מבני נתונים

csnotes

סיכום הקורס מבנה נתונים של ד"ר פרג' שיבאן. נכללים בו נושאים כמו: שדות, חוגים, חבורות, משפט הפריקות החד-חד ערכית ועוד... הסיכום לקוח מהאתר - http://www.letach.net בהצלחה!!

‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬ ‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬
I ‫חלק‬
‫המספרים‬ ‫בתורת‬ ‫נושאים‬
‫שארית‬ ‫עם‬ ‫חילוק‬ 1
:N ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬
,N‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ A ‫קבוצה‬ ‫בכל‬ ‫־‬ ‫הטוב‬ ‫הסדר‬ ‫עיקרון‬ .1
.‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫שהוא‬ ‫איבר‬ ‫יש‬
‫מספריים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .2
:‫דברים‬ ‫שני‬ ‫שמקיימת‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n + 1 ∈ A ‫אזי‬ n ∈ A ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫השלמה‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .3
:‫שמקיימת‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
.1 ∈ A (‫)א‬
.n ∈ A ‫אזי‬ k ∈ A ‫מתקיים‬ k < n ‫לכל‬ ‫אם‬ (‫)ב‬
A = N ‫אזי‬
.‫שקולות‬ ‫הטענות‬ ‫ששלושת‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬
:Z ‫של‬ ‫בסיסית‬ ‫תכונה‬
‫קיימים‬ ,n > 0 a, n ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 1.1 ‫משפט‬
‫כאשר‬ a = q · n + r ‫ש־‬ ‫כך‬ q, r ‫יחידים‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬
1
.0 ≤ r < n
.(q = 4, r = 3) .a = 4 · 5 + 3 ⇐ a = 23, n = 5 :‫דוגמה‬
:Z ‫של‬ ‫נוספת‬ ‫תכונה‬
.n‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫שארית‬ ‫נקרא‬ r‫ו־‬ ,‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q1
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬A ⊆ Z ‫תהי‬ 1.2 ‫למה‬
.A = d · Z‫ש־‬ ‫כך‬ d ∈ Z ‫קיים‬ ‫אז‬ 2
‫לחיסור‬ ‫ביחס‬ ‫שסגורה‬
,d · Z =

d · m m ∈ Z = :‫כאשר‬
.d ‫של‬ ‫השלמות‬ ‫הכפולות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬
.4 · Z = {−12, −4, 8, 32, −40, ...} :‫למשל‬
‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2
‫התחלקות‬ ‫יחס‬ 2.1
b‫ש־‬ ‫)או‬ b ‫את‬ ‫מחלק‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬ a, b ∈ Z ‫עבור‬ 2.1 ‫הגדרה‬
.a·k = b‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫קיים‬ ‫אם‬ a | b ‫ורושמים‬ (a ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬
....6 - 3 ‫אבל‬ ,3 | 6 :‫למשל‬
‫ההתחלקות‬ ‫יחס‬ ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ 2.1.1
.‫וטרנזיטיבי‬ ‫רפלקסיבי‬ .1
.a = ±b ‫אזי‬ b | a‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .2
.a | xb + yc ∀x, y ∈ Z :‫אזי‬ a | c‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .3
‫מספר‬ ‫זהו‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ .a, b ∈ Z ‫יהיו‬ 2.2 ‫הגדרה‬
. c | d ‫וגם‬ c | a ‫שמקיים‬ c ∈ Z ‫שלם‬
b‫ו־‬ a ‫של‬ (gcd ‫או‬ ‫)ממ`מ‬ ‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2.3 ‫הגדרה‬
:‫הבאות‬ ‫התכונות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ d ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬
.d | b ‫וגם‬ d | a .1
:‫)במילים‬ .c | d ‫גם‬ ‫אזי‬ c | b ‫וגם‬ c | a ‫מקיים‬ c ∈ Z ‫אם‬ .2
.(d ‫־‬ ‫ה־ממ`מ‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫לחלק‬ ‫חייב‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫מחלק‬ ‫כל‬
.18‫ו־‬ 12 ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ −6 ‫וגם‬ 6 ‫גם‬ :‫דוגמא‬
‫משותף‬ ‫מחלק‬ ‫הוא‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ a = b = 0 ‫אם‬ 2.4 ‫הערה‬
.b‫ו־‬ a‫ל־‬ ‫ממ`מ‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ b‫ו־‬ a ‫של‬
‫ואין‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ ±a ‫אז‬ b = 0‫ו־‬ a 6= 0 ‫אם‬ 2.5 ‫הערה‬
.‫אחרים‬
d ‫ממ`מ‬ ‫קיים‬ ,a, b 6= 0 ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 2.6 ‫משפט‬
.d = xa + yb x, y ∈ Z ‫בצורה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ ‫והוא‬
.6 = 3 · 18 + (−4) · 12 ‫או‬ ,6 = 1 · 18 + (−1) · 12 :‫למשל‬
‫אזי‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ d1, d2 ‫כי‬ ‫ונניח‬ a, b ∈ Z 2.7 ‫הערה‬
.(d1 | d2, d2 | d1 ‫להתקיים‬ ‫צריך‬ ‫ההגדרות‬ ‫ע`פ‬ ‫)כי‬ .d1 = ±d2
‫כדי‬ ‫)עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ 2.8 ‫מסקנה‬
.(‫סימן‬
‫ואחד‬ ‫חיובי‬ ‫אחד‬ ‫ממ`מ‬ ‫שני‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫מאפס‬ ‫שונים‬ a.b ‫אם‬
.‫החיובי‬ ‫מינוס‬ ‫שהוא‬
.a, b ‫של‬ (‫)והיחיד‬ ‫החיובי‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ ‫הוא‬ gcd (a, b) :‫סימון‬
.gcd (a, b) = gcd (−a, b) = gcd (a, −b) = gcd (−a, −b)
.gcd (a, b) = 1 ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫הם‬ a, b ∈ Z ‫מספרים‬ ‫שני‬ 2.9 ‫הגדרה‬
‫הם‬ x, y .xa + yb = 1 :‫שמתקיים‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ ,‫לכן‬
.Be'zout ‫מקדמי‬
.a, b ∈ A ⇒ a − b ∈ A :‫כלומר‬2
1
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ 2.2
‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫)המטרה‬
.(‫טבעיים‬
.a, b ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫זוג‬ :‫קלט‬
.gcd (a, b) :‫פלט‬
q, r ∈ Z ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫כלומר‬ ,‫שארית‬ ‫עם‬ b‫ב־‬ a ‫את‬ ‫חלק‬ .1
.0 ≤ r  b‫ו־‬ a = qb + r‫ש־‬ ‫כך‬
:r  0 ‫אם‬ .2
.(a‫ל־‬ b ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫)הכנס‬ .a ← b (‫)א‬
.b ← r (‫)ב‬
.1‫ל־‬ ‫חזור‬ (‫)ג‬
.b ‫את‬ ‫כפלט‬ ‫החזר‬ .3
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫למצוא‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫בעזרת‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬
.‫הצבה‬ ‫באמעות‬ ‫איך‬ .(Be'zout ‫)מקדמי‬ gcd (a, b) = xa + yb
:‫הבאה‬ ‫בדוגמא‬ ‫הסבר‬
:gcd (76, 14) ‫את‬ ‫אוקלידס‬ ‫ע`פ‬ ‫נמצא‬
76 = 5 · 14 + 6 (1)
14 = 2 · 6 + 2 (2)
6 = 2 · 3 + 0 (3)
gcd (76, 14) = 2
‫השורה‬ ,‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫)השורה‬ (2) ‫משורה‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬
:(‫כשארית‬ ‫הממ`מ‬ ‫לנו‬ ‫מופיע‬ ‫שבה‬
‫השארית‬ ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫למעלה‬ ‫שורה‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ ,2 = 1·14−2·6
‫ואז‬ ,6 = 1·76−5·14 :‫נקבל‬ ,6 ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫ונציב‬
‫ממשיכים‬ ‫היינו‬ ‫שורות‬ ‫יותר‬ ‫היו‬ ‫אם‬ ,‫שקיבלנו‬ ‫במה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נציב‬
:(‫האחרונה‬ ‫השורה‬ ‫עד‬ ‫ככה‬
2 = 1 · 14 − 2 · (1 · 76 − 5 · 14) = 1 · 14 − 2 · 76 + 10 · 14 =
−2 · 76 + 11 · 14 ⇒ 2 = −2 · 76 + 11 · 14
!‫שרצינו‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫וקיבלנו‬
Zn‫ב־‬ ‫הופכי‬ ‫חישוב‬ 3
.Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} :‫תזכורת‬
‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ Zn ‫על‬ (·n) n ‫מודולו‬ ‫כפל‬ 3.1 ‫הגדרה‬
.
a · b
n
‫מ־‬ ‫השארית‬ ‫היא‬ a ·n b ,a, b ∈ Zn
‫לכפל‬ ‫ביחס‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫קיים‬ ‫אז‬ ,0 6= a ∈ Zn ‫יהי‬ 3.2 ‫טענה‬
3
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬
.a · a−1 = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a−1 ∈ Zn ‫קיים‬ ,‫כלומר‬3
Zn‫ב־‬ a ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הופכי‬ ‫לחישוב‬ ‫הדרך‬ 3.1
.(‫אוקלידס‬ ‫)לפי‬ gcd (a, n) ‫את‬ ‫מחשבים‬ .1
!Zn‫ב־‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫אין‬ ‫־‬ gcd (a, n) 6= 1 ‫אם‬
‫־‬ ‫ואז‬ 1 = xa + yn‫ש־‬ ‫כך‬ ‫שלמים‬ x, y ‫מוצאים‬ ‫אחרת‬ .2
.a−1
= x (mod n)
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬
‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ a, b ∈ Z
. gcd (a, b) = xa + yb
.1 = xa + yb :‫אזי‬ ,‫זרים‬ b‫ו־‬ a ‫ואם‬
‫החד־‬ ‫הפריקות‬ ‫ומשפט‬ ‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ 4
‫ערכית‬
gcd (a, b) = 1‫ו־‬ a | b · c ‫אם‬ .0 6= a, b, c ∈ Z ‫יהיו‬ 4.1 ‫למה‬
.a | c ‫אז‬
‫רק‬ ‫שמתחלק‬ p  1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ 4.2 ‫הגדרה‬
.±p‫וב־‬ ±1‫ב־‬
:‫הערות‬ ‫כמה‬
p | a ⇔ p | a·b :a, b ∈ Z :‫עבור‬ ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬ .1
.p | b ‫או‬
.1 ≤ i ≤ k ‫עבור‬ p | ai ⇐ p | a1 · a2 · · · ak .2
‫אז‬ ,‫ראשוניים‬ q1, . . . , qn ‫כאשר‬ p | q1 · q2 · · · qn ‫אם‬ .3
.1 ≤ i ≤ n ‫עבור‬ p = qi
:‫ומתקיים‬ ‫ראשוניים‬ q1, q2, . . . , qm, p1, p2, . . . , pn ‫אם‬ .4
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫וכל‬ n = m ‫אזי‬ p1 · · · pn = q1 · · · qm
‫מספר‬ ‫אותו‬ ,‫השני‬ ‫באגף‬ ‫גם‬ ‫מופיע‬ ‫האגפים‬ ‫באחד‬ ‫שמופיע‬
.‫פעמים‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ n  1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ 4.3 ‫טענה‬
.‫ראשוניים‬
‫הפריקות‬ ‫]משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫)המשפט‬ 4.4 ‫משפט‬
‫של‬ ‫למכפלה‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n  1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ :([‫ערכית‬ ‫החד‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬
.‫הראשוניים‬
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n  1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
.n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m
‫ראשוניים‬ p1  p2  p3  · · ·  pm ,N 3 m ≥ 1 ‫כאשר‬
‫ההצגה‬ ‫־‬ ‫יקרא‬ ‫זה‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .‫שונים‬
.n ‫של‬ (‫)הנורמלית‬ ‫הקנונית‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫־‬ ν (n) :‫מסמנים‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬
:‫אז‬ (‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ .n = pk1
1 , pk2
2 , . . . , pkm
m ‫אם‬
2
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
ν (n) =
m
Y
i=1
(ki + 1)
(‫)חפיפה‬ ‫קונגרואנציה‬ 5
a, b ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫עבור‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.1 ‫הגדרה‬
‫ורושמים‬ n | (a − b) ‫אם‬ n ‫מודולו‬ b‫ל־‬ ‫קונגרואנטי‬ a‫ש־‬ ‫נאמר‬
.a ≡ b (mod n)
:‫המשמעות‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.a ≡ b (mod n) ⇔ a = n · k + b
.k ∈ Z
:‫ז`א‬ ,a (mod n) = b (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) :‫הערה‬
⇔ .n‫ב־‬ ‫אותם‬ ‫מחלקים‬ ‫כאשר‬ ‫שארית‬ ‫אותה‬ ‫משאירים‬ a, b
.k ∈ Z, a = k · n + b
.Z ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ (n ‫מודולו‬ '‫)קונ‬ ‫זה‬ ‫יחס‬ .1
‫שניים‬ ‫אף‬ ‫־‬ 0, 1, ..., n − 1 ‫השלמים‬ ‫במספרים‬ ‫נסתכל‬ .2
‫מספר‬ ‫וכל‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫יאנם‬ ‫אלה‬ ‫ממספרים‬
‫מהמספרים‬ ‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫הוא‬ a ‫מודול‬ ‫שלם‬
.‫בלבד‬ ‫הללו‬
:‫אז‬ ,c = d (mod n)‫ו־‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .3
a ± c ≡ b ± d (mod n) (‫)א‬
.ac ≡ bd (mod n) (‫)ב‬
:‫נובע‬ 3‫מ־‬ .4
.a±̇c ≡ b±̇c (mod n) ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)א‬
ak
≡ bk
‫־‬ k ∈ N ‫לכל‬ ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)ב‬
.(mod n)
gcd (c, n) = 1‫ו־‬ ac ≡ bc (mod n) ‫אם‬ .5
.a ≡ b (mod n) ‫אז‬
.a ≡ b (mod n) 6⇐ ac ≡ bd (mod n) ‫בד`כ‬ ‫אבל‬
a
d ≡ b
d (mod n
d ) ⇔ :a, b, n ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ d‫ש־‬ ‫נניח‬ .6
.a ≡ b (mod n)
.a ≡ b (mod m) ‫אז‬ m | n ‫ואם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .7
⇔ a ≡ b (mod m) ‫וגם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .8
.l = lcm (a, b) ‫כאשר‬ a ≡ b (mod l)
a ≡ b (mod n) :‫אז‬ ‫זרים‬ m, n ‫אם‬ :8‫מ־‬ ‫מסקנה‬ .9
.a ≡ b (mod n · m) ⇔ a ≡ b (mod m) ‫ו־‬
:‫אזי‬ ‫שונים‬ ‫ראשוניים‬ p, q ‫אם‬ :‫בפרט‬ .10
a ≡ b ‫וגם‬ a ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ b (mod p · q)
.(mod q)
n ‫מודולו‬ ‫הפיכות‬ 5.1
‫קיים‬ ‫אם‬ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫שמספר‬ ‫אומרים‬ 5.2 ‫הגדרה‬
.a · b = 1 (mod n) ‫ש־‬ ‫כך‬ b ‫שלם‬ ‫מספר‬
.3 · 7 = 1 (mod 10), 3 · 17 = 1 (mod 10) :‫למשל‬
.gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ 5.3 ‫משפט‬
‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ gcd (a, n) = 1 ‫אם‬ 5.1.1
?n
1 =‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫מוצאים‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ע`י‬
.n ‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x ‫ואז‬ xa + yn
‫ראשונה‬ ‫ממעלה‬ ‫קונגרואנציות‬ ‫פתרון‬ 5.2
.2x ≡ 3 (mod 5) :‫הבאה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫רוצים‬
.(‫אותה‬ ‫שמקיימים‬ x‫ה־‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ,‫)כלומר‬
:3‫ב־‬ ‫שנכפול‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬
.6x ≡ 9 (mod 5) ⇒ x ≡ 4 (mod 5)
‫יש‬ ax ≡ b mod n '‫לקונ‬ a, b ∈ Z‫ו־‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.4 ‫משפט‬
:‫מהצורה‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬ gcd (a, n) | b ⇔ ‫פתרון‬
‫אחרות‬ ‫]במילים‬ d = gcd (a, n) ‫כאשר‬ x ≡ c (mod b
d )
.[n ‫מודולו‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬
‫פתרון‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ ‫אז‬
?ax ≡ b (mod n) ‫לקונגרואנציה‬
.(!‫פתרון‬ ‫אין‬ ‫)אחרת‬ .gcd (a, n) | b‫ש־‬ ‫מוודאים‬ .‫א‬
.(‫וזרים‬ ‫שלמים‬ a
d , n
d ) a
d x ≡ b
d (mod n
d ) :‫את‬ ‫פותרים‬ .‫ב‬
‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ a
d ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ .‫ג‬
‫־‬ ‫ואז‬ (x, y ∈ Z ‫)כאשר‬ 1 = a
d x + n
d y‫ש־‬ ‫כך‬ ‫אוקלידס‬
.a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x
.x‫ב־‬ ‫כולה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫כופלים‬ .‫ד‬
.p | b ‫וגם‬ p | a‫ש־‬ ‫כך‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫אין‬ ⇔ gcd (a, b) = 1
.n‫ל־‬ ‫זרים‬ a · b ⇔ n‫ל־‬ ‫זר‬ b‫ו־‬ n‫ל־‬ ‫זר‬ a :‫חשובה‬ ‫עובדה‬
‫ערכית‬ ‫החד־חד‬ ‫הפריקות‬ ‫משפט‬ 6
‫הפריקות‬ ‫)משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 6.1 ‫משפט‬
:(‫ערכית‬ ‫החד־חד‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫של‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n  1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראושניים‬
.‫הראושניים‬
:‫המשפט‬ ‫להצגת‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬
:‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬
p1  p2  · · · ‫ו־‬ 1 ≤ m ∈ N ‫כאשר‬ n = pk1
1 · pk2
2 · · · pkm
m
‫זאת‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .(‫)שונים‬ ‫ראשוניים‬ pm
.n ‫של‬ (‫)נורמלית‬ ‫הקנונית‬ ‫ההצגה‬ ‫נקראת‬
?4
n‫ל־‬ ‫יש‬ ‫מחלקים‬ ‫כמה‬ :‫שאלה‬
‫המחלקים‬ ‫אזי‬ ,(‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ n = pk1
1 ·pk2
2 · · · pkm
m ‫אם‬ :‫תשובה‬
:‫בדיוק‬ ‫הם‬ n ‫של‬ ‫הטבעים‬
.0 ≤ αi ≤ ki ‫כאשר‬ pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m
‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ,2 ‫עבור‬ ‫אפרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ,150 = 2 · 3 · 52 :‫למשל‬4
‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ ,(‫בריבוע‬ ‫שהוא‬ ‫)בגלל‬ 5 ‫עבור‬ ‫אפשרויות‬ 3‫ו־‬ ,3 ‫עבור‬
.2 · 2 · 3 = 12 ‫הינו‬ 150
3
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
.(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αm + 1) :‫הוא‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬
.n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ = ν (n) :‫סימון‬
:‫אזי‬ ,n = pα1
1 · pα2
2 · · · pαm
m ‫אם‬
ν (n) =
m
Y
i=1
(αi + 1)
‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ 7
:‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ϕ : N → N ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬
‫שווים‬ ‫או‬ ‫קטנים‬ ‫אשר‬ (k) ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫=מספר‬ ϕ (n)
.n‫ל־‬ ‫וזרים‬ (n ≥) n‫ל־‬
. ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (10) = 4 :‫למשל‬
.ϕ (p) = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 7.1 ‫הערה‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ 7.1
‫שאף‬ b1, . . . , bn ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ n ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.2 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫מהם‬ ‫שנים‬
.n = 5 : 10, 21, 32, 54 ,n = 3 : 3, 7, 8 :‫למשל‬
n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ 7.2
:n‫ל־‬ ‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n) ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.3 ‫הגדרה‬
.n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫אינם‬ ‫מהם‬ ‫שניים‬ ‫שאף‬ ,b1, . . . bϕ(n)
.n = 10 : 1, 3, 7, 9, n = 8 : 1, 3, 5, 7 :‫למשל‬
:‫הערות‬ ‫מספר‬
.1
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫יהיה‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫יהיה‬ n‫ל־‬ ‫הזר‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬
.‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬
.2
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬
ab1 + :‫אז‬ gcd (a, n) = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a, k ∈ Z ‫ואם‬ ,n
‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ k, . . . , abn+k
.n
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬
‫גם‬ ‫אז‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ a ‫ואם‬ n ‫מודולו‬
‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ ab1, . . . , abϕ(n)
.n ‫מודולו‬
‫של‬ ‫שלמות‬ ‫מערכות‬ ‫הן‬ c1, . . . , cn‫ו־‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ .3
‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫רונגרואנטי‬ ci ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬
‫גם‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫)טענה‬ .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬
.(‫נכונה‬
‫בדיוק‬ ‫מכילה‬ b1, . . . , bn :n ‫מודולו‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫כל‬ .4
.n‫ל־‬ ‫הזרים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n)
‫הם‬ m, n ‫אם‬ :‫הבא‬ ‫במובן‬ ‫כפלית‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ϕ 7.4 ‫משפט‬
.ϕ (m · n) = ϕ (m) · ϕ (n) :‫אז‬ ,‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬
:‫אז‬ ,‫בזוגות‬ ‫זרים‬ n1, ..., nk ‫אם‬ 7.5 ‫מסקנה‬
.ϕ (n1 · n2 · · · nk) = ϕ (n1) · ϕ (n2) · · · ϕ (nk)
:‫אזי‬ , ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n‫ו־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫יהי‬ 7.6 ‫טענה‬
.ϕ (pn
) = pn
− pn−1
:‫כך‬ ‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬
ϕ (n) = n ·
m
Y
i=1

1 −
1
pi

:‫מקובל‬ ‫יותר‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬
ϕ (n) = n ·
Y
p|n

1 −
1
p

..(n ‫את‬ ‫המחלק‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ p | n)
‫אוילר‬ ‫משפט‬ 8
:‫אזי‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ a ‫ויהי‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
aϕ(n)
≡ 1 (mod n)
4
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ 9
:‫מתקיים‬ p‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אז‬ , ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬
ap−1
≡ 1 (mod p)
.(‫אוילר‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬
‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ 9.1
.ap−1
≡ 1 (mod p) :1 ≤ a  p ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬
:‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫למשפט‬ ‫ההפוך‬ ‫המשפט‬
an−1
≡ 1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n .1  n ∈ N ‫יהי‬ 9.1 ‫משפט‬
.1 ≤ a  n ‫לכל‬
:‫שמקיימים‬ ‫ראשוניים‬ ‫לא‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫קיימים‬ 9.2 ‫הערה‬
.n‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ an−1
≡ 1 (mod n)
.561 = 3 · 11 · 17 ‫הוא‬ ‫זאת‬ ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המספר‬
.‫קריימקל‬ ‫מספרי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ ‫מספרים‬
:a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 9.3 ‫משפט‬
.ap
≡ a (mod p)
‫וילסון‬ ‫משפט‬ 10
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ n  1 ‫יהי‬ 10.1 ‫משפט‬
.(n − 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n
II ‫חלק‬
‫חבורות‬
‫הגדרה‬ 11
‫פעולה‬ ‫מוגדרת‬ ‫שעליה‬ G ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫חבורה‬ 11.1 ‫הגדרה‬
‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ((G, ∗)‫ב־‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫)ונהוג‬ ∗ ‫בינארית‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫ארבע‬
‫חד־ערכי‬ ‫באופן‬ ‫מוגדר‬ a ∗ b ,a, b ∈ G :‫הפעולה‬ ‫קשירות‬ .1
.a ∗ b ∈ G‫ו־‬
:a, b, c ∈ G ‫לכל‬ ‫ז`א‬ :G ‫על‬ ‫אסוציאטיבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ∗ .2
.(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
‫יש‬ :‫אומרת‬ ‫זאת‬ ,∗ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .3
.a ∈ G ‫לכל‬ a ∗ e = e ∗ a = a‫ש־‬ ‫כך‬ e ∈ G
‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ,∗‫ל־‬ ‫ביחס‬ ‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .4
.a ∗ a0
= a0
∗ a = e‫ש־‬ ‫כך‬ a0
∈ G
:‫הערות‬ ‫כמה‬
,G‫ב־‬ ‫יחיד‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫שיש‬ ‫להוכיח‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ 11.2 ‫הערה‬
‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫לכן‬ .‫יחיד‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ a ∈ G ‫ולכל‬
.a ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫בנקודה‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫בדרך־כלל‬ 11.3 ‫הערה‬
‫איבר‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ .a · b ‫במקום‬ ab ‫רושמים‬ ‫אפילו‬
‫חבורה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .a−1
‫ב־‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫ואת‬ e‫ב־‬ ‫היחידה‬
.(‫כפלית‬
‫במקרה‬ ,`+`‫ב־‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ ‫לפעמים‬ 11.4 ‫הערה‬
‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .−a ‫יסומן‬ a ‫של‬ ‫וההפכי‬ 0 ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ,‫זה‬
.(‫חיבורית‬ ‫חבורה‬ ‫על‬
‫לחבורות‬ ‫דוגמאות‬ 12
‫כלשהו‬ ‫שדה‬ ‫־‬ F 12.1
.‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫חבורה‬ ‫אינה‬ F) .F ‫של‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ ‫אז‬
.(‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ 0‫ל־‬ ‫כי‬ ‫השדה‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
.F∗
=

a ∈ F a 6= 0 :‫סימון‬
.F ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ F∗
.‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C∗
, Q∗
, R∗
.‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C, Q, R
5
‫קומוטטבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהפעולה‬ ‫חבורה‬ 12.1 ‫הגדרה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫נקראת‬
.‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ F, F∗
‫החבורות‬
(‫)השלמים‬ Z 12.2
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .‫השלמים‬ ‫חיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
Zn 12.3
‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} ,1  n ∈ N ‫עבור‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬
.0 :‫היחידה‬ ‫איבר‬
:a ‫של‬ ‫ההופכי‬
a−1
=
(
n − a a 6= 0
0 a = 0
Z∗
n 12.4
:‫נסמן‬ .1  n ∈ N ‫יהי‬
.Z∗
n =
(
a 1 ≤ a  n, gcd (a, n) = 1
)
.Z∗
10 = {1, 3, 7, 9} , Z∗
8 = {1, 3, 5, 7} :‫למשל‬
.|Z∗
n| = ϕ (n) :♥ ‫לשים‬ ‫כדאי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n
a, b ∈ G ‫לכל‬ ,a ∗ b = b ∗ a5
5
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
SX 12.5
:‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ X ‫של‬ ‫תמורה‬ .‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.f : X → X
.X ‫של‬ ‫התמורות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ SX‫ב־‬ ‫מסמנים‬
.X‫ל־‬ X‫מ־‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫ההרכבה‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ SX
. : X → X . :‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫זאת‬ ‫בחבורה‬
.x ∈ X ‫לכל‬  (x) = x
‫ההפוכה‬ ‫=הפונקציה‬f−1
‫הוא‬ f ∈ SX ‫איבר‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬
.f ‫לפונקציה‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
Sn 12.6
‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ X :‫הקודמת‬ ‫הדוגמא‬ ‫של‬ ‫חשוב‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
‫ומסמנים‬ 1, 2, ..., n‫ב־‬ X ‫אברי‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫איברים‬ n ‫בעלת‬
:‫כך‬ f ∈ Sn ‫איבר‬
f =

1 2 3 · · · n
f (1) f (2) f (3) · · · f (n)

. =

1 2 3 · · · n
1 2 3 · · · n

:‫למשל‬
n × n ‫מסדר‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫־‬ GLn (F) 12.7
‫המטריצות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫את‬ GLn (F)‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
.F ‫מעל‬ n × n ‫מסדר‬ ‫ההפיכות‬
‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ GLn (F)
.(‫הפיכה‬ ‫מטריצה‬ ‫יוצרת‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫כפל‬ :‫)תזכורת‬
.(‫היחידה‬ ‫)מטריצת‬ I ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איברו‬
.A−1
‫המטריצה‬ ‫היא‬ A ∈ GLn (F) ‫של‬ ‫וההופכי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬
X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ 12.8
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ PX‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
.PX =

A A ⊆ X
.|PX| = 2|X|
:‫תזכורת‬
:PX ‫על‬ 6
∆ ‫הסימטרי‬ ‫להפרש‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ PX
.A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B) :A, B ∈ PX ‫עבור‬
.∅ ‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫הינה‬PX‫ב־‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫חבורה‬ ‫)זו‬ .(‫עצמה‬ ‫)הקבוצה‬ A ‫הוא‬ PX‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(‫עצמו‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ ‫בה‬ ‫איבר‬ ‫שכל‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫כמובן‬ ‫זו‬
U ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ 12.9
C ‫למרוכבים‬ ‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ 12.9.1
‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ ‫לעשות‬ ‫כדאי‬ ‫הבאות‬ ‫החבורות‬ ‫לשתי‬ ‫שניגשים‬ ‫לפני‬
:‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫על‬
.i2
= −1‫ו־‬ a, b ∈ R ‫כאשר‬ ,7
z = a + bi :‫אזי‬ ,z ∈ C‫ש־‬ ‫נניח‬
.r = |z| =
√
a2 + b2
U =

z ∈ C |z| = 1
.|z1| = 1, |z2| = 1 ⇒ |z1 · z2| = |z1| · |z2| = 1
‫המישור‬ ‫של‬ ‫הסיבובים‬ ‫)חבורת‬ ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ ‫זאת‬ ‫חבורה‬
.(‫הראשית‬ ‫סביב‬
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫חבורת‬ 12.10
‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ Un‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬
zn
= :‫שמקיימים‬ z ‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ n ‫מסדר‬
.(1
‫של‬ ‫בסיכום‬ ‫היחידה‬ ‫ושורשי‬ ‫המרוכבים‬ ‫על‬ ‫נוסף‬ ‫חומר‬ ‫למצוא‬ ‫]ניתן‬
‫)שנה‬ ‫ברתל‬ ‫לור‬ ‫ד`ר‬ ‫מאת‬ `‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫מתמטיים‬ ‫`כלים‬ ‫הקורס‬
.[3‫־‬4 ‫עמודים‬ ('‫א‬ ‫סמסטר‬ ,'‫א‬
.‫חבורה‬ ‫איננה‬ ‫היא‬ ‫והחיתוך‬ ‫האיחוד‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬6
.z ‫של‬ ‫המדומה‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ b‫ו־‬ ,z ‫של‬ ‫הממשי‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ a7
6
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫נתונות‬ ‫מחבורות‬ ‫חדשה‬ ‫חבורה‬ ‫יצור‬ 13
‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .G, H ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬
.G × H :‫הקרטזית‬ ‫במכפלה‬ ‫נסתכל‬ .◦‫ב־‬ H
G×H ‫על‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ ‫נגדיר‬ ,G×H =

(a, b) a ∈ G, b ∈ H
:‫הבא‬ ‫באופן‬
:(a, b) , (c, d) ∈ G × H ‫עבור‬
(a, b) · (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)
.‫הזו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫איבר‬ ‫־‬ eH .(eG, eH) ‫הוא‬ G × H ‫בחבורה‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
.G ‫של‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫־‬ eG ,H ‫של‬ ‫היחידה‬
:G × H ‫בחבורה‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬
.(a, b)
−1
= a−1
, b−1

.H‫ו־‬ G ‫של‬ ‫הישירה‬ ‫המכפלה‬ ‫־‬ ‫נקראת‬ G × H
‫חבורות‬ ‫חשבון‬ 14
:‫אזי‬ a1, ..., an ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .1
‫אינו‬ ‫המכפלה‬ ‫ערך‬ ‫־‬ a1 ·a2 · · · an = (((a1) · a2) · · · )·an
.‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫סוגריים‬ ‫משמיטים‬ ‫או‬ ‫מכניסים‬ ‫אם‬ ‫משתנה‬
:a, b, c ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.(‫מימין‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ac = ab ‫אם‬ (‫)א‬
.(‫משמאל‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ca = cb ‫אם‬
.a = e ‫אזי‬ a · a = a ‫אם‬ (‫)ב‬
. a−1
−1
= a (‫)ג‬
.(a · b)
−1
= b−1
· a−1
(‫)ד‬
‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחיד‬ x ‫קיים‬ a, b ∈ G ‫לכל‬ (‫)ה‬
.( x = a−1
· b) a · x = b
(a1 · · · ak)
−1
= a−1
k · · · a−1
1 (‫)ו‬
an
= a · a · a · · · a
| {z }
n times
(‫)ז‬
:(‫)חזקות‬ ‫בנוסף‬ ‫מגדירים‬ .3
.a0
= e (‫)א‬
.a−n
= a−1
n
= (an
)
−1
(‫)ב‬
:‫מתקיים‬ n, m ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ (‫)ג‬
.an
· am
= an+m
.i
.(an
)
m
= anm
.ii
‫מתקיים‬ ‫אינו‬ (ab)
n
= an
bn
‫החוק‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬ .iii
.‫אבלית‬ ‫בחבורה‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ,‫בחבורות‬ ‫בד`כ‬
‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫בחבורה‬ ,‫)כלומר‬ ‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ (‫)ד‬
‫כללי‬ ‫שני‬ ‫ולכן‬ ,na ‫רושמים‬ an
‫החזקה‬ ‫את‬ ‫אז‬ (`+`
:‫החזקה‬
n‫ל־‬ m‫ה־‬ ‫שבין‬ ‫)הפלוס‬ (n + m) a = na+ma .i
‫שבין‬ ‫הפלוס‬ ‫ואילו‬ ,‫מספרים‬ ‫של‬ ‫רגיל‬ ‫חיבור‬ ‫זה‬
.‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫זאת‬ na‫ו־‬ ma
.m (na) = (mn) a .ii
a ‫של‬ ‫הסדר‬ 15
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 15.1 ‫הגדרה‬
‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ ord (a) ‫מסומן‬ a ‫של‬ ‫הסדר‬
‫אזי‬ ,‫כזה‬ n ‫ואין‬ ‫במידה‬ .‫כזה‬ n ‫יש‬ ‫אם‬ ,an
= e ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬
.‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫דוגמאות‬ 15.1
:Z∗
10‫ב־‬
.(34
= 1 ‫)כי‬ ,ord (3) = 4
.(74
= 1 ‫)כי‬ ,ord (7) = 4
:a, b ∈ G‫ו־‬ G ‫חבורה‬ ‫עבור‬
‫כך‬ m 6= 0 ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ ⇔ ‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a 15.2 ‫משפט‬
.am
= e‫ש־‬
.a = e ⇔ ord (a) = 1 15.3 ‫משפט‬
.‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫סופית‬ ‫בחבורה‬ 15.4 ‫משפט‬
‫כל‬ ‫אז‬ G ‫בחבורה‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ 15.5 ‫למה‬
:i, j ∈ Z ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ a ‫חזקות‬
.ai
6= aj
⇐ i 6= j
‫כאשר‬ am
= ar
:m ∈ Z ‫לכל‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫אם‬ 15.6 ‫משפט‬
.r ≡ m (mod n)
:‫הן‬ a ‫של‬ ‫השונות‬ ‫החזקות‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫נניח‬ 15.7 ‫משפט‬
.e = a0
, a1
, ..., an−1
:‫משפטים‬ ‫שני‬ ‫נובעים‬ ‫האחרון‬ ‫מהמשפט‬
.ai
6= aj
:0 ≤ i  j ≤ n − 1 ‫לכל‬ 15.8 ‫משפט‬
.am
= ar
‫ש־‬ ‫כך‬ 0 ≤ r ≤ n − 1 ‫יש‬ m ∈ Z ‫לכל‬ 15.9 ‫משפט‬
:m ∈ Z ‫עבור‬ ‫אז‬ .ord (a) = n ‫נניח‬ 15.10 ‫למה‬
.n | m ⇔ am
= e
:‫טבעי‬ k ‫לכל‬ ‫אז‬ ,ord (a) = n ‫אם‬ 15.11 ‫טענה‬
ord ak

=
n
gcd (n, k)
:k ∈ Zn ‫לכל‬ :Zn ‫בחבורה‬ 15.12 ‫משפט‬
ord (k) =
n
gcd (k, n)
7
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫תת־חבורות‬ 16
‫כי‬ ‫נניח‬ ,G ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 16.1 ‫הגדרה‬
‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ :‫)ז`א‬ G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
..(a · b ∈ H
‫על‬ ‫שמושרית‬ ‫פעולה‬ ‫לאותה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ H ‫אם‬
.G ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אז‬ G ‫של‬ ‫מהפעולה‬ H
.H  G :‫זאת‬ ‫ומסמנים‬
.Z  R :‫למשל‬
‫חבורות‬ ‫לתת‬ ‫תנאים‬ 16.1
‫ישנם‬ .8
G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ H ‫תת־קבוצה‬ ‫ונתונה‬ G ‫חבורה‬ ‫נתונה‬
‫היא‬ H‫ש־‬ ‫בטוחים‬ ‫להיות‬ ‫כדי‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריכים‬ ‫דברים‬ ‫שלושה‬
:(H  G) G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬
:1 ‫טענה‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ H ‫אם‬
:‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H .1
.a · b ∈ H
.a−1
∈ H :‫מתקיים‬ a ∈ H ‫לכל‬ :‫ז`א‬ ,‫להופכי‬ ‫סגורה‬ H .2
.H  G ‫אזי‬
:2 ‫טענה‬
.‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H ‫אז‬ a · b−1
∈ H ‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ‫אם‬
:3 ‫טענה‬
‫אם‬ .G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫ולא‬ ‫סופית‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהא‬
.H  G ‫אז‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H
‫לתת־חבורות‬ ‫דוגמאות‬ 16.2
,SLn (F) =

A ∈ Mn (F) det (A) = 1
.SLn (F)  GLn (F)
‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ 17
.a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.1 ‫הגדרה‬
:‫מסמנים‬
hai =

an
n ∈ Z

.(hai =

n · a n ∈ Z :‫חיבורי‬ ‫)בכתיב‬
.a ∈ hai ‫כי‬ hai 6= ∅ :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ hai :‫טענה‬
.hai ‫ע`י‬ ‫שנוצרת‬ ,G ‫של‬ ‫הציקלית‬ ‫התת־חבורה‬ ‫נקראת‬ hai
hai ‫של‬ ‫המבנה‬ 17.1
:‫אזי‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬
.hai =

. . . , a−1
, a−1
, a0
= e, a1
, a2
, . . .
: ‫תהיה‬ H‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ ‫כאן‬ ‫החזקות‬ ‫כל‬
.ai
· aj
= ai+j
, ∀i, j ∈ Z
‫מדויק‬ ‫העתק‬ ‫היא‬ hai ,‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ ,‫זה‬ ‫)במקרה‬
.(Z ‫של‬
.∅‫ב־‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ,‫תת־חבורה‬ ‫אינה‬ ∅8
:‫אזי‬ ord (a) = n ‫אם‬
‫־‬ hai =

a0
= e, a1
, a2
, . . . , an−1
:‫היא‬ hai‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזה‬ ‫זה‬ ‫שונים‬ ‫כאן‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬
‫העתק‬ ‫היא‬ hai ‫זה‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ ,ai
· aj
= ai+j (mod n)
.(Zn ‫של‬ ‫מדויק‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמובן‬ ‫מדובר‬ ,Z8 ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬
h2i = {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2} = ‫־‬ ‫לכן‬ ,ord (2) = 4 .‫א‬
{0, 2, 4, 6}
.h6i = h2i ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .h3i = Z8‫ש־‬ ‫ישירות‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫לכן‬ ,ord (3) = 8
.h1i = h3i = h5i = h7i
.(‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫)כל‬ h2i =

n · 2 n ∈ Z :Z‫ב־‬
.h1i = h−1i = Z
‫כך‬ a ∈ G ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫נראת‬ G ‫חבורה‬ 17.2 ‫הגדרה‬
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫נראה‬ ‫כזה‬ a .hai = G‫ש־‬
‫מספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ |G| ‫מסומן‬ G ‫סופית‬ ‫חבורה‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫הסדר‬
.G ‫של‬ ‫האיברים‬
.ord (a) = |hai| 17.3 ‫משפט‬
G = :‫נגיד‬ ,G‫ל־‬ ,‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.4 ‫משפט‬
.a, a−1
:‫יוצרים‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ G‫ל־‬ .hai
.G = |n| .n ‫מסדר‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.5 ‫משפט‬
.ord (a) = n ⇐⇒ G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ a ∈ G ‫איבר‬
.n ‫מסדר‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ ⇐⇒ ‫ציקלית‬ G 17.6 ‫משפט‬
‫־‬ G ‫של‬ ‫היוצרים‬ ,n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.7 ‫משפט‬
.n‫ל־‬ ‫זר‬ k‫ו־‬ 0 ≤ k  n ‫כאשר‬ ak
‫הינם‬
.ϕ (n) ‫הינו‬ ‫הללו‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬
‫שמקיימים‬ k ∈ Zn ‫האיברים‬ ‫הם‬ Zn ‫של‬ ‫היוצרים‬ :‫דוגמא‬
.gcd (k, n) = 1
:Z∗
n ‫לגבי‬
‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n  1 ‫יהי‬ 17.8 ‫משפט‬
:‫הבאות‬ ‫הצורות‬ ‫מאחת‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒
‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ ‫־‬ n = 2, n = 4, n = pk
, n = 2pk
.‫טבעי‬ ‫מספר‬ k‫ו־‬ ‫אי־זוגי‬
.‫ציקלית‬ ‫אינה‬ ‫־‬ Z∗
12 ,‫ציקלית‬ ‫־‬ Z∗
50 :‫למשל‬
.ϕ (ϕ (n)) :‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬ ‫ציקלית‬ ‫היא‬ Z∗
n‫ש־‬ ‫בהנחה‬
.n ‫של‬ ‫פרימיטבי‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬ Z∗
n ‫החבורה‬ ‫של‬ ‫יוצר‬ 17.9 ‫הגדרה‬
.‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗
n ⇐⇒ ‫פרימטיבי‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ n‫ל־‬
:‫הינו‬ n ‫של‬ ‫הפרימיטיבים‬ ‫השורשים‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ ‫)ובמקרה‬
.(ϕ (ϕ (n))
.G × H ‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ .‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהינה‬ 17.10 ‫טענה‬
G ‫של‬ ‫יוצר‬ a ‫אזי‬ ,G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫היוא‬ (a, b) ∈ G × H ‫אם‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬
G, H ‫גם‬ ‫אזי‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫שאם‬ ‫נובע‬ ‫מכך‬
.‫ציקליות‬
8
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫יוצר‬ 1 :‫למשל‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הנ`ל‬ ‫לטענה‬ ‫ההפוכה‬ ‫הטענה‬ :‫הערה‬
ord (1, 1) = 4 ‫כי‬ Z∗
4 ×Z∗
2 ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫אינו‬ (1, 1) ‫אבל‬ ,Z∗
4, Z∗
2 ‫של‬
.|Z∗
4 × Z∗
2| = 8‫ש־‬ ‫בעוד‬ Z∗
4 × Z∗
2‫ב־‬
.gcd (|G| , |H|) = 1 ⇐⇒ G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫יהיה‬ (a, b)
:‫נסמן‬ .‫סופיות‬ ‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהיינה‬ 17.11 ‫משפט‬
.|G| = n, |H| = m
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫אז‬
‫(כאשר‬a, b) ‫הזוגות‬ ‫בדיוק‬ ‫יהיו‬ G × H ‫של‬ ‫היוצרים‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬
.H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬ G ‫של‬ ‫יוצר‬ a
:‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Zn × Zm
‫תמורות‬ 18
(a1a2 · · · ar) ‫תמורה‬ ‫של‬ ‫ההצגה‬ ‫אופן‬ 18.1
:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
f =

1 2 3 4 5 6
3 4 2 1 6 5

:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬
3 ,3‫ל־‬ 1‫ו־‬ 1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 4) f = 1 3 2 4

5 6

.(5‫ל־‬ 6‫ו־‬ 6‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 5 ...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬
‫ב־‬ ‫מסמנים‬ (‫)שונים‬ 9
a1, . . . , ar ∈ [n] ‫עבור‬ 18.1 ‫הגדרה‬
‫וכך‬ ,a2‫ל־‬ a1 ‫את‬ ‫ששולחת‬ Sn‫ב־‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ (a1a2 · · · an)
.a1‫ל־‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ar ‫את‬ ...‫הלאה‬
(a1a2 · · · ar) ‫־‬ !‫לעצמו‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ‫מופיע‬ ‫שאינו‬ ‫אחר‬ ‫איבר‬ ‫וכל‬
.r ‫מאורך‬ (‫)מעגל‬ ‫ציקלוס‬ ‫נקרא‬ ‫־‬
‫ורואים‬ ‫התמורה‬ ‫של‬ ‫המעגלים‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫אנחנו‬ ?‫הרעיון‬ ‫מה‬
:‫למשל‬ ,‫לכן‬ ,‫אותנו‬ ‫מעביר‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לאן‬
1) 1 3 2 4

= 4 1 3 2

= 1 3 2 4

.(...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 3 ,3‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬
.‫ציקלוס‬ ‫באותו‬ ‫פעמיים‬ ‫להופיע‬ ‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫איבר‬ ‫כמובן‬
:‫כך‬ ‫גם‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫שלמעלה‬ ‫התמורה‬ ‫שאת‬ ‫כמובן‬
f = 5 6

1 3 2 4

:‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬
f =

1 2 3 4
3 2 1 4

:‫הסיבה‬ ,f = 1 3

:‫כך‬ ‫אותה‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬
....‫שלנו‬ ‫במקרה‬  = (2) = (4) ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫הזהות‬ ‫תמורת‬ , ‫את‬
‫נקראים‬ (b1 · · · bs) ‫ו־‬ (a1 · · · ar) ‫ציקלוסים‬ ‫שני‬ 18.2 ‫הגדרה‬
.i, j ‫לכל‬ ai 6= bj ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫ציקלוסים‬
.‫הזה‬ ‫באופן‬ ‫רק‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫והלאה‬ ‫מעתה‬ ,‫לכן‬
‫תמורות‬ ‫של‬ (‫)הרכבה‬ ‫הכפלה‬ 18.2
f = (135) (27) , g = :S8‫ב־‬ ‫תמורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫נניח‬
,(1254) (68)
.f ◦ g = f · g = (172) (354) (68) ‫היא‬ ‫בניהם‬ ‫המכפלה‬ ‫אזי‬
?‫לתוצאה‬ ‫מגיעים‬ ‫איך‬
:‫הינה‬ ‫התמורות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫הכללית‬ ‫המכפלה‬
f · g = (135) (27) (1254) (68)
[n] = {1, . . . , n}9
‫מעגל‬ ‫לסגור‬ ‫לנסות‬ ‫הוא‬ ‫צריכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬
.‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫ולעבור‬ (‫)ציקלוס‬
‫)אפשר‬ g ‫מה‬ ‫רואים‬ ‫קודם‬ ‫אזי‬ f ◦g ‫בהרכבה‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ ?‫איך‬
f ‫מה‬ ‫ואז‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬ (‫בנפרד‬ f‫וב־‬ g‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫להסתכל‬
.‫מעגל‬ ‫שנסגר‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ g‫מ־‬ ‫שקיבלנו‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬
:‫בקצרה‬ ‫האלגוריתם‬
:10
1‫מ־‬ ‫מתחילים‬ .1
.1 → a :‫אותנו‬ ‫שולח‬ 1 ‫לאן‬ g‫ב־‬ ‫מתסכלים‬ (‫)א‬
.a → b :‫אותנו‬ ‫שולח‬ a ‫לאן‬ :f‫ב־‬ ‫מסתכלים‬ (‫)ב‬
?‫מעגל‬ ‫נסגר‬ ‫האם‬ (‫)ג‬
‫לנו‬ ‫ויש‬ ,1 ‫במקום‬ b ‫עם‬ ‫רק‬ (‫ל־)א‬ ‫חוזרים‬ :‫לא‬ .i
.(1b... :‫כבר‬
‫סוגרים‬ :(‫התחלנו‬ ‫שממנו‬ ‫מספר‬ ‫לאותו‬ ‫)חזרנו‬ ‫כן‬ .ii
‫יש‬ ♣ ‫)במקום‬ (1b....♣) :(‫)ציקלוס‬ ‫המעגל‬ ‫את‬
‫ל־‬ ‫וחוזרים‬ .(1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫שמחזיר‬ ‫המספר‬ ‫את‬
‫נמצא‬ ‫שאינו‬ ‫ממנו‬ ‫שגדול‬ ‫הבא‬ ‫המספר‬ ‫עם‬ .1
.(‫)בציקלוס‬ ‫במעגל‬
:‫שלמעלה‬ ‫לדוגמא‬ ‫מפורט‬ ‫יותר‬ ‫קצת‬ ‫הסבר‬ ‫הנה‬
:1‫מ־‬ ‫מתחילים‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כבר‬ ‫לכן‬ ,2 → 7 :f‫ב־‬ 2 ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫ולכן‬ 1 → 2 :g‫ב־‬
‫היה‬ ‫רק‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫הזה‬ ‫בחלק‬ ‫מתעלמים‬ 2‫)מה־‬ (17.... ‫הוא‬ ‫לנו‬
‫מה‬ ,‫לכן‬ ,7 → 2 :f‫וב־‬ 7 → 7 :g‫ל־‬ 7‫ה־‬ ‫עם‬ ‫נחזור‬ ,(`‫`מעבר‬
:f‫וב־‬ 2 → 5 :g‫ב־‬ ‫־‬ 2 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ (172... :‫הוא‬ ‫כרגע‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬
‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאן‬ ‫סגרנו‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .5 → 1
.(172)
:3‫ל־‬ ‫נמשיך‬ ‫לכן‬ ,‫שייך‬ ‫הוא‬ ‫מעגל‬ ‫לאיזה‬ ‫יודעים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ 2 ‫לגבי‬
:‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,3 → 5 :f‫וב־‬ 3 → 3 :g‫ב־‬
‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ 4 → 4 :f‫וב־‬ 5 → 4 :g‫ב־‬ ,5 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ .(35...
4 → 1 :g‫ב־‬ :4 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬ .(354... ‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬
‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאו‬ ‫נסגר‬ ‫־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫ואם‬ .1 → 3 :f‫וב־‬
.(354) :‫הוא‬ ‫השני‬
.‫במעגלים‬ ‫לנו‬ ‫נמצאים‬ ‫כבר‬ ‫הם‬ ‫כי‬ ‫לדלג‬ ‫ניתן‬ 4, 5, 7 ‫על‬
:6 ‫עם‬ ‫נמשיך‬
‫לכן‬ .6 → 6 :‫שהוא‬ ‫כמו‬ ‫אותו‬ ‫משאיר‬ f‫ו־‬ 8 → 6 ‫את‬ ‫שולח‬ g
.(68... ‫הוא‬ ‫בינתיים‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬
‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .6 → 6 :f‫וב־‬ 8 → 6 :g‫ב־‬ :8 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬
.‫מעגל‬ ‫סגרנו‬
.(172) (354) (68) :‫הוא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫מה‬ ,‫סה`כ‬
‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ציקלוס‬ ‫הוא‬α (a1, . . . , an) ‫אם‬ 18.3 ‫משפט‬
:‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫התמורה‬ ‫היא‬ αk
, k ‫טבעי‬
αk
(ai) = ai+k (mod r)
.0 ‫ולא‬ r ‫הוא‬ r (mod r) :‫אחד‬ ‫הבדל‬ ‫עם‬
.‫נוחות‬ ‫מטעמי‬ 1 ‫בחרתי‬ .n‫ל־‬ 1 ‫בין‬ ‫מספר‬ ‫מכל‬ ‫להתחיל‬ ‫אפשר‬10
9
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 19
H ‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .‫חבורות‬ G, H ‫תהיינה‬
.·‫ב־‬
:‫שמקיימת‬ ϕ : G → H ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬
‫שומרת‬ ϕ ,‫)כלומר‬ .ϕ (a ∗ b) = ϕ (a) · ϕ (b) ∀a, b ∈ G
.(‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫על‬
‫שהוא‬ ϕ : G → H ‫הומומורפיזם‬ ‫זהו‬ ,H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.‫ועל‬ ‫חח`ע‬
‫קיים‬ ‫אם‬ G ∼
= H ‫ורושמים‬ H‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ G‫ש־‬ ‫אומרים‬
.H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬
.ϕ (x) = 2x
,ϕ : R → R∗
:‫למשל‬
:x, y ∈ R ‫לכל‬
ϕ ‫לכן‬ ,ϕ (x + y) = 2x+y
= 2x
· 2y
= ϕ (x) · ϕ (y)
‫אינה‬ ‫היא‬ ‫לכן‬ ,‫על‬ ‫ואינה‬ ‫חח`ע‬ ‫אינה‬ ‫אך‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬
.‫איזומורפיזם‬
:‫אזי‬ ‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומופריזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.1 ‫משפט‬
.ϕ (eG) = eH .1
.a ∈ G ‫לכל‬ ϕ a−1

= ϕ (a)
−1
.2
:a1, ..., an ∈ G ‫לכל‬ .3
.ϕ (a1 · a2 · · · an) = ϕ (a1) · ϕ (a2) · · · ϕ (an)
.ϕ (an
) = ϕ (a)
n
:n ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ .4
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .5
.ϕ (0G) = 0H (‫)א‬
.ϕ (−a) = −ϕ (a) (‫)ב‬
.ϕ (a1 + · · · + an) = ϕ (a1) + · · · + ϕ (an) (‫)ג‬
.ϕ (n · a) = n · ϕ (a) (‫)ד‬
‫וטווח‬ ‫גרעין‬ 19.1
:‫מגדירים‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬
.ker ϕ =

a ∈ G ϕ (a) = eH :ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
Imϕ =

ϕ (a) a ∈ G =

b ∈ H ∃a ∈ G ⇒ ϕ (a) = b
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
.ker (ϕ) ∈ G, Im (ϕ) ∈ H :‫כמובן‬
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 19.2 ‫טענה‬
.H ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ Im (ϕ) 19.3 ‫טענה‬
:‫אזי‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.4 ‫טענה‬
.(‫טריוויאלי‬ ‫)גרעין‬ ker (ϕ) = {eG} ⇔ ‫חח`ע‬ ‫הוא‬ ϕ
‫אז‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ 19.5 ‫טענה‬
.‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ−1
: H → G
‫היא‬ iG : G → G ‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ,G ‫חבורה‬ ‫לכל‬ 19.6 ‫הערה‬
.‫איזומורפיזם‬
ϕ : G → H ‫ההעתקה‬ H, G ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לכל‬ 19.7 ‫הערה‬
‫הוא‬ ‫זה‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬ ϕ (a) = eH ,a ∈ G ‫שלכל‬ ‫כך‬
.Im (ϕ) = {eH} ,ker (ϕ) = G .‫הטריוויאלי‬ ‫ההומומורפיזם‬
.‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ‫חבורות‬ ‫בין‬ ‫האיזומורפיזם‬ ‫יחס‬ 19.8 ‫משפט‬
‫איזומורפיות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ G, H ‫אם‬ 19.9 ‫הערה‬
‫שנכונה‬ ‫החבורות‬ ‫תורת‬ ‫של‬ ‫טענה‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ ,(G ∼
= H :‫)כלומר‬
.‫בשניה‬ ‫נכונה‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫מהן‬ ‫באחת‬
:‫חשוב‬ ‫משפט‬
.Z‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ ‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .1
.Zn‫ל־‬ ‫אזיומורפית‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .2
.Zn × Zm :‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ ,n, m ∈ N ‫יהיו‬ 19.10 ‫משפט‬
Zn × Zm‫ש־‬ ‫בעבר‬ ‫הוכחנו‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬
:‫מקבלים‬ ‫הקודם‬ ‫ומהמשפט‬ ‫ומזה‬
.gcd (n, m) = 1 ⇔ Zn × Zm
∼
= Zn·m
.Z8 × Z10  Z80, Z9 × Z10
∼
= Z90 :‫למשל‬
.Z∗
n
∼
= Zϕ(n)‫ו־‬ ,(‫ראשוני‬ p ‫)עבור‬ Z∗
p
∼
= Zp−1 :‫כמו־כן‬
‫ומשפט‬ ‫שמאלית‬/‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ 20
'‫לגרנאז‬
‫וסימונים‬ ‫הגדרות‬ 20.1
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
:‫נסמן‬ a ∈ G ‫עבור‬
.H · a =

h · a h ∈ H
.a · H =

a · h h ∈ H
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ Ha
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫שמלאית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ aH
:‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.H + a =

h + a h ∈ H
. a + H =

a + h h ∈ H
‫הן‬ G‫ב־‬ H ‫של‬ (‫שמאלית‬ ‫)או‬ ‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ 20.1 ‫למה‬
.‫שוות‬ ‫או‬ ‫זרות‬ ‫או‬
‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לוקחים‬ ‫אזי‬ ,G ‫של‬ H ‫תת־חבורה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ :‫כלומר‬
‫מחלקה‬ ‫מקבלים‬ ‫ככה‬ .G ‫אברי‬ ‫בכל‬ ‫אותו‬ ‫וכופלים‬ H ‫בחבורה‬
‫קבוצה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫שלפעמים‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬ .‫שמאלית‬/‫ימנית‬
‫זה‬ ,(‫כמובן‬ ‫אחר‬ ‫באחד‬ ‫פעם‬ ‫)כל‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬ ‫בשני‬ ‫נכפול‬ ‫אם‬
.‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫נמצאים‬ ‫הללו‬ ‫שהאיברים‬ ‫אומר‬
10
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
:a, b ∈ G ‫עבור‬ 20.2 ‫למה‬
.b · a−1
∈ H ⇔ a · b−1
∈ H ⇔ Ha = Hb .1
.b − a ∈ H ⇔ a − b ∈ H ⇔ Ha = Hb :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬
.a−1
b ∈ H ⇔ b−1
a ∈ H ⇔ aH = bH .2
|aH| = |Ha| = H :a ∈ G ‫לכל‬ 20.3 ‫למה‬
:‫סימון‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫השמאליות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ L
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ R
.|L| = |R| 20.4 ‫למה‬
:‫הגדרה‬
,G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫נקראת‬ (R ‫של‬ ‫)או‬ L ‫של‬ ‫העוצמה‬
.[G : H] :‫ומסומנת‬
(‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫מספר‬ = [G : H] ,‫כלומר‬
.G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬
‫מאינדקס‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ,‫אינסופי‬ ‫זה‬ ‫מספר‬ ‫אם‬
.G‫ב־‬ ‫אינסופי‬
'‫לגרנז‬ ‫משפט‬ 20.2
:‫אזי‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
|G| = |H| · [G : H]
'‫לגראנז‬ ‫ממשפט‬ ‫מסקנות‬ 20.2.1
:‫אזי‬ ,G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H‫ו־‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫אם‬ .1
.|H| | |G|
:‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2
.ord (a) | |G|
‫איבר‬ ‫וכל‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ ‫ראשוני‬ ‫מסדר‬ G ‫חבורה‬ ‫כל‬ .3
.G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ G ‫בחבורה‬ e‫מ־‬ ‫שונה‬
:a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ (|G| = n) n ‫מסדר‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .4
.an
= e
:a ∈ Z∗
n ‫לכל‬ ,G = Z∗
n ‫ניקח‬ .(4 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .5
.aϕ(n)
= 1
‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ .(5 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .6
.ap−1
= 1 :a ∈ Z∗
p
‫עד‬ ,‫)כלומר‬ G ∼
= Zp ‫אז‬ (‫ראשוני‬ p) |G| = p ‫אם‬ 20.5 ‫מסקנה‬
‫ראושני‬ p‫ש־‬ ‫)בתנאי‬ Zp ‫וזוהי‬ p ‫מסדר‬ ‫אחת‬ ‫חבורה‬ ‫רק‬ ‫יש‬ ‫איזומופריזם‬ ‫כדי‬
.(‫כמובן‬
.n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 20.6 ‫משפט‬
:‫נסמן‬
:‫אזי‬ .Cd =

x ∈ G xd
= e
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ Cd .1
.hai = Cd :‫מתקיים‬ ord (a) = d‫ש־‬ ‫כך‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .2
:‫מהמשפט‬ ‫מסקנות‬
:‫אזי‬ .n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬
.d ‫מסדר‬ ‫יחידה‬ ‫תת־חבורה‬ G‫ב־‬ ‫קיימת‬ .1
.d ‫מסדר‬ ϕ (d) ‫בדיוק‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .2
‫מנה‬ ‫חבורות‬ 21
.G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.1 ‫הגדרה‬
H / G ‫ורושמים‬ G ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬
.Ha = aH :‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אם‬
:‫אזי‬ H  G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.2 ‫טענה‬
.a−1
· h · a ∈ H :h ∈ H ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ ⇐⇒ H / G
.(‫קבוע‬ ‫)נתון‬ H / G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.3 ‫הגדרה‬
:‫נסמן‬
G/H =

Ha a ∈ G
‫של‬ (11
‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ G/H
.G‫ב־‬H
G/H‫ב־‬ ‫שיווויון‬ 21.1
:Ha, Hb ∈ G/H
a · b−1
∈ H ⇐⇒ Ha = Hb
G/H ‫של‬ ‫הפעולה‬ 21.2
:Ha, Hb ∈ G/H ‫עבור‬
(Ha) · (Hb) = Ha · b
‫כאשר‬ G/H‫ב־‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫כפל‬ ‫זה‬ ‫כאן‬ ‫יש‬ ‫שבצעם‬ ‫מה‬
‫סוג‬ ‫באיזה‬ ‫)תלוי‬ a · b ‫ל־‬ ‫בהתאם‬ ‫אחרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ ‫התוצאה‬
.(‫מדובר‬ ‫חבורה‬
‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫הוא‬ x‫ש־‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ x ∈ G/H ‫שאם‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬
.(‫שמאלית‬ ‫)או‬
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ 21.4 ‫טענה‬
‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫בנציגים‬
:‫ומתקיים‬ a, a1, b, b1 ∈ G
.Hab = Ha1b1 :‫אזי‬ Hb = Hb1‫ו־‬ Ha = Ha1
.‫שהגדרנו‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G/H 21.5 ‫טענה‬
‫תת־‬ ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ ‫היא‬ .H‫ב־‬ G ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ G/H
.G ‫של‬ H ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
.‫הבדל‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ H / G‫ש־‬ ‫בגלל‬11
11
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫הקנוני‬ ‫ההומומורפיזם‬ 22
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ , H / G ‫תהי‬
π : G → G/H
π (a) = Ha
:‫אזי‬
:a, b ∈ G ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ π .1
.π (a.b) = Hab = (Ha) · (Hb) = π (a) · π (b)
.(‫חח`ע‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ .‫הגדרתו‬ ‫)מעצם‬ ‫על‬ ‫הוא‬ π‫ש־‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ .2
:‫הוכחה‬ ,ker (π) = H .3
π (a) = eG/H
⇔ a ∈ ker (π) ⇔ Ha = H ⇔ a ∈ H
.G/H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הקנוני‬ ‫ההומומופריזם‬ ‫נקרא‬ π
,‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫תמיד‬ :‫הערה‬
:‫אזי‬ ,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫מורפיזם‬ ‫הומו‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ ,‫כלומר‬
.(ker (ϕ)) / G
‫האיזומורפיזם‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 23
G/ker (ϕ) ∼
= Im (ϕ)
?‫זה‬ ‫במשפט‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬
H, K  G ‫כאשר‬ H, K, G :‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫נתונות‬
G/K ∼
= H‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬
ϕ : G → H ‫העתקה‬ ‫למצוא‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ,‫אזי‬
.G/K ∼
= H‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ker (ϕ) = K‫ו־‬ Im (ϕ) = H‫ש־‬ ‫כך‬
:‫דוגמא‬
Z/4 · Z ∼
= Z4‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬
ϕ (a) = a .ϕ : Z → Z :‫הבאה‬ ‫ההעתקה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬
.a ∈ Z ‫עבור‬ (mod 4)
,(4 | k‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫מספר‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ker (ϕ) = 4 · Z ‫אזי‬
.Im (ϕ) = Z4‫ו־‬
:‫המשפט‬ ‫ע`פ‬ ,‫לכן‬
Z/4 · Z ∼
= Z4
III ‫חלק‬
‫ושדות‬ ‫חוגים‬
‫הגדרה‬ 24
(+) ‫חיבור‬ :‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫מוגדרות‬ ‫שעליה‬ R ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ ‫חוג‬
:‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שמתקיימות‬ ‫כך‬ 12
(·) ‫וכפל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ,(‫מהכפל‬ ‫)מתעלמים‬ ‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ .1
,0 ,‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫יש‬ :‫אלה‬ ‫דרישות‬ ‫בין‬ ,‫דרישות‬ ‫חמש‬ ‫כולל‬ ‫)זה‬
.(−a ‫נגדי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ a ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫ולכן‬
:‫מתקיים‬ ,1‫ל־‬ ‫בנוסף‬ .2
‫חד־ערכית‬ ‫מוגדר‬ a · b ,a, b ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קשירות‬ (‫)א‬
.a · b ∈ R‫ו־‬
:‫מתקיים‬ a, b, c ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫אסוציאטיביות‬ (‫)ב‬
.a (bc) = (ab) c
a, b, c ∈ ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫מעל‬ ‫הכפל‬ ‫דיסטריבוטיביות‬ (‫)ג‬
:R
a (b + c) = ab + ac .i
.(a + b) c = ac + bc .ii
:‫דברים‬ ‫לשני‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאים‬
.‫בכפל‬ ‫יחידה‬ ‫לאיבר‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ .‫א‬
.‫לקומוטטיביות‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ ‫בכפל‬ .‫ב‬
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫סוגים‬ 25
,‫)ז`א‬ ‫קומוטטיבית‬ ‫היא‬ ‫הכל‬ ‫פעולת‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
.(ab = ba ,a, b ∈ R ‫לכל‬
‫אם‬ .‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬
.`1` ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫קיים‬
‫שני‬ ‫של‬ ‫)שילוב‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫שדה‬
‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ ‫מאפס‬ ‫שונה‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫שבו‬ (‫יחד‬ ‫הקודמים‬
.‫לכפל‬
‫ההופכי‬ ‫אז‬ ,‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫הוכפי‬ ‫יש‬ 0 6= a ∈ R ‫לאיבר‬ ‫אם‬ :‫הערה‬
.a−1
‫ב־‬ ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬
‫יכול‬ ‫זה‬ ‫בחבורות‬ ‫כמו‬ ‫אבל‬ ,‫פעולות‬ ‫אותן‬ ‫את‬ ‫מכנים‬ ‫אנחנו‬ ‫שככה‬ ,‫כמובן‬12
.‫אחר‬ ‫משהו‬
12
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫לחוגים‬ ‫דוגמאות‬ 26
Z 26.1
‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬
‫רק‬ ,‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫לא‬ ‫)אבל‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬
.(‫הופכי‬ ‫יש‬ 1, −1‫ל־‬
...C, R, Q 26.2
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ (‫שדה‬ ‫כל‬ ‫)או‬
Zn 26.3
‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ n ‫מודולו‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬ ‫יחד‬
.‫יחידה‬
.‫ראשוני‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ Zn
Mn (F) 26.4
‫מסדר‬ ‫המטריצות‬ ‫על‬ ‫קבוצה‬ Mn (F) ‫ותהי‬ ‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ Mn (F) .F ‫מעל‬ n × n
‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫לא‬ ‫חוג‬ ‫זה‬ .‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הרגילים‬
.‫יחידה‬
R = 2 · Z 26.5
‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ‫הזוגיים‬ ‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬
..‫יחידה‬ ‫ללא‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫היא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬
PX 26.6
.X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ PX ‫ותהי‬ ,‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ PX ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬ .PX =

A A ⊆ X
.(‫קסור‬ ,‫סימטרי‬ ‫)הפרש‬ A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
. A · B = A ∩ B
‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ,‫אלו‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ,PX
.(1 = X) X
.0 = ∅ :‫החוג‬ ‫של‬ ‫האפס‬
.A = −A :‫עצמה‬ A ‫היא‬ :A ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫הנגדי‬ ‫האיבר‬
.A + Ac
= 1, A · Ac
= 0 :‫זה‬ ‫בחוג‬
R × S 26.7
:‫בקבוצה‬ ‫נסתכל‬ ,‫חוגים‬ R, S ‫יהיו‬
,R × S =

(a, b) a ∈ R, b ∈ S
:‫הבא‬ ‫באופן‬ R × S ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬
.(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
.(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
.‫חוג‬ ‫הוא‬ R × S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬
‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ :‫הערה‬
.(‫לכפל‬ ‫קשר‬ ‫)בלי‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬
‫גם‬ ‫נכון‬ ,‫חיבוריות‬ ‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫לגבי‬ ‫שנכון‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ,‫לכן‬
.‫בחוגים‬
‫בחבבורה‬ a ‫של‬ ‫־ית‬n‫ה־‬ ‫החזקה‬ ‫זוהי‬ na ,n ∈ Z‫ו־‬ a ∈ R ‫עבור‬
.R ‫החיבורית‬
.‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמו‬ ‫מתייקמים‬ ‫החזקה‬ ‫כללי‬
.a · 0 = 0 · a = 0 a ∈ R ‫לכל‬ ‫אז‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ :‫טענה‬
‫אפס‬ ‫מחלקי‬ 27
‫אם‬ ‫אפס‬ ‫מחלק‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ 27.1 ‫הגדרה‬
.ba = 0 ‫או‬ ab = 0‫ש־‬ ‫כך‬ 0 6= b ∈ R ‫וקיים‬a 6= 0
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫הם‬ 4, 3 ‫לכן‬ 4 · 3 = 0 :Z6‫ב־‬ :‫למשל‬
‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫וחוג‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28
‫שאין‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28.1 ‫הגדרה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫בו‬
,‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫ההפך‬ ‫אבל‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ F ‫שדה‬ ‫כל‬ :‫הערה‬
.‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ Z :‫למשל‬
:a, b, c ∈ R ‫לכל‬ ‫שמקיים‬ R ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ 28.2 ‫הגדרה‬
.a = b ‫אז‬ c 6= 0‫ו־‬ ca = cb ‫או‬ ac = bc ‫אם‬
:‫דוגמאות‬
4 6= 0, 2 6= 0 ‫אבל‬ 4 · 2 = 0 :‫למשל‬ ‫כי‬ ‫שלמות‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ Z8
.2 6= 6 ‫אבל‬ 4 · 6 = 4 · 2 ‫כי‬ ‫צמצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫כן‬ ‫וכמו‬
‫ואידאל‬ ‫תת־חוג‬ 29
‫לא‬ ‫חלקית‬ ‫תת־קובצה‬ S ⊆ R ‫ותהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.1 ‫הגדרה‬
‫אוטומטית‬ ‫מוגדרות‬ R ‫של‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פועלות‬ ‫אז‬ R ‫של‬ ‫ריקה‬
‫אז‬ ‫אלו‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ S ‫אם‬ .S ‫אברי‬ ‫על‬
.R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ S‫ש־‬ ‫אומרים‬
:‫הבאה‬ ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ R ‫של‬ I ‫תת־חוג‬ ‫זה‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬
I ,‫)ז`א‬ ir ∈ I, ri ∈ I :‫מתקיים‬ i ∈ I ‫ולכל‬ r ∈ R ‫לכל‬
.(‫אצלו‬ ‫נשארות‬ ‫המכפלות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופג‬
(m ∈ Z ‫)כאשר‬ m · Z ‫הינם‬ ‫החוגים‬ ‫תתי‬ ,Z ‫בחוג‬ ,‫למשל‬ ⊕
.‫אידאל‬ ‫הוא‬ m · Z‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ .‫בלבד‬
‫הינם‬ Z‫ב־‬ ‫השונים‬ ‫והאדיאלים‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ Z ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫כל‬
.m ≥ 0, m · Z
.[n = ±m ⇐⇒ n · Z = m · Z]
‫אלה‬ ,R‫ב־‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ R‫ו־‬ {0} , R ‫חוג‬ ‫בכל‬ 29.2 ‫הגדרה‬
.‫הטריוויאלים‬ ‫האידאלים‬ ‫נראים‬
‫היא‬ R ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ 29.1
?‫אידאל‬ ‫או‬ ‫תת־חוג‬
.‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־חוג‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.1
‫מספיק‬ R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= S ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.a − b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ S .1
.a · b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לכפל‬ ‫סגורה‬ S .2
13
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
‫אידאל‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.2
‫מספיק‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= I ⊆ R ‫תהי‬
:‫לבדוק‬
.‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ I .1
:‫מתקיים‬ b ∈ R ‫ולכל‬ a ∈ I ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופגת‬ I .2
.b · a ∈ I ‫וגם‬ a · b ∈ I
.I = R ‫אזי‬ 13
1 ∈ I ‫ואם‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ‫אם‬ 29.3 ‫הערה‬
.a = a · 1 ∈ I :a ∈ R ‫לכל‬ ‫כי‬
‫איבר‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.4 ‫הגדרה‬
‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .a · b = b · a = 1‫ש־‬ ‫כך‬ b ∈ R ‫יש‬ ‫אם‬ ‫הפיך‬
.a−1
‫ומסומן‬ a ‫של‬ ‫הוהפכי‬ ‫נקרא‬ ‫הוא‬ .‫יחיד‬
‫)עם‬ ‫בחוג‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ R∗
‫ב־‬ ‫מסמנים‬
‫ונקראת‬ R ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R∗
.R (‫יחידה‬
.R‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫חבורת‬
‫מספרים‬ ‫כפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ,Z∗
= {−1, 1} :‫למשל‬
.‫שלמים‬
:‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬
.(Zn)
∗
= Z∗
n .1
.F∗
= F − {0} :‫שדה‬ F ‫אם‬ .2
.Mn (F)
∗
= GLn (F) .3
.(‫טריביאלית‬ ‫)חבורה‬ P∗
X = {X} = {e} :‫קבוצה‬ X .4
R ‫אם‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.5 ‫משפט‬
⇐ 1 ∈ I ⇐ b · a ∈ I ‫כי‬ .I = R ‫אזי‬ 14
a ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫מכיל‬
.I = R
‫שדה‬ ‫הוא‬ R ‫אז‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.6 ‫משפט‬
R‫ב־‬ ‫אין‬ ,‫)ז`א‬ .R‫ו־‬ {0} ‫הם‬ R‫ב־‬ ‫היחידים‬ ‫האידאלים‬ ⇐⇒
.(‫טריביאלים‬ ‫לא‬ ‫אידאלים‬
:‫סימון‬
:‫מסמנים‬ a ∈ R ‫לכל‬ . ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
.hai = a · R =

a · r r ∈ R
.R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ hai 29.7 ‫טענה‬
.hai ⊆ J ‫מקיים‬ a ∈ J ‫המקיים‬ R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫כל‬ 29.8 ‫טענה‬
.(a ‫את‬ ‫המכיל‬ R ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫האידאל‬ ‫הוא‬ hai ,‫)כלומר‬
‫הראשי‬ ‫האידאל‬ ‫נקרא‬ ‫למעלה‬ ‫בטענה‬ hai ‫האידאל‬ 29.9 ‫הגדרה‬
.a ‫ע`י‬ ‫הנוצר‬
‫ע`י‬ ‫הנוצר‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫בחוג‬ ‫ראשי‬ ‫אידאל‬
.h3i = 3 · Z :‫למשל‬ ,‫הנ`ל‬ ‫בגרך‬ R ‫של‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬
.‫ראשי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫אידאל‬ ‫כל‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זו‬ ‫ראשי‬ ‫חוג‬ 29.10 ‫הגדרה‬
.(‫השמאלית‬ ‫בעמודה‬ ⊕ ‫)ראו‬ .Z :‫למשל‬
.‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬13
.‫כמובן‬ R‫ב־‬ ‫הפיך‬14
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 30
:a, b ∈ R ‫לכל‬ ,‫מקיים‬ S‫ל־‬ R‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬ .‫חוגים‬ S, R ‫יהיו‬
.ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) .1
.ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b) .2
.‫איזומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫שהוא‬ ‫הומומורפיזם‬
‫איזומורפיזם‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫איזומורפים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ S, R ‫חוגים‬ ‫שני‬
:‫זאת‬ ‫ורושמים‬ ,ϕ : R → S
R ∼
= S
.‫חוגים‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬
:‫הערה‬
ϕ ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : R → S ‫אם‬
.S ‫החיבורית‬ ‫לחבורה‬ R ‫החיבורית‬ ‫מהחבורה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬
,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫על‬ ‫שלנו‬ ‫הידע‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ליישם‬ ‫ניתן‬ ‫לכן‬
:‫למשל‬
,ϕ (0R) = 0S
,a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (−a) = −ϕ (a)
....'‫וכו‬ , a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (na) = nϕ (a)
‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫ותמונה‬ ‫גרעין‬ 30.1
.‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : R → S ‫יהי‬
:ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬
ker (ϕ) =

a ∈ R ϕ (a) = 0S
ϕ : R → ‫החיבוריות‬ ‫החבורות‬ ‫של‬ ‫ההומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫)זהו‬
.S
:ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬
Im (ϕ) =

ϕ (a) a ∈ R =

b ∈ S ∃a ∈ R, ϕ (a) = b
( ) .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 30.1 ‫טענה‬
.S ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ Im (ϕ) 30.2 ‫טענה‬
a·b ∈ ker (ϕ) ‫מתקיים‬ b ∈ R‫ו־‬ a ∈ ker (ϕ) ‫לכל‬ :( ) ‫הוכחה‬
:‫כי‬ b · a ∈ ker (ϕ)‫ו־‬
‫מראים‬ ‫דומה‬ ‫ובאופן‬ ϕ (ab) = ϕ (a) · ϕ (b) = 0 · ϕ (b) = 0
.ba ∈ ker (ϕ)‫ש־‬
ker (ϕ) 6=‫ש־‬ ‫מחבורות‬ ‫לנו‬ ‫וידוע‬ ‫מכפולת‬ ‫סופג‬ ker (ϕ)‫ש־‬ ‫הראנו‬
.(‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫)ולכן‬ ‫לחיסור‬ ‫סגור‬ ‫גם‬ ‫ושהוא‬ ∅
‫מנה‬ ‫חוג‬ 30.2
‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ I ‫בוודאי‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬
‫תת־‬ ‫היא‬ I ‫בוודאי‬ ‫לכן‬ (‫אבלית‬ ‫)שהיא‬ R ‫החיבורית‬ ‫החבורה‬
.R/I‫כ־‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫מוגדרת‬ ‫לכן‬ ,R ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬
14
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
R/I ‫המנה‬ ‫חברות‬ ‫מבנה‬ 30.2.1
,‫כלומר‬ :a ∈ R ‫כאשר‬ I + a ‫הינם‬ ‫האיברים‬
.R/I =

I + a a ∈ R
:R/I‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫שיוויון‬
.(‫מחלקות‬ ‫)שוייון‬ a − b ∈ I ⇐⇒ I + a = I + b
:R/I‫ב־‬ ‫הפעולה‬
.(I + a) · (I + b) = I + (a + b)
.I + 0 = I :(‫)אפס‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
− (I + a) = I + (−a) :(‫)הופכי‬ ‫נגדי‬
.‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R/I
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ R/I ‫על‬ ‫נגדיר‬ ,‫כעת‬
.(I + a) · (I + b) = I + a · b
‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫)כלומר‬ ‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ :‫טענה‬
.(‫בנציגים‬
‫ופעולת‬ ‫שציינו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R/I 30.3 ‫טענה‬
‫הוא‬ ‫הכפל‬ (‫ש־א‬ ‫לבדוק‬ ‫רק‬ ‫צריך‬ ‫זה‬ ‫)בשביל‬ .‫שהגדרנו‬ ‫הכפל‬
‫מימין‬ ‫דיסטריביוטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ג‬ .‫אסוציאטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ב‬ .‫קשיר‬
.(‫הוכח‬ ‫כבר‬ ‫השאר‬ ‫כל‬ .‫ומשמאל‬
.R‫ב־‬ I ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חוג‬ ‫נקרא‬ R/I 30.4 ‫הגדרה‬
.R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.5 ‫הערה‬
‫איבר‬ .R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.6 ‫הערה‬
.I + 1 :‫הוא‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ R/I ‫של‬ ‫היחידה‬
.0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄ :‫הינן‬ ‫המחלקות‬ .Z/5 · Z :‫דוגמה‬
. Z/h5i :Z/5 · Z ‫במקום‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ,‫כמו־כן‬
‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ 30.3
I 6= R ‫אם‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫נקרא‬ R ‫בחוג‬ I ‫אידאל‬ 30.7 ‫הגדרה‬
.I $ J $ R‫ש־‬ ‫כך‬ R ‫של‬ J ‫אידאל‬ ‫קיים‬ ‫ולא‬
:‫אחרות‬ ‫במילים‬
‫אם‬ :R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫ולכל‬ I 6= R ⇐⇒ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I
. J = R‫ש־‬ ‫או‬ J = I‫ש־‬ ‫או‬ ‫אז‬ I ⊆ R
:‫הינם‬ ‫בו‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ ‫אזי‬ ,Z6 ‫ניקח‬ :‫למשל‬
,h0i = {0}
,h1i = Z6
,h3i = {0, 3} ,h2i = {0, 2, 4}
,h4i = {0, 4, 2} = h2i
.h5i = {0, 5, 4, 3, 2, 1} = Z6
‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫כי‬ ‫מקסימליים‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ ‫־‬ h2i , h3i
:h3i ‫את‬ ‫ניקח‬ ,‫למשל‬ ,`‫`בניהם‬ ‫לשים‬ ‫שנוכל‬
.{0, 3} $ J $ Z6‫ש־‬ ‫כך‬ ,J 6= Z6 ‫אחר‬ ‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫אין‬
.h2i ‫לגבי‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ,‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ h3i ‫ולכן‬
‫אבל‬ ,‫אידאל‬ ‫הוא‬ h4i‫ש־‬ ‫לומר‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫היינו‬ :h2i ‫לגבי‬ ‫הערה‬
‫אידאל‬ ‫הוא‬ h2i‫ש־‬ ‫פשוט‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ h2i = h4i‫ש־‬ ‫בגלל‬
.h4i‫ה־‬ ‫על‬ ‫גם‬ ‫ישליך‬ ‫וזה‬ ‫מקסימלי‬
.(J = I‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ההגדרה‬ ‫ע`פ‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫)כי‬
‫כאשר‬ hmi = m·Z :‫הם‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ Z ‫בחוג‬ :‫דוגמא‬
.m ∈ N
.h1i = Z ,h0i = {0} :‫כמובן‬
:n, m  1 ‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
.‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ m ⇐⇒ (n | m ⇐⇒ m · Z ⊂ n · Z)
I ‫ויהי‬ ,(1 6= 0) ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 30.8 ‫משפט‬
:‫אז‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬
.R‫ב־‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ R/I
‫פולינומים‬ ‫חוגי‬ 31
‫הגדרות‬ 31.1
R ‫מעל‬ ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.1 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ `‫פורמלי‬ ‫`ביטוי‬ ‫זהו‬
‫ו־‬ n ∈ N ‫כאשר‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · + anxn
. a1, . . . , an ∈ R
p (x) ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.2 ‫הגדרה‬
:‫מהצורה‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫של‬ ‫אינסופית‬ ‫סדרה‬ ‫הוא‬ R ‫מעל‬
.i ≥ n0 ‫לכל‬ ai = 0‫ש־‬ n0 ∈ N ‫שקיים‬ ‫כך‬ p (x) = (a0, a1, . . .)
:‫סימון‬
‫הוא‬ ‫כאן‬ R) .R ‫מעל‬ ‫הפולינומים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = R [X] :‫מסמנים‬
.(‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬
‫ולעומת‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫בפולינום‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬
.N‫ב־‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫אלו‬ ‫החזקות‬ ‫זאת‬
.(R‫ב־‬ ‫הם‬ ‫להציב‬ ‫יכולים‬ ‫שאנחנו‬ ‫־ים‬x‫ה־‬ ‫גם‬ ,‫)כמו־כן‬
‫פולינומים‬ ‫שיווייון‬ 31.2
‫הם‬ q (x) = (b0, b1, . . .)‫ו־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫פולינומים‬ ‫שני‬
.i ‫לכל‬ ai = bi ‫אם‬ (p (x) = q (x) ‫)בסימון‬ ‫שווים‬
R [X] ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫פעולות‬ 31.3
‫באופן‬ ‫וחיבור‬ ‫כפל‬ ‫מגדירים‬ p (x) , q (x) ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬
: ‫הבא‬
‫חיבור‬ 31.3.1
p (x) + q (x) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . )
‫כפל‬ 31.3.2
p (x) · q (x) = (c0, c1, . . . )
:k ∈ N ‫לכל‬ ‫כאשר‬
ck =
k
X
i=0
ai · bk−i =
X
i+j=k
aibj
‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R [X] 31.3 ‫משפט‬
.‫אלו‬
,p (x) = (0, 0, 0, . . .) ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫איבר‬
.p (x) = (1, 0, 0, . . .) :‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬
‫כ־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫נהוג‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · ·
15
‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬
p (x) ∈ R [X] ‫פולינום‬ ‫של‬ (degree) ‫המעלה‬ 31.4
‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫השלם‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדרת‬ deg p (x) ‫מסומנת‬
‫המעלה‬ ‫לכן‬ ,‫כזה‬ n ‫אין‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ .an 6= 0 ‫שעבורו‬ n
.15
‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫של‬
p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · :‫הכתיבה‬ ‫בצורת‬
.‫מונום‬ ‫נקרא‬ aixi
‫במונום‬ ‫המקדם‬ ‫הוא‬ ai .‫מונומים‬ ‫של‬ ‫כסכום‬ ‫נרשום‬ ‫פולינום‬
.aixi
‫)משמיטים‬ ‫אפסים‬ ‫שלהם‬ ‫שהמקדמים‬ ‫מונומים‬ ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫בד`כ‬
.(‫אותם‬
‫אם‬ :‫בפרט‬ .R [X] ‫גם‬ ‫כך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.4 ‫הערה‬
.‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫אין‬ F [X]‫ב־‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ F
:‫מתקיים‬ ‫תמיד‬ R [X]‫ב־‬ 31.5 ‫הערה‬
deg (p (x) · deg q (x)) ≤ deg p (x) · deg q (x)
:‫אז‬ (‫שדה‬ ‫)ופרט‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫ואם‬
deg (p (x) · q (x)) = deg p (x) + deg q (x)
‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.6 ‫טענה‬
p (x) = a (‫קבועים‬ ‫)פולינומים‬ 0 ‫ממעלה‬ ‫הפולינומים‬ ‫הם‬ R [X]
.R‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫כאשר‬
F [X]‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ ‫הוא‬ F ‫אם‬ 31.7 ‫מסקנה‬
.0 6= a ∈ F ‫כשאר‬ p (x) = a ‫הם‬
p (x) = 1, p (x) = :‫הפיכים‬ ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ Z [X] ‫ב־‬ :‫למשל‬
.−1
,(‫שדה‬ F) F [X] ‫יהי‬ 31.8 ‫משפט‬
‫קיימים‬ (b (x) 6= 0 ‫)כאשר‬ a (x) , b (x) ∈ F [X] ‫לכל‬ ,‫אזי‬
.a (x) = q (x) b (x) + r (x)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחידים‬ ‫פולינומים‬
.deg (r (x)) ≤ deg (q (x)) ‫או‬ r (x) = 0 ‫כאשר‬
‫נקרא‬ r (x) ,b (x)‫ב־‬ a (x) ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q (x)
.‫השארית‬
R ‫כאשר‬ R [X] ‫לחוג‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫האחרון‬ ‫המשפט‬ ‫את‬ :‫הערה‬
‫שהמקדם‬ ‫לדרוש‬ ‫צריך‬ .b (x) ‫על‬ ‫תנאי‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬
.R [X]‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫יהיה‬ ‫העליון‬
‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫שורש‬ 31.5
:‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ c ∈ F ‫לכל‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬
ϕc : F [X] → F
∀p (x) ∈ F [X] : ϕc (p (x)) = p (c)
:‫אזי‬ ,p (x) = a0 + a1x + a2x2
+ · · · anxn
‫אם‬ ?p (c) ‫זה‬ ‫מה‬
.p (c) = a0 + a1 · c + a2 · c2
+ · · · + ancn
p (x) , q (x) ∈ ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕc
:F [X]
ϕc (p (x) + q (x)) = ϕc (p (x)) + ϕc (q (x))
ϕc (p (x) · q (x)) = ϕc (p (x)) · ϕc (q (x))
(c ‫)הצבת‬ ‫הצבה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ϕc
.−∞ ‫היא‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫שמעלת‬ ‫אומרים‬ ‫לחילופין‬ ‫או‬15
.ker (ϕc) =
n
p (x) ∈ F [x] p (c) = 0
o
,Im (ϕc) = F
p (c) = 0 ‫אם‬ p (x) ∈ F [X] ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ∈ F‫ש־‬ ‫אומרים‬
.
b (x) ‫את‬ ‫מחלק‬ a (x)‫ש־‬ ‫אומרים‬ R [X]‫ב־‬ 31.9 ‫הגדרה‬
‫ש־‬ ‫כך‬ c (x) ∈ R [X] ‫קיים‬ ‫אם‬ a (x) | b (x) ‫ורושמים‬
.a (x) · c (x) = b (x)
.(‫כאן‬ ‫כאלה‬ ‫במקרים‬ ‫נתעסק‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫)אבל‬ (4xn + 1) | 1 ‫־‬ Z8 [X]‫ב־‬
‫הוא‬ c ∈ F ‫אם‬ .p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.10 ‫משפט‬
:‫אז‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬
16
(x − c) | p (x)
p (2) = .p (x) = x3
+x2
+2x+2 ‫את‬ ‫ניקח‬ Z3 [X]‫ב־‬ :‫דוגמה‬
.(x − 2) | p (x) ‫כלומר‬ .p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ 2 ‫לכן‬ 0
.p (x) = (x − 2) · a (x) ‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) ∈ Z3 [X] ‫קיים‬ ,‫כלומר‬
‫עם‬ ‫חילוק‬ ‫)ע`י‬ a (x) ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ ,deg (a (x)) = 2
.(0 ‫שארית‬ ‫לקבל‬ ‫חייבים‬ .‫שארית‬
.p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ c ∈ F ‫ויהי‬ p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ 31.11 ‫הגדרה‬
‫נקרא‬ (x − c)
m
| p (x) ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ m ‫הטבעי‬ ‫המספר‬
‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ‫אם‬ .p (x) ‫של‬ c ‫השורש‬ ‫של‬ (‫)האלגברי‬ ‫הריבוי‬
.1 ≤ m ≤ deg (p (x))‫ו־‬ ‫כזה‬ m ‫אחד‬ ‫שקיים‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ p (x)
‫הוא‬ ‫אחרת‬ ,m = 1 ‫אם‬ p (x) ‫של‬ ‫פשוט‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c‫ש־‬ ‫אומרים‬
.‫מרובה‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬
‫של‬ (F‫)מ־‬ ‫שונים‬ ‫שורשים‬ ‫הם‬ c1, ..., ck ‫אם‬ 31.12 ‫מסקנה‬
:‫אזי‬ F [X]‫מ־‬ p (x) ‫פולינום‬
.deg (p (x)) ≥ k ‫ולכן‬ (x − c1)·(x − c2) · · · (x − ck) | p (x)
‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אז‬ deg (p (x)) = n ‫אם‬ ‫לכן‬
.‫שונים‬ ‫שורשים‬ n
‫ממעלה‬ p (x) ∈ F [X] ‫פולינום‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.13 ‫הגדרה‬
‫פולינומים‬ ‫קיימים‬ ‫לא‬ ‫אם‬ F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫פולינום‬ ‫נקרא‬ ‫חיובית‬
‫כאשר‬ p (x) = a (x) · b (x)‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) , b (x) ∈ F [X]
.(p (x) ‫ממעלת‬ ‫)וקטנה‬ deg (a (x)) , deg (b (x))  0
(F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫בפולינומים‬ ‫)מדובר‬ :‫הערות‬
.F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫הוא‬ F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫כל‬ .1
‫אזי‬ ,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ ‫ואם‬ deg (p (x))  1 ‫אם‬ .2
.F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ p (x)
,F ‫מעל‬ ‫פריק‬ ‫הוא‬ p (x) ‫אפ‬ .‫ז`א‬ ,‫נכון‬ ‫אינו‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .3
.F‫ב־‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫לא‬ ‫אז‬
:‫אבל‬ ,‫שורש‬ ‫יאן‬ ‫לפולינום‬ ,p (x) = x4
+1 ∈ R [X] :‫למשל‬
.x4
+ 1 = x2
− x + 1

x2
+ x + 1

.3 ‫או‬ 2 ‫יהיה‬ deg (p (x)) ‫אם‬ ‫נכון‬ ‫יהיה‬ ‫כן‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .4
,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫ואין‬ deg (p (x)) = 2 or 3 ‫אם‬ :‫ז`א‬
.F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x) ‫אזי‬
:F [X]‫ב־‬ 3 ‫או‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ ,‫כלומר‬
.x‫ב־‬ ‫שורשים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אין‬ ⇐⇒ F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x)
:‫דוגמאות‬ ‫כמה‬
:Z2 [X]‫ב־‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פריקים‬ ‫אי‬ ‫פעולינום‬
‫בתוך‬ ‫שנמצא‬ ‫הפולינום‬ ‫־‬ x2
, x2
+ 1, x2
+ x, x2
+ x + 1
‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ Z2 [X]‫ב־‬ ‫שורש‬ ‫לו‬ ‫שאין‬ ‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫המלבן‬
.‫פריק‬ ‫שאינו‬
.F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ,x − c16
16
מבני נתונים
מבני נתונים
מבני נתונים

Recomendados

סיכום הקורס במבנים אלגבריים por
סיכום הקורס במבנים אלגברייםסיכום הקורס במבנים אלגבריים
סיכום הקורס במבנים אלגברייםcsnotes
2K vistas18 diapositivas
סיכום הקורס במבוא להצפנה por
סיכום הקורס במבוא להצפנהסיכום הקורס במבוא להצפנה
סיכום הקורס במבוא להצפנהcsnotes
627 vistas66 diapositivas
סיכום של הקורס מבוא להצפנה por
סיכום של הקורס מבוא להצפנהסיכום של הקורס מבוא להצפנה
סיכום של הקורס מבוא להצפנהcsnotes
25 vistas66 diapositivas
2013 winter 807 a por
2013 winter 807 a2013 winter 807 a
2013 winter 807 abagrutonline
2.4K vistas7 diapositivas
נספח נוסחאות אלגברה לינארית por
נספח נוסחאות אלגברה לינאריתנספח נוסחאות אלגברה לינארית
נספח נוסחאות אלגברה לינאריתcsnotes
5.7K vistas9 diapositivas
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב por
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבסיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשבcsnotes
962 vistas9 diapositivas

Más contenido relacionado

Similar a מבני נתונים

סיכום הקורס בחישוביות por
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביותcsnotes
1.7K vistas39 diapositivas
נוסחאון 5 יחל por
נוסחאון 5 יחלנוסחאון 5 יחל
נוסחאון 5 יחלbagrutonline
18.4K vistas4 diapositivas
2014 summer B 805 a por
2014 summer B 805 a2014 summer B 805 a
2014 summer B 805 abagrutonline
3.2K vistas10 diapositivas
סיכום הקורס במורכבות החישובים por
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישוביםcsnotes
8 vistas58 diapositivas
Calculus1.pdf por
Calculus1.pdfCalculus1.pdf
Calculus1.pdfcsnotes
29 vistas8 diapositivas
2013 winter 803 a por
2013 winter 803 a2013 winter 803 a
2013 winter 803 abagrutonline
1.7K vistas8 diapositivas

Similar a מבני נתונים(20)

סיכום הקורס בחישוביות por csnotes
סיכום הקורס בחישוביותסיכום הקורס בחישוביות
סיכום הקורס בחישוביות
csnotes1.7K vistas
נוסחאון 5 יחל por bagrutonline
נוסחאון 5 יחלנוסחאון 5 יחל
נוסחאון 5 יחל
bagrutonline18.4K vistas
2014 summer B 805 a por bagrutonline
2014 summer B 805 a2014 summer B 805 a
2014 summer B 805 a
bagrutonline3.2K vistas
סיכום הקורס במורכבות החישובים por csnotes
סיכום הקורס במורכבות החישוביםסיכום הקורס במורכבות החישובים
סיכום הקורס במורכבות החישובים
csnotes8 vistas
Calculus1.pdf por csnotes
Calculus1.pdfCalculus1.pdf
Calculus1.pdf
csnotes29 vistas
2013 winter 803 a por bagrutonline
2013 winter 803 a2013 winter 803 a
2013 winter 803 a
bagrutonline1.7K vistas
סיכום במורכבות החישובים por csnotes
סיכום במורכבות החישוביםסיכום במורכבות החישובים
סיכום במורכבות החישובים
csnotes437 vistas
805 - winter 2014 por bagrutonline
 805 - winter 2014  805 - winter 2014
805 - winter 2014
bagrutonline4.5K vistas
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים por csnotes
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישוביםסיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
csnotes58 vistas
806 - winter 2014 por bagrutonline
806 - winter 2014806 - winter 2014
806 - winter 2014
bagrutonline7.6K vistas
2014 summer A 806 a por bagrutonline
2014 summer A 806 a2014 summer A 806 a
2014 summer A 806 a
bagrutonline13.7K vistas
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב por csnotes
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשבסיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
csnotes1.7K vistas
אינטגרל כפול.pdf por OmerLevi7
אינטגרל כפול.pdfאינטגרל כפול.pdf
אינטגרל כפול.pdf
OmerLevi794 vistas
2013 winter 804 a por bagrutonline
2013 winter 804 a2013 winter 804 a
2013 winter 804 a
bagrutonline3.7K vistas
למה נחוץ פירוק_לגורמים_סיכום_שליחה por yael frank
למה נחוץ פירוק_לגורמים_סיכום_שליחהלמה נחוץ פירוק_לגורמים_סיכום_שליחה
למה נחוץ פירוק_לגורמים_סיכום_שליחה
yael frank96 vistas
2014 summer B 807 a por bagrutonline
2014 summer B 807 a2014 summer B 807 a
2014 summer B 807 a
bagrutonline5.2K vistas
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) por csnotes
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן) סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
csnotes3.4K vistas
807 - winter 2014 por bagrutonline
 807 - winter 2014  807 - winter 2014
807 - winter 2014
bagrutonline5.2K vistas
2013 winter 805 a por bagrutonline
2013 winter 805 a2013 winter 805 a
2013 winter 805 a
bagrutonline1.5K vistas
אינטגרל מסוים - חזרה.pdf por OmerLevi7
אינטגרל מסוים - חזרה.pdfאינטגרל מסוים - חזרה.pdf
אינטגרל מסוים - חזרה.pdf
OmerLevi751 vistas

Más de csnotes

סיכום של הקרוס למידה עמוקה por
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקהcsnotes
18 vistas12 diapositivas
סיכום על בדיקת לינאריות por
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריותcsnotes
6 vistas2 diapositivas
סיכום הקורס באבטחת מידע por
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידעcsnotes
43 vistas41 diapositivas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתcsnotes
42 vistas17 diapositivas
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית por
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתנספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתcsnotes
11 vistas1 diapositiva
סיכום בתחשיב היחסים por
סיכום בתחשיב היחסיםסיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסיםcsnotes
27 vistas7 diapositivas

Más de csnotes(16)

סיכום של הקרוס למידה עמוקה por csnotes
סיכום של הקרוס למידה עמוקהסיכום של הקרוס למידה עמוקה
סיכום של הקרוס למידה עמוקה
csnotes18 vistas
סיכום על בדיקת לינאריות por csnotes
סיכום על בדיקת לינאריותסיכום על בדיקת לינאריות
סיכום על בדיקת לינאריות
csnotes6 vistas
סיכום הקורס באבטחת מידע por csnotes
סיכום הקורס באבטחת מידעסיכום הקורס באבטחת מידע
סיכום הקורס באבטחת מידע
csnotes43 vistas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por csnotes
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
csnotes42 vistas
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית por csnotes
נספח תזכורות מלוגיקה בולאניתנספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
csnotes11 vistas
סיכום בתחשיב היחסים por csnotes
סיכום בתחשיב היחסיםסיכום בתחשיב היחסים
סיכום בתחשיב היחסים
csnotes27 vistas
סיכום בלוגיקה por csnotes
סיכום בלוגיקהסיכום בלוגיקה
סיכום בלוגיקה
csnotes24 vistas
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות por csnotes
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
csnotes25 vistas
ModProg.pdf por csnotes
ModProg.pdfModProg.pdf
ModProg.pdf
csnotes15 vistas
סיכום הקורס בבינה מלאכותית por csnotes
סיכום הקורס בבינה מלאכותיתסיכום הקורס בבינה מלאכותית
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
csnotes618 vistas
סיכום של הקורס אלגוריתמים por csnotes
סיכום של הקורס אלגוריתמיםסיכום של הקורס אלגוריתמים
סיכום של הקורס אלגוריתמים
csnotes1.2K vistas
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות por csnotes
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליותסיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
csnotes5.4K vistas
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים por csnotes
סיכום קצר של הקורס במבני נתוניםסיכום קצר של הקורס במבני נתונים
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
csnotes4.6K vistas
סיכום קצר על טורי טיילור por csnotes
סיכום קצר על טורי טיילורסיכום קצר על טורי טיילור
סיכום קצר על טורי טיילור
csnotes3.4K vistas
נספחון קצר בתורת הקבוצות por csnotes
נספחון קצר בתורת הקבוצותנספחון קצר בתורת הקבוצות
נספחון קצר בתורת הקבוצות
csnotes996 vistas
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב' por csnotes
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
csnotes5.7K vistas

מבני נתונים

  • 1. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫ד"ר‬ ‫תשע"ד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ I ‫חלק‬ ‫המספרים‬ ‫בתורת‬ ‫נושאים‬ ‫שארית‬ ‫עם‬ ‫חילוק‬ 1 :N ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬ ,N‫ל־‬ ‫חלקית‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ A ‫קבוצה‬ ‫בכל‬ ‫־‬ ‫הטוב‬ ‫הסדר‬ ‫עיקרון‬ .1 .‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫שהוא‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ ‫מספריים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .2 :‫דברים‬ ‫שני‬ ‫שמקיימת‬ .1 ∈ A (‫)א‬ .n + 1 ∈ A ‫אזי‬ n ∈ A ‫אם‬ (‫)ב‬ A = N ‫אזי‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ A ⊆ N ‫אם‬ ‫־‬ ‫השלמה‬ ‫האינדוקציה‬ ‫עיקרון‬ .3 :‫שמקיימת‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ .1 ∈ A (‫)א‬ .n ∈ A ‫אזי‬ k ∈ A ‫מתקיים‬ k < n ‫לכל‬ ‫אם‬ (‫)ב‬ A = N ‫אזי‬ .‫שקולות‬ ‫הטענות‬ ‫ששלושת‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬ :Z ‫של‬ ‫בסיסית‬ ‫תכונה‬ ‫קיימים‬ ,n > 0 a, n ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 1.1 ‫משפט‬ ‫כאשר‬ a = q · n + r ‫ש־‬ ‫כך‬ q, r ‫יחידים‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ 1 .0 ≤ r < n .(q = 4, r = 3) .a = 4 · 5 + 3 ⇐ a = 23, n = 5 :‫דוגמה‬ :Z ‫של‬ ‫נוספת‬ ‫תכונה‬ .n‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫שארית‬ ‫נקרא‬ r‫ו־‬ ,‫ב־‬ a ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q1 ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬A ⊆ Z ‫תהי‬ 1.2 ‫למה‬ .A = d · Z‫ש־‬ ‫כך‬ d ∈ Z ‫קיים‬ ‫אז‬ 2 ‫לחיסור‬ ‫ביחס‬ ‫שסגורה‬ ,d · Z = d · m m ∈ Z = :‫כאשר‬ .d ‫של‬ ‫השלמות‬ ‫הכפולות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ .4 · Z = {−12, −4, 8, 32, −40, ...} :‫למשל‬ ‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2 ‫התחלקות‬ ‫יחס‬ 2.1 b‫ש־‬ ‫)או‬ b ‫את‬ ‫מחלק‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬ a, b ∈ Z ‫עבור‬ 2.1 ‫הגדרה‬ .a·k = b‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫קיים‬ ‫אם‬ a | b ‫ורושמים‬ (a ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ ....6 - 3 ‫אבל‬ ,3 | 6 :‫למשל‬ ‫ההתחלקות‬ ‫יחס‬ ‫של‬ ‫בסיסיות‬ ‫תכונות‬ 2.1.1 .‫וטרנזיטיבי‬ ‫רפלקסיבי‬ .1 .a = ±b ‫אזי‬ b | a‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .2 .a | xb + yc ∀x, y ∈ Z :‫אזי‬ a | c‫ו־‬ a | b ‫אם‬ .3 ‫מספר‬ ‫זהו‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ .a, b ∈ Z ‫יהיו‬ 2.2 ‫הגדרה‬ . c | d ‫וגם‬ c | a ‫שמקיים‬ c ∈ Z ‫שלם‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ (gcd ‫או‬ ‫)ממ`מ‬ ‫מקסימלי‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ 2.3 ‫הגדרה‬ :‫הבאות‬ ‫התכונות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ d ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬ .d | b ‫וגם‬ d | a .1 :‫)במילים‬ .c | d ‫גם‬ ‫אזי‬ c | b ‫וגם‬ c | a ‫מקיים‬ c ∈ Z ‫אם‬ .2 .(d ‫־‬ ‫ה־ממ`מ‬ ‫את‬ ‫גם‬ ‫לחלק‬ ‫חייב‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫מחלק‬ ‫כל‬ .18‫ו־‬ 12 ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ −6 ‫וגם‬ 6 ‫גם‬ :‫דוגמא‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ ‫הוא‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ a = b = 0 ‫אם‬ 2.4 ‫הערה‬ .b‫ו־‬ a‫ל־‬ ‫ממ`מ‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ואין‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ ±a ‫אז‬ b = 0‫ו־‬ a 6= 0 ‫אם‬ 2.5 ‫הערה‬ .‫אחרים‬ d ‫ממ`מ‬ ‫קיים‬ ,a, b 6= 0 ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ 2.6 ‫משפט‬ .d = xa + yb x, y ∈ Z ‫בצורה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ ‫והוא‬ .6 = 3 · 18 + (−4) · 12 ‫או‬ ,6 = 1 · 18 + (−1) · 12 :‫למשל‬ ‫אזי‬ b‫ו־‬ a ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫הם‬ d1, d2 ‫כי‬ ‫ונניח‬ a, b ∈ Z 2.7 ‫הערה‬ .(d1 | d2, d2 | d1 ‫להתקיים‬ ‫צריך‬ ‫ההגדרות‬ ‫ע`פ‬ ‫)כי‬ .d1 = ±d2 ‫כדי‬ ‫)עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ 2.8 ‫מסקנה‬ .(‫סימן‬ ‫ואחד‬ ‫חיובי‬ ‫אחד‬ ‫ממ`מ‬ ‫שני‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ‫מאפס‬ ‫שונים‬ a.b ‫אם‬ .‫החיובי‬ ‫מינוס‬ ‫שהוא‬ .a, b ‫של‬ (‫)והיחיד‬ ‫החיובי‬ ‫של‬ ‫הממ`מ‬ ‫הוא‬ gcd (a, b) :‫סימון‬ .gcd (a, b) = gcd (−a, b) = gcd (a, −b) = gcd (−a, −b) .gcd (a, b) = 1 ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫הם‬ a, b ∈ Z ‫מספרים‬ ‫שני‬ 2.9 ‫הגדרה‬ ‫הם‬ x, y .xa + yb = 1 :‫שמתקיים‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ ,‫לכן‬ .Be'zout ‫מקדמי‬ .a, b ∈ A ⇒ a − b ∈ A :‫כלומר‬2 1
  • 2. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ 2.2 ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫ממ`מ‬ ‫למצוא‬ ‫היא‬ ‫האלגוריתם‬ ‫של‬ ‫)המטרה‬ .(‫טבעיים‬ .a, b ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫זוג‬ :‫קלט‬ .gcd (a, b) :‫פלט‬ q, r ∈ Z ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫כלומר‬ ,‫שארית‬ ‫עם‬ b‫ב־‬ a ‫את‬ ‫חלק‬ .1 .0 ≤ r b‫ו־‬ a = qb + r‫ש־‬ ‫כך‬ :r 0 ‫אם‬ .2 .(a‫ל־‬ b ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫)הכנס‬ .a ← b (‫)א‬ .b ← r (‫)ב‬ .1‫ל־‬ ‫חזור‬ (‫)ג‬ .b ‫את‬ ‫כפלט‬ ‫החזר‬ .3 ‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫למצוא‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫בעזרת‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬ .‫הצבה‬ ‫באמעות‬ ‫איך‬ .(Be'zout ‫)מקדמי‬ gcd (a, b) = xa + yb :‫הבאה‬ ‫בדוגמא‬ ‫הסבר‬ :gcd (76, 14) ‫את‬ ‫אוקלידס‬ ‫ע`פ‬ ‫נמצא‬ 76 = 5 · 14 + 6 (1) 14 = 2 · 6 + 2 (2) 6 = 2 · 3 + 0 (3) gcd (76, 14) = 2 ‫השורה‬ ,‫אחרונה‬ ‫לפני‬ ‫האחת‬ ‫)השורה‬ (2) ‫משורה‬ ‫נתחיל‬ ‫כעת‬ :(‫כשארית‬ ‫הממ`מ‬ ‫לנו‬ ‫מופיע‬ ‫שבה‬ ‫השארית‬ ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫למעלה‬ ‫שורה‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ ,2 = 1·14−2·6 ‫ואז‬ ,6 = 1·76−5·14 :‫נקבל‬ ,6 ‫את‬ ‫נבודד‬ ,‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫ונציב‬ ‫ממשיכים‬ ‫היינו‬ ‫שורות‬ ‫יותר‬ ‫היו‬ ‫אם‬ ,‫שקיבלנו‬ ‫במה‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫נציב‬ :(‫האחרונה‬ ‫השורה‬ ‫עד‬ ‫ככה‬ 2 = 1 · 14 − 2 · (1 · 76 − 5 · 14) = 1 · 14 − 2 · 76 + 10 · 14 = −2 · 76 + 11 · 14 ⇒ 2 = −2 · 76 + 11 · 14 !‫שרצינו‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫וקיבלנו‬ Zn‫ב־‬ ‫הופכי‬ ‫חישוב‬ 3 .Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} :‫תזכורת‬ ‫עבור‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מוגדרת‬ Zn ‫על‬ (·n) n ‫מודולו‬ ‫כפל‬ 3.1 ‫הגדרה‬ . a · b n ‫מ־‬ ‫השארית‬ ‫היא‬ a ·n b ,a, b ∈ Zn ‫לכפל‬ ‫ביחס‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫קיים‬ ‫אז‬ ,0 6= a ∈ Zn ‫יהי‬ 3.2 ‫טענה‬ 3 .gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬ .a · a−1 = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a−1 ∈ Zn ‫קיים‬ ,‫כלומר‬3 Zn‫ב־‬ a ‫איבר‬ ‫של‬ ‫הופכי‬ ‫לחישוב‬ ‫הדרך‬ 3.1 .(‫אוקלידס‬ ‫)לפי‬ gcd (a, n) ‫את‬ ‫מחשבים‬ .1 !Zn‫ב־‬ a‫ל־‬ ‫הופכי‬ ‫אין‬ ‫־‬ gcd (a, n) 6= 1 ‫אם‬ ‫־‬ ‫ואז‬ 1 = xa + yn‫ש־‬ ‫כך‬ ‫שלמים‬ x, y ‫מוצאים‬ ‫אחרת‬ .2 .a−1 = x (mod n) ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬ ‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫קיימים‬ a, b ∈ Z . gcd (a, b) = xa + yb .1 = xa + yb :‫אזי‬ ,‫זרים‬ b‫ו־‬ a ‫ואם‬ ‫החד־‬ ‫הפריקות‬ ‫ומשפט‬ ‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ 4 ‫ערכית‬ gcd (a, b) = 1‫ו־‬ a | b · c ‫אם‬ .0 6= a, b, c ∈ Z ‫יהיו‬ 4.1 ‫למה‬ .a | c ‫אז‬ ‫רק‬ ‫שמתחלק‬ p 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ 4.2 ‫הגדרה‬ .±p‫וב־‬ ±1‫ב־‬ :‫הערות‬ ‫כמה‬ p | a ⇔ p | a·b :a, b ∈ Z :‫עבור‬ ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬ .1 .p | b ‫או‬ .1 ≤ i ≤ k ‫עבור‬ p | ai ⇐ p | a1 · a2 · · · ak .2 ‫אז‬ ,‫ראשוניים‬ q1, . . . , qn ‫כאשר‬ p | q1 · q2 · · · qn ‫אם‬ .3 .1 ≤ i ≤ n ‫עבור‬ p = qi :‫ומתקיים‬ ‫ראשוניים‬ q1, q2, . . . , qm, p1, p2, . . . , pn ‫אם‬ .4 ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫וכל‬ n = m ‫אזי‬ p1 · · · pn = q1 · · · qm ‫מספר‬ ‫אותו‬ ,‫השני‬ ‫באגף‬ ‫גם‬ ‫מופיע‬ ‫האגפים‬ ‫באחד‬ ‫שמופיע‬ .‫פעמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כפולה‬ ‫הוא‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ 4.3 ‫טענה‬ .‫ראשוניים‬ ‫הפריקות‬ ‫]משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫)המשפט‬ 4.4 ‫משפט‬ ‫של‬ ‫למכפלה‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ :([‫ערכית‬ ‫החד‬ ‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ .‫הראשוניים‬ :‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ :‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ .n = pk1 1 , pk2 2 , . . . , pkm m ‫ראשוניים‬ p1 p2 p3 · · · pm ,N 3 m ≥ 1 ‫כאשר‬ ‫ההצגה‬ ‫־‬ ‫יקרא‬ ‫זה‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .‫שונים‬ .n ‫של‬ (‫)הנורמלית‬ ‫הקנונית‬ .n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫־‬ ν (n) :‫מסמנים‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ :‫אז‬ (‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ .n = pk1 1 , pk2 2 , . . . , pkm m ‫אם‬ 2
  • 3. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ν (n) = m Y i=1 (ki + 1) (‫)חפיפה‬ ‫קונגרואנציה‬ 5 a, b ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫עבור‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.1 ‫הגדרה‬ ‫ורושמים‬ n | (a − b) ‫אם‬ n ‫מודולו‬ b‫ל־‬ ‫קונגרואנטי‬ a‫ש־‬ ‫נאמר‬ .a ≡ b (mod n) :‫המשמעות‬ ‫את‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .a ≡ b (mod n) ⇔ a = n · k + b .k ∈ Z :‫ז`א‬ ,a (mod n) = b (mod n) ⇔ a ≡ b (mod n) :‫הערה‬ ⇔ .n‫ב־‬ ‫אותם‬ ‫מחלקים‬ ‫כאשר‬ ‫שארית‬ ‫אותה‬ ‫משאירים‬ a, b .k ∈ Z, a = k · n + b .Z ‫על‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ (n ‫מודולו‬ '‫)קונ‬ ‫זה‬ ‫יחס‬ .1 ‫שניים‬ ‫אף‬ ‫־‬ 0, 1, ..., n − 1 ‫השלמים‬ ‫במספרים‬ ‫נסתכל‬ .2 ‫מספר‬ ‫וכל‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫יאנם‬ ‫אלה‬ ‫ממספרים‬ ‫מהמספרים‬ ‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫הוא‬ a ‫מודול‬ ‫שלם‬ .‫בלבד‬ ‫הללו‬ :‫אז‬ ,c = d (mod n)‫ו־‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .3 a ± c ≡ b ± d (mod n) (‫)א‬ .ac ≡ bd (mod n) (‫)ב‬ :‫נובע‬ 3‫מ־‬ .4 .a±̇c ≡ b±̇c (mod n) ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)א‬ ak ≡ bk ‫־‬ k ∈ N ‫לכל‬ ‫אז‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ (‫)ב‬ .(mod n) gcd (c, n) = 1‫ו־‬ ac ≡ bc (mod n) ‫אם‬ .5 .a ≡ b (mod n) ‫אז‬ .a ≡ b (mod n) 6⇐ ac ≡ bd (mod n) ‫בד`כ‬ ‫אבל‬ a d ≡ b d (mod n d ) ⇔ :a, b, n ‫של‬ ‫משותף‬ ‫מחלק‬ d‫ש־‬ ‫נניח‬ .6 .a ≡ b (mod n) .a ≡ b (mod m) ‫אז‬ m | n ‫ואם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .7 ⇔ a ≡ b (mod m) ‫וגם‬ a ≡ b (mod n) ‫אם‬ .8 .l = lcm (a, b) ‫כאשר‬ a ≡ b (mod l) a ≡ b (mod n) :‫אז‬ ‫זרים‬ m, n ‫אם‬ :8‫מ־‬ ‫מסקנה‬ .9 .a ≡ b (mod n · m) ⇔ a ≡ b (mod m) ‫ו־‬ :‫אזי‬ ‫שונים‬ ‫ראשוניים‬ p, q ‫אם‬ :‫בפרט‬ .10 a ≡ b ‫וגם‬ a ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ b (mod p · q) .(mod q) n ‫מודולו‬ ‫הפיכות‬ 5.1 ‫קיים‬ ‫אם‬ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫שמספר‬ ‫אומרים‬ 5.2 ‫הגדרה‬ .a · b = 1 (mod n) ‫ש־‬ ‫כך‬ b ‫שלם‬ ‫מספר‬ .3 · 7 = 1 (mod 10), 3 · 17 = 1 (mod 10) :‫למשל‬ .gcd (a, n) = 1 ⇔ n ‫מודולו‬ ‫הפיך‬ ‫הוא‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ 5.3 ‫משפט‬ ‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ gcd (a, n) = 1 ‫אם‬ 5.1.1 ?n 1 =‫ש־‬ ‫כך‬ x, y ∈ Z ‫מוצאים‬ ‫אוקלידס‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫ע`י‬ .n ‫מודולו‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x ‫ואז‬ xa + yn ‫ראשונה‬ ‫ממעלה‬ ‫קונגרואנציות‬ ‫פתרון‬ 5.2 .2x ≡ 3 (mod 5) :‫הבאה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫רוצים‬ .(‫אותה‬ ‫שמקיימים‬ x‫ה־‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ,‫)כלומר‬ :3‫ב־‬ ‫שנכפול‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫במקרה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ .6x ≡ 9 (mod 5) ⇒ x ≡ 4 (mod 5) ‫יש‬ ax ≡ b mod n '‫לקונ‬ a, b ∈ Z‫ו־‬ n ∈ N ‫יהי‬ 5.4 ‫משפט‬ :‫מהצורה‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬ gcd (a, n) | b ⇔ ‫פתרון‬ ‫אחרות‬ ‫]במילים‬ d = gcd (a, n) ‫כאשר‬ x ≡ c (mod b d ) .[n ‫מודולו‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הפתרון‬ ‫פתרון‬ ‫מוצאים‬ ‫איך‬ ‫אז‬ ?ax ≡ b (mod n) ‫לקונגרואנציה‬ .(!‫פתרון‬ ‫אין‬ ‫)אחרת‬ .gcd (a, n) | b‫ש־‬ ‫מוודאים‬ .‫א‬ .(‫וזרים‬ ‫שלמים‬ a d , n d ) a d x ≡ b d (mod n d ) :‫את‬ ‫פותרים‬ .‫ב‬ ‫של‬ ‫האלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ a d ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫את‬ ‫מוצאים‬ .‫ג‬ ‫־‬ ‫ואז‬ (x, y ∈ Z ‫)כאשר‬ 1 = a d x + n d y‫ש־‬ ‫כך‬ ‫אוקלידס‬ .a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ x .x‫ב־‬ ‫כולה‬ ‫הקונגרואנציה‬ ‫את‬ ‫כופלים‬ .‫ד‬ .p | b ‫וגם‬ p | a‫ש־‬ ‫כך‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫אין‬ ⇔ gcd (a, b) = 1 .n‫ל־‬ ‫זרים‬ a · b ⇔ n‫ל־‬ ‫זר‬ b‫ו־‬ n‫ל־‬ ‫זר‬ a :‫חשובה‬ ‫עובדה‬ ‫ערכית‬ ‫החד־חד‬ ‫הפריקות‬ ‫משפט‬ 6 ‫הפריקות‬ ‫)משפט‬ ‫האריתמטיקה‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 6.1 ‫משפט‬ :(‫ערכית‬ ‫החד־חד‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫מכפלה‬ ‫של‬ ‫לפירוק‬ ‫ניתן‬ n 1 ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫הזה‬ ‫והפירוק‬ ,‫ראושניים‬ .‫הראושניים‬ :‫המשפט‬ ‫להצגת‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬ :‫מהצורה‬ ‫יחידה‬ ‫להצגה‬ ‫ניתן‬ n ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ p1 p2 · · · ‫ו־‬ 1 ≤ m ∈ N ‫כאשר‬ n = pk1 1 · pk2 2 · · · pkm m ‫זאת‬ .‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ k1, . . . , km ≥ 1 .(‫)שונים‬ ‫ראשוניים‬ pm .n ‫של‬ (‫)נורמלית‬ ‫הקנונית‬ ‫ההצגה‬ ‫נקראת‬ ?4 n‫ל־‬ ‫יש‬ ‫מחלקים‬ ‫כמה‬ :‫שאלה‬ ‫המחלקים‬ ‫אזי‬ ,(‫נורמלי‬ ‫)פירוק‬ n = pk1 1 ·pk2 2 · · · pkm m ‫אם‬ :‫תשובה‬ :‫בדיוק‬ ‫הם‬ n ‫של‬ ‫הטבעים‬ .0 ≤ αi ≤ ki ‫כאשר‬ pα1 1 · pα2 2 · · · pαm m ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ,2 ‫עבור‬ ‫אפרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ ,150 = 2 · 3 · 52 :‫למשל‬4 ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ ,(‫בריבוע‬ ‫שהוא‬ ‫)בגלל‬ 5 ‫עבור‬ ‫אפשרויות‬ 3‫ו־‬ ,3 ‫עבור‬ .2 · 2 · 3 = 12 ‫הינו‬ 150 3
  • 4. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ .(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αm + 1) :‫הוא‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ ‫לכן‬ .n ‫של‬ ‫המחלקים‬ ‫מספר‬ = ν (n) :‫סימון‬ :‫אזי‬ ,n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαm m ‫אם‬ ν (n) = m Y i=1 (αi + 1) ‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ 7 :‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ϕ : N → N ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫שווים‬ ‫או‬ ‫קטנים‬ ‫אשר‬ (k) ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫=מספר‬ ϕ (n) .n‫ל־‬ ‫וזרים‬ (n ≥) n‫ל־‬ . ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (10) = 4 :‫למשל‬ .ϕ (p) = p − 1 ‫אזי‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 7.1 ‫הערה‬ n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ 7.1 ‫שאף‬ b1, . . . , bn ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ n ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.2 ‫הגדרה‬ .n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫מהם‬ ‫שנים‬ .n = 5 : 10, 21, 32, 54 ,n = 3 : 3, 7, 8 :‫למשל‬ n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ 7.2 :n‫ל־‬ ‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n) ‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ 7.3 ‫הגדרה‬ .n ‫מודולו‬ ‫קונגרואנטים‬ ‫אינם‬ ‫מהם‬ ‫שניים‬ ‫שאף‬ ,b1, . . . bϕ(n) .n = 10 : 1, 3, 7, 9, n = 8 : 1, 3, 5, 7 :‫למשל‬ :‫הערות‬ ‫מספר‬ .1 ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬ ‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬ ‫יהיה‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬ ‫יהיה‬ n‫ל־‬ ‫הזר‬ a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬ .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬ ‫לאחד‬ ‫קונגרואנטי‬ .2 ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ (‫)א‬ ab1 + :‫אז‬ gcd (a, n) = 1‫ש־‬ ‫כך‬ a, k ∈ Z ‫ואם‬ ,n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ k, . . . , abn+k .n ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ b1, . . . , bϕ(n) ‫אם‬ (‫)ב‬ ‫גם‬ ‫אז‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ a ‫ואם‬ n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫של‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫היא‬ ab1, . . . , abϕ(n) .n ‫מודולו‬ ‫של‬ ‫שלמות‬ ‫מערכות‬ ‫הן‬ c1, . . . , cn‫ו־‬ b1, . . . , bn ‫אם‬ .3 ‫לאחד‬ n ‫מודולו‬ ‫רונגרואנטי‬ ci ‫כל‬ ‫אז‬ ,n ‫מודולו‬ ‫שאריות‬ ‫גם‬ ‫מצומצמת‬ ‫מערכת‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫)טענה‬ .‫בלבד‬ ‫־ים‬bi‫מה־‬ .(‫נכונה‬ ‫בדיוק‬ ‫מכילה‬ b1, . . . , bn :n ‫מודולו‬ ‫שלמה‬ ‫מערכת‬ ‫כל‬ .4 .n‫ל־‬ ‫הזרים‬ ‫מספרים‬ ϕ (n) ‫הם‬ m, n ‫אם‬ :‫הבא‬ ‫במובן‬ ‫כפלית‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ϕ 7.4 ‫משפט‬ .ϕ (m · n) = ϕ (m) · ϕ (n) :‫אז‬ ,‫זרים‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ :‫אז‬ ,‫בזוגות‬ ‫זרים‬ n1, ..., nk ‫אם‬ 7.5 ‫מסקנה‬ .ϕ (n1 · n2 · · · nk) = ϕ (n1) · ϕ (n2) · · · ϕ (nk) :‫אזי‬ , ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n‫ו־‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫יהי‬ 7.6 ‫טענה‬ .ϕ (pn ) = pn − pn−1 :‫כך‬ ‫אוילר‬ ‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ϕ (n) = n · m Y i=1 1 − 1 pi :‫מקובל‬ ‫יותר‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ ϕ (n) = n · Y p|n 1 − 1 p ..(n ‫את‬ ‫המחלק‬ p ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫פירושו‬ ‫־‬ p | n) ‫אוילר‬ ‫משפט‬ 8 :‫אזי‬ ,n‫ל־‬ ‫זר‬ ‫שלם‬ ‫מספר‬ a ‫ויהי‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬ aϕ(n) ≡ 1 (mod n) 4
  • 5. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ 9 :‫מתקיים‬ p‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אז‬ , ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ p ‫אם‬ ap−1 ≡ 1 (mod p) .(‫אוילר‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ ‫פרמה‬ ‫של‬ ‫הקטן‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫אחר‬ ‫ניסוח‬ 9.1 .ap−1 ≡ 1 (mod p) :1 ≤ a p ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬ :‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫למשפט‬ ‫ההפוך‬ ‫המשפט‬ an−1 ≡ 1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n .1 n ∈ N ‫יהי‬ 9.1 ‫משפט‬ .1 ≤ a n ‫לכל‬ :‫שמקיימים‬ ‫ראשוניים‬ ‫לא‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫קיימים‬ 9.2 ‫הערה‬ .n‫ל־‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ an−1 ≡ 1 (mod n) .561 = 3 · 11 · 17 ‫הוא‬ ‫זאת‬ ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המספר‬ .‫קריימקל‬ ‫מספרי‬ ‫נקראים‬ ‫אלו‬ ‫מספרים‬ :a ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ 9.3 ‫משפט‬ .ap ≡ a (mod p) ‫וילסון‬ ‫משפט‬ 10 .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 10.1 ‫משפט‬ .(n − 1)! ≡ −1 (mod n) ⇔ ‫ראשוני‬ n II ‫חלק‬ ‫חבורות‬ ‫הגדרה‬ 11 ‫פעולה‬ ‫מוגדרת‬ ‫שעליה‬ G ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ‫חבורה‬ 11.1 ‫הגדרה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫אשר‬ ((G, ∗)‫ב־‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫)ונהוג‬ ∗ ‫בינארית‬ :‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫ארבע‬ ‫חד־ערכי‬ ‫באופן‬ ‫מוגדר‬ a ∗ b ,a, b ∈ G :‫הפעולה‬ ‫קשירות‬ .1 .a ∗ b ∈ G‫ו־‬ :a, b, c ∈ G ‫לכל‬ ‫ז`א‬ :G ‫על‬ ‫אסוציאטיבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ∗ .2 .(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ‫יש‬ :‫אומרת‬ ‫זאת‬ ,∗ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .3 .a ∈ G ‫לכל‬ a ∗ e = e ∗ a = a‫ש־‬ ‫כך‬ e ∈ G ‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ,∗‫ל־‬ ‫ביחס‬ ‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫קיים‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .4 .a ∗ a0 = a0 ∗ a = e‫ש־‬ ‫כך‬ a0 ∈ G :‫הערות‬ ‫כמה‬ ,G‫ב־‬ ‫יחיד‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫שיש‬ ‫להוכיח‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ 11.2 ‫הערה‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫לכן‬ .‫יחיד‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ a ∈ G ‫ולכל‬ .a ‫של‬ ‫וההופכי‬ .‫בנקודה‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫בדרך־כלל‬ 11.3 ‫הערה‬ ‫איבר‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ .a · b ‫במקום‬ ab ‫רושמים‬ ‫אפילו‬ ‫חבורה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .a−1 ‫ב־‬ a ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫ואת‬ e‫ב־‬ ‫היחידה‬ .(‫כפלית‬ ‫במקרה‬ ,`+`‫ב־‬ ‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ ‫לפעמים‬ 11.4 ‫הערה‬ ‫כאן‬ ‫)מדברים‬ .−a ‫יסומן‬ a ‫של‬ ‫וההפכי‬ 0 ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ,‫זה‬ .(‫חיבורית‬ ‫חבורה‬ ‫על‬ ‫לחבורות‬ ‫דוגמאות‬ 12 ‫כלשהו‬ ‫שדה‬ ‫־‬ F 12.1 .‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ F) .F ‫של‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ ‫אז‬ .(‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ 0‫ל־‬ ‫כי‬ ‫השדה‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ .F∗ = a ∈ F a 6= 0 :‫סימון‬ .F ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ F∗ .‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C∗ , Q∗ , R∗ .‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ ‫חבורות‬ ‫־‬ C, Q, R 5 ‫קומוטטבית‬ ‫פעולה‬ ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהפעולה‬ ‫חבורה‬ 12.1 ‫הגדרה‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫נקראת‬ .‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ F, F∗ ‫החבורות‬ (‫)השלמים‬ Z 12.2 .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .‫השלמים‬ ‫חיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Zn 12.3 ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1} ,1 n ∈ N ‫עבור‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ .0 :‫היחידה‬ ‫איבר‬ :a ‫של‬ ‫ההופכי‬ a−1 = ( n − a a 6= 0 0 a = 0 Z∗ n 12.4 :‫נסמן‬ .1 n ∈ N ‫יהי‬ .Z∗ n = ( a 1 ≤ a n, gcd (a, n) = 1 ) .Z∗ 10 = {1, 3, 7, 9} , Z∗ 8 = {1, 3, 5, 7} :‫למשל‬ .|Z∗ n| = ϕ (n) :♥ ‫לשים‬ ‫כדאי‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫זו‬ .n ‫מודולו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗ n a, b ∈ G ‫לכל‬ ,a ∗ b = b ∗ a5 5
  • 6. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ SX 12.5 :‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ X ‫של‬ ‫תמורה‬ .‫ריקה‬ ‫לא‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬ .f : X → X .X ‫של‬ ‫התמורות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ SX‫ב־‬ ‫מסמנים‬ .X‫ל־‬ X‫מ־‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫ההרכבה‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ SX . : X → X . :‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫זאת‬ ‫בחבורה‬ .x ∈ X ‫לכל‬ (x) = x ‫ההפוכה‬ ‫=הפונקציה‬f−1 ‫הוא‬ f ∈ SX ‫איבר‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬ .f ‫לפונקציה‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬ Sn 12.6 ‫סופית‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ X :‫הקודמת‬ ‫הדוגמא‬ ‫של‬ ‫חשוב‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ ‫ומסמנים‬ 1, 2, ..., n‫ב־‬ X ‫אברי‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫איברים‬ n ‫בעלת‬ :‫כך‬ f ∈ Sn ‫איבר‬ f = 1 2 3 · · · n f (1) f (2) f (3) · · · f (n) . = 1 2 3 · · · n 1 2 3 · · · n :‫למשל‬ n × n ‫מסדר‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫־‬ GLn (F) 12.7 ‫המטריצות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫את‬ GLn (F)‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ .F ‫מעל‬ n × n ‫מסדר‬ ‫ההפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ GLn (F) .(‫הפיכה‬ ‫מטריצה‬ ‫יוצרת‬ ‫הפיכות‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫כפל‬ :‫)תזכורת‬ .(‫היחידה‬ ‫)מטריצת‬ I ‫הוא‬ ‫היחידה‬ ‫איברו‬ .A−1 ‫המטריצה‬ ‫היא‬ A ∈ GLn (F) ‫של‬ ‫וההופכי‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫אינה‬ ‫זו‬ X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ 12.8 .X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ PX‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬ .PX = A A ⊆ X .|PX| = 2|X| :‫תזכורת‬ :PX ‫על‬ 6 ∆ ‫הסימטרי‬ ‫להפרש‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ PX .A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B) :A, B ∈ PX ‫עבור‬ .∅ ‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫הינה‬PX‫ב־‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫חבורה‬ ‫)זו‬ .(‫עצמה‬ ‫)הקבוצה‬ A ‫הוא‬ PX‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬ .(‫עצמו‬ ‫של‬ ‫ההופכי‬ ‫הוא‬ ‫בה‬ ‫איבר‬ ‫שכל‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫כמובן‬ ‫זו‬ U ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ 12.9 C ‫למרוכבים‬ ‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ 12.9.1 ‫קצרה‬ ‫תזכורת‬ ‫לעשות‬ ‫כדאי‬ ‫הבאות‬ ‫החבורות‬ ‫לשתי‬ ‫שניגשים‬ ‫לפני‬ :‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫על‬ .i2 = −1‫ו־‬ a, b ∈ R ‫כאשר‬ ,7 z = a + bi :‫אזי‬ ,z ∈ C‫ש־‬ ‫נניח‬ .r = |z| = √ a2 + b2 U = z ∈ C |z| = 1 .|z1| = 1, |z2| = 1 ⇒ |z1 · z2| = |z1| · |z2| = 1 ‫המישור‬ ‫של‬ ‫הסיבובים‬ ‫)חבורת‬ ‫המעגל‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ ‫זאת‬ ‫חבורה‬ .(‫הראשית‬ ‫סביב‬ ‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫חבורת‬ 12.10 ‫היחידה‬ ‫שורשי‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ Un‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n ‫יהי‬ zn = :‫שמקיימים‬ z ‫המרוכבים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ n ‫מסדר‬ .(1 ‫של‬ ‫בסיכום‬ ‫היחידה‬ ‫ושורשי‬ ‫המרוכבים‬ ‫על‬ ‫נוסף‬ ‫חומר‬ ‫למצוא‬ ‫]ניתן‬ ‫)שנה‬ ‫ברתל‬ ‫לור‬ ‫ד`ר‬ ‫מאת‬ `‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫מתמטיים‬ ‫`כלים‬ ‫הקורס‬ .[3‫־‬4 ‫עמודים‬ ('‫א‬ ‫סמסטר‬ ,'‫א‬ .‫חבורה‬ ‫איננה‬ ‫היא‬ ‫והחיתוך‬ ‫האיחוד‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬6 .z ‫של‬ ‫המדומה‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ b‫ו־‬ ,z ‫של‬ ‫הממשי‬ ‫החלק‬ ‫נקרא‬ a7 6
  • 7. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫נתונות‬ ‫מחבורות‬ ‫חדשה‬ ‫חבורה‬ ‫יצור‬ 13 ‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .G, H ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬ .G × H :‫הקרטזית‬ ‫במכפלה‬ ‫נסתכל‬ .◦‫ב־‬ H G×H ‫על‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ ‫נגדיר‬ ,G×H = (a, b) a ∈ G, b ∈ H :‫הבא‬ ‫באופן‬ :(a, b) , (c, d) ∈ G × H ‫עבור‬ (a, b) · (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d) .‫הזו‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ ‫איבר‬ ‫־‬ eH .(eG, eH) ‫הוא‬ G × H ‫בחבורה‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ .G ‫של‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫־‬ eG ,H ‫של‬ ‫היחידה‬ :G × H ‫בחבורה‬ ‫איבר‬ ‫של‬ ‫וההופכי‬ .(a, b) −1 = a−1 , b−1 .H‫ו־‬ G ‫של‬ ‫הישירה‬ ‫המכפלה‬ ‫־‬ ‫נקראת‬ G × H ‫חבורות‬ ‫חשבון‬ 14 :‫אזי‬ a1, ..., an ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .1 ‫אינו‬ ‫המכפלה‬ ‫ערך‬ ‫־‬ a1 ·a2 · · · an = (((a1) · a2) · · · )·an .‫האיברים‬ ‫בין‬ ‫סוגריים‬ ‫משמיטים‬ ‫או‬ ‫מכניסים‬ ‫אם‬ ‫משתנה‬ :a, b, c ∈ G‫ו־‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2 .(‫מימין‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ac = ab ‫אם‬ (‫)א‬ .(‫משמאל‬ ‫)צמצום‬ a = b ‫אז‬ ca = cb ‫אם‬ .a = e ‫אזי‬ a · a = a ‫אם‬ (‫)ב‬ . a−1 −1 = a (‫)ג‬ .(a · b) −1 = b−1 · a−1 (‫)ד‬ ‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחיד‬ x ‫קיים‬ a, b ∈ G ‫לכל‬ (‫)ה‬ .( x = a−1 · b) a · x = b (a1 · · · ak) −1 = a−1 k · · · a−1 1 (‫)ו‬ an = a · a · a · · · a | {z } n times (‫)ז‬ :(‫)חזקות‬ ‫בנוסף‬ ‫מגדירים‬ .3 .a0 = e (‫)א‬ .a−n = a−1 n = (an ) −1 (‫)ב‬ :‫מתקיים‬ n, m ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ (‫)ג‬ .an · am = an+m .i .(an ) m = anm .ii ‫מתקיים‬ ‫אינו‬ (ab) n = an bn ‫החוק‬ :‫לזכור‬ ‫חשוב‬ .iii .‫אבלית‬ ‫בחבורה‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ,‫בחבורות‬ ‫בד`כ‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫בחבורה‬ ,‫)כלומר‬ ‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ (‫)ד‬ ‫כללי‬ ‫שני‬ ‫ולכן‬ ,na ‫רושמים‬ an ‫החזקה‬ ‫את‬ ‫אז‬ (`+` :‫החזקה‬ n‫ל־‬ m‫ה־‬ ‫שבין‬ ‫)הפלוס‬ (n + m) a = na+ma .i ‫שבין‬ ‫הפלוס‬ ‫ואילו‬ ,‫מספרים‬ ‫של‬ ‫רגיל‬ ‫חיבור‬ ‫זה‬ .‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫זאת‬ na‫ו־‬ ma .m (na) = (mn) a .ii a ‫של‬ ‫הסדר‬ 15 .a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 15.1 ‫הגדרה‬ ‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ ord (a) ‫מסומן‬ a ‫של‬ ‫הסדר‬ ‫אזי‬ ,‫כזה‬ n ‫ואין‬ ‫במידה‬ .‫כזה‬ n ‫יש‬ ‫אם‬ ,an = e ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ .‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a‫ש־‬ ‫אומרים‬ :‫דוגמאות‬ 15.1 :Z∗ 10‫ב־‬ .(34 = 1 ‫)כי‬ ,ord (3) = 4 .(74 = 1 ‫)כי‬ ,ord (7) = 4 :a, b ∈ G‫ו־‬ G ‫חבורה‬ ‫עבור‬ ‫כך‬ m 6= 0 ‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ ⇔ ‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a 15.2 ‫משפט‬ .am = e‫ש־‬ .a = e ⇔ ord (a) = 1 15.3 ‫משפט‬ .‫סופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫סופית‬ ‫בחבורה‬ 15.4 ‫משפט‬ ‫כל‬ ‫אז‬ G ‫בחבורה‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ 15.5 ‫למה‬ :i, j ∈ Z ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ a ‫חזקות‬ .ai 6= aj ⇐ i 6= j ‫כאשר‬ am = ar :m ∈ Z ‫לכל‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫אם‬ 15.6 ‫משפט‬ .r ≡ m (mod n) :‫הן‬ a ‫של‬ ‫השונות‬ ‫החזקות‬ ‫אז‬ ord (a) = n ‫נניח‬ 15.7 ‫משפט‬ .e = a0 , a1 , ..., an−1 :‫משפטים‬ ‫שני‬ ‫נובעים‬ ‫האחרון‬ ‫מהמשפט‬ .ai 6= aj :0 ≤ i j ≤ n − 1 ‫לכל‬ 15.8 ‫משפט‬ .am = ar ‫ש־‬ ‫כך‬ 0 ≤ r ≤ n − 1 ‫יש‬ m ∈ Z ‫לכל‬ 15.9 ‫משפט‬ :m ∈ Z ‫עבור‬ ‫אז‬ .ord (a) = n ‫נניח‬ 15.10 ‫למה‬ .n | m ⇔ am = e :‫טבעי‬ k ‫לכל‬ ‫אז‬ ,ord (a) = n ‫אם‬ 15.11 ‫טענה‬ ord ak = n gcd (n, k) :k ∈ Zn ‫לכל‬ :Zn ‫בחבורה‬ 15.12 ‫משפט‬ ord (k) = n gcd (k, n) 7
  • 8. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫תת־חבורות‬ 16 ‫כי‬ ‫נניח‬ ,G ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 16.1 ‫הגדרה‬ ‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ :‫)ז`א‬ G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H ..(a · b ∈ H ‫על‬ ‫שמושרית‬ ‫פעולה‬ ‫לאותה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ H ‫אם‬ .G ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ‫אז‬ G ‫של‬ ‫מהפעולה‬ H .H G :‫זאת‬ ‫ומסמנים‬ .Z R :‫למשל‬ ‫חבורות‬ ‫לתת‬ ‫תנאים‬ 16.1 ‫ישנם‬ .8 G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ H ‫תת־קבוצה‬ ‫ונתונה‬ G ‫חבורה‬ ‫נתונה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫בטוחים‬ ‫להיות‬ ‫כדי‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריכים‬ ‫דברים‬ ‫שלושה‬ :(H G) G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ :1 ‫טענה‬ :‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ H ‫אם‬ :‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H .1 .a · b ∈ H .a−1 ∈ H :‫מתקיים‬ a ∈ H ‫לכל‬ :‫ז`א‬ ,‫להופכי‬ ‫סגורה‬ H .2 .H G ‫אזי‬ :2 ‫טענה‬ .‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H ‫אז‬ a · b−1 ∈ H ‫מתקיים‬ a, b ∈ H ‫לכל‬ ‫אם‬ :3 ‫טענה‬ ‫אם‬ .G ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫ולא‬ ‫סופית‬ ‫תת־קבוצה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהא‬ .H G ‫אז‬ ,G ‫של‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫סגורה‬ H ‫לתת־חבורות‬ ‫דוגמאות‬ 16.2 ,SLn (F) = A ∈ Mn (F) det (A) = 1 .SLn (F) GLn (F) ‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ 17 .a ∈ G ‫ויהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.1 ‫הגדרה‬ :‫מסמנים‬ hai = an n ∈ Z .(hai = n · a n ∈ Z :‫חיבורי‬ ‫)בכתיב‬ .a ∈ hai ‫כי‬ hai 6= ∅ :‫כמובן‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ hai :‫טענה‬ .hai ‫ע`י‬ ‫שנוצרת‬ ,G ‫של‬ ‫הציקלית‬ ‫התת־חבורה‬ ‫נקראת‬ hai hai ‫של‬ ‫המבנה‬ 17.1 :‫אזי‬ ‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ .hai = . . . , a−1 , a−1 , a0 = e, a1 , a2 , . . . : ‫תהיה‬ H‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזו‬ ‫זו‬ ‫שונות‬ ‫כאן‬ ‫החזקות‬ ‫כל‬ .ai · aj = ai+j , ∀i, j ∈ Z ‫מדויק‬ ‫העתק‬ ‫היא‬ hai ,‫אינסופי‬ ‫מסדר‬ ‫הוא‬ a ‫אם‬ ,‫זה‬ ‫)במקרה‬ .(Z ‫של‬ .∅‫ב־‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ,‫תת־חבורה‬ ‫אינה‬ ∅8 :‫אזי‬ ord (a) = n ‫אם‬ ‫־‬ hai = a0 = e, a1 , a2 , . . . , an−1 :‫היא‬ hai‫ב־‬ ‫והפעולה‬ ‫מזה‬ ‫זה‬ ‫שונים‬ ‫כאן‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫העתק‬ ‫היא‬ hai ‫זה‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ ,ai · aj = ai+j (mod n) .(Zn ‫של‬ ‫מדויק‬ .‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמובן‬ ‫מדובר‬ ,Z8 ‫את‬ ‫ניקח‬ :‫למשל‬ h2i = {0 · 2, 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2} = ‫־‬ ‫לכן‬ ,ord (2) = 4 .‫א‬ {0, 2, 4, 6} .h6i = h2i ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .h3i = Z8‫ש־‬ ‫ישירות‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫לכן‬ ,ord (3) = 8 .h1i = h3i = h5i = h7i .(‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫)כל‬ h2i = n · 2 n ∈ Z :Z‫ב־‬ .h1i = h−1i = Z ‫כך‬ a ∈ G ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫נראת‬ G ‫חבורה‬ 17.2 ‫הגדרה‬ .G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫נראה‬ ‫כזה‬ a .hai = G‫ש־‬ ‫מספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדר‬ |G| ‫מסומן‬ G ‫סופית‬ ‫חבורה‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫הסדר‬ .G ‫של‬ ‫האיברים‬ .ord (a) = |hai| 17.3 ‫משפט‬ G = :‫נגיד‬ ,G‫ל־‬ ,‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.4 ‫משפט‬ .a, a−1 :‫יוצרים‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ G‫ל־‬ .hai .G = |n| .n ‫מסדר‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.5 ‫משפט‬ .ord (a) = n ⇐⇒ G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ a ∈ G ‫איבר‬ .n ‫מסדר‬ ‫איבר‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ ⇐⇒ ‫ציקלית‬ G 17.6 ‫משפט‬ ‫־‬ G ‫של‬ ‫היוצרים‬ ,n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 17.7 ‫משפט‬ .n‫ל־‬ ‫זר‬ k‫ו־‬ 0 ≤ k n ‫כאשר‬ ak ‫הינם‬ .ϕ (n) ‫הינו‬ ‫הללו‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬ ‫שמקיימים‬ k ∈ Zn ‫האיברים‬ ‫הם‬ Zn ‫של‬ ‫היוצרים‬ :‫דוגמא‬ .gcd (k, n) = 1 :Z∗ n ‫לגבי‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗ n .‫טבעי‬ ‫מספר‬ n 1 ‫יהי‬ 17.8 ‫משפט‬ :‫הבאות‬ ‫הצורות‬ ‫מאחת‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ ‫־‬ n = 2, n = 4, n = pk , n = 2pk .‫טבעי‬ ‫מספר‬ k‫ו־‬ ‫אי־זוגי‬ .‫ציקלית‬ ‫אינה‬ ‫־‬ Z∗ 12 ,‫ציקלית‬ ‫־‬ Z∗ 50 :‫למשל‬ .ϕ (ϕ (n)) :‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫היוצרים‬ ‫מספר‬ ‫ציקלית‬ ‫היא‬ Z∗ n‫ש־‬ ‫בהנחה‬ .n ‫של‬ ‫פרימיטבי‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬ Z∗ n ‫החבורה‬ ‫של‬ ‫יוצר‬ 17.9 ‫הגדרה‬ .‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Z∗ n ⇐⇒ ‫פרימטיבי‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ n‫ל־‬ :‫הינו‬ n ‫של‬ ‫הפרימיטיבים‬ ‫השורשים‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ ‫)ובמקרה‬ .(ϕ (ϕ (n)) .G × H ‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ .‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהינה‬ 17.10 ‫טענה‬ G ‫של‬ ‫יוצר‬ a ‫אזי‬ ,G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫היוא‬ (a, b) ∈ G × H ‫אם‬ .H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬ G, H ‫גם‬ ‫אזי‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫שאם‬ ‫נובע‬ ‫מכך‬ .‫ציקליות‬ 8
  • 9. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫יוצר‬ 1 :‫למשל‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הנ`ל‬ ‫לטענה‬ ‫ההפוכה‬ ‫הטענה‬ :‫הערה‬ ord (1, 1) = 4 ‫כי‬ Z∗ 4 ×Z∗ 2 ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫אינו‬ (1, 1) ‫אבל‬ ,Z∗ 4, Z∗ 2 ‫של‬ .|Z∗ 4 × Z∗ 2| = 8‫ש־‬ ‫בעוד‬ Z∗ 4 × Z∗ 2‫ב־‬ .gcd (|G| , |H|) = 1 ⇐⇒ G × H ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫יהיה‬ (a, b) :‫נסמן‬ .‫סופיות‬ ‫ציקליות‬ ‫חבורות‬ H‫ו־‬ G ‫תהיינה‬ 17.11 ‫משפט‬ .|G| = n, |H| = m .gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G × H ‫אז‬ ‫(כאשר‬a, b) ‫הזוגות‬ ‫בדיוק‬ ‫יהיו‬ G × H ‫של‬ ‫היוצרים‬ ‫זה‬ ‫ובמקרה‬ .H ‫של‬ ‫יוצר‬ b‫ו־‬ G ‫של‬ ‫יוצר‬ a :‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ .gcd (n, m) = 1 ⇐⇒ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ Zn × Zm ‫תמורות‬ 18 (a1a2 · · · ar) ‫תמורה‬ ‫של‬ ‫ההצגה‬ ‫אופן‬ 18.1 :‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ f = 1 2 3 4 5 6 3 4 2 1 6 5 :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ 3 ,3‫ל־‬ 1‫ו־‬ 1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 4) f = 1 3 2 4 5 6 .(5‫ל־‬ 6‫ו־‬ 6‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 5 ...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬ ‫ב־‬ ‫מסמנים‬ (‫)שונים‬ 9 a1, . . . , ar ∈ [n] ‫עבור‬ 18.1 ‫הגדרה‬ ‫וכך‬ ,a2‫ל־‬ a1 ‫את‬ ‫ששולחת‬ Sn‫ב־‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ (a1a2 · · · an) .a1‫ל־‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ar ‫את‬ ...‫הלאה‬ (a1a2 · · · ar) ‫־‬ !‫לעצמו‬ ‫שולחת‬ ‫היא‬ ‫מופיע‬ ‫שאינו‬ ‫אחר‬ ‫איבר‬ ‫וכל‬ .r ‫מאורך‬ (‫)מעגל‬ ‫ציקלוס‬ ‫נקרא‬ ‫־‬ ‫ורואים‬ ‫התמורה‬ ‫של‬ ‫המעגלים‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫אנחנו‬ ?‫הרעיון‬ ‫מה‬ :‫למשל‬ ,‫לכן‬ ,‫אותנו‬ ‫מעביר‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לאן‬ 1) 1 3 2 4 = 4 1 3 2 = 1 3 2 4 .(...‫הלאה‬ ‫וכך‬ 2‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ 3 ,3‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫מעביר‬ .‫ציקלוס‬ ‫באותו‬ ‫פעמיים‬ ‫להופיע‬ ‫יכול‬ ‫אינו‬ ‫איבר‬ ‫כמובן‬ :‫כך‬ ‫גם‬ ‫להציג‬ ‫ניתן‬ ‫שלמעלה‬ ‫התמורה‬ ‫שאת‬ ‫כמובן‬ f = 5 6 1 3 2 4 :‫הבאה‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ f = 1 2 3 4 3 2 1 4 :‫הסיבה‬ ,f = 1 3 :‫כך‬ ‫אותה‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬ ....‫שלנו‬ ‫במקרה‬ = (2) = (4) ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫הזהות‬ ‫תמורת‬ , ‫את‬ ‫נקראים‬ (b1 · · · bs) ‫ו־‬ (a1 · · · ar) ‫ציקלוסים‬ ‫שני‬ 18.2 ‫הגדרה‬ .i, j ‫לכל‬ ai 6= bj ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫זרים‬ ‫ציקלוסים‬ .‫הזה‬ ‫באופן‬ ‫רק‬ ‫התמורה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫והלאה‬ ‫מעתה‬ ,‫לכן‬ ‫תמורות‬ ‫של‬ (‫)הרכבה‬ ‫הכפלה‬ 18.2 f = (135) (27) , g = :S8‫ב־‬ ‫תמורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ‫נניח‬ ,(1254) (68) .f ◦ g = f · g = (172) (354) (68) ‫היא‬ ‫בניהם‬ ‫המכפלה‬ ‫אזי‬ ?‫לתוצאה‬ ‫מגיעים‬ ‫איך‬ :‫הינה‬ ‫התמורות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫הכללית‬ ‫המכפלה‬ f · g = (135) (27) (1254) (68) [n] = {1, . . . , n}9 ‫מעגל‬ ‫לסגור‬ ‫לנסות‬ ‫הוא‬ ‫צריכים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫ולעבור‬ (‫)ציקלוס‬ ‫)אפשר‬ g ‫מה‬ ‫רואים‬ ‫קודם‬ ‫אזי‬ f ◦g ‫בהרכבה‬ ‫ומדובר‬ ‫היות‬ ?‫איך‬ f ‫מה‬ ‫ואז‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬ (‫בנפרד‬ f‫וב־‬ g‫ב־‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫להסתכל‬ .‫מעגל‬ ‫שנסגר‬ ‫עד‬ ‫הלאה‬ ‫וכך‬ g‫מ־‬ ‫שקיבלנו‬ ‫לאיבר‬ ‫עושה‬ :‫בקצרה‬ ‫האלגוריתם‬ :10 1‫מ־‬ ‫מתחילים‬ .1 .1 → a :‫אותנו‬ ‫שולח‬ 1 ‫לאן‬ g‫ב־‬ ‫מתסכלים‬ (‫)א‬ .a → b :‫אותנו‬ ‫שולח‬ a ‫לאן‬ :f‫ב־‬ ‫מסתכלים‬ (‫)ב‬ ?‫מעגל‬ ‫נסגר‬ ‫האם‬ (‫)ג‬ ‫לנו‬ ‫ויש‬ ,1 ‫במקום‬ b ‫עם‬ ‫רק‬ (‫ל־)א‬ ‫חוזרים‬ :‫לא‬ .i .(1b... :‫כבר‬ ‫סוגרים‬ :(‫התחלנו‬ ‫שממנו‬ ‫מספר‬ ‫לאותו‬ ‫)חזרנו‬ ‫כן‬ .ii ‫יש‬ ♣ ‫)במקום‬ (1b....♣) :(‫)ציקלוס‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫ל־‬ ‫וחוזרים‬ .(1‫ל־‬ ‫אותנו‬ ‫שמחזיר‬ ‫המספר‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ ‫שאינו‬ ‫ממנו‬ ‫שגדול‬ ‫הבא‬ ‫המספר‬ ‫עם‬ .1 .(‫)בציקלוס‬ ‫במעגל‬ :‫שלמעלה‬ ‫לדוגמא‬ ‫מפורט‬ ‫יותר‬ ‫קצת‬ ‫הסבר‬ ‫הנה‬ :1‫מ־‬ ‫מתחילים‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כבר‬ ‫לכן‬ ,2 → 7 :f‫ב־‬ 2 ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫ולכן‬ 1 → 2 :g‫ב־‬ ‫היה‬ ‫רק‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫הזה‬ ‫בחלק‬ ‫מתעלמים‬ 2‫)מה־‬ (17.... ‫הוא‬ ‫לנו‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ ,7 → 2 :f‫וב־‬ 7 → 7 :g‫ל־‬ 7‫ה־‬ ‫עם‬ ‫נחזור‬ ,(`‫`מעבר‬ :f‫וב־‬ 2 → 5 :g‫ב־‬ ‫־‬ 2 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ (172... :‫הוא‬ ‫כרגע‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאן‬ ‫סגרנו‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .5 → 1 .(172) :3‫ל־‬ ‫נמשיך‬ ‫לכן‬ ,‫שייך‬ ‫הוא‬ ‫מעגל‬ ‫לאיזה‬ ‫יודעים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ 2 ‫לגבי‬ :‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,3 → 5 :f‫וב־‬ 3 → 3 :g‫ב־‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ 4 → 4 :f‫וב־‬ 5 → 4 :g‫ב־‬ ,5 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ .(35... 4 → 1 :g‫ב־‬ :4 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬ .(354... ‫הוא‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ‫לנו‬ ‫המעגל‬ ‫לכן‬ !‫מעגל‬ ‫כאו‬ ‫נסגר‬ ‫־‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫ואם‬ .1 → 3 :f‫וב־‬ .(354) :‫הוא‬ ‫השני‬ .‫במעגלים‬ ‫לנו‬ ‫נמצאים‬ ‫כבר‬ ‫הם‬ ‫כי‬ ‫לדלג‬ ‫ניתן‬ 4, 5, 7 ‫על‬ :6 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫לכן‬ .6 → 6 :‫שהוא‬ ‫כמו‬ ‫אותו‬ ‫משאיר‬ f‫ו־‬ 8 → 6 ‫את‬ ‫שולח‬ g .(68... ‫הוא‬ ‫בינתיים‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫אם‬ .6 → 6 :f‫וב־‬ 8 → 6 :g‫ב־‬ :8 ‫עם‬ ‫נמשיך‬ ‫כעת‬ .‫מעגל‬ ‫סגרנו‬ .(172) (354) (68) :‫הוא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫מה‬ ,‫סה`כ‬ ‫מספר‬ ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ציקלוס‬ ‫הוא‬α (a1, . . . , an) ‫אם‬ 18.3 ‫משפט‬ :‫ע`י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫התמורה‬ ‫היא‬ αk , k ‫טבעי‬ αk (ai) = ai+k (mod r) .0 ‫ולא‬ r ‫הוא‬ r (mod r) :‫אחד‬ ‫הבדל‬ ‫עם‬ .‫נוחות‬ ‫מטעמי‬ 1 ‫בחרתי‬ .n‫ל־‬ 1 ‫בין‬ ‫מספר‬ ‫מכל‬ ‫להתחיל‬ ‫אפשר‬10 9
  • 10. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 19 H ‫פעולת‬ ‫ואת‬ ∗‫ב־‬ G ‫פעולת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .‫חבורות‬ G, H ‫תהיינה‬ .·‫ב־‬ :‫שמקיימת‬ ϕ : G → H ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫שומרת‬ ϕ ,‫)כלומר‬ .ϕ (a ∗ b) = ϕ (a) · ϕ (b) ∀a, b ∈ G .(‫החבורה‬ ‫פעולת‬ ‫על‬ ‫שהוא‬ ϕ : G → H ‫הומומורפיזם‬ ‫זהו‬ ,H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬ .‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ G ∼ = H ‫ורושמים‬ H‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ G‫ש־‬ ‫אומרים‬ .H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫איזומורפיזם‬ .ϕ (x) = 2x ,ϕ : R → R∗ :‫למשל‬ :x, y ∈ R ‫לכל‬ ϕ ‫לכן‬ ,ϕ (x + y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ (x) · ϕ (y) ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫לכן‬ ,‫על‬ ‫ואינה‬ ‫חח`ע‬ ‫אינה‬ ‫אך‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬ .‫איזומורפיזם‬ :‫אזי‬ ‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומופריזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.1 ‫משפט‬ .ϕ (eG) = eH .1 .a ∈ G ‫לכל‬ ϕ a−1 = ϕ (a) −1 .2 :a1, ..., an ∈ G ‫לכל‬ .3 .ϕ (a1 · a2 · · · an) = ϕ (a1) · ϕ (a2) · · · ϕ (an) .ϕ (an ) = ϕ (a) n :n ∈ Z ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ .4 :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .5 .ϕ (0G) = 0H (‫)א‬ .ϕ (−a) = −ϕ (a) (‫)ב‬ .ϕ (a1 + · · · + an) = ϕ (a1) + · · · + ϕ (an) (‫)ג‬ .ϕ (n · a) = n · ϕ (a) (‫)ד‬ ‫וטווח‬ ‫גרעין‬ 19.1 :‫מגדירים‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ .ker ϕ = a ∈ G ϕ (a) = eH :ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬ Imϕ = ϕ (a) a ∈ G = b ∈ H ∃a ∈ G ⇒ ϕ (a) = b :ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬ .ker (ϕ) ∈ G, Im (ϕ) ∈ H :‫כמובן‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 19.2 ‫טענה‬ .H ‫של‬ ‫חבורה‬ ‫תת‬ ‫היא‬ Im (ϕ) 19.3 ‫טענה‬ :‫אזי‬ .‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫יהי‬ 19.4 ‫טענה‬ .(‫טריוויאלי‬ ‫)גרעין‬ ker (ϕ) = {eG} ⇔ ‫חח`ע‬ ‫הוא‬ ϕ ‫אז‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ 19.5 ‫טענה‬ .‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ−1 : H → G ‫היא‬ iG : G → G ‫הזהות‬ ‫העתקת‬ ,G ‫חבורה‬ ‫לכל‬ 19.6 ‫הערה‬ .‫איזומורפיזם‬ ϕ : G → H ‫ההעתקה‬ H, G ‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לכל‬ 19.7 ‫הערה‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ,‫הומומורפיזם‬ ‫היא‬ ϕ (a) = eH ,a ∈ G ‫שלכל‬ ‫כך‬ .Im (ϕ) = {eH} ,ker (ϕ) = G .‫הטריוויאלי‬ ‫ההומומורפיזם‬ .‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ‫חבורות‬ ‫בין‬ ‫האיזומורפיזם‬ ‫יחס‬ 19.8 ‫משפט‬ ‫איזומורפיות‬ ‫חבורות‬ ‫הן‬ G, H ‫אם‬ 19.9 ‫הערה‬ ‫שנכונה‬ ‫החבורות‬ ‫תורת‬ ‫של‬ ‫טענה‬ ‫כל‬ ‫אזי‬ ,(G ∼ = H :‫)כלומר‬ .‫בשניה‬ ‫נכונה‬ ‫להיות‬ ‫חייבת‬ ‫מהן‬ ‫באחת‬ :‫חשוב‬ ‫משפט‬ .Z‫ל־‬ ‫איזומורפית‬ ‫אינסופית‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .1 .Zn‫ל־‬ ‫אזיומורפית‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫כל‬ .2 .Zn × Zm :‫בחבורה‬ ‫נסתכל‬ ,n, m ∈ N ‫יהיו‬ 19.10 ‫משפט‬ Zn × Zm‫ש־‬ ‫בעבר‬ ‫הוכחנו‬ .gcd (n, m) = 1 ⇔ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ :‫מקבלים‬ ‫הקודם‬ ‫ומהמשפט‬ ‫ומזה‬ .gcd (n, m) = 1 ⇔ Zn × Zm ∼ = Zn·m .Z8 × Z10 Z80, Z9 × Z10 ∼ = Z90 :‫למשל‬ .Z∗ n ∼ = Zϕ(n)‫ו־‬ ,(‫ראשוני‬ p ‫)עבור‬ Z∗ p ∼ = Zp−1 :‫כמו־כן‬ ‫ומשפט‬ ‫שמאלית‬/‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ 20 '‫לגרנאז‬ ‫וסימונים‬ ‫הגדרות‬ 20.1 .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ :‫נסמן‬ a ∈ G ‫עבור‬ .H · a = h · a h ∈ H .a · H = a · h h ∈ H .G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ Ha .G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫שמלאית‬ ‫מחלקה‬ ‫נקראת‬ aH :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .H + a = h + a h ∈ H . a + H = a + h h ∈ H ‫הן‬ G‫ב־‬ H ‫של‬ (‫שמאלית‬ ‫)או‬ ‫ימניות‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ 20.1 ‫למה‬ .‫שוות‬ ‫או‬ ‫זרות‬ ‫או‬ ‫איבר‬ ‫כל‬ ‫לוקחים‬ ‫אזי‬ ,G ‫של‬ H ‫תת־חבורה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ :‫כלומר‬ ‫מחלקה‬ ‫מקבלים‬ ‫ככה‬ .G ‫אברי‬ ‫בכל‬ ‫אותו‬ ‫וכופלים‬ H ‫בחבורה‬ ‫קבוצה‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫שלפעמים‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫חשוב‬ .‫שמאלית‬/‫ימנית‬ ‫זה‬ ,(‫כמובן‬ ‫אחר‬ ‫באחד‬ ‫פעם‬ ‫)כל‬ ‫שונים‬ ‫איברים‬ ‫בשני‬ ‫נכפול‬ ‫אם‬ .‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫נמצאים‬ ‫הללו‬ ‫שהאיברים‬ ‫אומר‬ 10
  • 11. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ :a, b ∈ G ‫עבור‬ 20.2 ‫למה‬ .b · a−1 ∈ H ⇔ a · b−1 ∈ H ⇔ Ha = Hb .1 .b − a ∈ H ⇔ a − b ∈ H ⇔ Ha = Hb :‫חיבורי‬ ‫בכתיב‬ .a−1 b ∈ H ⇔ b−1 a ∈ H ⇔ aH = bH .2 |aH| = |Ha| = H :a ∈ G ‫לכל‬ 20.3 ‫למה‬ :‫סימון‬ .G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫השמאליות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ L .G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫־‬ R .|L| = |R| 20.4 ‫למה‬ :‫הגדרה‬ ,G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫נקראת‬ (R ‫של‬ ‫)או‬ L ‫של‬ ‫העוצמה‬ .[G : H] :‫ומסומנת‬ (‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫מספר‬ = [G : H] ,‫כלומר‬ .G‫ב־‬ H ‫של‬ ‫השונות‬ ‫מאינדקס‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ ,‫אינסופי‬ ‫זה‬ ‫מספר‬ ‫אם‬ .G‫ב־‬ ‫אינסופי‬ '‫לגרנז‬ ‫משפט‬ 20.2 :‫אזי‬ .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ |G| = |H| · [G : H] '‫לגראנז‬ ‫ממשפט‬ ‫מסקנות‬ 20.2.1 :‫אזי‬ ,G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H‫ו־‬ ‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫אם‬ .1 .|H| | |G| :‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫סופית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .2 .ord (a) | |G| ‫איבר‬ ‫וכל‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ ‫ראשוני‬ ‫מסדר‬ G ‫חבורה‬ ‫כל‬ .3 .G ‫של‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ G ‫בחבורה‬ e‫מ־‬ ‫שונה‬ :a ∈ G ‫לכל‬ ‫אזי‬ (|G| = n) n ‫מסדר‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .4 .an = e :a ∈ Z∗ n ‫לכל‬ ,G = Z∗ n ‫ניקח‬ .(4 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .5 .aϕ(n) = 1 ‫לכל‬ ‫אז‬ ,‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ p ‫אם‬ .(5 ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫)מקרה‬ .6 .ap−1 = 1 :a ∈ Z∗ p ‫עד‬ ,‫)כלומר‬ G ∼ = Zp ‫אז‬ (‫ראשוני‬ p) |G| = p ‫אם‬ 20.5 ‫מסקנה‬ ‫ראושני‬ p‫ש־‬ ‫)בתנאי‬ Zp ‫וזוהי‬ p ‫מסדר‬ ‫אחת‬ ‫חבורה‬ ‫רק‬ ‫יש‬ ‫איזומופריזם‬ ‫כדי‬ .(‫כמובן‬ .n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 20.6 ‫משפט‬ :‫נסמן‬ :‫אזי‬ .Cd = x ∈ G xd = e .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ Cd .1 .hai = Cd :‫מתקיים‬ ord (a) = d‫ש־‬ ‫כך‬ a ∈ G ‫איבר‬ ‫לכל‬ .2 :‫מהמשפט‬ ‫מסקנות‬ :‫אזי‬ .n ‫של‬ ‫מחלק‬ d ‫ויהי‬ n ‫מסדר‬ ‫ציקלית‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ .d ‫מסדר‬ ‫יחידה‬ ‫תת־חבורה‬ G‫ב־‬ ‫קיימת‬ .1 .d ‫מסדר‬ ϕ (d) ‫בדיוק‬ G‫ב־‬ ‫יש‬ .2 ‫מנה‬ ‫חבורות‬ 21 .G ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ H ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.1 ‫הגדרה‬ H / G ‫ורושמים‬ G ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫אומרים‬ .Ha = aH :‫מתקיים‬ a ∈ G ‫לכל‬ ‫אם‬ :‫אזי‬ H G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.2 ‫טענה‬ .a−1 · h · a ∈ H :h ∈ H ‫ולכל‬ a ∈ G ‫לכל‬ ⇐⇒ H / G .(‫קבוע‬ ‫)נתון‬ H / G ‫ותהי‬ ‫חבורה‬ G ‫תהי‬ 21.3 ‫הגדרה‬ :‫נסמן‬ G/H = Ha a ∈ G ‫של‬ (11 ‫השמאליות‬ ‫)או‬ ‫הימניות‬ ‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬ G/H .G‫ב־‬H G/H‫ב־‬ ‫שיווויון‬ 21.1 :Ha, Hb ∈ G/H a · b−1 ∈ H ⇐⇒ Ha = Hb G/H ‫של‬ ‫הפעולה‬ 21.2 :Ha, Hb ∈ G/H ‫עבור‬ (Ha) · (Hb) = Ha · b ‫כאשר‬ G/H‫ב־‬ ‫מחלקות‬ ‫שתי‬ ‫של‬ ‫כפל‬ ‫זה‬ ‫כאן‬ ‫יש‬ ‫שבצעם‬ ‫מה‬ ‫סוג‬ ‫באיזה‬ ‫)תלוי‬ a · b ‫ל־‬ ‫בהתאם‬ ‫אחרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ ‫התוצאה‬ .(‫מדובר‬ ‫חבורה‬ ‫ימנית‬ ‫מחלקה‬ ‫הוא‬ x‫ש־‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ x ∈ G/H ‫שאם‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .(‫שמאלית‬ ‫)או‬ ‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫כלומר‬ ,‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ 21.4 ‫טענה‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ .‫בנציגים‬ :‫ומתקיים‬ a, a1, b, b1 ∈ G .Hab = Ha1b1 :‫אזי‬ Hb = Hb1‫ו־‬ Ha = Ha1 .‫שהגדרנו‬ ‫לפעולה‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ G/H 21.5 ‫טענה‬ ‫תת־‬ ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ ‫היא‬ .H‫ב־‬ G ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫נקראת‬ G/H .G ‫של‬ H ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬ .‫הבדל‬ ‫אין‬ ‫אזי‬ H / G‫ש־‬ ‫בגלל‬11 11
  • 12. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫הקנוני‬ ‫ההומומורפיזם‬ 22 :‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ , H / G ‫תהי‬ π : G → G/H π (a) = Ha :‫אזי‬ :a, b ∈ G ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ π .1 .π (a.b) = Hab = (Ha) · (Hb) = π (a) · π (b) .(‫חח`ע‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ .‫הגדרתו‬ ‫)מעצם‬ ‫על‬ ‫הוא‬ π‫ש־‬ ‫לראות‬ ‫קל‬ .2 :‫הוכחה‬ ,ker (π) = H .3 π (a) = eG/H ⇔ a ∈ ker (π) ⇔ Ha = H ⇔ a ∈ H .G/H‫ל־‬ G‫מ־‬ ‫הקנוני‬ ‫ההומומופריזם‬ ‫נקרא‬ π ,‫נורמלית‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫תמיד‬ :‫הערה‬ :‫אזי‬ ,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫מורפיזם‬ ‫הומו‬ ‫הוא‬ ϕ : G → H ‫אם‬ ,‫כלומר‬ .(ker (ϕ)) / G ‫האיזומורפיזם‬ ‫של‬ ‫היסודי‬ ‫המשפט‬ 23 G/ker (ϕ) ∼ = Im (ϕ) ?‫זה‬ ‫במשפט‬ ‫להשתמש‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ H, K G ‫כאשר‬ H, K, G :‫חבורות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫נתונות‬ G/K ∼ = H‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫ואנחנו‬ ϕ : G → H ‫העתקה‬ ‫למצוא‬ ‫צריכים‬ ‫אנחנו‬ ,‫אזי‬ .G/K ∼ = H‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ואז‬ ker (ϕ) = K‫ו־‬ Im (ϕ) = H‫ש־‬ ‫כך‬ :‫דוגמא‬ Z/4 · Z ∼ = Z4‫ש־‬ ‫להראות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ϕ (a) = a .ϕ : Z → Z :‫הבאה‬ ‫ההעתקה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫אזי‬ .a ∈ Z ‫עבור‬ (mod 4) ,(4 | k‫ש־‬ ‫כך‬ k ∈ Z ‫מספר‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ker (ϕ) = 4 · Z ‫אזי‬ .Im (ϕ) = Z4‫ו־‬ :‫המשפט‬ ‫ע`פ‬ ,‫לכן‬ Z/4 · Z ∼ = Z4 III ‫חלק‬ ‫ושדות‬ ‫חוגים‬ ‫הגדרה‬ 24 (+) ‫חיבור‬ :‫פעולות‬ ‫שתי‬ ‫מוגדרות‬ ‫שעליה‬ R ‫קבוצה‬ ‫זוהי‬ ‫חוג‬ :‫הבאות‬ ‫הדרישות‬ ‫שמתקיימות‬ ‫כך‬ 12 (·) ‫וכפל‬ ‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ,(‫מהכפל‬ ‫)מתעלמים‬ ‫לחיבור‬ ‫ביחס‬ .1 ,0 ,‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫יש‬ :‫אלה‬ ‫דרישות‬ ‫בין‬ ,‫דרישות‬ ‫חמש‬ ‫כולל‬ ‫)זה‬ .(−a ‫נגדי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ a ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫ולכן‬ :‫מתקיים‬ ,1‫ל־‬ ‫בנוסף‬ .2 ‫חד־ערכית‬ ‫מוגדר‬ a · b ,a, b ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫קשירות‬ (‫)א‬ .a · b ∈ R‫ו־‬ :‫מתקיים‬ a, b, c ∈ R ‫לכל‬ :‫הכפל‬ ‫אסוציאטיביות‬ (‫)ב‬ .a (bc) = (ab) c a, b, c ∈ ‫לכל‬ :‫החיבור‬ ‫מעל‬ ‫הכפל‬ ‫דיסטריבוטיביות‬ (‫)ג‬ :R a (b + c) = ab + ac .i .(a + b) c = ac + bc .ii :‫דברים‬ ‫לשני‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדאים‬ .‫בכפל‬ ‫יחידה‬ ‫לאיבר‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ .‫א‬ .‫לקומוטטיביות‬ ‫דרישה‬ ‫אין‬ ‫בכפל‬ .‫ב‬ ‫חוגים‬ ‫של‬ ‫סוגים‬ 25 ,‫)ז`א‬ ‫קומוטטיבית‬ ‫היא‬ ‫הכל‬ ‫פעולת‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ .(ab = ba ,a, b ∈ R ‫לכל‬ ‫אם‬ .‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ .`1` ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫קיים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫)שילוב‬ ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫־‬ ‫שדה‬ ‫הופכי‬ ‫איבר‬ ‫יש‬ ‫מאפס‬ ‫שונה‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫שבו‬ (‫יחד‬ ‫הקודמים‬ .‫לכפל‬ ‫ההופכי‬ ‫אז‬ ,‫לכפל‬ ‫ביחס‬ ‫הוכפי‬ ‫יש‬ 0 6= a ∈ R ‫לאיבר‬ ‫אם‬ :‫הערה‬ .a−1 ‫ב־‬ ‫יסומן‬ ‫והוא‬ ‫יחיד‬ ‫הוא‬ ‫יכול‬ ‫זה‬ ‫בחבורות‬ ‫כמו‬ ‫אבל‬ ,‫פעולות‬ ‫אותן‬ ‫את‬ ‫מכנים‬ ‫אנחנו‬ ‫שככה‬ ,‫כמובן‬12 .‫אחר‬ ‫משהו‬ 12
  • 13. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫לחוגים‬ ‫דוגמאות‬ 26 Z 26.1 ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫שלמים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬ ‫רק‬ ,‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ ‫הופכי‬ ‫יש‬ ‫איבר‬ ‫לכל‬ ‫לא‬ ‫)אבל‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ .(‫הופכי‬ ‫יש‬ 1, −1‫ל־‬ ...C, R, Q 26.2 .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ (‫שדה‬ ‫כל‬ ‫)או‬ Zn 26.3 ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ n ‫מודולו‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולת‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ .‫יחידה‬ .‫ראשוני‬ ‫הוא‬ n ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ Zn Mn (F) 26.4 ‫מסדר‬ ‫המטריצות‬ ‫על‬ ‫קבוצה‬ Mn (F) ‫ותהי‬ ‫כלשהו‬ ‫שדה‬ F ‫יהי‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ Mn (F) .F ‫מעל‬ n × n ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫לא‬ ‫חוג‬ ‫זה‬ .‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫הרגילים‬ .‫יחידה‬ R = 2 · Z 26.5 ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ‫הזוגיים‬ ‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ..‫יחידה‬ ‫ללא‬ ,‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫היא‬ ‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫הרגילות‬ PX 26.6 .X ‫של‬ ‫החזקה‬ ‫קבוצת‬ PX ‫ותהי‬ ,‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ X ‫תהי‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ PX ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬ .PX = A A ⊆ X .(‫קסור‬ ,‫סימטרי‬ ‫)הפרש‬ A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) . A · B = A ∩ B ‫יחידה‬ ‫איבר‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ ,‫אלו‬ ‫פעולות‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ ,PX .(1 = X) X .0 = ∅ :‫החוג‬ ‫של‬ ‫האפס‬ .A = −A :‫עצמה‬ A ‫היא‬ :A ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫הנגדי‬ ‫האיבר‬ .A + Ac = 1, A · Ac = 0 :‫זה‬ ‫בחוג‬ R × S 26.7 :‫בקבוצה‬ ‫נסתכל‬ ,‫חוגים‬ R, S ‫יהיו‬ ,R × S = (a, b) a ∈ R, b ∈ S :‫הבא‬ ‫באופן‬ R × S ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫נגדיר‬ .(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) .(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d) .‫חוג‬ ‫הוא‬ R × S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ ‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫הוא‬ R ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ :‫הערה‬ .(‫לכפל‬ ‫קשר‬ ‫)בלי‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ,‫חיבוריות‬ ‫אבליות‬ ‫חבורות‬ ‫לגבי‬ ‫שנכון‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ,‫לכן‬ .‫בחוגים‬ ‫בחבבורה‬ a ‫של‬ ‫־ית‬n‫ה־‬ ‫החזקה‬ ‫זוהי‬ na ,n ∈ Z‫ו־‬ a ∈ R ‫עבור‬ .R ‫החיבורית‬ .‫חיבורית‬ ‫בחבורה‬ ‫כמו‬ ‫מתייקמים‬ ‫החזקה‬ ‫כללי‬ .a · 0 = 0 · a = 0 a ∈ R ‫לכל‬ ‫אז‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ :‫טענה‬ ‫אפס‬ ‫מחלקי‬ 27 ‫אם‬ ‫אפס‬ ‫מחלק‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫חוג‬ R ‫יהיה‬ 27.1 ‫הגדרה‬ .ba = 0 ‫או‬ ab = 0‫ש־‬ ‫כך‬ 0 6= b ∈ R ‫וקיים‬a 6= 0 .‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫הם‬ 4, 3 ‫לכן‬ 4 · 3 = 0 :Z6‫ב־‬ :‫למשל‬ ‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫וחוג‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28 ‫שאין‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ 28.1 ‫הגדרה‬ .‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫בו‬ ,‫נכון‬ ‫אינו‬ ‫ההפך‬ ‫אבל‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ F ‫שדה‬ ‫כל‬ :‫הערה‬ .‫שדה‬ ‫אינו‬ ‫אך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ Z :‫למשל‬ :a, b, c ∈ R ‫לכל‬ ‫שמקיים‬ R ‫חוג‬ ‫זהו‬ ‫צימצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ 28.2 ‫הגדרה‬ .a = b ‫אז‬ c 6= 0‫ו־‬ ca = cb ‫או‬ ac = bc ‫אם‬ :‫דוגמאות‬ 4 6= 0, 2 6= 0 ‫אבל‬ 4 · 2 = 0 :‫למשל‬ ‫כי‬ ‫שלמות‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ Z8 .2 6= 6 ‫אבל‬ 4 · 6 = 4 · 2 ‫כי‬ ‫צמצום‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫כן‬ ‫וכמו‬ ‫ואידאל‬ ‫תת־חוג‬ 29 ‫לא‬ ‫חלקית‬ ‫תת־קובצה‬ S ⊆ R ‫ותהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.1 ‫הגדרה‬ ‫אוטומטית‬ ‫מוגדרות‬ R ‫של‬ ‫והכפל‬ ‫החיבור‬ ‫פועלות‬ ‫אז‬ R ‫של‬ ‫ריקה‬ ‫אז‬ ‫אלו‬ ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫מהווה‬ ‫עצמה‬ S ‫אם‬ .S ‫אברי‬ ‫על‬ .R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ S‫ש־‬ ‫אומרים‬ :‫הבאה‬ ‫התכונה‬ ‫את‬ ‫שמקיים‬ R ‫של‬ I ‫תת־חוג‬ ‫זה‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬ I ,‫)ז`א‬ ir ∈ I, ri ∈ I :‫מתקיים‬ i ∈ I ‫ולכל‬ r ∈ R ‫לכל‬ .(‫אצלו‬ ‫נשארות‬ ‫המכפלות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופג‬ (m ∈ Z ‫)כאשר‬ m · Z ‫הינם‬ ‫החוגים‬ ‫תתי‬ ,Z ‫בחוג‬ ,‫למשל‬ ⊕ .‫אידאל‬ ‫הוא‬ m · Z‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫קל‬ .‫בלבד‬ ‫הינם‬ Z‫ב־‬ ‫השונים‬ ‫והאדיאלים‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ Z ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫כל‬ .m ≥ 0, m · Z .[n = ±m ⇐⇒ n · Z = m · Z] ‫אלה‬ ,R‫ב־‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ R‫ו־‬ {0} , R ‫חוג‬ ‫בכל‬ 29.2 ‫הגדרה‬ .‫הטריוויאלים‬ ‫האידאלים‬ ‫נראים‬ ‫היא‬ R ‫של‬ ‫תת־קבוצה‬ ‫אם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ 29.1 ?‫אידאל‬ ‫או‬ ‫תת־חוג‬ .‫חוג‬ R ‫יהי‬ ‫תת־חוג‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.1 ‫מספיק‬ R ‫של‬ ‫תת־חוג‬ S‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= S ⊆ R ‫תהי‬ :‫לבדוק‬ .a − b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ S .1 .a · b ∈ S :‫מתקיים‬ a, b ∈ S ‫לכל‬ :‫לכפל‬ ‫סגורה‬ S .2 13
  • 14. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ ‫אידאל‬ ‫היא‬ ‫האם‬ ‫בדיקה‬ 29.1.2 ‫מספיק‬ R ‫בחוג‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I‫ש־‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ .∅ 6= I ⊆ R ‫תהי‬ :‫לבדוק‬ .‫לחיסור‬ ‫סגורה‬ I .1 :‫מתקיים‬ b ∈ R ‫ולכל‬ a ∈ I ‫לכל‬ ,‫ז`א‬ ,‫מכפלות‬ ‫סופגת‬ I .2 .b · a ∈ I ‫וגם‬ a · b ∈ I .I = R ‫אזי‬ 13 1 ∈ I ‫ואם‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ‫אם‬ 29.3 ‫הערה‬ .a = a · 1 ∈ I :a ∈ R ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫איבר‬ ‫נקרא‬ a ∈ R ‫איבר‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.4 ‫הגדרה‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .a · b = b · a = 1‫ש־‬ ‫כך‬ b ∈ R ‫יש‬ ‫אם‬ ‫הפיך‬ .a−1 ‫ומסומן‬ a ‫של‬ ‫הוהפכי‬ ‫נקרא‬ ‫הוא‬ .‫יחיד‬ ‫)עם‬ ‫בחוג‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬ R∗ ‫ב־‬ ‫מסמנים‬ ‫ונקראת‬ R ‫של‬ ‫הכפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R∗ .R (‫יחידה‬ .R‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫האיברים‬ ‫חבורת‬ ‫מספרים‬ ‫כפל‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חבורה‬ ,Z∗ = {−1, 1} :‫למשל‬ .‫שלמים‬ :‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ ‫עוד‬ .(Zn) ∗ = Z∗ n .1 .F∗ = F − {0} :‫שדה‬ F ‫אם‬ .2 .Mn (F) ∗ = GLn (F) .3 .(‫טריביאלית‬ ‫)חבורה‬ P∗ X = {X} = {e} :‫קבוצה‬ X .4 R ‫אם‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.5 ‫משפט‬ ⇐ 1 ∈ I ⇐ b · a ∈ I ‫כי‬ .I = R ‫אזי‬ 14 a ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫מכיל‬ .I = R ‫שדה‬ ‫הוא‬ R ‫אז‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 29.6 ‫משפט‬ R‫ב־‬ ‫אין‬ ,‫)ז`א‬ .R‫ו־‬ {0} ‫הם‬ R‫ב־‬ ‫היחידים‬ ‫האידאלים‬ ⇐⇒ .(‫טריביאלים‬ ‫לא‬ ‫אידאלים‬ :‫סימון‬ :‫מסמנים‬ a ∈ R ‫לכל‬ . ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ .hai = a · R = a · r r ∈ R .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ hai 29.7 ‫טענה‬ .hai ⊆ J ‫מקיים‬ a ∈ J ‫המקיים‬ R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫כל‬ 29.8 ‫טענה‬ .(a ‫את‬ ‫המכיל‬ R ‫של‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫האידאל‬ ‫הוא‬ hai ,‫)כלומר‬ ‫הראשי‬ ‫האידאל‬ ‫נקרא‬ ‫למעלה‬ ‫בטענה‬ hai ‫האידאל‬ 29.9 ‫הגדרה‬ .a ‫ע`י‬ ‫הנוצר‬ ‫ע`י‬ ‫הנוצר‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫בחוג‬ ‫ראשי‬ ‫אידאל‬ .h3i = 3 · Z :‫למשל‬ ,‫הנ`ל‬ ‫בגרך‬ R ‫של‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬ .‫ראשי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫אידאל‬ ‫כל‬ ‫שבו‬ ‫חוג‬ ‫זו‬ ‫ראשי‬ ‫חוג‬ 29.10 ‫הגדרה‬ .(‫השמאלית‬ ‫בעמודה‬ ⊕ ‫)ראו‬ .Z :‫למשל‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R‫ש־‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬13 .‫כמובן‬ R‫ב־‬ ‫הפיך‬14 ‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ 30 :a, b ∈ R ‫לכל‬ ,‫מקיים‬ S‫ל־‬ R‫מ־‬ ‫הומומורפיזם‬ .‫חוגים‬ S, R ‫יהיו‬ .ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) .1 .ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b) .2 .‫איזומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ‫ועל‬ ‫חח`ע‬ ‫שהוא‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫איזומורפיזם‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫איזומורפים‬ ‫חוגים‬ ‫הם‬ S, R ‫חוגים‬ ‫שני‬ :‫זאת‬ ‫ורושמים‬ ,ϕ : R → S R ∼ = S .‫חוגים‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫זהו‬ :‫הערה‬ ϕ ‫בפרט‬ ‫אז‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕ : R → S ‫אם‬ .S ‫החיבורית‬ ‫לחבורה‬ R ‫החיבורית‬ ‫מהחבורה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ,‫חבורות‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫על‬ ‫שלנו‬ ‫הידע‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ליישם‬ ‫ניתן‬ ‫לכן‬ :‫למשל‬ ,ϕ (0R) = 0S ,a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (−a) = −ϕ (a) ....'‫וכו‬ , a ∈ R ‫לכל‬ ϕ (na) = nϕ (a) ‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫ותמונה‬ ‫גרעין‬ 30.1 .‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ϕ : R → S ‫יהי‬ :ϕ ‫של‬ ‫הגרעין‬ ker (ϕ) = a ∈ R ϕ (a) = 0S ϕ : R → ‫החיבוריות‬ ‫החבורות‬ ‫של‬ ‫ההומומורפיזם‬ ‫של‬ ‫גרעין‬ ‫)זהו‬ .S :ϕ ‫של‬ ‫התמונה‬ Im (ϕ) = ϕ (a) a ∈ R = b ∈ S ∃a ∈ R, ϕ (a) = b ( ) .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ ker (ϕ) 30.1 ‫טענה‬ .S ‫של‬ ‫תת־חוג‬ ‫הוא‬ Im (ϕ) 30.2 ‫טענה‬ a·b ∈ ker (ϕ) ‫מתקיים‬ b ∈ R‫ו־‬ a ∈ ker (ϕ) ‫לכל‬ :( ) ‫הוכחה‬ :‫כי‬ b · a ∈ ker (ϕ)‫ו־‬ ‫מראים‬ ‫דומה‬ ‫ובאופן‬ ϕ (ab) = ϕ (a) · ϕ (b) = 0 · ϕ (b) = 0 .ba ∈ ker (ϕ)‫ש־‬ ker (ϕ) 6=‫ש־‬ ‫מחבורות‬ ‫לנו‬ ‫וידוע‬ ‫מכפולת‬ ‫סופג‬ ker (ϕ)‫ש־‬ ‫הראנו‬ .(‫אידאל‬ ‫הוא‬ ‫)ולכן‬ ‫לחיסור‬ ‫סגור‬ ‫גם‬ ‫ושהוא‬ ∅ ‫מנה‬ ‫חוג‬ 30.2 ‫של‬ ‫תת־חבורה‬ ‫הוא‬ I ‫בוודאי‬ .R‫ב־‬ ‫אידאל‬ I ‫ויהי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ ‫תת־‬ ‫היא‬ I ‫בוודאי‬ ‫לכן‬ (‫אבלית‬ ‫)שהיא‬ R ‫החיבורית‬ ‫החבורה‬ .R/I‫כ־‬ ‫המנה‬ ‫חבורת‬ ‫מוגדרת‬ ‫לכן‬ ,R ‫של‬ ‫נורמלית‬ ‫חבורה‬ 14
  • 15. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ R/I ‫המנה‬ ‫חברות‬ ‫מבנה‬ 30.2.1 ,‫כלומר‬ :a ∈ R ‫כאשר‬ I + a ‫הינם‬ ‫האיברים‬ .R/I = I + a a ∈ R :R/I‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫שיוויון‬ .(‫מחלקות‬ ‫)שוייון‬ a − b ∈ I ⇐⇒ I + a = I + b :R/I‫ב־‬ ‫הפעולה‬ .(I + a) · (I + b) = I + (a + b) .I + 0 = I :(‫)אפס‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ − (I + a) = I + (−a) :(‫)הופכי‬ ‫נגדי‬ .‫אבלית‬ ‫חבורה‬ ‫היא‬ R/I :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫כפל‬ ‫פעולת‬ R/I ‫על‬ ‫נגדיר‬ ,‫כעת‬ .(I + a) · (I + b) = I + a · b ‫תלויה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ,‫)כלומר‬ ‫היטב‬ ‫מוגדרת‬ ‫הנ`ל‬ ‫הפעולה‬ :‫טענה‬ .(‫בנציגים‬ ‫ופעולת‬ ‫שציינו‬ ‫החיבור‬ ‫לפעולת‬ ‫ביחס‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R/I 30.3 ‫טענה‬ ‫הוא‬ ‫הכפל‬ (‫ש־א‬ ‫לבדוק‬ ‫רק‬ ‫צריך‬ ‫זה‬ ‫)בשביל‬ .‫שהגדרנו‬ ‫הכפל‬ ‫מימין‬ ‫דיסטריביוטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ג‬ .‫אסוציאטיבי‬ ‫הכפל‬ (‫ב‬ .‫קשיר‬ .(‫הוכח‬ ‫כבר‬ ‫השאר‬ ‫כל‬ .‫ומשמאל‬ .R‫ב־‬ I ‫של‬ ‫המנה‬ ‫חוג‬ ‫נקרא‬ R/I 30.4 ‫הגדרה‬ .R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.5 ‫הערה‬ ‫איבר‬ .R/I ‫גם‬ ‫כך‬ ‫אז‬ ,‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 30.6 ‫הערה‬ .I + 1 :‫הוא‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ R/I ‫של‬ ‫היחידה‬ .0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄ :‫הינן‬ ‫המחלקות‬ .Z/5 · Z :‫דוגמה‬ . Z/h5i :Z/5 · Z ‫במקום‬ ‫לרשום‬ ‫ניתן‬ ,‫כמו־כן‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ 30.3 I 6= R ‫אם‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫נקרא‬ R ‫בחוג‬ I ‫אידאל‬ 30.7 ‫הגדרה‬ .I $ J $ R‫ש־‬ ‫כך‬ R ‫של‬ J ‫אידאל‬ ‫קיים‬ ‫ולא‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫אם‬ :R‫ב־‬ J ‫אידאל‬ ‫ולכל‬ I 6= R ⇐⇒ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I . J = R‫ש־‬ ‫או‬ J = I‫ש־‬ ‫או‬ ‫אז‬ I ⊆ R :‫הינם‬ ‫בו‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ ‫אזי‬ ,Z6 ‫ניקח‬ :‫למשל‬ ,h0i = {0} ,h1i = Z6 ,h3i = {0, 3} ,h2i = {0, 2, 4} ,h4i = {0, 4, 2} = h2i .h5i = {0, 5, 4, 3, 2, 1} = Z6 ‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫קיים‬ ‫לא‬ ‫כי‬ ‫מקסימליים‬ ‫אידאלים‬ ‫הם‬ ‫־‬ h2i , h3i :h3i ‫את‬ ‫ניקח‬ ,‫למשל‬ ,`‫`בניהם‬ ‫לשים‬ ‫שנוכל‬ .{0, 3} $ J $ Z6‫ש־‬ ‫כך‬ ,J 6= Z6 ‫אחר‬ ‫אידאל‬ ‫שום‬ ‫אין‬ .h2i ‫לגבי‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ,‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ h3i ‫ולכן‬ ‫אבל‬ ,‫אידאל‬ ‫הוא‬ h4i‫ש־‬ ‫לומר‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫היינו‬ :h2i ‫לגבי‬ ‫הערה‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ h2i‫ש־‬ ‫פשוט‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ h2i = h4i‫ש־‬ ‫בגלל‬ .h4i‫ה־‬ ‫על‬ ‫גם‬ ‫ישליך‬ ‫וזה‬ ‫מקסימלי‬ .(J = I‫ש־‬ ‫נקבל‬ ‫ההגדרה‬ ‫ע`פ‬ ‫כזה‬ ‫במקרה‬ ‫)כי‬ ‫כאשר‬ hmi = m·Z :‫הם‬ ‫השונים‬ ‫האידאלים‬ Z ‫בחוג‬ :‫דוגמא‬ .m ∈ N .h1i = Z ,h0i = {0} :‫כמובן‬ :n, m 1 ‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ m ⇐⇒ (n | m ⇐⇒ m · Z ⊂ n · Z) I ‫ויהי‬ ,(1 6= 0) ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 30.8 ‫משפט‬ :‫אז‬ R‫ב־‬ ‫אידאל‬ .R‫ב־‬ ‫מקסימלי‬ ‫אידאל‬ ‫הוא‬ I ⇐⇒ ‫שדה‬ ‫הוא‬ R/I ‫פולינומים‬ ‫חוגי‬ 31 ‫הגדרות‬ 31.1 R ‫מעל‬ ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.1 ‫הגדרה‬ :‫מהצורה‬ `‫פורמלי‬ ‫`ביטוי‬ ‫זהו‬ ‫ו־‬ n ∈ N ‫כאשר‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn . a1, . . . , an ∈ R p (x) ‫פולינום‬ .‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ R ‫יהי‬ 31.2 ‫הגדרה‬ :‫מהצורה‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫של‬ ‫אינסופית‬ ‫סדרה‬ ‫הוא‬ R ‫מעל‬ .i ≥ n0 ‫לכל‬ ai = 0‫ש־‬ n0 ∈ N ‫שקיים‬ ‫כך‬ p (x) = (a0, a1, . . .) :‫סימון‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ R) .R ‫מעל‬ ‫הפולינומים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ = R [X] :‫מסמנים‬ .(‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫ולעומת‬ R‫ב־‬ ‫איברים‬ ‫הם‬ ‫המקדמים‬ ‫בפולינום‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬ .N‫ב־‬ ‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫אלו‬ ‫החזקות‬ ‫זאת‬ .(R‫ב־‬ ‫הם‬ ‫להציב‬ ‫יכולים‬ ‫שאנחנו‬ ‫־ים‬x‫ה־‬ ‫גם‬ ,‫)כמו־כן‬ ‫פולינומים‬ ‫שיווייון‬ 31.2 ‫הם‬ q (x) = (b0, b1, . . .)‫ו־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫פולינומים‬ ‫שני‬ .i ‫לכל‬ ai = bi ‫אם‬ (p (x) = q (x) ‫)בסימון‬ ‫שווים‬ R [X] ‫על‬ ‫וכפל‬ ‫חיבור‬ ‫פעולות‬ 31.3 ‫באופן‬ ‫וחיבור‬ ‫כפל‬ ‫מגדירים‬ p (x) , q (x) ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫עבור‬ : ‫הבא‬ ‫חיבור‬ 31.3.1 p (x) + q (x) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . ) ‫כפל‬ 31.3.2 p (x) · q (x) = (c0, c1, . . . ) :k ∈ N ‫לכל‬ ‫כאשר‬ ck = k X i=0 ai · bk−i = X i+j=k aibj ‫לפעולות‬ ‫ביחס‬ ‫יחידה‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ R [X] 31.3 ‫משפט‬ .‫אלו‬ ,p (x) = (0, 0, 0, . . .) ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ ‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫אפס‬ ‫איבר‬ .p (x) = (1, 0, 0, . . .) :‫זה‬ ‫בחוג‬ ‫היחידה‬ ‫איבר‬ ‫כ־‬ p (x) = (a0, a1, . . .) ‫הפולינום‬ ‫את‬ ‫לסמן‬ ‫נהוג‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · 15
  • 16. ‫אלגבריים‬ ‫מבנים‬ ‫שיבאן‬ '‫פרג‬ ‫דר‬ ‫תשעד‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫סמסטר‬ p (x) ∈ R [X] ‫פולינום‬ ‫של‬ (degree) ‫המעלה‬ 31.4 ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫השלם‬ ‫המספר‬ ‫להיות‬ ‫ומוגדרת‬ deg p (x) ‫מסומנת‬ ‫המעלה‬ ‫לכן‬ ,‫כזה‬ n ‫אין‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ .an 6= 0 ‫שעבורו‬ n .15 ‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫של‬ p (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · :‫הכתיבה‬ ‫בצורת‬ .‫מונום‬ ‫נקרא‬ aixi ‫במונום‬ ‫המקדם‬ ‫הוא‬ ai .‫מונומים‬ ‫של‬ ‫כסכום‬ ‫נרשום‬ ‫פולינום‬ .aixi ‫)משמיטים‬ ‫אפסים‬ ‫שלהם‬ ‫שהמקדמים‬ ‫מונומים‬ ‫רושמים‬ ‫לא‬ ‫בד`כ‬ .(‫אותם‬ ‫אם‬ :‫בפרט‬ .R [X] ‫גם‬ ‫כך‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.4 ‫הערה‬ .‫אפס‬ ‫מחלקי‬ ‫אין‬ F [X]‫ב־‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ F :‫מתקיים‬ ‫תמיד‬ R [X]‫ב־‬ 31.5 ‫הערה‬ deg (p (x) · deg q (x)) ≤ deg p (x) · deg q (x) :‫אז‬ (‫שדה‬ ‫)ופרט‬ ‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫ואם‬ deg (p (x) · q (x)) = deg p (x) + deg q (x) ‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שלמות‬ ‫תחום‬ ‫הוא‬ R ‫אם‬ 31.6 ‫טענה‬ p (x) = a (‫קבועים‬ ‫)פולינומים‬ 0 ‫ממעלה‬ ‫הפולינומים‬ ‫הם‬ R [X] .R‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫הוא‬ a ‫כאשר‬ F [X]‫ב־‬ ‫ההפיכים‬ ‫הפולינומים‬ ‫אז‬ ,‫שדה‬ ‫הוא‬ F ‫אם‬ 31.7 ‫מסקנה‬ .0 6= a ∈ F ‫כשאר‬ p (x) = a ‫הם‬ p (x) = 1, p (x) = :‫הפיכים‬ ‫פולינומים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ Z [X] ‫ב־‬ :‫למשל‬ .−1 ,(‫שדה‬ F) F [X] ‫יהי‬ 31.8 ‫משפט‬ ‫קיימים‬ (b (x) 6= 0 ‫)כאשר‬ a (x) , b (x) ∈ F [X] ‫לכל‬ ,‫אזי‬ .a (x) = q (x) b (x) + r (x)‫ש־‬ ‫כך‬ ‫יחידים‬ ‫פולינומים‬ .deg (r (x)) ≤ deg (q (x)) ‫או‬ r (x) = 0 ‫כאשר‬ ‫נקרא‬ r (x) ,b (x)‫ב־‬ a (x) ‫של‬ ‫החילוק‬ ‫מנת‬ ‫נקרא‬ q (x) .‫השארית‬ R ‫כאשר‬ R [X] ‫לחוג‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫האחרון‬ ‫המשפט‬ ‫את‬ :‫הערה‬ ‫שהמקדם‬ ‫לדרוש‬ ‫צריך‬ .b (x) ‫על‬ ‫תנאי‬ ‫עם‬ ‫קומוטטיבי‬ ‫חוג‬ ‫הוא‬ .R [X]‫ב־‬ ‫הפיך‬ ‫איבר‬ ‫יהיה‬ ‫העליון‬ ‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫שורש‬ 31.5 :‫העתקה‬ ‫נגדיר‬ c ∈ F ‫לכל‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ ϕc : F [X] → F ∀p (x) ∈ F [X] : ϕc (p (x)) = p (c) :‫אזי‬ ,p (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · anxn ‫אם‬ ?p (c) ‫זה‬ ‫מה‬ .p (c) = a0 + a1 · c + a2 · c2 + · · · + ancn p (x) , q (x) ∈ ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫חוגים‬ ‫של‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫הוא‬ ϕc :F [X] ϕc (p (x) + q (x)) = ϕc (p (x)) + ϕc (q (x)) ϕc (p (x) · q (x)) = ϕc (p (x)) · ϕc (q (x)) (c ‫)הצבת‬ ‫הצבה‬ ‫הומומורפיזם‬ ‫נקרא‬ ϕc .−∞ ‫היא‬ ‫האפס‬ ‫פולינום‬ ‫שמעלת‬ ‫אומרים‬ ‫לחילופין‬ ‫או‬15 .ker (ϕc) = n p (x) ∈ F [x] p (c) = 0 o ,Im (ϕc) = F p (c) = 0 ‫אם‬ p (x) ∈ F [X] ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ∈ F‫ש־‬ ‫אומרים‬ . b (x) ‫את‬ ‫מחלק‬ a (x)‫ש־‬ ‫אומרים‬ R [X]‫ב־‬ 31.9 ‫הגדרה‬ ‫ש־‬ ‫כך‬ c (x) ∈ R [X] ‫קיים‬ ‫אם‬ a (x) | b (x) ‫ורושמים‬ .a (x) · c (x) = b (x) .(‫כאן‬ ‫כאלה‬ ‫במקרים‬ ‫נתעסק‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫)אבל‬ (4xn + 1) | 1 ‫־‬ Z8 [X]‫ב־‬ ‫הוא‬ c ∈ F ‫אם‬ .p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.10 ‫משפט‬ :‫אז‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ 16 (x − c) | p (x) p (2) = .p (x) = x3 +x2 +2x+2 ‫את‬ ‫ניקח‬ Z3 [X]‫ב־‬ :‫דוגמה‬ .(x − 2) | p (x) ‫כלומר‬ .p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ 2 ‫לכן‬ 0 .p (x) = (x − 2) · a (x) ‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) ∈ Z3 [X] ‫קיים‬ ,‫כלומר‬ ‫עם‬ ‫חילוק‬ ‫)ע`י‬ a (x) ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫בקלות‬ ‫ניתן‬ ,deg (a (x)) = 2 .(0 ‫שארית‬ ‫לקבל‬ ‫חייבים‬ .‫שארית‬ .p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ c ∈ F ‫ויהי‬ p (x) ∈ F [X] ‫יהי‬ 31.11 ‫הגדרה‬ ‫נקרא‬ (x − c) m | p (x) ‫שמקיים‬ ‫ביותר‬ ‫הגדול‬ m ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫של‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c ‫אם‬ .p (x) ‫של‬ c ‫השורש‬ ‫של‬ (‫)האלגברי‬ ‫הריבוי‬ .1 ≤ m ≤ deg (p (x))‫ו־‬ ‫כזה‬ m ‫אחד‬ ‫שקיים‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ p (x) ‫הוא‬ ‫אחרת‬ ,m = 1 ‫אם‬ p (x) ‫של‬ ‫פשוט‬ ‫שורש‬ ‫הוא‬ c‫ש־‬ ‫אומרים‬ .‫מרובה‬ ‫שורש‬ ‫נקרא‬ ‫של‬ (F‫)מ־‬ ‫שונים‬ ‫שורשים‬ ‫הם‬ c1, ..., ck ‫אם‬ 31.12 ‫מסקנה‬ :‫אזי‬ F [X]‫מ־‬ p (x) ‫פולינום‬ .deg (p (x)) ≥ k ‫ולכן‬ (x − c1)·(x − c2) · · · (x − ck) | p (x) ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אז‬ deg (p (x)) = n ‫אם‬ ‫לכן‬ .‫שונים‬ ‫שורשים‬ n ‫ממעלה‬ p (x) ∈ F [X] ‫פולינום‬ .‫שדה‬ F ‫יהי‬ 31.13 ‫הגדרה‬ ‫פולינומים‬ ‫קיימים‬ ‫לא‬ ‫אם‬ F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫פולינום‬ ‫נקרא‬ ‫חיובית‬ ‫כאשר‬ p (x) = a (x) · b (x)‫ש־‬ ‫כך‬ a (x) , b (x) ∈ F [X] .(p (x) ‫ממעלת‬ ‫)וקטנה‬ deg (a (x)) , deg (b (x)) 0 (F ‫שדה‬ ‫מעל‬ ‫בפולינומים‬ ‫)מדובר‬ :‫הערות‬ .F ‫מעל‬ ‫אי־פריק‬ ‫הוא‬ F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫כל‬ .1 ‫אזי‬ ,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫יש‬ ‫ואם‬ deg (p (x)) 1 ‫אם‬ .2 .F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫פולינום‬ ‫הוא‬ p (x) ,F ‫מעל‬ ‫פריק‬ ‫הוא‬ p (x) ‫אפ‬ .‫ז`א‬ ,‫נכון‬ ‫אינו‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .3 .F‫ב־‬ p (x) ‫של‬ ‫שורש‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫לא‬ ‫אז‬ :‫אבל‬ ,‫שורש‬ ‫יאן‬ ‫לפולינום‬ ,p (x) = x4 +1 ∈ R [X] :‫למשל‬ .x4 + 1 = x2 − x + 1 x2 + x + 1 .3 ‫או‬ 2 ‫יהיה‬ deg (p (x)) ‫אם‬ ‫נכון‬ ‫יהיה‬ ‫כן‬ 2 ‫של‬ ‫ההפך‬ .4 ,F‫ב־‬ p (x)‫ל־‬ ‫שורש‬ ‫ואין‬ deg (p (x)) = 2 or 3 ‫אם‬ :‫ז`א‬ .F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x) ‫אזי‬ :F [X]‫ב־‬ 3 ‫או‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ‫עבור‬ ,‫כלומר‬ .x‫ב־‬ ‫שורשים‬ p (x)‫ל־‬ ‫אין‬ ⇐⇒ F [X]‫ב־‬ ‫פריק‬ ‫אי‬ p (x) :‫דוגמאות‬ ‫כמה‬ :Z2 [X]‫ב־‬ 2 ‫ממעלה‬ ‫פריקים‬ ‫אי‬ ‫פעולינום‬ ‫בתוך‬ ‫שנמצא‬ ‫הפולינום‬ ‫־‬ x2 , x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1 ‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ Z2 [X]‫ב־‬ ‫שורש‬ ‫לו‬ ‫שאין‬ ‫היחיד‬ ‫הוא‬ ‫המלבן‬ .‫פריק‬ ‫שאינו‬ .F [X]‫ב־‬ 1 ‫ממעלה‬ ‫פולינום‬ ,x − c16 16