1. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫מטריצה ‪ P‬היא מטריצה יחידה אשר מקיימת את התנאי עבור‬ ‫‪I‬‬ ‫חלק‬
‫כל ‪.λ ∈ V‬‬
‫‪.[λ]B = P · [λ]B‬‬ ‫מטריצת מעבר‬
‫עמודות ‪ P‬הן קוארדינטות אברי בסיס ‪B‬לפי בסיס ‪.B‬‬
‫קואורדינטות‬
‫מטריצת המעבר מ־ ‪ B‬ל־‪B‬‬
‫הגדרה:‬
‫במידה ואנחנו רוצים לעשות מעבר בכיוון ההפוך, אזי ‪ P‬היא‬
‫מטריצה הפיכה והמטריצה ההופכית שלה ‪ Q‬עושה את המעבר‬ ‫יהי ‪ V‬ומרחב וקטורי )מימד ‪ n‬מעל שדה ‪ (F‬ויהי = ‪B‬‬
‫בכיוון ההפוך:‬ ‫} ‪ {α1 , α2 , . . . , αn‬בסיס סדור 1 של ‪ .V‬לכל וקטור ‪α ∈ V‬‬
‫1− ‪Q = P‬‬ ‫יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי ‪ .B‬כלומר, קיימים‬
‫‪ t1 , t2 , . . . , tn ∈ F‬יחידים כך ש: ‪.α = t1 α1 + · · · + tn αn‬‬
‫ה־ ‪ti‬־ים נקראים הקואורדינטות של ‪ α‬לפי בסיס ‪ .B‬סימון:‬
‫טיפ חשוב ויעיל‬ ‫‪ ‬‬
‫1‪t‬‬
‫אם יש לנו שני בסיס שצריך לבנות עבורם מטריצת מעבר ואחד‬ ‫‪.‬‬
‫הבסיסים הוא הבסיס הסטנדרטי, דהיינו: . . . , 2‪ e1 , e‬אזי כדאי‬
‫¯ ¯‬ ‫‪[α]B =  . ‬‬
‫.‬
‫לבנות את מטריצת המעבר מהבסיס הלא סטנדרטי לבסיס‬ ‫‪tn‬‬
‫הסטנדרטי ואז במידת הצורך למצוא את המטריצה ההופכית.‬
‫הסיבה: מה שיוצא לנו זאת מטריצה שעמודותיה הם הבסיס‬ ‫‪ [α]B ∈ F n‬־ נקרא וקטור הקואורדינטות של ‪ α‬לפי בסיס ‪.B‬‬
‫הלא סטנדרטי, בלי חישובים נוספים.‬
‫דוגמאות:‬
‫מה עושים אם נתונה לנו מטריצת מעבר ובסיס אחד?‬
‫עבור וקטור )3 ,2 ,1( = ‪:α‬‬
‫נניח שנתונה לנו מטריצה ‪ P‬שהיא מטריצת מעבר מבסיס ‪B‬‬
‫ל־‪ B‬ונתון לנו בסיס ‪ .B‬עלינו למצוא את בסיס ‪.B‬‬ ‫1. }) ,1 ,1 ,1( , )0 ,1 ,1( , )0 ,0 ,1({ = ‪[α]B = ⇐= B‬‬
‫‪ ‬‬
‫מסמנים את בסיס ‪ B‬כך: } ‪ ,B = {β1 , . . . , βn‬כל וקטור‬ ‫1−‬
‫‪ βi‬שווה לעמודה ה־‪ i‬במטריצה ‪ P‬כפול הבסיס ‪ .B‬כלומר,‬ ‫‪−1‬‬
‫נניח שבסיס ‪ B‬שגם הוא בעל ‪ n‬מימדים בנוי כך: = ‪B‬‬ ‫3‬
‫} ‪ ,{α1 , α2 , . . . , αn‬אזי וקטור ‪ βi‬יראה כך:‬ ‫למה? כי אם נכפול כל אחד מאברי ‪ B‬במקדם המתאים‬
‫‪‬‬
‫‪P1i‬‬
‫‪‬‬ ‫)של ‪ ([α]B‬נקבל את ‪.α‬‬
‫3‪.α = −β1 − β2 + 3β‬‬
‫‪) [βi ]B =  .  ⇒ β1 = P1i · α1 + · · · + Pni · αn‬תזכורת:‬
‫‪ . ‬‬
‫.‬
‫‪P1n‬‬ ‫)הבסיס‬ ‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫2. })1 ,0 ,0( , )0 ,1 ,0( , )0 ,0 ,1({‬
‫‪ ‬‬
‫עבור מטריצה ‪ Aij :A‬פירושו האיבר בעמודה ה־‪ i‬ובשורה ה־‪j‬‬ ‫1‬
‫של המטריצה(.‬ ‫הסטנדרטי( =⇐ ‪[α]B = 2‬‬
‫2‬ ‫3‬
‫אם לעומת זאת נתון לנו ‪ B‬ומטריצה ‪ P‬־ כל מה שעלינו‬
‫לעשות זה למצוא את המטריצה ההופכית שלה ‪ Q‬ולעשות את‬
‫מה שכתוב למעלה...‬ ‫למקרה בה הסדר משנה ־ במרחב )‪:M2 (R‬‬ ‫3. דוגמה‬
‫1 0‬ ‫0 1‬ ‫0 0‬ ‫0‬ ‫0‬
‫= ‪.B‬‬ ‫,‬ ‫,‬ ‫,‬
‫0 0‬ ‫1 0 ‪0  0‬‬ ‫1‬ ‫0‬
‫מעבר של וקטור מבסיס אחד לבסיס אחר‬ ‫‪b‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪a b‬‬
‫= ‪[A]B =   :A‬‬ ‫עבור‬
‫נניח ויש לנו שני בסיסים )3(‪ B ∈ R‬שהוא הבסיס‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c d‬‬
‫הסטנדרטי ועוד בסיס ‪ C‬בסיס אחר, למשל: = ‪C‬‬ ‫‪c‬‬
‫})1 ,1 ,1( , )0 ,1 ,1( , )1 ,0 ,1({. כעת נשאלת השאלה, אם יש‬
‫לנו וקטור ‪ α ∈ B‬כאשר )‪ ,α = (a, b, c‬כיצד ניתן להציג אותו‬
‫על ידי בסיס ‪ ?C‬כלומר, להציג אותו בצורת ‪.[α]C‬‬
‫מטריצת המעבר מ־‪ B‬ל־ ‪B‬‬
‫תשובה‬ ‫עבור שני בסיסים:‬
‫כל מה שעלינו לעשות הוא לשים את הוקטורים הנ"ל במטריצה,‬ ‫} ‪ B = {α1 , . . . , αn‬ו־} ‪.B = {β1 , . . . , βn‬‬
‫כעמודות)!!!(, לפי הסדר ואז לדרג אותה:‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מטריצה המעבר היא: ‪‬‬
‫0 0 1‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪1 1 1 a‬‬
‫‪‬‬
‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬
‫0 1 0 ‪‬‬ ‫‪a − c  ←− 0 1 1 b ‬‬ ‫. ‪‬‬ ‫.‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 1 b−a+c‬‬ ‫‪1 0 1 c‬‬ ‫‪(P ∈ Mn (F )) P = [α1 ]B‬‬
‫‪‬‬ ‫···‬ ‫‪[αn ]B ‬‬
‫‪‬‬
‫.‬ ‫.‬
‫כלומר, אם ניקח את וקטור ‪ α‬ונרצה להציג אותו ע"פ בסיס ‪C‬‬ ‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫, אזי:‬
‫1כלומר, יש משמעות לסדר. אם נשנה את סדר הוקטורים זה יהיה בסיס‬
‫2כלומר, מטריצה שמוגדרת להיות מטריצת מעבר מ־ ‪ B‬ל־‪B‬‬ ‫אחר.‬
‫1‬

2. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪a−b‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪ a, b, c) [α]C = ‬הינם רכיבי הוקטור ‪.(α‬‬ ‫‪a−c‬‬ ‫‪‬‬
‫ב־ ‪ θ‬מעלות )סביב הראשית(.‬ ‫מגידה סיבוב של הוקטור‬
‫‪y‬‬ ‫‪−a + b + c‬‬
‫ניתן לרשום זאת כך:‬ ‫בדיקה: נניח ש־ )2− ,1 ,1( = ‪ α‬אזי לפי מה שקיבלנו‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫0‬
‫‪.[α]C =  3 ‬‬
‫)2(‪TA : R(2) → R‬‬ ‫2−‬
‫‪x‬‬ ‫‪cos θ − sin θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫עכשיו, נכפול את הוקטור בבסיס ‪) C‬כלומר, את מקדמי הוקטור‬
‫‪TA‬‬ ‫=‬ ‫·‬
‫‪y‬‬ ‫‪sin θ cos θ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ [α]C‬בבסיס ‪ (C‬ונקבל:‬
‫= )2− ,2 − 3 ,2 − 3( = )1 ,1 ,1(·2−)0 ,1 ,1(·3+)1 ,0 ,1(·0‬
‫‪ (1, 1, −2) = α‬־ וקיבלנו בדיוק את אותו הוקטור!‬
‫אפשרות נוספת:‬
‫משפט חשוב‬ ‫למצוא את המטריצה ההופכית:‬
‫נקבל ־‬
‫תהי ‪ T : F n → F m‬העתקה לינארית, אזי קיימת מטריצה‬
‫יחידה ־ ) ‪ A ∈ Mm×n (F‬כך ש־ ‪) T = TA‬זאת אומרת‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪b c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫0 1− 1‬ ‫‪a−b‬‬
‫‪ T (¯) = A · x‬לכל ‪.(¯ ∈ F n‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫¯‬ ‫1 ‪‬‬ ‫‪0 −1  = ‬‬ ‫‪a−c‬‬ ‫‪‬‬
‫כל העתקה לינארית היא מהצורה הזאת.‬ ‫1 1−‬ ‫1‬ ‫‪−a + b + c‬‬
‫איך מוצאים את ‪?A‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪II‬‬ ‫חלק‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫‪‬‬ ‫.‬
‫· · · ) 1¯( ‪A = T‬‬
‫‪ e‬‬
‫.‬ ‫.‬
‫‪‬‬
‫‪T (¯n )‬‬
‫‪e ‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫הגדרה ותכונות‬
‫כאשר ‪ e1 , . . . , en‬הם הבסיס הסטנדרטי של ‪.F n‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫העתקה לינארית זאת פונקציה שמעבירה ממרחב וקטורי‬
‫הערות‬ ‫למרחב וקטורי:‬
‫‪ T = V → W‬־ אשר שומרת על פעולות המרחב ) ‪V, W‬‬
‫• סיבוב של 3‪ R‬סביב הראשית הוא העתקה לינארית מ־ 3‪R‬‬ ‫מרחבים וקטורים מעל אותו שדה(.‬
‫ל־ 3‪) R‬נכון גם לגבי 2‪ .(R‬כנ"ל ביחס לשיקוף ביחס לישר‬ ‫ההעתקה הלינארית חייבת לקיים שתי תכונות:‬
‫שעובר בראשית.‬ ‫1. שמירה על החיבור: לכל ‪: α, β ∈ V‬‬
‫)‪.T (α + β) = T (α) + T (β‬‬
‫• סיבוב סביב נקודה אחרת שהיא לא הראשית ־ אינה‬
‫העתקה לינארית.‬ ‫2. שמירה על כפל בסקלר: לכל ‪ λ ∈ F‬ולכל: ‪:α ∈ V‬‬
‫‪T λ·α =λ·T α‬‬
‫דוגמא 1‬ ‫3. תכונת הלינאריות של ‪) T‬נובעת מ־1 ו־2(:‬
‫לכל ‪ α1 , . . . , αn ∈ V‬ולכל ‪ λ1 , . . . , λn ∈ F‬מתקיים:‬
‫נתונה העתקה לינארית 3‪ T : R3 → R‬ונתון כי:‬ ‫) ‪T (λ1 α1 + · · · + λn αn ) = λ1 T (α1 )+· · ·+λn T (αn‬‬
‫)0 ,1 ,1( = ) 1¯( ‪.T (¯3 ) = (0, 0, 1) ,T (¯2 ) = (0, 1, 1) ,T‬‬
‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫.‬
‫השאלה: מה )‪?T (a, b, c‬‬
‫פתרון:‬
‫3‪(a, b, c) = a · e1 + b · e2 + c · e‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫דוגמאות‬
‫) 3‪= T (a, b, c) = T (a · e1 + b · e2 + c · e‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫)2(‪ . T (x, y, z) = (x + y, x + z) ,T : R(3) → R‬הפונקציה‬
‫מלינארית ‪:T‬‬ ‫הנ"ל היא כן העתקה לינארית. )אפשרת לבדוק את זה ע"פ‬
‫) 3¯( ‪= a · T (¯1 ) + b · T (¯2 ) + c · T‬‬
‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫התנאים שלמעלה ולראות שזה נכון(.‬
‫)‪= a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1) = (a, a + b, b + c‬‬
‫ההעתקה המוגדרת ע"י ‪A‬‬
‫משפט‬ ‫‪:¯ ∈ F‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬
‫עבור מטריצה כלשהי ) ‪ A ∈ Mm×n (F‬ועבור וקטור‬
‫‪TA : F n → F m , TA (¯) = A · x‬‬
‫‪x‬‬ ‫¯‬
‫יהיו ‪ V‬ו־ ‪ W‬מרחבים וקטורים מעל ‪ .F‬נניח ‪ ,dim V = n‬יהי‬
‫ניתן לומר שכל מטריצה מגדירה העתקה לינארית אחת בלבד...‬
‫} ‪ B = {α1 , . . . , αn‬בסיס של ‪ V‬ויהיו ‪ β1 , . . . , βn‬וקטורים‬
‫למשל, המטריצה:‬
‫כלשהם ב־ ‪) W‬לאו דווקא שונים 3(. אזי קיימת העתקה לינארית‬
‫יחידה ‪ T : V → W‬שמקיימת ‪ T (αi ) = βi‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪cos θ‬‬ ‫‪− sin θ‬‬
‫3כלומר, יכול להיות למשל 2‪.β1 = β‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪sin θ‬‬ ‫‪cos θ‬‬
‫2‬

3. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫‪ T‬העתקה לינארית ויהיו‬ ‫‪: V‬‬ ‫משפט: תהי ‪→ W‬‬ ‫גרעין ותמונה‬
‫‪ α1 , . . . , αn ∈ V‬אזי:‬
‫הגדרה‬
‫1. אם ‪ α1 , . . . , αn ∈ V‬תלויים לינארית ב־ ‪ V‬אזי:‬
‫) ‪ T (α1 ) , . . . , T (αn‬תלויים לינארית ב־ ‪ .W‬וגם הכיוון‬ ‫תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית.‬
‫השני הוא נכון: אם ) ‪ T (α1 ) , . . . , T (αn‬תלויים לינארית‬ ‫גרעין:‬
‫ב־ ‪ W‬אזי ‪ α1 , . . . , αn‬תלויים ב־ ‪.V‬‬ ‫הגרעין של ‪ T‬מסומן: ‪ ker T‬ומוגדר ע"י:‬
‫2. ההפך של 1 אינו נכון בד"כ: ‪ α1 , . . . , αn‬בת"ל ⇐‬ ‫} ‪ ker T = {α ∈ V |T (α) = 0W‬־ כלומר, כל הוקטורים ב־ ‪V‬‬
‫) ‪ T (α1 ) , . . . , T (αn‬בת"ל )וגם כן בכיוון ההפוך(.‬ ‫שמועתקים ל־0, מלבד וקטור האפס עצמו )לכן גם כן מדובר‬
‫בתת־מרחב, היות וזאת בטוח לא קבוצה ריקה בגלל וקטור ה־0‬
‫ושאר המאפיינים נשמרים(.‬
‫משפט: תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית ו־∈ ‪α1 , . . . , αn‬‬
‫תמונה:‬
‫‪ V‬אם ‪ α1 , . . . , αn‬יוצרים את ‪ V‬אזי ) ‪T (α1 ) , . . . , T (αn‬‬
‫יוצרים את ‪) imT‬ולא את ‪(!W‬‬ ‫התמונה של ‪ T‬מסומנת ‪ imT‬ומוגדרת ע"י:‬
‫} ‪ imT = {T (α) |α ∈ V } = {β ∈ W‬־ אותו רעיון כמו‬
‫בתמונה של פונקציה. )גם כאן מדובר בתת מרחב, זאת אינה‬
‫משפט: תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית. אם ‪T‬‬
‫קבוצה ריקה )יש את וקטור ה־0, וגם כאן שאר התנאים‬
‫היא חד־חד־ערכית אזי ‪ T‬מעבירה וקטורים בת"ל ב־ ‪V‬‬
‫נשמרים(.‬
‫לוקטורים בת"ל ב־ ‪ .W‬כלומר: אם ‪ α1 , . . . , αn‬בת"ל אזי,‬
‫‪ T (α1 ) , . . . , T (αn ) ∈ W‬בת"ל )ההבדל מהמשפט הקודם‬
‫]שני משפטים למעלה[ הוא ששמה ‪ T‬אינה בהכרח חד־חד־‬ ‫המימד של ‪ ker T‬נקרא: האפסיות של ‪ T‬ומוסמן ע"י: ) ‪.ν (T‬‬
‫ערכית.‬ ‫) ‪.ν (T ) = dim (ker T‬‬
‫מסקנה: אם ‪ T : V → W‬העתקה לינארית חח"ע אזי: אם‬ ‫המימד של ‪ imT‬נקרא הדרגה של ‪ T‬ומסומן ) ‪.r (T‬‬
‫‪ α1 , . . . , αn‬מהווים בסיס של ‪ ,V‬אז ) ‪T (α1 ) , . . . , T (αn‬‬
‫מהווים בסיס של ‪.imT‬‬ ‫מרחב האפס של ‪ker TA = A‬‬
‫4‬
‫מרחב העמודות של ‪imTA = A‬‬
‫משפט: תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית. נניח כי קיים‬ ‫מימד המרחב האפס של ‪) A‬האפסיות( = ) ‪ν (TA‬‬
‫בסיס } ‪ B = {α1 , . . . , αn‬של ‪ V‬כך ש־ ) ‪T (α1 ) , . . . , T (αn‬‬ ‫)‪r (TA ) = rank (A‬‬
‫מהווים בסיס ל־ ‪ imT‬אז: ‪ T‬חח"ע.‬
‫נוסחת המימד:‬
‫משפט: תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית, נניח כי = ‪dim V‬‬ ‫תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית ונניח ‪ dim V = n‬אזי:‬
‫‪ ,dim W = n‬אזי:‬ ‫‪.ν (T ) + r (T ) = n‬‬
‫‪ T‬היא חח"ע ⇔ ‪ T‬היא על.‬
‫בהינתן העתקה לינארית ‪T : V → W‬‬
‫משפט: תהי ) ‪ A ∈ Mm×n (F‬אז מימד מרחב האפס של ‪A‬‬
‫שווה ל־ )‪.n − rank (A‬‬ ‫• כדי למצוא את ‪ ker T‬לוקחים איבר כללי ‪ x ∈ V‬ורושמים‬
‫¯‬
‫¯ = )¯( ‪ .T‬מתרגמים שוויון זה למערכת הומוגנית‬
‫‪x‬‬ ‫0‬
‫סיכום של המשפטים‬ ‫ופותרים. קבוצת הפתרונות היא הגרעין של ‪.T‬‬
‫תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית. הטענות הבאות שקולות:‬
‫• כדי לחשב את ‪ ,imT‬לוקחים איבר כללי ‪ ¯ ∈ W‬ו־‬
‫‪b‬‬
‫1. ‪ T‬חח"ע.‬ ‫‪ x ∈ V‬ורושמים: ¯ = )¯( ‪ .T‬מתרגמים שווויון זה‬
‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫¯‬
‫למערכת לינארית ומוצאים את ה־‪b‬־ים שעבורם מערכת זו‬
‫2. } ‪.ker (T ) = {0V‬‬ ‫תקינה. ה ‪b‬־ים האלה הם ‪.imT‬‬
‫3. ‪ T‬מעבירה וקטורים בת"ל ב־ ‪ V‬לוקטורים בת"ל ב־ ‪.W‬‬
‫– הסברים יותר מפורטים לגבי השיטות מצויות בנספח‬
‫4. ‪ T‬מעבירה בסיס כלשהו של ‪ V‬לבסיס של ‪.imT‬‬ ‫הקודם.‬
‫5. קיים בסיס של ‪ V‬שמועבר ע"י ‪ T‬לבסיס של ‪.imT‬‬
‫משפטים ומסקנות‬
‫אלגברה של העתקות לינאריות‬ ‫משפט חשוב: תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית. אזי:‬
‫‪ T‬היא חד־חד־ערכית ⇒⇐ } ‪.ker T = {0V‬‬
‫הגדרה+סימון‬ ‫מסקנה מהמשפט: תהי ) ‪ A ∈ Mm×n (F‬־ ‪ TA‬היא חד־חד־‬
‫ערכית ⇔ למערכת ¯ = ‪ A · x‬יש רק פתרון טריוויאלי.‬
‫0 ¯‬
‫יהיו ‪ V‬ו־ ‪ W‬מרחבים וקטורים מעל ‪ .F‬מסמנים ב־) ‪L (V, W‬‬
‫את כל ההעתקות הלינאריות ‪.T : V → W‬‬ ‫4לגבי איך מוצאים את מרחב האפס של ‪ A‬ואת מרחב העמודות של ‪ A‬ניתן‬
‫) ‪ L (V‬הוא קיצור של ) ‪L (V, V‬‬ ‫לראות בנספח הקודם.‬
‫3‬

4. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫‪III‬‬ ‫חלק‬ ‫פעולות חיבור וכפל בסקלר‬
‫עבור ) ‪ ,T, S ∈ L (V, W‬עבור ‪ ,λ ∈ F‬ועבור וקטור ‪α ∈ V‬‬
‫איזומורפיזם‬ ‫מוגדרות הפעולות הבאות:‬
‫חיבור:‬
‫מבוא קצר:‬ ‫)‪ ,(T + S) (α) = T (α) + S (α‬כמו־כן: ) ‪.T + S ∈ L (V, W‬‬
‫אם ניקח שני מרחבים וקטורים, למשל: 4‪ R‬ו־ 4]‪ R [X‬נוכל‬ ‫)כלומר, גם החיבור הוא העתקה לינארית(.‬
‫לראות שמודבר בשני מרבים זהים שפשוט מוצגים אחרת!‬ ‫)‪(T + S) (α + β‬‬ ‫=‬ ‫)‪T (α + β) + S (α + β‬‬ ‫=‬
‫כלומר, רק הצורה החיצונית שונה. שני מרחבים כאלה נקראים‬ ‫)‪(T + S) (α) + (T + S) (β‬‬
‫מרחבים איזומורפים.‬ ‫כפל בסקלר:‬
‫‪.(λT ) (α) = λ · T (α) ,λT : V → W‬‬
‫) ‪ ,λT ∈ L (V, W‬כלומר, ) ‪λT ∈ L (V, W‬‬
‫הגדרה + סימון‬
‫תכונות החיבור והכפל בסקלר, זהות לאלו שהיו במטריצות...‬
‫יהיו ‪ V‬ו־ ‪ W‬מרחבים וקטורים מעל שדה ‪.F‬‬
‫איזומורפיזם מ־ ‪ V‬ל־ ‪ W‬זוהי העתקה לינארית שהיא חח"ע ועל.‬ ‫כפל )הרכבה( של העתקות לינאריות‬
‫אומרים ש־ ‪ V‬איזומורפי ל־ ‪ W‬ורושמים: ‪ V ∼ W‬אם קיים‬
‫=‬
‫איזומורפיזם ‪.T : V → W‬‬ ‫תהיינה ‪ T : V → W‬ו־ ‪ S : W → U‬העתקות לינאריות.‬
‫המכפלה )הרכבה( ‪ ST‬מוגדרת ע"י: ‪ST : V → U‬‬
‫)ניתן להרכיב שתי העתקות לינאריות כך שהמרחב הוקטורי‬
‫שאליו מתעתיקה הראשונה, הוא המחרב הוקטורי שממנו‬
‫משפטים והגדרות‬ ‫מעתיקה ההעתקה השניה(.‬
‫משפט מרכזי וחשוב:‬ ‫))‪ (ST ) (α) = S (T (α‬לכל ‪.α ∈ V‬‬
‫יהיו ‪ V‬ו־ ‪ W‬מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל שדה ‪.F‬‬ ‫כמובן ש־) ‪.ST ∈ L (V, U‬‬
‫‪.dim V = dim W ⇔ V ∼ W‬‬ ‫=‬ ‫זה כמו הרכבה של פונקציות, הדיאגמרה הבאה ממחישה את‬
‫זה:‬
‫מסקנה:‬ ‫/ ‪T‬‬ ‫/ ‪S‬‬
‫‪V‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪<U‬‬
‫לכל מרחב וקטורי ‪ V‬ממימד ‪ n‬מעל שדה ‪ F‬מתקיים:‬
‫‪.V ∼ F n‬‬
‫=‬ ‫‪ST‬‬
‫וכמובן שבאותו אופן: )‪(ST ) (λα) = λ (ST ) (α‬‬
‫בגלל שמדובר במשהו טיפה מורכב אני שם כאן את התכונות:‬
‫המטריצה המייצגת את ‪T‬‬
‫תכונות של הכפל )הרכבה(‬
‫יהיו שני בסיסים: ‪ V‬ו־ ‪ ,W‬כאשר:‬
‫1. )‪ (T S) R = T (SR‬לכל‬
‫‪dim V = n, dim W = m‬‬ ‫) ‪.T ∈ L (U, Z) , S ∈ (W, V ) , R ∈ L (V, W‬‬
‫} ‪ B = {α1 , . . . , αn‬בסיס של ‪,V‬‬ ‫/ ‪R‬‬ ‫/ ‪S‬‬ ‫/ ‪T‬‬
‫} ‪ C = {β1 , . . . , βm‬בסיס של ‪.W‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪Z‬‬
‫תהי ‪ T‬העתקה לינארית: ‪T : V → W‬‬ ‫2. ‪ (T + S) R = T R + SR‬לכל‬
‫‪‬‬ ‫אזי:‬
‫‪‬‬ ‫) ‪ T, S ∈ L (W, V‬ו־) ‪.R ∈ L (V, W‬‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3. ‪ T (R + S) = T R + T S‬לכל‬
‫‪[T ]B =  [T (α1 )]B‬‬
‫‪‬‬ ‫···‬ ‫‪[T (αn )]B ‬‬
‫‪‬‬ ‫) ‪ T ∈ L (W, U‬ו־) ‪.R, S ∈ L (V, W‬‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫4. )‪.a, b ∈ F (aT ) (bS) = (ab) (T S‬‬
‫ו־ ‪ [T ]B‬נקראת גם המטריצה המייצגת של ‪ T‬ע"פ בסיס ‪.B‬‬
‫‪B‬‬
‫והיא קיצר של המטריצה המייצגת: ‪.[T ]B‬‬
‫)‪ B‬לא חייב להיות הבסיס הסטנדרטי. במידה והוא לא הבסיס הסטנדרטי אפשר למצוא‬
‫את וקטור המעבר מ־‪ B‬לבסיס הסטנדרטי בסעיף 1 בנספח של מעבר בין בסיסים(.‬
‫העתקה הפוכה‬
‫‪B‬‬
‫‪ [T ]C‬־ מטריצת המייצגת של ‪ C‬לפי אברי ‪ .B‬כלומר: עמודות‬ ‫תהי ‪ T : V → W‬העתקה לינארית ונניח כי ‪ T‬היא חח"ע ועל.‬
‫המטריצה הן אברי ‪ (αi ) B‬לאחר ההעתקה הלינארית ) ‪T (αi‬‬ ‫אזי קיימת ל־ ‪ T‬העתקה )פונקציה( הפוכה ‪T −1 : W → V‬‬
‫ע"פ בסיס ‪ C‬־ ‪) [T (αi )]C‬לגבי השלב האחרון, ההצגה ע"פ בסיס ‪ ,C‬ניתן‬
‫לראות איך ניתן לעשות זאת בסעיף 1 בנספח של המעבר בין בסיסים(.‬
‫שמקיימת: ‪.T −1 · T = IW ,T · T −1 = IV‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫‪‬‬ ‫אם ) ‪) T ∈ L (V‬ממרחב לעצמו( אז לכל מספר טבעי ‪ n‬־ ‪T‬‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫מוגדרת ע"י: ‪T n = T · T · · · T‬‬
‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪[T ]C =  [T (α1 )]C‬‬
‫‪‬‬ ‫···‬ ‫‪[T (αn )]C ‬‬
‫‪‬‬ ‫‪n times‬‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫.‬
‫למשל: אם )2(‪ T : R(2) → R‬היא סיבוב סביב הראשית ב־ ◦06,‬
‫ומתקיים:‬ ‫אזי 2 ‪ T‬היא סיבוב סביב הראשית ב־ ◦021 מעלות.‬
‫‪C‬‬
‫‪ [T (α)]C = [T ]B · [α]B‬לכל ‪α ∈ V‬‬
‫4‬

5. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫העתקה לכסינה‬ ‫דימיון מטריצות‬
‫תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית ויהי } ‪B = {α1 , ..., αn‬‬ ‫משפט חשוב:‬
‫בסיס של ‪ [T ]B .V‬היא מטריצה אלכסונית אם"ם כל איברי‬ ‫תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית ויהיו ‪ B‬ו־‪ C‬בסיסים של‬
‫הבסיס ‪ B‬הם וקטורים עצמיים של ‪ ,T‬ובמקרה זה:‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.V‬‬
‫‪λ1 · · · O‬‬ ‫‪ [T ]C = P‬כאשר ‪ P‬היא מטריצת‬ ‫1−‬
‫אזי: ‪· [T ]B · P‬‬
‫. ‪[T ]B = ‬‬ ‫.‬ ‫.‬
‫המעבר מ־‪ C‬ל־‪.B‬‬
‫. ‪‬‬ ‫.‬ ‫.‬
‫‪‬‬
‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫‪‬‬
‫‪O · · · λn‬‬
‫כאשר לכל ‪ λi 1 ≤ i ≤ n‬הוא הערך העצמי המתאים לוקטור‬
‫העצמי ‪.αi‬‬
‫הגדרה‬
‫יהיו שתי מטריצות ) ‪ .A, B ∈ Mm×n (F‬אומרים ש־‪ A‬דומה‬
‫הגדרה‬ ‫ל־‪ B‬ורושמים ‪ A ∼ B‬אם קיימת מטריצה הפיכה‬
‫=‬
‫) ‪ P ∈ Mn (F‬כך ש־ ‪.B = P −1 · A · P‬‬
‫העתקה לינארית ‪ T : V → V‬נקראת העתקה לכסינה אם קיים‬
‫בעיקרון, אכשר מדובר על דימיון מטריצות מדובר על שתי‬
‫בסיס ‪ B‬כך ש־ ‪ [T ]B‬היא מטריצה אלכסונית.‬
‫מטרצות המייצגות את אותה העתקה: ‪ ,T : V → V‬רק לפי‬
‫העתקה לינארית ‪ ⇔ T : V → V‬קיים בסיס ‪ B‬של ‪ V‬שכל‬
‫בסיסים שונים.‬
‫האיברים הם וקטורים עצמיים של ‪.T‬‬
‫במקרה ו־‪ ,dim V = n‬אזי:‬
‫העתקה ‪ T : V → V‬תהיה העתקה לכסינה ⇔ קיימים ‪n‬‬ ‫משפט חשוב‬
‫וקטורים עצמיים בלתי־תלויים לינארית של ‪ T‬ב־ ‪.V‬‬
‫תהיינה ) ‪ A, B ∈ Mn (F‬אם ‪ A ∼ B‬אזי:‬
‫=‬
‫של‬ ‫עצמיים‬ ‫וערכים‬ ‫עצמיים‬ ‫וקטורים‬ ‫1. )‪.det (A) = det (B‬‬
‫מטריצות‬ ‫2. )‪.tr (A) = tr (B‬‬
‫תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית ויהי ‪ B‬בסיס של ‪.V‬‬
‫‪T (α) = λα ⇔ [T (α)]B = [λα]B‬‬ ‫3. )‪.rank (A) = rank (B‬‬
‫‪⇔ [T ]B · [α]B = λ · [α]B‬‬
‫הערה: אלו הם תנאים הכרחיים לדמיון מטריצות אך אינם‬
‫‪matrix A‬‬
‫תנאים מספיקים. לכן משתמים בהם כדי להראות ששתי‬
‫מטריצות אינן דומות!‬
‫הגדרה‬
‫תהי ) ‪ ,A ∈ Mn (F‬אם קיים וקטור ‪ 0 = x ∈ F‬וקיים סקלר‬
‫¯‬
‫‪ λ ∈ F‬כך ש־‪ ,A · x = λ · x‬אז אומרים ש־‪ λ‬הוא ערך עצמי של‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪IV‬‬ ‫חלק‬
‫‪ A‬ו־‪ x‬הוא וקטור עצמי של ‪ A‬השייך )מתאים( לערך העצמי ‪.λ‬‬
‫¯‬
‫חשוב לזכור: להעתקה לינארית ‪ T : V → V‬ולמטריצה‬ ‫ערכים עצמיים, וקטורים‬
‫המציגה אותה לפי בסיס כלשהו, יש אותם ערכים עצמיים ואותם‬
‫וקטורים עצמיים.‬ ‫עצמיים ולכסון‬
‫הגדרה מדויקת יותר‬ ‫הגדרה‬
‫תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית ויהיה ‪ B‬בסיס של ‪.V‬‬
‫נסמן: ‪:A = [T ]B‬‬ ‫נוסח ראשון‬
‫1. עבור ‪ λ :λ ∈ F‬הוא ערך עצמי של ‪ λ ⇔ T‬הוא ערך‬ ‫תהי ‪ T : V → V‬העתקה לינארית. אם קיים וקטור ∈ ‪0 = α‬‬
‫עצמי של ‪.A‬‬ ‫‪ V‬וקיים סקלר ‪ λ ∈ F‬כך ש־‪ .T (α) = λ · α‬אומרים ש־‪λ‬‬
‫הוא ערך עצמי של ‪ T‬ו־‪ α‬הוא וקטור עצמי של ‪ ,T‬המתאים‬
‫2. עבור ‪ α :α ∈ V‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬המתאים לע"ע ‪λ‬‬ ‫)שייך( לערך העצמי ‪.λ‬‬
‫⇔ ‪ [α]B‬הוא וקטור עצמי של ‪ A‬המתאים לע"ע ‪.λ‬‬
‫במילים אחרות:‬ ‫נוסח שני‬
‫1. ‪ λ‬הוא ערך עצמי של ‪ ⇔ A‬יש וקטור ‪ ¯ = x ∈ F n‬כך‬
‫0‬ ‫¯‬ ‫1. ‪ λ‬הוא ערך עצמי של ‪ ⇔ T‬קיים וקטור ‪ 0 = α ∈ V‬כך‬
‫ש־ ‪.A · x = λ · x‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫ש־‪.T (α) = λ · α‬‬
‫2. ‪ x‬הוא וקטור עצמי של ‪ x = ¯ ⇔ A‬וקיים סקלר ‪λ ∈ F‬‬
‫0 ¯‬ ‫¯‬ ‫2. ‪ α‬הוא וקטור עצמי של ‪ α = 0 ⇔ T‬ויש סקלר ‪λ ∈ F‬‬
‫כך ש־ ‪.A · x = λ · x‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫כך ש־‪.T (α) = λ · α‬‬
‫5‬

6. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫אי־שיוויון קושי־שוורץ‬ ‫חישוב ערכים עצמיים של מטריצה‬
‫לכל שני וקטורים ‪ V ) α, β ∈ V‬־ מרחב אוקלידי( מתקיים:‬ ‫עבור מטריצה ‪ A‬נגדיר את הפולינום )‪: CA (x‬‬
‫‪|(α, β)| ≤ α · β‬‬ ‫)‪ ,CA (x) = det (x · I − A‬למשל, עבור המטריצה ב־)‪:M2 (R‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
‫‪(α, β) ≤ α · β‬‬ ‫1−‪x‬‬ ‫0‬ ‫0 1‬
‫‪CA (x) = det‬‬ ‫,‬
‫‪− α · β ≤ (α, β) ≤ α · β‬‬ ‫3−‬ ‫4+‪x‬‬ ‫4− 3‬
‫2‬
‫או צורה אחרת:‬ ‫4 − ‪CA (x) = (x − 1) (x + 4) = x + 3x‬‬
‫‪n‬‬ ‫2‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬
‫משווים את )‪ CA (x‬ל־0 ופתרונות המשוואה הם הערכים‬
‫‪ai · bi‬‬ ‫≤‬ ‫2‪a‬‬
‫‪i‬‬ ‫·‬ ‫2‪b‬‬
‫‪i‬‬
‫1=‪i‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫1=‪i‬‬ ‫העצמיים של המטריצה 5.‬
‫4− = 2‪λ1 = 1, λ‬‬
‫זוית בין וקטורים ‪α, β‬‬
‫|)‪|(α,β‬‬ ‫מציאת וקטורים עצמיים של מטריצה‬
‫= ‪.θ‬‬ ‫= )‪(α, β‬‬ ‫= ‪ cos θ‬ונהוג לסמן: )‪(β, α‬‬ ‫‪α · β‬‬
‫לאחר שמצאנו את הערכים העצמיים, עושים את הדבר הבא:‬
‫עבור כל אחד מהערכים העצמיים ־ ‪ ,λi‬פותרים את המערכת‬
‫נירמול וקטור )וקטור יחידה(‬ ‫ההומוגנית הבאה:‬
‫אם 0 = ‪ α‬במרחב אוקלידי ‪ ,V‬אזי, נירמול הוקטור פירושו‬ ‫¯ = ‪(λi · I − A) x‬‬
‫0 ¯‬
‫ליצור וקטור שהנורמה )אורך( שלו הוא 1 והוא בכיוון הוקטור‬ ‫מדרגים את המטריצה וכך מוצאים וקטור עצמי, למשל:‬
‫‪.α‬‬ ‫ניקח את המטריצה שלמעלה ואת הערך העצמי 1:‬
‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬
‫1‬
‫‪.ˆ = α = α · α‬‬ ‫0 0 0‬
‫עבור שני וקטורים ‪:α, β ∈ V‬‬ ‫0 5 3‬
‫‪ α = β‬־ ‪ α‬הוא כפולה בסקלר חיובי של ‪) β‬ולהפך(.‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪5t‬‬
‫ˆ‬ ‫= 1‪v‬‬ ‫‪t∈R‬‬
‫‪ α = −β‬־ ‪ α‬הוא כפולה בסקלר שלילי של ‪) β‬ולהפך(.‬
‫ˆ‬ ‫‪−3t‬‬
‫‪ α = ±β‬־ ‪ α‬ו־‪ β‬הם בת"ל.‬
‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫5‬
‫= 1‪B‬‬
‫3−‬
‫קבוצה אורתוגונלית ואורתנורמלית‬
‫ליכסון מטריצה‬
‫קבוצה אורתוגונלית‬
‫יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית. תהי } ‪ K = {α1 , . . . , αn‬קבוצת‬ ‫אומרים ש־‪ (A ∈ Mn (F )) A‬לכסינה אם ‪ A‬דומה למטריצה‬
‫וקטורים ב־ ‪.V‬‬ ‫אלכסונית, כלומר, קיימת מטריצה אלכסונית: ) ‪D ∈ Mn (F‬‬
‫‪ K‬היא קבוצה אורתוגונאלית אם ‪ K‬אינה מכילה את וקטור‬ ‫ומטריצה הפיכה: ) ‪ P ∈ Mn (F‬כך שמתקיים:‬
‫האפס ולכל ‪ 1 ≤ i, j ≤ n‬מתקיים: אם ‪ i = j‬אזי: ‪.αi ⊥αj‬‬ ‫‪.D = P −1 · A · P‬‬
‫קבוצה אורתונורמלית‬ ‫אם זה מתקיים אומרים ש־ ‪ P‬מלכסנת את ‪) A‬כלומר, ‪ P‬הפיכה‬
‫זוהי קבוצה אורתוגונאלית רק שהנורמה )אורך( של כל‬ ‫ו־ ‪ P −1 · A · P‬היא מטריצה אלכסונית(.‬
‫הוקטורים היא 1.‬ ‫‪P‬־ בנויה מהוקטורים העצמיים של ‪) A‬הסדר לא משנה...(.‬
‫משפט: כל קבוצה אורתוגונאלית של וקטורים במרחב אוקלידי‬ ‫‪D‬־ מטריצת אלכסונית של הערכים העצמיים של ‪.A‬‬
‫‪ V‬היא בת"ל.‬
‫משפט חשוב: יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ממימד ‪ n‬ויהי‬
‫} ‪ B = {β1 , ..., βn‬בסיס אורתונורמלי של ‪.V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫חלק‬
‫לכל ‪:α ∈ V‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪α‬‬ ‫‪(α, βi ) ·βi‬‬
‫1=‪i‬‬
‫מרחבי מכפלה פנימית‬
‫‪ti ∈R‬‬
‫‪‬‬ ‫וגם:‬
‫‪‬‬ ‫)מרחב שיש בו מכפלה סקלרית(‬
‫) 1‪(α, β‬‬
‫.‬
‫‪[α]B = ‬‬ ‫.‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫.‬ ‫‪‬‬
‫) ‪(α, βn‬‬ ‫הגדרה‬
‫משפט:‬
‫יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית ממימד ‪ ,n‬ויהי } ‪B = {α1 , ..., αn‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ן מעל ‪ .R‬מכפלה פנימית על ‪ V‬זוהי פונקציה‬
‫בסיס כלשהו של ‪ .V‬אזי, קיים בסיס אורתונורמלי = ‪B‬‬ ‫המתאימה לכל זוג וקטורים ‪ α, β ∈ V‬מספר ממשי ב־‪ R‬אשר‬
‫} ‪ {β1 , ..., βn‬של ‪ V‬כך שלכל ‪:1 ≤ k ≤ n‬‬ ‫מסומן: )‪.(α, β‬‬
‫} ‪.sp {α1 , ..., αk } = sp {β1 , ..., βk‬‬ ‫מ"ו מעל ‪ R‬שעליו מוגדרת מכפלה פנימית ומקיים את ארבעת‬
‫כעת נסמן: } ‪:B = {β1 , ..., βn‬‬ ‫האכסימות נקרא: מרחב מכפלה פנימית או מרחב אוקלידי.‬
‫1‬
‫‪1 i=j‬‬ ‫= 2 )‪ α = (α, α‬־ האורך של ‪ α‬מראשית הצירים.‬ ‫)‪(α, α‬‬
‫= ) ‪(βi , βj‬‬ ‫‪ B‬הוא בסיס א"נ של ‪⇔ V‬‬
‫‪0 i=j‬‬
‫‪n‬‬
‫וגם: ) ‪.(α, β) = i=1 (α, βi ) · (β, βj‬‬ ‫5לא תמיד חייבים להיות ערכים עצמיים ב־‪.R‬‬
‫6‬

7. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫‪‬‬
‫0 = ) 1‪ (α, β‬‬
‫‪‬‬ ‫בסיס‬ ‫ליצירת‬ ‫גרהם־שמידט‬ ‫תהליך‬
‫.‬
‫זו תמיד מערכת הומוגנית. מרחב הפתרונות‬ ‫.‬
‫.‬ ‫אורתונורמלי‬
‫‪‬‬
‫0 = ) ‪(α, βk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫⊥‬
‫שלה הוא: ‪ .U‬‬ ‫נתון לנו בסיס } ‪ .B = {α1 , ..., αn‬תהליך גרהם־שמידט יוצר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫לנו בסיס אורתונורמלי ) ‪:(B‬‬
‫למשל, ב־ )4(‪ R‬־ )3 ,1 ,0 ,1( ,)1 ,1− ,2 ,1( ‪ .U = sp‬ניקח‬ ‫1‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫= 1‪.β‬‬ ‫1‪α‬‬ ‫1.‬
‫1‪β‬‬ ‫2‪β‬‬
‫וקטור )4(‪ ,α = (x, y, z, w) ∈ U ⊥ ,α ∈ R‬אזי ‪ ,α⊥U‬לכן:‬ ‫2. עבור: 1 − ‪: k = 1, ..., n‬‬
‫בשביל למצוא את ⊥ ‪ U‬צריך לפתור את המערכת ההומוגנית:‬
‫0 = ) 2‪.(α, β1 ) = 0, (α, β‬‬ ‫‪k‬‬
‫כדאי לזכור: ‪ .V ⊥ = {0} , 0⊥ = V‬ב־ )3(‪) R‬עם המכפלה‬ ‫− 1+‪γk+1 = αk‬‬ ‫)א( ‪(αk+1 , βi ) ·βi‬‬
‫1=‪i‬‬
‫הסטנדרטית( ־ המשלים הא"ג של מישור דרך הראשית, הוא‬ ‫‪∈R‬‬
‫הישר דרך הראשית שמאונך למישור.‬ ‫1+‪γk‬‬
‫= 1+‪βk+1 = γk‬‬
‫ˆ‬ ‫1+‪γk‬‬ ‫)ב(‬
‫המישור הא"ג של ישר דרך הראשית, זה המישור דרך הראשית‬
‫שמאונך לישר.‬ ‫לבסוף: } ‪. B = {β1 , ..., βn‬‬
‫היטל אורתוגונאלי‬ ‫שימוש בתהליך גרהם שמידט כדי לחשב מטריצת‬
‫משפט: יהי ‪ V‬ממ"פ, ויהי ‪ U‬תת־מרחב ממימד סופי של ‪.V‬‬ ‫סיבוב סביב ישר שעובר בראשית‬
‫אזי לכל וקטור ‪ ,α ∈ V‬קיים וקטור של ‪ α‬על ‪ U‬יחי ־ ‪γ ∈ U‬‬
‫מטריצת הסיבוב היא ב־ )3(‪ R‬סביב ישר שעובר דרך הראשית‬
‫כך ש־ ‪ .α − γ⊥U‬בנוסף, ‪ γ‬זה מקיים: ‪α − β > α − γ‬‬
‫בזיות ‪.θ‬‬
‫לכל: ‪.γ = β ∈ U‬‬
‫כדאי גם לזכור ש־ 2 ‪... α + β 2 = α 2 + β‬‬ ‫1. לוקחים את וקטור הכיוון ‪ u‬של הישר.‬
‫¯‬
‫וקטור זה )‪ (γ‬נקרא ההיטל האורתוגונאלי של ‪ α‬על ‪ U‬ומסומן:‬
‫‪ P rojU α‬או ‪ PU α‬והוא וקטור ב־ ‪ ,U‬הקרוב ביותר ל־‪ α‬ב־ ‪U‬‬ ‫2. מוסיפים ל־‪ u‬שני וקטורים )פשוטים ככל האפשר, או שני‬
‫¯‬
‫ומקיים גם: ‪.α − PU α⊥U‬‬ ‫‪u‬‬
‫וקטורים שניצבים לישר ¯, ואז צריך רק לנרמל אותם(, כך‬
‫דרך לחישוב ‪:P rojU α‬‬ ‫ששני הוקטורים ו־‪ u‬יהוו בסיס ל־ )3(‪.R‬‬
‫¯‬
‫‪k‬‬
‫‪ P rojU α = i=1 (α, βi ) · βi‬־ כאשר ‪ β1 , ..., βk‬בסיס א"נ‬
‫של ‪.U‬‬ ‫3. מפעילים את תהליך גרהם־שמידט על הבסיס לקבלת‬
‫בסיס אורתונורמלי: } 3‪ B = {¯1 , u2 , u‬כאשר 1‪ u‬זה‬
‫¯‬ ‫¯ ¯ ‪u‬‬
‫הוקטור המנורמל של וקטור ¯. )צריך לוודא ש־ 1‪ u‬הוא‬
‫‪u‬‬
‫סכום וסכום ישר‬ ‫‪u‬‬
‫בכיוון של ¯, אחרת צריך להפוך את סדר הקטורים(.‬
‫יהיו ‪ U, W‬תתי־מרחבים של ‪ U + W .V‬־ תת־מרחב של ‪.V‬‬
‫‪ V = U + W‬אם"ם כל וקטור ‪ α ∈ V‬ניתן להצגה כסכום של‬ ‫4. מחשבים את ‪.[T ]B‬‬
‫וקטור מ־ ‪ U‬ווקטור מ־ ‪.W‬‬
‫5. מחשבים את ‪ [T ]E‬־ המטריצה המציגה את ‪ T‬לפי‬
‫במקרה זה אומרים ש־ ‪ V‬הוא סכום של ‪ U‬ו־ ‪.W‬‬
‫הבסיס הסטנדרטי )זוהי המטריצה המבוקשת( תוך שימשו‬
‫אם בנסוף לכך מתקיים: }0{ = ‪ ,U ∩ W‬אזי אומרים ש־ ‪V‬‬ ‫במטריצת המעבר.‬
‫הוא סכום ישר של ‪ U‬ו־ ‪ W‬ורושמים ־ ‪.V = U ⊕ W‬‬
‫‪W‬‬ ‫=‬ ‫‪.U‬‬ ‫}‪= {(x, y, 0) |x, y ∈ R‬‬ ‫דוגמא:‬ ‫הערה: מטריצת מעבר בין בסיסים א"נ היא תמיד מטריצה א"ג.‬
‫}‪ .Z = {(0, y, z) |y, z ∈ R} ,{(0, 0, z) |z ∈ R‬אזי = ‪V‬‬
‫‪ ,U ⊕ W‬אבל לעומת זאת ־ ‪.V = U ⊕ Z‬‬
‫משפט: ‪ ⇔ V = U ⊕ W‬כל וקטור ‪ α ∈ V‬ניתן להצגה יחידה‬ ‫היטלים‬
‫כסכום של וקטור מ־ ‪ U‬ווקטור מ־ ‪.W‬‬
‫עוד כמה דברים שכדאי לזכור:‬ ‫הגדרה: יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית, יהי ‪ α ∈ V‬ויהי ‪ U‬־‬
‫תת־מרחב של ‪ .V‬אומרים ש־‪ α‬ניצבל־ ‪ U‬ומסמנים ‪ α⊥U‬אם‬
‫• אם ‪ V = U ⊕W‬אזי ‪ .dim V = dim U ⊕dim W‬כלומר:‬ ‫‪ α⊥β‬לכל ‪.β ∈ U‬‬
‫‪. dim U ⊕ W = dim U + dim W‬‬ ‫כדאי לזכור )הערה(: אם } ‪{β1 , ..., βk‬הוא בסיס של ‪ ,U‬אז‬
‫‪ α⊥βi ⇔ α⊥U‬לכל ‪.1 ≤ i ≤ k‬‬
‫• באופן כללי: − ‪dim (U + W ) = dim U + dim W‬‬ ‫סימון והגדרה:‬
‫) ‪ ,dim (U ∩ W‬ולכן ־ אם ‪ V = U + W‬וגם ־ = ‪dim V‬‬
‫= ⊥‪U‬‬ ‫יהי ‪ U‬תת־מרחב של ‪ .V‬מסמנים: ‪α ∈ V α⊥U‬‬
‫‪ dim U + dim W‬אזי: ‪.V = U ⊕ W‬‬
‫)כלומר, על הוקטורים שניצבים לאותו תת־תרחב(.‬
‫• ⊥ ‪ ,V = U ⊕ U‬לכן: ⊥ ‪ ,dim V = dim U + dim U‬וגם:‬ ‫⊥ ‪ U‬נקראה המשלים האורתוגונאלי של ‪ U ⊥ ) .U‬הוא תת־מרחב‬
‫אם } ‪ {α1 , ..., αk‬בסיס א"נ של ‪ U‬ואם } ‪{β1 , ..., βm‬‬ ‫של ‪.(V‬‬
‫בסיס א"נ של ‪ W‬אזי ־ ‪ α1 , ..., αk , β1 , ..., βm‬בסיס א"נ‬ ‫כדי לחשב את ⊥ ‪) U‬כאשר ‪ U‬נתון(, בוחרים בסיס של ‪U‬‬
‫של ‪.V‬‬ ‫) ‪ (β1 , ..., βk‬ומחפשים את הוקטור ‪ α ∈ V‬שמקיים:‬
‫7‬

8. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫הגדרה: אומרים ש־‪ A‬לכסינה אורתוגונאלית אם קיימת‬ ‫תכונות של העתקה:‬
‫מטריצה ‪ P‬ב־)‪ Mn (R‬כך ש־ ‪ P t AP‬היא מטריצה אלכסונית.‬ ‫‪.PU (α) = P rojU α ,PU : V → V‬‬
‫)כלומר, אם קיימת מטריצה א"ג ‪ P‬שמלכסנת את ‪ .(A‬במילים‬ ‫‪ PU .PU = PU ,ker PU = U ⊥ ,imPU = U‬מטילה את ‪V‬‬
‫2‬
‫אחרות: ‪ A‬לכסינה א"ג אם"ם ‪ A‬דומה א"ג למטריצה אלכסונית.‬ ‫על ‪ U‬במקביל ל־ ⊥ ‪.U‬‬
‫כמובן שמטריצה לכסינה א"ג היא מטריצה לכסינה, אבל ההפך‬ ‫מטריצה אורתוגונאלית:‬
‫אינו נכון.‬ ‫‪ A‬א"ג ⇔‪A · At = At · A = I‬‬
‫משפט חשוב ביותר: ‪ A‬מטריצה לכנסינה א"ג ⇔ ‪ A‬סימטרית.‬ ‫שורות ‪ A‬מהוות בסיס א"נ ל־ )‪ R(n‬עם מכפלה סטנדרטית.‬
‫עובדה: אם ‪ A‬סימטרית אזי היא גם לכסינה.‬ ‫עמודות ‪ A‬מהוות בסיס א"נ ל־ ‪ Rn‬עם מכפלה סטנדרטית.‬
‫עובדה: ו"ע השייכים לע"ע שונים של מטריצה סימטרית ניצבים‬ ‫כדאי לזכור: ‪ (¯, v ) = ut · v‬ולכן גם: ) ‪(A · x, y) = (¯, At · y‬‬
‫¯‬ ‫‪x‬‬ ‫¯‬ ‫¯ ‪u‬‬ ‫¯ ¯‬
‫זה לזה.‬ ‫ואם ‪ A‬א"ג: ‪. A · x = x‬‬
‫¯‬ ‫¯‬
‫אם ‪ V = U ⊕ W‬אזי לכל וקטור ‪ α ∈ V‬קיימים וקטורים‬
‫ליכסון מטריצה א"ג הוא כמו ליכסון של מטריצה רגילה רק עם‬ ‫יחידים, ‪ β ∈ U‬ו־ ‪ γ ∈ W‬כך ש־‪ β .α = β + γ‬נקרא ההיטל‬
‫תוספת אחת ־ מבצעים את תהליך גרהם־שמידט על כל אחד‬ ‫של ‪ α‬על ‪ U‬במקביל ל־ ‪ .W‬ניתן לסמן אותו: )‪.P rojU W (α‬‬
‫מהבסיסים של המרחבים העצמיים, כדי להפוך בסיסים אלה‬ ‫איך לחשב את ההיטל?‬
‫לבסיסים א"נ!!!‬ ‫בוחרים בסיס ‪α1 , ..., αk‬של ‪ U‬ובסיס ‪ β1 , ..., βm‬של ‪ W‬היות‬
‫איך למצוא בסיס א"נ ‪ B‬של ‪ V‬כך ש־ ‪ [T ]B‬תהיה מטריצה‬ ‫ו־ ‪ V = U ⊕ W‬חייב להתקיים: ‪ α1 , ..., αk , β1 , ..., βm‬בסיס‬
‫אלכסונית?‬ ‫של ‪ .V‬כעת, קיימים סקלרים ‪ t1 , ..., tk , s1 , ..., sm‬יחידים, כך‬
‫ש־ ‪α = t1 · α1 + · · · + tk · αk + s1 · β1 + · · · + sm · βm‬‬
‫1. בוחרים בסיס א"נ ‪ E‬של ‪ V‬ומחשבים את המטריצה ‪.[T ]E‬‬ ‫‪∈U‬‬ ‫‪∈W‬‬
‫‪W‬‬ ‫=‬ ‫‪,U‬‬ ‫=‬ ‫}0 = ‪{(x, y, z) |x − y + z‬‬ ‫דוגמא:‬
‫2. אם ‪ [T ]E‬אינה סימטרית, אז לא קיים בסיס כנדרש.‬ ‫}‪.{(x, x, x) |x ∈ R‬‬
‫3. אם ‪ [T ]E‬סימטרית אז מלכסנים את ‪ [T ]E‬א"ג, כלומר,‬ ‫בסיס של ‪ U‬־ })1 ,1 ,0( , )0 ,1 ,1({, בסיס של ‪ W‬־‬
‫מוצאים מטריצה אלכסונית ‪ D‬ומטריצה א"ג ‪ P‬כך ש־‬ ‫})1 ,1 ,1({.‬
‫‪ .P t · [T ]E · P = D‬אח"כ לוקחים את הבסיס ‪ B‬ש־‬ ‫})1 ,1 ,1( , )1 ,1 ,0( , )0 ,1 ,1({ ־ בסיס של )3(‪.R‬‬
‫‪P‬היא מטריצת המעבר ממנו ל־‪) E‬אם ‪ E‬הוא הבסיס‬ ‫נמצא את הסקלרים שמקיימים: + )0 ,1 ,1( 1‪(a, b, c) = t‬‬
‫הסטנדרטי של של ‪ Rn‬אז ‪ B‬הוא למעשה העמודות של‬ ‫)1 ,1 ,1( 3‪ .t2 (0, 1, 1) + t‬פותרים את מערכת המשוואות,‬
‫‪ [T ]B = D .(P‬כנדרש.‬ ‫כאשר הוקטורים הם העמודות, ולבסוף מקבלים:‬
‫)1 ,1 ,1( )‪(a, b, c) = (b − c) (1, 1, 0) + (b − a) (0, 1, 1) + (c − b + a‬‬
‫)‪T (a,b,c‬‬
‫‪VI‬‬ ‫חלק‬ ‫ולכן: )‪.T (a, b, c) = (b − c, 2b − a − c, b − a‬‬
‫משפט: ‪ T : V → V‬העתקה לינארית שמקיימת ‪,T 2 = T‬‬
‫תבניות ריבועיות‬ ‫נסמן: ‪ ,imT = U, ker T = W‬אזי: ‪ V = U ⊕ W‬וגם: ‪T‬‬
‫היא ההטלה של ‪ V‬על ‪ U‬במקביל ל־ ‪.W‬‬
‫אם ‪ TA (¯) = A · x‬אזי: ‪ TA‬היא הטלה ⇔ ‪ A2 = A‬ובמקרה‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫1‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫¯‬
‫‪. A ∈ Mn (R) ,qA : Rn → R ,¯ = ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬ ‫.‬
‫.‬
‫‪‬‬ ‫זה ‪ TA‬היא הטלה של ‪ F n‬על מרחב העמודות של ‪ A‬במקביל‬
‫.‬ ‫‪‬‬
‫למרחב האפס של ‪.A‬‬
‫‪xn‬‬
‫העתקה אורתוגונאלית:‬
‫¯‪ qA (¯) = xt · A‬לכל ‪ ,¯ ∈ Rn‬פונקציה זו היא תמיד תבנית‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫¯‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ T‬העתקה א"ג אם"ם:‬
‫ריבועית.‬ ‫1. )‪.(T (α) , T (β)) = (α, β‬‬
‫לכל תבנית ריבועית קיימת מטריצה ‪ ,A‬אבל היא אינה יחידה!‬ ‫2. ‪. T (α) = α‬‬
‫חשוב לזכור ־ לכל תבנית ריבועית קיימת מטריצה סימטרית‬ ‫3. ‪ T‬שומרת על הזויות בין וקטורים )בכיוון ההפוך זה לאו‬
‫יחידה. כך ש־¯‪.q (¯) = xt A‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪¯ x‬‬ ‫דווקא נכון...(.‬
‫עבור ‪ A‬סימטרית:‬ ‫4. ‪ T‬חח"ע.‬
‫‪ = Aii‬המקדם של 2‪ x‬בתבנית ‪.q‬‬
‫‪i‬‬ ‫5. ‪ T‬מעבירה בסיס א"נ )כלשהו( של ‪ V‬לבסיס א"נ אחר של‬
‫ועבור ‪ 1 = Aij = Aji :i = j‬מקדם ‪) xi xj‬או ‪ (xj xi‬בתבנית‬
‫2‬ ‫‪.V‬‬
‫‪.q‬‬ ‫6. ‪ B‬בסיס א"נ של ‪ [T ]B .V‬היא מטריצה א"ג.‬
‫הגדרה: תבנית ריבועית ‪ q : Rn → R‬נקראת תבנית ריבועית:‬ ‫משפט: מטריצת המעבר בין שני בסיסים א"נ בממ"פ היא‬
‫מטריצה א"ג.‬
‫• חיובית לחלוטין: אם 0 > )¯( ‪ q‬לכל ‪.0 = x ∈ Rn‬‬
‫¯‬ ‫‪x‬‬
‫הגדרה: תהיינה )‪ A, B ∈ Mn (R‬אומרים ש־‪ A‬דומה‬
‫• חיובית למחצה: אם 0 ≥ )¯( ‪ q‬לכל ‪ x ∈ R‬ויש ∈ ‪0 = x‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪x‬‬ ‫אורתוגונאלית ל־‪ B‬ורושמים: ‪ A ∼O B‬אם קיימת מטריצה‬
‫=‬
‫‪ Rn‬כך ש־ 0 = )¯( ‪.q‬‬
‫‪x‬‬ ‫א"ג )‪ P ∈ Mn (R‬כך ש־ ‪.A = P t BP‬‬
‫הערות:‬
‫• שלילית לחלוטין: אם 0 < )¯( ‪ q‬לכל ‪.0 = x ∈ Rn‬‬
‫¯‬ ‫‪x‬‬ ‫1. מטריצות המציגות אותה העתקה לפי בסיסים א"נ שונים של‬
‫‪ V‬דומות א"ג.‬
‫• שלילית למחצה: אם 0 ≤ )¯( ‪ q‬לכל ‪ x ∈ R‬ויש ∈ ‪0 = x‬‬
‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪x‬‬ ‫2. אם ‪ A‬דומה א"ג ל־‪ B‬אזי בהכרח ‪ A‬דומה ל־‪,(A ∼ B) B‬‬
‫=‬
‫‪ Rn‬כך ש־ 0 = )¯( ‪.q‬‬
‫‪x‬‬ ‫אבל הכיוון ההפוך אינו בהכרח נכון. ‪. A ∼ B ⇒ A ∼O B‬‬
‫=‬ ‫=‬
‫8‬

9. ‫סמסטר ב' ־ תשע"ב‬ ‫אלגברה לינארית ב'‬
‫• משנה סימן: אם ‪ q‬היא אף אחת מארבעת הסוגים‬
‫שלמעלה, כלומר ישנו ‪ x ∈ Rn‬כך ש־ 0 > )¯( ‪ q‬וישנו‬
‫‪x‬‬ ‫¯‬
‫‪ y ∈ Rn‬כך ש־ 0 < )¯( ‪. q‬‬
‫‪y‬‬ ‫¯‬
‫הערה: כל תבנית ריבועית מקיימת: 0 = ¯( ‪.q‬‬
‫)0‬
‫איך קובעים לאיזה סוג שייכת תבנית ריבועית נתונה?‬
‫1. אם המטריצה המתאימה ל־‪ q‬היא מטריצה אלכסונית 6,‬
‫אזי אומרים ש־‪ q‬היא תבנית של ריבועים, וקל לקבוע‬
‫לאיזה סוג היא שייכת:‬
‫)א( אם כל הערכים )על האלכסון( גדולים מאפס ־ ‪q‬‬
‫חיובית לחלוטין.‬
‫)ב( אם כל הערכים גדולים או שווים לאפס, ולפחות ערך‬
‫אחד שווה לאפס ־ חיובית למחצה.‬
‫)ג( אם כל הערכים )על האלכסון( קטנים מאפס ־ ‪q‬‬
‫שלילית לחלוטין.‬
‫)ד( אם כל הערכים קטנים או שווים לאפס, ולפחות ערך‬
‫אחד שווה לאפס ־ שלילית למחצה.‬
‫)ה( אם יש באלכסון ערך אחד חיובי וערך אחד שלילי ־‬
‫‪ q‬משנה סימן.‬
‫2. } ‪ B = {¯1 , ..., vn‬בסיס כלשהו של ‪ Rn‬־ ‪ P‬מטריצת‬
‫‪v‬‬ ‫¯‬
‫המעבר מ־‪ B‬ל‪] E‬עמודות ‪ P‬הם וקטורי הבסיס ‪.[B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q (¯) = [¯]B · [q]B · [¯]B .[q]B = P t · A · P‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫3. איך מוצאים את המטריצה האלכסונית ‪ ?[q]B‬מלכסנים‬
‫את המטריצה הסימטרית המייצגת של ‪ q‬ע"י כך שכך‬
‫פעולה שאנחנו מצבעים על השורות, אנחנו מבצעים מיד‬
‫אחר כך על העמודות )פעולה אלמנטרית כמובן(.‬
‫ואז: 1‪.P = E1 · E2 · · · Ek ,P t = Ek · · · E2 · E‬‬
‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬
‫4. ניתן להפוך את המטריצה האלכסונית למטריצה קנונית‬
‫ע"י 1√ על כל שורה ועמודה )זה יוצא על אותו איבר(.‬
‫‪λi‬‬
‫נכנה אותה מטריצה ‪.C‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪q (x) = x y z · C ·  y ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫5. ולמעבר לוקטור הרגיל: ‪ y  = P −1 ·  y ‬‬
‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬
‫6כלומר, כל האיברים שהם לא באלכסון הם אפסים.‬
‫9‬