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Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. (Vector posición, Vector velocidad Vector aceleración).

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INSTITUTO Universitario DE Tecnología
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSION BARCELONA-PUERTO LA CRUZ
Aplicaciónde ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de
las características cinemáticas de una partícula en movimiento. (Vector
posición, Vector velocidad Vector aceleración).
Bachilleres:
Hernández Daisy
Puerto La Cruz ; JUNIO Del 2014
Cinemáticay dinámica
Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe
un cambio continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de
la Física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es la
Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas:
cinemática: que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus
causas
Dinámica: que conecta el movimiento y sus características con las causas
(fuerzas) que lo producen.
Estática: que establece las condiciones de equilibrio mecánico (ausencia de
movimiento).
Para poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de
conceptos previos, que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre
estos postulados están
•Espacio
•Tiempo
•Partícula (o punto material)
•Sólido rígido
Cinemáticadelmovimientorectilíneo
Antes de considerar el problema completo del movimiento de una partícula en
el espacio de tres dimensiones, examinaremos el problema unidimensional,
más simple, de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo.
Posición
Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta, no
necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes posiciones de la
partícula. Nos basta con una etiqueta x(t) que designa la posición a lo largo de
la recta. Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la
izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que hayamos
etiquetado como x = 0.
En el caso unidimensional podemos representar la posición frente al tiempo,
colocando el tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas.
Esta posibilidad no existe en el caso tridimensional.
Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en x1 en el
instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice que en el intervalo de
tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un desplazamiento
El desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia
(m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto se
toma como origen de posiciones.
Velocidad
Velocidad media
Si una partícula realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt, se define la
velocidad media (en una dimensión) como el cociente entre el desplazamiento
y el intervalo empleado en realizarlo
De la definición se desprende que:
•Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema
internacional serán m/s.
•La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por
tanto si al final del intervalo la posición es la misma que al principio, la
velocidad media es 0, independientemente de las idas y vueltas que se hayan
dado.
•La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un
desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor
absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado
la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.
•En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad media representa la
pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (t1,x1) y (t2,x2). En
particular si la posición inicial y la final son la misma, resulta una recta
horizontal de pendiente nula.
Velocidad instantánea
El concepto de velocidad media no es especialmente útil, ya que solo nos
informa del ritmo promedio, pero un movimiento concreto puede hacerse de
forma irregular y normalmente interesa definir la velocidad en un momento
dado, conocida como velocidad instantánea.
Hoy día, con la presencia de velocímetros en los automóviles, el concepto de
velocidad instantánea es intuitivo y todos tenemos una experiencia directa de
la magnitud. Se trata de precisar matemáticamente el concepto.
Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué
estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora
se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha.
Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya que
Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un
minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería
afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O
podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido
3.33 m,…
En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es
el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la
velocidad en un instante dado.
Definimos entonces la velocidad instantánea en una dimensión como el límite
de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a
un instante)
Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la
derivada respecto al tiempo de la posición instantánea. En mecánica, una
derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la
magnitud
De esta definición se deduce que:
•Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por
un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso
frecuente.
•La velocidad tiene un signo: es positiva si el valor de x está aumentando (nos
movemos hacia la derecha del punto de referencia) y es negativa si está
disminuyendo (nos movemos hacia la izquierda).
•La velocidad puede ser nula. En ese caso se dice que la partícula se
encuentra en un estado de reposo instantáneo.
•La velocidad no es igual al espacio partido por tiempo. Es la derivada de la
posición respecto al tiempo.
•En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad representa la
pendiente de la recta tangente a la curva x(t) en el punto (t,x(t)).
•Si el estado es de reposo instantáneo esta tangente es horizontal. En ese
momento usualmente la posición alcanza un máximo o un mínimo.
Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede hallarse la
posición instantánea, sumando los desplazamientos infinitesimales, esto es,
integrando
Gráficamente, si trazamos la curva de la velocidad como función del tiempo, el
desplazamiento desde la posición inicial es el área bajo la curva v = v(t).
Ecuaciónvectorial
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que
conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la
recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición,
si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.
La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar
todos los puntos de la recta.
Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un punto genérico de la
recta tendrá como vector de posición .
Es claro que , como el vector y están en la misma dirección
existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce
como ecuación vectorial de la recta.
Ejemplo 1.
Dado el punto y el vector paralelo a la recta l que pasa por
A. Encuentre
a. La ecuación vectorial de .
b. Las ecuaciones paramétricas.
c. Las ecuaciones simétricas.
Solución.
a.
ecuación vectorial de l.
b.
a.
ecuaciones paramétricas de l.
c.
ecuaciones simétricas de l
Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos entonces Si
entonces
Ejemplo 2
Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto
y es paralela al vector .
Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación.
Solución.
Punto por el cual pasa la recta l.
Vector paralelo a la recta l.
Ecuación vectorial de l.
, luego las ecuaciones paramétricas de l son
igualando las ecuaciones se tiene que
esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l.
Ejemplo 3
Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los
puntos y
Solución.
El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto
Luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son
las ecuaciones simétricas son:
Ejemplo 4
Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que
pasa por los puntos , y
Solución.
Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C,
por lo tanto podemos tomar y
Como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho
plano pasa por estos puntos.
Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones
paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no
son únicas.
ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Eliminando los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana
BIBLIOGRAFIA
http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni3/seccion37/ejemplos37.html#347
http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni3/seccion37/ejemplos37.html#343
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)

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Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. (Vector posición, Vector velocidad Vector aceleración).

  • 1. INSTITUTO Universitario DE Tecnología “ANTONIO JOSE DE SUCRE” EXTENSION BARCELONA-PUERTO LA CRUZ Aplicaciónde ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. (Vector posición, Vector velocidad Vector aceleración). Bachilleres: Hernández Daisy Puerto La Cruz ; JUNIO Del 2014
  • 2. Cinemáticay dinámica Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe un cambio continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas: cinemática: que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas Dinámica: que conecta el movimiento y sus características con las causas (fuerzas) que lo producen. Estática: que establece las condiciones de equilibrio mecánico (ausencia de movimiento). Para poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de conceptos previos, que permitan sostener todo el entramado matemático. Entre estos postulados están •Espacio •Tiempo •Partícula (o punto material) •Sólido rígido
  • 3. Cinemáticadelmovimientorectilíneo Antes de considerar el problema completo del movimiento de una partícula en el espacio de tres dimensiones, examinaremos el problema unidimensional, más simple, de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo. Posición Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta, no necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes posiciones de la partícula. Nos basta con una etiqueta x(t) que designa la posición a lo largo de la recta. Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que hayamos etiquetado como x = 0. En el caso unidimensional podemos representar la posición frente al tiempo, colocando el tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas. Esta posibilidad no existe en el caso tridimensional.
  • 4. Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en x1 en el instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice que en el intervalo de tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un desplazamiento El desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia (m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto se toma como origen de posiciones. Velocidad Velocidad media Si una partícula realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt, se define la velocidad media (en una dimensión) como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo empleado en realizarlo
  • 5. De la definición se desprende que: •Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s. •La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto si al final del intervalo la posición es la misma que al principio, la velocidad media es 0, independientemente de las idas y vueltas que se hayan dado. •La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento. •En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad media representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (t1,x1) y (t2,x2). En particular si la posición inicial y la final son la misma, resulta una recta horizontal de pendiente nula. Velocidad instantánea El concepto de velocidad media no es especialmente útil, ya que solo nos informa del ritmo promedio, pero un movimiento concreto puede hacerse de forma irregular y normalmente interesa definir la velocidad en un momento dado, conocida como velocidad instantánea.
  • 6. Hoy día, con la presencia de velocímetros en los automóviles, el concepto de velocidad instantánea es intuitivo y todos tenemos una experiencia directa de la magnitud. Se trata de precisar matemáticamente el concepto. Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha. Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya que Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…
  • 7. En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado. Definimos entonces la velocidad instantánea en una dimensión como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a un instante) Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo de la posición instantánea. En mecánica, una derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud
  • 8. De esta definición se deduce que: •Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente. •La velocidad tiene un signo: es positiva si el valor de x está aumentando (nos movemos hacia la derecha del punto de referencia) y es negativa si está disminuyendo (nos movemos hacia la izquierda). •La velocidad puede ser nula. En ese caso se dice que la partícula se encuentra en un estado de reposo instantáneo. •La velocidad no es igual al espacio partido por tiempo. Es la derivada de la posición respecto al tiempo. •En la gráfica de la posición frente al tiempo, la velocidad representa la pendiente de la recta tangente a la curva x(t) en el punto (t,x(t)). •Si el estado es de reposo instantáneo esta tangente es horizontal. En ese momento usualmente la posición alcanza un máximo o un mínimo.
  • 9. Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede hallarse la posición instantánea, sumando los desplazamientos infinitesimales, esto es, integrando Gráficamente, si trazamos la curva de la velocidad como función del tiempo, el desplazamiento desde la posición inicial es el área bajo la curva v = v(t).
  • 10. Ecuaciónvectorial Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición. La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta. Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un punto genérico de la recta tendrá como vector de posición . Es claro que , como el vector y están en la misma dirección existe un número tal que , por tanto esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.
  • 11. Ejemplo 1. Dado el punto y el vector paralelo a la recta l que pasa por A. Encuentre a. La ecuación vectorial de . b. Las ecuaciones paramétricas. c. Las ecuaciones simétricas. Solución. a. ecuación vectorial de l. b. a. ecuaciones paramétricas de l. c.
  • 12. ecuaciones simétricas de l Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos entonces Si entonces Ejemplo 2 Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto y es paralela al vector . Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación. Solución. Punto por el cual pasa la recta l. Vector paralelo a la recta l. Ecuación vectorial de l. , luego las ecuaciones paramétricas de l son
  • 13. igualando las ecuaciones se tiene que esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l. Ejemplo 3 Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos y Solución. El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto
  • 14. Luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son las ecuaciones simétricas son: Ejemplo 4 Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por los puntos , y Solución.
  • 15. Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C, por lo tanto podemos tomar y Como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho plano pasa por estos puntos. Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son únicas. ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Eliminando los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana