1. Квантовые алгоритмы:
возможности и ограничения.
Лекция 3: Сложность булевых функций в модели
запросов
М. Вялый
Вычислительный центр
им. А.А.Дородницына
Российской Академии наук
Санкт-Петербург, 2011
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 1 / 30

2. План
1 Определения и основные результаты
2 Квантовое вычисление дизъюнкции
3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка
4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 2 / 30

3. Три вида запросов
Булева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.
Классический запрос
Посылаем k, 1 k n.
Получаем xk .
Вероятностный запрос
Посылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению
(pk ).
Получаем xk .
Квантовый запрос
Оператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 30

4. Три вида запросов
Булева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.
Классический запрос
Посылаем k, 1 k n.
Получаем xk .
Вероятностный запрос
Посылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению
(pk ).
Получаем xk .
Квантовый запрос
Оператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 30

5. Три вида запросов
Булева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.
Классический запрос
Посылаем k, 1 k n.
Получаем xk .
Вероятностный запрос
Посылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению
(pk ).
Получаем xk .
Квантовый запрос
Оператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 30

6. Три вида запросов
Булева функция x → f (x), x ∈ {0, 1}n , f (x) ∈ {0, 1}.
Классический запрос
Посылаем k, 1 k n.
Получаем xk .
Вероятностный запрос
Посылаем k, выбранное по некоторому вероятностному распределению
(pk ).
Получаем xk .
Квантовый запрос
Оператор Ox : |k, b → |k, b ⊕ xk (общий случай) или фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 3 / 30

7. Формулировка задачи
Задача(-и) вычисления булевой функции f
Дано: Черный ящик , который выдает значения переменных из
некоторого набора (x1 , . . . , xn ).
Найти: значение f (x).
Сложность алгоритма: количество запросов.
Вероятность ошибки: меньше 1/3.
Определения
D(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
классическим запросам.
R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
вероятностным запросам.
Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
квантовым запросам.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 30

8. Формулировка задачи
Задача(-и) вычисления булевой функции f
Дано: Черный ящик , который выдает значения переменных из
некоторого набора (x1 , . . . , xn ).
Найти: значение f (x).
Сложность алгоритма: количество запросов.
Вероятность ошибки: меньше 1/3.
Определения
D(f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
классическим запросам.
R1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
вероятностным запросам.
Q1/3 (f ) минимальная сложность алгоритма вычисления f по
квантовым запросам.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 4 / 30

9. Полиномиальная эквивалентность между сложностями
Теорема
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Наилучший известный разрыв
Для дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется
√
Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.
Открытая проблема
Какова точная величина разрыва между сложностями?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 30

10. Полиномиальная эквивалентность между сложностями
Теорема
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Наилучший известный разрыв
Для дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется
√
Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.
Открытая проблема
Какова точная величина разрыва между сложностями?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 30

11. Полиномиальная эквивалентность между сложностями
Теорема
Для любой всюду определенной булевой функции f
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f ) = O Q1/3 (f )6 .
Наилучший известный разрыв
Для дизъюнкции OR = x1 ∨ x2 ∨ · · · ∨ xn выполняется
√
Q1/3 (OR) = O( n); R1/3 (OR) = Ω(n); D(OR) = n.
Открытая проблема
Какова точная величина разрыва между сложностями?
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 5 / 30

12. Очевидные соотношения
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )
Классический алгоритм это вероятностный, который использует
только детерминированные распределения (одна из вероятностей
равна 1).
Вероятностные и детерминированные запросы можно моделировать
квантовыми, как уже объяснялось.
D(OR) = n
Дизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Если
сделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затем
обмануть алгоритм.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 30

13. Очевидные соотношения
Q1/3 (f ) R1/3 (f ) D(f )
Классический алгоритм это вероятностный, который использует
только детерминированные распределения (одна из вероятностей
равна 1).
Вероятностные и детерминированные запросы можно моделировать
квантовыми, как уже объяснялось.
D(OR) = n
Дизъюнкция от нулевого набора равна 0, а от остальных 1. Если
сделать меньше n запросов противник даст нулевые ответы и затем
обмануть алгоритм.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 6 / 30

14. План
1 Определения и основные результаты
2 Квантовое вычисление дизъюнкции
3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка
4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 7 / 30

15. Квантовое вычисление дизъюнкции
Модификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции
√
за O( n) квантовых запросов.
Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .
Здесь, как и раньше
Rψ = 2|ψ ψ| − I .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 30

16. Квантовое вычисление дизъюнкции
Модификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции
√
за O( n) квантовых запросов.
Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .
Здесь, как и раньше
Rψ = 2|ψ ψ| − I .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 30

17. Квантовое вычисление дизъюнкции
Модификация алгоритма Гровера обеспечит вычисление дизъюнкции
√
за O( n) квантовых запросов.
Аналогично предыдущим случаям, попробуем фазовый запрос
Ox : |k → (−1)xk |k .
Будем применять итерацию Гровера G = Rψ Ox , начиная с вектора |ψ .
Здесь, как и раньше
Rψ = 2|ψ ψ| − I .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 8 / 30

18. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

19. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

20. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

21. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

22. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

23. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

24. Инвариантное двумерное подпространство
G : C(|ψ , |ξ ) → C(|ψ , |ξ )
1
|ξ = √ |k
h k:x =1
k
Проверим:
1 1
|ψ = √ |k + √ |k =
n n
k:xk =1 k:xk =0
h n−h 1 h n−h
= |ξ + √ |k = |ξ + |η
n n n−h n n
k:xk =0
Ox |ξ = −|ξ
Ox |η = |η
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 9 / 30

25. Угол поворота
1 1 h
sin ϑ = ψ|ξ = h √ √ =
n h n
|ξ
2ϑ
|ψ
ϑ
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 10 / 30

26. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

27. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

28. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

29. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

30. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

31. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

32. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

33. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

34. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

35. Схема алгоритма
Количество итераций зависит от числа единиц. Оно нам неизвестно.
Будем выбирать случайно.
Алгоритм Q∨ :
1 Повторить следующие действия 5 раз:
(a) выбрать номер переменной k по равномерному распределению на
[1; n];
(b) запросить xk ;
(c) если xk = 1, то завершить алгоритм с результатом 1.
√
2 Положить m = n.
3 Выбрать t по равномерному распределению на [0; m − 1];
4 Приготовить состояние |ψ .
5 Выполнить t итераций Гровера.
6 Измерить полученное состояние, результат обозначим k.
7 Закончить работу с результатом xk .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 11 / 30

36. Свойства алгоритма
√
Количество запросов O( n).
Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.
Утверждение
Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.
Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .
Теорема
Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных
√
с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

37. Свойства алгоритма
√
Количество запросов O( n).
Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.
Утверждение
Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.
Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .
Теорема
Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных
√
с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

38. Свойства алгоритма
√
Количество запросов O( n).
Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.
Утверждение
Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.
Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .
Теорема
Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных
√
с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

39. Свойства алгоритма
√
Количество запросов O( n).
Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.
Утверждение
Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.
Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .
Теорема
Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных
√
с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

40. Свойства алгоритма
√
Количество запросов O( n).
Если OR(x) = 0, то вероятность ошибки 0.
Утверждение
Если OR(x) = 1, то вероятность ошибки < 3/4.
Повторив алгоритм k раз, сделаем вероятность ошибки < (3/4)k .
Теорема
Существует алгоритм, который вычисляет дизъюнкцию n переменных
√
с вероятностью ошибки ε за O( n log ε−1 ) квантовых запросов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 12 / 30

41. Оценка вероятности ошибки: два случая
1 Количество единиц велико: h n/5.
Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не
превосходящей
5
1
1− ≈ e −1
5
и вероятность ошибки не больше этой величины.
2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5.
Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера.
Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 30

42. Оценка вероятности ошибки: два случая
1 Количество единиц велико: h n/5.
Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не
превосходящей
5
1
1− ≈ e −1
5
и вероятность ошибки не больше этой величины.
2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5.
Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера.
Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 30

43. Оценка вероятности ошибки: два случая
1 Количество единиц велико: h n/5.
Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не
превосходящей
5
1
1− ≈ e −1
5
и вероятность ошибки не больше этой величины.
2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5.
Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера.
Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 30

44. Оценка вероятности ошибки: два случая
1 Количество единиц велико: h n/5.
Вторая стадия алгоритма потребуется с вероятностью, не
превосходящей
5
1
1− ≈ e −1
5
и вероятность ошибки не больше этой величины.
2 Количество единиц мало: 0 < h < n/5.
Будем оценивать вероятность успеха при итерациях Гровера.
Успех: такое измерение, которое дает номер переменной, равной 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 13 / 30

45. Оценка вероятности успеха для заданного числа
итераций
Лемма
Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния
|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).
Доказательство
|ξ
2ϑ
|ψ
ϑ
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

46. Оценка вероятности успеха для заданного числа
итераций
Лемма
Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния
|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).
Доказательство
|ξ
Начальный угол ϑ. 2ϑ
|ψ
ϑ
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

47. Оценка вероятности успеха для заданного числа
итераций
Лемма
Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния
|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).
Доказательство
|ξ
Начальный угол ϑ. 2ϑ
Каждая итерация поворачивает |ψ
вектор на угол 2ϑ. ϑ
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

48. Оценка вероятности успеха для заданного числа
итераций
Лемма
Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния
|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).
Доказательство
|ξ
Начальный угол ϑ. 2ϑ
Каждая итерация поворачивает |ψ
вектор на угол 2ϑ. ϑ
Координаты вектора после t итераций
(cos((2t + 1)ϑ), sin((2t + 1)ϑ))
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

49. Оценка вероятности успеха для заданного числа
итераций
Лемма
Вероятность успеха после t итераций Гровера, начиная с состояния
|ψ , равна sin2 ((2t + 1)ϑ).
Доказательство
|ξ
Вероятность успеха квадрат модуля 2ϑ
амплитуды базисного вектора |ξ : |ψ
ϑ
sin2 ((2t + 1)ϑ)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 14 / 30

50. Случайный выбор числа итераций
Лемма
Вероятность успеха
1 sin(4mϑ)
Pm = − .
2 4m sin(2ϑ)
Доказательство
По формуле полной вероятности
m−1 m−1
1 1
Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) .
m 2m
j=0 j=0
Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу
m−1
sin(2mϕ)
cos((2j + 1)ϕ) = .
2 sin ϕ
j=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 30

51. Случайный выбор числа итераций
Лемма
Вероятность успеха
1 sin(4mϑ)
Pm = − .
2 4m sin(2ϑ)
Доказательство
По формуле полной вероятности
m−1 m−1
1 1
Pm = sin2 ((2j + 1)ϑ) = 1 − cos((2j + 1)2ϑ) .
m 2m
j=0 j=0
Теперь свернем сумму косинусов, используя формулу
m−1
sin(2mϕ)
cos((2j + 1)ϕ) = .
2 sin ϕ
j=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 15 / 30

52. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

53. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

54. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

55. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

56. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

57. Вероятность успеха на второй стадии алгоритма
Из второй леммы
1 sin(4mϑ)
Pm = −
2 4m sin(2ϑ)
При m > 1/ sin(2ϑ) вероятность успеха не меньше 1/4.
Если h < n/5, то sin(2ϑ) > sin ϑ = h/n.
Поэтому
√ n 1 1
n> = > .
h sin ϑ sin(2ϑ)
Вероятность успеха не меньше 1/4.
Вероятность ошибки меньше 3/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 16 / 30

58. План
1 Определения и основные результаты
2 Квантовое вычисление дизъюнкции
3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка
4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 17 / 30

59. Чувствительность
Определение
Чувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количеству
переменных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесь
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
k−1
(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)
Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).
Пример
s(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, а
у самой точки 0).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 30

60. Чувствительность
Определение
Чувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количеству
переменных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесь
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
k−1
(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)
Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).
Пример
s(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, а
у самой точки 0).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 30

61. Чувствительность
Определение
Чувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количеству
переменных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесь
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
k−1
(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)
Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).
Пример
s(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, а
у самой точки 0).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 30

62. Чувствительность
Определение
Чувствительность sx (f ) функции f в точке x равна количеству
переменных xk , для которых f (x) = f (x ⊕ ek ). Здесь
ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
k−1
(Сколько соседей на булевом кубе имеют другое значение функции.)
Чувствительность s(f ) функции f равна maxx sx (f ).
Пример
s(OR) = n, так как s0n (OR) = n (у всех соседей точки 0n значение 1, а
у самой точки 0).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 18 / 30

63. Нижняя оценка вероятностной сложности
Теорема
s(f ) 3R1/3 (f )
Доказательство
Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче
поиска.
Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs
соответствующие переменные.
Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна
из этих переменных пропущена, не меньше 1/3.
Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как
f (x) = f (x ⊕ ej ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

64. Нижняя оценка вероятностной сложности
Теорема
s(f ) 3R1/3 (f )
Доказательство
Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче
поиска.
Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs
соответствующие переменные.
Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна
из этих переменных пропущена, не меньше 1/3.
Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как
f (x) = f (x ⊕ ej ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

65. Нижняя оценка вероятностной сложности
Теорема
s(f ) 3R1/3 (f )
Доказательство
Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче
поиска.
Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs
соответствующие переменные.
Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна
из этих переменных пропущена, не меньше 1/3.
Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как
f (x) = f (x ⊕ ej ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

66. Нижняя оценка вероятностной сложности
Теорема
s(f ) 3R1/3 (f )
Доказательство
Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче
поиска.
Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs
соответствующие переменные.
Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна
из этих переменных пропущена, не меньше 1/3.
Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как
f (x) = f (x ⊕ ej ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

67. Нижняя оценка вероятностной сложности
Теорема
s(f ) 3R1/3 (f )
Доказательство
Аналогично оценке для числа вероятностных запросов в задаче
поиска.
Пусть в x достигается максимум sx (f ) = s, а x1 , . . . , xs
соответствующие переменные.
Если алгоритм делает k s/3 запросов, то вероятность того, что одна
из этих переменных пропущена, не меньше 1/3.
Но в этом случае противник может гарантировать ошибку, так как
f (x) = f (x ⊕ ej ).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 19 / 30

68. План
1 Определения и основные результаты
2 Квантовое вычисление дизъюнкции
3 Вероятностное вычисление дизъюнкции: нижняя оценка
4 Степень многочлена, приближающего булеву функцию
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 20 / 30

69. Многочлены и булевы функции
Определения
Многочлен p : Rn → R приближает булеву функцию
f : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется
1
|p(x) − f (x)| < .
3
Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называется
наименьшая степень многочлена, приближающего f .
Задача
Докажите, что для любой булевой функции f от n переменных
существует единственный мультилинейный многочлен p степени не
выше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)
выполняется для всех x ∈ {0, 1}n .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 30

70. Многочлены и булевы функции
Определения
Многочлен p : Rn → R приближает булеву функцию
f : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется
1
|p(x) − f (x)| < .
3
Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называется
наименьшая степень многочлена, приближающего f .
Задача
Докажите, что для любой булевой функции f от n переменных
существует единственный мультилинейный многочлен p степени не
выше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)
выполняется для всех x ∈ {0, 1}n .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 30

71. Многочлены и булевы функции
Определения
Многочлен p : Rn → R приближает булеву функцию
f : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется
1
|p(x) − f (x)| < .
3
Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называется
наименьшая степень многочлена, приближающего f .
Задача
Докажите, что для любой булевой функции f от n переменных
существует единственный мультилинейный многочлен p степени не
выше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)
выполняется для всех x ∈ {0, 1}n .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 30

72. Многочлены и булевы функции
Определения
Многочлен p : Rn → R приближает булеву функцию
f : {0, 1}n → {0, 1}, если для любого x ∈ {0, 1}n выполняется
1
|p(x) − f (x)| < .
3
Степенью (приближения) deg(f ) булевой функции f называется
наименьшая степень многочлена, приближающего f .
Задача
Докажите, что для любой булевой функции f от n переменных
существует единственный мультилинейный многочлен p степени не
выше n, который точно представляет f : равенство f (x) = p(x)
выполняется для всех x ∈ {0, 1}n .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 21 / 30

73. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Теорема
Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).
Лемма
Если алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, то
состояние его памяти перед финальным измерением имеет вид
αw (x)|w ,
w ∈W
где w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)
многочлены от x степени не выше d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 30

74. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Теорема
Для любой булевой функции deg(f ) 2Q1/3 (f ).
Лемма
Если алгоритм вычисления f делает d квантовых запросов, то
состояние его памяти перед финальным измерением имеет вид
αw (x)|w ,
w ∈W
где w состояния памяти алгоритма, а αw (x) (комплексные)
многочлены от x степени не выше d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 22 / 30

75. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d.
w ∈W
Вывод теоремы из леммы
Исход w наблюдается при измерении с вероятностью
pw (x) = |αw (x)|2 .
W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает
ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна
p1 (x) = pw (x).
w ∈W1
Это многочлен от x степени 2d и такой, что
1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1;
1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.
Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

76. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d.
w ∈W
Вывод теоремы из леммы
Исход w наблюдается при измерении с вероятностью
pw (x) = |αw (x)|2 .
W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает
ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна
p1 (x) = pw (x).
w ∈W1
Это многочлен от x степени 2d и такой, что
1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1;
1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.
Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

77. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d.
w ∈W
Вывод теоремы из леммы
Исход w наблюдается при измерении с вероятностью
pw (x) = |αw (x)|2 .
W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает
ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна
p1 (x) = pw (x).
w ∈W1
Это многочлен от x степени 2d и такой, что
1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1;
1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.
Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

78. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d.
w ∈W
Вывод теоремы из леммы
Исход w наблюдается при измерении с вероятностью
pw (x) = |αw (x)|2 .
W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает
ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна
p1 (x) = pw (x).
w ∈W1
Это многочлен от x степени 2d и такой, что
1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1;
1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.
Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

79. Оценка Q1/3 (f ) через степень приближения
Перед измерением: αw (x)|w , deg αw (x) d.
w ∈W
Вывод теоремы из леммы
Исход w наблюдается при измерении с вероятностью
pw (x) = |αw (x)|2 .
W1 множество тех состояний памяти, в которых алгоритм выдает
ответ 1 . Вероятность ответа 1 равна
p1 (x) = pw (x).
w ∈W1
Это многочлен от x степени 2d и такой, что
1 p1 (x) > 2/3 при f (x) = 1;
1/3 > p1 (x) 0 при f (x) = 0.
Таким образом, deg(f ) deg p1 (x) 2d .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 23 / 30

80. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

81. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

82. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

83. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

84. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

85. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

86. deg(f ) 2Q1/3 (f ): доказательство леммы
Состояние памяти алгоритма после k запросов:
|ψk = Uk Ox Uk−1 Ox . . . U1 Ox |ψ0 .
Доказательство индукцией по k.
Для k = 0 амплитуды не зависят от x, степень 0.
Применение запроса.
Было
· · · + α(x)|w , k, 0 + β(x)|w , k, 1 + . . .
Стало
· · ·+(β(x)xk +α(x)(1−xk ))|w , k, 0 +(α(x)xk +β(x)(1−xk ))|w , k, 1 +. . .
Степень увеличилась самое большее на 1.
Унитарное преобразование: новая амплитуда линейная
комбинация старых (коэффициенты от x не зависят). Степень не
увеличивается.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 24 / 30

87. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?
Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых
deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ).
Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он
использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002).
Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового
противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до
мультипликативной константы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 30

88. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?
Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых
deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ).
Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он
использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002).
Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового
противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до
мультипликативной константы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 30

89. Насколько хорошо степень приближает Qε (f )?
Амбайнис (2006) построил семейство функций, для которых
deg(fk ) = 2k , а Q1/3 (f ) = Ω(2.5k ).
Для доказательства нижней оценки на квантовую сложность он
использовал метод квантового противника (Амбайнис, 2002).
Рейхарт (2010) доказал для одной из версий метода квантового
противника, что она дает оценку Qε (f ) с точностью до
мультипликативной константы.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 25 / 30

90. Оценка квантовой сложности дизъюнкции
Теорема
deg(OR) n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 26 / 30

91. Оценка квантовой сложности дизъюнкции
Доказательство
p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).
Симметризация многочлена:
1
p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ).
n!
σ∈Sn
p sym (x1 , . . . , xn ) симметрический мультилинейный многочлен от
переменных x1 , . . . , xn . Поэтому он представляется в виде
p sym (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 σ1 (x) + · · · + ad σd (x),
где
σj (x1 , . . . , xn ) = xk
S⊂{1,...,n}, |S|=j k∈S
элементарный симметрический многочлен.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 30

92. Оценка квантовой сложности дизъюнкции
Доказательство
p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).
Симметризация многочлена:
1
p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ).
n!
σ∈Sn
p sym (x1 , . . . , xn ) симметрический мультилинейный многочлен от
переменных x1 , . . . , xn . Поэтому он представляется в виде
p sym (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 σ1 (x) + · · · + ad σd (x),
где
σj (x1 , . . . , xn ) = xk
S⊂{1,...,n}, |S|=j k∈S
элементарный симметрический многочлен.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 30

93. Оценка квантовой сложности дизъюнкции
Доказательство
p(x1 , . . . , xn ) приближает OR(x1 , . . . , xn ).
Симметризация многочлена:
1
p sym (x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ).
n!
σ∈Sn
p sym (x1 , . . . , xn ) симметрический мультилинейный многочлен от
переменных x1 , . . . , xn . Поэтому он представляется в виде
p sym (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 σ1 (x) + · · · + ad σd (x),
где
σj (x1 , . . . , xn ) = xk
S⊂{1,...,n}, |S|=j k∈S
элементарный симметрический многочлен.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 27 / 30

94. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание)
Завершение доказательства
Специализация
p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ).
˜
t единиц
t
Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j .
Свойства специализации
|˜(0)| < 1/3;
p
|˜(k) − 1| < 1/3 при 1
p k n.
Отсюда следует
d = deg p deg p sym deg p
˜ n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

95. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание)
Завершение доказательства
Специализация
p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ).
˜
t единиц
t
Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j .
Свойства специализации
|˜(0)| < 1/3;
p
|˜(k) − 1| < 1/3 при 1
p k n.
Отсюда следует
d = deg p deg p sym deg p
˜ n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

96. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание)
Завершение доказательства
Специализация
p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ).
˜
t единиц
t
Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j .
Свойства специализации
|˜(0)| < 1/3;
p
|˜(k) − 1| < 1/3 при 1
p k n.
Отсюда следует
d = deg p deg p sym deg p
˜ n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

97. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание)
Завершение доказательства
Специализация
p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ).
˜
t единиц
t
Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j .
Свойства специализации
|˜(0)| < 1/3;
p
|˜(k) − 1| < 1/3 при 1
p k n.
Отсюда следует
d = deg p deg p sym deg p
˜ n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

98. Оценка квантовой сложности дизъюнкции (окончание)
Завершение доказательства
Специализация
p (t) = p sym (1, 1, . . . , 1, 0, . . . , 0) = p sym (xt ).
˜
t единиц
t
Это многочлен степени d , так как σj (xt ) = j .
Свойства специализации
|˜(0)| < 1/3;
p
|˜(k) − 1| < 1/3 при 1
p k n.
Отсюда следует
d = deg p deg p sym deg p
˜ n/6.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 28 / 30

99. Оценка степени многочлена
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
Теорема (Марков, 1889)
Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке
[−1; 1].
Задача
Выведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенства
Маркова.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 30

100. Оценка степени многочлена
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
Теорема (Марков, 1889)
Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке
[−1; 1].
Задача
Выведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенства
Маркова.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 30

101. Оценка степени многочлена
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
Теорема (Марков, 1889)
Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке
[−1; 1].
Задача
Выведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенства
Маркова.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 30

102. Оценка степени многочлена
Теорема (нижняя оценка на степень многочлена)
Пусть f (x) многочлен и |f (0)| < 1/3, |f (1) − 1| < 1/3, а
−1/3 < f (k) < 4/3 при 2 k n.
Тогда deg f n/6.
Теорема (Марков, 1889)
Если |f (x)| 1 на отрезке [−1; 1], то |f (x)| (deg f )2 на отрезке
[−1; 1].
Задача
Выведите нижнюю оценку на степень многочлена из неравенства
Маркова.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 29 / 30

103. Оценка квантовой сложности дизъюнкции: итог
Теорема
√ √
√1 n Q1/3 (OR) n.
24
Зазор между вероятностной и квантовой сложностью
1√ R1/3 (OR) √ √
n 24 n
3 Q1/3 (OR)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 3: сложность запросов Санкт-Петербург, 2011 30 / 30