1. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫ד"ר‬‫תשע"ג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬
‫ערן‬ ‫ד"ר‬ ‫־‬ ‫תשע"ג‬ ‫־‬ ‫המחשב‬
‫לונדון‬
I ‫חלק‬
‫אינסופיות‬ ‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫עוצמות‬
:‫קצרה‬ ‫תזכרות‬
‫־‬ A, B ‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫עבור‬ :‫קבוצות‬ ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הגדרנו‬
.‫הפיכה‬ f : A → B ‫קיימת‬ ‫אם"ם‬ A ≡I B
‫של‬ ‫העוצמה‬ :‫לה‬ ‫ונקרא‬ |A|‫ב־‬ ‫נסמן‬ A ‫של‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקת‬ ‫את‬
.A
,|A| = n :‫נסמן‬ ‫אז‬ A ≡I {1, 2, . . . , n}‫ש־‬ ‫כך‬ n ∈ N ‫קיים‬ ‫אם‬
.|A| = 0 ‫נסמן‬ ‫אז‬ A = ∅ ‫אם‬ ‫או‬
.‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ A‫ש־‬ ‫נאמר‬ ‫הללו‬ ‫המקרים‬ ‫בשני‬
‫בת־מנייה‬ ‫קבוצה‬ 1
.‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫אינסופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ A
.(...N, Q, R, N × N :‫)למשל‬
|N| = ℵ0 :‫הגדרה‬
.|N| = |Z| = |Q| = ℵ0 :‫טענה‬
‫או‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ A ‫אם‬ ‫בת־מנייה‬ ‫היא‬ A ‫קבוצה‬ :‫הגדרה‬
.|A| = ℵ0
|(0, 1)| = |R| = ℵ0 :‫משפט‬
‫קטעים‬ ‫בין‬ ‫עוצמות‬ 2
?|(0, 1)| = |(12, 98)| ‫ש־‬ ‫מראים‬ ‫איך‬
:‫תשובה‬
‫ש־‬ ‫כך‬ f (x) = ax + b ‫מהצורה‬ ‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫בונים‬
‫ש־‬ ‫נובע‬ ‫ומכך‬ f (0) = 12 , f (1) = 98
,b = f (0) = 12
a + b = f (1) = 98 ⇒ a = 98 − b = 98 − 12 = 86
:‫הינה‬ (‫)וההפיכה‬ ‫הלינארית‬ ‫הפונקציה‬ ‫לכן‬
‫עוצמה‬ ‫שווי‬ ‫הם‬ ‫הקטעים‬ ‫ששני‬ ‫ומכאן‬ ‫־‬ f (x) = 86x + 12
.f : (0, 1) → (12, 98) :‫הפיכה‬ ‫פונקציה‬ ‫וקיימת‬ ‫היות‬
‫מהקטעים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫גם‬ ‫אותנו‬ ‫לשמש‬ ‫יכולה‬ ‫פונקציה‬ ‫אותה‬
.‫סגורים‬ ‫בקטעים‬ ‫או‬ ,‫חצי־פתוח‬ ‫חצי־סגור‬ ‫הוא‬
:‫כללי‬ ‫באופן‬
.|(a, b)| = |(c, d)| :‫אזי‬ c < d ‫וגם‬ a < b‫ו־‬ a, b, c, d ∈ R ‫אם‬
‫קבוצות‬ ‫בין‬ ‫עוצמות‬ 3
‫או‬ ‫גדולה‬ B ‫שעוצמת‬ ‫נאמר‬ .‫קבוצות‬ ‫שתי‬ A, B ‫תהיינה‬ :‫הגדרה‬
:‫סימון‬ .f : A → B ‫חח"ע‬ ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ A ‫לעוצמת‬ ‫שווה‬
.|A| ≤ |B|
‫ולא‬ |A| ≤ |B| ‫אם‬ A ‫מעוצמת‬ ‫גדולה‬ B ‫שעוצמת‬ ‫נאמר‬ :‫הגדרה‬
.|A| < |B| :‫סימון‬ .B ‫על‬ ‫שהיא‬ g : A → B ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬
‫קנטור־ברנשטיין־שרדר‬ ‫משפט‬ 3.1
:A, B ‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫תהיינה‬
.|A| = |B| ⇐= |B| ≤ |A| ‫וגם‬ |A| ≤ |B| ‫אם‬
‫וקיימת‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ f : A → B ‫קיימת‬ ‫אם‬ :‫אחרות‬ ‫)במילים‬
‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ h : A → B ‫קיימת‬ ‫אזי‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ g : B → A
.(‫ועל‬
‫אם‬ ,‫קבוצות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫ונתונות‬ ‫במדיה‬ ‫־‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ ‫־‬ ♣
‫מהשניה‬ ‫חח"ע‬ ‫ופונקציה‬ ‫לשנייה‬ ‫מהראשונה‬ ‫חח"ע‬ ‫פונקציה‬ ‫מצאנו‬
!‫עוצמה‬ ‫שוות‬ ‫הן‬ ‫הקבוצות‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫לראשונה‬
.|A| < |P (A)| :‫מתקיים‬ A ‫קבוצה‬ ‫לכל‬ :‫משפט‬
.(|P (N)| = |R| :‫)הערה‬
II ‫חלק‬
‫הגרפים‬ ‫תורת‬
‫בסיסיות‬ ‫הגדרות‬ 4
‫זוגות‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬ E‫ו־‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ V ‫תהא‬ :‫הגדרה‬
‫גרף‬ ‫קוראים‬ ‫אנחנו‬ (V, E) ‫לזוג‬ .V ‫מ־‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬ ‫של‬ ‫סדורים‬
.‫מכוון‬
‫היא‬ E‫ו־‬ ‫הגרף‬ ‫של‬ (Vertices) ‫הקודקודים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ V
.(Edges/Arcs) ‫הצלעות‬ ‫קבוצת‬
‫אינו‬ (V, E) ‫הגרף‬ ‫אזי‬ ‫סדורים‬ ‫אינם‬ E‫ב־‬ ‫הזוגות‬ ‫אם‬ :‫הערה‬
.‫מכוון‬
1

2. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫ד"ר‬‫תשע"ג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
‫פרטים‬ ‫יותר‬ ‫עם‬ ‫דוגמאות‬ ,‫בסיסיות‬ ‫ממש‬ ‫דוגמאות‬ ‫)כמה‬ :‫למשל‬
(‫בהמשך‬ ‫יהיו‬
,E = {{1, 2} , {1, 4} , {2, 3}} ,V = {1, 2, 3, 4, 5}
.‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ G = (V, E) ‫הגרף‬
1 2 3
5 4
:‫פשוטה‬ ‫יותר‬ ‫דוגמא‬ ,‫או‬
.E = {(1, 2) , (3, 1)} ,V = {1, 2, 3}
.‫מכוון‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ G = (V, E)
1 // 2
3
ff
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
‫היא‬ ‫המחדל‬ ‫ברירת‬ ‫אזי‬ ‫מדובר‬ ‫סוג‬ ‫איזה‬ ‫על‬ ‫מוזכר‬ ‫לא‬ ‫כאשר‬ ♣
.‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬
‫סוגריים‬ ‫עם‬ E‫ב־‬ ‫זוגות‬ ‫נראה‬ ,‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫בגרף‬ ‫גם‬ ,‫כלל‬ ‫בדרך‬ ♣
.(a, b)
.m = |E| ‫־‬ ‫הצלעות‬ ‫מספר‬ ,n = |V | ‫־‬ ‫הקודקודים‬ ‫מספר‬ :‫סימון‬
‫שכנים‬ 4.1
u ‫אז‬ .{u, v} ∈ E‫ו־‬ ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
‫קודקודים‬ ‫זוג‬ ‫הם‬ {u, v} ‫והזוג‬ ,u ‫של‬ ‫שכן‬ ‫הוא‬ v‫ו־‬ v ‫של‬ ‫שכן‬ ‫הוא‬
.‫שכנים‬
:‫תסומן‬ u ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫השכנים‬ ‫קבוצת‬
.Γ (u) = {v ∈ V, {u, v} ∈ E}
‫שכן‬ ‫הוא‬ v ‫אזי‬ (u, v) ∈ E ‫אם‬ .‫מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) :‫הגדרה‬
.(v ‫של‬ ‫שכן‬ ‫הוא‬ u‫ש־‬ ‫הדבר‬ ‫פירוש‬ ‫)ואין‬ .u ‫של‬
.Γ (u) = {v ∈ V, (u, v) ∈ E} :u ‫של‬ ‫השכנים‬ ‫קבוצת‬
v ‫קודקוד‬ ‫של‬ ‫דרגה‬ 4.2
.v ∈ V ‫ויהא‬ ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
.deg (v) = |Γ (v)| :‫כך‬ ‫מוגדרת‬ v ‫של‬ ‫הדרגה‬
.v ∈ V ‫ויהא‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
out − deg (v) = |{u ∈ V, (v, u) ∈ E}|
in − deg (v) = |{u ∈ V, (u, v) ∈ E}|
.deg (v) = (in − deg (v)) + (out − deg (v))
.‫מבודד‬ ‫קודקוד‬ ‫הוא‬ v ‫אז‬ deg (v) = 0 ‫אם‬ :‫הגדרה‬
.(‫מכוונים‬ ‫לא‬ ‫לגרפים‬ ‫וגם‬ ‫מכוונים‬ ‫לגרפים‬ ‫גם‬ ‫תקפה‬ ‫)ההגדרה‬
(Path) ‫מסילה‬ 4.3
‫הקודקודים‬ ‫סדרת‬ ,(‫לא‬ ‫או‬ ‫)מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
0 ≤ i ≤ p − 1 ‫לכל‬ ‫אם‬ (‫מסלול‬ ‫)או‬ ‫מסילה‬ ‫היא‬ v0, v1, . . . , vp
:‫מתקיים‬
‫)בגרף‬ (vi, vi+1) ∈ E ‫או‬ (‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫)בגרף‬ {vi, vi+1} ∈ E
.(‫מכוון‬
!‫אחת‬ ‫מפעם‬ ‫יותר‬ ‫בסדרה‬ ‫המופיעה‬ ‫צלע‬ ‫ואין‬
.‫פשוטה‬ ‫מסילה‬ ‫זוהי‬ ‫אז‬ ‫שונים‬ v0, . . . , vp ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫אם‬
.‫מעגל‬ ‫זהו‬ ‫אז‬ v0 = vp‫ו־‬ p > 0 ‫אם‬
‫זהו‬ ‫אז‬ ‫שונים‬ ‫הם‬ (v0 = vp‫ל־‬ ‫)פרט‬ ‫במעגל‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫אם‬
.‫פשוט‬ ‫מעגל‬
.p ‫הוא‬ v0, . . . , vp ‫המסילה‬ ‫של‬ ‫אורכה‬
.0 ‫מאורך‬ ‫מסילה‬ ‫הוא‬ (‫)כלשהו‬ ‫בודד‬ ‫קודקוד‬ :‫הערה‬
‫המעגל‬ ‫אורך‬ ‫־‬ ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫בגרף‬ .0 ‫באורך‬ ‫מעגלים‬ ‫אין‬ :‫הערה‬
.2 ‫־‬ ‫ובמכוון‬ ,3 ‫לפחות‬ ‫הוא‬ ‫ביותר‬ ‫הקצר‬
v‫ל־‬ u‫מ־‬ ‫המרחק‬ 4.4
.u, v ∈ V ‫ו־‬ (‫לא‬ ‫או‬ ‫)מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
‫ביותר‬ ‫הקצרה‬ ‫המסילה‬ ‫אורך‬ ‫להיות‬ ‫מוגדר‬ v‫ל־‬ u ‫בין‬ ‫המרחק‬
,‫אזי‬ ‫כזאת‬ ‫אפשרות‬ ‫ואין‬ ‫במידה‬ 1
.d (u, v) :‫ע"י‬ ‫ומסומן‬ v‫ל־‬ u‫מ־‬
1 // 2 3 :‫למשל‬ .d (u, v) = ∞
.d (2, 1) = d (1, 3) = d (3, 1) = ∞
‫שני‬ ‫בין‬ ‫המקסימלי‬ ‫המרחק‬ = ‫גרף‬ ‫של‬ ‫קוטר‬ :‫הגדרה‬
‫בניהם‬ ‫שהמרחק‬ ‫הקודקודים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫לוקחים‬ ,‫כלומר‬ .‫קודקודים‬
.‫הגרף‬ ‫קוטר‬ ‫וזהו‬ ‫גדול‬ ‫הכי‬ ‫הוא‬
.‫אינסוף‬ ‫הוא‬ ‫הקוטר‬ ‫אזי‬ ‫קשיר‬ ‫אינו‬ ‫הגרף‬ ‫אם‬
‫וקשיר־חזק‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ 4.5
(‫מכוון‬ ‫)בגרף‬ ‫חזק‬ ‫וקשיר‬ (‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫)בגרף‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫הרעיון‬
.‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫אל‬ ‫בגרף‬ ‫קודקוד‬ ‫מכל‬ ‫להגיע‬ ‫שניתן‬ ‫הוא‬
(‫)תמיד‬ ‫הוא‬ ‫הקוטר‬ ,‫חזק‬ ‫וקשירים‬ ‫קשירים‬ ‫בגרפים‬ :‫הערה‬ ‫־‬ ♣
.‫סופי‬ ‫מספר‬
‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫בגרף‬ 4.5.1
.‫קשיר‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫הגרף‬ ‫אזי‬ ‫מסילה‬ ‫יש‬ ‫קודקודים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫בין‬ ‫אם‬
1 2 :‫למשל‬
‫מכוון‬ ‫בגרף‬ 4.5.2
‫אזי‬ (‫כיוון‬ ‫בכל‬ ‫)אחת‬ ‫מסילות‬ ‫שתי‬ ‫יש‬ ‫קודקודים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫בין‬ ‫אם‬
.‫קשיר־חזק‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫הגרף‬
1 22 2rr :‫למשל‬
‫וצלעות‬ ‫קודקודים‬ ‫השמטת‬ 4.6
‫הוא‬ G {x} .x ∈ V ‫יהא‬ .‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
‫והשמטת‬ ‫הקודקודים‬ ‫מקבוצת‬ x ‫השמטת‬ ‫ע"י‬ G‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ‫הגרף‬
‫משני‬ ‫אחד‬ ‫הוא‬ ‫)אם‬ .‫מהן‬ ‫חלק‬ ‫הוא‬ x ‫אשר‬ E‫ב־‬ ‫הצלעות‬ ‫כל‬
.(‫הצלע‬ ‫של‬ ‫הקודקודים‬
:‫הגרף‬ ‫הוא‬ G {2} ‫אזי‬ , 1 2 3 ‫הוא‬ G ‫אם‬ :‫למשל‬
‫לקודקוד‬ ‫שקשורות‬ ‫הצלעות‬ ‫כל‬ ‫ואת‬ 2 ‫את‬ ‫)השמטנו‬ 1 3
.(‫הזה‬
e ‫הצלע‬ ‫השמטת‬ ‫ע"י‬ G‫מ־‬ ‫המתקבל‬ ‫הגרף‬ ‫הוא‬ G {e} :‫הגדרה‬
.(‫שינוי‬ ‫ללא‬ ‫נשארת‬ ‫הקודקודים‬ ‫)קבוצת‬ ‫הצלעות‬ ‫מקבוצת‬
. 1 2 ‫זה‬ G {e} ‫אזי‬ , 1
e
2 ‫הוא‬ G ‫אם‬ :‫למשל‬
‫בכל‬ ‫כיוונים‬ ‫בשני‬ ‫ללכת‬ ‫שניתן‬ ‫מכיוון‬ d (u, v) = d (v, u) :‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫בגרף‬1
‫לא‬ ‫הדבר‬ ,‫מכוון‬ ‫בגרף‬ .‫הפוך‬ ‫בסדר‬ ‫רק‬ ‫הצלעות‬ ‫אותן‬ ‫דרך‬ ‫חוזרים‬ ‫ולכן‬ ,‫צלע‬
‫את‬ ‫לדוגמא‬ ‫ניקח‬ ‫הנתון‬ ‫בגרף‬ :‫למשל‬
‫אבל‬ d (1, 2) = 1 :2‫ו־‬ 1 ‫הקודקודים‬
‫צריך‬ ‫)כי‬ d (2, 1) = 3 ‫זאת‬ ‫לעומת‬
.(1‫ל־‬ 2‫מ־‬ ‫להגיע‬
1 // 2
4
OO
3oo
.‫כך‬ ‫תמיד‬
2

3. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
‫תת־גרף‬ 4.7
‫של‬ ‫תת־גרף‬ ‫הוא‬ G = (V , E ) ,‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
E ⊆ E ,∅ = V ⊆ V :‫וכן‬ 2
‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ G
.V ‫ב־‬ ‫נמצאים‬ ‫קודקודיה‬ ‫שני‬ ,E ‫ב־‬ ‫צלע‬ ‫כל‬ ‫ועבור‬
:‫דוגמא‬
‫והצלעות‬ ‫הקודקודים‬ ‫של‬ ‫בתת־קבוצה‬ ‫נמצאים‬ ‫בעיגול‬ ‫המוקפים‬ ‫)קודקודים‬
(...‫שורטטו‬ ‫לא‬ E ‫ב־‬ ‫נמצאים‬ ‫שלא‬
e ‫הצלע‬ ‫בגלל‬ ‫תת־גרף‬ ‫אינו‬ G
a ‫הוא‬ ‫מקודקודיה‬ ‫שאחד‬ (e ∈ E )
.a /∈ V ‫ו־‬
• •
e
• •
a
.G ‫של‬ ‫פורש‬ ‫תת־גרף‬ ‫נקרא‬ G ‫אזי‬ V = V ‫אם‬
...‫השאר‬ ‫וכל‬ ‫נוסחאות‬ ,‫טענות‬ 5
:‫מכוון‬ ‫בגרף‬
|E| =
v∈V
in − deg (v) =
v∈V
out − deg (v)
:‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫בגרף‬
v∈V
deg (v) = 2 · |E|
.∅ = S ⊆ V .‫וקשיר‬ ‫לא־מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫טענה‬
.S‫ב־‬ ‫שכן‬ ‫יש‬ u‫של־‬ ‫כך‬ ,u /∈ S ‫וגם‬ u ∈ V ‫קיים‬
.|V | = n ‫עם‬ ‫לא־מכוון‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫טענה‬
.m = |E| ≥ n − 1 ‫אז‬ ‫קשיר‬ G ‫אם‬
:n = |V | , m = |E|‫ו־‬ ‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫עבור‬
.‫קשיר‬ ‫אינו‬ G ‫אז‬ m n − 1 ‫אם‬ :‫טענה‬
.‫מעגל‬ ‫יש‬ G‫ב־‬ ‫אז‬ n ≤ m‫ו־‬ 3 ≤ n ‫אם‬ :‫טענה‬
V ‫ב־‬ ‫נמצא‬ ‫שלא‬ ‫מקודקוד‬ ‫או‬ ‫אל‬ ‫צלע‬ ‫תהיה‬ ‫למשל‬ ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫אין‬ ,‫כלומר‬2
‫עצים‬ 6
‫הגדרות‬ 6.1
:‫מתקיים‬ ‫תמיד‬ ‫בעץ‬ .‫עץ‬ ‫נקרא‬ ‫מעגלים‬ ‫חסר‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ :‫הגדרה‬
.|E| = |V | − 1 :‫כלומר‬ ,m = n − 1
v ∈ V ‫כאשר‬ deg (v) = 1 ‫אם‬ .‫עץ‬ G = (V, E) ‫יהא‬ :‫הגדרה‬
.‫עלה‬ ‫נקרא‬ v ‫אז‬
n = m + k :‫ומתקיים‬ ‫יער‬ ‫נקרא‬ ‫מעגלים‬ ‫חסר‬ ‫גרף‬ :‫הגדרה‬
.((‫ביער‬ ‫)עצים‬ ‫הקשירות‬ ‫רכיבי‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ k ‫)כאשר‬
‫)מספר‬ .‫לפחות‬ ‫אחד‬ ‫עלה‬ ‫ישנו‬ |V | ≥ 2 ‫עם‬ ‫עץ‬ ‫בכל‬ 6.1 ‫טענה‬
.(2 ‫לפחות‬ ‫הוא‬ ‫העלים‬
‫לעצים‬ ‫דוגמאות‬ 6.2
•
• • •
• •
• • •
• • •
•
‫ומשפטים‬ ‫טענות‬ 6.3
‫התכונות‬ ‫משלושת‬ ‫שתיים‬ ‫כל‬ .‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ 6.2 ‫טענה‬
:‫השלישית‬ ‫את‬ ‫גוררת‬ ‫הללו‬
.‫קשיר‬ G k
.‫מעגלים‬ ‫חסר‬ G k
.(|E| = |V | − 1 :‫)או‬ .m = n − 1 k
‫הוא‬ G {e} .e ∈ E‫ו־‬ ,‫קשיר‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ 6.3 ‫טענה‬
.‫למעגל‬ ‫שייכת‬ e ‫אםם‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬
,G = (V , E ) .G ‫של‬ ‫תת־גרף‬ ‫הוא‬ G ‫אם‬ :‫תזכורת‬
.G ‫של‬ ‫פורש‬ ‫תת־גרף‬ ‫הוא‬ G ‫אז‬ V = V ‫אם‬ .G = (V, E)
(‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫נקרא‬ ‫עץ‬ ‫שהוא‬ ‫)תת־גרף‬
.‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫בו‬ ‫יש‬ ‫אםם‬ ‫קשיר‬ ‫הוא‬ G = (V, E) 6.4 ‫משפט‬
.‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫הוא‬ ‫הזאת‬ ‫בקבוצה‬ ‫מינימלי‬ ‫איבר‬ 6.5 ‫טענה‬
3

4. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
:‫דוגמא‬
:‫הבא‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫ניקח‬
• •
• • •
• •
• •
• • •
• •
‫זהו‬ .(‫המקווקו‬ ‫)הקו‬ ‫עץ‬ ‫שיוצר‬ ‫תת־גרף‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫המקרים‬ ‫בשני‬
‫)העץ‬ ‫הגרף‬ ‫של‬ ‫הקודקודים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫שהוא‬ ‫מכיוון‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬
‫פורש‬ ‫תת־גרף‬ ‫־‬ ‫מדויק‬ ‫יותר‬ ‫באופן‬ ‫או‬ ,G ‫של‬ ‫תת־גרף‬ ‫הוא‬ ‫עצמו‬
‫)אותו‬ ‫בגרף‬ ‫מינימלי‬ ‫איבר‬ ‫שזהו‬ ‫־‬ ‫הטענה‬ ‫בדיוק‬ ‫זאת‬ .(G ‫של‬
‫אינו‬ ‫הגרף‬ ‫אזי‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫אם‬ .‫בגרף‬ ‫שקיים‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬
.(!‫קשיר‬
:‫למשל‬ ‫או‬
• • •
• • •
• • •
.‫הגרף‬ ‫בתוך‬ (‫המקווקו‬ ‫)הקו‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ ‫גם‬
:‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ ‫עץ‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬ 6.6 ‫טענה‬
G‫מ־‬ ‫כלשהי‬ ‫צלע‬ ‫של‬ ‫השמטה‬ :‫זו‬ ‫בתכונה‬ ‫ומינימלי‬ ‫קשיר‬ G k
.‫קשיר‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ‫יוצרת‬
‫צלע‬ ‫של‬ ‫הוספת‬ :‫זו‬ ‫בתכונה‬ ‫ומקסימלי‬ ‫מעגלים‬ ‫מכיל‬ ‫אינו‬ G k
.‫מעגל‬ ‫יוצרת‬ G‫ל־‬ ‫כלשהי‬
‫דו־צדדים‬ ‫גרפים‬ 7
‫אם‬ ‫דו־צדדי‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ G = (V, E) (‫מכוון‬ ‫)לא‬ ‫גרף‬ 7.1 ‫הגדרה‬
‫וכך‬ V1 ∪ V2 = V ,V1 ∩ V2 = ∅‫ש־‬ ‫כך‬ V1, V2 ∈ V ‫קיימות‬
3
E ⊆ V1 × V2‫ש־‬
‫או‬ ,V1‫ב־‬ ‫נמצאים‬ ‫קודקודיה‬ ‫ששני‬ ‫צלע‬ ‫אין‬ :‫אחרות‬ ‫)במילים‬
(V2‫ב־‬ ‫נמצאים‬ ‫ששניהם‬
|V1| = s, |V2| = t ‫שבו‬ ‫השלם‬ ‫הדו־צדדי‬ ‫הגרף‬ ‫הוא‬ Ks,t :‫סימון‬
.‫הללו‬ ‫הקבוצות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫האפשריות‬ ‫הצלעות‬ ‫כל‬ ‫הן‬ ‫והצלעות‬
:‫למשל‬
|E| = s · t • •
• • •
:‫או‬
1 3
2 4
,V1 = {1, 3} :‫כאשר‬
. V2 = {2, 4}
K2,2 = ‫ש־‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬
‫אותו‬ ‫את‬ ‫לצייר‬ ‫ניתן‬ .C4
⇐= :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫הגרף‬
1 2
4 3
.(n ‫גודל‬ ‫מסדר‬ ‫המעגל‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫־‬ Cn)
.‫משנה‬ ‫אינו‬ V1, V2 ‫של‬ ‫שהסדר‬ ‫לציין‬ ‫רק‬ ‫חשוב‬3
:‫אבחנה‬
.‫דו־צדדי‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫עץ‬ ‫כל‬ k
.‫דו־צדדי‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬ ‫יער‬ ‫כל‬ k
‫בו‬ ‫המעגלים‬ ‫כל‬ ‫אםם‬ ‫דו־צדדי‬ ‫הוא‬ G = (V, E) ‫גרף‬ 7.2 ‫משפט‬
.‫זוגי‬ ‫מאורך‬ ‫הם‬
‫מישוריים‬ ‫גרפים‬ 8
‫כך‬ ‫במישור‬ ‫לציירו‬ ‫ניתן‬ ‫אם‬ ‫מישורי‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬ 8.1 ‫הגדרה‬
‫רק‬ ‫להפגש‬ ‫להן‬ ‫מותר‬ ‫־‬ ‫בפנימיהן‬ ‫תיחתכנה‬ ‫לא‬ ‫שצלעותיו‬
‫לצייר‬ ‫שניתן‬ ‫לכך‬ ‫אחת‬ ‫דוגמא‬ ‫רק‬ ‫שניתן‬ ‫)מספיק‬ .‫בקודקודים‬
.(‫מישורי‬ ‫שהוא‬ ‫לכך‬ ‫הוכחה‬ ‫וזאת‬ ‫כמישורי‬ ‫גרף‬
:‫דוגמא‬
:K4 ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬
‫צלעות‬ ‫של‬ ‫מפגש‬ ‫קיים‬ ‫)כי‬ .K4 ‫של‬ ‫מישורית‬ ‫לא‬ ‫הצגה‬ ‫זוהי‬• •
• •
.(‫בקודקוד‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬
:‫זאת‬ ‫לעומת‬
.‫מישורי‬ K4‫ש־‬ ‫ומכאן‬ ‫־‬ K4 ‫של‬ ‫מישורית‬ ‫הצגה‬ ‫זוהי‬ • •
• •
.‫מישוריים‬ ‫גרפים‬ ‫הם‬ (‫)והיערות‬ ‫העצים‬ ‫כל‬ 8.2 ‫טענה‬
.‫שלו‬ ‫המישורית‬ ‫בהצגה‬ ‫נתבונן‬ .‫מישורי‬ ‫גרף‬ G ‫יהא‬ 8.3 ‫הגדרה‬
.(Face) .‫פאה‬ ‫תיקרא‬ ‫מדינה‬ ‫כל‬
‫מישורי‬ ‫גרף‬ G ‫יהא‬ ‫־‬ (Euler) ‫אוילר‬ ‫משפט‬ 8.4 ‫משפט‬
:‫מתקיים‬ ‫פאות‬ f ‫יש‬ ‫שבה‬ G ‫של‬ ‫מישורית‬ ‫בהצגה‬ ‫אזי‬ ,‫קשיר‬
‫לזכור‬ ‫)חשוב‬ .(k ‫רשום‬ ‫לפעמים‬ f ‫)במקום‬ n − m + f = 2
.(‫האינסופית‬ ‫המדינה‬ ,‫החיצונית‬ ‫הפאה‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫מחשבים‬ ‫שאנחנו‬
‫אותו‬ ‫יש‬ G ‫מישורי‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫המישוריות‬ ‫ההצגות‬ ‫בכל‬ :‫מסקנה‬
.(f = 2 − n + m :‫)כי‬ ‫פאות‬ ‫מספר‬
,‫צלעות‬ m‫ו־‬ ‫קודקודים‬ n ≥ 3 ‫עם‬ ‫מישורי‬ ‫גרף‬ G ‫יהא‬ 8.5 ‫משפט‬
.m ≤ 3 · (n − 2) :‫אזי‬
:‫קורטובסקי‬ ‫משפט‬
‫או‬ K3,3 ‫של‬ ‫הומיומורף‬ ‫מכיל‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫אםם‬ ‫מישורי‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬
‫צלעות‬ ‫החלפת‬ ‫עי‬ H‫מ־‬ ‫מתקבל‬ H ‫גרף‬ ‫של‬ ‫)הומיומורף‬ .K5 ‫של‬
.(‫בפנימיהן‬ ‫זרות‬ ‫המתווספות‬ ‫המסילות‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫במסילות‬
.5 ≥ ‫שדרגתו‬ ‫קודקוד‬ ‫קיים‬ ‫מישורי‬ ‫גרף‬ ‫בכל‬ 8.6 ‫טענה‬
4

5. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
‫גרפים‬ ‫של‬ ‫צביעות‬ 9
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ k‫ו־‬ ,‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ 9.1 ‫הגדרה‬
‫המקיימת‬ f : V → {1, . . . , k} ‫פונקציה‬ ‫היא‬ G ‫של‬ ‫־צביעה‬k
‫של‬ ‫הצבע‬ ‫קוראים‬ f (x) ‫]ל־‬ f (x) = f (y) ‫אז‬ {x, y} ∈ E
.[x ‫הקודקוד‬
‫מספר‬ .‫־צביע‬k ‫הוא‬ G‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אז‬ ‫־צביעה‬k ‫יש‬ G‫ל־‬ ‫אם‬
‫ביותר‬ ‫הקטן‬ k‫ה־‬ ‫בתור‬ ‫מוגדר‬ ‫והוא‬ χ (G) :‫עי‬ ‫מסומן‬ ‫הצבעים‬
.‫־צביע‬k ‫הוא‬ G ‫שהגרף‬ ‫כך‬
.‫2־צביע‬ ‫הוא‬ ‫אםם‬ ‫דו־צדדי‬ ‫הוא‬ ‫גרף‬ 9.2 ‫הערה‬
:‫דוגמא‬
.χ (K4) = 4 •
1
•2
•4 •
3
:K4
.χ (Kn) = n
,‫לצבעים‬ ‫שמות‬ ‫לתת‬ ‫במקום‬ .‫למעלה‬ ‫בשרטוט‬ ‫כמו‬ 9.3 ‫הערה‬
‫הצבע‬ ‫את‬ ‫שיסמל‬ ‫מספר‬ ‫נרשום‬ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫וליד‬ ‫אותם‬ ‫נמספר‬
.‫שלו‬
. χ (G) ≤ n ‫אז‬ |V | = n ‫אם‬ 9.4 ‫טענה‬
Ca ‫כי‬ 2 χ (Ca) ‫המקרים‬ ‫)בשני‬ χ (C5) = 3, χ (C7) = 3
:‫מסקנה‬ ,(‫דו־צדדי‬ ‫גרף‬ ‫אינו‬
1 ≤ l ∈ N χ (C2l+1) = 3
2 ≤ l ∈ N χ (C2l) = 2
‫אז‬ v ∈ V ‫לכל‬ deg (v) ≤ r ‫אם‬ .‫גרף‬ G ‫יהא‬ 9.5 ‫משפט‬
.χ (G) ≤ r + 1
:Brooks ‫משפט‬
‫אלא‬ χ (G) ≤ r ‫אז‬ r ‫היא‬ ‫בו‬ ‫המקסימלית‬ ‫והדרגה‬ ‫קשיר‬ G ‫אם‬
χ (G) = ‫אז‬ G = Kr+1‫ש־‬ ‫או‬ ‫אי־זוגי‬ ‫מעגל‬ G‫ו־‬ r = 2 ‫אם‬
.r + 1
.‫6־צביע‬ ‫הוא‬ ‫מישורי‬ ‫גרף‬ ‫כל‬ 9.6 ‫משפט‬
.χ (G) ≤ 4 :G ‫מישורי‬ ‫בגרף‬ :‫הצבעים‬ 4 ‫משפט‬ 9.7 ‫משפט‬
(‫)דו־צדדים‬ ‫בגרפים‬ ‫שידוכים‬ 10
‫)תת־‬ M ⊆ E .(‫מכוון‬ ‫)לא‬ ‫גרף‬ G = (V, E) ‫יהא‬ 10.1 ‫הגדרה‬
‫אם‬ [Matching] (‫זיווג‬ ‫)או‬ ‫שידוך‬ ‫תיקרא‬ (‫הצלעות‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬
‫)ניסוח‬ .e1 ∩ e2 = ∅ ‫מתקיים‬ (e1, e2 ∈ M ‫)כאשר‬ e1 = e2 ‫לכל‬
.(1≥ ‫קודקוד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫דרגתו‬ G = (V, E) ‫בגרף‬ :‫אחר‬
:‫דוגמאות‬
• •
• •
G = C4
‫המלבן‬ ‫שבתוך‬ ‫)הקודקודים‬ ‫לשידוכים‬ ‫אפשרויות‬ ‫מספר‬ ‫הנה‬ ,‫אזי‬
:(‫שונה‬ ‫שידוך‬ ‫מסמל‬ ‫שירטוט‬ ‫כל‬ ,‫השידוך‬ ‫את‬ ‫מסמלים‬
•
|M|=2
•
• •
•
|M|=2
•
• •
•
|M|=1
•
• •
•
|M|=1
•
• •
•
|M|=1
•
• •
• •
• •
:‫הריק‬ ‫השידוך‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫שישנו‬ ‫וכמובן‬
M ‫יהא‬ .‫דו־צדדי‬ ‫גרף‬ 4
G = L
·
∪ R, E ‫יהא‬ 10.2 ‫הגדרה‬
M ‫אזי‬ |L| = |R| = |M|‫ו־‬ |L| = |R| ‫אם‬ .‫זה‬ ‫בגרף‬ ‫שידוך‬
.‫מושלם‬ ‫שידוך‬ ‫הוא‬
:‫דוגמא‬
‫יוצרים‬ ‫בנקודות‬ ‫שמוקפים‬ ‫הקודקודים‬ ‫זוגות‬
M ‫בתור‬ ‫אותם‬ ‫נבחר‬ ‫אם‬ ‫כי‬ .‫מושלם‬ ‫שידוך‬
‫קודקוד‬ ‫אין‬ ‫מבניהם‬ ‫צלע‬ ‫שלשום‬ ‫נראה‬ ‫אזי‬
...‫משותף‬
• •
•
L
•
R
‫הדו־צדדי‬ ‫בגרף‬ ‫מושלם‬ ‫שידוך‬ ‫לקיום‬ ‫הכרחי‬ ‫תנאי‬ 10.3 ‫טענה‬
:‫מתקיים‬ X ⊆ L ‫שלכל‬ ‫הוא‬ |L| = |R| ‫שבו‬ G = L
·
∪ R, E
‫כאשר‬ |N (X)| ≥ |X|
‫קבוצת‬ ‫־‬ N (X)) N (X) = {y ∈ R | ∃x ∈ X, (x, y) ∈ E}
.(X ‫קודקודי‬ ‫של‬ ‫השכנים‬
‫ומספיק‬ ‫הכרחי‬ ‫תנאי‬ :Hall ‫של‬ ‫החתונה‬ ‫משפט‬ 10.4 ‫משפט‬
‫שלכל‬ ‫הוא‬ G = L
·
∪ R, E ‫בגרף‬ |L| ‫בגודל‬ ‫שידוך‬ ‫לקיום‬
.|N (X)| ≥ |X| ‫מתקיים‬ X ⊆ L
.‫מושלם‬ ‫שידוך‬ ‫הינו‬ ‫השיוך‬ ‫אזי‬ |L| = |R| ‫אם‬
A
·
∪ B ⇒ A ∩ B = ∅ .‫זרות‬ ‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫פירושו‬
·
∪4
5

6. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
III ‫חלק‬
‫ההסתברות‬ ‫לתורת‬ ‫מבוא‬
‫הבדידה‬
(‫בדידים‬ ‫)מרחבים‬ ‫בסיסיות‬ ‫הגדרות‬ 11
‫ריקה‬ ‫ולא‬ ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬ ‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ 11.1 ‫הגדרה‬
‫אי־שלילי‬ ‫משקל‬ ‫מיוחס‬ (x ∈ Ω) ‫מאבריה‬ ‫אחד‬ ‫שלכל‬ ,Ω
:‫שמתקיים‬ ‫כך‬ ,x ‫של‬ ‫ההסתברות‬ ‫הנראה‬ Pr (x) ≥ 0
Pr (Ω) =
x∈Ω
Pr (x) = 1
‫יקרא‬ Ω .(Ω, Pr) ‫־‬ ‫יסומנו‬ Pr ‫ולצדו‬ ‫ההסתברות‬ ‫מרחב‬ :‫סימון‬
.‫המדגם‬ ‫מרחב‬ ‫בשם‬ ‫גם‬
(0 ≤ Pr (x) ≤ 1 ,x ∈ Ω ‫)לכל‬ Pr : Ω → [0, 1]
x ∈ ‫לכל‬ ‫אם‬ .‫בדיד‬ ‫הסתברותי‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 11.2 ‫הגדרה‬
‫על‬ ‫האחידה‬ ‫ההתפלגות‬ ‫נקרא‬ Pr ‫אזי‬ Pr (x) = 1
|Ω| :‫מתקיים‬ Ω
.(‫הסתברות‬ = ‫)התפלגות‬ .Ω
W ⊆ Ω .‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 11.3 ‫הגדרה‬
.‫בסיסי‬ ‫מאורע‬ ‫נקרא‬ W ‫אז‬ |W| = 1 ‫אם‬ .‫מאורע‬ ‫נקראת‬
: (W ‫מאורע‬ ‫כל‬ ‫)עבור‬ ‫נגדיר‬
Pr (W) =
x∈W
Pr (x)
:‫הוגנת‬ ‫קוביה‬ ‫שנקרא‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫פשוטה‬ ‫דוגמא‬
‫־‬ Pr (i) = 1
6 ‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ 6 ‫לכל‬ ,Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
.‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ ‫הגדרנו‬
:‫בהטלה‬ ‫זוגי‬ ‫מספר‬ ‫לנו‬ ‫יצא‬ ‫שבו‬ ‫המאורע‬ ‫הוא‬ W :‫נגדיר‬
.Pr (W) = Pr (2) + Pr (4) + Pr (6) = 1
6 + 1
6 + 1
6 = 1
2
A, B ⊆ Ω .‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) 11.4 ‫הגדרה‬
.A ∩ B = ∅ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫מאורעות‬ ‫נקראים‬
‫אז‬ ‫זרים‬ ‫מאורעות‬ A, B ‫אם‬ 11.5 ‫טענה‬
.Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B)
:‫אזי‬ 5
‫בזוגות‬ ‫זרים‬ ‫מאורעות‬ A1, . . . , An ‫אם‬ 11.6 ‫טענה‬
Pr
n
i=1
Ai =
n
i=1
Pr (Ai)
.Pr (A) ≤ Pr (B) ⇐ A ⊆ B 11.7 ‫טענה‬
.‫לו‬ ‫המשלים‬ ‫האירוע‬ ‫הוא‬ ¯A ‫אז‬ ‫מאורע‬ ‫הוא‬ A ‫אם‬ 11.8 ‫הגדרה‬
.(Pr (Ω) = 1 :‫)הערה‬ .Pr ¯A = 1 − Pr (A) 11.9 ‫טענה‬
:‫אזי‬ ,‫מאורעות‬ A1, . . . , An ‫יהיו‬ 11.10 ‫טענה‬
Pr
n
i=1
Ai ≤
n
i=1
Pr (Ai)
.(‫האיחוד‬ ‫חסם‬ ‫נקרא‬ ‫)זה‬
‫וההדחה‬ ‫ההכלה‬ ‫משפט‬ 11.1
:‫אזי‬ ,‫מאורעות‬ A1, . . . , An ‫יהיו‬
=
n
i=1
Pr (Ai) −
1≤i1i2≤n
Pr (Ai1
∩ Ai2
) +
1≤i1i2i3≤n
Pr (Ai1
∩ Ai2
∩ Ai3
) ±
. . . + (−1)
n−1
Pr (A1 ∩ · · · ∩ An)
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 12
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬ B‫ו־‬ A .A, B ⊆ Ω ‫יהיו‬ 12.1 ‫הגדרה‬
.Pr (A ∩ B) = Pr (A) · Pr (B) :‫אם‬
‫אם‬ ,B ‫במאורע‬ ‫בלתי־תלוי‬ ‫הוא‬ A ‫מאורע‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬
.A ‫של‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ B ‫של‬ ‫התוצאה‬
‫מרחב‬ ‫נגדיר‬ .Pr (X) 0 ‫עם‬ ,X ∈ Ω ‫תהא‬ 12.2 ‫הגדרה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ,‫מצומצם‬ ,‫חדש‬ ‫הסתברות‬
:(X, Q)
∀x ∈ X; Q (x) =
Pr (x)
Pr (X)
‫פונקצית‬ ‫זאת‬ Q) ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ ‫אכן‬ ‫הוא‬ (X, Q) 12.3 ‫טענה‬
.(‫החדשה‬ ‫ההסתברות‬
.Ai ∩ Aj = ∅ :‫מתקיים‬ i = j ‫לכל‬ ,‫כלומר‬5
6

7. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
‫כאשר‬ , ‫במרחב‬ ‫מאורעות‬ ‫שני‬ A, B ‫יהיו‬ 12.4 ‫הגדרה‬
:‫מסומנת‬ B ‫בהינתן‬ A ‫של‬ ‫המותנית‬ ‫ההסתברות‬ .Pr (B) 0
:‫עי‬ ‫ומוגדרת‬ Pr (A|B)
Pr (A|B) =
Pr (A ∩ B)
Pr (B)
‫ההסתברות‬ ‫מה‬ ‫היא‬ ‫והשאלה‬ B‫ב־‬ ‫התוצאה‬ ‫מה‬ ‫לנו‬ ‫ידוע‬ ,‫כלומר‬
.A ‫של‬
‫השאלה‬ ‫ונשאלת‬ ‫התרחש‬ B ‫מאורע‬ ‫אם‬ ‫לנו‬ ‫ידוע‬ :‫אחרות‬ ‫)במילים‬
.(A ‫של‬ ‫ההסתברות‬ ‫כעת‬ ‫מהי‬
‫בלתי־תלויים‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬ B‫ו־‬ A‫ו־‬ Pr (B) 0 ‫אם‬ 12.5 ‫טענה‬
.Pr (A|B) = Pr (A) :‫אז‬
‫כאשר‬ ,A, B ⊆ Ω ‫ובו‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 12.6 ‫משפט‬
:‫שקולים‬ ‫הבאים‬ ‫הדברים‬ ‫אזי‬ ,Pr (A) 0, Pr (B) 0
.‫בלתי־תלויים‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬ B‫ו־‬ A ¥
.Pr (A|B) = Pr (A) ¦
.Pr (B|A) = Pr (B) §
‫מקריים‬ ‫משתנים‬ 13
X ‫תהא‬ .‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 13.1 ‫הגדרה‬
.‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫תקרא‬ f : Ω → X ,‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬
.‫ממשי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫הוא‬ f ‫אז‬ X = R ‫אם‬
‫מספרים‬ ‫לא‬ ‫שהם‬ ‫אובייקטים‬ ‫ולא‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כלשהי‬ ‫לקבוצה‬ ‫אותנו‬ ‫מעבירה‬ f ‫כאשר‬ ,‫כלומר‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫לקבוצה‬ ‫אותנו‬ ‫תעברי‬ f ‫ממשי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ ...'‫וכו‬ ‫טעם‬ ,‫צבע‬ :‫כמו‬
(...‫גיל‬ ,‫משקל‬ ,‫תוצאה‬ :‫)כמו‬
‫של‬ ‫התוחלת‬ .‫ממשי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ f : Ω → R ‫תהא‬ 13.2 ‫הגדרה‬
:‫הבא‬ ‫השוויון‬ ‫באמצעות‬ ‫ומוגדר‬ E [f] ‫מסומנת‬ f
E [f] =
x∈Ω
Pr (x) · f (x)
.µ = E [f] :‫מקובל‬ ‫סימון‬
A ⊆ Ω ‫בודד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) 13.3 ‫הגדרה‬
:‫הפונקציה‬ 13.4 ‫הגדרה‬
χA (x) =
1 x ∈ A
0 Otherwise
.A ‫הקבוצה‬ ‫של‬ ‫המציין‬ ‫המקרי‬ ‫המשתנה‬ ‫תקרא‬
χA = fA : Ω → {0, 1}
.E [fA] = Pr (A) :‫אזי‬ ,‫מציין‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ fA ‫יהא‬ 13.5 ‫טענה‬
,f, g : Ω → R .‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) 13.6 ‫טענה‬
.a, b, c ∈ R
: ‫אזי‬
.E [f + g] = E [f] + E [g] .1
.E [a · f] = a · E [f] .2
.E [a · f + b · g] = a · E [f] + b · E [g] .3
.E [a · f + b · g + c] = a · E [f] + b · E [g] + c .4
:‫אזי‬ ‫בלתי־תלויים‬ ‫מקריים‬ ‫משתנים‬ ‫הם‬ f, g ‫אם‬ 13.7 ‫טענה‬
.E [f · g] = E [f] · E [g]
:‫אזי‬ ,‫מקריים‬ ‫משתנים‬ ‫הם‬ f1, f2, . . . , fn 13.8 ‫טענה‬
E [f1 + · · · + fn] =
n
i=1 E [fi]
‫ו־‬ f : Ω → R‫ו־‬ ‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ :‫סימון‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ {f = a} ‫המאורע‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .a ∈ R
.{f = a} = {x ∈ Ω; f (x) = a}
:‫למשל‬
‫הוגנות‬ ‫קוביות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫מרחב‬ ‫הוא‬ ‫שלנו‬ ‫שהמרחב‬ ‫נניח‬
.Pr ((i, j)) = 1
36 :i, j ‫לכל‬ ,Ω = {(i, j) , 1 ≤ i, j ≤ 6}
‫המכפלה‬ ‫סכום‬ ‫שבו‬ ‫המאורע‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬ .f (i, j) = i·j
:20 ‫הוא‬
.Pr (f = 20) = 1
18 :‫לכן‬ ,{f = 20} = {(4, 5) , (5, 4)}
‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫במרחב‬ ‫ממשי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ f ‫יהא‬ 13.9 ‫טענה‬
6
:(Ω, Pr)
E [f] =
a∈R
a · Pr (f = a)
‫שונות‬ 14
.f ‫של‬ ‫התוחלת‬ ‫סביב‬ f ‫ערכי‬ ‫לפיזור‬ ‫מדד‬ ‫מחפשים‬
‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫במרחב‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ f ‫יהא‬ 14.1 ‫הגדרה‬
‫והיא‬ Var [f] :‫תסומן‬ f ‫של‬ ‫השונות‬ .E [f] ‫תוחלת‬ ‫עם‬ (Ω, Pr)
:‫עי‬ ‫מוגדרת‬
Var [f] = E (f − E [f])
2
.Var [f] ≥ 0 :‫מתקיים‬ f ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫לכל‬ 14.2 ‫הערה‬
:f ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫לכל‬ 14.3 ‫טענה‬
Var [f] = E f2
− E2
[f]
.Var [af] = a2
· Var [f] :‫אזי‬ a ∈ R ‫יהא‬ 14.4 ‫טענה‬
:‫אזי‬ ,‫בלתי־תלויים‬ ‫מקריים‬ ‫משתנים‬ f, g ‫יהיו‬ 14.5 ‫טענה‬
.Var [f + g] = Var [f] + Var [g]
‫מכפלה‬ ‫מרחבי‬ 15
‫הסתברות‬ ‫מרחבי‬ ‫שני‬ (Ω1, P1) , (Ω2, P2) ‫יהיו‬ 15.1 ‫הגדרה‬
‫מכפלה‬ ‫מרחוב‬ ‫הוא‬ (Ω1 × Ω2, Pr) ‫המכפלה‬ ‫מרחב‬ .‫בדידים‬
Ω1 × Ω2 ‫הקרטזית‬ ‫המכפלה‬ ‫היא‬ ‫שלו‬ ‫האיברים‬ ‫שקבוצת‬ ‫בדיד‬
.(x ∈ Ω1, y ∈ Ω2 ‫כאשר‬ (x, y) ‫הסדורים‬ ‫הזוגות‬ ‫אוסף‬ :‫)כלומר‬
:‫היא‬ ‫זה‬ ‫מרחב‬ ‫על‬ ‫המוגדרת‬ ‫ההסתברות‬ ‫פונקצית‬
7
. Pr (x, y) = P1 (x) · P2 (y)
f = a ‫וכאשר‬ ‫היות‬ ,(‫אינסופית‬ ‫קבוצה‬ ‫)שזו‬ a ∈ R‫ה־‬ ‫לגבי‬ ‫לדאוג‬ ‫מה‬ ‫אין‬6
.‫סופית‬ ‫בקבוצה‬ ‫מדובר‬ ‫ולכן‬ 0 ‫היא‬ ‫ההסתברות‬ ‫אזי‬
.Pr ((x, y)) = ... ‫גם‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬7
7

8. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
(Ω1, P1) , (Ω2, P2) , . . . , (Ωk, Pk) ‫יהיו‬ 15.2 ‫הגדרה‬
‫המכפלה‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ,‫בדידים‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחבי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ (Ω1 × Ω2 × · · · × Ωk, Pr)
Pr (x1, . . . , xk) = P1 (x1) · P2 (x2) · · · Pk (xk)
.xi ∈ Ωi ‫כאשר‬
‫ב־‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫נסמן‬ ,‫זהים‬ ‫המרחבים‬ k ‫כל‬ ‫אם‬ 15.3 ‫הערה‬
:‫המקיים‬ ‫מכפלה‬ ‫מרחב‬ ‫הוא‬ Ωk
, Pr ‫אז‬ ‫אז‬ (Ω, P)
Pr (x1, . . . , xk) =
k
i=1
P (xi)
Pr (f = k) = n
k · :‫ההתפלגות‬ ‫עם‬ ‫מקרי‬ ‫למשתנה‬ 15.4 ‫הגדרה‬
.‫בינומי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫קוראים‬ pk
(1 − p)
n−k
.Pr (f = k) =
(n
k)
2n :p = 1
2 ‫של‬ ‫במקרה‬
‫בהסתברות‬ ‫יסודיים‬ ‫אי־שוויונות‬ 16
‫מרקוב‬ ‫אי־שוויון‬ 16.1
f : Ω → R‫ו־‬ ‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 16.1 ‫משפט‬
:‫מתקיים‬ λ 0 ‫לכל‬ ‫אזי‬ 8
‫אי־שלילי‬ ‫מקרי‬ ‫משנה‬
Pr (f ≥ λ · E [f]) ≤
1
λ
‫צ'בישב‬ ‫אי־שוויון‬ 16.2
f : Ω → R‫ו־‬ ‫בדיד‬ ‫הסתברות‬ ‫מרחב‬ (Ω, Pr) ‫יהא‬ 16.2 ‫משפט‬
:‫מתקיים‬ c 0 ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫מקרי‬ ‫משתנה‬
Pr |f − E [f]| ≥ c ≤
Var [f]
c2
:‫אי־השוויון‬ ‫להצגת‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
Pr f − E [f] ≥ λ · Var [f] ≤
1
λ
.f (x) ≥ 0 ,x ∈ Ω ‫לכל‬ :‫כלומר‬8
:‫צ'בישב‬ ‫של‬ ‫אי־השוויון‬ ‫על‬ ‫קצר‬ ‫הסבר‬
‫המרחק‬ ‫פירושו‬ |x − a| :‫אזי‬ , ‫משתנה‬ ‫הוא‬ x‫ו־‬ a ∈ R‫ו־‬ ‫נניח‬
:‫ציר‬ ‫על‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נשרטט‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,a‫מ־‬ x ‫של‬
.−x‫ב־‬ ‫או‬ x‫ב־‬ a‫ב־‬ ‫מתרחקים‬ ‫אנחנו‬
•
−x a x
:‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ‫כעת‬
a‫מ־‬ x ‫של‬ ‫שהמרחק‬ ‫הדבר‬ ‫פירוש‬ ‫אזי‬ ,(c ∈ R) |x − a| ≥ c
:c‫ל־‬ ‫שווה‬ ‫או‬ ‫גדול‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬
oo • • • //
−c a c
‫שהמרחק‬ ‫מכיוון‬ ,‫חוקי‬ ‫איננו‬ ‫המקווקו‬ ‫בקו‬ ‫שנמצא‬ ‫מה‬ ,‫כלומר‬
.(|x − a| c) c ‫מ‬ ‫קטן‬ a ‫מ‬ ‫שלו‬
‫אי־שוויון‬ ,‫מסוים‬ c ‫שעבור‬ ‫זה‬ ‫צ'בישב‬ ‫של‬ ‫לאי־השוויון‬ ‫הקשר‬
(...‫בהמשך‬ ‫)דוגמא‬ c‫מ־‬ ‫לסטייה‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫חוסם‬ ‫צ'בישב‬
:‫צ'בישב‬ ‫של‬ ‫באי־השוויון‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬
:‫נסביר‬ ‫ואז‬ ‫מדוגמא‬ ‫נתחיל‬
.E [f] = 7n
2 , Var [f] = 35n
12 :‫הוגנת‬ ‫קוביה‬ ‫של‬ ‫הטלות‬ n ‫עבור‬
,Pr f − 7n
2 ≥ c ≤ 35n
12·c2 :‫באי־השוויון‬ ‫נציב‬ ‫כעת‬
:‫כלומר‬ ,‫מהתוחלת‬ ‫הסטייה‬ ‫זאת‬ c ‫כאשר‬
• • •
n 7n
2
−c
7n
2
7n
2
+c 6n
(‫1־ים‬ ‫)הכל‬ n ‫היא‬ ‫המינמלית‬ ‫התוצאה‬ ‫קוביות‬ n ‫בהטלת‬
‫את‬ ‫לנו‬ ‫חוסם‬ ‫צ'בישב‬ ‫אש‬ ,(‫6־ים‬ ‫)הכל‬ 6n ‫הוא‬ ‫והמקסימום‬
‫שני‬ ‫סך‬ ‫של‬ ‫הוא‬ ‫הוא‬ ‫)החסם‬ ‫השחורים‬ ‫הקטעים‬ ‫בשני‬ ‫ההסתברות‬
,(‫הקטעים‬
‫קוביות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫הטלה‬ ‫עבור‬ ‫חסם‬ ‫למצוא‬ ‫רוצים‬ ‫היינו‬ ‫אם‬ ,‫למשל‬
:‫אזי‬ ,10‫מ־‬ ‫גדול‬ ‫יותר‬ ‫תהיה‬ ‫התוצאה‬ ‫של‬ ‫כך‬ ,‫בלתי־תלויות‬
Pr (|f − 7| ≥ 3) ≤
70
12 · 9
= 0.6481
,10‫ל־‬ ‫להגיע‬ ‫כדי‬ ‫מהתוחלת‬ 3 ‫של‬ ‫מרחק‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ‫כי‬
‫את‬ ‫גם‬ ‫כלומר‬ ,‫הכיוונים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫חוסם‬ ‫צ'בישב‬ ‫אש‬ ‫אבל‬
‫סימטריה‬ ‫שיש‬ ‫בגלל‬ ‫אבל‬ ,Pr (f ≥ 10) ‫את‬ ‫וגם‬ Pr (f ≤ 4)
:‫המבוקשת‬ ‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫ולקבל‬ 2‫ב־‬ ‫לחלק‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬
Pr (f ≥ 10) = Pr (f ≤ 4) ≤ 0.324
‫לכך‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫לחסום‬ ‫הצלחנו‬ ‫צ'בישב‬ ‫באמצעות‬ ,‫כלומר‬
‫קטנה‬ ‫ההתסברות‬ 10 ‫מ־‬ ‫גדולה‬ ‫תהיה‬ ‫הקוביות‬ ‫בהטלת‬ ‫שהתוצאה‬
.0.324 ‫ל־‬ ‫שווה‬ ‫או‬
:‫היא‬ ‫לכך‬ ‫המדויקת‬ ‫ההסתברות‬ ,‫אגב‬
:‫אפשרויות‬ 6 ‫ישנן‬ ‫כי‬ , 1
36 · 6 = 6
36 = 1
6 = 0.166666 . . .
.{( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )}
‫מרקוב‬ ‫אש‬ ,‫מידה‬ ‫באותה‬ ,‫חסם‬ ‫זהו‬ ‫אבל‬ ,‫מדויק‬ ‫לא‬ ‫שזה‬ ‫נכון‬
...‫מדויק‬ ‫פחות‬ ‫חסם‬ ‫נותן‬
‫הגדולים‬ ‫המספרים‬ ‫של‬ ‫החלש‬ ‫החוק‬ 17
‫הגדולים‬ ‫המספרים‬ ‫של‬ ‫החלש‬ ‫החוק‬ 17.1 ‫משפט‬
‫ושווי‬ (µ) ‫תוחלת‬ ‫שווי‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫משתנים‬ f1, . . . , fn ‫יהיו‬
‫יהא‬ ,Sn =
n
i=1 fi :‫נסמן‬ ,[‫אחידה‬ ‫התפלגות‬ ‫]עם‬ (α) ‫שונות‬
:ε 0
lim
n→∞
Pr
sn
n
− µ ≥ ε = 0
8

9. ‫המחשב‬ ‫מדעי‬ ‫של‬ ‫לתאוריה‬ ‫מבוא‬‫לונדון‬ ‫ערן‬ ‫דר‬‫תשעג‬ ‫־‬ '‫ב‬ ‫סמסטר‬
IV ‫חלק‬
‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫גידול‬ ‫קצב‬
log ‫על‬ ‫רקע‬ ‫קצת‬ 18
‫היא‬ ‫הכוונה‬ ‫אזי‬ ‫אחרות‬ ‫יצוין‬ ‫לא‬ ‫אם‬ ,‫הזה‬ ‫אם‬ ‫החלק‬ ‫בכל‬ :‫הערה‬
.log2 ‫־‬ 2 ‫בסיס‬ ‫על‬ log‫ל־‬
‫הגדרה‬ 18.1
.loga n = b ⇔ n = ab
‫או‬ ,loga n = b :‫אזי‬ n = ab
‫אם‬
.log2 a = b ⇔ a = 2b
:‫שלנו‬ ‫במקרה‬
log ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫נוסחאות‬ 18.2
loga a = 1 (1)
loga 1 = 0 (2)
loga (n · m) = loga n + loga m (3)
loga
m
n
= loga m − loga n (4)
loga (mn
) = m · loga n (5)
aloga n
= n (6)
loga (m + n) = loga m + loga n :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫בסיסיות‬ ‫הגדרות‬ 19
f ‫של‬ (O) ‫גדול‬ ‫או‬ ‫היא‬ g .f, g : N → R+ ‫תהיינה‬ 19.1 ‫הגדרה‬
n0 ≤ n ‫שלכל‬ ‫כך‬ c, n0 0 ‫קבועים‬ ‫קיימים‬ ‫אם‬ g = O (f) ‫־‬
9
.g (n) ≤ c · f (n) :‫מתקיים‬
f ‫של‬ (Ω) ‫אומגה‬ ‫היא‬ g f, g : N → R+ ‫תהיינה‬ 19.2 ‫הגדרה‬
‫להגדרה‬ ‫)בניגוד‬ d, n0 0 ‫קבועים‬ ‫קיימים‬ ‫אם‬ g = Ω (f) ‫־‬
n0 ≤ n ‫שלכל‬ ‫כך‬ (d 0‫ש־‬ ‫מתעקשים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאן‬ ‫הקודמת‬
.g (n) ≥ d · f (n) :‫מתקיים‬
‫־‬ f ‫של‬ (Θ) ‫תטא‬ ‫היא‬ g f, g : N → R+ ‫תהיינה‬ 19.3 ‫הגדרה‬
n0 ≤ n ‫שלכל‬ ‫כך‬ c1, c2, n0 0 ‫קבועים‬ ‫קיימים‬ ‫אם‬ g = Θ (f)
c2 · f (n) ≥ g (n) ≥ c1f (n) :‫מתקיים‬
.‫ההגדרה‬ ‫מן‬ ‫נובע‬ c 0‫ש־‬ ‫זה‬9
:(‫ממהגדרות‬ ‫הפוכות‬ ‫הן‬ ‫האותיות‬ ‫שכאן‬ ♥ ‫)שימו‬ ‫מסכמת‬ ‫טבלה‬
c1, c2, n0 0 f, g : N → R+
f (n) ≤ c1 · g (n) f = O (g)
f (n) ≥ c2 · g (n) f = Ω (g)
c1 · g (n) ≥ f (n) ≥ c2 · g (n) f = Θ (g)
‫ומשפטים‬ ‫נוסחאות‬ ,‫טענות‬ 20
‫אזי‬ f = O (g) ∧ g = O (h) ‫אם‬ f, g, h : N → R 20.1 ‫טענה‬
.(‫טרינזיטיבי‬ ‫הוא‬ O ‫היחס‬ :‫אחרות‬ ‫)במילים‬ .f = O (h)
.f = Θ (g) ⇐ g = Θ (f) 20.2 ‫טענה‬
‫שלכל‬ ‫כך‬ c ‫קיים‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫חסומה‬ ‫פונקציה‬ f ‫אם‬ 20.3 ‫הערה‬
.f = O (1) ‫אזי‬ f (n) ≤ c ,n ∈ N
‫סטירלינג‬ ‫נוסחת‬ 20.1
√
2πn
n
e
n
· e( 1
12·n − 1
360·n2 ) ≤ n! ≤
√
2πn
n
e
n
· e( 1
12·n )
‫כאן‬ ‫שואף‬ ‫שהוא‬ ‫יודעים‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ ‫כקבוע‬ ‫כאן‬ ‫משמש‬ e...
‫ה־‬
.‫לאחד‬
‫יותר‬ ‫מרוכך‬ ‫ניסוח‬ 20.1.1
n! = Θ
√
2πn ·
e
n
n
:‫יותר‬ ‫מדויק‬ ‫וניסוח‬
lim
x→∞
n!
√
2πn · e
n
n = 1
‫ושימושיים‬ ‫חשובים‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬ 20.2
log2 (n!) = Θ (n · log2 n)
Hn = Θ log2 n
n! = Θ
√
2πn ·
n
e
n
.(‫ההרמוני‬ ‫)הטור‬ Hn = 1 + 1
2 + 1
3 + · · · + 1
n
:‫באתר‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫נוספים‬ ‫סיכומים‬
http://www.letach.net
9