EJERCIO RESUELTO

1. Ejercicios resueltos .1
1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales ha establecido un precio de
venta de $4000, $4500 y $4100 por galón respectivamente. Para la producción de estos
combustibles, la compañía cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000
galones de petróleo refinado. Además se ha establecido que el costo de galón de petróleo crudo es
3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe
contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo refinado; la gasolina extra debe contener 30%
de petróleo crudo y 70% de petróleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos
petróleos. Plantee el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa.
--------------- P. CRUDO P.
REFINADO
PRECIO/GALON
CORRIENTE 40% 60% $4000
EXTRA 30% 70% $4500
ACPM 50% 50% $4100
DISPONIBILIDAD 5000
galones
7000
galones
PRECIO/GALON $3000 $3500
->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de programación lineal:
X1= Galón de gasolina corriente; X2= Galón de gasolina extra; X3= Galón de ACPM; X4= Galón de
petróleo crudo; X5= Galón de petróleo refinado.
->Ahora definimos nuestra función objetivo, que es:
Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)
->Y las restricciones a las que está sometido nuestro problema son:
RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:
R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 ≤ 5000
RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:
R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 ≤ 7000
RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:
X1,X2,X3,X4,X5 ≤ 0
Camino mínimo
Los problemas conocidos como problemas del camino mínimo o camino más corto, tratan como su
nombre indica de hallar la ruta mínima o más corta entre dos puntos. Este mínimo puede ser la
distancia entre los puntos origen y destino o bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un
punto a otro. Se aplica mucho para problemas de redes de comunicaciones.
Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sin embargo existen otros
métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el de Bellman-Ford.
Ejemplo
Una persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Está estudiando cual es el
trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras y sus distancias están
representadas en la figura siguiente:

2. Solución
Se determinan las variables de decisión, en este caso:
 Xij: acción de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay desplazamiento y 1 que sí
hay desplazamiento)
Se determina la función objetivo:
 Minimizar Z = 12·X12 + 4·X13 + 5·X24 + 3·X25 + 2·X34 + 10·X36 + 5·X42 + 2·X43 + 10·X45 +
3·X52 + 10·X54 + 2·X57+ 10·X63 + 4·X67
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables
de decisión. Dichas restricciones se deducen del balance entre los posibles caminos que parten
desde cada pueblo y los que llegan hasta él (obviando los caminos que nos devuelvan al punto de
partida y los que provengan del punto de destino):
 Balance de caminos del pueblo 1: X12 + X13 = 1
 Balance de caminos del pueblo 2: X24 + X25 - X12 - X42 - X52 = 0
 Balance de caminos del pueblo 3: X34 + X36 - X13 - X43 - X63 = 0
 Balance de caminos del pueblo 4: X42 + X43 + X45 - X24 - X34 - X54 = 0
 Balance de caminos del pueblo 5: X52 + X54 + X57 - X25 - X45 = 0
 Balance de caminos del pueblo 6: X63 + X67 - X36 = 0
 Balance de caminos del pueblo 7: - X57 - X67 = -1
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables:
que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores,...
En este caso las restricciones son que las variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino,
1 se toma), y por lo tanto no pueden ser negativas:
 Xij ≥ 0
 Xij es booleano
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una
función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está
sujeta a una serie de
restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales
a1x + b1 y ≤ c1
a2x + b2 y ≤c2
... ... ...
an x + bn y ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

3. Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones,
determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o
zona de soluciones factibles.
Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama
solución máxima (o mínima según el caso).
Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.

4. Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando
gráficamente las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones
factibles (si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para
ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el
problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existenci a de solución si el
recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m
de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster.
Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suminis trar el fabricante a los
almacenes para que éstos consigan una venta máxima?
1Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
2Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodón 1 1,5 750
poliéster 2 1 1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos
dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un
punto del plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500

5. Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se
cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al
sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
1º23º
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto d e las soluciones
factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Éstos
son las soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €
f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 €
f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un
beneficio de 28750 €.
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster.
Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesita 1.5 m de
algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en $ 50 y de la chaqueta en $40.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que
estos consignan una venta máxima?
1. Elección de las incógnitas.
 X= número de pantalones

6.  Y= número de chaquetas
2. Función objetivo
 F(x,y)=50x + 40y
3. Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Pantalones Chaquetas Disponibles
Algodón 1 1.5 750
Poliéster 2 1 1000
 X + 1.5y < 750 à 2x + 3y< 1500
 2x + y < 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones
más:
 X>0
 Y>0
4. Halla el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x > 0 e y > 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y < 1500, para ello tomamos un punto del plano, por
ejemplo el (0,0).
Como 0 < 1500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la
desigualdad.
De modo análogo resolver 2x + y < 1000.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de
inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

7. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a
los sistemas:
2x + 3y = 1500; x= 0 (0,500)
2x + y = 1000; y= 0 (500,0)
2x + 3y = 1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6. Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
 F(x,y) = 50x + 40y
 F(0,500) = 50*0 + 40*500 = $20000
 F(500,0) = 50*500 + 40*0 = $ 25000
 F(375,250) = 50*375 + 40*250 = $28750
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de $
28750.