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Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction

Série de TD 1 avec correction.
Module d'analyse convexe pour le master Mathématiques et Applications à la FST de Settat - Université Hassan 1er.
Vidéos des corrections:

Exercice 1 : https://youtu.be/iQZPyBzM6

Exercice 2/3 : https://lnkd.in/dfbgvsv

Exercice 4/5 : https://lnkd.in/dfbgvsv

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Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction

  1. 1. 1 FST DE SETTAT Settat, le : 16/12/2020 Analyse Convexe TD – Série 1 Exercice 1 : Soit A un ensemble non vide de Rn . Montrer que A est convexe si et seulement si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs. Exercice 2 : Montrer que l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires A = {x | Mx = b}, M ∈ Rm×n et b ∈ Rm , est un sous-espace affine de Rn . Exercice 3 : Soit A un ensemble convexe non vide de Rn . Montrer que la couverture affine de A notée aff(A) est égale à la couverture affine de intr(A). Exercice 4 : Soit A un ensemble convexe avec A o non vide de Rn et xA o . Soit D une droite de Rn qui passe par x. a- Montrer que D∩A possède au plus deux points. b- Montrer que si A est compact et x A o alors D∩A possède exactement deux points. Exercice 5 : Soit A un ensemble ouvert relatif de Rn . Montrer que conv(A) est un ouvert relatif de Rn .
  2. 2. 2 Exercices avec correction Exercice 1 : Soit A un ensemble non vide de Rn . Montrer que A est convexe si et seulement si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs. Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/iQZPyBzM6Go) Si A est convexe, alors a,bR, a>0 et b>0, x,yA, on a a a+b x + b a+b y ∈A Donc ax + by  (a+b)A Ainsi a,bR, a>0 et b>0, aA + bA  (a + b)A Le résultat est immédiat si a>0 et b=0 ou a=0 et b>0. Par ailleurs, il est évident que (a + b)A  aA + bA. Donc si A est convexe, alors (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs (ou nuls). Inversement, si (a + b)A = aA + bA pour tout a, b réels positifs. Soient x,yA et ]0,1[, on a x + ( 1 - )y  A + ( 1 - )A Or on a >0 et ( 1 - )>0, donc A + ( 1 - )A =( + ( 1 - ))A = A. Finalement x + ( 1 - )y  A. Ce qui achève la démonstration. Exercice 2 : Montrer que l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires A = {x | Mx = b}, M ∈ Rm×n et b ∈ Rm , est un sous-espace affine de Rn . Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/Ryl1hk7ByJM) On peut toujours écrire M = ( m0,0 m0,1 m1,0 m1,1 ⋯ m0,n ⋯ m1,n ⋮ ⋮ mm,0 mm,1 ⋱ ⋮ ⋯ mm,n ) 𝑒𝑡 b = ( b0 b1 ⋮ bm ) Posons 𝐌𝐢 = ( mi,0 mi,1 ⋮ mi,n ) On a
  3. 3. 3 𝐀 = {𝐱𝐑n | 𝐌𝐱 = 𝐛} = ⋂ {𝐱𝐑n | 𝐌𝐢 𝐱 = 𝐛𝐢} 𝐢=𝟎,𝐦 On en déduit que A est l’intersection de m sous-espaces affines de Rn (en fait des hyperplans de Rn ). Donc A est lui-même un sous espace affine de Rn . Exercice 3 : Soit A un ensemble convexe non vide de Rn . Montrer que la couverture affine de A notée aff(A) est égale à la couverture affine de intr(A). Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/Ryl1hk7ByJM) Comme intr(A)  A, alors aff(intr(A))  aff(A). On va maintenant montrer que aff(A)  aff(intr(A)). On peut supposer sans perte de généralité que aff(A) = Rn . Soit x aff(A), donc x= ∑αixi n+1 i=1 , xi∈A, αi𝐑 , ∑αi n+1 i=1 =1 Comme A est non vide, alors intr(A)=A o est non vide. Posons a A o . Puisque xi ∈A, i=1,n+1 alors [a , xi[  A o . Cela montre que nous avons nécessairement xi ∈aff(A o )= aff(intr(A)). Donc x aff(intr(A)) comme combinaison affine d’éléments de aff(intr(A)). Cela achève la démonstration. Exercice 4 : Soit A un ensemble convexe avec A o non vide de Rn et xA o . Soit D une droite de Rn qui passe par x. c- Montrer que D∩A possède au plus deux points. d- Montrer que si A est compact et x A o alors D∩A possède exactement deux points. Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/IbNEyJtaKno) a- Nous allons montrer que toute demi-droite issue de x ne peut rencontrer A qu’au maximum un point. Soit L une telle demi-droite, on peut toujours écrire L={x+d, 0} où d est un vecteur non nul de R n . Soit yL∩A, on peut écrire y=x+yd avec y0. On a [x , y[  A o , donc {x+d, <y}∩A=. En raisonnant de la même manière on peut montrer que {x+d, >y}∩A= car sinon y va appartenir à A o , ce qui est en contradiction avec yA Remarque : On peut déduire facilement de la démonstration précédente que si yL∩A, si et seulement si y = x+y d avec y = Sup{0 | x+dA} est un nombre positif fini.
  4. 4. 4 b- On suppose que A est compact et x A o . Il existe d, un vecteur non nul de R n tel que D={x+d, R}. D∩A est nécessairement un intervalle convexe et compact, qui peut ainsi s’écrire [a , b] avec a = x-a d avec a = Sup{0 | x-dA} et b = x+b d avec b = Sup{0 | x+dA}. D’après la question (a) il est facile de voir que D∩A={a , b}. Exercice 5 : Soit A un ensemble ouvert relatif de Rn . Montrer que conv(A) est un ouvert relatif de Rn . Corrigé : (Youtube : https://youtu.be/IbNEyJtaKno) Pour simplifier la démonstration, on va supposer que A est ouvert dans R n . Soit xconv(A), on peut écrire x = ∑αixi n+1 i=1 , xi∈A, αi ≥ 0, ∑αi n+1 i=1 =1 A étant ouvert, on peut trouver >0 tel que B(xi, )A pour i=1,n+1. On a x  ∑αi n+1 i=1 𝐁(xi , )  conv(A) Or l'ensemble ∑ αi n+1 i=1 𝐁(xi , ) est ouvert. Finalement conv(A) est ouvert.

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