FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSHemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. Lafactorización es encont...
1 x3 + x2 = x2 (x + 1)     La raíces son: x = 0 y x = − 1     2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)     Sólo tiene una raíz X = 0; ya...
Las raíces son X = − 2 y X = 2                         2Trinomio cuadrado perfecto       Un     trinomio   cuadrado     pe...
grado.     Si   las   soluciones   a   la   ecuación   son   x1   y   x2,   el   polinomio  descompuesto será:       a x2 ...
Descomponer        en   factores   los   trinomios   de   cuarto   grado   deexponentes pares y hallar sus raíces       x4...
x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x +          ) · (x −      ) 4º F a c t o r i z a c i ón d e u n p o l i n o m io d e g r a d o...
Una raíz es x = 1.     Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.     Volvemos a probar por 1 porque...
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )       Sacamos factor común 2 en último binomio.       2x −3 = 2 (x − 3/2)       La fac...
= 3x · (x2 − 3)242x3 − 50x ==2x · (x2 − 25 ) =2x · (x + 5) · (x - 5)52x5 − 32x == 2x · (x4 − 16 ) =2x · (x2 + 4) · (x2 − 4...
2xy − 2x − 3y +6 == x · (y − 2) − 3 · (y − 2) == (x − 3) · (y − 2)325x2 − 1== (5x +1) ·(5x − 1)436x6 − 49 == (6x3 + 7) · (...
10x3− 4x2 + 4x == x · (x2 − 4x +4) == x · (x − 2)2113x7 − 27x == 3x · (x6 − 9 ) == 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)12x2− 11x + 30x...
2x2 − x −1 = 02x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)Factorizar y hallar las raíces de los polinomios1 2x3 − 7x2 + 8x − 3P(1) =...
2x3 − x2 − 4{±1, ±2, ±4 }           3         2P(1) = 1       − 1       − 4 ≠ 0                 3             2P(−1) = (−1...
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0      (x − 2) · (x2 + 5x +6)      x2 + 5x +6 = 0      (x − 2) ·(x + 2...
(x+2) · (6x2−5x +1)6x2 −5x +1 = 06 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Factorización de polinomios

13.780 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
13.780
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2.057
Acciones
Compartido
0
Descargas
33
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Factorización de polinomios

  1. 1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSHemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. Lafactorización es encontrar los factores, dado el producto. Se llaman factoresde una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan comoresultado la primera expresión.Ejemplo: si; + 2 + 3 = 2 + 5 + 6tenemos que + 2 y + 3 son factores de 2 + 5 + 6 , así pues,factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado.Existen diversos procedimientos para descomponer en factores unproducto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casospodamos combinar dos o más de estos procedimientos.Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto,los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamoscombinar dos o más de estos procedimientos. 1º F a c t o r c o mú n d e u n p o l i n o m i o Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva. a · x + b · x + c · x = x (a + b + c) Una raíz del polinomio será siempre x = 0 Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raícesde:
  2. 2. 1 x3 + x2 = x2 (x + 1) La raíces son: x = 0 y x = − 1 2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2) Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x 2 + 2, no tieneningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempredará un número positivo, por tanto es irreducible. 3 x2− ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b) La raíces son x= a y x = b. 2º I g u a l d a d n o t a b l e 1Diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. a2 − b2 = (a + b) · (a − b) Descomponer en factores y hallar las raíces 1 x2− 4 = (X + 2) · (X − 2) Las raíces son X = − 2 y X = 2 2 x4− 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)
  3. 3. Las raíces son X = − 2 y X = 2 2Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2 Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos yhallar sus raíces La raíz es x = − 3. La raíz es x = 2. 3º T r in o m i o d e s e g u n d o g r a d o Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º
  4. 4. grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será: a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 ) Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallarsus raíces Las raíces son x = 3 y x = 2. Las raíces son x = 3 y x = − 2.
  5. 5. Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado deexponentes pares y hallar sus raíces x4− 10x2 + 9 x2 = t x4 − 10x2 + 9 = 0 t2 − 10t + 9 = 0 x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3) x4 − 2x2 − 3 x2 = t t2 − 2t − 3 = 0
  6. 6. x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − ) 4º F a c t o r i z a c i ón d e u n p o l i n o m io d e g r a d o s u p e r i o r a d o s Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculode sus raíces P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3. 2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0 3Dividimos por Ruffini. 4Por ser la división exacta, D = d · c (x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
  7. 7. Una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevadoal cuadrado. P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0 P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0 (x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6) Otra raíz es x = -1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2ºgrado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente deque sólo podemos encontrar raíces enteras. El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1. P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0 P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0 P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
  8. 8. (x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 ) Sacamos factor común 2 en último binomio. 2x −3 = 2 (x − 3/2) La factorización del polinomio queda: P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −3/2) Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2 E j e r c i c i o s r es u e l t o s d e f a c t o r i z a ci ó n d e p o l i n o m i o s Factorizar los polinomios 19x4 − 4x2 = x2 · (9x2 − 4) = x2 · (3x + 2) · (3x − 2) 2x5 + 20x3 + 100x = x · (x4 + 20x2 + 100) = x · (x2 + 10)2 33x5 − 18x3 + 27x = 3x · (x4 −6 x2 + 9) =
  9. 9. = 3x · (x2 − 3)242x3 − 50x ==2x · (x2 − 25 ) =2x · (x + 5) · (x - 5)52x5 − 32x == 2x · (x4 − 16 ) =2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) == 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)62x2 + x − 282x2 + x − 28 = 02x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)Descomponer en factores los polinomios1
  10. 10. 2xy − 2x − 3y +6 == x · (y − 2) − 3 · (y − 2) == (x − 3) · (y − 2)325x2 − 1== (5x +1) ·(5x − 1)436x6 − 49 == (6x3 + 7) · (6x3 − 7)5x2− 2x +1 == (x − 1)26x2 − 6x +9 == (x − 3)27x2 − 20x +100 == (x − 10)28x2 + 10x +25 == (x + 5)29x2 + 14x +49 == (x + 7)2
  11. 11. 10x3− 4x2 + 4x == x · (x2 − 4x +4) == x · (x − 2)2113x7 − 27x == 3x · (x6 − 9 ) == 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)12x2− 11x + 30x2 − 11x + 30 = 0x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)133x2 + 10x +33x2 + 10x +3 = 03x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)142x2− x −1
  12. 12. 2x2 − x −1 = 02x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)Factorizar y hallar las raíces de los polinomios1 2x3 − 7x2 + 8x − 3P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) 2P(1) = 2 · 1 −5 · 1 + 3 = 0(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
  13. 13. 2x3 − x2 − 4{±1, ±2, ±4 } 3 2P(1) = 1 − 1 − 4 ≠ 0 3 2P(−1) = (−1) − (−1) − 4 ≠ 0 3 2P(2) = 2 − 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0(x − 2) · (x2+ x + 2 )x2+ x + 2 = 0(x − 2) · (x2+ x + 2 )Raíz: x = 2.3x3 + 3x2 −4 x − 12{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
  14. 14. P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0 (x − 2) · (x2 + 5x +6) x2 + 5x +6 = 0 (x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3. 46x3 + 7x2 − 9x + 2 {±1, ±2} P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0 P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0 3 2 P(2) = 6 · 2 + 7 · 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0 P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2= 0
  15. 15. (x+2) · (6x2−5x +1)6x2 −5x +1 = 06 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

×