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Fonction distance à un ensemble

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Bonjour

Analyse Convexe : Distance à un ensemble

Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er.

Vidéo :

https://youtu.be/G9c-bhehgAo

Cordialement

Pr JAOUAD DABOUNOU
FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN 1er

Publicado en: Educación
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Fonction distance à un ensemble

  1. 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Fonction distance et projection Définition (Fonction distance): Soit A un ensemble non vide de R n , on appelle fonction distance associée à A, la fonction notée dA et définie pour un point x quelconque de R n par : dA(x)=inf{||x - y||, yA}. Proposition : Soit A un ensemble non vide de R n , et x un point quelconque de R n alors dA(x)= 0 si et seulement si xA̅. Démonstration : Si dA(x) = 0, alors pour tout kN*, ykA tel que 0 = dA(x)  ||x - yk|| < dA(x) + 1 k = 1 k Cela montre que la suite (yk) d’éléments de A converge vers x, et donc xA̅. Inversement, supposons que xA̅. Donc on peut construire une suite (yk), d’éléments de A, qui converge vers x, et pour chaque kN, nous avons 0  dA(x)  ||x - yk||. Par passage à la limite, on voit facilement que nécessairement dA(x) = 0. Proposition : Soit A un ensemble non vide de R n , la fonction distance dA est Lipshitzienne sur R n de rapport 1. Démonstration : Soient x,zR n , on a : yA, ||x - y||  ||x - z|| + ||z - y|| En passant à l’inf sur A, on obtient : inf{||x - y||, yA}. inf{||x - y||, yA}  ||x - z|| + inf{||z - y||, yA} Donc dA(x)  ||x - z|| + dA(z) ce qui peut s’écrire : dA(x) - dA(z)  ||x - z|| En échangeant les rôles de x et de z on peut obtenir aussi dA(z) - dA(x)  ||x - z||. Donc finalement | dA(z) - dA(x) |  ||x - z||.

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