Teori probabilitas membahas tentang peluang terjadinya suatu peristiwa berdasarkan aturan-aturan matematika. Terdapat beberapa konsep dasar seperti ruang sampel, kejadian, dan peluang suatu kejadian. Ada berbagai cara untuk menghitung peluang seperti perumusan klasik, empiris, dan subyektif. Teori ini juga membahas tentang peristiwa yang saling eksklusif, tidak saling eksklusif, independen, dan tergantung.

1. PENGANTAR TEORI
PROBABILITAS
1

2. Kosa kata Teori Probabilitas
 Percobaan
 Suatu kegiatan yang belum diketahui hasilnya dengan pasti untuk
pengamatan statistika
 Ruang sampel
 himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
statistika
 setiap kemungkinan yang dapat terjadi disebut anggota ruang
sampel (sample points)
 Kejadian
 himpunan bagian dari ruang sampel
 Peluang suatu kejadian A
 jumlah anggota himpunan bagian dari ruang sampel yang
termasuk pada kejadian A
2

3. Kosa kata Teori Probabilitas
 Percobaan
 Pengambilan
sebuah kelereng
peluang dari kotak
kejadian A  Ruang sampel
 Merah
1 
 Biru
Kejadian
 A: terambilnya
4 kelereng merah
 B: terambilnya
Probabilitas terambilnya
kelereng biru
kelereng merah atau biru!
3  Peluang kejadian
 Peluang kejadian A
 Peluang kejadian B
Peluang suatu kejadian … 4
Jumlah hasil yang muncul dibagi jumlah hasil
yang mungkin  cara menghitung peluang
(counting) kejadian B
3

4. KONSEP MENDASAR
• Probabilitas, P dari suatu peristiwa
atau keadaan memiliki nilai :
0 ≤P≤1
• Jumlah dari seluruh kemungkinan
dari suatu kegiatan harus sama
dengan 1
4

5. Contoh 1: two rules of probability.
Kebutuhan cat pada sebuah toko berada pada kisaran
: 0, 1, 2, 3, aatu 4 gallon per hari. Pengamatan selama
200 hari kerja menghasilkan data kebutuhan sebagai
berikut :
5

6. Persentasi kemungkinan :
6

7. Perumusan Probabilitas
1. Perumusan Klasik (Objective Probabilty )
jumlah peristiwa A yg mungkinterjadi
P( A)
jumlah keseluruhan peristiwa yg mungkin terjadi
Objective Probability dapat juga ditentukan dengan metoda logika (mis
pada kasus mata uang logam atau dadu)
2. Perumusan Empiris
Berdasarkan pada peristiwa yang telah terjadi (menggunakan data
historis)
jumlah peristiwa A
P( A)
jumlah semua peristiwa
7

8. Contoh :
Hasil pelemparan sekeping mata uang logam sebanyak 10.000 kali
adalah 5.010 kali keluar angka dan 4990 keluar gambar. Berapa
probabilitas keluarnya angka jika sekeping mata uang dilempar
sekali ?
Jawab :
Seandainya peristiwa A adalah munculnya angka, maka :
jumlah peristiwa A
P( A)
jumlah semua peristiwa
5.010
0,501
10 .000
8

9. 3. Perumusan Secara Subyektif
 Digunakan bila probabilitas peristiwa tidak dapat ditentukan
secara teoritis ataupun empiris.
 Didasarkan pada keyakinan dan analisis pengambil keputusan
 Agar dapat dirumuskan dengan baik, pertimbangkan sebanyak
mungkin informasi yang relevan dengan peristiwa tersebut
9

10. Mutually exclusive
Dua peristiwa dikatakan mutually exclusive jika kedua peristiwa
tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan, atau
A∩B ={ }
Karena A U B = A + B, maka :
P (A U B)=P(A) + P(B)
10

11. Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu satu kali jika A adalah peristiwa
munculnya mata dadu 3 dan B adalah peristiwa munculnya mata
dadu 5, berapakah probabilita munculnya mata dadu 3 atau 5 ?
Jawab :
Tidak mungkin mata dadu 3 keluar sekaligus bersama 5, maka
peristiwa A & B adalah mutually exclusive
P(AUB) = P(A) + P(B)= 1/6 + 1/6 = 1/3
11

12. Soal Mutually Exclusive
• Sebuah toko memiliki koleksi tas terbaru dengan 4
warna, hijau, putih, merah dan biru
• P(hijau) = 0.09
• P(putih) = 0.15
• P(merah) = 0.21
• P(biru) = 0.23
• Hitung peluang pembeli mengambil tas koleksi terbaru?
• Peluang membeli tas hijau, putih, merah atau biru…
• P(hijau)+P(putih)+P(merah)+P(biru) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23
12

13. Non mutually exclusive
Dua peristiwa dikatakan non mutually exclusive jika kedua peristiwa
tersebut bisa terjadi pada waktu yang bersamaan, atau A∩B≠{ }
AUB=A+B-(A∩B), untuk menghindari penghitungan ganda
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Contoh:
Survey 100 responden, diketahui 60 responden suka film action, 50
orang suka film drama, dan 10 orang suka keduanya. Jika dari 100
responden tersebut diambil1 orang secara acak, berapa probabilita
menemukan respondedn yang suka filn action atau responden yang
suka film drama?
Jawab :
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=60/100 + 50/100 – 10/100 = 1
13

14. Mutually exclusive &non mutually exclusive
14

15. Probabilita Peristiwa Independen
Jika terdapat dua peristiwa yang berurutan, kedua peristiwa tersebut dikatakan
independen jika peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua
P (A∩B)= P (A) . P (B)
contoh : setumpuk kartu bridge lengkap (52 kartu) diambil 2 helai satu persatu,
dan kartu pertama dikembalikan sebelum kartu kedua diambil. Berapakah
probabilitas kartu pertama adalah heart (A) dan kartu kedua adalah diamond
(B) ?
Jawab:
P(A) = 13/52
P(B) = 13/52
sehingga :
P(A∩B) = 13/52 . 13/52 = 0,0625
15

16. Probabilita Peristiwa Dependen atau Probabilita Bersyarat
P(A∩B)=P(A). P(B/A)
P(B/A) adalah probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah terjadi
Contoh :
Sama dengan soal sebelumnya, tetapi kartu pertama yang terambil tidak
dikembalikan. Hitung probabilita kartu pertama heart (A) dan kartu kedua
diamond(B)
Jawab :
P(A) = 13/52
P(B/A) = 13/51
P(A∩B) = 13/52 . 13/51 =
16

17. Di sebuah kotak terdapat 3 bola putih dan 7 bola hitam. Jika diambil
2 bola satu persatu dan dengan cara tanpa pengembalian, berapa
probabilita bola pertama yang terambil adalah putih dan bola kedua
adalah hitam ?
Jawab :
Bila A adalah peristiwa menemukan bola putih, B adalah peistiwa
menemukan bola hitam, maka P(A) = 3/10 dan P(B) = 7/10
P(A∩B) = P(A). P(B/A)
= 3/10 . 7/9
= 21/90
17

18. 18

19. Teorema Bayes
Ilustrasi
Pada awal kompetisi sepakbola, pendukung sebuah klub juara bertahan
memperkirakan bahwa klub mereka mempunyaikesemptan yang baik untuk
menjadi juara kompetisi tahun ini 9mereka membuat probabilita awal). Setelah
kompetisi berjalan 6 bulan (putran petama), pendukung klub tersebut
menghadapi kenyataan bhwa klub mereka telah mederita banyak kekalahan.
Kini mereka harus merevisi probabilita klub mereka menjadi juara tahun ini.
Dengan kata lain, mereka dapat membuat probabilita yang lebih baik karena
memiliki informasi tambahan. Probabiliti sebelum direvisi disebut prior
probability, sedangkan probabilita yang baru disebut probabilita revisi atau
posterior probability.
Rumus Teorema Bayes :
P( A1 A) P( A1 ). P( A / A1 )
P( A1 / A) n
P( A)
P( A1 ). P( A / A1 )
i 1
19

20. Contoh :
Pada sebuah kotak terdapat 2 dadu yang tidak sama beratnya, yaitu dadu I dan dadu II .
Probabilitas munculnya mata dadu 5 jika dadu I dilempar adalah 0,4 dan probabilitas munculnya
mata 5 jika dadu II dilempar adalah 0,7.
a. Jika diambil sebuah dadu dari kotak tersebut secara acak, berapa probabilita untuk
mendapatkan dadu I ?
b. Jika diambil sebuah dadu dari kotak tersebut secara acak dan dadu tersebut kemudian
dilempar dan ternyata muncul mata 5, berapa probabilitas dadu tersebut dadu I ?
Jawab :
a. P = jumlah dadu I/ Jumlah semua dadu yang ada = ½. (prior probability).
b. Pertanyaan b. adalah pertanyaan a. yang diberi informasi tambahan. Maka dapat dibuat
suatu probabilita yang lebih baik lagi
P( A1 A)
P( A1 / A)
P( A)
A1 = peristiwa mendapatkan dadu I
A2 = peristiwa mendapatkan dadu II
A = peristiwa munculnya mata dadu 5
P(A1∩A) = P(A1). P(A/A1) = 0,5 . 0,4 = 0,2
P(A) = P(dadu I, mata 5) + P(dadu II, mata 5) = P (A1). P(A/A1) + P (A2). P(A/A2)
= 0,5 . 0,4 + 0,5 . 0,7 = 0,55
Maka P (A1/A) = P(A1∩A) /P(A) = 0,2 / 0,55 = 0,36 (posterior probability)
20

21. Seperti soal sebelumnya, tetapi dadu yang terpilih dari kotak
dilempar 2 kali dan keduanya menghasilkan mata dadu 5.
hitunglah probabilita bahwa dadu tersebut adalah dadu I
P( A1 A)
P( A1 / A)
P( A)
A1 = peristiwa menemukan dadu I
A2 = peistiwa menemukan dadu II
A = peristiwa muncul mata 5 dua kali berturut turut
P(A1∩A) = P(A1).P(A/A1) = 0,5 (0,4 . 0,4) = 0,08
P(A) = 0,08 + 0,245 = 0,325
Maka P(A1/A) = 0,08/0,325 = 0,246
21

22. Permutasi, Kombinasi & Probabilita
Permutasi
Digunakan unt menghitung jumlah cara menyusun suatu obyek
dengan memperhatikan urutannya. Pda permutasi urutan obyek
diperhatikan sehingga A, B, C tidak sama dengan C, B, A. Rumus
permutasi adalaha :
P disebut permutasi sebanyak r obyek dari n obyek yang ada.
Contoh :
5 orang hendak duduk di suatu deretan kursi. Ada berapa cara atau
susunan duduk yang dapat dibuat ke 5 orang tersebut ?
Jawab :
22

23. Lima orang remaja A, B, C, D, E hendak berfoto tiga
orang demi tiga orang berjajar dari kiri ke kanan. Ada
berapa macam kemungkinanfoto yg berbeda yang dapat
dibuat jika kita memperhatikan urutan ketiga orang
tersebut ? (Ans 60)
23

24. Kombinasi
Kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun suatu
obyek tanpa memperhatikan urutannya. Pada kombinasi A,B,C sama
dengan B,C,A sama dengan C, B, A, karena urutannya tidak diperhatikan.
Rumus kombinasi adalah
Contoh :
Ada berapa macam kombinsi tim cerdas cermat yan terdiri dari 3 orang,
dapat dibentu dari 5 orang yang ada ?
Soal :
Sepuluh orang hadir disuatu pesta. Jika mereka
berjabat tangan satu per satu, ada berap kali
jabat tangan yang terjadi ? (ans 45)
24

25. Aturan Bayes
• Seorang pegawai mempunyai dua mobil, satu sedan dan satu lagi Toyota
Kijang.
• Untuk pergi bekerja dia menggunakan sedan 75% dan Kijang 25%.
• Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali dirumah pukul 17.30
sebanyak 75%
• Bila menggunakan Kijang dia tiba pukul 17.30 sebanyak 60%.
• Bila dia tiba dirumah pukul 17.30, berapakah peluangnya dia memakai sedan ?
 S : Kejadian Pegawai bekerja menggunakan sedan
 P(S) = 0.75
 K : Kejadian Pegawai bekerja menggunakan kijang
 P(K) = 0.25
 T : Kejadian Pegawai tiba dirumah pukul 17.30
 Dengan sedan tiba kembali dirumah pukul 17.30 P(T|S) = 0.75
 Dengan kijang tiba kembali dirumah pukul 17.30 P(T|K) = 0.6
 Tentukan P(S|T)
25

26. Aturan Bayes
Bilatiba dirumah pukul  P(S) = 0.75
17.30, berapakah peluangnya  P(K) = 0.25
memakai sedan ?  P(T|S) = 0.75
 P(T|K) = 0.6
P ( S ) P (T | S )
P(S | T )
P ( K ) P (T | K ) P ( S ) P (T | S )
0.75 * 0.75 15
P(S | T )
0.25 * 0.6 0.75 * 0.75 19
26

27. • Nilai harapan (Expected Value)
27