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Projection sur les ensembles convexes fermés

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Bonjour

Analyse Convexe : Projection sur les ensembles convexes fermés

Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er.

Vidéo :

https://youtu.be/j1jyD_OocY8

Cordialement

Pr JAOUAD DABOUNOU
FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN 1er

Publicado en: Educación
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Projection sur les ensembles convexes fermés

  1. 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Projection sur les ensembles convexes fermés Proposition (caractérisation d’une projection) : Soit A un convexe non vide de R n et x  R n . Un point x̅∈A est une projection de x sur A si et seulement si : yA, <x - x̅ , y - x̅>  0. Démonstration : Supposons x̅∈A est une projection de x sur A. Soit y ∈ A, on pose zt = x̅ + t(y - x̅). t]0 , 1], ztA car A est convexe. On a ||x - x̅||2  || zt – x||2 = <x̅ + t(y - x̅) - x , x̅ + t(y - x̅) - x > = || x̅ - x ||2 + 2t <x̅ - x , y - x̅ > + t2 ||y - x̅||2 Donc 0  2t <x̅ - x , y - x̅ > + t2 ||y - x̅||2 Donc 0  2<x̅ - x , y - x̅ > + t||y - x̅||2 Ceci montre que yA, <x - x̅ , y - x̅>  0. Supposons maintenant que pour un point x̅∈A, yA, <x - x̅ , y - x̅>  0. On a : y - x = y - x̅ + x̅ - x Donc || y - x ||2 = || y - x̅ ||2 + 2 < y - x̅ , x̅ - x> + ||x̅ - x||2  ||x̅ - x||2 .
  2. 2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS Théorème : Soit un sous-ensemble convexe fermé A de R n et soit x  R n . Il existe un unique point x̅ ∈ A tel que yA, || x – x̅ ||  || y – x || Démonstration : Existence : On pose d = dA(x) = inf y∈A (‖x - y‖) qui est un réel positif ou nul. D’après ce qui précède, on sait que PA(x), donc x admet une projection x̅ sur l’ensemble A. Unicité : On suppose qu’il existe deux points x̅1 et x̅2 appartenant à PA(x). D’après la proposition précédente, yA, <x - x̅1 , y - x̅1>  0 et <x - x̅2 , y - x̅2>  0. Donc, en choisissant x̅2 dans la première inégalité et x̅1 dans la deuxième inégalité on écrit : <x - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0 et <x - x̅2 , x̅1 - x̅2>  0. Qui peut aussi s’écrire : <x̅2 - x , x̅2 - x̅1>  0. Ce qui donne, en sommant la première et la dernière égalité de la ligne ci-dessus : <x̅2 - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0. Donc nécessairement x̅2 = x̅1.

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