'1111<1s<.1nd Iz11)(11I 3) 1) .1 (1 <->; l1A ; I(‘('’( b) 1) —. <1 1*5leIz1I 1: c) 1) » <1 mu) . '1<It'v d) 111 :1 <*. I1-I11Is:1. e) 1) >I1) <n~I<- ;1<l<~1m. '1. 0 1) >1<1 ' pi <~sl<) 1uI<'v: '11;1|. "1. g) I1) I11] H1 1-~: l1- .1<I1'';11'. '1lz1: h) 1i I1) ‘ Iqi 1*s| <- ;1<I<'u1Iz1I;1. i) Iii) I<1i <~~. l<*I.1Is. '1' j) I11 v 1) walk :11I<‘v; '11’.1I.1. S<-<*<)11~. i<I<-1'1’)111l1-1';1l<-| <-<l<*1111111<-r4-14-;1I4- / ii, Iii . ~.1|i i 1 811 st‘ sI;1I>1I<-;1<;1 '.1I<):11'<-:1 <I<-;1<l<-':11'.1 111111141‘/1l1il4)1 1'1 I'~l’1 '1)1.1), >1). ,1). l_i: i2<1>1 '11,. 1111411-. .111-111; 1», -1. /1 . '<. »11<-1 11111.1( ix 1. - 1 , -I2 i 1 1 I I I 1 1 I 1 1 I I . ,. .' ‘I'| !"’{! .:'; I“”lT'M' 5! ‘LEMEJIIE nE_m1:11:A M111=_M)1111:E C18. Sn . ~<~v<-1‘1|1<-1.111‘1111'1l<).11.<'l1.<~(. l1i1r;1I1z11I1~<I1~1nr1n11l<-<l4.(. a1‘_“1pml"m”mnl_ 111 -' (comutatiuitaten disji11nctiei $1’ a conjuncgiei); 111<1-1111411-1 . . _ b) . lasociatwltatca cor1111n<'1Ie1 $1 a dIs_1unc; iei1; 1)'| <1'1] 11> <1) 1} 1)= '1'1*11 I1) 111 (1) III . . . . . .. c) 1 (d1su1butu)1mten di5Jllll(‘_[l. ¢l fura de I>‘((l«| 'I II"‘II*li)’| ‘lI cunjuncjtie 5i a conjuncgieifaga de disjuncrie); d)l(1)H11‘1)1><1 i I<1=lI1) )11Ii >1)= e) 11 r»Iz1 I111» <1): I] I1) >11.11.1<1; 8) 1)~’ <1 '1) 1): 1): h) 11 A <1 " Ii I1) I11]: i) 11 / <1 : Ii I1; I<1i‘. 1 V ‘r - 1 ‘ (P (H W / .q I (legile lui De Morgan): (1)1 ‘IIEIP / I<1I 1*) I(l)"‘1""PII1)I"(I‘| I‘~'II"I- I1) 11=)’1—("1)I*(I11I’lI"I 1) D9. I’11r1<'l1:I: ' A1 1. 11 51 1)I 4 1.11.11-<11. d1'r1)I<-i 1<11, 11<1'1)1111<~I1Al<- 1 1 (T1 L 2] si D11, ()1 ;11)z1rl111(l1'<-1)I4*1 l. ] Sr 4*<111s1rI<)1‘. '1 1)1‘<)1)<1'/ .iliiI<*. 1), ,. F1111«'i:1 <I¢‘ 1L1'. '1(l11I I (-1111) urr) <'111’I)z1 1'4-1)1'1"/ r11lz1l1'1'1 4l1'r;11)l. '1 (I valr <‘1rs1': )I<1.11’1- xi |11111'l1;1 rI1) g‘r21<I11] I <'.1r4‘ 211% 1-111'I').1 1‘<‘1)1'<*/ <*111.1l1':1 (In-;11>I;1 1-1414- <i<-~; <'1'4~s<-: '1141;11'1 11,, .-‘(:1 1)1111<111I 111111111-Ir (f. I). ": 1), : . .lJ1114l1111I<IrL-11l1*I<1r AH . ~i(‘I11-~. l<-1111]” Mix _') <*<1I1111:11' (>11 1)1111<*l<AI1- A. I). 1Iu1 . ~.1 <'11 B11a<>al;1I)1I<*.1s<.1':1I<>:11'<':1<I<'.11I4''111 ;1 1n<111<1/1(11I<n' 111. 1)_, .11, 1), 11.1)‘ 111.11, 11._1)i <>I1)‘ " F110.11‘1<~ 1114‘<I11*;1(11| .1 11 .1 . :11 11), 1 1” sq .111.-11111111» ':1I11.11<n1 <l<- ;1<I<'';11‘ :1 111'<)1)<>/1(11lm' B)11)'1(‘1'I1(x. '1. b) (‘J .111 I vi1'()(. 111 C) I I Vil“ vi 1 111 ‘ 'I1‘i. . '1. VIII‘ " )(" 'II1xI11x. ‘1 Iii
  25. 25. _ Ll Aiunhvl ' | -M“tI| M|flELI1E_? *j§EE, l_°G'_'35 M“‘EMLT'£I‘ , '1 IVl_l7J£I_IVIf| l§VI7§£E7hAlEIl1VEDELIJGIEK MATEMATIBK EIll. Se consklerzl prv(li<~ulx-Ir hin: m- 1(x. _v). <1(x. V) | )<* I. 5.: .~. <- . ~.l;1l)iIt': :*a<'{‘. l 1,} MM v_ (“M 4; 1 2- 2x : c) p(x)rq(x)»». 4(rm 'ul<)urcu do ml: -': 'u' 2| ])| '()])U'/ ,IlHlUl (V W-, « y)(p[. , V) q(. . vn. Hxn ‘ v)(vlv VI “MN . ’H~ d) hilx)/ r|n1lx| '~ xv 1 / , H. Hx-)1 v y| (]I(, ) «| l. vy). (‘xH vHp(. . _vI 016.1% Ilnlllinuu I‘? :V‘ I 1x 2} :1} av (-nn~. n|<1.'I ]ux~<l| «‘u(<~Ir })(x, V): .. x 15)‘ 2" si q(><. V]. x 1 2y 7" a) Sn st lornu-'/ .r p1*v(li<-nu-l<~ pix. .v)~<1(x. .v). MN. .')~—~<1(x. 3'). ‘V X“ 4 y]| (1|. _ y) «um! m a) pix. y). .. .'S. > By E)". qlx. V): ., -M ’ ll“: . I _ g ' 4 ‘'‘. :1|. , '| : . .x7S)H_y8 .51-(liVi(lt*('n4 : ~i S)“. 1:) mx. y]: c) plx. y): . (»)‘—“_2»’ '; V“, Us 9-: q| x‘ y): .. x+ 152y — 2005‘: I’("- Y) "‘ll"- Vii ‘ll"~ 3') " P("- Y)- 3" 1 b) 8:‘: st‘ <leu-nnim' multimcn dc u(1eu'u' 2: prcclivulclor nou lornmlv si 52} so . ~‘. rrll‘ upcrugiile cu multiml (~ar2u~leri'/ .alc dc uvcsle prCdi('utc. 3'2’ OPERA”, 106,05 Eu‘. -MENTARE CUPREDMA TE C| l7.Fic~11ultln1eu A: 1 ' 2. 1. 0, 1. 2. 7. 9; xi p| 'L‘Lli('u1L‘lL* himmc: 0PEIM_TII ,5‘! I? ElA_TII (. 'U MULTIMI V , 7 1 . , _, . . . p(. .y). ..4x+v q(x. y|. ..16x y r4(y+2.)~.5. D12.PL‘ mullimcu I. ’ SO vunsi(ler: ‘ 1)l‘(‘(li('2lll‘]‘ p[x), ‘. [I5. ~ (i}x '0" Hi r](x): E) S ‘_ (k_u_”mm_ mmmnnc dc ud(_V(, “_ ale m_‘_$mr pmdi Am‘ ,3‘ ‘ » 9". S2: 56 dcIennin<‘ mullimcu (lc n(levu| ' :1 ])Il‘Lll1dlL'1u| . b). vv-ri[im~ 4;” ; . ,1” V) ‘»s‘(- (. ,,nSm. imd h, k,i‘. ;| H Pl. mm. mu1m N X. H aHp(X)~1<1(X): la) P(x)v<1(XJ: 0) p(x)/ q(X)1 c) Eslc adevrmn ('3 q(x. y), -,p(x. y)? d) p(x), oq(x): e)q[. ) >p(x). CI l8.I’L- N‘ 59 consideré predicatclc hinare: D13. Pe mullimed I at vunsidcm prcdicalelv: p(x): .. l0x —20« 0“ si q(x): , pm. 1;): ., este tubul unui uu1u; 'u'xa| i0n;1l. ": V44) ‘ )4“: L6‘ q(u, b)" . . u si b . -sunl invers proporlionale cu numerelc 8 5i 3, a) S3 sc determine mullimilc dc adcvar ale predioutclur p si q. 1)) S21 st ulczxga imp! nu a(1cvz'n'z| lz' (linlrn: 1. p())": -q(x| . 2. q(. ] ; p(. ): ‘ _ , , b) Iaslc p(u. b) (‘oust-(: inga lugma 2: predicuiului q(u. b)? 3. p(x| ':vM(x| ‘. 4. Iq[x), :>Vp(x| . 1:) S21 se cxprinlc r('I: lm zlc multimi &Ism"xul2' implimlix-i 3) S2’) so urule (‘:1 q(n. b) esle cons(-(~inl: ] lugicfx a lui p(z. D). udt-v: ‘|I': Il<' ‘ ‘ . 4“ I, 1 " D19.FIL' pt 12‘ pn'(l| rulL-It‘ hlnarn‘ p(; . h). .. ——— — qlu. h]: .. u M I; 2'4 1 3|) 2 Si: ~<~ <Imnrms: lrr-/ ,<' e-clnvalvsntu 014.53 54: / (‘I icv v('ln'; |l1*| )l: (Iv pn~(Ii('ul‘ 51 six st’ 3~‘(‘l'l(‘ <>pvruliil<~ L'm'<‘spL1n— _ V _ _‘ 7mnm. (. K. “ mulmm. aunl rluvcl 1)| ’t>pm'lI(n| uk‘ 1'11 llUlll(‘I‘t*l<‘ 5 5| (7. p(; . h) -: :» ([121. 1)) n]((x-3). 'lx 1)]/ : 1». x 7). xrl' h)(. '%x | }'(‘}. . (Sr [2 . '§. 1 2/‘| .ml, . CI20 S4 xv <I<>. xrri«' n'u| im(*e1 m| llimi| m' Irn1:i| u.'| 'v [ulnsiml (7])L“l‘2lHil(‘ (‘I1 pr«-(lI<'uh-' Ul5.l’<- I . ‘$l‘| l)l| .l(]('l. | pm-: lu‘: m-Iv E) A 1151'}, ‘V N'_ H 13” { 2‘ ‘U N1’: | "N)’--* '-’: ‘.‘~“" *"l1‘| '-‘[| "V b]/ §uu. ~}uu}I2(s<)§. Ia , nrNlH H701: Um ‘v’n: ::1‘1:ln, l“| ):: ::; ::; “_(. ]:i'nl<nlv «I. » pn»(li(~; ulv xi . ~: 41‘ Rpflp op. .ra* C) A jkm I‘ “(S 2’ lg. H ]‘h‘ It ":3 5‘ I M h mvmv 34: "3 | ’(v“1"l| -W 1‘ ‘» -‘ ' d) / ‘W N‘ ; s|x « um . -«n-pan-m p«-rn-rt“. n ~ 2x. 4.‘ 75; -H -15
  26. 26. I A1;-m - 1. MULTIMI $1 ELEMEIIIE 11: Loam 1n111£MA111:A 021.521 55 descrle lnlerseclla mu111m11(1r Ibloslnd op: -r11111 r11 [)r(’f1i('lilt'I I)A: -:(x. y)1xeN. yeN.4x+3y=21}, B: f(x. .V)12xy1y-2x:15.x. yeN}. b]A—[xeN x-;7171»3(+2g~1‘[; [X-, —~ X f, h,"'_L§’. ;,, : 1 5 1 1 7 J c)A= {xel x+[x]= g‘[, B:: xel‘|2x’ x‘—3x»(): .; 11 d) A=1XE| «‘ll2x+11:9:.1s= {xe[0, 1]1 {x}(5——{x}) 4}. D22.sa se exprime cu ajutoml operallilor cu p1‘er11(-Male m111ple111rnlar:1 mul- l1m11 A in raporl cu mullimea B: 4 n 21 23 7 21 u)A= N ~. — »»,13: . ._, ,>__. {"6 |5(7<23} 1XE~ 19 x 31‘ b)A-—{xel13:21][. B:‘lne~ EI23.Se consldera mullimile A = {X E I m1n[3x +1. 4— B: {X E N| [X —2]<l; sipred1cale1e unare p(x): .. x e A". q[x): ,, I) S3 se demonstrn-,7.e ca p(x) <2 q(x). 1)) Sa se scrie multimile caracterlzale de predicatelet P(x)V q(X)- P1X)/ <1(X).1p(XJ, '1q(x). EI25.Se considers mu1_l1mile 53-2 1 3 x.3x+13/1:15}, 13:; xe1|15x—11<, :19} 51 A: {xsN W1 predlcalele unare p(x) : ..x e A“. q(x): .. x : 13“. p(- I. 1. SA se verifice daca: “)P1X)3q1X)1blq(x)Qp(x); c) p(x| <.—>q(xj. 2. S21 56 scrie 11111111111221 cure (-21rz1z'1:'ri7,c11'/ ..‘1 pI'(‘(1i(‘. ’llP11‘2 1P1XJ.1q1x).1>1xI. /q. x1.p1a11/. q1x1. 1325.51’ L'm1s1d(-m 11111111111111-2 A—’xe, I1'an. —.~. x‘'»5x11:n‘ . 51 I I B : {X e! 1 (X2 +3xHx2 —— 13x 1 40) : 0: Si pr1~(1i(-211010 P(X): .. x 1: A". q(x): .. x 1:11‘ pe 11111ll1n1('z1 I. 5:) se S| lI(l1(‘l6 data: 8) (11X)21)1x): Ia) |7[X): ~11(x): c) p(x]<>q[x). 46 I Algat-11 ->1. MUl)‘lMI $1 ELEMEHIE us 1111:1121 MAIEMAIICL CI26.Se ('o11s1dcra1n11l11n1ea E : |x 9 ID x —. 7" 7 H 1 . n + 2 r(x): ,. x€E. xel“. . neN' 51 predicatelez })(x): .. x e E. x <_- 2“: q(x): .. x 5 E. x «' 8": n) Daca A. B, (3 sum mulflmile de 11<lx-vm’ ale prcdlcatelor plx). q[x| , r(x] 53 se determine A. B. (1. A1/B, A (1B. A C, C A. C“(C), (‘, ,,(A). b) Cale elemente are 11111111111:-:3 de udnrvar 11 pn-611031111111: <x(x): .. x E E. x 56.01"’? D27.Se consldera predicatele unare peslc Q: (X) _ X _ Sn: 41 P ' " 11’ 1 11 cu mullimea de adevar B. Ce relalie exista inlre n1u111m1le de ad: -var ale celor doua predlca le? . n e N" cu mullimeu dc adevar A $1 qlxj : ,, xeA 2<, x<3‘ CI28.F1e multimile A : {X e I. ’ x : -, 1] $1 p1'ed1ca11~: le: p(x): ., xeA", q(x): ..xeB“. Sa: ez11'a1L- p(x); ;q{x) s1q(x): ~p('x). 1329. Se considera pe mu111n1ca E : 11. 2. 3. 4’, predicatelet p(x, y): ., x+2y=6" s1q(x. y): ,,x(x —6):4y(y :3)“. 1) S3 se verlfice daca p(x, y): q(x. y). b) Implicafla q(x. y) 2 p(x, y) este adevarata? 1:) Ce relalie exista imre multimile de adevar ale predicatelor date? D30.S3 Se demonstreze egalltalea de mullimi {X e (.1 x‘ +11x ~80 = 0} : : {y E I I y’ + 1 1y + 20 este patralul unui nurnar rational}. C|31.Sa se denmnslreze um1a1(1urc1(- rclal 11 (lo: 111111111111: u] CIJAUB) : CE(A)mC, .:(B). V A. BF. E: 1:) C, ;lAmB): C,; [A)1.-(. ‘,_ (131, v A. 1sc— 1:; c) 111.1111 C): {A1._1B)(Am(1)<>Ar£/1. 1111/1 13114111 A) (A1113) (/1, 1111. A. 11 D32. Se ronsidera mulumile A. B. (‘ Ax/ B:AuC s1A1'1B: Ar1 . Care dlntre um1aloureI<= relulii estc udcv:11'ula'. ‘ a) A. BLC; 11) (31; B: 11) C—'C“(/ ); d) (L IS. 47
  27. 27. i I ugum - 1. MIILIIMI $1 mums us L_m: :cA MmMn_u: _§ _ I Mgihrl - Muumu 51 ELEMLTE us LunIc_wA1EMA1Ir. }_ l'J38.Sa Se xu’-go urnxatoarclc‘ afirmalii prerizand valnareu do ad: -v: ‘n' u p1‘upo'/ J mlor nbthunez U33.Se considcra mullimcu M ai A. 13 sulmmllimi ulv : u1~<l<-in Si: av vvnI'iu: cgulllalllc (lo mullimit 1 ‘ . “) “AK / B} B) H) 'm A" B) . .Mul(, ime-. u s0lLl1H1ur(‘cuallci 1 1" A-2 urv pnlru ('1:-Im‘nlv. ". b)[AmIi)‘, ')lL / )“| / 4;) M{/ H), 7 _ b) . .()rk-; m- nr fi . . - I. ‘ si m'imr(- ur in _v » I, (x 1) 4 [V 2)‘ g ()y‘; c) {A n)‘ ‘(15 A)‘ ‘| A my / "U‘| l|1‘(‘/ (‘_“(l). H ‘I 2 c) . .l‘2x| sl£| n s N zlstfol I11('i1| — ‘_— (‘slv l‘r: u'liI' / .ctiIn:1]: | Ilnilélf. > .1 D34.Fiv: mullilm-:1 M xi A. H. (‘ . su| )uIuIli| ni ulo zw: -sln-in. 5:"! S1‘ v<*rifi(‘(' <'; {ulIl. ’- me (19 mumml; d) . .F, xis| a n F. N ustfcl incinl n) [(AuB) c)»)(A» rc) B)r)(Bu()) A), (A~. |s~(: )1A, .1;. (: ); b) Data A. B. (3 sun! mul)imi (ll. _)LlII(‘Il'. uluncx: CM[AHCM(/ uB))~, vCM[Br(3M(Bx/ (1)')uC, “)(“; (:M((‘«/ /)) , Ax, /BLJKI. D39.Se uonsldera prediculul s(x, y) : ..2x r 3y 5. x. y A Is. " I) Ce valoare de adevar uu prupozitiiloz 3.3. REEULIDENEGAREA PIIUPOZIIIILUII UNI! /EIISALE (v x)(V y)s(x. y). (3 x)(V y)s(x. y). SI/ I FIwPOZIIIIl0flEXISTEIVIIAIE I (V x)(3 y)5(x. y)_ (3 x)(3 y)s(x_ y)? 00””/ I” NECESAKE CUNUIIII SUI‘-ICIENTE I h) SA .5: ncgc propu'/ juilc tit’ nmi cum prr~('i'/ flntl r: ln; m-2| (I? 2u| evz‘n'. D35.Sa se nege propuzillilt-: D40.Fie predicatele binare: cu 1 : ) Exlsta un numar natural palral pcrk-(‘I (‘are are ciira unilalilor egala ‘ “X. y): ‘E3’ ‘ ,1. X’ y E”. .. q(xy Y): J8)‘, _5y I Q X‘ y El’. .. - - ‘ . x+ y b), EHad ’ ‘ ‘ ~ 5 _ _ . , . _ 0) n0:i: € nl: ::rn}: ‘)): ‘:Sfi‘rI: :;I: ;: ) I) S3 S6 arate C2‘: p(x, y) eslc consecxnga lugnca H predlcalulul q(x. _' ). cl) , ,0n'(: a:e ar 1] n un numar “am, -3| impan H" , n V 2403 1:) S3 se arate ca q(x‘ y) cste condiue suficicrnla si nccesara pemru ‘ predicatul p(x. y). C|36.Sa St‘ scric prupozitiilc xnui jos cu ajulornl cuanl iczllorilor. SF: sc negc si sf: se stabileas 3 valnnrea dv adovar a nnilor propozilii: J a) , .lneL'u2|liu x’ 5) ~ 0 HM‘ cc] pllliu r1 S())l[li nulm-'rI' ’mlr<-; gi. “: 1 I1) , ,Ecualia 12x’ — 13); + 3 4 0 are (Inna solulii reul(‘. ": I c) . slit x s: Ir penlm ('2II'l‘ LEV > x 2 r 0.“: 1 3) Sin se aralr C2‘: p(x‘ y) csle mndilie sufivic-m. '1 peutnl predicatul d) ~0ri('nrv : |r Ii x 9 l. x‘ S) < 0.". q(X‘ y)’ C|41.Pe mulunleu E : {L 2. 3, 4] se considcrzi predicatclez p(x. y): ..2x +y :8“. q(x. y): ..l2x1_V’ :2{3_v A 2x’ ¢) _. l-: xi, -,| ;'. X r | , usllbl incul x r [x] b) Estc adevfnral ('z' q(x, y) esle rondiliv sulk~icnlz'x pn-nlru p(x. V)? hm’ ' commie r1e('vszx1‘z'a'? . - . .. . . -‘5 I 1:-, ‘ D375‘ ‘‘’”'‘‘‘l‘"‘ ‘”‘‘H””‘ “ M ‘L *’- 2- 1- 2- , ,» 3- ") -‘-| P101)”/ <‘1'| l“5 ‘ D42.I’u 1ulllin1c: | 1‘ <1‘ x-unsl(| <'r; ' pro(IimlvIx- hin2m- ‘ u = y _ _ _ . ‘_ , _ _ _ pl. "01 . _ _ M. MN” I“ M ‘MIN . ”“_m X 3, “. ._ 1 p(; . b): .. n« h d; ('; '| su numzu dzuqn a. » A 1;» _ qlu. Iv) . .‘ v h I) rm M p_, . . .I"4)l&l4I . « M. n'i: ~I. "I y« M ; |sl1(~| |m‘; |l x 2)’ 0.", : arm? cm I n) p(u. 1)) (sh: rondiiic ncL~('s. 'u'2'1 sn sufivk-ul. ': p(‘nlI'n prc(ln': mIl ([(. '. h) p, ‘ Jixislu M M . |~lI¢'|1lu': |I I, ‘ M. ". N u '- M usllrl lll(': |l x(v 2)‘ | Sx. ". b) q(u. 11) (‘Ste runditic sulk'i(*nl; 'x si Il(‘('('S2Ir£'I p{‘l1l! 'l ])I‘k‘(1ik‘illl| ] pm, 1;) [1, . .. ()ricur<~ . u Ii , - M. (‘XL -18 49
  28. 28. l Algahrl I I. MULIIMI 3| ELEMENYE IIE LDGICK MATEMATIDK U43.Se consldera predicatele blnarc: p(a. y): ., x 5) y sunt numere dc: aceeasi paritate, x. y e N'. "; q(x, y): .. x + y es1e numar par. x. y E N'. “: s(x. y): .. xy este numar lmpar, x, y e SA se arale ca: 3) p(x, y) eslc 0 cundlue not-(~suI‘a 5! suflclenta pentru q(x. y). Ce reprezinta q(x, y) pentru p(x, y)? 5) p(x. y)As(x. y) oslr mncmie suflcienla pentru q(x. y): c) p(x, y) 8519 cnndlue nerx-Sara penlru predlcatul s(x. y)v q(x. y). D44. F12 preclicatele blnarc: P(’‘- Y): --X2)’ S 0. x. y el)“. q(x. y): .. y < 0, x. y E D“. Sa se arate ca: I) p(x. y) esle condme necesara pentru q(x, y) dar nu sste cundmc suficienta: b) q(x. y) este cnndiue suficienta pentru p(x. y). U45.Fle A : '1, 2. 3. 4, 5, 6, 7) 5i predlcalele binare: P(a- b)1.. a —b =3, 21. I) e A“, q(a, b): .. a(a—3) : b(b+ 3), a. be A“. Sa se arate ca p(a, b) este cnndme necesara gi suflcienta pentru predxcatu] q(a, b). CI48.Pe multimea I‘ so considem prrzllcatclo blnare r(x, y): ,. x > 0, y > O“ 5) S(X. y): .x — y > x + y *> S5150 arnle ('51: I) s(x. y) (‘Ste cnnditie slxficienm pentru r(x. y); b] l‘(x. y) esle condilie nocesarfi pentru s(x. y) dar nu esle uondme suflclenta. TESTE DE VEHIFICAHE Teatul nr. 1 O1. sa se uralo u' Irv|1.’|1nurm laulolngk‘: ))q » (I) , (1)) J], | 'nm1u). ’I tlo ("rlliflll pr0po'/ .i_tional ask: 0 2. Sa SC vr-rlfk-<> m*l1ivulvnlu )q x (1: > q)) » q) [(1) , (I) / P) , .1 50 I Algohri 0 I. MUUIMI SI ELEMENYE DE l| !|‘-IE‘ MlTEMlTfl 1)” : 3.11. h e I". 1). p10. 1). 1)(—2. — 1) si vulorllc dc O 3. Fit: predlnalul p(u. b): .. u‘ 3) Sn se determine propo7.Nlil: - p(2. adevar ale arc-slora. b) Sn St: ()k‘l(‘I’IHint‘n1I))inl€é| (lraclc-': 1‘ u pr(-dlmlulul ma. b). 04. Fir prediratul bmar p(x. y) . ,2xy (Ky (1. . , —l" S-. M‘ 1|4'l<'I‘nIinI‘ valoureu dc zulevar :1 prnpnmiilur: (V x)(3 y)1I(x- y). (1x)(v . v)p(x- . v). W3 xnaywmx. M. Mr‘ MI’ . v)mx. .vn. O 5. 53 so nege propozilia A f B C. Testul nr. 2 O 1. Sa se stablleasca valoarea de adevar a propoziliilor 1,) Si q runoscnind ca: 3) )pvq adevarala: b) pA)q falsa: c) )p v» q adevarala: d) p —> [p v q) adevarala. : n +2 E N, n eN". n + 3 0 2. Fit‘ predlcatul unar pln): .. 3) 53 se slabileasca valoarea dc adevar a propoziuilor p11). p15). p19). b) Sa se detennine mulumea dc adevar a prediratului. 0 3. Se considers mullimile: (—))5""(6n+9)+1 _) 32:49 , A. -{ugh} A-—73el. B—)xe1 2x+3e= ,l)s1 preditalele unarc p(n): ,, n E A“. q(n): .. n .2 3) Sa 51* determine vuloareu dc adcvxir 2: prnpn‘/ jliilorz 1)(2)~. q(—2). p(5)~. q|—6). p(l2)—>q(()). q(5) > MS). b) 3;: SK‘ ()(‘[(’| ’I1]il1(’ In1|lime. '|dr:1(l(''2u'u p| ‘<: rli(': |lL-I01’: pm). qln). pln) » q(n). pln) . <[(n| C) 4. 53.: .~. x- l)&‘ll]l)! LslI‘l‘/ .( L')§uliluln*. I' 1 ’2m)) , .’. .| I ), ,> )| x. _'): :lxI)) I 1 . —. ¢, 2— m) . (.>. H. H». J). O 5. S2) sr vr-riI'in~ 1-(~)u'vulenlvlv: 3) (1) H1)» > q pvqi bl )( lqflv) 11> H1) H1. 51
  29. 29. I Aluuhri - I. MULIIMI $1 ElEMENT_[D_E llltilcl MAIEMAYIEK V TIPURI DE RAIIONAMENTE LOGICE 4. I. M5700/1 lNl7lIl. ‘_TIEI MA TEMA nor D 1. Folosind 1111-lndu ill(l| l('U('i 1I1;1lm11:1|i1'(', Si! 241- (l(‘lIl<)XIS)l'(‘Y. l‘ (‘(1 ])I‘IIlI'll n1'iH: 11un1'. r 11:1Iur-.11 1101111] 511111 111|1'1;‘11'11l(‘ v). {ulil; ‘1 3) lv2>3o. . )1: —-————-: b) 1*’ .2’ 1'3’ 1 1 11" 3'--"-11--l—)-(3-'—‘ ' I)‘ . . 6 . c) 1:‘ .2‘ .11‘ >. ..o11' : (—? l)‘: V'11(11¢| )(11{oi1i17V—il) d) 1"—2’->3“ 4’ » . +)—1)"‘-u" 2 11(11+l)(11+2) 6 e)l+|1+2)-(l+2>3)+.1(l+2+. .+11) 1) 1"+2‘. . +11" (1 )2+3+. ..+n): , 11(n—r1)(n2+r1—2) g)2-3+3.s». .1u)n* 1): ———— -——; 11(n+1)(n+2)_ 3 . -(2n- l)21|(2n1l): n(n+I)(211‘ .211 -1): 11))-2+2»3+. . +n(11+l)- 1) 1-2-3+3-4-51 j) l. l.(3).2+2.2.(3)»31 . . 4 n[n+%)(n-1 l): :T16n(n+l)(9n” >25n+ 14). 11)] 1.25 2. 2 2.25 :1. . .>11)l1+fi)(11>l) li2n(n+1)(:1n’ 1811 14): 11(11’ 1)(3n+2)_ 111 2&2 :1)‘ . . >(11—l)n’ (- -E-————— m) 1-’ --2’ 1:1’ -1* 1.») 1) '11‘--( 1) '-9'4‘? -—'; 2 11(11)l)|211>l)(311" M31191) n)l'-2‘~1:'- .1.‘ 30 D2. S51 50 (|1'111u11sl1‘1'/ ,1‘ 1-:1 111-11l111 m'i1~r 1111111111‘ 11.1l1II’21| 11- N‘ ~'. I1nt ‘.1111-*: ‘11'al(‘, 1-g'.1|il. "1(i| c: 3)l2-J) 11421) . .k| k1l)) 11(11>l)(11r2). ..(11-k) -———-—— -. 1111111‘ k ~— N’ H). k > I . >11(11>| ).. ,(11)k I) 1- .12 D3. tlca: D4. I35. I Algnhvi - 1. MuqIMI $1 (LEMEIIIE DE umlcl MAIEMAIM b) 1 +« I +. ..+- 1 _ “ (k+n—1)(k+n) k(k+n)‘ S21 se calculezc ur111atoarele sumc si S71 51- v1:11fir1- prin induclic 1n;1tc'111;1— 3) l-4+2-7+3-10+. ..>11(311+l): b) 2’ 14’ +6’ I . ..+(2n)2: c)1"+8"’+. ..+(2n--1)‘): cl) 2’ +6’+. ..)(4n+2)2: e) l-4+2-5+. ..+n(n+3): I) l-2-34-2-3-4+. ..+n(11+l)(r1+2): 1) 1-2 3-4+2~3-4»5+, .,+n(n+1)(n+2)(11+3): h) l-1,(3)+2-2.(3)+, ,.+n(n+%J: g) 3&1“ +5“—4’+. ..+(2n+1)“—(3n»2)’. Sa se calculeze 51 S3 56 veflfice formulelc gasite prin inductie matexnalicaz 1 1 I " b) i+; +.. ,+: —1j——; 14 4-7 (3n—2)(3n+l) c) 1 + 1 +. ..+——1j—; 12-3 2-34 n(n+l)(n+2) d) L+J——+. ..+——#——; 1 3 3-5 (2n—1)(2n-+1) 1’ 22 n2 e) —+ +. ..+~—j—; 1-3 3-5 (2n—1)(2n+l) l l I f) + +. ..+— ; 1-2-3-4 2-3-4-5 n(n+l)(n12)(n-)3) 3 8 15 n n+2) , , . ... . __ _< _ 5:) se calculezc: 1 1 1 HM k’-’ I) -—+ —+. ..«—_*-. ; 1,) . -.— -. -; 12-3 23-4 98-99-100 k, (2k——l)[2k+l) 100 1 . . 4k 0) inf —--—————: d) —w- —— k , k(k+l)(k+2)(k+3) , ;4k"
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  33. 33. I Alma - I. Ml.1l. ]IMI 3| ELEMENTE as muck ummnlcl D52.Se consldera multimea A = {1. 2. 3. 1000}. I) Cale elemente ale multlmli A se d1v1d cu 3? h) Cate elemenle ale mu111m11A so d1v1d cu 7? 1:) can mullipli ni numarului 31 se alla in A? U53. Se (tonsldera mullimea A : {X eN' { x S 10000}. a) Cale elemente ale mult1mi1A sunl divizibile cu 2 sun cu 3'? b) Cate elemenle ale mu1t1m11A sunt multlpli de 3 $1 5? c) Cate elemenle ale multimii A nu se divid nlcl cu 5. nlci cu 7? D54.Se consldera mulllmea A = {x e N{ x $1250). 3) Cate elemenle ale mul11m11A sunt divizibile sau cu 2 sau cu 4'? b) Cate elemente ale mult1m11 A sum divtzlbile $1 cu 2 $1 cu 4? c) Cate elements ale mu11,1m11A sunt divizibile 51 cu 2 51 cu 3? D55. Cate numere naturale mai m1c1 sau egale (‘I1 1500 sunt: I] divizibile slmullan cu 2. cu 3 51 cu 6: b) divizibile simultan cu 2. cu 3 si cu 5: c) divizibile simultan cu 6. 8 $1 14'? D56. Cate numere naturale nenule mai mlci sau egale cu 9999 sunt: I) divizibile cu 4 sau cu 6: b) divizibile cu 12 sau cu 15: c] divizibile cu 4. 14 sau cu 28? D57.Cate numere naturale nenule mai mici ca 1000: I) sunt divizibile cu 2. 3 sau cu 7: b) sunt divizibile cu 3, 5 sau cu 8: c) nu sum multipli de 4. 7 $1 9? D58.Ca1e numere nalurale mai mici decal 8100 sunt prime cu 8100? D59. La un tumeu de sah parlicipa 25 de spurtivi. 3) Dana fiecare doi sahisli s—au intalnit 0 data. Cale partide 5-au jucal in acest lumen? la] Daca sahisui schimba intre ei adresele lor. (‘ale schimbufl s—au efectuat’? U60.F1e mummca A : {0. 1. 2. 3. 2005}. Cine elemenle are multimea 13 : {x r; A x : 10 + 112. k e N}. U6l. Se urunca :1 zamri ru lkrlele numerolute 1. 2. 3. /1. 5. 6. Cale siluatll exista ca 551 apara simullun fclele numernlale cu | )LllHC| '(‘ pare‘? D62.Catc numere nalurale £IlJC(. ll11 cxisla sliind ca :1 2 7. h : — 2, 4 < 1' < 8, lal’ cfi E 17'. » CI63.Cale nulnerv do Ivlelun (lo lunnu 0x7ab(‘ cxlsta data X. 1' e {O. 2. 4}. lat a. b < {5. 9}’? 60 u Aluuhr D6-t. F1e mulumlle A : {n r. N| :1 ~: 5E 51 9 numa, —1mpm. { S. B * {H L N{ n '&1l)(‘(‘l. 21 1-519 pm‘. 1- esle (livizlbll on 3{. Sn se determine n'| rd(A) sl (‘zu'd{B), D65.Czite numcro nalurul(- (lv 5 cifre oxisla? D88.C2il<' 1'| Lll|16l'C naturale (le 5 cllrv (': irc in: -op n-n vil'ru 8 vxlsla? fl67.Cale numere naluralc de 6 (:1l're rare inccp cu 4 51 S! ‘ lcrmina cu 0 exisla‘? U68.lntr—0 urna sum 3 bile albe. 4 bile iuzgre $1 5 bile rusii. Se 1-xlrag pe rand 3 bile fare‘: in intoarce blla exlrasa in urna. Cate poslbilllati (le 21 obtine 0 blla alba, 0 blla neagra $1 0 bila rusie, in aceasla ordine. exisla? D69.ln1r—0 Lima sum 4 bile albe, 3 bile negre $1 5 bile msii. Cale triplelr st‘ pol ubline prin exlrageren a 3 bile {am a inloarce blla exlrasa in urna? U70. ln Cale moduri se pol repartiza 4 (: al(~ulaloa1'e la doufi sculi‘? Cl7l. ln Cale mudurl se pol repartiza 6 calculaloare la 3 scoli daca fiecare scoala primeste eel pulin un calculator? U72.Cu 5 culori trebule sa acoperim 3 panouri. ln céle moduri poate ll fzicula aceasla operalie? U73.Cale numere nalurale de doua cifre se pot fomia cu rrifrele 1. 2. 3. 4'? Cale dinlre acestea au ambele cifre distincte? C|74.Se scriu numerele naturals in ordinc tresciitoarc (‘arr incep cu 1. S3 st’ determine cifra dc pe pozilia 25180. D75.l’entru numerotarezi paginilor unci tarti svau lblosil 2780 do cilrt‘. Cale pagini are lucrarea? U70.Czii'(- eslc cxponenlul lui 2 in (l{‘S1‘()l‘1])l11’1£‘1’(’-’| in furluri primi n numn l'L1lU1 A : 1 2 >3 v 100() 7’ 1)ur(-xpum-nlul lui 3'? U77.ln (‘f| l(‘ xcmuri st‘ lcniiinfl numzfirul A 1 2-3 1000 C’ U78.a) ln ciilc n10dun' distinrlo so punto (l(‘Sl‘U| "11l)l1]L' in proclns (lv: (lui fun-l<u‘i Prlml inlre vi numarul 18900? b) 1n mile moduri (l1Sll11(‘l(‘ S(‘ punlv (lvs<‘o| n|m1n- in prmlus (iv (lui l1l('l()1’l Pfllni intro ('1 nmnarul uulural n‘? (S1 MIILIIMI $1 HEMEIITE DE LOGIEK MAIEMATIIZK
  34. 34. .. .. ... ... . . ... .. I Alnuhvi - I. MULIIMI $1 Etimiflgrtqtilgflng Mmcli 7 W D79.Sa xv (ls-1811111119 nurnariil tic diagonals ale unui puligon 1-nmvex Cu 11 lalun. Cl80.(‘. "Ilx- diagnnale arr u prisinti cu baza un poligrm ('i|11Vt‘. ‘( ru 11 laturii‘ B81. in (-. ‘1|: - rvgiuni impart n (ll‘t‘pl(’('01‘i(‘llI't‘11l(‘ un plan’? EIs2.c: .u» drepiv dc-tennina I1 puncte din plan, oricarc trri punrlc ilind 11(~(~n| iniare'. ’ U83.S(‘ consitlera pniraiul ABCD. Mediainarelv laiurilor impart patraiul in ullc ptitraie. Meciiatoarelc laturilor arestura impan pairaiele nbtinliic in alte pnirat. In (-ate patraic esle impartit pairatul initial dupa n pasi? U84.Se consirlera multimea A r H U. a) Si: Se determine n 5 N" peniru care multimea A are 50 de elemenie. 1)) Sa se determine card(A). 1551'; DE VER“: |cAgE Testul nr. 1 O 1. Se considera multimea A : {1. 2, 3. 4. 5, 6. 7. 8}. m numarul submulti- milor mi 3 elemenie. iar p numarul submultimilor cu 5 elemente. sa se rnmpare numerele m $1 p. O 2. Sr: ronsidera numarul natural 68600. I) Sa se determine numarul divizorilor acestuia. 1)) Sa Se tletemiine numarul divizorilor. divizibili cu 7. O 3. Crile numere naturale de 5 cilre la impartirea cu 10 dau rr-siul 7'? Testul nr. 2 O 1. Cato 1'1l11'I‘1I‘.1’t‘ naturals mui mini decal 300 an exact 4 (livizuri? O 2. F19 multimile A 2 11. 2, 3. 4, 5} s1 15:11.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8}. (‘ate niultiml X veriilca egaliiatea A U X : B? O3. Fic niultimile A ' ‘, nEN{ n. -3k. keN{ 51' 13—{11eN{I1—5k, keNl. (late pervclii Ix. y)‘ A x B cxista astfcl inrat x + y — 73? 62 I AI nllll I II FUHIIIII mam]-L smum DE NUMERE REALE 7.1. IVUIIUIVEA DE ,9”? DE NUMERE RE/ llf B1. Sa 56 r'1l(‘nleIe ' - - < r . . primii 5 ltIl'1‘11L‘1]1 a1 l11‘((1I‘l i. - *- -- . , rcale definite prin formula termenuiui 15,0114-1';11 isiilell mm“ mlnm mg numefl "1 0.. ' *n{n+2). n‘: 1; bl lJ. .—' I: m—T, .nZil: «~21 c) x, .:fi~fiT—"1]1.21; d) }'. . : t + I H 1 n(n+1) e)e. .=(—1i z nzl fl d. .:tg¥ n21 1 1 1 )'. .:> > El n+1+n+2 +3n+l'n— h) “H : 4+ +*-—lr~——— 11,-1. 112+1 D2.Sa. -di - . . . ca: SP e (')1Tfl11](‘ x_. . : -1.. M >1 53 ‘: -P 6‘XP1‘1l‘1‘1E‘ x“ >: in functie (ie x“. stiind “) X1:0- X, . , :5x“+3, 11:1: bl X1 X. .. ' X“. 11;]; ¢l>~. *—2x, .» ; .., .1.. z dn. ox . . {“7” 1 ~ . . . .1~2'{ 11/2 1 x e] x », ,, u,, ‘ 2 “’ 1+2». -H ” I , '5 11 fl 7‘1 2 H _ n *2. hi‘.
  35. 35. > Ikig-hvl'l| .FUPl1J1|_| __ 7 _, _, V W _ _, , _ _ ennino 1o1‘1nul11 1('l'|111"1’1l1lI1l gciieral peutru 11r1111'1l11ar1-1(- . - 11.1.1.3 . u. r1mc111 C110. I111-11.1.1 1.. ..) 111111.11 .1-11.1.1.1 .1'~. Il1-1 B3. Si! Si‘ (let 111:iinit1‘ C1125 1"1ptiv: .. y 1 1., 11% { L, ” A‘ _ 5}} k 1’ 2" :1’ «V 5 9 1:1 17 . .1 . , ’ " 3111.2 l. I; _. . b) Q, {—7. 25. V“. 11] . w.1 a1 1111111111111 .1 . .1 1 1 1 :1 1 :3 :1 . .113 G 11 12 1 '1 MM ll mmmw WWI“lmwmmmm"""‘"""" 2 2 8 4 32 312 4 7 ll! 13 ‘ (J11. 111.-1111.111“) 11111111111111111-4111:-111.1.11|1-1 e12.22.222.2222. 1 I N. ~52 . .. 1,. ..1. 1 ~. ‘11-‘. ?.1 1. .1 8)$.1s1-111-11-11111111‘1111111111.: In-1111111111111Q1-111~1;11.11-11111111 D4. 1711' sirui (au) <11-111111 111‘s1'ri111iv 11s1l1'l: 2.13): 3.((i): 5: (3.111). 7.10): 111511 : <1-1lci1~1‘111i111-i11r11111la1crn11>11111uigciicral an. M S, ‘ W WHHW Wu ‘ 7_ 7r { ‘ “ ‘ ' V‘ «*1 1'11?‘ mu 1- 1.. . M1111 11-11111-111 11 511111111 1x” 1. 509 :1 ' 1)) S3 S1‘ 1)r1‘1'i'/ .1“/ .e 1'a1‘1~ 11intr1- 11111111-1'1-11‘ 29, 81. 101. 1201. 1i134.(3) D12. H11s1'111-i1-1’111111:-111111111111I11111111111111Q1111-1'.1l;111111l1111l1>I1111t 111111 511111 tc1'1111-111 ai sirulin. 31%| . 1. . .. :1“ >11_11 '1. D5. Fir sirul 1:1“) 1-11 11>r1111*1111l 1.{1-111‘ra1 11” 1 bl II, I .111‘. 2.1,.11 1. 2 01V. 0 ’. . . _-11l11~1).11 1' d) 41. 111112111. , »1k.11;. _ 31/» 1-4 i»/ ..-/ ... it/ ,1-11.1. 2 :1 5:) so 1-21101111:/ .1‘ l1'11111*|1111l1 1.1111; 1. '1. . . ( 13) S21 St‘ [)l‘t‘(‘1'l. {’I. (‘ 1'a111:, u1 l(‘i’I1i1‘11llL11‘ cgali 1111 ; 11.917): 11991971. 1:) Sa SL’ d1‘t1'r1nin1~ iurmula Lernu: -11111111 141-111-ral al sirului (bu). Llefinit D13‘ 5*‘ ”"“‘l(l““‘ ”i“‘l 1/ 1 *1 5 / 1‘ / 1 1/ l111I‘I 111'1111|1<>1'11 l11'111(11 . . . . -1 - . . 1 - - 1 p1"111 11” : a2 11, ». ..-11“. 11 :2. D6. Fit. Sin“ (X { X '7 H /1 11811111111 1&1 1111111111111 in1u1ul.111111111111l111Q1-1111.11 / V. 41:11-11 5.” (2.117 11 ' "‘ ‘ " n+2‘ ”' 1111112112. 11) 53 se 11e1e1'111ine iu1'111111:1 iermenului general 211 sirului (ynl siiind ca 1.: x. .. —x. .. ml. 014- W mu! 1.. .) «Mum u~Iw x. 2 ~ . . ‘T 1. 1 5.. 1- .1.». ... ... 13) S2‘: se 1~a11'11l1-xv 51111111 1u'i111i10r 100 (19 ternieni ai sirului 1y” 1. ‘H ‘ . s11'I‘/ x*1':1 1‘ x, 1. 11111111-‘;11'ii 11» D7. Se <'unsir11t1'; '1si1'11l 1,1”) 1i1~1i11‘1i1)ri11r1*1uiia111* re1'111'e11ii1: E115. |1'11~ -11111 11111.1. 1 1.1,‘ , 1”, . | H_ . . 1‘ . ,.. ,m1 WU1 1”] 1.—”m”_m. ‘ xw, : xv + '-i111.x. ~i, S11 »1-111-1111.11.41.-/ ,1~ . .. a) S1’ (l1‘11>1‘111i11<~11>r111u1a1ern11~11u111i141-1101111111si1'111u1 Ix“) 31 1. ’ 11 1 ‘ 1.. 1.. . 1 111~111111u111~;111» 11 1_ b) l*Is11*i1*1'1111'11:1l sirului 1111111."1r11l4': ‘)‘. ")()'.7 1)a1‘5005'. ’ bl 1.‘ ‘ 11' * v ‘ 1.: 1.. 1,, . )1'11I111 11111.11: 11 1. 1 _> _ 1:11.. , -1.1.‘ 1.1-1.1.. . . ... ... .1 . . . ‘ D8. 1411'sir111(11‘11111111-11-1 - 1- l«I. .1 l111111~ 11. 5. 21, 1/ >11 :11‘, 521.. .. 411,‘. I ‘ 4,141“ N d) | .. I. . I. .. .1 11 1m. :.1.«. .1.. .. 2. . . 11. . all 111111.". 1.1.‘ 1 C19. 1"11's11111{-111,11-1111, l 2', F1. :1“ , 11,, .12;1“.11:l. ‘ ‘1', {‘ '1 . 2 1 1 1’<Hl| || 11! H1 H I I) S11 81‘ (l(‘l1‘1'11111|i' u. 11. I 1.11-1111111'111'1'z1“ 11 2" 111 { 1)''.111.N'. {] | _ -1 1, -I 1‘ 1._111'111111n111v 11 I b) 311 . s1‘1l1-111«111.~'. t1'1"/ .1‘ 111 :1” 2" >1 11". “! 11» N‘. g) I ‘ 11 ‘ ‘ I. .. 1. . 1 1v1‘I111'11n111:- 11 I 1111 (34

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