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Topologie des ensembles convexes

Bonjour

Analyse Convexe : Topologie des ensembles convexes

Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er.

Vidéos :

Vidéo 1/4 : https://youtu.be/0MqRgDPqw9Q

Vidéo 2/4 : https://youtu.be/l_MEUdYiwGY

Vidéo 3/4 : https://youtu.be/PI3VwzLfqF8

Vidéo 3/4 : https://youtu.be/kPD0mkgcMWw

Cordialement

Pr JAOUAD DABOUNOU
FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN 1er

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Topologie des ensembles convexes

  1. 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Topologie des ensembles convexes Proposition : Soit A un ensemble convexe de R n , l’intérieur de A, A o , et la fermeture de A, A̅, sont convexes. Démonstration : (Exercice) Proposition : Soit A convexe de R n , x A o , intérieur de A et yA. Alors [x , y[ A o . Démonstration : x A o , intérieur de A, donc il existe >0 tel que la boule B(x , )A. Soit ]0 , 1[ et x = x+(1-)y. Nous allons démontrer que x A o . On considère la boule B(x , ), nous allons montrer que B(x , )A. Soit z B(x , ), on pose z = x + 1  (z - x) z a été construit de façon à avoir z B(x , ). En effet, ||z - x|| = ||z - x||< , donc ||z - x||<. A étant convexe, on a z+(1-)yA. Alors x + (z - x) + (1-) yA. Ce qui permet d’avoir z A car x = x+(1-)y. Ainsi B(x , )A. Il s’ensuit que x Ȧ pour ]0 , 1[. Donc on a finalement : [x , y[ Ȧ . Proposition : Soit A convexe de R n , x A o , intérieur de A et yA. Alors [x , y[ A o .
  2. 2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS Démonstration : x A o , intérieur de A, donc il existe >0 tel que la boule B(x , )A. Soit ]0 , 1[ et y = x+(1-)y. Nous allons démontrer que y A o . Comme yA alors pour tout >0, il existe zA tel que ||z - y||< . On applique le résultat de la proposition précédente à x et z. Soit z = x + (1-)z, B(z , )  A. Dans cette démonstration, nous allons proposer un choix adéquat de >0 pour que y B(z , ). Quand z se rapproche de y, z se rapproche de y et la boule B(z , ) dont le rayon ne dépend pas de z finit par contenir y. On a y- z = (1 - )(y - z) et donc si on choisit  tel que : 0 < ρ <  (1- ) || y- z|| = (1 - )|| y - z || < (1 - ) = . Donc y B(z , )  A. Donc y A o . Et ainsi [x , y[ A o . Proposition : Soit A un ensemble convexe de R n avec A o , intérieur de A, non vide. Alors A o̅ =A̅ et A̅ o =A o . A̅ étant la fermeture de A et A o l’intérieur de A. Démonstration : - Montrons que A o̅ =A̅. On a A o  A donc A o̅  A̅. Reste à montrer que A̅ A o̅ . Soit xA̅. Comme A o ≠, soit aA o . D’après une proposition précédente [a , x[ A o . Et on voit donc facilement que xA o̅ . Et ainsi A̅  A o̅ . Maintenant, on montre que A̅ o =A o . On a A  A̅, donc A o  A̅ o .
  3. 3. Analyse Convexe 3 Jaouad DABOUNOU-FSTS Reste à montrer que A̅ o  A o . Comme A o ≠, soit aA o . Soit xA̅ o , on suppose que x ≠ a. Donc il existe >0 tel que B(x , )  A̅. On pose b = x+ ε 2 . (x - a) ‖x - a‖ b est choisi de façon à ce qu’il soit dans B(x , ) et que x [a , b]. Comme B(x , )  A̅, donc bA̅, et aA o . D’après une proposition précédente [a , b[ A o . Le fait que x [a , b] permet d’achever la démonstration : xA o et A̅ o  A o . Finalement A̅ o =A o . Définition: Soit A un ensemble non vide de de R n , on appelle enveloppe convexe fermée de A la fermeture de l’enveloppe convexe de A : conv̅̅̅̅̅̅(A) Proposition : Soit A un ensemble non vide de de R n , l’enveloppe convexe fermée de A est égale à l’intersection de tous les convexes fermés contenant A. Démonstration : Exercice

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