Sélection de contrôles avec correction

1. Université Hassan Premier Faculté des Sciences et Techniques Settat Parcours MIP Analyse Numérique Recueil de contrôles avec correction Année universitaire 2014/2015 Pr Jaouad Dabounou

2. 2 Table des matières Contrôle de rattrapage du 14/06/2011..................................................................................................... 3 Contrôle du 20/11/2012........................................................................................................................... 8 Contrôle du 14/01/2013......................................................................................................................... 13 Contrôle de rattrapage du 08/02/2013................................................................................................... 21 Contrôle de rattrapage du 06/05/2013................................................................................................... 26 Contrôle du 13/11/2013......................................................................................................................... 29 Contrôle du 13/01/2014......................................................................................................................... 33 Contrôle de rattrapage du 25/01/2014................................................................................................... 37 Contrôle du 15/01/2015......................................................................................................................... 40 Contrôle du 01/04/2015......................................................................................................................... 43 Contrôle du 18/04/2015......................................................................................................................... 46

3. 3 Préface Ce recueil de contrôles d'analyse numérique avec correction couvre la période allant de 2011 à 2015. Il apporte aux étudiants des éléments leur permettant d'aborder efficacement les problèmes d'analyse numérique, niveau parcours MIP semestre 3. L'attention a été faite sur les raisonnements à développer chez les étudiants en essayant de présenter, au début du document, les erreurs de logique dont souffrent un grand nombre de ces étudiants. La complexité des questions et leur difficulté sont variables et de différentes forme, mais le principe général était que ces contrôles soient abordable à la majorité des étudiants. Ce recueil constitue un complément au polycopié d'analyse numérique déjà disponible. Il sera enrichi au fur et à mesure par de nouveaux contrôles et éventuellement, par des exercices et problèmes complémentaires, si leur utilité est démontrée. Jaouad DABOUNOU

4. 4 Contrôle de rattrapage du 14/06/2011 (Durée 1 heure) Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x sin (x) + 1 1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π]. 2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R. 3. Monter qu’il existe au moins un point s  [0 , π] tel que f(s) = 2s. 4. Montrer l’unicité de ce point s  [0 , π]. 5. Utiliser la méthode de Newton pour calculer s avec une précision de 10-4 6. Utiliser la méthode de la sécante pour calculer s avec une précision de 10-4 Exercice 2 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' = -2 y avec y(0) = 1 1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour calculer y(1), 4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝒆−𝟐𝒙 , comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes Corrigés Exercice 1 : 1. x et sin(x) sont de même signe sur [-π , π]. Donc f(x) = x sin (x) + 1 ≥ 1. f ne s’annule pas sur [-π , π]. 2. On a pour tout k entier, f continue sur l'intervalle [2kπ - π 2 , 2kπ] Et

5. 5 (2kπ - π 2 ) . sin(2kπ - π 2 ) + 1 < 0 et (2kπ) . sin(2kπ) + 1 > 0 Donc pour tout k entier, f admet au moins une racine sur [2kπ - π 2 , 2kπ] Comme ces intervalles sont disjoints pour des entiers k différents, f admet une infinité de racines sur R. 3. On pose g(x) = f(x) – 2x g est continue sur [0 , π] et on a g(0) = 1 et g(π) = 1 – 2π < 0. Donc il existe au moins un point s  [0 , π] tel que g(s) = 0, c'est-à-dire f(s) = 2s. 4. On choisit x0=1 et on utilise la méthode de Newton, ce qui permet de construire le tableau suivant: i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 0 1,00000 -0,15853 -0,61823 0,74357 -0,256425 1 0,74357 0,01619 -0,77577 0,76445 0,020875 2 0,76445 0,00021 -0,75611 0,76472 0,000274 3 0,76472 0,00000 -0,75586 0,76472 0,000000 A la convergence, la solution donnée par la méthode de Newton est x*0,76472. Il y a convergence à l'itération 3, puisque la précision 10-4 est satisfaite. 5. Utilisation de la méthode de la sécante avec x0=1 et x1=1,5: i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 1,00000 1,50000 -0,15853 -0,50376 0,50000 1 1,50000 0,77040 -2,47351 0,06063 -0,72960 2 0,77040 0,78786 0,06063 0,02142 0,01746 3 0,78786 0,79739 0,02142 -0,00067 0,00953 4 0,79739 0,79710 -0,00029

6. 6 5 0,79710 0,79710 0,00001 0,00000 0,00000 A la convergence, la solution donnée par la méthode de la sécante est x*0,79710. Exercice 2 : Cet exercice, déjà vu dans les séances de TD, ne présente aucune difficulté pour les étudiants. 1. Euler en un pas donne y(1)  1. 2. La méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1) donne: a 0 y(a) 1 k1 0,0000 k2 - 1,0000 k3 - 0,5000 k4 - 1,0000 b 1 h 1 y(b) 0,3333 3. Etapes de calcul par Euler en 2 pas : a 0 y(a) 1 h=b-a 1 f(a,b) 0,0000 a+h/2 0,5 y(a+h/2) 1,0000 f(a+h/2,y(a+h/2)) -1 b=a+h 1

7. 7 y(b) 0,5000 Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] donne y(1)  0,5. 4. Solution analytique: y(4) = 0,368. La comparaison des différentes solutions montre que la méthode d'Euler en un seul pas donne un mauvais résultat par contre, la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 donne une valeur assez précise. Lorsqu'on a subdivisé l'intervalle en 2 pas, le résultat donné par la méthode d'Euler s'est amélioré.

8. 8 Contrôle du 20/11/2012 Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(x) – cos(x) sur [0 , 1]. 1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1]. 2. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 . 3. Combien de fois f a été calculée pour atteindre cette solution ? 4. En choisissant x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Combien de fois f et f’ ont été calculées pour atteindre la solution dans le cas de la méthode de Newton? 6. Utiliser la méthode de la sécante pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 . 7. Combien de fois f a été calculée pour atteindre cette solution dans le cas de la méthode de la sécante ? Exercice 2 : On se propose de calculer une valeur approchée de 𝟐 . On considère la fonction f(x) = x2 – 2 1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution positive x* . 2. Soit la fonction g(x) = x 2 + 1 x 3. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x* ) = x* , vérifiant pour tous x et y dans un intervalle que vous déterminez : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1. 4. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x* . 5. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x* ? Exercice 3 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' = -2 xy avec y(0) = 1. 1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour calculer y(1), 4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝒆−𝒙 𝟐 , comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes Corrigés Exercice 1: 1. f est continue sur [0 , 1] et on a f(0)= -1 et f(1)= 0,301 donc f(0).f(1) < 0.

9. 9 Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f possède une racine sur [0 , 1]. 2. Calcul de la racine de f par la méthode de dichotomie: i ai f(ai) bi f(bi) ci f(ci) erri 0 0 -1 1 0,30116868 0,5 -0,39815702 0,5 1 0,5 -0,39815702 1 0,30116868 0,75 -0,05005011 0,25 2 0,75 -0,05005011 1 0,30116868 0,875 0,12654664 0,125 3 0,75 -0,05005011 0,875 0,12654664 0,8125 0,03832309 0,0625 4 0,75 -0,05005011 0,8125 0,03832309 0,78125 -0,00586637 0,03125 5 0,78125 -0,00586637 0,8125 0,03832309 0,796875 0,01623034 0,015625 6 0,78125 -0,00586637 0,796875 0,01623034 0,7890625 pas nécessaire 0,0078125 A la convergence, la solution donnée par la méthode de dichotomie est x*0,7890625. 3. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 8 fois pour arriver à la précision 10-2 . 4. Calcul de la racine de f par la méthode de Newton: i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 0 0 -1 1 1 1 1 1 0,30116868 1,38177329 0,7820419 -0,2179581 2 0,7820419 -0,00474646 1,4142056 0,78539818 0,00335627 3 0,78539818 1,7822E-08 1,41421356 0,78539816 -1,2602E-08 A la convergence, la solution donnée par la méthode de Newton est x*0,78539816. 5. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 4 fois et f' a été calculée 4 fois pour arriver à la précision 10-3 . 6. Calcul de la racine de f par la méthode de la sécante: i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 0 1 -1 0,30116868 1 1 1 0,76853986 0,30116868 -0,02384011 -0,23146014 2 0,76853986 0,78551797 -0,02384011 0,00016943 0,01697811

10. 10 3 0,78551797 0,78539816 -0,00011981 A la convergence, la solution donnée par la méthode de Newton est x*0,78539816. 7. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 4 fois pour arriver à la précision 10-3 . Remarque: 1. Dans la première question certains étudiants essaient de démontrer que f est monotone, ce qui n'est pas nécessaire. 2. Toujours à propos de la première question des étudiants écrivent: "Une fonction f possède une racine sur [0 , 1] si et seulement si f est continue et change de signe sur [0 , 1]." Or ceci est faux. C'est probablement un problème de logique dont souffrent beaucoup d'étudiants. Voir par exemple la fonction g(x) = (x - 0,5)2 qui possède une racine sur [0 , 1] sans changer de signe. En effet nous avons seulement une implication: "Si une fonction f est continue et change de signe sur [0 , 1] alors elle possède une racine sur [0 , 1]." 3. Dans la réponse proposée on a gardé 8 chiffres significatifs après la virgule. L'étudiant qui utilise une calculatrice peut se contenter de garder 3 à 4 chiffres après la virgule pour les variables réelles. Mais il doit faire attention lorsqu'il s'agit de valeur comme f(0,7855)=0,000144 à ne pas les remplacer par 0 mais par 0,00014. 4. Beaucoup d'étudiants omettent de régler leur calculatrices sur le radian et utilisent donc les mesures d'angles en degrés ce qui donne par exemple cos(1) = 0,9998 au lieu de cos(1) = 0,5403. Exercice 2: 1. La fonction f est continue sur l'intervalle [1 , 2] et on a f(1).f(2)<0 donc f admet une racine sur l'intervalle ]1 , 2[. Cette racine est donc solution positive de l'équation f(x) = 0. 2. On a, pour g(x) = x 2 + 1 x Soit x* une solution positive de f(x) = 0 alors On a pour x nombre réel positif : f(x) = 0  x2 – 2 = 0  2 + x2 = 2 x2

11. 11  𝒙 𝟐 + 𝟐 2x = x  x 2 + 1 x = x  g(x) = x En particulier, nous avons g(x* ) = x* . 1. 𝒈 𝒙 – 𝒈 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 − 𝒚 𝟐 − 𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒙𝒚 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒙𝒚 𝒙 − 𝒚 Or pour x et y sur l'intervalle [1 , 2], on a 1 ≤ xy ≤ 4 donc − 𝟏 𝟐 ≤ 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒙𝒚 ≤ 𝟏 𝟒 , 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒙𝒚 ≤ 𝟏 𝟐 Il s'en suit que |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec k = 𝟏 𝟐 2. On considère alors la suite (xn) avec x0 = 1,5 et xn+1 = g(xn) pour n≥1. Application: Le tableau savant donne les valeurs obtenues par la method de substitution xi xi+1 erri 1,5 1,41666667 -0,08333333 1,41666667 1,41421569 -0,00245098 1,41421569 1,41421356 -2,1239E-06 3. Pour calculer la vitesse de convergence il suffit de montrer que l'on a : 𝒙∗ – 𝒙 𝒏+𝟏 𝒙∗ – 𝒙 𝒏 ≤ 𝟏 𝟐 Or cette relation vient du fait que : 𝒙∗ – 𝒙 𝒏+𝟏 𝒙∗ – 𝒙 𝒏 = 𝒈(𝒙∗ ) – 𝒈(𝒙 𝒏) 𝒙∗ – 𝒙 𝒏 ≤ 𝟏 𝟐 On a bien sûr utilisé que pour tout x dans l'intervalle [1 , 2], |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec k = 𝟏 𝟐 Donc la méthode utilisée est à convergence linéaire. Remarque :

12. 12 1. Dans l'introduction de cet exercice, il est mentionné que l'on se propose de calculer une valeur approchée de 𝟐 . Cela suppose que la valeur de 𝟐 ne doit pas être utilisée pour répondre aux questions de cet exercice. Malheureusement certains étudiants utilisent 𝟐 pour répondre à la première question. 2. Certains raisonnements montrent l'approche très superficielle de la compréhension des notions mathématiques par un grand nombre d'étudiants. En voici quelques exemples rencontrés dans les réponses à cet exercice. i. 0 < x < 2 donc 0 < 1 𝑥 < 𝟏 𝟐 . Ceci est évidemment faux car "si 0 < x < 2 alors 𝟏 𝟐 < 1 𝑥 ". ii. g'(x) = 1 2 - 1 𝒙 𝟐 Si 0 < x < 2 on a 0 < x2 < 4 et ainsi 1 𝟒 < 1 𝒙 𝟐 𝒆𝒕 𝒅𝒐𝒏𝒄 -1 𝒙 𝟐 < -1 𝟒 𝒅′ 𝒐ù 1 𝟐 – 1 𝒙 𝟐 < 1 𝟐 − 1 𝟒 = 1 𝟒 Ce qui donne finalement g'(x) < 1 𝟒 <1. L'erreur dans ce dernier raisonnement se situe lorsqu'on passe à la valeur absolue de g'(x). iii. Lors de la construction de la suite (xn) avec xn+1 = g(xn), beaucoup d'étudiants oublient de préciser que x0 doit être donné au départ. iv. Il est tout de même très désolant de constater que les étudiants peinent à développer des raisonnements un peu abstraits, trouvent des difficultés à réaliser des calculs légèrement compliqués et échouent généralement à combiner plusieurs notions mathématiques à la fois. Exercice 3: La solution de cet exercice est donnée dans le corrigé d'un contrôle précédent.

13. 13 Contrôle du 14/01/2013 Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x cos (x) + 1 définie sur [0 , π]. 1. Montrer que la fonction f possède une racine sur [0 , π]. 2. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer cette racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 . 3. Quel est le coût de la méthode de dichotomie pour le calcul de cette racine ? 4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Evaluer le coût de la méthode de Newton pour le calcul de cette racine ? 6. On pose x0 = 1 et x1 = 2, utiliser la méthode de la sécante pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Evaluer le coût de la méthode de la sécante pour le calcul de cette racine ? 8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. 9. Montrer que f admet une racine unique sur ] 0 , π [. Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction f(x) = 𝟏 𝒙 1. Tracer la courbe de f 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f en n points équidistants pour n=3 puis n=4. 3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas de n=4. Exercice 3 : On se propose de calculer l’intégrale suivante : I = 𝟏 𝒙 dx 𝟐 𝟏 1. Calculer analytiquement I. 2. Utiliser le polynôme d’interpolation de Lagrange pour n=3, puis n=4 pour obtenir une valeur approchée de I. 3. Utiliser les méthodes numériques (trapèze et Simpson) pour calculer numériquement I. 4. Comparer et interpréter les résultats obtenus. 5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille. 6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2). Exercice 4 : On considère sur [2, 4] l’équation différentielle

14. 14 𝒚′ = 𝒚( 𝟏 𝒙 - 1) avec y(2) = 0,2707 1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [2, 4] pour calculer y(4), 2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [2, 4] pour calculer y(4), 3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4] pour calculer y(4), 4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = xe-x , comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes 5. Expliquer la réponse à la question précédente. Corrigés Exercice 1: 1. f est continue sur [0 , π] et on a f(0)= 1 et f(π)= -π - 1 donc f(0).f(π) < 0 et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f possède une racine sur [0 , π]. 2. Dichotomie i ai f(ai) bi f(bi) ci f(ci) erri 0 0 1 3,14159265 -2,14159265 1,57079633 1 1,57079633 1 1,57079633 1 3,14159265 -2,14159265 2,35619449 -0,6660811 0,78539816 2 1,57079633 1 2,35619449 -0,6660811 1,96349541 0,24860284 0,39269908 3 1,96349541 0,24860284 2,35619449 -0,6660811 2,15984495 -0,19994556 0,19634954 4 1,96349541 0,24860284 2,15984495 -0,19994556 2,06167018 0,02813541 0,09817477 5 2,06167018 0,02813541 2,15984495 -0,19994556 2,11075756 -0,08514626 0,04908739 6 2,06167018 0,02813541 2,11075756 -0,08514626 2,08621387 -0,02829105 0,02454369 7 2,06167018 0,02813541 2,08621387 -0,02829105 2,07394203 -2,1189E-05 0,01227185 8 2,06167018 0,02813541 2,07394203 -2,1189E-05 2,0678061 Pas nécessaire 0,00613592 A la convergence, la solution donnée par la méthode de dichotomie est x*2,0678061. 3. Coût de la méthode de dichotomie: estimé au nombre de fois où f est calculée, ce coût est obtenu d'après le tableau précédent. f est calculée 10 fois.

15. 15 4. Méthode de Newton i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 1 1 1,54030231 -0,30116868 6,11441731 5,11441731 2 6,11441731 7,02754644 2,01281874 2,62302174 -3,49139557 3 2,62302174 -1,27816883 -2,1686014 2,03362398 -0,58939777 4 2,03362398 0,09202746 -2,26615374 2,07423352 0,04060954 5 2,07423352 -0,00069139 -2,29932146 2,07393282 -0,00030069 A la convergence, la solution donnée par la méthode de Newton est x*2,07393282. 5. Coût de la méthode de Newton : d'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 5 fois et f' a été calculée 5 fois pour arriver à la précision 10-3 . 6. Calcul de la racine de f par la méthode de la sécante : i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 1 2 1,54030231 0,16770633 1 1 2 2,12218186 0,16770633 -0,11174301 0,12218186 2 2,12218186 2,07332517 -0,11174301 0,00139688 -0,04885669 3 2,07332517 2,07392838 0,00060321 A la convergence, la solution donnée par la méthode de la sécante est x*2,0678061. 7. Le cout de la méthode de la sécante est estimé au nombre de fois où la fonction f est calculée. D'après le tableau précédent on voit que f a été calculée 5 fois pour arriver à la précision 10-3 . 8. Il est facile de voir que la comparaison va porter sur le coût de chacune des méthodes, puisque toutes les méthodes convergent et arrivent à donner une valeur approximative de la racine de f. La méthode de dichotomie est très couteuse. En effet pour réaliser une précision de 10-2 , il a fallut calculer f 10 fois. La méthode de Newton nécessite de calculer de f 5 fois et f' 5 fois pour réaliser une précision de 10-3 . La meilleure méthode utilisée pour cet exemple est la méthode de la sécante. Elle permet d'obtenir une précision de 10-3 avec seulement 5 fois le calcul de f. 9. Pour répondre à cette question, on commence par remarquer que x cos(x) ≥ 0 sur [0 , 𝝅 𝟐 ]. Donc f(x) = x cos (x) + 1  0 sur cet intervalle et f ne peut donc s'y annuler.

16. 16 Il suffit donc de montrer que f admet une racine unique sur ] 𝝅 𝟐 , π]. On a f'(x) = cos(x) – x sin(x) Or sur l'intervalle ] 𝝅 𝟐 , π], cos(x) < 0 et - x sin(x) ≤ 0 donc f est strictement décroissante sur ] 𝝅 𝟐 , π]. Donc f admet une racine unique sur ] 𝝅 𝟐 , π] et comme f ne s'annule pas sur [0 , 𝝅 𝟐 ], on conclut que f admet une racine unique sur [0 , π]. Remarque: 1. Dans la première question certains étudiants essaient de démontrer que f est monotone, ce qui n'est pas nécessaire. 2. Les étudiants ont trouvé la question 9 difficile comparée aux autres questions. La plus part des étudiants qui ont essayé d'y répondre ont voulu montrer que f est décroissante sur tout l'intervalle [0 , π]. En réalité, cette jeune génération d'étudiants multicanale et distraite considère les mathématiques comme un ensemble d'outils que l'on accumule au fil des modules et dont on se sert séparément pour répondre à des questions de contrôle. Or les mathématiques sont beaucoup plus que cela. Un des objectifs des mathématiques est de développer chez l'étudiant une logique et un raisonnement qui lui permettrait de procéder à l'analyse et à la résolution des problèmes qu'il pourra rencontrer. Les mathématiques doivent développer chez l'étudiant une intelligence lui permettant d'aborder de nouveaux problèmes pas forcément rencontrés dans le cours ou les TD. Exercice 2: 1. Courbe de f : 2. Pour n=3 on a : P1 = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667 Pour n=4 on a : P2 = -0. 2254 x3 + 1. 3519 x2 - 2. 9778 x + 2. 8513 I1 = I(P1) = 2,6320 I2 = I(P2) = 0,6937 3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton Pour n=3 (Pas demandé dans le contrôle)

17. 17 f[1] = f(1) = 1 𝒇 𝟏, 𝟓 − 𝒇[𝟏] 𝟎, 𝟓 = − 𝟐 𝟑 f[1,5] = f(1,5) = 2 3 𝒇 𝟐 − 𝒇[𝟏] 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 𝟑 𝒇 𝟐 − 𝒇[𝟏, 𝟓] 𝟎, 𝟓 = − 𝟏 𝟑 f[2] = f(2) = 0,5 Pour n=4 f[1] = f (1) = 1 𝑓[ 4 3] − 𝒇[𝟏] 1 3 = −𝟎, 𝟕𝟓 f [ 4 3 ] = f ( 4 3 ) = 0,75 𝒇[ 4 3 5 3] − 𝒇[1 4 3] 2 3 = 𝟎, 𝟒𝟓 𝒇[ 5 3 ] − 𝒇[ 4 3 ] 1 3 = −𝟎, 𝟒𝟓 𝒇[ 4 3 5 3 2] − 𝒇[1 4 3 5 3] 1 = −𝟎, 𝟐𝟐𝟓 f [ 5 3 ] = f ( 5 3 ) = 0,6 𝒇[ 5 3 2] − 𝒇[ 4 3 5 3] 2 3 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟓 𝒇 𝟐 − 𝒇[ 5 3] 1 3 = −𝟎, 𝟑 f [2] = f (2) = 0,5 Expression de Newton P(x) = f[1] + (x – 1) f[1 4 3 ] + (x – 1) (x – 4 3 ) f[1 4 3 5 3 ] + (x – 1) (x – 4 3 ) (x – 5 3 ) f[1 4 3 5 3 2] = 1 – 0,75 (x – 1) + 0,45 (x – 1) (x – 4 3 ) – 0,225 (x – 1) (x – 4 3 ) (x – 5 3 ) Remarque : Les étudiants trouvent de grandes de difficultés à se concentrer sur des opérations qui nécessitent un nombre relativement élevé d'opérations de calcul. Exercice 3: 1. Calcul analytique: I = ln(2) = 0,6931

18. 18 2. En utilisant l'expression du polynôme de Lagrange (voir Exercice 2 question 2): Pour n = 3, I1 = 𝑷 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 = 0,6944 Pour n=4, I2 = 𝑷 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 = 0,6938 3. Intégration numérique Trapèzes : 0,75 Simpson : 0,6944 4. La méthode des trapèzes donne une mauvaise approximation. L'utilisation de la méthode de Simpson et du polynôme d'interpolation de Lagrange avec n=3 sont équivalentes et donnent par suite la même approximation. L'utilisation du polynôme d'interpolation avec n=4 donne ici la meilleure approximation. 5. It2 = 0,708 Lorsqu'on effectue l'intégration sur 2 pas on améliore l'approximation obtenue par la méthode des trapèzes. 6. Explication graphique: Le segment AB est au-dessus de la courbe de f sur l'intervalle [1 , 3/2 ] et le segment BC est au-dessus de la courbe de f sur l'intervalle [3/2 , 2] donc l'intégrale obtenu par la méthode des trapèzes (délimité du coté supérieur par ces deux segment) est supérieur à l'intégrale calculé analytiquement (délimité du coté supérieur par la courbe de f). Exercice 4: 1. Euler en un pas donne y(4)  0.

19. 19 2. La méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [2, 4] pour calculer y(4) donne: a 2 y(a) 0,2707 k1 -0,1354 k2 -0,0902 k3 -0,1203 k4 -0,0226 b 4 h 2 y(b) 0,0777 Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4] donne y(4)  0,0777. 3. Etapes de calcul par Euler en 2 pas : a 2 y(a) 0,2707 h=b-a 2 f(a,b) -0,1354 a+h/2 3 y(a+h/2) 0,1354 f(a+h/2,y(a+h/2)) -0,0902 b=a+h 4 y(b) 0,0451 Ainsi, la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [2, 4] en [2, 3] et [3, 4] donne y(4)  0,0451. 4. Solution analytique : y(4) = 0,0733

20. 20 Remarque: 1. On a donné au début de cet exercice la valeur y(2) = 0,2707 avec 4 chiffres après la virgule. Cela sous-entend que l'on souhaite respecter cette précision dans toutes les valeurs calculées dans cet exercice.

21. 21 Contrôle de rattrapage du 08/02/2013 (Durée 1heure) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction : f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 définie sur R. 1. Montrer que f ne s'annule pas en dehors de l'intervalle [-1 , 1]. 2. Montrer que f possède une racine unique sur [-1 , 1]. 3. On pose x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec une précision de 10-3 . 4. Montrer comment on peut utiliser la méthode de substitution et calculer avec cette méthode la racine de f avec une précision de 10-3 . Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [0 , 5] la fonction f(x) = ex . 1. Tracer la courbe de f 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 3 points: 0, 1 et 3. 3. Tracer sur une même figure les courbes de f et de P1 définis sur l'intervalle [0 , 5]. 4. On pose E(x) = f(x)-P1(x), expliquez ce que représente E(x). 5. Tracer la courbe de la fonction E(x). 6. Quelles remarques peut-on tirer de la courbe de E(x) ? 7. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. 8. En déduire le polynôme d'interpolation P2 utilisant les points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. 9. Comparer P2(5) et f(5). 10. Que peut-on conclure de la dernière réponse ? Corrigés Exercice 1: 1. Soit x une racine de f, alors f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 = 0 ce qui implique 𝑥 = −1 cos 𝑥 + 2 On a pour tout x réel cos(x) + 2 ≥ 1, ce qui implique −1 cos 𝑥 + 2 ≤ 1 Ce qui donne pour tout x racine de f | x |≤1, c'est-à-dire que x[-1 , 1]. Ainsi, une racine de f ne peut pas être en dehors de l'intervalle [-1 , 1].

22. 22 2. f est continue sur [-1 , 1] et f(-1) = -1,54 et f(1) = 3,54 donc f(-1).f(1) < 0. On en déduit que f possède une racine sur [-1 , 1]. Pour prouver l'unicité de la racine de f, on va montrer que f est strictement croissante sur [-1 , 1]. On a f'(x) = 2 - x sin(x) + cos(x). Or pour tout x[-1 , 1], cos(x)  0 et 2 – x sin(x)  0. Donc pour tout x[-1 , 1], f'(x)  0. f est donc strictement croissante sur [-1 , 1]. En conclusion f possède une racine unique sur [-1 , 1]. 3. Calcul de la racine de f par la méthode de Newton: i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 0 0 1 3 -0,33333333 -0,33333333 1 -0,33333333 0,01834768 2,83589205 -0,33980314 -0,00646981 2 -0,33980314 2,0411E-05 2,8295634 -0,33981036 -7,2135E-06 Et la racine obtenue par la méthode de Newton est x*-0,33981036. 4. Pour utiliser la méthode de substitution, on remarque que x est racine de f si st seulement si 𝒙 = −𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐 On pose alors 𝒈(𝒙) = −𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐 On considère l'intervalle [-1 , 1] et on voit que 𝒈′(𝒙) = −𝒔𝒊𝒏⁡(𝒙) (𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐) 𝟐 vérifie | g'(x) | < 𝟏 𝟒 < 1. On rappelle que pour tout x[-1 , 1], cos(x)  0 donc cos(x) + 2  2. On se donne x0 et on construit la suite (xn) telle que xn+1 = g(xn) pour n≥1. Du fait que | g'(x) | < 𝟏 𝟒 < 1, on a la suite (xn) converge vers le point fixe de g qui est au même temps la racine de f. Le tableau suivant donne la racine obtenue par la méthode de substitution utilisant la fonction g ci-dessus avec la précision 10-3 .

23. 23 i xi xi+1 erri 1 0 -0,33333333 -0,33333333 2 -0,33333333 -0,33956354 -0,0062302 3 -0,33956354 -0,33980086 -0,00023732 4 -0,33980086 -0,33980999 -9,1304E-06 Et la racine obtenue par la méthode de substitution est x*-0,33980999. Exercice 2: 1. Courbe de la fonction f 2. Polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 3 points: 0, 1 et 3: On a f(0) = 1, f(1) = 2,72 et f(3) = 20,08 Donc P1 = 2,32 x2 – 0,6 x + 1 3. Courbe de f et de P1 définis sur l'intervalle [0 , 5] sur une même figure :

24. 24 Si on se limite à l'intervalle [0 , 3.5], on obtient la courbe suivante : 4. E(x) = f(x)-P1(x). E(x) exprime l'erreur d'approximation entre la fonction f et le polynôme d'interpolation P1. 5. Courbe de la fonction E(x). 6. L'écart entre le polynôme d'interpolation et la fonction f est important en dehors des points d'interpolation. On remarque cela même entre les points d'interpolation. Ainsi au

25. 25 voisinage de 0,5 on l'écart s'approche de 0,4 et au voisinage de 2,3 il s'approche de -2. Cet écart s'annule pour x=3 mais explose rapidement en dépassant ce nombre. 7. Coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. f[0] = f(0) = 1 𝑓[1] − 𝒇[𝟎] 1 = 𝟏, 𝟕𝟐 f[1] = f(1) = 2,72 𝑓[1 2] − 𝑓[0 1] 2 = 𝟏, 𝟒𝟖 𝑓[2] − 𝑓[1] 1 = 𝟒, 𝟔𝟕 𝑓[1 2 3] − 𝑓[0 1 2] 1 = 𝟎, 𝟖𝟓 f[2] = f(2) = 7,39 𝑓[2 3] − 𝑓[1 2] 2 = 𝟒, 𝟎𝟏 𝒇 𝟑 − 𝒇[2] 1 = 𝟏𝟐, 𝟕 f[3] = f(3) = 20,09 Expression de Newton P2(x) = f[0] + (x – 0) f[0 1] + (x – 0) (x –1) f[0 1 2] + (x – 0) (x – 1) (x –2) f[0 1 2 3] = 1 + 1,72 (x – 0) + 1,48 (x – 0) (x –1) + 0,85 (x – 0) (x – 1) (x –2) 8. On en déduit, en développant l'expression de P2: P2(x) = 0,85 x3 – 1,06 x2 + 1,93 x + 1 9. On obtient P2(5) = 90,4 et f(5) = 148,41 10. On déduit de la dernière réponse que le polynôme d'interpolation de Lagrange P2 ne constitue pas une bonne approximation de f sur l'intervalle [0 , 5] sachant bien sûr qu'il coïncide avec f dans les points 0, 1, 2 et 3.

26. 26 Contrôle de rattrapage du 06/05/2013 (Durée 1heure) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = 2 x cos(x) + 1. 1. Montrer que f possède une racine sur [-1 , 1]. 2. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 . 3. Quel est le coût de la méthode de dichotomie pour le calcul de cette racine ? 4. On pose x0 = 0, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Evaluer le coût de la méthode de Newton pour le calcul de cette racine ? 6. On pose x0 = 0 et x1 = 1, utiliser la méthode de la sécante pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Evaluer le coût de la méthode de la sécante pour le calcul de cette racine ? 8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 2 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' x = ex + y y 0 = 0 1. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 2. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour calculer y(1), 3. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) =xex , comparer les solutions obtenues dans les 2 questions précédentes Corrigés Exercice 1: 2. Méthode de dichotomie

27. 27 a f(a) b f(b) c f(c) err -1 -0,08060461 1 2,08060461 0 1 1 -1 -0,08060461 0 1 -0,5 0,12241744 0,5 -1 -0,08060461 -0,5 0,12241744 -0,75 -0,0975333 0,25 -0,75 -0,0975333 -0,5 0,12241744 -0,625 -0,0137039 0,125 -0,625 -0,0137039 -0,5 0,12241744 -0,5625 0,04833494 0,0625 -0,625 -0,0137039 -0,5625 0,04833494 -0,59375 0,01574242 0,03125 -0,625 -0,0137039 -0,59375 0,01574242 -0,609375 0,00061781 0,015625 -0,625 -0,0137039 -0,609375 0,00061781 -0,6171875 pas nécessaire 0,0078125 3. Méthode de Newton i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 0 0 1 2 -0,5 -0,5 1 -0,5 0,12241744 1,27573959 -0,59595801 -0,09595801 2 -0,59595801 0,01355701 0,98619758 -0,60970477 -0,01374675 3 -0,60970477 0,0003072 0,9413693 -0,6100311 -0,00032633 4. Méthode de la sécante xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 1 1 2,08060461 1 1 -0,92540786 2,08060461 -0,11328197 -1,92540786 -0,92540786 -0,82598886 -0,11328197 -0,1197605 0,099419 -0,82598886 -2,66382429 -0,1197605 5,73107574 -1,83783543 -2,66382429 -0,86360743 5,73107574 -0,1221704 1,80021686 -0,86360743 -0,901182 -0,1221704 -0,11869785 -0,03757457 -0,901182 -2,18554804 -0,11869785 3,52105463 -1,28436604 -2,18554804 -0,94306713 3,52105463 -0,10774244 1,24248091 -0,94306713 -0,97995757 -0,10774244 -0,09178599 -0,03689044 -0,97995757 -1,19216174 -0,09178599 0,11862979 -0,21220417 -1,19216174 -1,07252368 0,11862979 -0,02513729 0,11963807 -1,07252368 -1,09344207 -0,02513729 -0,00472193 -0,0209184 -1,09344207 -1,09828035 -0,00472193 0,00028369 -0,00483828 -1,09828035 -1,09800614 0,00028369 -2,8535E-06 0,00027421 Exercice 2 : Utilisation de la méthode de Runge-Kutta

28. 28 x0 0 y0 0 k1 1,0000 k2 2,1487 k3 2,7231 k4 5,4414 x1 1 h 1 y1 2,6975 Méthode d'Euler avec subdivision de l'intervalle: x0 0 y0 0 h 1 f(x0,y0) 1,0000 x+h/2 0,5 y(x+h/2) 0,5000 f(x+h/2,y(x+h/2)) 2,1487 x+h 1 y(x+h) 1,5744 Analytique 2,71828183

29. 29 Contrôle du 13/11/2013 (Durée 2heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x2 x - 1. 1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1]. 2. Montrer que cette racine est unique sur [0 , 1]. 3. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-2 . 4. On pose x0 = 0.5, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Quelle est d'après cet exemple la vitesse de convergence de la méthode de Newton ? 6. Soit x0 = 0 et x1 = 0.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Proposer une formule qui permet d'utiliser la méthode de substitution pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 2 : On considère la fonction f(x) = x - 1 2 sin(x) -1. 1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution x* . 2. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x* ) = x* , vérifiant pour tous x et y réels : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1. 3. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x* . 4. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x* ? Exercice 3 : On considère sur ]0 , 1] la fonction f(x) = x - cos( 1 x ). Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de racines. Exercice 4 : On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction f(x) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 1. Tracer la courbe de f 2. Tracer la courbe du polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f en 4 points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3. 3. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ? 4. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec les mêmes points que ci-dessus.

30. 30 Corrigés Exercice 1: 1. f(0) = -1 et f(1) = 1 et f continue, donc f admet une racine sur [0 , 1]. 2. f'(x) = (1 + x ln(2))2x . Donc f'(x)  0 et f est strictement croissante et admet une racine unique sur [0 , 1]. 3. Méthode de dichotomie a f(a) b f(b) c f(c) err 0,000 -1,000 1 1,000 0,500 -0,293 0,500 0,500 -0,293 1,000 1,000 0,750 0,261 0,250 0,500 -0,293 0,750 0,261 0,625 -0,036 0,125 0,625 -0,036 0,750 0,261 0,688 0,107 0,063 0,625 -0,036 0,688 0,107 0,656 0,034 0,031 0,625 -0,036 0,656 0,034 0,641 -0,001 0,016 0,641 -0,001 0,656 0,034 0,648 0,008 A la convergence, la solution donnée par la méthode de dichotomie est x*0,648. 4. Méthode de Newton On note que f'(x) = (1 + x ln(2))2x i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 0 0,5 -0,293 1,6874 0,6736 0,1736 1 0,6736 0,074 2,1800 0,6395 -0,0341 2 0,6395 -0,004 2,0759 0,6413 0,0019 3 0,6413 0,000 2,0815 0,6412 -0,0002 5. Vérifier qu'avant la convergence  𝒏+𝟏  𝒏 𝟐 est voisin d'une constante (ici 1.6). La convergence est dite quadratique. 6. Méthode de la sécante i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 0 0,5 -1,000 -0,293 0,5 1 0,5 0,7071 -0,293 0,154 0,2071 2 0,7071 0,6356 0,154 -0,012 -0,0715

31. 31 3 0,6356 0,6410 -0,012 0,000 0,0053 4 0,6410 0,6412 0,0002 7. On a f(x) = 0  x=2-x On pose g(x) = 2-x Donc sur [0 , 1] on a 𝑔′(𝑥) = -ln(2) 𝟐 𝒙 et donc | 𝑔′(𝑥) | = ln(2) 𝟐 𝒙 qui est une fonction décroissante sur [0 , 1] et on a sur cet intervalle | g'(x) | ≤ g'(0) = 0,6931<1. Cette expression de g peut donc être utilisée dans la méthode de substitution. i xi xi+1 erri 0 0,5 0,7071 0,2071 1 0,7071 0,6125 -0,0946 2 0,6125 0,6540 0,0415 3 0,6540 0,6355 -0,0185 4 0,6355 0,6437 0,0082 5 0,6437 0,6401 -0,0037 6 0,6401 0,6417 0,0016 8 0,6417 0,6410 -0,0007 Exercice 2 : g(x) = 1 2 sin(x) +1 on a k = 1 2 La méthode de substitution donne le tableau suivant: I xi xi+1 ERR  𝒏+𝟏  𝒏 0 0,5 1,2397 0,7397 0,315 1 1,2397 1,4728 0,2331 0,106

32. 32 2 1,4728 1,4976 0,0248 0,043 3 1,4976 1,4987 0,0011 0,036 4 1,4987 1,4987 0,0000 0,036 A la convergence, la solution est x*1,4987. On remarque qu'avant la convergence  𝒏+𝟏  𝒏 est voisin d'une constante (ici 0.036). La convergence est dite linéaire. Exercice 4: P1 = -0.05 x2 + 0.55 P1(0) = 0.55. Or f(0) = 1. Donc l'approximation de f par le polynôme P1 n'est pas suffisamment précise en 0. Coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points d'interpolation 0, 1, 2 et 3. f[-3] = f(-3) = 0.1 𝑓[1] − 𝑓[−3] 2 = 0.2 f[-1] = f(-1) = 0.5 𝑓 −1 1 − 𝑓[−3 − 1] 4 = −0.05 𝑓[1] − 𝑓[−1] 2 = 0 𝑓[−1 2 3] − 𝑓[−3 1 2] 1 = 0 f[1] = f(1) = 0.5 𝑓[1 3] − 𝑓[−1 1] 4 = −0.05 𝑓 3 − 𝑓[2] 2 = −0.2 f[3] = f(3) = 0.1 D'où la formule de Newton: P1 = 0.1 + 0.2(x + 3) - 0.05(x + 3)(x+ 1).

33. 33 Contrôle du 13/01/2014 (Durée 2heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex – 2x - 1. On pose a = ln(2). 1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans utiliser les méthodes d'analyse numérique. 2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[. 3. On considère l'intervalle [a , 2], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2 . 4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . 5. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . On pose g(x) = 1 2 (ex – 1). 6. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement. 7. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1. 8. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2]. On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1) 9. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement. 10. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de substitution avec cette expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . 11. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 2: On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction f(x) = 1 1 + 𝑥2 1. Tracer la courbe de f 2. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 4 points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3. 3. Tracer la courbe de P1 sur l’intervalle [-3 , 3]. 4. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ? 5. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec les mêmes points que ci-dessus. Exercice 3 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' = -2 x y avec y(0) = 1 1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1),

34. 34 2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour calculer y(1), 4. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝑒−𝑥2 , comparer les solutions obtenues dans les 3 questions précédentes. Corrigés Exercice 1: 1. 0 est la racine de f sur ]- , a]. 2. On a aussi f(a) = -0.3863 et f(3) = 13.0855 donc f(a). f(3) < 0. f étant continue, alors f admet une racine dans ]a , 3[. f'(x) = ex – 2 > 0 sur ]a , +[, donc f est strictement croissante sur ]a , +[. La racine de f est donc unique dans ]a , +[. 3. DICHOTOMIE a f(a) b f(b) c f(c) err 0,693 -0,386 2 2,389 1,347 0,151 0,653 0,693 -0,386 1,347 0,151 1,020 -0,267 0,327 1,020 -0,267 1,347 0,151 1,183 -0,102 0,163 1,183 -0,102 1,347 0,151 1,265 0,013 0,082 1,183 -0,102 1,265 0,013 1,224 -0,047 0,041 1,224 -0,047 1,265 0,013 1,244 -0,018 0,020 1,244 -0,018 1,265 0,013 1,255 -0,003 0,010 1,255 -0,003 1,265 0,013 1,260 0,005 4. Newton i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 1 1 -0,2817 0,7183 1,3922 0,3922 2 1,3922 0,2393 2,0237 1,2740 -0,1183

35. 35 3 1,2740 0,0271 1,5750 1,2568 -0,0172 4 1,2568 0,0005 1,5141 1,2564 -0,0003 5. Sécante i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 1 1 1,5 -0,2817 0,4817 0,5 2 1,5 1,1845 0,4817 -0,0999 -0,3155 3 1,1845 1,2387 -0,0999 -0,0262 0,0542 4 1,2387 1,2580 -0,0262 0,0024 0,0193 5 1,2580 1,2564 0,0024 -0,0001 -0,0016 6 1,2564 1,2564 0,0000 6. On a si x est racine de f alors 2x + 1  0 donc ln(2x + 1) est bien défini. On peut donc écrire: f(x) = 0  ex – 2x – 1 = 0  1 2 (ex – 1) = x  g(x) = x 7. Facile 8. Remarquer que l'on a : pour tout x dans [a, 2], | g'(x)| ≥ 1. 9. On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1) 𝑔′ 𝑥 = 2 2x + 1 On remarque que a  0.6. Donc, pour tout x dans [a, 2], 0 < g'(x) < 2 2.2 < 0.95 < 1. On peut donc écrire, pour tout x dans [a, 2], | g'(x)| < k avec k = 0.95 < 1. Cette dernière expression de g convient à l'utilisation de la méthode de substitution. On a ainsi le tableau donné par la méthode de substitution i xi xi+1 erri 1 1 1,0986 0,0986 2 1,0986 1,1623 0,0637

36. 36 3 1,1623 1,2013 0,0391 4 1,2013 1,2246 0,0232 5 1,2246 1,2381 0,0136 6 1,2381 1,2460 0,0078 7 1,2460 1,2504 0,0045 8 1,2504 1,2530 0,0026 9 1,2530 1,2545 0,0015 10 1,2545 1,2553 0,0008 Solution x*1,2553. Le corrigé des exercices restants est déjà donné.

37. 37 Contrôle de rattrapage du 25/01/2014 (Durée 1heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(ex ) – x. 1. Montrer que f admet une racine sur [-1 , 1]. 2. Montrer que f ne s'annule pas sur ]- , -1[ et sur [1 , +[. 3. Montrer que f s'annule en un point unique sur R. 4. On considère l'intervalle [-1 , 1], utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2 . 5. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 6. Soit x0 = 1 et x1 = 1.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 . 7. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet exemple. Exercice 2 : On considère sur [0, 1] l’équation différentielle y' = -2 x y avec y(0) = 1 1. Utiliser la méthode d’Euler sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 2. Utiliser la méthode de Runge-Kutta classique sur l’intervalle [0, 1] pour calculer y(1), 3. Utiliser la méthode d’Euler en subdivisant l’intervalle [0, 1] en [0, 1/2] et [1/2, 1] pour calculer y(1), 4. [1/2, 1] pour calculer y(1), 5. Sachant que la solution analytique de l’équation différentielle est y(x) = 𝑒−𝑥2 , comparer les solutions obtenues en termes de cout et de précision dans les questions précédentes. Corrigés Exercice 1: 1. On a f(-1) = 1,360 f(1) = -0,589 f(-1).f(1) < 0 et f continue donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine sur [-1 , 1]. 2. Si x<-1 alors | x |>1 et donc sin(ex ) – x ne peut pas s'annuler (sinon on aurait | sin(ex ) | = | x |>1). Donc f ne s'annule pas sur ]- , -1[. De même, si x>1 alors | x |>1 et donc sin(ex ) – x ne peut pas s'annuler (sinon on aurait | sin(ex ) | = | x |>1). Donc f ne s'annule pas sur ]1 , + [.

38. 38 En plus f(1)0. Donc f ne s'annule pas sur [1 , + [. 3. On va montrer que f'(x) < 0 pour x  [-1 , 1], On a f'(x) = ex cos(ex ) – 1. Lorsque x parcourt l'intervalle [-1 , 1], alors ex parcourt l'intervalle [1/e , e], soit [0.37 , 2.72]. Or si ex est dans [0.37 , 1] alors ex cos(ex ) < 1 car ex < 1 et cos(ex ) < 1, Si ex est dans [1 , π/2] alors cos(ex ) < 1 = 0.54 et donc ex cos(ex ) < 0.54 π/2 = 0.85 < 1, Si ex est dans [π/2 , 2.72] alors cos(ex ) < 0 et donc ex cos(ex ) < 1. Donc on a toujours pour tout x dans [-1 , 1], f'(x) = ex cos(ex ) – 1 < 0. f est donc strictement décroissante et ainsi admet une racine unique sur [-1 , 1] et donc, d'après les questions précédentes une racine unique sur R. 4. DICHOTOMIE a f(a) b f(b) c f(c) err a 0 -1,000 1,360 1 -0,589 0,000 0,841 1,000 1 0,000 0,841 1,000 -0,589 0,500 0,497 0,500 2 0,500 0,497 1,000 -0,589 0,750 0,105 0,250 3 0,750 0,105 1,000 -0,589 0,875 -0,199 0,125 4 0,750 0,105 0,875 -0,199 0,813 -0,037 0,063 5 0,750 0,105 0,813 -0,037 0,781 0,036 0,031 6 0,781 0,036 0,813 -0,037 0,797 0,001 0,016 7 0,797 0,001 0,813 -0,037 0,805 -0,018 0,008 5. Newton i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erri 1 1,0 -0,589 -3,478 0,8306 -0,1694 2 0,8306 -0,081 -2,520 0,7983 -0,0323 3 0,7983 -0,003 -2,346 0,7971 -0,0012 4 0,7971 0,000 -2,340 0,7971 0,0000 6. Sécante i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) erri 0 1 1,5 -0,589 -2,474 0,5 1 1,5 0,8436 -2,474 -0,115 -0,6564

39. 39 2 0,8436 0,8117 -0,115 -0,035 -0,0319 3 0,8117 0,7978 -0,035 -0,002 -0,0139 4 0,7978 0,7971 -0,002 0,000 -0,0007 Exercice 2: Correction déjà donnée.

40. 40 Contrôle du 15/01/2015 (Durée 2heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = xex - cos(x). 1. Montrer que f ne s'annule pas sur [1 , +[. 2. En déduire que f possède une racine unique sur [0 , +[. 3. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine positive de f avec une précision de l’ordre de 10-2 en considérant l'intervalle [0 , 1]. 4. Evaluer le coût de la méthode de dichotomie dans le cas ci-dessus. 5. Utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine positive de f avec une précision de l’ordre de 10-3 avec x0 = 0 et x1=0,5. 6. Evaluer le coût de la méthode de la sécante dans le cas ci-dessus. 7. Utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3 avec x0 = 1. 8. Evaluer le coût de la méthode de Newton dans le cas ci-dessus. 9. Montrer que f possède une infinité de racines sur ]- , 0]. Exercice 2 : On se propose de calculer une racine de la fonction f(x) = x cos(x) + 2 x + 1 sur [-1 , 1]. a- Montrer que f admet une racine unique sur [-1 , 1]. b- Montrer que l'on peut utiliser la méthode de substitution pour calculer cette racine de f en posant : 𝑔(𝑥) = −1 cos 𝑥 + 2 Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi: i 0 1 2 3 4 xi -3 -1 0 1 3 yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5 1. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P en utilisant les xi et yi ci- dessus. 2. Tracer la courbe de P sur l’intervalle [-3 , 3]. 3. Retrouver le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec les mêmes points que ci-dessus. Corrigés Exercice 1: 1. Si x ≥ 1 alors xex > 1 et donc f(x) = xex - cos(x) > 0.

41. 41 Donc f ne s'annule pas sur [1 , +]. 2. Il suffit de montrer que f possède une racine unique sur [0 , 1]. f est continue sur [0 , 1] et f(0) = -1 et f(1) = 2,1780, d'où f(0).f(1)0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine sur [0 , 1]. D'un autre coté, f est dérivable sur et f'(x) = (1 + x)ex - sin(x) et en plus pour tout x[0 , 1], 1 + x ≥ 1 et ex ≥ 1 donc (1 + x)ex ≥ 1 en même temps on a pour tout x[0 , 1], sin(x)  1. Tout cela montre que x[0 , 1], f'(x) = (1 + x)ex - sin(x) > 0. f est donc strictement croissante sur [0 , 1], et ne peut avoir qu'une racine unique sur [0 , 1], ce qui répond à la question. 3. Dichotomie i a f(a) b f(b) c f(c) err 0 0,0000 -1,0000 1,0000 2,1780 0,5000 -0,0532 0,5000 1 0,5000 -0,0532 1,0000 2,1780 0,7500 0,8561 0,2500 2 0,5000 -0,0532 0,7500 0,8561 0,6250 0,3567 0,1250 3 0,5000 -0,0532 0,6250 0,3567 0,5625 0,1413 0,0625 4 0,5000 -0,0532 0,5625 0,1413 0,5313 0,0415 0,0313 5 0,5000 -0,0532 0,5313 0,0415 0,5156 -0,0065 0,0156 6 0,5156 -0,0065 0,5313 0,0415 0,5234 Pas néc. 0,0078 4. Coût de la méthode de dichotomie : 8 fois f est calculée. 5. Méthode de la sécante i xi xi +1 f(xi) f(xi+1) erri 0 0,00000 0,50000 -0,1353 0,1823 0,50000 1 0,50000 0,21301 0,1823 0,0256 -0,28699 2 0,21301 0,16605 0,0256 -0,0062 -0,04697 3 0,16605 0,17515 -0,0062 0,0002 0,00910 4 0,17515 0,17493 0,0002 Pas néc. -0,00022 6. Coût de la méthode de dichotomie : 5 fois f est calculée. 7. Méthode de Newton i xi f(xi) f'(xi) xi+1 ERREUR 0 0,50000 0,1823 0,4435 0,08891 -0,411093 1 0,08891 -0,0627 0,7704 0,17035 0,081441

42. 42 2 0,17035 -0,0032 0,6940 0,17491 0,004566 3 0,17491 0,0000 0,6899 0,17493 0,000013 8. Coût de la méthode de Newton : 4 fois f est calculée et 4 fois f' est calculée. 9. Pour répondre à cette question, on va utiliser le fait que lorsque x décroit de -1 vers - , xex tend vers 0, alors que cos(x) oscille entre -1 et 1. On a pour tout x ≤ -1, -1 < xex < 0 < 1. Donc, si on considère : [-2π , -π], f est continue sur cet intervalle et f(-2π)= (-2π)e(-2π) - cos(-2π)= (-2π)e(-2π) – 10 et et f(-π)= (-π)e(-π) - cos(-π)= (-π)e(-π) + 1>0. Donc f admet une racine dans [-2π , - π]. De même f admet une racine dans [-4π , -3π] et de façon générale sur f admet une racine dans [-2kπ , (-2k+1)π], k≥1. Il suffit de remarquer que ces intervalles sont disjoints pour conclure que f admet une infinité de racines sur ]- , 0]. Exercice 2 : Correction déjà donnée. Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi: i 0 1 2 3 4 xi -3 -1 0 1 3 yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5

43. 43 Contrôle du 01/04/2015 (Durée 2heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex – 2x - 1. On pose a = ln(2). 1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans utiliser les méthodes d'analyse numérique. 2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[. 3. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . On pose g(x) = 1 2 (ex – 1). 4. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement. 5. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1. 6. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2]. On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1) 7. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement. 8. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de substitution avec cette expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3 . Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction f(x) = 1 𝑥 1. Tracer la courbe de f. 2. On sait d'après le cours que l'erreur d'interpolation en x0, x1,…, xn d'une fonction f est donnée par 𝑒 𝑥 = 1 𝑛 + 1 ! 𝑓 𝑛+1 𝜉 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … (𝑥 − 𝑥 𝑛 ) avec 𝜉  Int(x, x1 , x2, ... xn): le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ..., xn. Comparer en traçant les courbes des fonctions correspondantes, les expressions : 𝑆𝑢𝑝 𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2) et 𝑆𝑢𝑝 𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2) 3. Quels points d'interpolation donneraient alors la meilleure approximation de f, x0=1, x1=1.5, x2=2 ou x0=1, x1=1.2, x2=2 ?

44. 44 4. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2. 5. Calculer les coefficients du polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton pour x0=1, x1= 4 3 , x2= 5 3 et x3=2. Corrigés Exercice 1: Correction déjà donnée Exercice 2 : 1. Courbe de f : 2. Soient P1(x) = |(x-1) (x-1.5) (x-2)| P2(x) = |(x-1) (x-1.2) (x-2)| Les courbes de P1 et P2 sont données par :

45. 45 Et on voit que 𝑆𝑢𝑝 𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2)  𝑆𝑢𝑝 𝑥∈[1 ,2] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2) 3. On déduit de la question précédente que les points x0=1, x1=1.5, x2=2 donneraient la meilleure approximation de f par interpolation. 4. Le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2 est : P = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667 La dernière question est déjà traitée dans un précédent exercice.

46. 46 Contrôle du 18/04/2015 (Durée 2heures) Exercice 1 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x5 + 2x3 - 1. 1. Montrer que f admet une racine unique dans R. On note  cette racine réelle de f. 2. Montrer que   1. 3. Montrer que  > 0. On considère alors l'intervalle [0 , 1]. On veut utiliser la méthode de Newton pour trouver une estimation de . 4. Démontrer que si on choisit x0 ≥ 1, la suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est strictement décroissante. 5. Démontrer que pour tout n ≥ 1, 𝑥 𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥 𝑛 )2 2 𝑓"() 𝑓′(𝑥 𝑛) ,   ] , 𝑥 𝑛 [ 6. Démontrer que la suite (xn)n est minorée par . Dans l'expression 7. Démontrer alors que la suite (xn)n converge vers . 8. On choisit maintenant x0=1, calculer la racine de f,  avec une précision de 10-3 . 9. Quelle est la vitesse de convergence de la suite (xn)n ? Exercice 2 : On se propose de calculer l’intégrale suivante : I = 1 𝑥 𝑑𝑥 2 1 1. Calculer analytiquement I. 2. Soit P = 0.3333 x2 - 1.5 x + 2.1667, le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2. Calculer 𝐼 𝑃 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 2 1

47. 47 3. Calculer numériquement des estimations de I en utilisant les méthodes des trapèzes (pour obtenir It) et Simpson (pour obtenir Is). 4. Comparer et interpréter les résultats obtenus. 5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille. 6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2). Corrigés Exercice 1: 1. f est continue sur R et lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = −∞ et lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = +∞ Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f admet une racine réelle. D'un autre côté f'(x) = 5x4 + 6x2 . Donc , xR* , f'(x) > 0. On en déduit facilement que f est strictement croissante sur R. Ce qui implique l'unicité de la racine de f. On note  cette racine réelle de f. 2. Si x ≥ 1, f(x) = x5 + 2x3 – 1 ≥ 2x3 ≥ 2 donc x ne peut pas être racine de f. Donc   1. 3. Si x ≤ 0, f(x) = x5 + 2x3 – 1 ≤ -1  0, donc x ne peut pas être racine de f. Donc  > 0. 4. La suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est construite par la formule : 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛) 𝑓′(𝑥 𝑛) Comme x0 ≥ 1, donc x0  à ] , +[. On va démontrer que x1 ] , x0[. On a : 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓 𝑥0 𝑓′ 𝑥0 On a 𝑓 𝑥0 − 𝑓() 𝑥0 −  = 𝑓′  , ] , 𝑥0[ Or f" est strictement croissante sur [ , x0] (facile à vérifier), donc 𝑓 𝑥0 − 𝑓() 𝑥0 −   𝑓′ (𝑥0)

48. 48 f() = 0, donc on obtient : 𝑓 𝑥0 𝑓′(𝑥0)  𝑥0 −  Donc   x1. D'un autre côté on a f(x0) > 0 et f'(x0) > 0, donc x1  x0. On a ainsi montré que x1 ] , x0[. Un raisonnement par récurrence permet de montrer (comme pour x1) que pour tout n ≥ 1, xn+1 ] , xn[. Ceci montre que la suite (xn)n donnée par la méthode de Newton est strictement décroissante. 5. Pour tout n ≥ 0, on a montré que xn+1 ] , xn[. On peut aussi écrire : 𝑓  = 𝑓 𝑥 𝑛 +  − 𝑥 𝑛 𝑓′ 𝑥 𝑛 + ( − 𝑥 𝑛 )2 2 𝑓"(),   ] , 𝑥 𝑛 [ Donc, Comme f() = 0, on peut écrire 𝑥 𝑛 𝑓′ 𝑥 𝑛 − 𝑓 𝑥 𝑛 =  𝑓′ 𝑥 𝑛 + ( − 𝑥 𝑛 )2 2 𝑓"(),   ] , 𝑥 𝑛 [ Et ainsi 𝑥 𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥 𝑛 )2 2 𝑓"() 𝑓′(𝑥 𝑛) ,   ] , 𝑥 𝑛[ 6. 𝑥 𝑛+1 = 𝛼 + (𝛼 − 𝑥 𝑛)2 2 𝑓"() 𝑓′(𝑥 𝑛) ,   ] , 𝑥 𝑛 [ ] , xn[ donc f''()> 0, on a aussi   xn, donc f'(xn) > 0. Donc 𝑥 𝑛+1 − 𝛼 = (𝛼 − 𝑥 𝑛 )2 2 𝑓"() 𝑓′(𝑥 𝑛) > 0 Ce qui montre que la suite (xn)n est minorée par . 7. La suite (xn)n est strictement décroissante et minorée par . Elle est donc convergente. Soit l = lim(xn). Il est facile de voir que l ≥ . On a :

49. 49 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛) 𝑓′(𝑥 𝑛) Comme f et f' sont des fonctions continues, on a lim⁡(𝑥 𝑛+1) = lim⁡(𝑥 𝑛 − 𝑓 𝑥 𝑛 𝑓′ 𝑥 𝑛 ) Comme f et f' sont des fonctions continues, on a 𝑙 = 𝑙 − 𝑓 𝑙 𝑓′ 𝑙 Il s'en suit que f(l) = 0. Comme la racine de f est unique, on en déduit que l = . 8. Le tableau suivant donne la racine de f par la méthode de Newton avec x0=1 et une précision de 10-3 . i xi f(xi) f'(xi) xi+1 Erri = |xi+1 - xi| 0 1 2 11 0,81818182 0,1818 1 0,8182 0,46206 6,25715457 0,74433598 0,0738 2 0,7443 0,05326 4,85899607 0,73337563 0,0110 3 0,7334 0,00102 4,67339725 0,73315694 0,0002 D'après le tableau ci-dessus, la racine de f est donnée par 0,7334. 9. On sait que la méthode de Newton est à convergence quadratique. D'après le tableau précédent, on a i 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 2 𝑥𝑖+1 −  𝑥𝑖 −  2 0 1,19 1 2,23 1,55 2 2,01 1,75 3 1,82 1,79 Le tableau ci-dessus montre que la convergence est bien quadratique. Exercice 2: Correction déjà donnée.