Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que ...
Apunte (#3). Generalización del teorema de                                  Pitágoras.                                  Pa...
"En todo triángulo rectángulo un cateto esmedia proporcional entre la hipotenusa y suproyección sobre ella" Teorema de Pit...
Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que ...
Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras.                                            Para los semicírculos de ...
Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumandoresulta:                             ...
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Pitagoras

  1. 1. Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico deltriángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienenel mismo aspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y susimétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláterosiguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hacecoincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ sonequivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte deellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.Apunte (#2).Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema dePitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de laconstrucción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuaciónconstruimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadradoconsta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es 4 ( 1/2 a b) = 2 a by un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.
  2. 2. Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras. Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros por resultaSi las superficies S, S´ de dondey S´´ son semejantes, Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + entonces Área (SemicírculoS´´)Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. El triángulo ABC es rectángulo en C. Teorema del cateto. Teorema de la altura.En el triángulo ADC En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta: h = m.tag(A) h = n.tag(B) Multiplicando miembro a miembro ambasEn el triángulo BCA expresiones h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n (puesMultiplicando miembro a miembro ambas tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).expresiones Es decir: "En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"Es decir:
  3. 3. "En todo triángulo rectángulo un cateto esmedia proporcional entre la hipotenusa y suproyección sobre ella" Teorema de Pitágoras.Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumandoresulta: a 2 = c.n b 2 = c.m a + b = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2 2 2 Apunte (#5). En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/cde donde MN = a 2/c. Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la (A partir de estos datos podemos comprobar que hipotenusa (PT) y por P y Tperependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los triángulos A T2 = A T3 + A T4 rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; triángulo rectángulo PST. ver Apunte (#3)). La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4. Evidentemente: Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4) Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando las expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.
  4. 4. Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABCrespecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismoaspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir conABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos deambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.Apunte (#2).Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es lasiguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos uncuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta decuatro triángulos rectángulos cuya área es 4 ( 1/2 a b) = 2 a by un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.
  5. 5. Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras. Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros por resulta de donde Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área (SemicírculoS´´) Si las superficies S, S´ y S´´ son semejantes, entonces Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. El triángulo ABC es rectángulo en C. Teorema del cateto. Teorema de la altura.En el triángulo ADC En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta: h = m.tag(A) h = n.tag(B) Multiplicando miembro a miembro ambasEn el triángulo BCA expresiones h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n (puesMultiplicando miembro a miembro ambas tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).expresiones Es decir: "En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"Es decir:"En todo triángulo rectángulo un cateto esmedia proporcional entre la hipotenusa y suproyección sobre ella" Teorema de Pitágoras.
  6. 6. Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumandoresulta: a 2 = c.n b 2 = c.m a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2 Apunte (#5). En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/cde donde MN = a 2/c. Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la (A partir de estos datos podemos comprobar que hipotenusa (PT) y por P y Tperependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los triángulos A T2 = A T3 + A T4 rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; triángulo rectángulo PST. ver Apunte (#3)). La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4. Evidentemente: Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4) Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando la expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.

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