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Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Projection d’un point sur un ensemble
Définition (Projection d’un point sur un ensemble): Soit A un ensemble non vide de R
n
et xR
n
,
on appelle projection euclidienne de x sur A, l’ensemble noté PA(x) et défini par :
PA(x) = {yA | ||x - y|| = dA(x)}.
Proposition : Soit A un ensemble fermé non vide de R
n
, alors pour tout xR
n
, PA(x) est non vide.
Démonstration :
Pour tout kN*, ykA tel que
dA(x)  ||x - yk|| < dA(x) +
1
k
Tous les termes de la suite (yk) appartiennent à la boule B(x , dA(x)+1). Donc on peut extraire de
cette suite une sous-suite convergente (ykl), qui converge vers un élément y. A est fermé donc yA.
Si on passe à la limite la relation
dA(x)  ||x - ykl|| < dA(x) +
1
k
on obtient:
||x - y|| = dA(x). Donc y PA(x).
x̅2 - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0. Donc nécessairement x̅2 = x̅1.