סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב

csnotes
csnotes
••
Educación

סיכום קצר של הקורס - כלים מתמטיים למדעי המחשב. מאת ד"ר לור ברתל. כולל בין השאר: מרוכבים, פונקציות, וקטורים, מישורים ישרים ונקודות. ניתן למצוא סיכומים נוספים באתר: http://www.letach.net

סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב

••
csnotes
csnotes
Educación

סיכום קצר של הקורס - כלים מתמטיים למדעי המחשב. מאת ד"ר לור ברתל. כולל בין השאר: מרוכבים, פונקציות, וקטורים, מישורים ישרים ונקודות. ניתן למצוא סיכומים נוספים באתר: http://www.letach.net

סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב

1 de 12
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫וקטורים ומרחקים:‬ ‫1. וקטורים:‬ ‫וקטור ‪ u‬מוגדר בין שתי הנקודות ) 1‪x1 , y1 , z‬‬ ‫) 2‪B = x2 , y2 , z‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫= ‪,A‬‬ ‫)ב( הגדרות ודרכי הצגה של מישורים וישרים:‬ ‫ניתן להגדיר כל ישר ע"י:‬ ‫‪x = x0 + u1 t‬‬ ‫‪y = y0 + u2 t‬‬ ‫‪z = z0 + u3 t‬‬ ‫כאשר, ) 0‪ (x0 , y0 , z‬זאת נקודה על הישר ו־‪ t‬הוא‬ ‫סקלר.‬ ‫שאלה: מה ההבדל בין ישר לוקטור?‬ ‫תשובה: וקטור הוא בעצם תזוזה ממקום למקום,‬ ‫למשל: הוקטור ]4 ,3[ אומר לנו לזוז 3 בכיוון ‪ x‬ועוד‬ ‫4 בכיוון ‪ y‬מכל נקודה שהיא...‬ ‫ישר לעומת זאת, הוא מרחק בין שתי נקודות קיימות,‬ ‫כלומר, הוא בעצם "משהו" שכבר קיים.‬ ‫למשל, אם נניח אני הולך מספר צעדים בכיוון‬ ‫בכלשהו באיזה חדר, אז מבחינה עובדתית הלכתי‬ ‫באותו החדר הספציפי )זה הישר...(, לעומת זאת,‬ ‫את המרחק שאני עברתי )מנקודה אחת לאחרת(‬ ‫כל אחד היה יכול לעשות בכל מקום אחר בעולם‬ ‫)במידה והיה לו מספיק מקום..( ־ וזה בדיוק‬ ‫הווקטור ־ המרחק שאותו אני עובר בלי קשר להיכן‬ ‫אני נמצא.‬ ‫] 1‪u=[x2 −x1 ,y2 −y1 ,z2 −z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫] ‪u = AB = [Bx − Ax , By − Ay ] = [ux , uy‬‬ ‫אם ‪ A = B‬אזי 0 = ‪u‬‬ ‫דיאגרמת החיבור‬ ‫‪B‬‬ ‫?‬ ‫‪v‬‬ ‫‪/D‬‬ ‫?‬ ‫‪u‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪u+v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‬ ‫)א( תכונות הווקטורים:‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫אורך 1 של וקטור ‪ u‬מסומן עי:‬ ‫)אם מדובר בוקטור עם שני‬ ‫2 ‪x2 + y 2 + z‬‬ ‫מימדים אזי: 0 = ‪.(z‬‬ ‫המשמעות של • )מכפלה של שני וקטורים( :‬ ‫‪u • v =ux · vx +uy · vy +uz · vz‬‬ ‫2 ‪.u • u = u‬‬ ‫0=‪0•u‬‬ ‫)‪a · v = [a · vx , a · vy , a · vz ] (a ∈ R‬‬ ‫‪v+u=u+v‬‬ ‫)‪a · (u • v) = (a · u) • v = (a · v) • u (a ∈ R‬‬ ‫)שימו לב לאילו סימנים של כפל יש כאן! מתי יש לנו‬ ‫· )כאשר מדובר בכפל של סקלר בוקטור( ומתי יש‬ ‫לנו • )כפל של וקטור בוקטור((.‬ ‫מהמשפט האחרון ניתן להסיק שני דברים‬ ‫חשובים:‬ ‫א. כפל של סקלר בוקטור מחזיר וקטור.‬ ‫ב. כפל של וקטור בוקטור מחזיר סקלר.‬ ‫)בתמונה למעלה:‬ ‫גיאומטריה(‬ ‫הניצב,‬ ‫הוקטור‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬ ‫להציב:‬ ‫הוא‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫0 = ) 0‪u1 (x − x0 ) + u2 (y − y0 ) + u3 (z − z‬‬ ‫מישור ניתן להגדיר עי שני ישרים ונקודה:‬ ‫‪x = x 0 + u 1 t + v1 s‬‬ ‫‪y = y 0 + u 2 t + v2 s‬‬ ‫‪z = z0 + u3 t + v3 s‬‬ ‫חשוב לזכור שאסור ש־‪ u‬ו־‪ v‬יהיו מקבילים )או‬ ‫מתלכדים כמובן(.‬ ‫‪u • (v + w) = u • v + u • w‬‬ ‫‪a · v = |a| · v‬‬ ‫דרך נוספת להגדיר מישור היא על־ידי נקודה‬ ‫ווקטור ניצב 2.‬ ‫3‬ ‫נקודה: )‪ A = (x, y, z‬וקטור ניצב: ]‪. n = [a, b, c‬‬ ‫לוקחים נקודת נוספת ) 0‪ P = (x0 , y0, z‬עפ‬ ‫‪u•v‬‬ ‫הנוסחא שלמעלה‬ ‫= ‪ cos a‬אם‬ ‫‪u · v‬‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫הוקטור 0 = ‪ AP • n‬אזי הנקודה ‪ P‬במישור. )מכיוון‬ ‫עוד כמה נוסחאות כלליות שכדאי לזכור:‬ ‫‪ = α) u • v = u · v · cos α‬הזווית החדה שבין‬ ‫שני הוקטורים(.‬ ‫מהנסוחא שלמעלה נובע ש: ‪.cos α = uu•vv‬‬ ‫·‬ ‫מקרה פרטי של הנוסחא האחרונה: אם 0 = ‪u • v‬‬ ‫אזי 0 = ‪ ⇐= cos α‬הוקטורים ניצבים.‬ ‫1)נקרא גם נורמה(.‬ ‫האחים יעקוב ויוהאן ברנולי משוחחים בנושא‬ ‫2עוד מעט יוסבר כיצד ניתן למצוא וקטור ניצב למישור ווקטור הניצב לישר.‬ ‫3נהוג לציין וקטור ניצב ב־‪.n‬‬ ‫1‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫שהוקטור ‪ n‬ניצב לוקטור ‪ AP‬ובגלל שהגדרנו כך‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫שוקטור ‪ n‬ניצב למשור, לכן הוא גם ניצב ל־ ‪AP‬‬ ‫שעל המישור(.‬ ‫בנוסף, ניתן להציג מישור כך: = ‪Π = ax + by + cz‬‬ ‫‪ d‬כך ש־ ]‪) n = [a, b, c‬הוקטור הניצב למישור(.‬ ‫איך מגיעים להצגה פרמטרית של הישר‬ ‫הניצב למישור:‬ ‫אם יש לנו מישור מהסוג:‬ ‫21 = ‪ Π1 = 3x + 2y − 7z‬אזי הוקטור הניצב‬ ‫למישור הינו: ]7− ,2 ,3[ = ‪ .n‬בשביל לעבור‬ ‫להצגה שהוזכרה קודם לכן, לוקחים נקודה‬ ‫שנמצאת על המישור, למשל: )1− ,1 ,1(. ואז‬ ‫מציגים את הכל בדרך של הצגה פרמטרית:‬ ‫‪x = 1 + 3t‬‬ ‫‪→ y = 1 + 2t‬‬ ‫‪z = −1 − 7t‬‬ ‫וזאת הצגה פרמטרית של הישר הניצב למישור 1‪Π‬‬ ‫הוקטור הניצב ל־ ]‪ [a, b‬הוא: ]‪ [−b, a‬או ]‪.[b, −a‬‬ ‫בשביל למצוא וקטור הניצב ל־ ]‪ [a, b, c‬כל מה‬ ‫שצריך לעשות הוא להחליף שני מיקום של שני‬ ‫רכיבים 4, לשנות לאחד מהם את הסימן ולאפס‬ ‫את השלישי. )ניתן לבדוק זאת עי הכפל בניהם(.‬ ‫למשל: ]‪ [0, c, −b‬או ]0 ,‪ [b, −a‬או ]0 ,‪.[−b, a‬‬ ‫)ג( מרחקים בין ישרים, מישורים ונקודות:‬ ‫‪ .i‬מרחק בין שני ישרים:‬ ‫ראשית כל צריך לבדוק שהישרים אינם נחתכים‬ ‫)×( או מקבילים )| |( או מתלכדים )כלומר,‬ ‫מדובר בעצם באותו ישר(. איך בודקים זאת?‬ ‫משווים את שני הישרים, כאשר בצד אחד‬ ‫מציבים את הפרמטר ‪ t‬ובצד השני את הפרמטר‬ ‫‪:s‬‬ ‫א'. יש איסוף פתרונות? הישרים מקבילים‬ ‫או מתלכדים. איך בודקים? לוקחים נקודה‬ ‫על אחד הישרים ובודקים אם היא נמצאת‬ ‫על הישר השני ־ אם היא נמצאת: הישרים‬ ‫מתלכדים. אם לא ־ הישרים מקבילים.‬ ‫שאלה: מה ההגיון בכך?‬ ‫תשובה: אם הישרים מקבילים ־ אין שום‬ ‫נקודה משותפת. אם הישרים מתלכדים ־‬ ‫זה אומר שזה בעם אותו ישר ־ כלומר ־ כל‬ ‫הנקודות משותפות. לכן זה בעצם או הכל‬ ‫או כלום ־ או שכל הנקודות משותפות או‬ ‫שאין אף נקודה משותפת...‬ ‫ב'. יש פתרון יחיד? הישרים נחתכים בדיוק‬ ‫בנקודה אחת. מה שעושים כדי למצוא‬ ‫אותה לוקחים את אחד הפרמטרים ומציבים‬ ‫אותו היכן מהיכן שלקחנו אותו.‬ ‫4)רכיבי הוקטור הינם ‪(a, b, c‬‬ ‫2‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬ ‫דוגמא:‬ ‫ניקח את שני הישרים:‬ ‫1‪:L‬‬ ‫‪x = 2t‬‬ ‫‪y = 4 + 5t‬‬ ‫‪z = 1 + 2t‬‬ ‫2‪:L‬‬ ‫‪x = 3 + 3t‬‬ ‫‪y = 2 + 3t‬‬ ‫‪z = 5t‬‬ ‫כעת, ניצב ונראה מה אנחנו מקבלים:‬ ‫‪2t = 3 + 3s‬‬ ‫‪4 + 5t = 2 + 3s‬‬ ‫‪1 + 2t = 5s‬‬ ‫פותרים את מערכת המשוואות‬ ‫)במקרה הזה ככל הנראה למערכת‬ ‫אין פתרון( ואם יש פתרון יחיד )כלומר‬ ‫יש ערך אחד עבור ‪ t‬וערך אחד עבור‬ ‫‪ (s‬מציבים או את ‪ t‬או את ‪ s‬בהתאם‬ ‫לישר שבו נמצא הפרמטר.‬ ‫האפשרות השלישית,‬ ‫ג'. אין פתרון?‬ ‫אחרי שראינו שאין פתרון, היא שהישרים‬ ‫מצטלבים. מה הכוונה? שהם עוברים אחד‬ ‫מעל השני )או אחד מתחת לשני( בדיוק‬ ‫בנקודה אחת.‬ ‫‪ .ii‬מרחק בין שני מישורים:‬ ‫למישורים ישנן שתי אפשרויות ־ או שהם‬ ‫מצטלבים )ואז יש ישר חיתוך( או שהם מקבילים‬ ‫)ואז צריך לחשב מה המרחק בניהם(.‬ ‫א'. המישורים מקבילים:‬ ‫נתונים שני מישורים מקבלים:‬ ‫2‬ ‫נניח: 5 = ‪1 : x − y + 3z‬‬ ‫3− = ‪.x − y + 3z‬‬ ‫נבחר נקודה 1‪ p‬שנמצאת ב־ 1 ונבנה ישר‬ ‫‪ L‬שניצב למישור 1 ולמישור 2 ועובד‬ ‫דרך 1‪ .p‬נחפש את הנקודה שבה הישר‬ ‫חותך את 2 ־ 2‪ p‬ונחשב את המרחק בין‬ ‫1‪ p‬ל־ 2‪...p‬‬ ‫הנקודה שנבחר היא: )0 ,0 ,5( = 1‪,p‬‬ ‫לכן, ההצגה הפרמטרית של ‪) L‬בהתאם‬ ‫לנקודה(? היא:‬ ‫‪x=5+t‬‬ ‫‪y = −t‬‬ ‫‪z = 3t‬‬ ‫נמצא את נקודה 2‪ p‬שהיא החיתוך של‬ ‫הישר עם מישור 2 :‬ ‫)וקטור כיווני: ]3 ,1− ,1[ = 1‪.(n‬‬ ‫= ‪(5 + t)−(−t)+3 (3t) = −3 ⇒ 11t‬‬ ‫8‬ ‫− = ‪−8 =⇒ t‬‬ ‫11‬ ‫1‬ ‫ו־ 2‬ ‫ו־ :‬ ‫.‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫לכן: 8 · 3− , 8 , 8 − 5 = 2‪.p‬‬ ‫11 מרחק11בין11הנקודות: → −‬ ‫−‬ ‫2‪. p1 p‬‬ ‫מחשבים‬ ‫√‬ ‫11‬ ‫8.‬ ‫התוצאה הסופית ־‬ ‫11‬ ‫ב'. המישורים מצטלבים:‬ ‫יש ישר חיתוך בניהם ־ וקטור כיווני של ישר‬ ‫החיתוך הוא 2‪.n1 × n‬‬ ‫מוצאים נקודה בישר החיתוך )נקודה‬ ‫כלשהי שמשותפת לשני המישורים(:‬ ‫לוקחים את שתי המשוואות של המישורים‬ ‫ופותרים את מערכת המשוואות )קובעים‬ ‫ערך עבור משתנה מסוים ואז פותרים את‬ ‫המערכת עם שני הנעלמים שנותרו. אם‬ ‫מגיעים למצב שאין פתרון, אז פשוט מנסים‬ ‫להציב את אותו ערך עבור משתנה אחר‬ ‫]בדרך כלל נציב אפס באחד המשתנים[(.‬ ‫רק בשביל להבהיר:‬ ‫ההבדל בין וקטור כיווני לוקטור ניצב:‬ ‫0 = ) 0‪ a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z‬־ נקודה:‬ ‫) 0‪ ,(x0 , y0 , z‬וקטור ניצב ־ ]‪. [a, b, c‬‬ ‫1‪x = a1 + t · u‬‬ ‫2‪ y = a2 + t · u‬נקודה: ) 3‪ (a1 , a2 , a‬וקטור כיווני ־‬ ‫3‪z = a3 + t · u‬‬ ‫) 3‪.(u1 , u2 , u‬‬ ‫)וקטור כיווני הוא הוקטור שבונה את הישר/מישור ולכן‬ ‫הוא בעצם מקביל לו, לעומת הניצב, שניצב לאותו וקטור ולכן‬ ‫הוא ניצב לאותו ישר/מישור(‬ ‫אוילר והמרוכבים: ‪r · eiθ‬‬ ‫כיצד ניתן להגיע להצגת אוילר? ) ‪(r · eiθ‬‬ ‫בשביל להגיע לצורת ההצגה הזאת, אנחנו צריכים שני מרכיבים:‬ ‫‪ r‬ו־‪) θ‬הזוית של המספר המרוכב(.‬ ‫√‬ ‫2‪.r = |z| = a2 + b‬‬ ‫וחישוב ‪ θ‬הוא טיפה יותר מורכב. יש שתי דרכים:‬ ‫אם 0 = ‪ z‬אזי:‬ ‫0 )‪Re (z‬‬ ‫‪+π‬‬ ‫0 )‪Re (z‬‬ ‫0 )‪Re (z) = 0, Im (z‬‬ ‫)‪Im(z‬‬ ‫)‪Re(z‬‬ ‫)‪Im(z‬‬ ‫)‪Re(z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪θ = arctan‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫או:‬ ‫0≥‬ ‫0‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪arccos Re z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪− arccos Re‬‬ ‫=‪θ‬‬ ‫וגם: ‪eiθ = cos θ + i · sin θ‬‬ ‫כיצד מציגים את הקבוצה במישור גאוס? )ואיך‬ ‫משרטטים העברה(‬ ‫הרעיון הוא כזה ־ לוקחים מערכת צירים ומשרטטים מעגל‬ ‫בהתאם לתנאי הרדיוסים:‬ ‫במקרה הבא: 3 ≤ ‪:2 ≤ r‬‬ ‫כעת ממלאים את השטח המתאים בהתאם לתנאי הזוית:‬ ‫במקרה הבא 0 ≥ )‪.Im (z) ≤ 0, Re (z‬‬ ‫דיוקן של ליאונרד אוילר: מתמטיקאי שוויצרי ־ 3871־7071‬ ‫הגדרה של מספר מרוכב‬ ‫כל מספר מרוכב ניתן להגדיר בדרך הבאה:‬ ‫‪ z = a + bi‬כאשר ‪ a‬נקרא החלק הממשי של המספר ומסומן‬ ‫ב־)‪ Re (z‬ואילו ‪ b‬נקרא החלק המדומה ומסומן ב־)‪.Im (z‬‬ ‫נניח ויש לנו את המספר 2 = ‪ z‬אזי 0 = )‪.Im (z‬‬ ‫כמה נוסחאות שכדאי לזכור במרוכבים:‬ ‫)1(‬ ‫2‪a2 + b‬‬ ‫)2(‬ ‫2‬ ‫= |‪|z‬‬ ‫1− = ‪i‬‬ ‫3‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫כאשר יש צורך לבצע העתקה, אנחנו לוקחים את הפונקציה‬ ‫הנתונה ורואים איך היא משפיע על הרדיוס ועל הזוית, ניקח למשל‬ ‫1‬ ‫את הפונקציה הבאה: )0 = ‪ ,f : C → C, x −→ − x (x‬אזי‬ ‫נשים לב שעכשיו שחלק מהסימנים משתנים:‬ ‫1‬ ‫1 − ≤ ‪) − 1 ≤ r‬כי: 1 − 2 − (, ולגבי הזווית: )‪Im (z‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫0 )‪) 0, Re (z‬מכיוון שגם − )מינוס( משנה סימן , וגם ··· , לכן‬ ‫כיוון שהסימן משתנה פעמיים אז הוא נשאר אותו דבר, מלבד‬ ‫הזווית שבה זה לא יכול להיות שווה לאפס(.‬ ‫עכשיו מה שצריך לעשות זה לשרטט את השירטוט עם התנאים‬ ‫החדשים...‬ ‫משמעות של כפל בין שני מספרים מרוכבים:‬ ‫♣‬ ‫) 2‪z1 · z2 = r1 · r2 ·ei (θ1 + θ‬‬ ‫− מתיחה ביחס ל־‪.r‬‬ ‫♣− סיבוב בזווית 2‪ θ‬מסביב 0.‬ ‫הרעיון הוא שמחפשים פתרון למשוואה ‪ z n = W‬כאשר ∈ ‪W‬‬ ‫‪ .C‬אם 0 = ‪ z‬אזי 0 = ‪ ,W‬אבל אם לא, ישנן ‪ n‬פתרונות. לפני‬ ‫שמגיעים אליהם צריך למצוא שני דברים:‬ ‫√‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ z0 = n r · ei n‬ו־ ‪. ζn = ei n‬‬ ‫שורשי היחידה )הפתרונות( הם:‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1−‪n‬‬ ‫‪z0 , z0 · ζn , z0 · ζn , . . . , z0 · ζn‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.z0 · ζn = 1⇐ ζn = ei n k‬‬ ‫צריך להציג את התשובות הסופיות בצורה של ‪) a + ib‬אפשר‬ ‫להשתמש בנוסחא שלמעלה: ‪(eiθ = cos θ + i · sin θ‬‬ ‫שנוניות‬ ‫מעגל‬ ‫איך פותרים משוואה ריבועית עם מרוכבים?‬ ‫נתחיל בתיאור קצר, של מה שצריך לעשות: )‪:(A, B, C ∈ Z‬‬ ‫נתונה לנו המשוואה: ‪:Az 2 + Bz + C‬‬ ‫1. מחשבים את ‪= B 2 − 4AC‬‬ ‫מציאת שורשי יחידה‬ ‫מעגל הוא אסוף הנקודות הנמצאות במרחק שווה )אשר נתון לנו(‬ ‫מנקודה נתונה.‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫משוואת המעגל: ‪.(x − x0 ) + (y − y0 ) = R‬‬ ‫.‬ ‫= 2 ‪) W‬כאן עיקר‬ ‫2. מחפשים ‪ (x + iy ⇐) W‬כך ש־‬ ‫הקושי(.‬ ‫√‬ ‫± ‪−B‬‬ ‫‪−B ± W‬‬ ‫=‬ ‫3.‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫דוגמא:‬ ‫נפתור את המשוואה: 0 = ‪.z 2 + (8 − 2i) z + 39 − 18i‬‬ ‫שלב ראשון:‬ ‫נחשב :‬ ‫2‬ ‫‪. = (8 − 2i) − 4 (39 − 18i) = −96 + 40i‬‬ ‫שלב שני:‬ ‫נמצא ‪ W = x + iy‬כך ש־ = 2 ‪W‬‬ ‫‪W 2 = x2 − y 2 + 2xyi = −96 + 40i‬‬ ‫יש לנו עכשיו שתי משוואות, המשוואה המודגשת והמשוואה הלא‬ ‫מודגשת:‬ ‫69− = 2 ‪x2 − y‬‬ ‫04 = ‪2xy‬‬ ‫)מה שחשוב לזוכר הוא שמשווים את מה שהוא חלק הממשי של‬ ‫הביטוי מצד שמאל עם החלק הממשי של הביטוי מצד ימין ואותו‬ ‫דבר לגבי החלק המודמה(. וגם חשוב לזכור שבמשוואה‬ ‫השניה לא מופיע ה־‪.(i‬‬ ‫מהמשוואה השניה יוצא לנו ש־ 02 = ‪ ,y‬נציב את זה במשוואה‬ ‫‪x‬‬ ‫הראשונה ונקבל: 69− = 004 − 2‪ ,x‬נכפול ב־ 2‪ x‬ונקבל ש:‬ ‫2‪x‬‬ ‫0 = 004 − 2‪ ,x4 + 96x‬נציב: 2‪t2 + 96t − 400 = 0 t = x‬‬ ‫נפתור את המשוואה ונקבל: 25·2±69− .‬ ‫2‬ ‫0 25 − 84− ־ לא מתאים.‬ ‫25 + 84− ⇐ 4 = ‪.x = ±2 ⇐ t‬‬ ‫נציב במשוואה השנייה ונקבל:‬ ‫01± = ‪ ,y‬נציב את אלו ב־ )‪:W (= x + yi‬‬ ‫)‪W = ± (2 + 10i‬‬ ‫ומכאן אנחנו מקבלים שהפרונות של המווהא הריבועית הן:‬ ‫‪− (8 − 2i) ± W‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ −8+2i+2+10i = −3 + 6i‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ −8−2i−2−10i = −5 − 4i‬‬ ‫2‬ ‫5הכוונה פה היא לגדלים השינוי הוא מ־ ל־ וההפך.‬ ‫פרבולה‬ ‫פרבולה היא אוסף הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה שווה‬ ‫למרחקן מישר קבוע.‬ ‫הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה.‬ ‫הישר הקבוע נקרא מדריך הפרבולה.‬ ‫2 1‬ ‫המשוואה הבסיסית של הפרבולה: ‪x‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫ניקח לדוגמא את הפרבולה 2‪ ,y = x‬ניתן לראות ש־ 1 = ‪p‬‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ולכן המוקד הוא 4 ,0 והמדריך הוא 4 − = ‪.y‬‬ ‫הזזה של הפרבולה‬ ‫נקודת האמצע בין המוקד למדריך נקראת: קודקוד אם אנחנו‬ ‫רוצים להזיז אותה מהנקודה )0 ,0( לנקודה ) 0‪ (x0 , y‬אזי מה‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫שנקבל הוא את המשוואה הבאה: ) 0‪. y − y0 = 4p (x − x‬‬ ‫צורות נוספות של משוואות הפרבולה וצורתה:‬ ‫1‬ ‫2‪∩ ⇐ y = − x‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫2 1‬ ‫= ‪⊂⇐ x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪⊃⇐ x = − y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫אליפסה‬ ‫אליפסה היא אוסף הנקודות אשר סכום מרחקיהן משתי נקודות‬ ‫קבועות נתונות שווה למרחק קבוע נתון.‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫משוואת האליפסה: 1 = 2 + 2 ⇐ 2‪.b2 = a2 − c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫4‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫בשביל למצוא את האסימפטוטות, כל מה שצריך לעשות‬ ‫הוא להציב 0 במקום ה־1 וכך נקבל את שתי המשוואות של‬ ‫האסימפטוטות.‬ ‫‪c‬‬ ‫אקסטצנריות: 1 ‪. e = a‬‬ ‫קודקודים: ) 0‪ ,(x0 ± a, y‬ובמקרה שמדובר בהיפרבולה הפוכה:‬ ‫)‪.(x0 , y0 ± a‬‬ ‫מוקדים: ) 0‪ ,(x0 ± c, y‬ובמקרה שמדובר בהיפרבולה הפוכה:‬ ‫)‪.(x√ y0 ± c‬‬ ‫,0‬ ‫2‪c = a2 + b‬‬ ‫היפרבולה הפוכה:‬ ‫‪ ±a‬־ קודקודי האליפסה.‬ ‫‪ ±c‬־ מוקדי האליפסה.‬ ‫אורך הציר הגדול: ‪.2a‬‬ ‫אורך הציר הקטן: ‪.2b‬‬ ‫הנקודה במרכז ־ מרכז האליפסה.‬ ‫‪c‬‬ ‫אקסטנצריות: ‪.(0 e 1) e = a‬‬ ‫אליפסה עומדת:‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1= 2 +‬ ‫2‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫איך יודעים אם האליפסה עומדת או שוכבת?‬ ‫צריך לזכור שתמיד ‪) a b‬באליפסה(, לכן, בודקים היכן נמצא‬ ‫‪) a‬או: המספר הכי גדול( ־ מתחת ל־‪ x‬או מתחת ל־‪.y‬‬ ‫מתחת ל־‪ x‬הפרבולה שוכבת. מתחת ל־‪ y‬הפרבולה עומדת.‬ ‫ההזה של אליפסה:‬ ‫בדיוק אותו רעיון כמו בשנוניות הקודמות, מרכז האליפסה הוא‬ ‫ב־) 0‪:(x0 , y‬‬ ‫) 0‪(x − x‬‬ ‫) 0‪(y − y‬‬ ‫)או ההפך בין ‪ a‬ל־‪ b‬אם מדובר‬ ‫+‬ ‫1 =‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫באליפסה עומדת(.‬ ‫כשפותרים תרגיל באליפסה צריך תמיד לבדוק שיש לנו את כל‬ ‫האותיות: ‪ a, b, c, e‬־ ככה ניתן למצוא מוקדים, קודקודים, אורך‬ ‫ציר גדול, אורך ציר קטן ואקסטנצריות.‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1= 2 −‬ ‫2‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הזזת ההיפרבולה לנקודה ) 0‪) (x0 , y‬מרכז ההיפרבולה(:‬ ‫) 0‪(x − x0 ) (y − y‬‬ ‫)או ההפך אם מדובר בהיפרבולה‬ ‫−‬ ‫1=‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫השניה(.‬ ‫משוואה של שנונית:‬ ‫כאשר נתונה לנו משוואה של שנונית מהצורה + 2 ‪Ax2 + By‬‬ ‫0 = ‪ ,Cx+Dy +E‬בשביל לדעת על איזו שנונית מדובר נפריד‬ ‫את ה־‪x‬־ים מה־‪y‬־ים ונעשה השלמה לריבוע. )נדאג שיהיה לנו‬ ‫גורם מהסוג ‪ ,t, s ∈ R , A tx2 + sx‬אותו דבר גם לגבי ה־‪.(y‬‬ ‫פונקציות‬ ‫אני מוותר על כתיבת ההגדרה של פונקציה )איך מסמנים אותה‬ ‫וכו'...( מכיוון שדברים אלו יובהרו בהמשך...‬ ‫תחום וטווח‬ ‫היפרבולה‬ ‫תחום‬ ‫אם היפרבולה זה בדיוק אותו רעיון כמו באליפסה, רק שהפעם:‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1 = 2 − 2 )מינוס במקום פלוס(.‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫תחום הפונקציה ‪ f‬הוא אוסף ה־‪x‬־ים ש־)‪ f (x‬מוגדר עבורם.‬ ‫סימון: ) ‪.Domain (f‬‬ ‫√‬ ‫למשל: ‪.Domain (f ) = [0, ∞) ,f (x) = x‬‬ ‫5‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫פעולות על פונקציות‬ ‫טווח‬ ‫טווח הפונקציה הוא כל ה־)‪) f (x‬או במילים אחרות ־ הערכים‬ ‫שהפונקציה יכולה להחזיר...(, מסומן: ) ‪.Range (f‬‬ ‫למשל: 2 ≥ ‪.Range (f ) = [5, ∞) ,f (x) = x + 3 x‬‬ ‫)שימו ♥ שהפונקציה מוגדרת רק עבור ‪x‬־ים גדולים מ־2, או:‬ ‫)∞ ,2[ = ) ‪.(Domain (f‬‬ ‫• )‪.(f + g) (x) = f (x) + g (x‬‬ ‫• )‪.(t ∈ R) (t · f ) (x) = t · f (x‬‬ ‫• )‪(f · g) (x) = f (x) · g (x‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫•‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫גרפים‬ ‫לגבי גרף של פונקציה חשוב לזכור שכל קו אנכי | )מבחינה‬ ‫גרפית קו אנכי הוא ‪ (a ∈ R, x = a‬חותך את הגרף )של‬ ‫הפונקציה( בנקודה אחת לכל היותר. הוא חותך אותה אםם‬ ‫) ‪.a ∈ Domain (f‬‬ ‫בשביל לדעת אם ערך מסוים נמצא בטווח הפונקציה, מעבירים‬ ‫קו אופקי − )‪ (b ∈ R, y = b‬ואם ) ‪ b ∈ Range (f‬הקו האופקי‬ ‫יחתוך את הגרף בנקודה אחת לכל הפחות.‬ ‫הרכבת פונקציות‬ ‫• ))‪(f ◦ g) (x) = f (g (x‬‬ ‫הרעיון בהרכבת פונקציות הוא כמו לשים קופסא בתוך קופסא,‬ ‫נניח ויש לנו ארבע פונקציות:‬ ‫• )‪f (x) = sin (3x‬‬ ‫• 3 − ‪g (x) = 8x‬‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית )חחע(‬ ‫פונקציה ‪ f‬היא חחע אם לכל 2‪) x1 , x‬בתחום( מתקיים‬ ‫) 2‪.x1 = x2 ⇔ f (x1 ) = f (x‬‬ ‫למשל:‬ ‫הפונקציה 3 = )‪ f (x‬איננה חחע מכיוון שאם שלא משנה אילו‬ ‫שני ערכים ניקח, תמיד ) 2‪ f (x1 ) = f (x‬אפילו אם 2‪,x1 = x‬‬ ‫וזה מנוגד להגדרה שלמעלה.‬ ‫הפונקציה 2‪ f (x) = x‬אינה חחע: ניקח ־ 2− = 2‪,x1 = 2, x‬‬ ‫עבור שני ערכים אלו נקבל אותו ערך )בפונקציה( וזה מנוגד‬ ‫להגדרה שלמעלה.‬ ‫הפונקציה: ‪ f (x) = x‬היא כן חחע.‬ ‫פונקצית על‬ ‫פונקציה נקראת פונקצית על אםם לכל ‪ y ∈ R‬קיים ‪ x‬כך‬ ‫ש־ )‪ .y = f (x‬או ־ ‪) Domain (f ) = R‬כלומר, הטווח של‬ ‫הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים ⇐ )∞ ,∞−( (.‬ ‫למשל: ‪ f (x) = x‬היא פונקציית על.‬ ‫לעומת זאת ‪ f (x) = 2x‬איננה פונקציית על מכיוון ש־‪(f (x)) y‬‬ ‫אף פעם לא יהיה קטן מ־0. )∞ ,0( = ) ‪.Range (f‬‬ ‫פונקציה זוגית‬ ‫היא פונקציה סימטרית ביחס לציר ה־‪ y‬אשר מקיימת = )‪f (−x‬‬ ‫)‪ .f (x‬למשל: 2‪) f (x) = x‬לכל ‪ x‬בטווח(.‬ ‫או למשל: √‬ ‫‪x‬‬ ‫0≥‪x‬‬ ‫= )‪) f (x‬הפונקציה שקולה לפונקציה: |‪.(f (x) = |x‬‬ ‫√‬ ‫0 ‪−x x‬‬ ‫וגם: )‪... f (x) = x2n ,f (x) = cos (x‬‬ ‫• 3 + ‪h (x) = 2x‬‬ ‫√‬ ‫• ‪p (x) = 9 − 5x‬‬ ‫אזי המשמעות של )‪ (f ◦ g) (x‬היא: ⇒ )))‪sin (3 · (g (x‬‬ ‫))3 − ‪.sin (3 · (8x‬‬ ‫ניקח למשל את: )‪ ,(g ◦ f ) (x‬מה שאנחנו צריכים לקבל הוא:‬ ‫)))‪ ,(g (f (x‬כלומר, ניקח את הפונקציה ‪ g‬־‬ ‫3 − ‪ g (x) = 8x‬והיכן שנמצא ה־‪ x‬שם נשים את הפונקציה‬ ‫הבאה ונקבל: 3 − )‪.8 · sin (3x‬‬ ‫דרך נוספת לראות את זה היא זו: במקום ‪ x‬נשים קופסא ) (.‬ ‫ניקח למשל את ההרכבה של )‪:(p ◦ h) (x‬‬ ‫√‬ ‫נכתוב את )‪ ,p (x‬רק שבמקום ‪ x‬נשים את הקופסא ־ 5 −9,‬ ‫עכשיו במקום הקופסא נשים את )‪ ,h (x‬מה שנקבל הוא:‬ ‫)3 + ‪.(p ◦ h) (x) = 9 − 5 (2x‬‬ ‫לפעמים צריך לישם סוגריים כי אחרת הפונקציה שיוצאת‬ ‫היא לא ההרכבה של הפונקציות )חשוב לבדוק מתי כן‬ ‫צריך ומתי לא(.‬ ‫בנוסף, תמיד הולכים משמאל לימין, מתחילים מהפונקציה‬ ‫הכי שמאלית וכל פעם מרכיבים לתוך את הפונקציה הבאה‬ ‫)מימין(.‬ ‫הרכבה קצת יותר ארוכה: )‪ (h ◦ p ◦ h‬־ )אני אראה זאת בשיטת‬ ‫הקופסא(:‬ ‫√‬ ‫‪9− 5x‬‬ ‫2⇒3+ 2‬ ‫נתחיל מ־)‪+ 3 :(h ◦ p‬‬ ‫עכשיו נשים קופסא ונמשיך לפונקציה הבאה ברשימה )‪:h (x‬‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫3 + )3+ 2(5 −92 ⇒ 3 + 5 −92‬ ‫הערה: כמובן שאם ‪ x‬מופיע יותר מפעם אחת, למשל בפונקציה:‬ ‫‪ ,f (x) = sin (5x) + 2x‬אזי במקום כל ‪ x‬נשים את הפונקציה‬ ‫הבאה.‬ ‫הזזות של גרפים‬ ‫פונקציה אי זוגיות‬ ‫היא פונקציה סימטרית ביחס לראשית הצירים, אשר מקיימת:‬ ‫)‪.f (−x) = −f (x‬‬ ‫דוגמאות: )‪...f (x) = x2n+1 ,f (x) = sin (x‬‬ ‫ניקח את הפונקציה: 2‪ f (x) = x‬ונבצע הזזה של ‪ x‬ב־1 ו־‪y‬‬ ‫2‬ ‫ב־)2−( ⇐ 2 − )1 + ‪: f (x) = (x‬‬ ‫ישנן כמובן פונקציות שהן לא זוגית וגם לא אי־זוגיות, למשל:‬ ‫4 + ‪) f (x) = x‬שימו ♥ שהפונקציה הנל לא עונה על אף אחת‬ ‫2‬ ‫מההגדרות...(, או )2 + ‪...f (x) = (x‬‬ ‫6‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫ובאופן כללי: אם יש לנו את הפונקציה הבאה: = )‪g (x‬‬ ‫‪ f (x + a) + b‬אזי זה אומר שאנחנו מזיזים את ‪ x‬ב־‪ a‬ואת‬ ‫‪ y‬ב־‪.b‬‬ ‫אם 0 ‪ a‬נזיז את הגרף שמאלה ב־‪ ,a‬אם 0 ‪ ,a‬נזיז את‬ ‫הגרף ימינה ב־‪.a‬‬ ‫אם 0 ‪ b‬נזיז את הגרף למעלה ב־‪ ,b‬אם 0 ‪ ,b‬נזיז את הגרף‬ ‫למטה ב־‪.b‬‬ ‫מתיחות של גרפים‬ ‫נניח ש: )‪ g (x) = c · f (x‬אזי מותחים את ‪ f‬בכיוון האנכי,‬ ‫2‬ ‫למשל, ניקח את הפונקציה 6 + )1 − ‪f (x) = − (x‬‬ ‫גבולות, רציפות של‬ ‫פונקציה ונגזרות‬ ‫הערה: בפרק הבאה הסימן ∅ פירושו יהיה לא קיים/לא‬ ‫מוגדר‬ ‫גבולות‬ ‫2‬ ‫ונניח ש־4 = ‪ ,c‬לכן: 6 + )1 − ‪g (x) = 4·f (x) = 4· − (x‬‬ ‫התוצאה:‬ ‫גבול בנקודה של פונקציה‬ ‫אני לא אתן הגדרה/אסביר אלא רק אביא דוגמא שתמחיש את הרעיון של מהו‬ ‫גבול בנקודה ספציפית‬ ‫)שימו ♥ ־ אולי הצורה נשארה אותו דבר, אבל אם תשימו לב‬ ‫לנקודות תראו שהיא גדלה פי 4....(‬ ‫1‬ ‫לעומת זאת, אם )‪ g (x) = f (c · x‬אזי מותחים את הגרף ב־ ‪c‬‬ ‫בצורה אנכית. בהמשך לדוגמא שלנו:‬ ‫2‬ ‫6 + )1 − ‪:g (x) = f (4 · x) = − (4x‬‬ ‫)גם כאן זאת אותה צורה, אך שימו ♥ לנקודות בציר ה־‪ x‬ביחס‬ ‫לדיאגרמה הראשונה...(.‬ ‫רק אזכיר כלל אחד חשוב: בגבול מימין ומשמאל, לא חשוב‬ ‫לנו איך הפונקציה מתנהגת בנקודה שאליה היא שואפת, אלא‬ ‫רק לאן היא שואפת...‬ ‫נסתכל בפונקציה המאויירת הבאה ונכנה אותה )‪:p (x‬‬ ‫• ∅ = )‪lim − p (x‬‬ ‫4−→‪x‬‬ ‫• 2 = )‪lim p (x‬‬ ‫+4−→‪x‬‬ ‫שיקופים‬ ‫• ∅ = )‪) lim p (x‬אם הגבול משמאל ומימין אינם שווים‬ ‫4−→‪x‬‬ ‫שיקוף ביחס לציר ה־‪ ,g (x) = f (−x) :y‬למשל: ניקח את‬ ‫√‬ ‫הפונקציה: ‪:f (x) = x‬‬ ‫⇐ אין גבול בנקודה(.‬ ‫• 2 = )‪lim p (x‬‬ ‫−2−→‪x‬‬ ‫• 1 = )‪lim p (x‬‬ ‫+2−→‪x‬‬ ‫• ∅ = )‪lim p (x‬‬ ‫2−→‪x‬‬ ‫√‬ ‫= )‪ ,f (x‬משמאל השיקוף ביחס לציר ה־‪ y‬־ = )‪g (x‬‬ ‫מימין ־ ‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪. −x‬‬ ‫√‬ ‫שיקוף ביחס לציר ה־‪:g (x) = −f (x) = − x .x‬‬ ‫ניקח כעת פונקציה כתובה )‪:φ (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪2x −2 ≤ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 = ‪φ (x) = 12 x‬‬ ‫2 ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‪x x‬‬ ‫• 4− = )‪lim φ (x‬‬ ‫2−→‪x‬‬ ‫7‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫רציפות‬ ‫• 01 = )‪lim φ (x‬‬ ‫−5→‪x‬‬ ‫רציפות כללית‬ ‫• 52 = )‪lim φ (x‬‬ ‫+5→‪x‬‬ ‫אומרים ש־ ‪ f‬רציפה ב־‪ a‬אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:‬ ‫• ∅ = )‪lim φ (x‬‬ ‫5→‪x‬‬ ‫1. ‪ f‬מוגדרת ב־‪.a‬‬ ‫משפט חשוב: אם לשתי פונקציות יש את אותם ערכים מלבד‬ ‫נקודה ספציפית אחת ־ אזי יש להן את אותו הגבול באותה‬ ‫נקודה.‬ ‫)‪p (x‬‬ ‫= )‪) f (x‬אין קשר בין‬ ‫נניח ויש לנו פונקציה רציונאלית:‬ ‫)‪q (x‬‬ ‫)‪ p (x‬שכאן לדוגמא למעלה( אשר מוגדרת ב־ ‪ x = a‬אזי ניתן‬ ‫פשוט להציב את ‪ a‬בתנאי ש 0 = )‪ .q (a‬במידה ו־0 = )‪ q (a‬אזי‬ ‫מחלקים את )‪ q (a‬ב־ )‪ (x − a‬ואז אפשר להציב )ניתן להסיק‬ ‫זאת מהמשפט החשוב שלמעלה(.‬ ‫או אפשרות אחרת היא לכפול בצמוד )העיקר שהמכנה לא‬ ‫יתאפס(.‬ ‫חשוב לזכור שאם הגבול משמאל לא שווה לגבול מימין )או‬ ‫ההפך( ־ אזי לפונקציה אין גבול בנקודה!‬ ‫למשל: לפונקציה )‪ φ (x‬אין גבול בנקודה 5 = ‪ x‬־ יש גבול‬ ‫מימין‬ ‫גבול ב־∞‬ ‫2. יש לה גבול ב־‪ lim f (x)) a‬קיים(.‬ ‫‪x→a‬‬ ‫3. )‪lim f (x) = f (a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫דוגמא נגדית ל־3:‬ ‫ניקח את הפונקציה הבאה:‬ ‫2 ‪‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 = ‪−10 x‬‬ ‫= )‪ψ (x‬‬ ‫2 ‪x‬‬ ‫4≤‪2x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫ניקח את הנקודה 4 = ‪ ,x‬הפונקציה איננה ריציפה בנקודה הנל‬ ‫)מכיוון שהגבול משמאל ומימין אינם שווים(, אבל הפונקציה כן‬ ‫רציפה משמאל בנקודה, אבל לא רציפה מימין, מה שמכריע‬ ‫כאן את הכף הוא סעיף 3, מכיוון שבגבול השמאלי של‬ ‫הפונקציה בנקודה 4 = ‪ x‬הגבול שווה לערך הפונקציה:‬ ‫61 = )4( ‪ , lim ψ (x) = ψ‬לעומת זאת בגבול הימני הדבר‬ ‫−‬ ‫4→‪x‬‬ ‫כשמדובר בגבולות ב־∞, כלומר ב־ ‪ lim‬או ‪ lim‬אז בדרך‬ ‫∞−→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫מהצורה הבאה: )‪= q(x‬‬ ‫כל מה שיהיה לנו זה פונקציה‬ ‫)‪,f (x‬‬ ‫מה שעושים זה שמוציאים מכל פולינום את החזקה הכי גבוהה‬ ‫וזה מה שקובע את התוצאה הסופית. למשל:‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫2‪x3 5 − x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫2 ¡ ‪lim‬‬ ‫2‬ ‫‪x→∞ x‬‬ ‫2‪¡ 1 + x‬‬ ‫2‬ ‫2‪x 5 − x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞=‬ ‫2 + 1 ∞→‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫)חשוב לזכור שאם היה לנו 1־ במקום 1 במכנה זה היה ∞−‬ ‫מכיוון שאז היה אינסוף חלקי מספר שלילי(.‬ ‫‪5x3 − 2x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫2 + 2‪x→∞ x‬‬ ‫גבול ב־0‬ ‫1‬ ‫חשוב לזכור שבפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫הם שונים: ∞ = ‪ lim+ x‬ואילו ∞− =‬ ‫הגבול משמאל ומימין בנקודה 0 = ‪a‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫1‬ ‫‪. lim− x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫כלל הסנדוויץ'‬ ‫אם )‪) f (x) ≤ g (x) ≤ h (x‬בסביבה של ‪ (a‬ונניח כי‬ ‫‪ lim f (x) = lim h (x) = l‬אזי: ⇐ ‪lim g (x) = l‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫משתמשים בכלל הזה מתי שיש לנו פונקציה שאין לה גבול סביב‬ ‫נקודה מסוימת )למשל: )‪ sin (x‬בנקודה 0, או כל משהו דומה(.‬ ‫גבול חשוב שמוגדר באמצעות כלל הסנדוויץ':‬ ‫1 = )‪ lim sin(x‬וגם:‬ ‫‪x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫1 = )‪ lim sin (x‬אם 0 = )‪lim f (x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫לא כך: 61 = )4( ‪ lim+ ψ (x) = 20 = ψ‬־ לכן הפונקציה‬ ‫4→‪x‬‬ ‫איננה רציפה מימין בנקודה 4 = ‪.x‬‬ ‫נקודת סליקה מה שיש לנו ב־ 2 = ‪ x‬זה מה שנקרא נקודת‬ ‫סליקה ־ חור בפונקציה ־ הפונקציה רציפה בקטע ]4 ,0[ מלבד‬ ‫ב־2, שמה יהיה לנו מעין חור. הנקודה החסרה שם תופיע לנו ב־‬ ‫01− = ‪) y‬אגב, לא חייבת להיות נקודה שתשלים את הנקודת‬ ‫סליקה(.‬ ‫רציפות מימין ומשמאל‬ ‫כמו רק הרציפות הכללית, רק שהפעם מדובר על צד אחד, ניקח‬ ‫את הפונקציה שלמעלה: )‪ p (x‬כדי להסביר את הרעיון:‬ ‫נתמקד בנקודה 2− = ‪ x‬אזי, הפונקציה אכן רציפה מימין:‬ ‫היא מוגדרת ב־ 2−, יש לה גבול, והגבול שלה מימין הוא בדיוק‬ ‫איך שהיא מוגדרת שם ־ לכן, הפונקציה )‪ p (x‬רציפה מימין‬ ‫בנקודה 2− = ‪ ,x‬לעומת זאת משמאל אין לה רציפות:‬ ‫היא מוגדרת ב־ 2−, יש לה גבול משמאל, אבל לא שווה לאיך‬ ‫שהיא מוגדרת שם ־ ולכן היא לא רציפה משמאל.‬ ‫תוספת חשובה לסעיף 2 אפשר להרחיב את 2 )את סעיף‬ ‫2( ולומר שכדי שפונקציה תהיה רציפה בנקודה כלשהי היא‬ ‫צרכה שהגבול שלה מימין והגבול שלה משמאל יהיו שווים. אם‬ ‫הגבולות מימין ומשמאל לא שווים, אזי היא בטוח לא רציפה‬ ‫בנקודה )אולי רציפה מימין ומשמאל, אבל רציפה באופן כללי‬ ‫היא לא(.‬ ‫וגם: שהפונקציות הטריגונומטריות . . . )‪ sin (x) , cos (x‬וגם‬ ‫√‬ ‫הפונקציות ‪ ax , n x‬ו־ )‪ logn (x‬רציפות בכל נקודה שבה‬ ‫הן מוגדרות.‬ ‫8‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫נגזרות‬ ‫נוסחאות גזירה )כמה נוסחאות חשובות(‬ ‫הגדרת הנגזרת:‬ ‫)‪f (a + h) − f (a‬‬ ‫0→‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫בנקודה ‪.a‬‬ ‫אם ‪ f‬גזירה ב־‪ ,a‬אזי משוואת הישר ששמשיק לגרף ועובר‬ ‫בנקודה ))‪ (a, f (a‬הוא: )‪.y = f (a) + f (a) (x − a‬‬ ‫‪ f (x) = lim‬־ שהיא גם שיפוע המשיק‬ ‫)1(‬ ‫‪(f + g) = f + g‬‬ ‫‪(f · g) = f g + g f‬‬ ‫)2(‬ ‫‪f‬‬ ‫2‪f‬‬ ‫)3(‬ ‫1−‪(xn ) = nxn‬‬ ‫)5(‬ ‫)‪· f (x‬‬ ‫)6(‬ ‫מתי פונקציה ‪ f‬גזירה בנקודה ‪?a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(f (x) ) =nf (x‬‬ ‫1+‪n‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪(g ◦ f ) = g (f (x)) · f (x‬‬ ‫)8(‬ ‫···‬ ‫)9(‬ ‫2. הגזרת משמאל והנגזרת מימין שווים.‬ ‫1−‪n‬‬ ‫)‪−nf (x‬‬ ‫)7(‬ ‫1. כאשר הגבול של ‪ a‬משמאל ומימין שווים )אם אין גבול אזי‬ ‫היא לא גזירה(.‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f ·g −f ·g‬‬ ‫2‪f‬‬ ‫)4(‬ ‫מתי פונקציה גזירה?‬ ‫−=‬ ‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫1+‪n‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫=‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫))‪(g (x‬‬ ‫)01(‬ ‫)11(‬ ‫כדאי לזכור:‬ ‫הפונקציה גזירה ב־‪ ⇐ a‬הפונקציה רציפה ב־‪.a‬‬ ‫לעומת זאת זה לא תמיד נכון ההפך:‬ ‫הפונקציה רציפה ב־‪ ¨ a‬הפונקציה גזירה ב־‪.a‬‬ ‫⇐‬ ‫‪r‬‬ ‫¨‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪(− sin (x)) = − cos (x‬‬ ‫)31(‬ ‫4. הפונקציה רציפה ב־ ‪.a‬‬ ‫)‪(cos (x)) = − sin (x‬‬ ‫)21(‬ ‫3. הפונקציה מוגדרת בנקודה ‪.a‬‬ ‫)‪(sin (x)) = cos (x‬‬ ‫)‪(− cos (x)) = sin (x‬‬ ‫2‬ ‫= ))‪(tan (x‬‬ ‫1 + )‪cos (2x‬‬ ‫)41(‬ ‫משהו שחשוב לזכור‬ ‫דוגמא לפונקציה שיש בה נקודה שהיא רציפה בה אך אינה‬ ‫גזירה בה ניקח את הפונקציה הבאה:‬ ‫2 ‪x2 x‬‬ ‫2 ≥ ‪2x x‬‬ ‫ניקח את הנקודה 2 = ‪ x‬־ הפונקציה רציפה בנקודה )כי הגבול‬ ‫משני הצדדים שווה, הפונקציה מוגדרת בנקודה, והיא עונה על‬ ‫סעיף 3 ברציפות(, אבל, הנגזרת משמאל לא שווה לנגזרת מימין:‬ ‫4 = 2 · 2 = ‪ f− (x) = 2x‬ולעומת זאת:‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫כאשר אנחנו מנסים למצוא את הגבול או את הנגזרת אנחנו‬ ‫יכולים לכפול בצמוד או לעשות כל מיני דברים אחרים שמתור‬ ‫√‬ ‫לנו לעשות אם מוציאים ‪ x‬מ־5 + 2‪ x‬אז מה שמקבלים הוא:‬ ‫5‬ ‫2‪ .|x| 1 + x‬כלומר, גם שמים ערך מוחלט ל־‪ x‬וגם הוא יורד‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫בחזקה, למשל: 3‪. |x| x = x‬‬ ‫2 = )‪f+ (x‬‬ ‫לכן הפונקציה איננה גזירה בנקודה 2 = ‪.x‬‬ ‫מקרים שבהם הפונקציות אינן גזירות‬ ‫1. כאשר יש משיק אנכי ־ כלומר יש שיפוע שהוא ∞ )או‬ ‫√‬ ‫∞−(, למשל בפונקציה ‪ 5 x‬־ נקבל בסוף ביטוי שכולל ־‬ ‫1‬ ‫‪ , x‬לכן בנקודה 0 = ‪ x‬השיפוע הוא אינסוף )להזכירכם:‬ ‫הנגזרת נותנת לנו את שיפוע המשיק בנקודה ספציפית( ־‬ ‫לכן אין נגזרת.‬ ‫2. יש חוד )שפיץ( בדכ כאשר הנגזרת משמאל לא שווה‬ ‫לנגזרת מימין...‬ ‫3. הפונקציה אינה רציפה בנקודה שבה רוצים לגזור.‬ ‫דיוקן של סר אייזק ניוטון )7271-3461( בתקופת הבא שלו בטרינטי קולג'.‬ ‫9‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫סדרות‬ ‫הסיכום לקוח מהאתר:‬ ‫‪http: // www. letach. net‬‬ ‫מצאתם שגיאה? נפלה טעות? אשמח אם תיעדו אותי בכך )דרך האתר(.‬ ‫כמה דברים על סדרות‬ ‫סדרה היא פונקציה מ־‪ N‬ל־‪ R‬עבור ‪ n0 ) n0 ≤ n‬נתון(.‬ ‫סדרה עולה וסדרה יורדת‬ ‫סדרה עולה: לכל ‪) an ≤ an+1 :n‬סדרה עולה ממש: ‪an‬‬ ‫1+‪ ,(an‬סדרה יורדת: לכל ‪) an ≥ an+1 :n‬סדרה יורדת ממש:‬ ‫1+‪.(an an‬‬ ‫כיצד ניתן לבדוק אם סדרה היא עולה או‬ ‫יורדת?‬ ‫)כמובן שמדובר רק בשתי שיטות פשוטות היות ולא למדנו המון‬ ‫על סדרות, אלא רק התחלנו...(‬ ‫שיטה ראשונה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים:‬ ‫1+‪an‬‬ ‫1+‪an‬‬ ‫־ הסדרה‬ ‫־ הסדרה יורדת. אם 1 ‬ ‫אם 1 ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪an‬‬ ‫עולה.‬ ‫שיטה שנייה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים:‬ ‫אם: 0 ‪ an+1 − an‬הסדרה עולה, ואם: 0 ‪ an+1 − an‬־‬ ‫הסדרה יורדת‬ ‫משהו קטן לגבי עצרת)!(‬ ‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬ ‫!‪.(n + 2)! = (n + 2) · (n + 1) · n‬‬ ‫01‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫וקטורים ומרחקים:‬ ‫1‬ ‫אוילר והמרוכבים: ‪r · eiθ‬‬ ‫3‬ ‫הגדרה של מספר מרוכב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫כיצד ניתן להגיע להצגת אוילר? ) ‪. . . . . . . . . . . . (r · eiθ‬‬ ‫כיצד מציגים את הקבוצה במישור גאוס? )ואיך משרטטים העברה(‬ ‫איך פותרים משוואה ריבועית עם מרוכבים? . . . . . . . . . . .‬ ‫מציאת שורשי יחידה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫שנוניות‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫מעגל . . . . . . . .‬ ‫פרבולה . . . . . .‬ ‫אליפסה . . . . . .‬ ‫היפרבולה . . . . .‬ ‫משוואה של שנונית: .‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫פונקציות‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫תחום וטווח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫תחום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫טווח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית )חחע( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקצית על . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה זוגית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה אי זוגיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פעולות על פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הרכבת פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הזזות של גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מתיחות של גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫שיקופים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבולות, רציפות של פונקציה ונגזרות‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫גבולות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול בנקודה של פונקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול ב־∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול ב־0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫כלל הסנדוויץ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות כללית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נקודת סליקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות מימין ומשמאל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫תוספת חשובה לסעיף 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נגזרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הגדרת הנגזרת: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מתי פונקציה גזירה? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫דוגמא לפונקציה שיש בה נקודה שהיא רציפה בה אך אינה גזירה בה . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מקרים שבהם הפונקציות אינן גזירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נוסחאות גזירה )כמה נוסחאות חשובות( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫משהו שחשוב לזכור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫11‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬
‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫01‬ ‫סדרות‬ ‫כמה דברים על סדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫סדרה עולה וסדרה יורדת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫כיצד ניתן לבדוק אם סדרה היא עולה או יורדת? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫שיטה ראשונה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫שיטה שנייה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫משהו קטן לגבי עצרת)!( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫21‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬

Recomendados

סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב por
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבסיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבcsnotes
962 vistas•9 diapositivas
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים por
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפיםסיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפיםcsnotes
861 vistas•7 diapositivas
סיכום של הקורס אלגוריתמים por
סיכום של הקורס אלגוריתמיםסיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמיםcsnotes
1.2K vistas•17 diapositivas
סיכום הקורס במבנים אלגבריים por
סיכום הקורס במבנים אלגברייםסיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגברייםcsnotes
2K vistas•18 diapositivas
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) por
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) csnotes
3.4K vistas•9 diapositivas
סיכום קצר על טורי טיילור por
סיכום קצר על טורי טיילורסיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילורcsnotes
3.4K vistas•4 diapositivas

Más contenido relacionado

Similar a סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב

גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdf por
גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdfגיאומטריה אנליטית - שיעור.pdf
גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdfOmerLevi7
59 vistas•9 diapositivas
806 - winter 2014 por
806 - winter 2014806 - winter 2014
806 - winter 2014bagrutonline
7.6K vistas•6 diapositivas
אינטגרל מסוים - חזרה.pdf por
אינטגרל מסוים - חזרה.pdfאינטגרל מסוים - חזרה.pdf
אינטגרל מסוים - חזרה.pdfOmerLevi7
50 vistas•10 diapositivas
2013 summer A 807 a por
2013 summer A 807 a2013 summer A 807 a
2013 summer A 807 abagrutonline
6.5K vistas•9 diapositivas
2014 summer B 807 a por
2014 summer B 807 a2014 summer B 807 a
2014 summer B 807 abagrutonline
5.2K vistas•11 diapositivas
2013 winter 807 a por
2013 winter 807 a2013 winter 807 a
2013 winter 807 abagrutonline
2.4K vistas•7 diapositivas

Similar a סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב(20)

גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdf por OmerLevi7
גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdfגיאומטריה אנליטית - שיעור.pdf
גיאומטריה אנליטית - שיעור.pdf
OmerLevi7•59 vistas
806 - winter 2014 por bagrutonline
806 - winter 2014806 - winter 2014
806 - winter 2014
bagrutonline•7.6K vistas
אינטגרל מסוים - חזרה.pdf por OmerLevi7
אינטגרל מסוים - חזרה.pdfאינטגרל מסוים - חזרה.pdf
אינטגרל מסוים - חזרה.pdf
OmerLevi7•50 vistas
2013 summer A 807 a por bagrutonline
2013 summer A 807 a2013 summer A 807 a
2013 summer A 807 a
bagrutonline•6.5K vistas
2014 summer B 807 a por bagrutonline
2014 summer B 807 a2014 summer B 807 a
2014 summer B 807 a
bagrutonline•5.2K vistas
2013 winter 807 a por bagrutonline
2013 winter 807 a2013 winter 807 a
2013 winter 807 a
bagrutonline•2.4K vistas
2014 summer A 807 a por bagrutonline
2014 summer A 807 a2014 summer A 807 a
2014 summer A 807 a
bagrutonline•4.6K vistas
אינטגרל קוי.pdf por OmerLevi7
אינטגרל קוי.pdfאינטגרל קוי.pdf
אינטגרל קוי.pdf
OmerLevi7•42 vistas
807 1 por bagrutonline
807 1807 1
807 1
bagrutonline•2.7K vistas
2013 summer B 807 a por bagrutonline
2013 summer B 807 a2013 summer B 807 a
2013 summer B 807 a
bagrutonline•3.6K vistas
שיטת חתכים - דוגמאות.pdf por OmerLevi7
שיטת חתכים - דוגמאות.pdfשיטת חתכים - דוגמאות.pdf
שיטת חתכים - דוגמאות.pdf
OmerLevi7•56 vistas
2013 summer A 805 a por bagrutonline
2013 summer A 805 a2013 summer A 805 a
2013 summer A 805 a
bagrutonline•1.5K vistas
קיצון - שיעור.pdf por OmerLevi7
קיצון - שיעור.pdfקיצון - שיעור.pdf
קיצון - שיעור.pdf
OmerLevi7•68 vistas
807 - winter 2014 por bagrutonline
807 - winter 2014 807 - winter 2014
807 - winter 2014
bagrutonline•5.2K vistas
נוסחאון 3 יחידות לימוד מתמטיקה por bagrutonline
נוסחאון 3 יחידות לימוד מתמטיקהנוסחאון 3 יחידות לימוד מתמטיקה
נוסחאון 3 יחידות לימוד מתמטיקה
bagrutonline•9.7K vistas
805 - winter 2014 por bagrutonline
805 - winter 2014 805 - winter 2014
805 - winter 2014
bagrutonline•4.5K vistas
806 8 por bagrutonline
806 8806 8
806 8
bagrutonline•207 vistas
אינטגרל כפול.pdf por OmerLevi7
אינטגרל כפול.pdfאינטגרל כפול.pdf
אינטגרל כפול.pdf
OmerLevi7•94 vistas
אינטגרל כפול - תרגול.pdf por OmerLevi7
אינטגרל כפול - תרגול.pdfאינטגרל כפול - תרגול.pdf
אינטגרל כפול - תרגול.pdf
OmerLevi7•34 vistas
807 2 por bagrutonline
807 2807 2
807 2
bagrutonline•2.7K vistas

Más de csnotes

סיכום של הקרוס למידה עמוקה por
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקהcsnotes
18 vistas•12 diapositivas
סיכום של הקורס מבוא להצפנה por
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהcsnotes
25 vistas•66 diapositivas
סיכום על בדיקת לינאריות por
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריותcsnotes
6 vistas•2 diapositivas
סיכום הקורס במורכבות החישובים por
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישוביםcsnotes
8 vistas•58 diapositivas
סיכום הקורס באבטחת מידע por
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידעcsnotes
43 vistas•41 diapositivas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתcsnotes
42 vistas•17 diapositivas

Más de csnotes(20)

סיכום של הקרוס למידה עמוקה por csnotes
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקה
csnotes•18 vistas
סיכום של הקורס מבוא להצפנה por csnotes
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
csnotes•25 vistas
סיכום על בדיקת לינאריות por csnotes
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריות
csnotes•6 vistas
סיכום הקורס במורכבות החישובים por csnotes
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישובים
csnotes•8 vistas
סיכום הקורס באבטחת מידע por csnotes
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידע
csnotes•43 vistas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por csnotes
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
csnotes•42 vistas
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית por csnotes
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתנספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
csnotes•11 vistas
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים por csnotes
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
csnotes•58 vistas
סיכום בתחשיב היחסים por csnotes
סיכום בתחשיב היחסיםסיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסים
csnotes•27 vistas
סיכום בלוגיקה por csnotes
סיכום בלוגיקהסיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקה
csnotes•23 vistas
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות por csnotes
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
csnotes•25 vistas
מבני נתונים por csnotes
מבני נתוניםמבני נתונים
מבני נתונים
csnotes•21 vistas
Calculus1.pdf por csnotes
Calculus1.pdfCalculus1.pdf
Calculus1.pdf
csnotes•27 vistas
ModProg.pdf por csnotes
ModProg.pdfModProg.pdf
ModProg.pdf
csnotes•15 vistas
סיכום הקורס במבוא להצפנה por csnotes
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנה
csnotes•627 vistas
סיכום במורכבות החישובים por csnotes
סיכום במורכבות החישוביםסיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישובים
csnotes•437 vistas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por csnotes
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
csnotes•618 vistas
סיכום הקורס בחישוביות por csnotes
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביות
csnotes•1.7K vistas
נספחון קצר בתורת הקבוצות por csnotes
נספחון קצר בתורת הקבוצותנספחון קצר בתורת הקבוצות
נספחון קצר בתורת הקבוצות
csnotes•996 vistas
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב' por csnotes
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
csnotes•5.7K vistas

סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב

  • 1. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫וקטורים ומרחקים:‬ ‫1. וקטורים:‬ ‫וקטור ‪ u‬מוגדר בין שתי הנקודות ) 1‪x1 , y1 , z‬‬ ‫) 2‪B = x2 , y2 , z‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫= ‪,A‬‬ ‫)ב( הגדרות ודרכי הצגה של מישורים וישרים:‬ ‫ניתן להגדיר כל ישר ע"י:‬ ‫‪x = x0 + u1 t‬‬ ‫‪y = y0 + u2 t‬‬ ‫‪z = z0 + u3 t‬‬ ‫כאשר, ) 0‪ (x0 , y0 , z‬זאת נקודה על הישר ו־‪ t‬הוא‬ ‫סקלר.‬ ‫שאלה: מה ההבדל בין ישר לוקטור?‬ ‫תשובה: וקטור הוא בעצם תזוזה ממקום למקום,‬ ‫למשל: הוקטור ]4 ,3[ אומר לנו לזוז 3 בכיוון ‪ x‬ועוד‬ ‫4 בכיוון ‪ y‬מכל נקודה שהיא...‬ ‫ישר לעומת זאת, הוא מרחק בין שתי נקודות קיימות,‬ ‫כלומר, הוא בעצם "משהו" שכבר קיים.‬ ‫למשל, אם נניח אני הולך מספר צעדים בכיוון‬ ‫בכלשהו באיזה חדר, אז מבחינה עובדתית הלכתי‬ ‫באותו החדר הספציפי )זה הישר...(, לעומת זאת,‬ ‫את המרחק שאני עברתי )מנקודה אחת לאחרת(‬ ‫כל אחד היה יכול לעשות בכל מקום אחר בעולם‬ ‫)במידה והיה לו מספיק מקום..( ־ וזה בדיוק‬ ‫הווקטור ־ המרחק שאותו אני עובר בלי קשר להיכן‬ ‫אני נמצא.‬ ‫] 1‪u=[x2 −x1 ,y2 −y1 ,z2 −z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫] ‪u = AB = [Bx − Ax , By − Ay ] = [ux , uy‬‬ ‫אם ‪ A = B‬אזי 0 = ‪u‬‬ ‫דיאגרמת החיבור‬ ‫‪B‬‬ ‫?‬ ‫‪v‬‬ ‫‪/D‬‬ ‫?‬ ‫‪u‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪u+v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‬ ‫)א( תכונות הווקטורים:‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫אורך 1 של וקטור ‪ u‬מסומן עי:‬ ‫)אם מדובר בוקטור עם שני‬ ‫2 ‪x2 + y 2 + z‬‬ ‫מימדים אזי: 0 = ‪.(z‬‬ ‫המשמעות של • )מכפלה של שני וקטורים( :‬ ‫‪u • v =ux · vx +uy · vy +uz · vz‬‬ ‫2 ‪.u • u = u‬‬ ‫0=‪0•u‬‬ ‫)‪a · v = [a · vx , a · vy , a · vz ] (a ∈ R‬‬ ‫‪v+u=u+v‬‬ ‫)‪a · (u • v) = (a · u) • v = (a · v) • u (a ∈ R‬‬ ‫)שימו לב לאילו סימנים של כפל יש כאן! מתי יש לנו‬ ‫· )כאשר מדובר בכפל של סקלר בוקטור( ומתי יש‬ ‫לנו • )כפל של וקטור בוקטור((.‬ ‫מהמשפט האחרון ניתן להסיק שני דברים‬ ‫חשובים:‬ ‫א. כפל של סקלר בוקטור מחזיר וקטור.‬ ‫ב. כפל של וקטור בוקטור מחזיר סקלר.‬ ‫)בתמונה למעלה:‬ ‫גיאומטריה(‬ ‫הניצב,‬ ‫הוקטור‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בשביל‬ ‫להציב:‬ ‫הוא‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫0 = ) 0‪u1 (x − x0 ) + u2 (y − y0 ) + u3 (z − z‬‬ ‫מישור ניתן להגדיר עי שני ישרים ונקודה:‬ ‫‪x = x 0 + u 1 t + v1 s‬‬ ‫‪y = y 0 + u 2 t + v2 s‬‬ ‫‪z = z0 + u3 t + v3 s‬‬ ‫חשוב לזכור שאסור ש־‪ u‬ו־‪ v‬יהיו מקבילים )או‬ ‫מתלכדים כמובן(.‬ ‫‪u • (v + w) = u • v + u • w‬‬ ‫‪a · v = |a| · v‬‬ ‫דרך נוספת להגדיר מישור היא על־ידי נקודה‬ ‫ווקטור ניצב 2.‬ ‫3‬ ‫נקודה: )‪ A = (x, y, z‬וקטור ניצב: ]‪. n = [a, b, c‬‬ ‫לוקחים נקודת נוספת ) 0‪ P = (x0 , y0, z‬עפ‬ ‫‪u•v‬‬ ‫הנוסחא שלמעלה‬ ‫= ‪ cos a‬אם‬ ‫‪u · v‬‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫הוקטור 0 = ‪ AP • n‬אזי הנקודה ‪ P‬במישור. )מכיוון‬ ‫עוד כמה נוסחאות כלליות שכדאי לזכור:‬ ‫‪ = α) u • v = u · v · cos α‬הזווית החדה שבין‬ ‫שני הוקטורים(.‬ ‫מהנסוחא שלמעלה נובע ש: ‪.cos α = uu•vv‬‬ ‫·‬ ‫מקרה פרטי של הנוסחא האחרונה: אם 0 = ‪u • v‬‬ ‫אזי 0 = ‪ ⇐= cos α‬הוקטורים ניצבים.‬ ‫1)נקרא גם נורמה(.‬ ‫האחים יעקוב ויוהאן ברנולי משוחחים בנושא‬ ‫2עוד מעט יוסבר כיצד ניתן למצוא וקטור ניצב למישור ווקטור הניצב לישר.‬ ‫3נהוג לציין וקטור ניצב ב־‪.n‬‬ ‫1‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 2. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫שהוקטור ‪ n‬ניצב לוקטור ‪ AP‬ובגלל שהגדרנו כך‬ ‫−‬ ‫→‬ ‫שוקטור ‪ n‬ניצב למשור, לכן הוא גם ניצב ל־ ‪AP‬‬ ‫שעל המישור(.‬ ‫בנוסף, ניתן להציג מישור כך: = ‪Π = ax + by + cz‬‬ ‫‪ d‬כך ש־ ]‪) n = [a, b, c‬הוקטור הניצב למישור(.‬ ‫איך מגיעים להצגה פרמטרית של הישר‬ ‫הניצב למישור:‬ ‫אם יש לנו מישור מהסוג:‬ ‫21 = ‪ Π1 = 3x + 2y − 7z‬אזי הוקטור הניצב‬ ‫למישור הינו: ]7− ,2 ,3[ = ‪ .n‬בשביל לעבור‬ ‫להצגה שהוזכרה קודם לכן, לוקחים נקודה‬ ‫שנמצאת על המישור, למשל: )1− ,1 ,1(. ואז‬ ‫מציגים את הכל בדרך של הצגה פרמטרית:‬ ‫‪x = 1 + 3t‬‬ ‫‪→ y = 1 + 2t‬‬ ‫‪z = −1 − 7t‬‬ ‫וזאת הצגה פרמטרית של הישר הניצב למישור 1‪Π‬‬ ‫הוקטור הניצב ל־ ]‪ [a, b‬הוא: ]‪ [−b, a‬או ]‪.[b, −a‬‬ ‫בשביל למצוא וקטור הניצב ל־ ]‪ [a, b, c‬כל מה‬ ‫שצריך לעשות הוא להחליף שני מיקום של שני‬ ‫רכיבים 4, לשנות לאחד מהם את הסימן ולאפס‬ ‫את השלישי. )ניתן לבדוק זאת עי הכפל בניהם(.‬ ‫למשל: ]‪ [0, c, −b‬או ]0 ,‪ [b, −a‬או ]0 ,‪.[−b, a‬‬ ‫)ג( מרחקים בין ישרים, מישורים ונקודות:‬ ‫‪ .i‬מרחק בין שני ישרים:‬ ‫ראשית כל צריך לבדוק שהישרים אינם נחתכים‬ ‫)×( או מקבילים )| |( או מתלכדים )כלומר,‬ ‫מדובר בעצם באותו ישר(. איך בודקים זאת?‬ ‫משווים את שני הישרים, כאשר בצד אחד‬ ‫מציבים את הפרמטר ‪ t‬ובצד השני את הפרמטר‬ ‫‪:s‬‬ ‫א'. יש איסוף פתרונות? הישרים מקבילים‬ ‫או מתלכדים. איך בודקים? לוקחים נקודה‬ ‫על אחד הישרים ובודקים אם היא נמצאת‬ ‫על הישר השני ־ אם היא נמצאת: הישרים‬ ‫מתלכדים. אם לא ־ הישרים מקבילים.‬ ‫שאלה: מה ההגיון בכך?‬ ‫תשובה: אם הישרים מקבילים ־ אין שום‬ ‫נקודה משותפת. אם הישרים מתלכדים ־‬ ‫זה אומר שזה בעם אותו ישר ־ כלומר ־ כל‬ ‫הנקודות משותפות. לכן זה בעצם או הכל‬ ‫או כלום ־ או שכל הנקודות משותפות או‬ ‫שאין אף נקודה משותפת...‬ ‫ב'. יש פתרון יחיד? הישרים נחתכים בדיוק‬ ‫בנקודה אחת. מה שעושים כדי למצוא‬ ‫אותה לוקחים את אחד הפרמטרים ומציבים‬ ‫אותו היכן מהיכן שלקחנו אותו.‬ ‫4)רכיבי הוקטור הינם ‪(a, b, c‬‬ ‫2‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬ ‫דוגמא:‬ ‫ניקח את שני הישרים:‬ ‫1‪:L‬‬ ‫‪x = 2t‬‬ ‫‪y = 4 + 5t‬‬ ‫‪z = 1 + 2t‬‬ ‫2‪:L‬‬ ‫‪x = 3 + 3t‬‬ ‫‪y = 2 + 3t‬‬ ‫‪z = 5t‬‬ ‫כעת, ניצב ונראה מה אנחנו מקבלים:‬ ‫‪2t = 3 + 3s‬‬ ‫‪4 + 5t = 2 + 3s‬‬ ‫‪1 + 2t = 5s‬‬ ‫פותרים את מערכת המשוואות‬ ‫)במקרה הזה ככל הנראה למערכת‬ ‫אין פתרון( ואם יש פתרון יחיד )כלומר‬ ‫יש ערך אחד עבור ‪ t‬וערך אחד עבור‬ ‫‪ (s‬מציבים או את ‪ t‬או את ‪ s‬בהתאם‬ ‫לישר שבו נמצא הפרמטר.‬ ‫האפשרות השלישית,‬ ‫ג'. אין פתרון?‬ ‫אחרי שראינו שאין פתרון, היא שהישרים‬ ‫מצטלבים. מה הכוונה? שהם עוברים אחד‬ ‫מעל השני )או אחד מתחת לשני( בדיוק‬ ‫בנקודה אחת.‬ ‫‪ .ii‬מרחק בין שני מישורים:‬ ‫למישורים ישנן שתי אפשרויות ־ או שהם‬ ‫מצטלבים )ואז יש ישר חיתוך( או שהם מקבילים‬ ‫)ואז צריך לחשב מה המרחק בניהם(.‬ ‫א'. המישורים מקבילים:‬ ‫נתונים שני מישורים מקבלים:‬ ‫2‬ ‫נניח: 5 = ‪1 : x − y + 3z‬‬ ‫3− = ‪.x − y + 3z‬‬ ‫נבחר נקודה 1‪ p‬שנמצאת ב־ 1 ונבנה ישר‬ ‫‪ L‬שניצב למישור 1 ולמישור 2 ועובד‬ ‫דרך 1‪ .p‬נחפש את הנקודה שבה הישר‬ ‫חותך את 2 ־ 2‪ p‬ונחשב את המרחק בין‬ ‫1‪ p‬ל־ 2‪...p‬‬ ‫הנקודה שנבחר היא: )0 ,0 ,5( = 1‪,p‬‬ ‫לכן, ההצגה הפרמטרית של ‪) L‬בהתאם‬ ‫לנקודה(? היא:‬ ‫‪x=5+t‬‬ ‫‪y = −t‬‬ ‫‪z = 3t‬‬ ‫נמצא את נקודה 2‪ p‬שהיא החיתוך של‬ ‫הישר עם מישור 2 :‬ ‫)וקטור כיווני: ]3 ,1− ,1[ = 1‪.(n‬‬ ‫= ‪(5 + t)−(−t)+3 (3t) = −3 ⇒ 11t‬‬ ‫8‬ ‫− = ‪−8 =⇒ t‬‬ ‫11‬ ‫1‬ ‫ו־ 2‬ ‫ו־ :‬ ‫.‬
  • 3. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫לכן: 8 · 3− , 8 , 8 − 5 = 2‪.p‬‬ ‫11 מרחק11בין11הנקודות: → −‬ ‫−‬ ‫2‪. p1 p‬‬ ‫מחשבים‬ ‫√‬ ‫11‬ ‫8.‬ ‫התוצאה הסופית ־‬ ‫11‬ ‫ב'. המישורים מצטלבים:‬ ‫יש ישר חיתוך בניהם ־ וקטור כיווני של ישר‬ ‫החיתוך הוא 2‪.n1 × n‬‬ ‫מוצאים נקודה בישר החיתוך )נקודה‬ ‫כלשהי שמשותפת לשני המישורים(:‬ ‫לוקחים את שתי המשוואות של המישורים‬ ‫ופותרים את מערכת המשוואות )קובעים‬ ‫ערך עבור משתנה מסוים ואז פותרים את‬ ‫המערכת עם שני הנעלמים שנותרו. אם‬ ‫מגיעים למצב שאין פתרון, אז פשוט מנסים‬ ‫להציב את אותו ערך עבור משתנה אחר‬ ‫]בדרך כלל נציב אפס באחד המשתנים[(.‬ ‫רק בשביל להבהיר:‬ ‫ההבדל בין וקטור כיווני לוקטור ניצב:‬ ‫0 = ) 0‪ a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z‬־ נקודה:‬ ‫) 0‪ ,(x0 , y0 , z‬וקטור ניצב ־ ]‪. [a, b, c‬‬ ‫1‪x = a1 + t · u‬‬ ‫2‪ y = a2 + t · u‬נקודה: ) 3‪ (a1 , a2 , a‬וקטור כיווני ־‬ ‫3‪z = a3 + t · u‬‬ ‫) 3‪.(u1 , u2 , u‬‬ ‫)וקטור כיווני הוא הוקטור שבונה את הישר/מישור ולכן‬ ‫הוא בעצם מקביל לו, לעומת הניצב, שניצב לאותו וקטור ולכן‬ ‫הוא ניצב לאותו ישר/מישור(‬ ‫אוילר והמרוכבים: ‪r · eiθ‬‬ ‫כיצד ניתן להגיע להצגת אוילר? ) ‪(r · eiθ‬‬ ‫בשביל להגיע לצורת ההצגה הזאת, אנחנו צריכים שני מרכיבים:‬ ‫‪ r‬ו־‪) θ‬הזוית של המספר המרוכב(.‬ ‫√‬ ‫2‪.r = |z| = a2 + b‬‬ ‫וחישוב ‪ θ‬הוא טיפה יותר מורכב. יש שתי דרכים:‬ ‫אם 0 = ‪ z‬אזי:‬ ‫0 )‪Re (z‬‬ ‫‪+π‬‬ ‫0 )‪Re (z‬‬ ‫0 )‪Re (z) = 0, Im (z‬‬ ‫)‪Im(z‬‬ ‫)‪Re(z‬‬ ‫)‪Im(z‬‬ ‫)‪Re(z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪θ = arctan‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫או:‬ ‫0≥‬ ‫0‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪Im‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪arccos Re z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪− arccos Re‬‬ ‫=‪θ‬‬ ‫וגם: ‪eiθ = cos θ + i · sin θ‬‬ ‫כיצד מציגים את הקבוצה במישור גאוס? )ואיך‬ ‫משרטטים העברה(‬ ‫הרעיון הוא כזה ־ לוקחים מערכת צירים ומשרטטים מעגל‬ ‫בהתאם לתנאי הרדיוסים:‬ ‫במקרה הבא: 3 ≤ ‪:2 ≤ r‬‬ ‫כעת ממלאים את השטח המתאים בהתאם לתנאי הזוית:‬ ‫במקרה הבא 0 ≥ )‪.Im (z) ≤ 0, Re (z‬‬ ‫דיוקן של ליאונרד אוילר: מתמטיקאי שוויצרי ־ 3871־7071‬ ‫הגדרה של מספר מרוכב‬ ‫כל מספר מרוכב ניתן להגדיר בדרך הבאה:‬ ‫‪ z = a + bi‬כאשר ‪ a‬נקרא החלק הממשי של המספר ומסומן‬ ‫ב־)‪ Re (z‬ואילו ‪ b‬נקרא החלק המדומה ומסומן ב־)‪.Im (z‬‬ ‫נניח ויש לנו את המספר 2 = ‪ z‬אזי 0 = )‪.Im (z‬‬ ‫כמה נוסחאות שכדאי לזכור במרוכבים:‬ ‫)1(‬ ‫2‪a2 + b‬‬ ‫)2(‬ ‫2‬ ‫= |‪|z‬‬ ‫1− = ‪i‬‬ ‫3‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 4. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫כאשר יש צורך לבצע העתקה, אנחנו לוקחים את הפונקציה‬ ‫הנתונה ורואים איך היא משפיע על הרדיוס ועל הזוית, ניקח למשל‬ ‫1‬ ‫את הפונקציה הבאה: )0 = ‪ ,f : C → C, x −→ − x (x‬אזי‬ ‫נשים לב שעכשיו שחלק מהסימנים משתנים:‬ ‫1‬ ‫1 − ≤ ‪) − 1 ≤ r‬כי: 1 − 2 − (, ולגבי הזווית: )‪Im (z‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫0 )‪) 0, Re (z‬מכיוון שגם − )מינוס( משנה סימן , וגם ··· , לכן‬ ‫כיוון שהסימן משתנה פעמיים אז הוא נשאר אותו דבר, מלבד‬ ‫הזווית שבה זה לא יכול להיות שווה לאפס(.‬ ‫עכשיו מה שצריך לעשות זה לשרטט את השירטוט עם התנאים‬ ‫החדשים...‬ ‫משמעות של כפל בין שני מספרים מרוכבים:‬ ‫♣‬ ‫) 2‪z1 · z2 = r1 · r2 ·ei (θ1 + θ‬‬ ‫− מתיחה ביחס ל־‪.r‬‬ ‫♣− סיבוב בזווית 2‪ θ‬מסביב 0.‬ ‫הרעיון הוא שמחפשים פתרון למשוואה ‪ z n = W‬כאשר ∈ ‪W‬‬ ‫‪ .C‬אם 0 = ‪ z‬אזי 0 = ‪ ,W‬אבל אם לא, ישנן ‪ n‬פתרונות. לפני‬ ‫שמגיעים אליהם צריך למצוא שני דברים:‬ ‫√‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ z0 = n r · ei n‬ו־ ‪. ζn = ei n‬‬ ‫שורשי היחידה )הפתרונות( הם:‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1−‪n‬‬ ‫‪z0 , z0 · ζn , z0 · ζn , . . . , z0 · ζn‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.z0 · ζn = 1⇐ ζn = ei n k‬‬ ‫צריך להציג את התשובות הסופיות בצורה של ‪) a + ib‬אפשר‬ ‫להשתמש בנוסחא שלמעלה: ‪(eiθ = cos θ + i · sin θ‬‬ ‫שנוניות‬ ‫מעגל‬ ‫איך פותרים משוואה ריבועית עם מרוכבים?‬ ‫נתחיל בתיאור קצר, של מה שצריך לעשות: )‪:(A, B, C ∈ Z‬‬ ‫נתונה לנו המשוואה: ‪:Az 2 + Bz + C‬‬ ‫1. מחשבים את ‪= B 2 − 4AC‬‬ ‫מציאת שורשי יחידה‬ ‫מעגל הוא אסוף הנקודות הנמצאות במרחק שווה )אשר נתון לנו(‬ ‫מנקודה נתונה.‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫משוואת המעגל: ‪.(x − x0 ) + (y − y0 ) = R‬‬ ‫.‬ ‫= 2 ‪) W‬כאן עיקר‬ ‫2. מחפשים ‪ (x + iy ⇐) W‬כך ש־‬ ‫הקושי(.‬ ‫√‬ ‫± ‪−B‬‬ ‫‪−B ± W‬‬ ‫=‬ ‫3.‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫דוגמא:‬ ‫נפתור את המשוואה: 0 = ‪.z 2 + (8 − 2i) z + 39 − 18i‬‬ ‫שלב ראשון:‬ ‫נחשב :‬ ‫2‬ ‫‪. = (8 − 2i) − 4 (39 − 18i) = −96 + 40i‬‬ ‫שלב שני:‬ ‫נמצא ‪ W = x + iy‬כך ש־ = 2 ‪W‬‬ ‫‪W 2 = x2 − y 2 + 2xyi = −96 + 40i‬‬ ‫יש לנו עכשיו שתי משוואות, המשוואה המודגשת והמשוואה הלא‬ ‫מודגשת:‬ ‫69− = 2 ‪x2 − y‬‬ ‫04 = ‪2xy‬‬ ‫)מה שחשוב לזוכר הוא שמשווים את מה שהוא חלק הממשי של‬ ‫הביטוי מצד שמאל עם החלק הממשי של הביטוי מצד ימין ואותו‬ ‫דבר לגבי החלק המודמה(. וגם חשוב לזכור שבמשוואה‬ ‫השניה לא מופיע ה־‪.(i‬‬ ‫מהמשוואה השניה יוצא לנו ש־ 02 = ‪ ,y‬נציב את זה במשוואה‬ ‫‪x‬‬ ‫הראשונה ונקבל: 69− = 004 − 2‪ ,x‬נכפול ב־ 2‪ x‬ונקבל ש:‬ ‫2‪x‬‬ ‫0 = 004 − 2‪ ,x4 + 96x‬נציב: 2‪t2 + 96t − 400 = 0 t = x‬‬ ‫נפתור את המשוואה ונקבל: 25·2±69− .‬ ‫2‬ ‫0 25 − 84− ־ לא מתאים.‬ ‫25 + 84− ⇐ 4 = ‪.x = ±2 ⇐ t‬‬ ‫נציב במשוואה השנייה ונקבל:‬ ‫01± = ‪ ,y‬נציב את אלו ב־ )‪:W (= x + yi‬‬ ‫)‪W = ± (2 + 10i‬‬ ‫ומכאן אנחנו מקבלים שהפרונות של המווהא הריבועית הן:‬ ‫‪− (8 − 2i) ± W‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ −8+2i+2+10i = −3 + 6i‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ −8−2i−2−10i = −5 − 4i‬‬ ‫2‬ ‫5הכוונה פה היא לגדלים השינוי הוא מ־ ל־ וההפך.‬ ‫פרבולה‬ ‫פרבולה היא אוסף הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה שווה‬ ‫למרחקן מישר קבוע.‬ ‫הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה.‬ ‫הישר הקבוע נקרא מדריך הפרבולה.‬ ‫2 1‬ ‫המשוואה הבסיסית של הפרבולה: ‪x‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫ניקח לדוגמא את הפרבולה 2‪ ,y = x‬ניתן לראות ש־ 1 = ‪p‬‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ולכן המוקד הוא 4 ,0 והמדריך הוא 4 − = ‪.y‬‬ ‫הזזה של הפרבולה‬ ‫נקודת האמצע בין המוקד למדריך נקראת: קודקוד אם אנחנו‬ ‫רוצים להזיז אותה מהנקודה )0 ,0( לנקודה ) 0‪ (x0 , y‬אזי מה‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫שנקבל הוא את המשוואה הבאה: ) 0‪. y − y0 = 4p (x − x‬‬ ‫צורות נוספות של משוואות הפרבולה וצורתה:‬ ‫1‬ ‫2‪∩ ⇐ y = − x‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫2 1‬ ‫= ‪⊂⇐ x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫1‬ ‫2 ‪⊃⇐ x = − y‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫אליפסה‬ ‫אליפסה היא אוסף הנקודות אשר סכום מרחקיהן משתי נקודות‬ ‫קבועות נתונות שווה למרחק קבוע נתון.‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫משוואת האליפסה: 1 = 2 + 2 ⇐ 2‪.b2 = a2 − c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫4‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 5. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫בשביל למצוא את האסימפטוטות, כל מה שצריך לעשות‬ ‫הוא להציב 0 במקום ה־1 וכך נקבל את שתי המשוואות של‬ ‫האסימפטוטות.‬ ‫‪c‬‬ ‫אקסטצנריות: 1 ‪. e = a‬‬ ‫קודקודים: ) 0‪ ,(x0 ± a, y‬ובמקרה שמדובר בהיפרבולה הפוכה:‬ ‫)‪.(x0 , y0 ± a‬‬ ‫מוקדים: ) 0‪ ,(x0 ± c, y‬ובמקרה שמדובר בהיפרבולה הפוכה:‬ ‫)‪.(x√ y0 ± c‬‬ ‫,0‬ ‫2‪c = a2 + b‬‬ ‫היפרבולה הפוכה:‬ ‫‪ ±a‬־ קודקודי האליפסה.‬ ‫‪ ±c‬־ מוקדי האליפסה.‬ ‫אורך הציר הגדול: ‪.2a‬‬ ‫אורך הציר הקטן: ‪.2b‬‬ ‫הנקודה במרכז ־ מרכז האליפסה.‬ ‫‪c‬‬ ‫אקסטנצריות: ‪.(0 e 1) e = a‬‬ ‫אליפסה עומדת:‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1= 2 +‬ ‫2‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫איך יודעים אם האליפסה עומדת או שוכבת?‬ ‫צריך לזכור שתמיד ‪) a b‬באליפסה(, לכן, בודקים היכן נמצא‬ ‫‪) a‬או: המספר הכי גדול( ־ מתחת ל־‪ x‬או מתחת ל־‪.y‬‬ ‫מתחת ל־‪ x‬הפרבולה שוכבת. מתחת ל־‪ y‬הפרבולה עומדת.‬ ‫ההזה של אליפסה:‬ ‫בדיוק אותו רעיון כמו בשנוניות הקודמות, מרכז האליפסה הוא‬ ‫ב־) 0‪:(x0 , y‬‬ ‫) 0‪(x − x‬‬ ‫) 0‪(y − y‬‬ ‫)או ההפך בין ‪ a‬ל־‪ b‬אם מדובר‬ ‫+‬ ‫1 =‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫באליפסה עומדת(.‬ ‫כשפותרים תרגיל באליפסה צריך תמיד לבדוק שיש לנו את כל‬ ‫האותיות: ‪ a, b, c, e‬־ ככה ניתן למצוא מוקדים, קודקודים, אורך‬ ‫ציר גדול, אורך ציר קטן ואקסטנצריות.‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1= 2 −‬ ‫2‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הזזת ההיפרבולה לנקודה ) 0‪) (x0 , y‬מרכז ההיפרבולה(:‬ ‫) 0‪(x − x0 ) (y − y‬‬ ‫)או ההפך אם מדובר בהיפרבולה‬ ‫−‬ ‫1=‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‪b‬‬ ‫השניה(.‬ ‫משוואה של שנונית:‬ ‫כאשר נתונה לנו משוואה של שנונית מהצורה + 2 ‪Ax2 + By‬‬ ‫0 = ‪ ,Cx+Dy +E‬בשביל לדעת על איזו שנונית מדובר נפריד‬ ‫את ה־‪x‬־ים מה־‪y‬־ים ונעשה השלמה לריבוע. )נדאג שיהיה לנו‬ ‫גורם מהסוג ‪ ,t, s ∈ R , A tx2 + sx‬אותו דבר גם לגבי ה־‪.(y‬‬ ‫פונקציות‬ ‫אני מוותר על כתיבת ההגדרה של פונקציה )איך מסמנים אותה‬ ‫וכו'...( מכיוון שדברים אלו יובהרו בהמשך...‬ ‫תחום וטווח‬ ‫היפרבולה‬ ‫תחום‬ ‫אם היפרבולה זה בדיוק אותו רעיון כמו באליפסה, רק שהפעם:‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫1 = 2 − 2 )מינוס במקום פלוס(.‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫תחום הפונקציה ‪ f‬הוא אוסף ה־‪x‬־ים ש־)‪ f (x‬מוגדר עבורם.‬ ‫סימון: ) ‪.Domain (f‬‬ ‫√‬ ‫למשל: ‪.Domain (f ) = [0, ∞) ,f (x) = x‬‬ ‫5‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 6. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫פעולות על פונקציות‬ ‫טווח‬ ‫טווח הפונקציה הוא כל ה־)‪) f (x‬או במילים אחרות ־ הערכים‬ ‫שהפונקציה יכולה להחזיר...(, מסומן: ) ‪.Range (f‬‬ ‫למשל: 2 ≥ ‪.Range (f ) = [5, ∞) ,f (x) = x + 3 x‬‬ ‫)שימו ♥ שהפונקציה מוגדרת רק עבור ‪x‬־ים גדולים מ־2, או:‬ ‫)∞ ,2[ = ) ‪.(Domain (f‬‬ ‫• )‪.(f + g) (x) = f (x) + g (x‬‬ ‫• )‪.(t ∈ R) (t · f ) (x) = t · f (x‬‬ ‫• )‪(f · g) (x) = f (x) · g (x‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫•‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫גרפים‬ ‫לגבי גרף של פונקציה חשוב לזכור שכל קו אנכי | )מבחינה‬ ‫גרפית קו אנכי הוא ‪ (a ∈ R, x = a‬חותך את הגרף )של‬ ‫הפונקציה( בנקודה אחת לכל היותר. הוא חותך אותה אםם‬ ‫) ‪.a ∈ Domain (f‬‬ ‫בשביל לדעת אם ערך מסוים נמצא בטווח הפונקציה, מעבירים‬ ‫קו אופקי − )‪ (b ∈ R, y = b‬ואם ) ‪ b ∈ Range (f‬הקו האופקי‬ ‫יחתוך את הגרף בנקודה אחת לכל הפחות.‬ ‫הרכבת פונקציות‬ ‫• ))‪(f ◦ g) (x) = f (g (x‬‬ ‫הרעיון בהרכבת פונקציות הוא כמו לשים קופסא בתוך קופסא,‬ ‫נניח ויש לנו ארבע פונקציות:‬ ‫• )‪f (x) = sin (3x‬‬ ‫• 3 − ‪g (x) = 8x‬‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית )חחע(‬ ‫פונקציה ‪ f‬היא חחע אם לכל 2‪) x1 , x‬בתחום( מתקיים‬ ‫) 2‪.x1 = x2 ⇔ f (x1 ) = f (x‬‬ ‫למשל:‬ ‫הפונקציה 3 = )‪ f (x‬איננה חחע מכיוון שאם שלא משנה אילו‬ ‫שני ערכים ניקח, תמיד ) 2‪ f (x1 ) = f (x‬אפילו אם 2‪,x1 = x‬‬ ‫וזה מנוגד להגדרה שלמעלה.‬ ‫הפונקציה 2‪ f (x) = x‬אינה חחע: ניקח ־ 2− = 2‪,x1 = 2, x‬‬ ‫עבור שני ערכים אלו נקבל אותו ערך )בפונקציה( וזה מנוגד‬ ‫להגדרה שלמעלה.‬ ‫הפונקציה: ‪ f (x) = x‬היא כן חחע.‬ ‫פונקצית על‬ ‫פונקציה נקראת פונקצית על אםם לכל ‪ y ∈ R‬קיים ‪ x‬כך‬ ‫ש־ )‪ .y = f (x‬או ־ ‪) Domain (f ) = R‬כלומר, הטווח של‬ ‫הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים ⇐ )∞ ,∞−( (.‬ ‫למשל: ‪ f (x) = x‬היא פונקציית על.‬ ‫לעומת זאת ‪ f (x) = 2x‬איננה פונקציית על מכיוון ש־‪(f (x)) y‬‬ ‫אף פעם לא יהיה קטן מ־0. )∞ ,0( = ) ‪.Range (f‬‬ ‫פונקציה זוגית‬ ‫היא פונקציה סימטרית ביחס לציר ה־‪ y‬אשר מקיימת = )‪f (−x‬‬ ‫)‪ .f (x‬למשל: 2‪) f (x) = x‬לכל ‪ x‬בטווח(.‬ ‫או למשל: √‬ ‫‪x‬‬ ‫0≥‪x‬‬ ‫= )‪) f (x‬הפונקציה שקולה לפונקציה: |‪.(f (x) = |x‬‬ ‫√‬ ‫0 ‪−x x‬‬ ‫וגם: )‪... f (x) = x2n ,f (x) = cos (x‬‬ ‫• 3 + ‪h (x) = 2x‬‬ ‫√‬ ‫• ‪p (x) = 9 − 5x‬‬ ‫אזי המשמעות של )‪ (f ◦ g) (x‬היא: ⇒ )))‪sin (3 · (g (x‬‬ ‫))3 − ‪.sin (3 · (8x‬‬ ‫ניקח למשל את: )‪ ,(g ◦ f ) (x‬מה שאנחנו צריכים לקבל הוא:‬ ‫)))‪ ,(g (f (x‬כלומר, ניקח את הפונקציה ‪ g‬־‬ ‫3 − ‪ g (x) = 8x‬והיכן שנמצא ה־‪ x‬שם נשים את הפונקציה‬ ‫הבאה ונקבל: 3 − )‪.8 · sin (3x‬‬ ‫דרך נוספת לראות את זה היא זו: במקום ‪ x‬נשים קופסא ) (.‬ ‫ניקח למשל את ההרכבה של )‪:(p ◦ h) (x‬‬ ‫√‬ ‫נכתוב את )‪ ,p (x‬רק שבמקום ‪ x‬נשים את הקופסא ־ 5 −9,‬ ‫עכשיו במקום הקופסא נשים את )‪ ,h (x‬מה שנקבל הוא:‬ ‫)3 + ‪.(p ◦ h) (x) = 9 − 5 (2x‬‬ ‫לפעמים צריך לישם סוגריים כי אחרת הפונקציה שיוצאת‬ ‫היא לא ההרכבה של הפונקציות )חשוב לבדוק מתי כן‬ ‫צריך ומתי לא(.‬ ‫בנוסף, תמיד הולכים משמאל לימין, מתחילים מהפונקציה‬ ‫הכי שמאלית וכל פעם מרכיבים לתוך את הפונקציה הבאה‬ ‫)מימין(.‬ ‫הרכבה קצת יותר ארוכה: )‪ (h ◦ p ◦ h‬־ )אני אראה זאת בשיטת‬ ‫הקופסא(:‬ ‫√‬ ‫‪9− 5x‬‬ ‫2⇒3+ 2‬ ‫נתחיל מ־)‪+ 3 :(h ◦ p‬‬ ‫עכשיו נשים קופסא ונמשיך לפונקציה הבאה ברשימה )‪:h (x‬‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫3 + )3+ 2(5 −92 ⇒ 3 + 5 −92‬ ‫הערה: כמובן שאם ‪ x‬מופיע יותר מפעם אחת, למשל בפונקציה:‬ ‫‪ ,f (x) = sin (5x) + 2x‬אזי במקום כל ‪ x‬נשים את הפונקציה‬ ‫הבאה.‬ ‫הזזות של גרפים‬ ‫פונקציה אי זוגיות‬ ‫היא פונקציה סימטרית ביחס לראשית הצירים, אשר מקיימת:‬ ‫)‪.f (−x) = −f (x‬‬ ‫דוגמאות: )‪...f (x) = x2n+1 ,f (x) = sin (x‬‬ ‫ניקח את הפונקציה: 2‪ f (x) = x‬ונבצע הזזה של ‪ x‬ב־1 ו־‪y‬‬ ‫2‬ ‫ב־)2−( ⇐ 2 − )1 + ‪: f (x) = (x‬‬ ‫ישנן כמובן פונקציות שהן לא זוגית וגם לא אי־זוגיות, למשל:‬ ‫4 + ‪) f (x) = x‬שימו ♥ שהפונקציה הנל לא עונה על אף אחת‬ ‫2‬ ‫מההגדרות...(, או )2 + ‪...f (x) = (x‬‬ ‫6‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 7. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫ובאופן כללי: אם יש לנו את הפונקציה הבאה: = )‪g (x‬‬ ‫‪ f (x + a) + b‬אזי זה אומר שאנחנו מזיזים את ‪ x‬ב־‪ a‬ואת‬ ‫‪ y‬ב־‪.b‬‬ ‫אם 0 ‪ a‬נזיז את הגרף שמאלה ב־‪ ,a‬אם 0 ‪ ,a‬נזיז את‬ ‫הגרף ימינה ב־‪.a‬‬ ‫אם 0 ‪ b‬נזיז את הגרף למעלה ב־‪ ,b‬אם 0 ‪ ,b‬נזיז את הגרף‬ ‫למטה ב־‪.b‬‬ ‫מתיחות של גרפים‬ ‫נניח ש: )‪ g (x) = c · f (x‬אזי מותחים את ‪ f‬בכיוון האנכי,‬ ‫2‬ ‫למשל, ניקח את הפונקציה 6 + )1 − ‪f (x) = − (x‬‬ ‫גבולות, רציפות של‬ ‫פונקציה ונגזרות‬ ‫הערה: בפרק הבאה הסימן ∅ פירושו יהיה לא קיים/לא‬ ‫מוגדר‬ ‫גבולות‬ ‫2‬ ‫ונניח ש־4 = ‪ ,c‬לכן: 6 + )1 − ‪g (x) = 4·f (x) = 4· − (x‬‬ ‫התוצאה:‬ ‫גבול בנקודה של פונקציה‬ ‫אני לא אתן הגדרה/אסביר אלא רק אביא דוגמא שתמחיש את הרעיון של מהו‬ ‫גבול בנקודה ספציפית‬ ‫)שימו ♥ ־ אולי הצורה נשארה אותו דבר, אבל אם תשימו לב‬ ‫לנקודות תראו שהיא גדלה פי 4....(‬ ‫1‬ ‫לעומת זאת, אם )‪ g (x) = f (c · x‬אזי מותחים את הגרף ב־ ‪c‬‬ ‫בצורה אנכית. בהמשך לדוגמא שלנו:‬ ‫2‬ ‫6 + )1 − ‪:g (x) = f (4 · x) = − (4x‬‬ ‫)גם כאן זאת אותה צורה, אך שימו ♥ לנקודות בציר ה־‪ x‬ביחס‬ ‫לדיאגרמה הראשונה...(.‬ ‫רק אזכיר כלל אחד חשוב: בגבול מימין ומשמאל, לא חשוב‬ ‫לנו איך הפונקציה מתנהגת בנקודה שאליה היא שואפת, אלא‬ ‫רק לאן היא שואפת...‬ ‫נסתכל בפונקציה המאויירת הבאה ונכנה אותה )‪:p (x‬‬ ‫• ∅ = )‪lim − p (x‬‬ ‫4−→‪x‬‬ ‫• 2 = )‪lim p (x‬‬ ‫+4−→‪x‬‬ ‫שיקופים‬ ‫• ∅ = )‪) lim p (x‬אם הגבול משמאל ומימין אינם שווים‬ ‫4−→‪x‬‬ ‫שיקוף ביחס לציר ה־‪ ,g (x) = f (−x) :y‬למשל: ניקח את‬ ‫√‬ ‫הפונקציה: ‪:f (x) = x‬‬ ‫⇐ אין גבול בנקודה(.‬ ‫• 2 = )‪lim p (x‬‬ ‫−2−→‪x‬‬ ‫• 1 = )‪lim p (x‬‬ ‫+2−→‪x‬‬ ‫• ∅ = )‪lim p (x‬‬ ‫2−→‪x‬‬ ‫√‬ ‫= )‪ ,f (x‬משמאל השיקוף ביחס לציר ה־‪ y‬־ = )‪g (x‬‬ ‫מימין ־ ‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪. −x‬‬ ‫√‬ ‫שיקוף ביחס לציר ה־‪:g (x) = −f (x) = − x .x‬‬ ‫ניקח כעת פונקציה כתובה )‪:φ (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪2x −2 ≤ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 = ‪φ (x) = 12 x‬‬ ‫2 ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫5‪x x‬‬ ‫• 4− = )‪lim φ (x‬‬ ‫2−→‪x‬‬ ‫7‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 8. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫רציפות‬ ‫• 01 = )‪lim φ (x‬‬ ‫−5→‪x‬‬ ‫רציפות כללית‬ ‫• 52 = )‪lim φ (x‬‬ ‫+5→‪x‬‬ ‫אומרים ש־ ‪ f‬רציפה ב־‪ a‬אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:‬ ‫• ∅ = )‪lim φ (x‬‬ ‫5→‪x‬‬ ‫1. ‪ f‬מוגדרת ב־‪.a‬‬ ‫משפט חשוב: אם לשתי פונקציות יש את אותם ערכים מלבד‬ ‫נקודה ספציפית אחת ־ אזי יש להן את אותו הגבול באותה‬ ‫נקודה.‬ ‫)‪p (x‬‬ ‫= )‪) f (x‬אין קשר בין‬ ‫נניח ויש לנו פונקציה רציונאלית:‬ ‫)‪q (x‬‬ ‫)‪ p (x‬שכאן לדוגמא למעלה( אשר מוגדרת ב־ ‪ x = a‬אזי ניתן‬ ‫פשוט להציב את ‪ a‬בתנאי ש 0 = )‪ .q (a‬במידה ו־0 = )‪ q (a‬אזי‬ ‫מחלקים את )‪ q (a‬ב־ )‪ (x − a‬ואז אפשר להציב )ניתן להסיק‬ ‫זאת מהמשפט החשוב שלמעלה(.‬ ‫או אפשרות אחרת היא לכפול בצמוד )העיקר שהמכנה לא‬ ‫יתאפס(.‬ ‫חשוב לזכור שאם הגבול משמאל לא שווה לגבול מימין )או‬ ‫ההפך( ־ אזי לפונקציה אין גבול בנקודה!‬ ‫למשל: לפונקציה )‪ φ (x‬אין גבול בנקודה 5 = ‪ x‬־ יש גבול‬ ‫מימין‬ ‫גבול ב־∞‬ ‫2. יש לה גבול ב־‪ lim f (x)) a‬קיים(.‬ ‫‪x→a‬‬ ‫3. )‪lim f (x) = f (a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫דוגמא נגדית ל־3:‬ ‫ניקח את הפונקציה הבאה:‬ ‫2 ‪‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 = ‪−10 x‬‬ ‫= )‪ψ (x‬‬ ‫2 ‪x‬‬ ‫4≤‪2x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫ניקח את הנקודה 4 = ‪ ,x‬הפונקציה איננה ריציפה בנקודה הנל‬ ‫)מכיוון שהגבול משמאל ומימין אינם שווים(, אבל הפונקציה כן‬ ‫רציפה משמאל בנקודה, אבל לא רציפה מימין, מה שמכריע‬ ‫כאן את הכף הוא סעיף 3, מכיוון שבגבול השמאלי של‬ ‫הפונקציה בנקודה 4 = ‪ x‬הגבול שווה לערך הפונקציה:‬ ‫61 = )4( ‪ , lim ψ (x) = ψ‬לעומת זאת בגבול הימני הדבר‬ ‫−‬ ‫4→‪x‬‬ ‫כשמדובר בגבולות ב־∞, כלומר ב־ ‪ lim‬או ‪ lim‬אז בדרך‬ ‫∞−→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫מהצורה הבאה: )‪= q(x‬‬ ‫כל מה שיהיה לנו זה פונקציה‬ ‫)‪,f (x‬‬ ‫מה שעושים זה שמוציאים מכל פולינום את החזקה הכי גבוהה‬ ‫וזה מה שקובע את התוצאה הסופית. למשל:‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫2‪x3 5 − x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫2 ¡ ‪lim‬‬ ‫2‬ ‫‪x→∞ x‬‬ ‫2‪¡ 1 + x‬‬ ‫2‬ ‫2‪x 5 − x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞=‬ ‫2 + 1 ∞→‪x‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫)חשוב לזכור שאם היה לנו 1־ במקום 1 במכנה זה היה ∞−‬ ‫מכיוון שאז היה אינסוף חלקי מספר שלילי(.‬ ‫‪5x3 − 2x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫2 + 2‪x→∞ x‬‬ ‫גבול ב־0‬ ‫1‬ ‫חשוב לזכור שבפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫הם שונים: ∞ = ‪ lim+ x‬ואילו ∞− =‬ ‫הגבול משמאל ומימין בנקודה 0 = ‪a‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫1‬ ‫‪. lim− x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫כלל הסנדוויץ'‬ ‫אם )‪) f (x) ≤ g (x) ≤ h (x‬בסביבה של ‪ (a‬ונניח כי‬ ‫‪ lim f (x) = lim h (x) = l‬אזי: ⇐ ‪lim g (x) = l‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫משתמשים בכלל הזה מתי שיש לנו פונקציה שאין לה גבול סביב‬ ‫נקודה מסוימת )למשל: )‪ sin (x‬בנקודה 0, או כל משהו דומה(.‬ ‫גבול חשוב שמוגדר באמצעות כלל הסנדוויץ':‬ ‫1 = )‪ lim sin(x‬וגם:‬ ‫‪x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫1 = )‪ lim sin (x‬אם 0 = )‪lim f (x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫0→‪x‬‬ ‫לא כך: 61 = )4( ‪ lim+ ψ (x) = 20 = ψ‬־ לכן הפונקציה‬ ‫4→‪x‬‬ ‫איננה רציפה מימין בנקודה 4 = ‪.x‬‬ ‫נקודת סליקה מה שיש לנו ב־ 2 = ‪ x‬זה מה שנקרא נקודת‬ ‫סליקה ־ חור בפונקציה ־ הפונקציה רציפה בקטע ]4 ,0[ מלבד‬ ‫ב־2, שמה יהיה לנו מעין חור. הנקודה החסרה שם תופיע לנו ב־‬ ‫01− = ‪) y‬אגב, לא חייבת להיות נקודה שתשלים את הנקודת‬ ‫סליקה(.‬ ‫רציפות מימין ומשמאל‬ ‫כמו רק הרציפות הכללית, רק שהפעם מדובר על צד אחד, ניקח‬ ‫את הפונקציה שלמעלה: )‪ p (x‬כדי להסביר את הרעיון:‬ ‫נתמקד בנקודה 2− = ‪ x‬אזי, הפונקציה אכן רציפה מימין:‬ ‫היא מוגדרת ב־ 2−, יש לה גבול, והגבול שלה מימין הוא בדיוק‬ ‫איך שהיא מוגדרת שם ־ לכן, הפונקציה )‪ p (x‬רציפה מימין‬ ‫בנקודה 2− = ‪ ,x‬לעומת זאת משמאל אין לה רציפות:‬ ‫היא מוגדרת ב־ 2−, יש לה גבול משמאל, אבל לא שווה לאיך‬ ‫שהיא מוגדרת שם ־ ולכן היא לא רציפה משמאל.‬ ‫תוספת חשובה לסעיף 2 אפשר להרחיב את 2 )את סעיף‬ ‫2( ולומר שכדי שפונקציה תהיה רציפה בנקודה כלשהי היא‬ ‫צרכה שהגבול שלה מימין והגבול שלה משמאל יהיו שווים. אם‬ ‫הגבולות מימין ומשמאל לא שווים, אזי היא בטוח לא רציפה‬ ‫בנקודה )אולי רציפה מימין ומשמאל, אבל רציפה באופן כללי‬ ‫היא לא(.‬ ‫וגם: שהפונקציות הטריגונומטריות . . . )‪ sin (x) , cos (x‬וגם‬ ‫√‬ ‫הפונקציות ‪ ax , n x‬ו־ )‪ logn (x‬רציפות בכל נקודה שבה‬ ‫הן מוגדרות.‬ ‫8‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 9. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫נגזרות‬ ‫נוסחאות גזירה )כמה נוסחאות חשובות(‬ ‫הגדרת הנגזרת:‬ ‫)‪f (a + h) − f (a‬‬ ‫0→‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫בנקודה ‪.a‬‬ ‫אם ‪ f‬גזירה ב־‪ ,a‬אזי משוואת הישר ששמשיק לגרף ועובר‬ ‫בנקודה ))‪ (a, f (a‬הוא: )‪.y = f (a) + f (a) (x − a‬‬ ‫‪ f (x) = lim‬־ שהיא גם שיפוע המשיק‬ ‫)1(‬ ‫‪(f + g) = f + g‬‬ ‫‪(f · g) = f g + g f‬‬ ‫)2(‬ ‫‪f‬‬ ‫2‪f‬‬ ‫)3(‬ ‫1−‪(xn ) = nxn‬‬ ‫)5(‬ ‫)‪· f (x‬‬ ‫)6(‬ ‫מתי פונקציה ‪ f‬גזירה בנקודה ‪?a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(f (x) ) =nf (x‬‬ ‫1+‪n‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪(g ◦ f ) = g (f (x)) · f (x‬‬ ‫)8(‬ ‫···‬ ‫)9(‬ ‫2. הגזרת משמאל והנגזרת מימין שווים.‬ ‫1−‪n‬‬ ‫)‪−nf (x‬‬ ‫)7(‬ ‫1. כאשר הגבול של ‪ a‬משמאל ומימין שווים )אם אין גבול אזי‬ ‫היא לא גזירה(.‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f ·g −f ·g‬‬ ‫2‪f‬‬ ‫)4(‬ ‫מתי פונקציה גזירה?‬ ‫−=‬ ‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫1+‪n‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫=‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫))‪(g (x‬‬ ‫)01(‬ ‫)11(‬ ‫כדאי לזכור:‬ ‫הפונקציה גזירה ב־‪ ⇐ a‬הפונקציה רציפה ב־‪.a‬‬ ‫לעומת זאת זה לא תמיד נכון ההפך:‬ ‫הפונקציה רציפה ב־‪ ¨ a‬הפונקציה גזירה ב־‪.a‬‬ ‫⇐‬ ‫‪r‬‬ ‫¨‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪(− sin (x)) = − cos (x‬‬ ‫)31(‬ ‫4. הפונקציה רציפה ב־ ‪.a‬‬ ‫)‪(cos (x)) = − sin (x‬‬ ‫)21(‬ ‫3. הפונקציה מוגדרת בנקודה ‪.a‬‬ ‫)‪(sin (x)) = cos (x‬‬ ‫)‪(− cos (x)) = sin (x‬‬ ‫2‬ ‫= ))‪(tan (x‬‬ ‫1 + )‪cos (2x‬‬ ‫)41(‬ ‫משהו שחשוב לזכור‬ ‫דוגמא לפונקציה שיש בה נקודה שהיא רציפה בה אך אינה‬ ‫גזירה בה ניקח את הפונקציה הבאה:‬ ‫2 ‪x2 x‬‬ ‫2 ≥ ‪2x x‬‬ ‫ניקח את הנקודה 2 = ‪ x‬־ הפונקציה רציפה בנקודה )כי הגבול‬ ‫משני הצדדים שווה, הפונקציה מוגדרת בנקודה, והיא עונה על‬ ‫סעיף 3 ברציפות(, אבל, הנגזרת משמאל לא שווה לנגזרת מימין:‬ ‫4 = 2 · 2 = ‪ f− (x) = 2x‬ולעומת זאת:‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫כאשר אנחנו מנסים למצוא את הגבול או את הנגזרת אנחנו‬ ‫יכולים לכפול בצמוד או לעשות כל מיני דברים אחרים שמתור‬ ‫√‬ ‫לנו לעשות אם מוציאים ‪ x‬מ־5 + 2‪ x‬אז מה שמקבלים הוא:‬ ‫5‬ ‫2‪ .|x| 1 + x‬כלומר, גם שמים ערך מוחלט ל־‪ x‬וגם הוא יורד‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫בחזקה, למשל: 3‪. |x| x = x‬‬ ‫2 = )‪f+ (x‬‬ ‫לכן הפונקציה איננה גזירה בנקודה 2 = ‪.x‬‬ ‫מקרים שבהם הפונקציות אינן גזירות‬ ‫1. כאשר יש משיק אנכי ־ כלומר יש שיפוע שהוא ∞ )או‬ ‫√‬ ‫∞−(, למשל בפונקציה ‪ 5 x‬־ נקבל בסוף ביטוי שכולל ־‬ ‫1‬ ‫‪ , x‬לכן בנקודה 0 = ‪ x‬השיפוע הוא אינסוף )להזכירכם:‬ ‫הנגזרת נותנת לנו את שיפוע המשיק בנקודה ספציפית( ־‬ ‫לכן אין נגזרת.‬ ‫2. יש חוד )שפיץ( בדכ כאשר הנגזרת משמאל לא שווה‬ ‫לנגזרת מימין...‬ ‫3. הפונקציה אינה רציפה בנקודה שבה רוצים לגזור.‬ ‫דיוקן של סר אייזק ניוטון )7271-3461( בתקופת הבא שלו בטרינטי קולג'.‬ ‫9‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 10. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫סדרות‬ ‫הסיכום לקוח מהאתר:‬ ‫‪http: // www. letach. net‬‬ ‫מצאתם שגיאה? נפלה טעות? אשמח אם תיעדו אותי בכך )דרך האתר(.‬ ‫כמה דברים על סדרות‬ ‫סדרה היא פונקציה מ־‪ N‬ל־‪ R‬עבור ‪ n0 ) n0 ≤ n‬נתון(.‬ ‫סדרה עולה וסדרה יורדת‬ ‫סדרה עולה: לכל ‪) an ≤ an+1 :n‬סדרה עולה ממש: ‪an‬‬ ‫1+‪ ,(an‬סדרה יורדת: לכל ‪) an ≥ an+1 :n‬סדרה יורדת ממש:‬ ‫1+‪.(an an‬‬ ‫כיצד ניתן לבדוק אם סדרה היא עולה או‬ ‫יורדת?‬ ‫)כמובן שמדובר רק בשתי שיטות פשוטות היות ולא למדנו המון‬ ‫על סדרות, אלא רק התחלנו...(‬ ‫שיטה ראשונה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים:‬ ‫1+‪an‬‬ ‫1+‪an‬‬ ‫־ הסדרה‬ ‫־ הסדרה יורדת. אם 1 ‬ ‫אם 1 ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪an‬‬ ‫עולה.‬ ‫שיטה שנייה לוקחים שני איברים )עוקבים( ובודקים:‬ ‫אם: 0 ‪ an+1 − an‬הסדרה עולה, ואם: 0 ‪ an+1 − an‬־‬ ‫הסדרה יורדת‬ ‫משהו קטן לגבי עצרת)!(‬ ‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬ ‫!‪.(n + 2)! = (n + 2) · (n + 1) · n‬‬ ‫01‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬
  • 11. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫וקטורים ומרחקים:‬ ‫1‬ ‫אוילר והמרוכבים: ‪r · eiθ‬‬ ‫3‬ ‫הגדרה של מספר מרוכב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫כיצד ניתן להגיע להצגת אוילר? ) ‪. . . . . . . . . . . . (r · eiθ‬‬ ‫כיצד מציגים את הקבוצה במישור גאוס? )ואיך משרטטים העברה(‬ ‫איך פותרים משוואה ריבועית עם מרוכבים? . . . . . . . . . . .‬ ‫מציאת שורשי יחידה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫שנוניות‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫מעגל . . . . . . . .‬ ‫פרבולה . . . . . .‬ ‫אליפסה . . . . . .‬ ‫היפרבולה . . . . .‬ ‫משוואה של שנונית: .‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫.‬ ‫פונקציות‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫תחום וטווח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫תחום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫טווח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה חד־חד־ערכית )חחע( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקצית על . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה זוגית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פונקציה אי זוגיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫פעולות על פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הרכבת פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הזזות של גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מתיחות של גרפים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫שיקופים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבולות, רציפות של פונקציה ונגזרות‬ ‫5‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫גבולות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול בנקודה של פונקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול ב־∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫גבול ב־0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫כלל הסנדוויץ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות כללית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נקודת סליקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫רציפות מימין ומשמאל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫תוספת חשובה לסעיף 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נגזרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫הגדרת הנגזרת: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מתי פונקציה גזירה? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫דוגמא לפונקציה שיש בה נקודה שהיא רציפה בה אך אינה גזירה בה . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫מקרים שבהם הפונקציות אינן גזירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫נוסחאות גזירה )כמה נוסחאות חשובות( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫משהו שחשוב לזכור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬ ‫11‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬
  • 12. ‫כלים מתמטיים למדעי המחשב‬ ‫01‬ ‫סדרות‬ ‫כמה דברים על סדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫סדרה עולה וסדרה יורדת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫כיצד ניתן לבדוק אם סדרה היא עולה או יורדת? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫שיטה ראשונה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫שיטה שנייה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫משהו קטן לגבי עצרת)!( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01‬ ‫21‬ ‫סמסטר א' ־ תשעב‬