Bonjour Analyse Convexe : Distance à un ensemble Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er. Vidéo : https://youtu.be/G9c-bhehgAo Cordialement Pr JAOUAD DABOUNOU FST DE SETTAT UNIVERSITE HASSAN 1er

1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Fonction distance et projection
Définition (Fonction distance): Soit A un ensemble non vide de R
n
, on appelle fonction distance
associée à A, la fonction notée dA et définie pour un point x quelconque de R
n
par :
dA(x)=inf{||x - y||, yA}.
Proposition : Soit A un ensemble non vide de R
n
, et x un point quelconque de R
n
alors dA(x)= 0 si
et seulement si xA̅.
Démonstration :
Si dA(x) = 0, alors pour tout kN*, ykA tel que
0 = dA(x)  ||x - yk|| < dA(x) +
1
k
=
1
k
Cela montre que la suite (yk) d’éléments de A converge vers x, et donc xA̅.
Inversement, supposons que xA̅. Donc on peut construire une suite (yk), d’éléments de A, qui
converge vers x, et pour chaque kN, nous avons 0  dA(x)  ||x - yk||. Par passage à la limite, on
voit facilement que nécessairement dA(x) = 0.
Proposition : Soit A un ensemble non vide de R
n
, la fonction distance dA est Lipshitzienne sur R
n
de rapport 1.
Démonstration : Soient x,zR
n
, on a :
yA, ||x - y||  ||x - z|| + ||z - y||
En passant à l’inf sur A, on obtient :
inf{||x - y||, yA}.
inf{||x - y||, yA}  ||x - z|| + inf{||z - y||, yA}
Donc
dA(x)  ||x - z|| + dA(z) ce qui peut s’écrire : dA(x) - dA(z)  ||x - z||
En échangeant les rôles de x et de z on peut obtenir aussi dA(z) - dA(x)  ||x - z||.
Donc finalement
| dA(z) - dA(x) |  ||x - z||.