1. ‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
!‫בסוף‬ ‫עניינים‬ ‫תוכן‬
I ‫חלק‬
‫חזרה‬
‫הסתברות‬ 1
‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 1.1
:‫וקביה‬ ‫הטלת‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ .‫מסוים‬ ‫מאורע‬ ‫עבור‬ ‫שיש‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ,‫כלומר‬ .‫המדגם‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ Ω-‫ב‬ ‫נסמן‬
.Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∀x ∈ Ω : 0 ≤ Pr (x) ≤ 1
‫מאורע‬ 1.2
.A ⊆ Ω ,Ω ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫היא‬ ‫מאורע‬
Pr (A) =
∑
x∈A
Pr (x)
.(‫לתת-בעיות‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫)לחלק‬ ‫פשוטים‬ ‫יותר‬ ‫מאורעות‬ ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫אותו‬ ‫ולהציג‬ ‫אותו‬ ‫לפשט‬ ‫נעדיף‬ A ‫מאורע‬ ‫כשיש‬
A ‫מאורע‬ ‫פירוק‬ 1.3
.‫לתתי-מאורעות‬ ‫אחד‬ ‫מאורע‬ ‫שמפרקים‬ ‫או‬ ,‫מאורעות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫כאשר‬
Union Bound ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1.3.1
Pr (A ∪ B) ≤ Pr (A) + Pr (B)
1

2. ‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫והדחה‬ ‫הכלה‬ 1.3.2
Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B) − Pr (A ∩ B)
‫לפעמים‬ ‫קשה‬ ‫יותר‬ ‫גם‬ ‫ולכן‬ ‫יותר‬ ‫עדין‬ ‫כלי‬ ‫זהו‬ ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ .‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫מאשר‬ ‫יותר‬ ‫גס‬ ‫כלי‬ ‫הוא‬ ‫האיחוד‬ ‫חסם‬
.‫בעיות‬ ‫איתו‬ ‫לפתור‬
‫מותנית‬ ‫הסתברות‬ 1.4
A ‫מאורע‬ ‫שקרה‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,P (B|A) :‫היא‬ B-‫ב‬ A ‫של‬ ‫המותנית‬ ‫ההסתברות‬ .A, B :‫מאורעות‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫נתונים‬
...‫יקרה‬ B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬
:‫שיקרו‬ ‫המאורעות‬ ‫שני‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫כאשר‬
Pr (A ∩ B) = Pr (A)
‫קודם‬
· Pr (B|A)
‫אח"כ‬
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 1.4.1
B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫על‬ ‫ישפיע‬ ‫לא‬ ‫התרחש‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫התרחש‬ A-‫ש‬ ‫שזה‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ,(‫)ב"ת‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫המאורעות‬ ‫כאשר‬
.‫יתרחש‬
:‫כזה‬ ‫במקרה‬
Pr (A|B) = Pr (A) , Pr (B|A) = Pr (B)
:‫אפשרויות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬
Pr (A|B) > Pr (A) , Pr (B|A) > Pr (B) :‫חיובית‬ ‫תלות‬
Pr (A|B) < Pr (A) , Pr (B|A) < Pr (B) :‫שלילית‬ ‫תלות‬
Pr (A ∩ B) = Pr (A) · Pr (B) :‫אי-תלות‬
:‫אי-תלות‬ ‫ישנה‬ ‫כאשר‬ ,‫כללי‬ ‫ובאופן‬
Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) =
∏
1≤i≤n
Pr (Ai)
,∀i : Pr (Ai) = p :‫כלומר‬ ,‫הסתברות‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫יש‬ ‫המאורעות‬ ‫לכל‬ ‫ואם‬
.Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) = pn
:‫אזי‬
:‫מאורע‬ ‫לכל‬ ‫קבועה‬ ‫ההסתברות‬ ‫כאשר‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫איחוד‬ ‫לגבי‬
Pr (A1 ∪ · · · ∪ An) ≤
∑
1≤i≤n
Pr (Ai) = n · Pr (Ai)
.(‫חזק‬ ‫כלי‬ ‫זה‬ ‫)ולכן‬ .‫בלתי-תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫וגם‬ ‫תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ‫וזה‬
‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1.5
.f : Ω → R :R-‫ל‬ Ω-‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬
.X, Y, Z, ...-‫ב‬ ‫אותה‬ ‫נסמן‬ ‫אנחנו‬
‫תוחלת‬ 1.6
.E (f) = µ (f) :‫מסמנים‬ f ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫עבור‬ ‫אשר‬ ,‫משוקלל‬ ‫ממוצע‬ ‫היא‬ ‫תוחלת‬
:‫נשתמש‬ ‫לא‬ ‫שבהן‬ ‫לתוחלת‬ ‫הגדרות‬ ‫שתי‬
2

3. ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
$$$$$$$$∑
x∈Ω
Pr (x) · f (x)
$$$$$$$$$$$∑
V ∈Im(f)
Pr (x = V ) · V z
.‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫שנשתמש‬ ‫הכלי‬ ‫זאת‬ ‫לעומת‬
.(‫לחסם‬ ‫)בדומה‬ ‫עובדת‬ ‫תמיד‬ ‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬
E (f + g) = E (f) + E (g)
E


∑
1≤i≤n
fi

 =
∑
1≤i≤n
E (fi)
∑
x
Pr (x) (f (x) + g (x)) =
∑
x
Pr (x) f (x) +
∑
x
Pr (x) g (x)
:‫יותר‬ ‫קצר‬ ‫בניסוח‬ ‫או‬
E
(∑
fi
)
=
∑
E (fi)
‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 2
:x < 1
2 ‫עבור‬
e
x
2 ≤ 1 + x ≤ ex
≤ 1 + 2x
:ln ‫נעשה‬ ‫וכעת‬
x
2
≤ ln (1 + x) ≤ x ≤ ln (1 + 2x)
‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3
:‫קירוב‬ ‫לאלגוריתמי‬ ‫גרסאות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬
.‫הכרעה‬
.‫חיפוש‬
.‫אופטימיזציה‬
(G ‫גרף‬ ‫)של‬ ‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ :‫דוגמה‬ 3.1
(‫קשיר‬ ‫הוא‬ ‫הגרף‬ ‫)האם‬
.G ‫הגרף‬ :‫קלט‬
?‫קשיר‬ G ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬
(?‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬
(?‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫אופטימיזציה‬ ‫בעיית‬
3

4. (k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫ערך‬ ‫פונקציית‬ 3.2
.‫מסוים‬ ‫ערך‬ ‫לנו‬ ‫מחזירה‬ ‫והיא‬ ‫לבעיה‬ ‫מבעיה‬ ‫שמשתנה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬
:‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ ‫בדוגמת‬ ,‫למשל‬
‫קשירות‬ (G, w, T) =
{∑
e∈T w (e) T − ‫פורש‬ ‫עץ‬
w (G) + 1 ‫אחרת‬
(‫קבוע‬ ‫)=יחס‬ ‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 3.3
.‫קירוב‬ ‫מצאנו‬ ‫אבל‬ ‫האופטימלי‬ ‫הפתרון‬ ‫את‬ ‫לה‬ ‫מצאנו‬ ‫שלא‬ ‫בעיה‬ ‫ישנה‬
.‫באחוזים‬ ‫אותה‬ ‫נמדוד‬ ,‫כלומר‬ - ‫כפלית‬ ‫שגיאה‬ ‫נמדוד‬
.α = 1.1 :‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .(‫)למשל‬ 10% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נשלם‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬
.‫מקורב‬ ‫מחיר‬ ≤ 1.1· ‫מזערי‬ ‫מחיר‬ :‫כלומר‬
.α = 0.8 ‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .‫מהמקסימום‬ ‫פחות‬ 20% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נרוויח‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬
.‫מקורב‬ ‫≥רווח‬ 0.8· ‫מרבי‬ ‫רווח‬ :‫כלומר‬
‫מדויקות‬ ‫הגדרות‬ 3.3.1
?α (‫תחרותיות‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ ‫מבטיח‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫מתי‬
‫מקסימיזציה‬
(x, A (x)) ≥
≤1
α. max
w sols
(x, w)
.‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬
.‫אופטימלי‬ ‫למעשה‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ α = 1 ‫כאשר‬
‫מינימיזציה‬
(x, A (x)) ≤
≥1
α. min
w sols
(x, w)
.‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → 0 ‫כש‬
.‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬
.‫אופטימלי‬ ‫פתרון‬ ‫למעשה‬ ‫הוא‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ - α = 1 ‫כאשר‬
.‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → ∞-‫כש‬
(k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4
.‫ב"ת‬ ‫אחידים‬ ‫מקריים‬ ‫משתנים‬ X, Y ∈ {0, 1}
.Z2-‫ב‬ ‫שאיבריו‬ ‫בשדה‬ ‫חיבור‬ - Z = X ⊕ Y ‫שלישי‬ ‫משתנה‬ ‫נגדיר‬
‫ההסתברות‬ X Y Z
1
4 0 0 0
1
4 0 1 1
1
4 1 0 1
1
4 1 1 0
‫)אם‬ ‫חזקה‬ ‫מאוד‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ ‫בשלשות‬ .‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫תמיד‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ - Y, Z ‫ועל‬ X, Z ‫על‬ ‫להסתכל‬ ‫ניתן‬
.(‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬
.(‫אחידה‬ ‫בהתפלגות‬ ‫הן‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ‫האחר‬ ‫מה‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ⇐ ‫אחד‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ :‫אי-תלות‬ ‫יש‬ ‫בזוגות‬
4

5. ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫הכללות‬ 4.1
:‫על‬ ‫נדבר‬ Z2-‫ב‬ ‫שלוש‬ ‫מול‬ ‫משתנים‬ ‫שני‬ ‫במקום‬
.(Zp = {0, 1, ..., p − 1} :‫)תזכורת‬ .‫ראשוני‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ Zp-‫ב‬ k + 1 ‫מול‬ ‫משתנים‬ k
:‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מגרילים‬
x1, . . . , xk ∈ Zp
:‫עבור‬ ‫אזי‬
xk+1 = (x1 + · · · + xk) mod p
.‫(-יות‬k + 1)-‫ב‬ ‫מלאה‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ .‫א‬
.‫בשדה‬ ‫אחיד‬ xk+1 .‫ב‬
.‫-יות‬k-‫ב‬ ‫ב"ת‬ ‫הם‬ x1, . . . , xk+1 :‫המקריים‬ ‫המשתנים‬ ‫כל‬ .‫ג‬
‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ 4.2
:‫אם‬
.(0 ‫כולם‬ ‫)שלא‬ ‫קבועים‬ a1, . . . , ak ∈ Zp
.‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ x1, . . . , xk ∈ Zp
:‫אזי‬
.Zp ‫מעל‬ ‫אחיד‬ ‫מתפלג‬ - xk+1 = a1x1 + · · · + akxk
.Pr (xk+1 = v) = 1
p :v ∈ Zp ‫לכל‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5
XOR ‫שער‬ - ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 5.1
1 = T, 0 = F :‫תזכורת‬
‫פלט‬
?>=<89:;∨
OO1
1
1
?>=<89:;∧
66llllllllll ?>=<89:;∧
hh‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚
?>=<89:;¬
33ggggggggggggggggg ?>=<89:;¬
kk‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡
x1
OO
=={{{{
x2
aagggg
OO
XOR ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ :1 ‫איור‬
.‫מעגלים‬ ‫ללא‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ :‫בולאני‬ ‫מעגל‬
.0 ‫כניסה‬ ‫דרגת‬ ‫קלטים‬
.0 ‫יציאה‬ ‫דרגת‬ ‫פלטים‬
5

6. ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫המעגל‬ ‫חיזוק‬ 5.2
.‫וקטן‬ ‫קבוע‬ ,‫ראשוני‬ ‫הוא‬ q ‫כאשר‬ Zq ‫משדה‬ ‫יהיו‬ (0/1)Z2-‫ב‬ ‫להיות‬ ‫במקום‬ ,‫הביניים‬ ‫תוצאות‬
:MOD ‫שער‬ - ‫נוסף‬ ‫מסוג‬ ‫שער‬ ‫ונוסיף‬
MODq (y1, . . . , ym) =
{
0
∑m
i=1 yi = 0
1
∑m
i=1 yi ̸= 0
‫פולינומים‬ 5.3
(‫יחיד‬ ‫)משתנה‬ ‫הגדרה‬ 5.3.1
P (y) =
∑
1≤i≤d
aiyi
.d = deg (P (y))-‫ו‬ ad ̸= 0 ‫כאשר‬ ,‫בשדה‬ ‫קבועים‬ ‫הם‬ ‫-ים‬a-‫ה‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬
‫רב-משתנים‬ ‫לפולינום‬ ‫דוגמה‬ 5.3.2
:5.1 ‫דוגמא‬
2 · y1
deg=1
+3 · (y2)
4
deg=4
+1 · (y1)
3
· (y2)
2
deg=3+2=5
deg = max {1, 4, 5} = 5 :‫היא‬ ‫הפולינום‬ ‫דרגת‬ ‫ולכן‬
‫נמוכה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫ע"י‬ ‫מעגלים‬ ‫קרוב‬ 5.4
‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ 5.4.1
‫הגדרה‬
‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Cn (x1, . . . , xn) :‫מתקיים‬ x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬
.‫הנכון‬
‫יעילות‬
.Cn ‫במעגל‬ ‫הצלעות‬ ‫מספר‬ ‫ע"פ‬ {Cn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬
‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ 5.4.2
‫הגדרה‬
.‫הנכון‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Pn (x1, . . . , xn) x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬
‫יעילות‬
.deg (Pn) ‫הפולינום‬ ‫כדרגת‬ {Pn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬
‫משפט‬
‫השדה‬ ‫)מעל‬ ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ‫יחסית‬ ‫קטן‬ s ‫שערים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ cn ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬
.(‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ ,Zq
.Prx1,...,xn
[Pn (x1, . . . , xn) ̸= Cn (x1, . . . , xn)] = o (1) ,‫כלומר‬
.‫לאפס‬ ‫שואף‬ ⇐ o (1) :‫למעלה‬ ‫שלנו‬ ‫ובמקרה‬ ,
f(n)
g(n)
−−−−→
n→∞
0 ‫אם‬ f (n) = o (g (n)) :‫תזכורת‬
6

7. ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫לפולינומים‬ (‫)מעגלים‬ ‫שערים‬ ‫המרת‬ 5.5
‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.5.1
:(a p) p-‫ל‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬
ap−1
≡ 1 (mod p)
NOT ‫שער‬ 5.5.2
PNOT (y) = 1 − y
MOD ‫שער‬ 5.5.3
PMOD (y1, . . . , yn) =
( n∑
i=1
yi
)q−1
=
{
0
∑
yi = 0
1
∑
yi ̸= 0
AND ‫שער‬ 5.5.4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
PAND (y1, . . . , ym) =
m∏
i=1
yi =
{
1
∏
yi = 1
0 ∃i (yi) = 0
:‫זאת‬ ‫ובמקום‬ ‫זאת‬ ‫נפסול‬ ‫לכן‬ - (m) ‫עצומה‬ ‫דרגה‬ ‫בעל‬ ‫אבל‬ ‫מדויק‬
PAND (y1, . . . , ym) = 1 − (POR (1 − y1, . . . , 1 − ym))
OR ‫שער‬ 5.5.5
.‫לשגיאה‬ ‫קטן‬ ‫סיכוי‬ ‫כבר‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ ‫הסתברות‬ ‫מכניסים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ OR-‫ה‬ ‫בשער‬
.(‫מדויק‬ ‫)ולא‬ ‫מקורב‬ ‫פתרון‬ ‫פירושו‬ - P :‫נסמן‬
:(5.5.1) ‫פרמה‬ ‫ובמשפט‬ (4.2) ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫בעיקרון‬ ‫נשתמש‬
POR (y1, . . . , ym) =
( m∑
i=1
aiyi
)q−1
.‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ a1, . . . , am ∈ Zq ‫כאשר‬
:‫יהיה‬ ‫הסופי‬ ‫השער‬ ,‫לבסוף‬
POR (y1, . . . , ym) = POR
(
P
(1)
OR (y1, . . . , ym) , . . . , P
(r)
OR (y1, . . . , ym)
)
7

8. ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫מסכמת‬ ‫טבלה‬ 5.6
Pr (‫)שגיאה‬ deg
NOT 0 1
MOD 0 q − 1
OR 1
q q − 1 ‫הגברה‬ ‫לפני‬
1
qr r (q − 1) ‫הגברה‬ ‫אחרי‬
AND 1
qr r (q − 1)
‫הקירוב‬ ‫משפט‬ 5.7
‫משפט‬
‫השדה‬ ‫)מעל‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ,d ‫קבוע‬ ‫בעומק‬ s = 2
O
(
n
1
2d
)
‫מגודל‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬
.O (
√
n) - ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ (‫וקבוע‬ ‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ Zq
(‫קירוב‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ 6
:‫כרצוננו‬ ‫טוב‬ ‫קירוב‬ ‫לקבל‬ ‫היא‬ ‫מטרה‬
A
‫אלגוריתם‬
(
x
‫קלט‬
, ε
‫דיוק‬ ‫דרישת‬
)
.1 − ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬
.1 + ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬
Poly
(
n, 1
ε
)
:‫הריצה‬ ‫זמן‬
.n3
· 2(1
ε ) :‫פולינומי‬ ‫לא‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬ ,n3
·
(1
ε
)2
:‫פולינומי‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬
‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7
‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 7.1
:‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זאת‬ Hn
Hn =
{
h h : {0, 1}
n
→ {0, 1}
}
:‫למשל‬
f : {0, 1}
n
→ {0, 1}
f (⃗x) =
n∑
i=1
xi
.1 ‫אחרת‬ 0 ‫מחזירה‬ ‫היא‬ ‫זוגי‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫האחדות‬ ‫מספר‬ ‫ואם‬ {0, 1}-‫מ‬ ‫המורכב‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫המקבלת‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬
.f ∈ Hn ‫כמובן‬
‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 7.1.1
.2(2n
)
= 4n
‫היא‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬
:‫הסבר‬
2n
‫עבור‬ ‫לכן‬ ,‫לפלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרות‬ ‫ולכל‬ ‫קלט‬ ‫לווקטורי‬ ‫אפשרויות‬ 2n
‫לנו‬ ‫יש‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫עבור‬
.4n
- ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2(2n
)
‫סה"כ‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרויות‬
8

9. ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 7.1.2
:Ln ‫של‬ ‫ההגדרה‬ .‫לינאריות‬ ‫גם‬ ‫שהם‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬ Ln
Ln =
{
h h ∈ Hn ∧ (h (⃗x) + h (⃗y) = h (⃗x + ⃗y))
}
.‫כמובן‬ f (x) ∈ Ln
:⃗x + ⃗y ‫של‬ ‫ההגדרה‬
(⃗x + ⃗y) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2
‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2.1
‫קלטים‬ ‫מגרילים‬ ‫אנחנו‬ :‫הסתברותיים‬ ‫לכלים‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,Ω (2n
) :‫עצום‬ ‫הוא‬ f ∈ Hn ‫של‬ ‫הקלטים‬ ‫ומרחב‬ ‫היות‬
.‫תלוי‬ ‫ובלתי‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬
.⃗x ∈ {0, 1}
n
:‫נגדיר‬
∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)]
:‫אזי‬ 2n
-‫ה‬ ‫מתוך‬ ‫קלטים‬ ‫בשני‬ ‫רק‬ ‫נבדלות‬ (‫מהן‬ ‫כרגע‬ ‫משנה‬ ‫)שלא‬ f, g ∈ Hn ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)] =
2
2n
=
1
2n−1
‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטי‬ ‫מרחק‬ 7.2.2
.‫לינארית‬ ‫אינה‬ f ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
:‫כעת‬
∆ (f) = min
l∈Ln
{∆ (f, l)}
‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫לבין‬ f ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫פחות‬ ‫כמה‬ ‫שיש‬ ‫זאת‬ - "‫קרובה‬ ‫"הכי‬ ‫הלינארית‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬
.‫כלשהי‬
‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 7.3
:‫מתקיים‬ f ∈ Hn ‫פונקציה‬ ‫לכל‬
ε (f) ≤ 3 · ∆ (f) (1)
∆ (f) ≤ 3 · ε (f) (2)
.ε (f) < 1
6 ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫מתקיים‬ (2) ‫חלק‬
.‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטית‬ ‫קרבה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫לנו‬ ‫נותן‬ ‫המשפט‬
‫התפלגות‬ ‫שיש‬ ‫)בהנחה‬ ‫הקלט‬ ‫של‬ ‫דגימות‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,‫לינארית‬ ‫היא‬ ‫הפונקציה‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ‫ולא‬ ‫היות‬
.(‫לקלטים‬ ‫אחידה‬
9

10. ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
II ‫חלק‬
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬
‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8
.‫קוגניטיבית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫ולא‬ (‫המחשב‬ ‫של‬ ‫)משאבים‬ ‫אלגוריתמית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫על‬ ‫ידובר‬
‫אלגוריתם‬ ‫מאפיין‬ ‫מה‬ 8.1
‫נתונים‬ 8.1.1
(‫)בהתחלה‬ ‫קלט‬
.‫ביניים‬ ‫תוצאת‬
.(‫)בסוף‬ ‫פלט‬
:‫עיקריות‬ ‫תכונות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ ‫כאשר‬
.‫מוסכם‬ ‫קידוד‬ ‫לכולם‬ ‫יש‬ .1
.(‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫גם‬ ‫)הקידוד‬ ‫סופי‬ ‫גודל‬ ‫בעל‬ ‫כולם‬ .2
.(‫גודל‬ ‫בכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫אבל‬ ,‫סופי‬ ‫בגודל‬ ‫הם‬ ,‫)כלומר‬ ‫חסום‬ ‫אינו‬ ‫הנתונים‬ ‫גודל‬ .3
‫חוקים‬ 8.1.2
:‫תכונות‬ ‫כמה‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ (8.1.1 ‫הנתונים‬ ‫עם‬ ‫לעבוד‬ ‫איך‬ ‫)של‬ ‫החוקים‬ ‫מבחינת‬
.(‫דרכים‬ ‫בכמה‬ ‫חוק‬ ‫חוק‬ ‫לפרש‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,‫)כלומר‬ .‫חד-משמעיים‬ ‫הם‬ ‫החוקים‬
.‫מופעל‬ ‫חוק‬ ‫איזה‬ ‫ידוע‬ (‫צעד‬ ‫)בכל‬ ‫רגע‬ ‫בכל‬
.‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫החוקים‬ ‫מספר‬
.‫החישוב‬ ‫מקומיות‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫עובד‬ ‫חוק‬ ‫כל‬
.‫נתונים‬ Θ (1) ‫קרא‬ .1
.‫עליהם‬ ‫מקומית‬ ‫פעולה‬ ‫עשה‬ .2
.‫אחרים‬ ‫נתונים‬ Θ (1) ‫כתוב‬ .3
10

11. ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫היסודית‬ ‫השאלה‬ 8.2
.‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫שיכול‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ (‫חישובית‬ ‫)בעיה‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫האם‬ ‫בחישוביות‬ ‫היסודית‬ ‫השאלה‬
.‫נכון‬ ‫פלט‬ ‫סופי‬ ‫בזמן‬ ‫מפיקה‬ ‫קלט‬ ‫שעל‬ (‫חישוב‬ ‫)שיטת‬ ‫אלגוריתם‬ ‫ישנו‬ ,‫כלומר‬
(39 ‫בעמוד‬ i ‫בהוכחה‬ ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫)ניתן‬ !‫לא‬ - (1936) ‫טיורינג‬ ‫ע"פ‬
‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9
:‫החישוב‬ ‫במכונת‬ ‫נתונים‬ ‫של‬ ‫מקומות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנם‬
.‫קלט‬ .1
.‫ביניים‬ ‫תוצאת‬ .2
.‫פלט‬ .3
.‫חסום‬ ‫ולא‬ ‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫מאלה‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הקידוד‬ ‫כאשר‬
‫קלט‬ ‫סרט‬ △ a b
↑
‫עבודה‬ ‫סרט‬ △ d c e
↑
‫פלט‬ ‫סרט‬ △ f g
↑
Σ - ‫וסופי‬ ‫מוסכם‬ ‫מאלף-בית‬ ‫אות‬ ‫תא‬ ‫בכל‬
9
8
6
7
‫טיורינג‬ ‫למכונת‬ ‫דוגמה‬ :2 ‫איור‬
‫החישוב‬ ‫אופן‬ 9.1
.‫סופית‬ Q ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫ישנה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מתבצע‬ ‫חישוב‬
‫מעברים‬ ‫פונקציית‬f (q, σI, σW , σO) = (q′
, σI, dI, σ′
W , dW , σW , dO)
.(‫בהתאמה‬ .‫פלט‬ ,‫עבודה‬ ,‫)קלט‬ Input, Work, Output :‫המכונה‬ ‫סרטי‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫מסמלים‬ - I, W, O ‫כאשר‬
.σ ∈ Σ, d ∈ {L, S, R} = {Left, Stay, Right}
.‫הבא‬ ‫המצב‬ = q′
.(↑-‫ב‬ ‫מסומן‬ ‫זה‬ ‫)אצלנו‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬ ‫סרט‬ ‫לכל‬
‫חישוב‬ ‫מתבצע‬ ‫כיצד‬ 9.1.1
‫אתחול‬
. ‫ואחריו‬ ‫קלט‬ ‫רשום‬ - ‫קלט‬ ‫סרט‬
. - ‫ריקים‬ - ‫עבודה/פלט‬ ‫סרט‬
.(‫)בהתחלה‬ ‫בקצה‬ ‫הסרטים‬ ‫בכל‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬
.‫באתחול‬ ‫המכונה‬ ‫נמצאת‬ ‫ובו‬ qstart ∈ Q ‫מצב‬ ‫יש‬
‫החישוב‬ ‫עצירת‬
.‫החישוב‬ ‫לעצירה‬ ‫גורמת‬ ‫אליהם‬ ‫שהגעה‬ Q′
⊆ Q ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫יש‬
.‫כפלט‬ ‫שנחשב‬ ‫מה‬ ‫זה‬ - ‫העצירה‬ ‫ברגע‬ ‫הפלט‬ ‫בסרט‬ ‫שרשום‬ ‫מה‬
11

12. ‫אוניברסליות‬ 10‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫החישוב‬ ‫פלט‬ ‫סימון‬ 9.1.2
:‫מסומן‬ ‫החישוב‬ ‫פלט‬
M (x)
[x ‫קלט‬ ‫עם‬ M ‫]מכונה‬
.M (x) = ∞ :‫מסמנים‬ ‫צעדים‬ ‫אינסוף‬ ‫מבצע‬ ‫חישוב‬ ‫אם‬
.‫בלבד‬ ‫לקריאה‬ - ‫הקלט‬ ‫סרט‬
.‫בלבד‬ ‫לכתיבה‬ - ‫הפלט‬ ‫סרט‬
‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫של‬ ‫וריאנטים‬ 9.2
‫מכילה‬ ‫היא‬ ‫מה‬ ‫המכונה‬ ‫וריאנט‬
‫סופי‬ Σ ,‫פלט‬ ‫סרט‬ ,‫עבודה‬ ‫סרט‬ ,‫קלט‬ ‫סרט‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
‫עבודה‬ ‫-סרטי‬k ‫שיש‬ ‫רק‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫כמו‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬ ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
‫סופי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
‫בינארי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מאוד‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
..‫כך‬ ‫נקרא‬ RAM ‫עם‬ ‫למ"ט‬ ‫לכן‬ ‫במ"ט‬ ‫שאין‬ ‫מה‬ ‫אקראית‬ ‫גישה‬ ‫יש‬ ‫מודרני‬ ‫למחשב‬ RAM ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 9.2.1
:9.1 ‫משפט‬
.‫שקולים‬ ‫המודלים‬ ‫כל‬
.M′
(x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫בינארי‬ Σ ‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫עם‬ ‫מוחלשת‬ M′
‫מ"ט‬ ‫יש‬ M ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫לכל‬
‫יעילה‬ ‫סימולציה‬ 9.2.2
:‫קבוע‬ c ‫כאשר‬
Time (M′
(x)) ≤ (Time (M (x)))
c
‫סימולציה‬ ‫זמן‬ 9.2.3
:‫למכונה‬ ‫ממכונה‬ ‫מעבר‬ ‫בין‬ ‫יש‬ ‫האטה‬ ‫זמן‬ ‫כמה‬
‫מ"ט‬
‫מוחלשת‬
‫מאוד‬
‫מ"ט‬
‫מוחלשת‬
O(1)
kk
‫מ"ט‬
‫מחוזקת‬
O(n2
)
kk
‫מ"ט‬
‫מחוזקת‬
RAM
O(n2
)
kk
‫מחשב‬
‫מודרני‬
O(1)
kk
‫אוניברסליות‬ 10
.‫נפרדת‬ ‫מכונה‬ ‫היה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫טיורינג‬ ‫עד‬
.‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ ‫טיורנג‬ ‫מכונת‬
12

13. ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:10.1 ‫משפט‬
:‫מקיים‬ M ‫מ"ט‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ M ‫כאשר‬ - ⟨M⟩ , x - ‫קלט‬ ‫שכל‬ MU ‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫יש‬
.MU (⟨M⟩ , x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫לכל‬ :‫נכונות‬
.T = Time (M (x)) ‫כאשר‬ Time (MU (⟨M⟩ , x)) ≤ Θ (T · ln T) :‫יעילות‬
‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫יעילות‬ 11
:‫אם‬ ‫יעיל‬ ‫יקרא‬ M ‫אלגוריתם‬
max
|x|=n
(Time (M (x))) = Θ (nc
)
.‫קבוע‬ c ‫כאשר‬
.‫הקלט‬ ‫באורך‬ ‫כתלות‬ ‫בזמן‬ ‫יעילות‬ ‫מודדים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
.‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫רץ‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ,‫יעיל‬ ‫הוא‬ ‫אלגוריתם‬ ,‫כלומר‬
.‫סביר‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - n · log n, n2
, n3
- ‫יעיל‬
.‫יעיל‬ ‫לא‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - 2n
, n! - ‫יעיל‬ ‫לא‬
III ‫חלק‬
(‫)חזרה‬ ‫חישוביות‬
:‫הבסיסית‬ ‫מהשאלה‬ ‫נתחיל‬
?‫כריעות‬ ‫לא‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫האם‬
.HALT -‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫יש‬ - ‫שכן‬ ‫היא‬ ‫התשובה‬
‫כריעות‬ ‫לא‬
•HALT
‫כריעות‬
‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12
?(‫קלות‬ ‫שכולן‬ ‫)או‬ ‫קשות‬ ‫כריעות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ "‫הבאה‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫כעת‬
,‫כלומר‬
‫כריע‬ ‫לא‬
‫כריע‬ ‫לא‬ :‫או‬ ‫קשה‬ ‫כריע‬
‫קל‬ ‫כריע‬ ‫קל‬ ‫כריע‬
.‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫פתיר‬ ‫קל‬
.‫פולינומי‬ ‫סופר‬ ‫בזמן‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫קשה‬
‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 12.1
:‫הגדרה‬
:‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ,T : N → N :‫בהינתן‬
DTIME (T) = Time (T) =
{
L Θ (T (n)) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מ"ט‬ ‫יש‬
}
.(n ‫)או‬ .‫הקלט‬ ‫אורך‬ ‫הוא‬ L ‫כאשר‬
:‫למשל‬
L =
{
G ‫קשיר‬ ‫גרף‬ G
}
∈ Time (n)
:Time ‫של‬ ‫מחלקות‬ ‫כמה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬
13

14. ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
Time (2n
)
P
Time
(
n3
)
Time
(
n2
)
Time (n)
§
¦
¤
¥
#
" !
5
4
2
3
'
&
$
%
9
8
6
7
:‫היא‬ ‫שלה‬ ‫וההגדרה‬ ‫הפולינומית‬ ‫המחלקה‬ ‫היא‬ P
P =
∪
k∈N
DTIME
(
nk
)
(.‫הריצה‬ ‫כדי‬ ‫תוך‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫אלא‬ ‫הפלט/קלט‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫הבעיה‬ ‫לכן‬ .‫ביט‬ ‫בד"כ‬ ‫הוא‬ ‫הפלט‬ ,‫הכרעה‬ ‫בבעיית‬ ‫ומדובר‬ ‫)היות‬
:12.1 ‫משפט‬
.(‫)סבירות‬ T1, T2 : N → N ‫לכל‬
:T1 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ T2 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ T1 ln T1 ≪ T2 ‫אם‬
∃L ∈ DTIME (T2) DTIME (T1)
.40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 1
‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬
‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫)ובפרט‬ Θ (2n
)-‫ב‬ ‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫אבל‬ Θ (3n
) :‫בזמן‬ ‫שכריעות‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ :T1 = 2n
, T2 = 3n
:‫למשל‬
.(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬
‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13
?‫קשות‬ (‫)מעניינות‬ ‫טבעיות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫אם‬ ‫השאלה‬
?‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫נגדיר‬ ‫כיצד‬ 13.1
.S (‫השאלה‬ ‫על‬ ‫ְעונה‬) ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫קלט‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,‫חיפוש‬ ‫בבעיות‬ ‫נתמקד‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫להגדיר‬ ‫כדי‬
?‫טבעית‬ ‫לא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 13.2
.x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ,‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,S ‫פתרון‬ ‫הצעת‬ ‫בהינתן‬ ‫אפילו‬
:‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫מתקיים‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬
.x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ,(‫פתרון‬ ‫)הצעת‬ S ‫בהינתן‬
:13.1 ‫דוגמא‬
‫כלשהו‬ ‫מספר‬ - n ,‫מספרים‬ ‫של‬ A ‫קבוצה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ (SUBSET-SUM) ‫הסכום‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬
.‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬1
14

15. NP ‫המחלקה‬ 14‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:‫שיתקיים‬ ‫כך‬ S ⊆ A ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ :‫היא‬ ‫והשאלה‬
|S|
∑
i=0
Si = n
?n ‫הוא‬ ‫אבריה‬ ‫שסכום‬ (S) A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬
.A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫זוהי‬ S-‫ו‬ ,n ‫והחסם‬ (A) ‫הקבוצה‬ ‫זאת‬ x ‫כאן‬ ‫כלומר‬
:13.2 ‫דוגמא‬
‫ליטרלים‬ k ‫יש‬ ‫שלו‬ ‫פסוקית‬ ‫שבכל‬ CNF ‫פסוק‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ .k − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬
:‫למשל‬ .(‫שלילתם‬ ‫או‬ ‫)משתנים‬
C =
∧

α1 ∨ · · · ∨ αk
‫ליטרלים‬ k


.αi ∈ {x1, . . . xn, x1, . . . , xn} :‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ k ‫לכל‬ ‫כאשר‬
.‫אמת‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫תתן‬ C ‫)כלומר‬ C = T-‫ש‬ ‫כך‬ - xi ∈ {T, F} :i ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬
.(C ‫את‬ ‫תספק‬ ‫ההשמה‬
.‫השמה‬ ‫תהיה‬ S-‫ו‬ ,(φ ‫הפסוקית‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ ‫שזה‬ ‫בגלל‬ ‫זה‬ ⟨⟩-‫)ה‬ ⟨φ⟩-‫ב‬ ‫שנסמנה‬ ‫הפסוקית‬ ‫תהיה‬ x ‫כאן‬ ‫אזי‬
.‫טבעית‬ ‫שלה‬ ‫החיפוש‬ ‫גרסת‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬
:‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬
:(‫פתרון‬ - S ,‫קלט‬ - x) ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫יש‬
M (x, S) =
{
Accept x − ‫ל‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ S
Reject ‫אחרת‬
NP ‫המחלקה‬ 14
:‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לקיים‬ ‫צריכה‬ ‫היא‬ ,L ∈ NP ‫כלומר‬ ,NP ‫למחלקה‬ ‫שייכת‬ ‫תהיה‬ L ‫ששפה‬ ‫בשביל‬
‫תקבל‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ,‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫)המכונה‬ L ‫בשפה‬ ‫נמצא‬ x ‫הקלט‬ ,‫כלומר‬ ,x ∈ L ‫אם‬ ‫שלמות‬
:(‫כקלט‬ x ‫את‬
∃S ⇒ M (x, S) = Accept
:‫אזי‬ ,x /∈ L ‫אם‬ ‫נאותות‬
∀S ⇒ M (x, S) = Reject
:‫קבוע‬ c, d, f < 0 ‫עבור‬ ‫יעילות‬
Time (M (x, S)) ≤ Θ (|x|
c
)
:‫נדרוש‬ ,‫הרבה‬ ‫מאיתנו‬ ‫יידרש‬ ‫לא‬ ‫הפתרון‬ ‫שגם‬ ‫כדי‬ ‫אבל‬
Time (M (x, S)) ≤ Θ
(
(|x| + |S|)
d
)
.|S| ≤ Θ
(
|x|
f
)
:‫הוא‬ ‫שלהן‬ ‫שהאורך‬ ‫פתרונות‬ ‫על‬ ‫רק‬ (‫כימות‬ ‫נעשה‬ ‫)או‬ ‫נדרוש‬ ‫לכן‬
15

16. ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:1 ‫הסבר‬
‫קיים‬ x ∈ L ‫אם‬ ‫אזי‬ ,S ‫פתרון‬ ‫והצעת‬ x ‫קלט‬ ‫מקבלת‬ ‫והיא‬ L ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬
.‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ x ‫את‬ ‫נכניס‬ ‫אם‬ ‫שבו‬ (‫לפחות‬ ‫)אחד‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬
.‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ x ‫כי‬ ‫אותו‬ ‫תדחה‬ ‫תמיד‬ ‫המכונה‬ - ‫נקבל‬ S ‫פתרון‬ ‫איזה‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ x /∈ L ‫אם‬ ,‫שני‬ ‫מצד‬
,(‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫הוא‬ ‫)כי‬ ‫אמת‬ ‫עבורו‬ ‫שיחזיר‬ ‫פתרון‬ ‫לקבל‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫המכונה‬ - x ∈ L ‫אם‬ ,‫אחד‬ ‫מצד‬ ,‫כלומר‬
.(....‫אותה‬ "‫"לרמות‬ ‫ניתן‬ ‫יהיה‬ ‫)שלא‬ x /∈ L- ‫במידה‬ ‫פתרון‬ ‫כל‬ ‫לדחות‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫שני‬ ‫מצד‬
.‫הכרחיות‬ ‫אלו‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬ ‫לכן‬
‫המחשב‬ ‫במדעי‬ ‫המרכזית‬ ‫הבעיה‬ 14.1
?‫קלה‬ ‫היא‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫שכל‬ ‫או‬ ?‫קשות‬ ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬
‫טבעיות‬ NP
‫קשות‬ ‫טבעיות‬
P ‫קלות‬ :‫או‬ P = NP ‫קלות‬
P NP P = NP
‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ 14.2
.‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ ,‫כלומר‬ ,‫נציג‬ (P, NP, ...) ‫מחלקה‬ ‫לכל‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הניסיון‬
:‫מייצגת‬ ‫תהיה‬ ‫שהיא‬ ‫כדי‬ ‫הדרישות‬ ‫אלו‬ C ‫מהמחלקה‬ L ‫שפה‬ ‫עבור‬
.L ∈ C .1
.C-‫ב‬ 2
‫קשה‬ ‫הכי‬ L .2
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.‫קשה‬ C ⇐ ‫קשות‬ ‫בעיות‬ C-‫ב‬ ‫⇐יש‬ ‫קשה‬ L ‫אם‬
.‫קלה‬ C ⇐ ‫קלות‬ C-‫ב‬ ‫הבעיות‬ ‫כל‬ ⇐ ‫קלה‬ L ‫אם‬
?"‫קשה‬ ‫"הכי‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 14.2.1
.L′
‫כמו‬ ‫לפחות‬ ‫קשה‬ L ‫יתקיים‬ L′
∈ C ‫לכל‬
:14.1 ‫הגדרה‬
.L′
‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ ‫לאלגוריתם‬ ‫להסב‬ ‫ניתן‬ L ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬
‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15
.‫בתשובה‬ ‫לגעת‬ ‫בלי‬ L-‫ל‬ L′
‫של‬ ‫מקלט‬ ‫אחת‬ ‫שאילתה‬ ‫לבצע‬ ‫אפשרות‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫שבה‬ L-‫ל‬ L′
-‫מ‬ ‫רדוקציה‬ ‫זוהי‬
L-‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫שולחים‬ ‫שאותה‬ f (x) ‫ופונקציה‬ L′
-‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫אותו‬ ‫ששולחים‬ x ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כלומר‬
:‫מתקיימים‬ ‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫שני‬ ‫כאשר‬
.x ∈ L′
⇐⇒ f (x) ∈ L .‫א‬
.‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ ‫הפונקציה‬ ‫כלומר‬ .(‫קבוע‬ c ‫)כאשר‬ Time (f (x)) = Θ (|x|
c
) .‫ב‬
.L′
≤p L :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫הרדוקציה‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬
.‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫ריצה‬ ‫זמן‬ = ‫קושי‬ ‫יותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫מבחינת‬ ‫לקושי‬ ‫הכוונה‬2
16

17. ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:15.1 ‫דוגמא‬
:‫הבאות‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
.A2 =
{
x x
2 ∈ N
}
,A1 =
{
x ‫ראשוני‬ x, x ≥ 3
}
.‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A2-‫ו‬ ,3-‫מ‬ ‫הגדולים‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A1
:‫הבאה‬ ‫הרדוקציה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ A1 ≤p A2 ,‫אזי‬
.x ∈ N :‫קלט‬
.f (x) ∈ N :‫פלט‬
.x ‫את‬ ‫קרא‬ .‫א‬
.3-‫מ‬ ‫וגדול‬ ‫ראשוני‬ x ‫האם‬ ‫בדוק‬ .‫ב‬
.x + 1 ‫את‬ ‫החזר‬ :‫כן‬ ‫אם‬ 1.
.x ‫את‬ ‫החזר‬ :‫אחרת‬ 2.
:‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫זאת‬ ‫כאן‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
f (x) =
{
x + 1 ‫ראשוני‬ x ≥ 3
x ‫אחרת‬
.f (x) = 18 ∈ A2-‫ו‬ x = 17 ∈ A1 :‫ואכן‬ f (x) = 18 ‫אזי‬ x = 17 ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫ואם‬
.f (x) = 27 /∈ A2-‫ו‬ x = 27 /∈ A1 ‫אזי‬ x = 27 ‫ניקח‬ ‫אם‬ :‫זאת‬ ‫ולעומת‬
.(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ f-‫ש‬ ‫)וכמובן‬
‫בדוגמה‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬ ‫אחרת‬ ‫לשפה‬ ‫אותה‬ ‫לנו‬ ‫מתרגמת‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫בעיה‬ ‫לנו‬ ‫פותרת‬ ‫אינה‬ ‫שהיא‬ - ‫הרדוקציה‬ ‫לגבי‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
‫ברדוקציות‬ ,‫הבעיות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫שניתן‬ ‫כמובן‬ ,‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להמחיש‬ ‫יותר‬ ‫שבאה‬ ‫פשוטה‬ ‫מאוד‬ ‫דוגמה‬ ‫זאת‬ 15.1
‫הפלט‬ ‫על‬ ‫תעבוד‬ ‫והפונקציה‬ ‫לפתרון‬ ‫כבדיקה‬ "‫ב"עד‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ,‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫איך‬ ‫נדע‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫יותר‬ ‫מתקדמות‬
.(13.2-‫ב‬ ‫שהוסבר‬ ‫כפי‬ ,‫למאמת‬ ‫העד‬ ‫מהכנסת‬ ‫שיוחזר‬
:‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫בעצם‬ ‫זה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬
L′
x•
(L′
)C x•
Lf(x)
LCf(x)
%%
99
‫הפולינומית‬ ‫הרדוקציה‬ ‫פעולת‬ :3 ‫איור‬
‫מעבירה‬ ‫רק‬ ‫הרדוקציה‬ .‫בשפה‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ ‫בשפה‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ (x) ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ,‫שיש‬ ‫הקלטים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מסמל‬ ‫עיגול‬ ‫כל‬
.‫אותה‬ ‫פותרת‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫לשנייה‬ ‫אחת‬ ‫מבעיה‬ ‫אותנו‬
.f (x) /∈ L2 ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ x /∈ L1 ‫אם‬ ‫אזי‬ ,L1 ≤p L2 ‫רדוקציה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬
.‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫בהכרח‬ ‫אינן‬ ‫אך‬ ‫ההפרדה‬ ‫על‬ ‫שומרות‬ (‫)הרדוקציות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫-שלמה‬C ‫שפה‬ 15.1
:15.1 ‫הגדרה‬
:‫מתקיים‬ L ∈ C ‫לכל‬ ‫אם‬ ,(C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫עבור‬ ‫)קשה‬ ‫-קשה‬C ‫הינה‬ L
L ≤p L
17

18. ‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
.‫-שלמה‬C ‫נקראת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ L ∈ C ‫אם‬
:‫אזי‬ ,(‫-שלמה‬NP ‫הינה‬ L ,‫)כלומר‬ L ∈ NPC ‫תהי‬
.NP P ‫קשה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ L /∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קשה‬ L ‫אם‬ .‫א‬
.NP ⊆ P ‫קלה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ ,L ∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קלה‬ L ‫אם‬ .‫ב‬
‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16
.‫האופטימיזציה‬ ‫גרסת‬ ‫את‬ ‫שמגדירה‬ ‫קלה‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ ‫יש‬ Karp ‫של‬ ‫הבעיות‬ 22 ‫ובפרט‬ ‫שלמות‬ NP-‫ה‬ ‫הבעיות‬ ‫למרבית‬
:‫הגדרה‬ ‫מעצם‬
‫הכרעה‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫חיפוש‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫אופטימיזציה‬ ‫גרסת‬
.‫יעיל‬ ‫חישוב‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫שקולות‬ ‫כולם‬ ‫למעשה‬
3 − SAT ‫דוגמת‬ 16.1
:‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫רק‬ ‫ישנם‬ 3 − SAT ‫עבור‬
.‫קשות‬ ‫שהן‬ ‫או‬ ‫קלות‬ ‫הגרסאות‬ ‫ששלושת‬ ‫או‬
‫שקילות‬ ‫דוגמת‬ 16.1.1
.‫החיפוש‬ ‫לגרסת‬ ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ NP-‫ב‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ P = NP ‫אם‬
:‫האלגוריתם‬
.‫החיפוש‬ ‫להכרעת‬ B ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫נראה‬ 3
SAT ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫בהינתן‬
φ (x1, . . . , xn) :‫קלט‬
."‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ"‫ש‬ ‫ומכריז‬ ‫עוצר‬ ‫החיפוש‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ-‫ש‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .‫א‬
:‫אחרת‬ .‫ב‬
:n ‫עד‬ 1-‫מ‬ ‫החל‬ i ‫משתנה‬ ‫לכל‬ (1)
-‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ φ (x1 ← v1, . . . , xi ← T, . . . xn ← vn) :‫כי‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .i
.‫הבא‬ ‫למשתנה‬ ‫ונמשיך‬ xi = T
.xi = F-‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ :‫אחרת‬ .ii
:‫האלגוריתם‬ ‫ריצת‬ ‫זמן‬
Θ (n · Time (A))
.P-‫ב‬ ‫הנ"ל‬ ‫האלגוריתם‬ ‫גם‬ ‫אזי‬ A ∈ P-‫ש‬ ‫ובכלל‬
:2 ‫הסבר‬
‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫כי‬ ‫שקבע‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫באותו‬ ‫השתמשנו‬ ,‫כלומר‬ ,‫ספיקה‬ ‫היא‬ φ ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫נאמר‬ ‫באלגוריתם‬ ‫השני‬ ‫בשלב‬
‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬ .‫אותה‬ ‫תספק‬ φ-‫ל‬ ‫שההשמה‬ ‫כך‬ T/F ‫בולאנית‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ xi ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,φ-‫ל‬ ‫מספקת‬
‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫)כאשר‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ F-‫ש‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ ‫לא‬ T ‫ואם‬ ‫משתנה‬ ‫משתנה‬
.φ-‫ל‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ‫מגלים‬ ‫היינו‬ ‫הראשון‬ ‫בשלב‬ ‫כבר‬ ‫אחרת‬ .(‫במשתנה‬
."‫שחורה‬ ‫"קופסה‬ ‫בתור‬ ‫בו‬ ‫משתמשים‬ ‫ואנחנו‬ ‫קיים‬ ‫שהוא‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אבל‬ ,A ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫מהו‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫שאנחנו‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬3
18

19. coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
DSR ‫שיטת‬ 17
‫הקלט‬ ‫כמות‬ ‫את‬ ‫במעט‬ ‫הורדנו‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ (3−SAT ‫בעיית‬ ‫עבור‬ ‫השקילות‬ ‫)דוגמת‬ 16.1.1-‫ב‬ ‫באלגוריתם‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬
.‫הנתון‬
....‫בודקים‬ ‫ואז‬ ‫הקלט‬ ‫את‬ ‫מפחיתים‬ ‫אנחנו‬ ‫פעם‬ ‫שכל‬ ‫הרעיון‬ - Downward Self Reducibility - DSR :‫נקרא‬ ‫זה‬ ‫דבר‬
(‫-דטרמיניסטי‬ ‫לא‬ ‫חישוב‬ NP ‫)הגדרת‬ ‫מטל"ד‬ 18
‫עוברים‬ - ‫לאחרת‬ ‫אחת‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מכל‬ ‫שעוברים‬ ‫במקום‬ ‫שבה‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ (‫דטרמיניסטית‬ ‫לא‬ ‫טיורינג‬ ‫)מכונת‬ ‫מטל"ד‬
.‫אחת‬ ‫מקונפיגורציה‬ ‫ליותר‬
δ (q, σ1, . . . , σk)
δ (q, σ1, . . . , σk)
55kkkkkkkkkkk
))‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚
...
δ
(
q, σ
(l)
1 , . . . , σ
(l)
k
)
.‫שונות‬ ‫תוצאות‬ x ‫אותו‬ ‫על‬ M ‫של‬ ‫שונות‬ ‫בהרצות‬ ‫יתכנו‬ ‫לכן‬
.T (n) ≤ Θ (|x|
c
) :‫אפשרית‬ ‫ריצה‬ ‫ולכל‬ x ‫שלכל‬ ‫כך‬ C ‫קבוע‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ ‫יעילה‬ ‫היא‬ ‫כי‬ M ‫כל‬ ‫נאמר‬
:(‫הרצות‬ ‫כמה‬ ‫בפועל‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫)אשר‬ x ‫על‬ M ‫של‬ ‫אפשרית‬ ‫הרצה‬ ‫בכל‬
‫כל‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ ‫אם‬ .M (x) = Accept ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסיימת‬ ‫מסוים‬ ‫קלט‬ ‫על‬ ,‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬
M (x) = ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסתיימת‬ ‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫אפילו‬ ‫אין‬ ,‫קרי‬ ,Reject-‫ב‬ ‫מסתימות‬ ‫האפשריות‬ ‫ההרצות‬
.Reject
.NPnd-‫ב‬ ‫הזה‬ ‫מהסוג‬ ‫המכונות‬ ‫של‬ ‫המחלקה‬ ‫את‬ ‫נסמן‬
:18.1 ‫משפט‬
NPnd = NP∃
.(14) NP ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫הרגילה‬ ‫ההגדרה‬ ‫זאת‬ NP∃ ‫כאשר‬
coNP ‫המחלקה‬ 19
coC ‫המחלקה‬ 19.1
:‫הבא‬ ‫באופן‬ coC ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫תמיד‬ ‫ניתן‬ C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫בהינתן‬
coC =
{
L LC
∈ C
}
=
{
LC
L ∈ C
}
.(‫החישוביות‬ ‫בתורת‬ ‫שנהוג‬ ‫)כמו‬ ‫שפה‬ ‫על‬ ‫ולא‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫שאנחנו‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬
.x /∈ L ⇐⇒ x ∈ LC
:‫וההפך‬ x ∈ L ⇐⇒ x /∈ LC
:‫כלומר‬
L LC
•x •y
.x /∈ LC
, y /∈ L :‫ולכן‬ ,x ∈ L, y ∈ LC
:‫למשל‬ ‫שלמעלה‬ ‫באיור‬
19

20. coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
coP = P 19.2
.(‫)ביעילות‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫ואת‬ ‫היות‬ coP = P ‫כי‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ P ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫במקרה‬
.‫ל"ד‬ ‫נתונים‬ ‫ובלי‬ ‫כמתים‬ ‫בלי‬ ‫מוגבלים‬ ‫במשאבים‬ ‫חישוב‬ ‫ע"י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ P
.‫וההפך‬ ‫מקבלים‬ ‫ללא‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫את‬ ‫להפוך‬ ‫הוא‬ P ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬
‫לפתור‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ (‫)עד‬ ‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫פתרון‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ NP-‫שב‬ ‫מכיוון‬ ‫יותר‬ ‫מורכב‬ ‫כבר‬ ‫המצב‬ coNP-‫ב‬
.‫העדים‬ ‫מבחינת‬ ‫הפוך‬ coNP ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫הוא‬ ‫שנצטרך‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬
‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫שמצב‬ ‫לכך‬ ‫פרט‬ M ‫למכונה‬ ‫שזהה‬ MC
‫במכונה‬ ‫נביט‬ T (n) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫אם‬
.MC
-‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫דוחה‬ ‫ומצב‬MC
-‫ב‬ ‫דוחה‬
Time (M (x)) = Time
(
MC
(x)
)
.Θ-‫ב‬ ‫צורך‬ ‫אין‬ ‫שאפילו‬ ‫כך‬ ‫לחלוטין‬ ‫זהה‬ ‫וזה‬
coNP =
{
L LC
∈ NP
}
=
{
LC
L ∈ NP
}
:coNP-‫ב‬ ‫נמצאות‬ ‫אשר‬ ‫שפות‬ ‫שתי‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
:19.1 ‫דוגמא‬
:φ ‫נוסחה‬ ‫של‬ ‫הספיקות‬ ‫לבעיית‬ ‫באשר‬
(SAT)
C
= SATC
=
{
⟨φ⟩ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ
}
.SATC
-‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ SAT-‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ ‫היא‬ φ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
:19.2 ‫דוגמא‬
:‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫בעיית‬
.‫3-צביע‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬ ‫האם‬
(3 − COL)
C
=
{
⟨G⟩ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G
}
.‫המשלימה‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫חיפשנו‬ ‫שלמעלה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬
.‫3-צביע‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ (3 − COL)
C
-‫ב‬ ‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ 3−COL-‫ב‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
‫כמתים‬ ‫באמצעות‬ coNP ‫הגדרת‬ 19.3
:‫נחליף‬ ‫שפשוט‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,∀, ∃ ‫כמתים‬ ‫עם‬ (14) NP ‫את‬ ‫הגדרנו‬
:L ∈ coNP ‫אם‬
x ∈ L ⇐⇒ ∀ ˜w ⇒ V (x, w) = Accept
x /∈ L ⇐⇒ ∃ ˜w ⇒ V (x, w) = Reject
:‫)תזכורת‬ ‫תתקבל‬ ‫לגרף‬ ‫שניתן‬ ‫צביעה‬ ‫כל‬ :‫אזי‬ ‫צביע‬ ‫שאינו‬ G ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ,(‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫)בעיית‬ 19.2 ‫לדוגמה‬ ‫בהמשך‬
.‫דחייה‬ ‫נקבל‬ - (w) ‫שלו‬ ‫לצביעה‬ ‫העד‬ ‫את‬ ‫שנתן‬ ‫ברגע‬ ‫אזי‬ ,‫צביע‬ G ‫ואם‬ (....3 − COLC
‫על‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬
20

21. ‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:3 ‫הסבר‬
‫אזי‬ (‫צביע‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ,‫)למשל‬ ‫בשפה‬ ‫קלט‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ :‫הפוך‬ ‫בדיוק‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫כאן‬ - 1 ‫בהסבר‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬
‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫הגרף‬ ‫אם‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ .‫צבעים‬ ‫בשלושה‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫לצבוע‬ ‫ניתן‬ ‫ולא‬ ‫היות‬ ‫לבדיקה‬ ‫עד‬ ‫כל‬ ‫תקבל‬ ‫המכונה‬
3 − COL-‫ב‬ ‫נהיה‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ - Reject ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ ‫אזי‬ - ‫אותה‬ ‫נקבל‬ ‫ואם‬ ,‫הגרף‬ ‫של‬ ‫חוקית‬ ‫צביע‬ ‫קיימת‬
.3 − COLC
-‫ב‬ ‫ולא‬
G ∈ 3 − COLC
⇐⇒ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G ⇐⇒ ∀ ˜w V (G, w) = Accept
G /∈ 3 − COLC
⇐⇒ ‫3-צביע‬ G ⇐⇒ ∃ ˜w V (G, w) = Reject
:19.1 ‫משפט‬
.LC
‫השפה‬ ‫הגדרת‬ ‫ובאמצעות‬ ‫הכמתים‬ ‫באמצעות‬ ‫ההגדרה‬ :‫שקולות‬ coNP ‫של‬ ‫ההגדרות‬ ‫שתי‬
NP ̸= coNP-‫ש‬ ‫ההשערה‬ 19.4
:‫שלמטה‬ ‫באיור‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬ .NP ̸= coNP :‫היא‬ ‫המרכזית‬ ‫ההשערה‬ ‫אבל‬ ,P ⊆ coNP-‫ו‬ P ⊆ NP :‫בבירור‬
P
coNPNP
rrrrrrrrrrrrrrrrr
vvvvvvvvvvvvvvvvv
:‫למשל‬
‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ φ-‫ש‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫מהווה‬ w ‫יחידה‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ φ ‫פסוקית‬ ‫עבור‬ ‫כי‬ SATC
/∈ NP ‫כי‬ ‫משוער‬
?‫ספיקה‬ ‫אינה‬ φ ‫כי‬ ‫יעיד‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫איזה‬
...3 − COLC
‫לגבי‬ ‫כנ"ל‬
co (NPC) = (coNP) C
IV ‫חלק‬
PH - ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬
21

22. coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20
‫משתי‬ ‫אחת‬ ‫באף‬ ‫נמצאות‬ ‫שלא‬ ‫בעיות‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ ‫אבל‬ ,coNP-‫ב‬ ‫או‬ NP-‫ב‬ ‫שהן‬ (‫)שפות‬ ‫בעיות‬ ‫עם‬ ‫התעסקנו‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬
...‫הללו‬ ‫המחלקות‬
‫לפתרון‬ ,‫אחד‬ ‫כמת‬ ‫רק‬ ‫היה‬ coNP-‫וב‬ NP-‫ב‬ .‫בבעיה‬ ‫שיש‬ ‫הכמתים‬ ‫לכמות‬ ‫להתייחס‬ ‫צריך‬ ‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬
.‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫שמצריכה‬ ‫לבעיה‬ ‫דוגמה‬ ‫נראה‬ ‫עכשיו‬ ‫אבל‬
(‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫עם‬ ‫לבעיה‬ ‫)דוגמה‬ ‫המזערי‬ ‫המעגל‬ ‫בעיית‬ 20.1
:‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬
MinCircut =
{
⟨C⟩
‫הוא‬ C ‫הבולאני‬ ‫המעגל‬
fC ‫לחישוב‬ ‫מזערי‬ ‫בגודל‬ ‫מעגל‬
}
C ‫על‬ ” < ” ‫יחס‬ .C ‫של‬ ‫בגרף‬ ‫הצלעות‬ ‫כמספר‬ ‫מוגדר‬ ‫גודל‬ ‫כאשר‬ ,C2-‫מ‬ ‫קטן‬ C1 ‫המעגל‬ ‫כאשר‬ - C1 < C2 :‫סימון‬
4
‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬
∀C′
(
(C′
< C) → ∃y (C′
(y) ̸= C (y))
)
.‫למעגלים‬ ‫קלט‬ ‫הוא‬ y ‫כאשר‬
.‫שגוי‬ ‫מעגל‬ C′
‫אז‬ C-‫מ‬ ‫יותר‬ ‫קטן‬ C′
‫אם‬ ,C′
‫אחר‬ ‫מעגל‬ ‫לכל‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫היא‬ ‫אומרת‬ ‫שלמעלה‬ ‫שהנוסחה‬ ‫מה‬
:‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫התקיימו‬ ‫כאן‬ ‫בבעיה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.∀, ∃ :‫כימותים‬ ‫שני‬ ‫היו‬ .‫א‬
.|C′
| , |y| = poly (n) ‫מחרוזת‬ ‫על‬ ‫היה‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ .‫ב‬
.‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫היה‬ ‫התנאי‬ .‫ג‬
:‫מתקיימים‬ ‫התנאים‬ ‫שלושת‬ ‫בה‬ ‫שגם‬ ‫דוגמה‬ ‫עוד‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬
:φ-‫ב‬ ‫לספק‬ ‫מצליחה‬ w ‫שההשמה‬ ‫הפסוקיות‬ '‫מס‬ = V al (φ, k)
(φ, k) ∈ EXACT − SAT ⇒
(
∃w1 (Val (φ, w1) ≥ k)
)
∧
(
∀w2 (Val (φ, w2) ≤ k)
)
‫של‬ ‫השמטה‬ ‫כל‬ ‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ ‫שאינה‬ φ ‫נוסחה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ - Critic − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬
.‫לספיקה‬ ‫אותה‬ ‫תהפוך‬ φ-‫מ‬ ‫שרירותית‬ ‫פסוקית‬
:x ∈ Critic − SAT
(
∀w (V (φ, w)) = Reject
‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬
)
∧
(
∃w1, . . . , wm
∧
1≤i≤m
(∨ (φCi, wi) = Accept)
‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬
)
‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫לכן‬ ,i ‫פסוקית‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫אחד‬ ,‫הללו‬ (‫הללו‬ ‫)ההשמות‬ ‫הפתרונות‬ ‫כל‬ ‫קיימים‬ ‫שיהיו‬ ‫חייבים‬ - ∃w1 . . . , wm
.‫אחרת‬ ‫התאמה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫שנסיר‬ ‫פסוקית‬ ‫ולכל‬ - ‫אחד‬ ‫פתרון‬ ‫עבור‬ ‫רק‬ ‫תקף‬ ‫זה‬ ‫אז‬ ‫כי‬ - ”∃w...” :‫כמו‬ ‫משהו‬ ‫לרשום‬
.i-‫ה‬ ‫הפסוקית‬ ‫פחות‬ φ (‫)הקלט‬ ‫הפסוק‬ ‫זה‬ - φCi
.φCi-‫ל‬ ‫המספקת‬ ‫ההשמה‬ ‫זאת‬ - wi
.‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫מעגל‬ ‫איזה‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ,‫כלומר‬4
22

23. ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21
‫סימונים‬ 21.1
.V (x) = Accept-‫ש‬ ‫פירושו‬ V (x)
.V (x) = Reject-‫ש‬ ‫פירושו‬ ¬V (x)
.‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫המשתנים‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ - ∃, ∀
ΠkP-‫ו‬ ΣkP 21.2
.(‫קבוע‬ ‫הוא‬ c ‫)כאשר‬ Θ (|x|
c
) ≥ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫שרצה‬ ‫מכונה‬ ‫זאת‬ - M = V ‫ההגדרות‬ ‫בכל‬
‫המשמעות‬ ‫המחלקה‬
x ∈ L ⇐⇒ V (x)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ P = Σ0P = Π0P
x ∈ L ⇐⇒ ∃w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ NP = Σ1P
x ∈ L ⇐⇒ ∀w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ coNP = Π1P
x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ2P
x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π2P
x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2∃w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ3P
x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2∀w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π3P
x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ :L ∈ ΣkP
x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ : L ∈ ΠkP
.k ‫זוגיות‬ ‫לפי‬ ‫נקבע‬ Q ∈ {∀, ∃} ‫כאשר‬
ΣkP, ΠkP ⊆ Σk+1P, Πk+1P
PH ‫הגדרת‬ 21.3
:‫הבא‬ ‫האיור‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
:‫כלומר‬ ,‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫זה‬ PH
PH =
∪
k∈N
ΣkP =
∪
k∈N
ΠkP
:‫לזכור‬ ‫שכדאי‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬ ‫הנה‬ ,‫כמו-כן‬
co (ΣkP) = ΠkP
co (ΠkP) = ΣkP
23

24. ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
P
coNP NP
••••••••••••
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Π2P Σ2P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
qqqqqqqqqqqqqqq
Π3P Σ3P
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
PH
QkP ‫מחלקה‬ ‫כל‬
‫מה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫כוללת‬
,‫למשל‬ ,‫שמתחתיה‬
‫מה‬ ‫מוצג‬ ‫משמאל‬ ‫באיור‬
:Σ2P ‫המחלקה‬ ‫כוללת‬
‫האזור‬ ‫בתוך‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬
(.‫המקווקו‬ ‫בקו‬ ‫שמסומן‬
P
coNP NP
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Π2P Σ2P
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
Π3P Σ3P
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
PH
‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ :4 ‫איור‬
'‫וכו‬ P ̸= NP ‫לגבי‬ ‫מרכזיות‬ ‫השערות‬ 21.4
ΠkP Σk+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∃ ‫"לכמת‬ P ̸= NP
ΣkP ∀k+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∀ ‫"לכמת‬ P ̸= coNP
ΣkP ̸= ΠkP - "(‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫כוח‬ ‫)אותו‬ ‫שונה‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ‫שונים‬ ‫"לכמת‬ NP ̸= coNP
‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 21.5
‫והופכות‬ ‫קורסות‬ ‫הקומות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ .‫קורס‬ ‫שמעל‬ ‫מה‬ ‫כל‬ - ‫שמעליה‬ ‫לזאת‬ ‫שווה‬ ‫הרמות‬ ‫שאחת‬ ‫שמספיק‬ ‫אומר‬ ‫המשפט‬
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ .‫אחת‬ ‫קומה‬ ‫להיות‬
P = NP ⇒ P = PH
24

25. ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
V ‫חלק‬
‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬
.‫ריצה‬ ‫זמן‬ ‫אחרי‬ ‫בחשיבותו‬ ‫השני‬ ‫המשאב‬ ‫הוא‬ ‫זיכרון‬
.S-‫ב‬ ‫אותו‬ ‫נסמן‬
:‫אזי‬ ,(‫שעון‬ ‫)פעימות‬ ‫זמן‬ - T ,‫זיכרון‬ - S
S ≤ T
.‫לזמן‬ ‫בניגוד‬ ‫למחזר‬ ‫ניתן‬ ‫וזיכרון‬ ‫היות‬ ,S ≪ T :‫עבורן‬ ‫בעיות‬ ‫שיש‬ ‫משערים‬ ‫וכמו-כן‬
S ≪ T ‫שבו‬ ‫למקרה‬ ‫דוגמת‬ 22
:‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫פסוקיות‬ m ‫עם‬ SAT ‫של‬ ‫הדוגמה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬
.‫השמות‬ 2n
-‫ה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫בלולאה‬ ‫סורקים‬
.”Accept” ‫ועונים‬ ‫עוצרים‬ ‫אזי‬ ‫מספקת‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ φ-‫ב‬ ‫מציבים‬ w ‫השמה‬ ‫כל‬
.”Reject” ‫עונים‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫נמצאה‬ ‫לא‬ ‫אם‬ ,‫הסריקה‬ ‫בסוף‬
:‫סה"כ‬
S (n) = &&2n
· n + Θ (log m)
(‫מאוד‬ ‫קצר‬ ‫)משהו‬ ‫החישוב‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫רק‬ ‫שומרים‬ ‫אנחנו‬ ,‫זיכרון‬ ‫ממחזרים‬ ‫שאנחנו‬ ‫היא‬ 2n
‫את‬ ‫שביטלנו‬ ‫הסיבה‬
.‫משתמשים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבה‬ ‫ההשמה‬ ‫של‬ ‫אינדיקציה‬ +
.SAT ∈ D − SPACE (‫הקלט‬ ‫)אורך‬
.2Ω(n)
‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬
.NP, coNP, PH ⊆ P − SPACE
‫פולינומי‬ ‫זיכרון‬
:‫למעשה‬
:‫סביר‬ S ‫עבור‬
S ≤ T ≤ 2Θ(S)
.(‫אותו‬ ‫למחזר‬ ‫היכולת‬ ‫)בגלל‬ ‫מזמן‬ ‫חזק‬ ‫יותר‬ ‫הרבה‬ ‫שזיכרון‬ ‫משערים‬
‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23
.(9 ‫)חלק‬ ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ - ‫כאן‬ ‫בהרחבה‬ ‫מ"ט‬ ‫על‬ ‫דובר‬ ‫בעיקרון‬
.‫ופלט‬ ‫עבודה‬ ,‫קלט‬ :‫במ"ט‬ ‫סרטים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנן‬
.S (n) ‫בזיכרון‬ L ‫שפה‬ ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫כי‬ ‫אומרים‬
.x /∈ L ⇐⇒ M (x) = Reject ,x ∈ L ⇐⇒ M (x) = Accept
.c · S ≥ ‫העבודה‬ ‫בסוף‬ M ‫ניגשת‬ ‫שאליהם‬ ‫התאים‬ ‫שמספר‬ ‫כל‬ c ‫קבוע‬ ‫קיים‬
25

26. ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
S : N → N
?‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ 23.1
.‫אפשרי‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫חסם‬ ‫למצוא‬ ,‫כלומר‬ .‫האפשרי‬ ‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫לעמוד‬ ‫ננסה‬
.‫קונפיגורציה‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫חישוב‬ ‫כל‬ - (9.1) ‫החישוב‬ ‫אופן‬ :‫כאן‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מהי‬ ‫על‬ ‫לקרוא‬ ‫ניתן‬ ‫כזכור‬
:‫חסמים‬ ‫אלו‬ ‫נחפש‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬
n · S · |Σ|S
· |Q|
.‫הקלט‬ ‫בסרט‬ ‫הקורא‬ ‫הראש‬ ‫מיקום‬ n
.‫העבודה‬ ‫בסרט‬ ‫מיקום‬ S
,‫כלומר‬ ,Σ-‫מ‬ ‫אחת‬ ‫אות‬ ‫יש‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שבכל‬ ‫בסרט‬ ‫תאים‬ S ‫לנו‬ ‫יש‬
.‫אפשרויות‬ |Σ| ‫יש‬ ‫תא‬ ‫כל‬ ‫עבור‬
|Σ|
S
.‫שישנם‬ ‫המצבים‬ ‫מספר‬ Q
.‫אותו‬ ‫לצמצם‬ ‫נוכל‬ ‫ולכן‬ ,S < |Σ|
S
:|Σ| > 2 ‫עבור‬ ,‫כעת‬
.S ≥ Ω (log n) ‫עבור‬ 5
n · 2Θ(S)
= 2Θ(S)
:‫כמו-כן‬
‫נכנס‬ ‫ואז‬ - ‫אליה‬ ‫שנחזור‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫תהיה‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫כי‬ ,‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫יעלה‬ ‫שהזמן‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ ,‫כעת‬
.(‫מעגל‬ ‫ייסגר‬ ‫בהכרח‬ ‫אז‬ ‫)כי‬ ‫אינסופית‬ ‫ללולאה‬
:‫לכן‬
T ≤ 2Θ(S)
'
&
$
%
‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24
.log (n) :‫מזערי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬
.poly (n) :‫מרבי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬
:‫נסמן‬
P − SPACE =
∪
k∈N
D − SPACE
(
nk
)
L = L − SPACE = D − SPACE ∈ (log n)
.‫לוגריתמי‬ ‫זיכרון‬ - T ≤ 2Θ(log n)
= nΘ(1)
⇐= S = Θ (log n)
‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 24.1
:‫מקום‬ ‫סיבוכיות‬ ‫לגבי‬ (12.1 ‫)משפט‬ ‫זמן‬ ‫סיבוכיות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫למשפט‬ ‫מאוד‬ ‫בדומה‬
:‫אזי‬ S1 ≪ S2 ‫אם‬
D − SPACE (S1) D − SPACE (S2)
.L P − SPACE :‫ובפרט‬
.40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 6
‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬
.n · 2Θ(S) = 2Θ(S)+log(n) = 2Θ(S) :‫כי‬5
.‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬6
26

27. ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ 24.2
L ⊆ P ⊆ NP ⊆ P − SP ACE
‫אחד‬ ‫אף‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫איך‬ ‫ידוע‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ , ‫בעצם‬ ‫הוא‬ ⊆-‫ה‬ ‫אחד‬ ‫שלפחות‬ ‫בוודאי‬ ‫אזי‬ L P − SPACE-‫ו‬ ‫היות‬
.... -‫מה‬
?L ̸= NP :‫פתוחה‬ ‫בעיה‬ 24.2.1
?‫לוגריתמי‬ ‫בזיכרון‬ ‫כריעה‬ SAT ‫האם‬ ‫היא‬ ‫הפתוחה‬ ‫והשאלה‬ 2Θ(n)
‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬
?P ̸= P − SPACE ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫גם‬ ‫וכמו-כן‬
27

28. ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
VI ‫חלק‬
‫במשחקים‬ ‫מנצחות‬ ‫אסטרטגיות‬
‫משחקים‬ ‫הגדרת‬ 25
.‫לסירוגין‬ ‫משחקים‬ ‫אשר‬ ‫שחקנים‬ ‫שני‬ ‫ישנם‬ ‫במשחק‬ N
.|x| = n .‫פתיחה‬ ‫מצב‬ = ‫קלט‬ N
.‫שחקן‬ ‫מאף‬ ‫מוסתר‬ ‫לא‬ ‫מידע‬ ‫שום‬ ,‫כלומר‬ - ‫מלא‬ ‫מידע‬ ‫קיים‬ N
:(poly (n) ‫)בזמן‬ ‫ביעילות‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ N
.‫נוכחי‬ ‫צעד‬ ‫בעקבות‬ ‫משחק‬ ‫מצב‬ ‫לעדכן‬ R
.‫התוצאה‬ ‫מה‬ - ‫כן‬ ‫ואם‬ ‫משחק‬ ‫סיום‬ ‫מצב‬ ‫זהו‬ ‫האם‬ ‫לקבוע‬ R
.poly (n) ≥ ‫במשחק‬ ‫הצעדים‬ ‫מספר‬ R
. poly (n) ≥ ‫באורך‬ ‫תיאור‬ ‫צעד‬ ‫ולכל‬ ‫מצב‬ ‫לכל‬ R
.‫שחור/תיקו‬ ‫לבן/ניצחון‬ ‫ניצחון‬ :‫ב‬ ‫מסתיים‬ ‫משחק‬ ‫כל‬ N
‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26
:‫הבאים‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫מתקיים‬ ‫לעיל‬ ‫שתואר‬ ‫כפי‬ ‫משחק‬ ‫לכל‬
.‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫ללבן‬ .‫א‬
.‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשחור‬ .‫ב‬
.‫תיקו‬ ‫שמבטיחה‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשניהם‬ .‫ג‬
?‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ (‫)לבן‬ ‫הפותח‬ ‫שלשחקן‬ ‫רושמים‬ ‫כיצד‬ 26.1
G (· · · ) =
{
Accept ‫מנצח‬ ‫לבן‬
Reject ‫אחרת‬
28

29. ‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
?‫נותרו‬ ‫צעדים‬ ‫כמה‬ ‫מסמנים‬ ‫כיצד‬ 26.2
∃w1G (x, w1) 1
∃w1∀w2G (x, w1, w2) 2
∃w1∀w2∃w3G (x, w1, w2, w3) 3
...
∃w1∀w2 · · · QwmG (x, w1, w2, . . . , wm) m
TQBF 27
:True Quantified Boolean Formula ‫בשיטת‬ ‫זה‬ ,‫במשחק‬ ‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ ‫להכריע‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
:‫לפסוק‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הרעיון‬



∃x1∀x2∃x3 · · · Qmφ (· · · )
ψ
‫אמיתי‬ ‫הפסוק‬



‫מפצלים‬ ‫פשוט‬ ‫אזי‬ ,‫אחד‬ ‫מביט‬ ‫יותר‬ ‫מכיל‬ ‫שלמעלה‬ wi-‫ו‬ ‫במידה‬ .‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫הוא‬ xi ‫וכל‬ ,‫כמתים‬ ‫ללא‬ φ (· · · ) ‫כאשר‬
.‫ביטים‬ ‫למספר‬ wi ‫כל‬
TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 27.1
.43 ‫בעמוד‬ 1 ‫אלגוריתם‬ :‫כאן‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬
‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 27.2
:‫כלומר‬
.TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE .‫א‬
.PSPACE-‫ב‬ ‫קשה‬ ‫הכי‬ ‫גם‬ ‫והיא‬ PSPACE ‫את‬ ‫מייצגת‬ TQBF .‫ב‬
.L ≤p T QBF :‫מתקיים‬ L ∈ PSPACE ‫לכל‬
TQBF ‫של‬ ‫הזיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 27.3
:(‫הכמתים‬ ‫)מספר‬ m > 1 ‫עבור‬
S (m, l) = S (m − 1, l)
.S (m, l) = Θ (m) + Θ (l) :‫זיכרון‬ ‫במחזור‬ ‫ונשתמש‬ 2m
-‫ה‬ ‫את‬ ‫נוריד‬ ‫ולכן‬ 2m
‫הינו‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫פתרון‬
.(45 ‫)עמוד‬ 8 ‫הסבר‬ ‫לאחר‬ ‫מיד‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫לכך‬ ‫ההסבר‬ ‫את‬ .Θ
(
S2
)
‫והוא‬ ‫לינארי‬ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כעת‬
‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28
.‫מעריכית‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - P ̸= NP
.‫סימטרית‬ ‫לא‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - coNP ̸= NP
:‫אזי‬ S (n) ≥ Ω (n) ‫אם‬ ."‫"סדירה‬ ‫זיכרון‬ ‫פונקציית‬ S : N → N ‫תהי‬
:28.1 ‫משפט‬
.(Savitch ‫)משפט‬ ND − SPACE (S) ⊆ D − SPACE
(
S2
)
7
44 ‫בעמוד‬ L ≤p TQBF :‫כאן‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫למשפט‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬
.‫המתבקשת‬ ‫המסקנה‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫ההוכחה‬ ‫בסוף‬7
29

30. ‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
.(Immerman Szelopcsenyi) coND − SPACE (S) = ND − SPACE (S)
VII ‫חלק‬
(‫אוב‬ ‫)פונקציית‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬
(1643) ‫האורקל‬ ‫בפני‬ ‫ניצבים‬ ‫ואכילס‬ ‫תטיס‬
‫רקע‬ 29
.‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫נוכל‬ ‫בעתיד‬ ‫והאם‬ ,P = NP ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫מצליחים‬ ‫איננו‬ ‫מדוע‬ ‫היא‬ ‫השאלות‬ ‫אחת‬
‫לא‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫ומדוע‬ ‫נפתרה‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫היא‬ ‫מדוע‬ ‫הסבר‬ ‫שמציע‬ (BGS - Baker Gill Solovay) ‫מאמר‬ ‫פורסם‬ 1975 ‫בשנת‬
....‫שלנו‬ ‫ההוכחות‬ ‫מערכת‬ ‫עם‬ ‫תיפתר‬
.(‫אוב‬ ‫פונקציית‬ :‫)או‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ - ‫חדש‬ ‫כלי‬ ‫גויס‬ ‫כך‬ ‫לשם‬
‫אורקל‬ ‫גישת‬ 29.1
.‫מקבילים/דמיוניים‬ ‫יקומים‬ ‫על‬ ‫כרגע‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬
M :‫כלומר‬ .O-‫ל‬ ‫אורקל‬ ‫גישת‬ ‫יש‬ M ‫מכונה‬ ‫לכל‬ ‫היקום‬ ‫שבאותו‬ (‫ויחידה‬ ‫)אחת‬ O ‫שפה‬ ‫ישנה‬ ‫מקביל‬ ‫ביקום‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
.x ∈ O ‫האם‬ - ‫מהצורה‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬ ‫נכונה‬ ‫תשובה‬ ‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ ‫מקבלת‬
‫גם‬ ‫ומותר‬ x1, . . . , xn−1 ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫שאילתות‬ ‫כמה‬ ‫אורקל‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫לשאול‬ ‫מותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫אדפטיבית‬ ‫היא‬ ‫הגישה‬
.(‫השאילתות‬ ‫בבניית‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫)המחיר‬ .‫בקודמותיה‬ ‫תלויה‬ ‫תהיה‬ xn ‫שאילתה‬ ‫שכל‬
‫סימונים‬ 29.2
.O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ M ‫מכונה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ MO
(x)-‫ב‬ ‫מסמנים‬
.O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ (P-‫ה‬ ‫)בגלל‬ (14) ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - PO
.O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ ‫ל"ד‬ ‫באופן‬ ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - NPO
.‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫באמצעות‬ ‫ביעילות‬ SAT ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ ‫שבו‬ ‫יקום‬ ‫זה‬ - PSAT
:‫למשל‬
.‫כמותו‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SAT ∈ PSAT
.‫להפך‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SATC
∈ PSAT
30

31. ‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:‫תזכורת‬
‫קופסה‬ ‫מעין‬ ‫כמו‬ ,‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ x ∈ O ‫האם‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫מקביל‬ ‫שביקום‬ ‫שפה‬ ‫זאת‬ - O
.‫שחורה‬
.‫בודקים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאותו‬ ‫הקלט‬ ‫זה‬ - x
.NP, coNP ⊆ PSAT
:‫כי‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬
:‫למשל‬ ,‫שאילתות‬ ‫שתי‬ ‫ידרשו‬ (∃ · · · ) ∧ (∀ · · · ) ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫בהיררכיה‬ 2 ‫ברמה‬ ‫בעיות‬
:29.1 ‫דוגמא‬
.Exact − SAT =
{
(φ, k) Val (φ) = K
}
:‫אםם‬ (φ, k) ∈ E.S.
[∃w1 Val (φ, w1) ≥ k]
(φ, k) ∈ L
‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬
f (φ, k) ‫חיובית‬
∧ [∀w2 Val (φ, k) ≤ k]
‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬
f (φ, k + 1) ‫שלילית‬
.‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫יש‬ ‫כי‬ L ∈ NP - L =
{
(φ, k) Val (φ) ≥ k
}
‫כאשר‬
.L≤p
SAT :‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ ‫היא‬ f ‫כאן‬
‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ - ‫מסורתית‬ ‫הוכחה‬ 29.3
: ‫טיעון‬ ‫אחר‬ ‫טיעון‬ ,‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫לרשום‬ ‫נרצה‬ ‫אם‬
φ1 ⊢ φ2 ⊢ · · · ⊢ φm
.O ‫שרירותי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫תיקונים‬ ‫ללא‬ ‫תקף‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ φi ⊢ φi+1 ‫מעבר‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬
:‫מסורתיות‬ ‫להוכחות‬ ‫דוגמאות‬
.‫הזמן‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫א‬
.‫המקום‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫ב‬
.NP∃ = NPnd ‫ההגדרות‬ ‫שקילות‬ .‫ג‬
.P ⊆ NP .‫ד‬
BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ 29.4
:29.1 ‫משפט‬
.PO
̸= NPO
:‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬
.P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO
= NPO
‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS
:29.2 ‫משפט‬
.PO
= NPO
:‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P = NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬
.P = NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO
̸= NPO
‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS
31

32. ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
:4 ‫הסבר‬
‫אותה‬ ‫בדיוק‬ ‫היא‬ A ‫הוכחה‬ :‫כלומר‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ (A ‫לה‬ ‫)נקרא‬ ‫הוכחה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬
.PO
̸= NPO
:‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫אורקל‬ ‫ובלי‬ ‫אורקל‬ ‫עם‬ ‫הוכחה‬
,¬α ‫אז‬ ¬β ‫אם‬ :‫לביטוי‬ ‫שקול‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫מלוגיקה‬ ‫יודעים‬ ‫ואנחנו‬ ,β ‫אז‬ α ‫אם‬ :‫מהצורה‬ ‫ביטוי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כעת‬
:‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬
.(¬α) P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ (¬β) PO
= NPO
‫שמקיים‬ ‫אורקל‬ [‫]קיים‬ ‫יש‬ ‫אם‬
.BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫זה‬ .=←↛= :‫סימנים‬ ‫להפוך‬ ‫רק‬ ‫בדיוק‬ ‫משפט‬ ‫אותו‬ ‫לכתוב‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬
:A, B ‫אורקלים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
.(29.1 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PA
= NPA
.(29.2 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PB
̸= NPB
(41 ‫)עמוד‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ,(‫חלקיו‬ ‫שני‬ ‫)על‬ ‫המשפט‬ ‫הוכחה‬
VIII ‫חלק‬
PCP-‫ה‬ ‫משפט‬
.‫הראשונה‬ ‫המודפסת‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מחזיק‬ (1395-1468) ‫גוטנברג‬ ‫יוהן‬
?‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ ‫מהי‬ 30
:‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬
.‫טענה‬ - φ
.‫אמיתית‬ ‫שהטענה‬ V ‫את‬ ‫לשכנע‬ ‫ניסיון‬ - ‫טיעון‬ - P
.‫הטיעון‬ ‫נכונות‬ ‫את‬ ‫שבודק‬ - ‫מוודא‬ - V
:‫דורשים‬ ‫שאנחנו‬ ‫תנאים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנם‬
‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31
‫שלמות‬ 31.1
:‫אמיתית‬ φ
32

33. PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
∃P V (φ, P) = Accept ⇐ x ∈ L
.∃P Pr [V (φ, P) = Accept] = 1 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬
‫נאותות‬ 31.2
:‫שקרית‬ φ
∀P V (φ, P) = Reject ⇐ x /∈ L
.∀P Pr [V (φ, P) = Reject] > 1
3 ‫או‬ ∀P Pr [V (φ, P) ̸= Reject] < 1
3 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬
PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32
‫דגימה‬ ‫שבאמצעות‬ ‫הוא‬ ‫היתרון‬ ‫אבל‬ ,‫בנפח‬ ‫וכמה‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מגדילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ PCP-‫ה‬ ‫במשפט‬ ‫הרעיון‬
‫בהסתברות‬ ‫או‬ ,‫נכונה‬ ‫ההוכחה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫נוכל‬ ‫אנחנו‬ ,(‫המקורית‬ ‫להוכחה‬ ‫ביחס‬ ‫קטן‬ ‫)שהוא‬ ‫ביטים‬ ‫של‬ ‫קבוע‬ ‫מספר‬ ‫של‬
.‫לא‬ ‫שהיא‬
(1
3 >
)
‫כלשהי‬
:‫סימון‬
L ∈ PCP (r, q)
.‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ q-‫ו‬ ,‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ - r ‫כאשר‬
:‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬
PCP (r, q) =



‫לטענות‬ ‫עבורן‬ ,L ‫השפות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬
‫מטבע‬ ‫הטלות‬ Θ (r) ‫עם‬ ‫יעיל‬ V ‫יש‬ x ∈ L
‫מההוכחה‬ ‫ביטים‬ Θ (q) ‫ו‬



:‫יעילות‬ ‫נגדיר‬ ‫כעת‬
‫יעילות‬ 32.1
.n = |x| :‫שמקיים‬ V ‫יש‬ ‫אם‬
,poly (n) ≥ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כאשר‬
,Θ (r) ≥ ‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫וכאשר‬
.Θ (q) ≥ (‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫)מספר‬ ‫השאילתות‬ ‫ומספר‬
:‫למשל‬
NP = PCP (0, poly (n))
:‫הוא‬ ‫להוכיח‬ ‫נרצה‬ ‫שאנחנו‬ ‫המשפט‬
NP = P CP (Θ (log n) , Θ (1))
.45 ‫בעמוד‬ NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ‫ההוכחה‬
33

34. ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
IX ‫חלק‬
IP - ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכות‬
‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33
.‫ודו-שיח‬ ,‫הסתברות‬ :‫דברים‬ ‫שני‬ ‫משלבת‬ ‫אשר‬ ‫מתקדמת‬ ‫הוכחות‬ ‫במערכת‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬ ‫בעיקרון‬
:‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫הדו-שיח‬ ‫לגבי‬ ‫אבל‬ ,‫בהמשך‬ ‫נפגוש‬ ‫עוד‬ ‫אנחנו‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬
.‫מוכיח‬ - P-‫ו‬ ,‫מוודא‬ - V ‫ישנו‬
...‫לשניהם‬ ‫זהה‬ x ∈ L ‫מהסוג‬ ‫טענות‬
.‫לו‬ ‫עונה‬ P-‫ו‬ P-‫ל‬ ‫שאילתה‬ ‫ושולח‬ ‫השיחה‬ ‫את‬ ‫פותח‬ V
‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ 33.1
:‫בניהן‬ ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ ‫מתנהל‬ ‫כך‬
P V
q1
qq™™™™™™™™™™™™™™™
r2
--‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘
...
qk−1
qq™™™™™™™™™™™™™™™
rk
--‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘
:‫כך‬ ‫מסומן‬ ‫והוא‬ ,‫צעדים‬ k-‫ב‬ ‫פרוטוקול‬ ‫נקרא‬ ‫הזה‬ ‫הפרוטוקול‬
L ∈ IP [k]
V = (x,⃗c, q1, r2, . . . , qk−1, rk) ‫כאשר‬
‫שלמות‬ 33.2
:x ∈ L
8
∃P Pr
[
V P
(x) = Accept
]
= 1
.‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .V P (x) ‫רושמים‬ ‫אנחנו‬ V (x, P) ‫לרשום‬ ‫במקום‬8
34

35. ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
‫נאותות‬ 33.3
:x /∈ L
∀P Pr
[
V P
(x) = Reject
]
≥
1
2
.P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫אינטראקציה‬ ‫שיש‬ ‫בכך‬ NP-‫מ‬ ‫שונה‬ ‫זה‬
‫יעילות‬ 33.4
.poly (|x|) ‫בזמן‬ ‫רץ‬ V
‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34
:‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ G0
∼= G1 ‫ומסומנים‬ ‫איזומורפים‬ ‫נקראים‬ G0, G1 ‫גרפים‬ ‫שני‬
π : V (G0) → V (G1)
.‫ועל‬ ‫ערכית‬ ‫חד-חד‬ ‫שהיא‬
‫להיות‬ ‫חייבים‬ ‫שלגרפים‬ ‫שמבטיח‬ ‫)מה‬ ‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ G1 ‫של‬ ‫לקודקודים‬ G0 ‫של‬ ‫מהקודקודים‬ ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ,‫כלומר‬
:‫כלומר‬ ,"‫צלעות‬ ‫"שומרת‬ ‫גם‬ ‫שהיא‬ ,(‫קודקודים‬ ‫של‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬
{u, v} ∈ E (G0) ⇐⇒ {π (u) , π (v)} ∈ E (G1)
.G1-‫ב‬ {π (u) , π (v)} ‫צלע‬ ‫ישנה‬ ‫אזי‬ G0-‫ב‬ {u, v} ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬
‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 34.1
G0 G1
?>=<89:;1
bbbbbb
?>=<89:;1
FFFFFFFFFFF
?>=<89:;5
?>=<89:;2 ∼= ?>=<89:;5 ?>=<89:;2
?>=<89:;4 ?>=<89:;3 ?>=<89:;4
ppppppppppp ?=89:;3
xxxxxxxxxxx
‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ :5 ‫איור‬
GISO, GNISO ‫השפות‬ 34.2
GISO = GI =
{
⟨G0, G1⟩ G0
∼= G1
}
.π ‫היא‬ ‫לכך‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫כי‬ GI ∈ NP
.GI ∈ P ‫כי‬ ‫משערים‬
GNISO =
{
⟨G0, G1⟩ G0 G1
}
35

36. ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
.GNISO ∈ coNP ‫בבירור‬
.GISO /∈ NPC ‫וכי‬ GNISO /∈ NP :‫כי‬ ‫משערים‬
GNISO ∈ IP [2] ‫כי‬ ‫ההוכחה‬ 35
.G0 G1 ‫כי‬ ‫היא‬ ‫הטענה‬ :‫תזכורת‬
:‫כך‬ ‫פועל‬ P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫הפרוטוקול‬
P-‫ל‬ ‫ושולח‬ .π ‫אחידה‬ ‫תמורה‬ ‫ומגריל‬ (G0, G1 ‫הגרפים‬ ‫משני‬ ‫אחד‬ ‫בעצם‬ ‫)שזהו‬ b ∈ {0, 1} ‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫מגריל‬ V .‫א‬
.π (Gb) ‫את‬
.c ‫ביט‬ ‫בחזרה‬ ‫ושולח‬ b ‫מהו‬ ‫לנחש‬ ‫מנסה‬ P .‫ב‬
V (G0, G1, b, π, c) =
{
Accept c = b
Reject c ̸= b
.‫ברורה‬ V ‫של‬ ‫היעילות‬
:‫שלמות‬
.G ∈ π (G0)∧G ∈ π (G1)-‫ש‬ ‫כך‬ G ‫גרף‬ ‫אף‬ ‫אין‬ ‫כלומר‬ , 9
‫זרות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ ,(‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0 G1 ‫אם‬
c = 0 ‫לענות‬ ‫ואז‬ G0-‫ב‬ ‫אליו‬ ‫שנשלח‬ ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫לחשב‬ ‫יכול‬ ‫האפשריות‬ ‫התמורות‬ |V |! ‫כל‬ ‫סריקת‬ ‫עי‬ ‫יכול‬ P-‫ה‬ ‫לכן‬
.c = 1-‫ב‬ ‫לענות‬ ‫ואחרת‬
.V (G0, G1, b, π, c) = Accept :‫ולכן‬ ,c = b ‫בברור‬
:‫נאותות‬
.10
π ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫מופיע‬ ‫גרף‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫זהות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ (‫שקרית‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0
∼= G1 ‫אם‬
:‫ולכן‬ π (G1)-‫ל‬ π (G0) ‫בין‬ ‫להבין‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ P ,‫לכן‬
Pr [c ̸= b] =
1
2
⇓
Pr [V (G0, G1, b, π, c) = Reject] =
1
2
‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36
.‫הצדדים‬ ‫לשני‬ ‫גלויות‬ ‫הן‬ AM-‫וב‬ ,‫סודיות‬ ‫הן‬ ‫ההטלות‬ IP-‫ב‬ ‫רק‬ IP ‫כמו‬ ‫זה‬ - AM
AM = AM [2] =
∪
K
IP [K]
.‫קבוע‬ K ‫כאשר‬
.1 = ‫שלמות‬ ‫לייצר‬ ‫כדי‬ ‫פומביות‬ ‫הודעות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫מספיקות‬ ,‫כלומר‬
.AM ⊆ Π2P ‫כי‬ ‫ידוע‬
‫גרף‬ ‫אף‬ ‫לנו‬ ‫יהיה‬ ‫לא‬ - ‫איזומורפים‬ ‫אינם‬ ‫הם‬ ‫אם‬ ,‫שווים‬ ‫הם‬ ‫מתי‬ ‫ונראה‬ ‫מהגרפים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫האפשרויות‬ ‫התמונות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬9
.‫גרף‬ ‫לאף‬ ‫ששווה‬
‫אזי‬ ,(‫האפשריות‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫)את‬ ‫האפשריים‬ ‫הגרפים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫תכיל‬ ‫עמודה‬ ‫וכל‬ ‫האפשריות‬ (‫)הגרפים‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫טבלה‬ ‫נעשה‬ ‫אם‬10
.‫עמודה‬ ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫יופיע‬ ‫גרף‬ ‫אותו‬ ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫ייווצר‬
36

37. Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38‫החישובים‬ ‫מורכבות‬
(‫המרכזי‬ ‫)המשפט‬ IP ‫הגדרת‬ 37
IP = IP [poly (n)] =
∪
c∈N
IP [K = Θ (nc
)]
:‫ולכן‬
IP = PSPACE
.(K = 2) ‫בקבוע‬ ‫מדובר‬ (35) GNISO-‫ה‬ ‫בפרוטוקול‬ ,‫למשל‬
Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38
?P-‫מ‬ V ‫מקבל‬ ‫אינפורמציה‬ ‫כמה‬ :‫היא‬ ‫כאן‬ ‫השאלה‬
.‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫היא‬ ?”x ∈ L” ‫לשאלה‬ ‫התשובה‬ ‫כאשר‬
(NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ 38.1
.‫ביטים‬ n :SAT
.‫ביטים‬ Θ (|V |) :3 − COL
.x ∈ L-‫ש‬ ‫טענה‬ ‫אותה‬ ‫בהוכחת‬ P-‫ה‬ ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכול‬ V -‫ה‬ :‫מסקנה‬
[IP] ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחות‬ ‫מערכת‬ 38.2
:(35) GNISO ‫של‬ ‫הפרוטוקול‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
!‫דבר‬ ‫יודע‬ ‫אינו‬ V ,(‫שלמות‬ ‫שיש‬ ‫כיוון‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ ‫וודאית‬ ‫)שהיא‬ G0 G1-‫ש‬ ‫לידיעה‬ ‫מעבר‬
...Zero Knowledge ‫שנקרא‬ ‫מה‬ ‫זה‬
!‫בעצמו‬ ‫ביעילות‬ ‫האינטראקציה‬ ‫את‬ ‫לסמלץ‬ ‫יכול‬ ‫היה‬ V ‫אזי‬ G0 G1-‫ש‬ ‫כבר‬ ‫יודע‬ ‫שהיה‬ ‫נניח‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬
.(P ‫את‬ ‫חייב‬ ‫הוא‬ - ‫זאת‬ ‫יודע‬ ‫לא‬ ‫שהוא‬ ‫בגלל‬ ‫)אבל‬
:5 ‫הסבר‬
‫דרך‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ,‫כלומר‬ .‫הביט‬ ‫אותו‬ ‫מלבד‬ ‫אינפורמציה‬ ‫לנו‬ ‫מעביר‬ ‫לא‬ P-‫ש‬ ‫הוא‬ Zero Knowledge -‫ב‬ ‫הרעיון‬
.‫מידע‬ ‫ממנו‬ ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫עד‬ ‫שקרית‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ (x ∈ L) ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬
‫את‬ ‫להחליף‬ ‫נוכל‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫כלומר‬ ,‫בעצמנו‬ ‫לשפוט‬ ‫נדע‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ - ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫המידע‬ ‫וגם‬
‫כמות‬ ‫בגלל‬ P ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ,38.1 - (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫ב-מערכת‬ ‫למשל‬ ‫)כי‬ .‫הבאים‬ ‫במקרים‬ P
.(‫לנו‬ ‫מספק‬ ‫שהוא‬ ‫האינפורמציה‬
‫נאותות‬ + ‫שלמות‬ + ‫יעילות‬ :‫שמקיים‬ ‫פרוטוקול‬ ‫להמציא‬ ‫קל‬ .‫רבות‬ ‫חישוביות‬ ‫למשימות‬ ‫טוב‬ Zero Knowledge -‫ה‬
.‫הפרוטוקול‬ ‫לפי‬ ‫פועלים‬ (‫)מחשבים‬ ‫השחקנים‬ ‫שכל‬ ‫בהנחה‬
‫לפי‬ ,‫)כלומר‬ Zero Knowledge-‫ב‬ ‫פעל‬ ‫שהוא‬ ‫האחרים‬ ‫לשחקנים‬ ‫להוכיח‬ ‫יוכל‬ ‫מהשחקנים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫לכך‬ ‫בנוסף‬
.(‫הפרוטוקול‬
‫להתחזות‬ ‫בעתיד‬ ‫ניתן‬ ‫שיהיה‬ ‫מבלי‬ ‫השני‬ ‫מול‬ ‫אחת‬ ‫להזדהות‬ ‫למחשבים‬ ‫למשל‬ ‫מאפשרת‬ Zero Knowledge-‫ה‬ ‫תכונת‬
.(‫לכך‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫ההזדהות‬ ‫עבור‬ ‫שנשלח‬ ‫המידע‬ ‫)כי‬ ‫מהם‬ ‫לאחד‬
37